Field calculation in a Dual Recycled Michelson using …e2e/intsim/0403_Cascina/...Field calculation in a Dual Recycled Michelson using linear approximation ‡Summation cavity speed

Field calculation in a Dual Recycled Michelson using linear approximation

‡ Summation cavity speed up the simulation

‡ FP summation cavity

Show@FPCavGra, [email protected], 0.92D, [email protected], 0.2, 0.15D D;

Hr1,t1L Hr2,t2Lx1 x2

L0

Ein E1 E2

E3E4Eref

EtraProp12

Prop21

E1 HtL = t1 Ein HtL - r1 ÿ E4 HtL ÿ Exp@ i 2 k ÿ x1 HtL DE2 HtL = E1 Ht - tL ÿ Exp@- i k ÿ L0 DE3 HtL = -r2 ÿE2 HtL ÿ Exp@ i 2 k ÿ x2 HtL DE4 HtL = E3 Ht - tL ÿ Exp@- i k ÿ L0 D

sumcavTalk.nb 1

E1 HtL = t1 Ein HtL - r1 ÿ E4 HtL ÿ Exp@ i 2 k ÿ x1 HtL DE2 HtL = E1 Ht - tL ÿ Exp@- i k ÿ L0 DE3 HtL = -r2 ÿE2 HtL ÿ Exp@ i 2 k ÿ x2 HtL DE4 HtL = E3 Ht - tL ÿ Exp@- i k ÿ L0 DE1 Ht + 2 NtL= t1 Ein Ht + 2 NtL +

t1 ÿ‚n = 1

N-1 8Rn Ein Ht + 2 Nt - 2 ntL ÿ Exp@i ⁄m = 0n-1 fHt + 2 Nt - 2 mtLD< + RN Exp@i ⁄m = 0

N-1 fHt + 2 Nt - 2 mtLD ÿE1 HtLf(T) = 2 ÿ k ÿ Hx1 HTL + x2 HT - tL - x1 HtL - x2 HtLLR = r1 ÿ r2 ÿ Exp@ -i 2 k HL0 - x1 HtL - x2 HtLL Dxj Ht + DL = xj HtL + vj ÿ DEin Ht + m tL = Ein HtL Exp@b ÿ m ÿ tD‚m = 0

n-1

f Ht + 2 Nt - 2 mtL = 2 k ÿ FS2 ÿ n H2 N - nLFS2 = t Hv1 + v2LE1 Ht + 2 NtL = t1 Ein Ht + 2 NtL 9 1 - RèN

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ1 - Rè

- i 2 k ÿ FS2 ÿ SP2= + RN Exp@i 2 k ÿ FS2 ÿ N2D ÿ E1 HtLFS2 = t Hv1 + v2LR = r1 ÿ r2 ÿ Exp@ -i 2 k HL0 - x1HtL - x2HtLL DRè = R ÿ Exp@-2 b t + i 4 kN ÿ FS2DSP2 =

Rè H1 + RèL - RèN IRè H1 + RèL + 2 H1 - RèL Rè N + H1 - RèL2 N2MÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅH1 - RèL3

sumcavTalk.nb 2

‡ Dual Recycling Summation Cavity

ü Schematic view

sumcavTalk.nb 3

ü A input calculations

E1lhs@t_D := tbP@tD EinP@tD + rfP@tD E16@tD;E2@t_D := PBP E1@t - tPD;E3@t_D := rfB@tD E2@tD + tbB@tD E14@tD;E4@t_D := PYB E3@t - tYD;E5@t_D := rfY@tD E4@tD + tbY@tD EinY@tD;E6@t_D := PBY E5@t - tYD;E7@t_D := rbB@tD E14@tD + tfB@tD E2@tD;E8@t_D := PXB E7@t - tXD;E9@t_D := rfX@tD E8@tD + tbX@tD EinX@tD;E10@t_D := PBX E9@t - tXD;E11@t_D := rbB@tD E10@tD + tfB@tD E6@tD;E12@t_D := PSB E11@t - tSD;E13lhs@t_D := rfS@tD E12@tD + tbS@tD EinS@tD;E14@t_D := PBS E13@t - tSD;E15@t_D := rfB@tD E6@tD + tbB@tD E10@tD;E16@t_D := PPB E15@t - tPD;

ü Independent fields

E1lhs@tDEinP@tD tbP@tD +rfP@tD PPB HrfB@t - tPD PBY HrfY@t - tP - tYD PYB HE1@t - 2 tP - 2 tYD rfB@t - tP - 2 tYD PBP +

E13@t - tP - tS - 2 tYD PBS tbB@t - tP - 2 tYDL + EinY@t - tP - tYD tbY@t - tP - tYDL +PBX tbB@t - tPD HEinX@t - tP - tXD tbX@t - tP - tXD + rfX@t - tP - tXD PXBHE13@t - tP - tS - 2 tXD rbB@t - tP - 2 tXD PBS + E1@t - 2 tP - 2 tXD PBP tfB@t - tP - 2 tXDLLL

E13lhs@tDEinS@tD tbS@tD +rfS@tD PSB HPBY HrfY@t - tS - tYD PYB HE1@t - tP - tS - 2 tYD rfB@t - tS - 2 tYD PBP +

E13@t - 2 tS - 2 tYD PBS tbB@t - tS - 2 tYDL + EinY@t - tS - tYD tbY@t - tS - tYDLtfB@t - tSD + rbB@t - tSD PBX HEinX@t - tS - tXD tbX@t - tS - tXD + rfX@t - tS - tXD PXBHE13@t - 2 tS - 2 tXD rbB@t - tS - 2 tXD PBS + E1@t - tP - tS - 2 tXD PBP tfB@t - tS - 2 tXDLLL

sumcavTalk.nb 4

ü tN LHN´ BLÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄct = tP + tS + tX + tYDXY = tX - tYDPS = tP - tS

ü Ep@tD = Mpxp@tDEp@t - t - dpxpD + Mpyp@tD Ep@t - t - dpypD + Mpxs[t] Ep[t-t-dpxs] + Mpys[t] Ep[t-t-dpys] +EpExt[t]

Es@tD = Msxp@tD Ep@t - t - dsxpD + Msyp@tD Ep@t - t - dsypD + Msxs[t] Es[t-t-dsxs] + Msys[t] Ep[t-t-dsys] + EsExt[t]

Eps[t-t-d] = Eps[t-t] - DEps d = Eps[t-t] - HEps@tD - Eps@t - tDL dÄÄÄÄt

Ep@tD = Mpxp@tD H Ep@t - tD - DEp dpxpL + Mpyp@tD HEp@t - tD - DEp dpypL + Mpxs[t] (Es[t-t]-DEs dpxs) + Mpys[t] (Es[t-t]-DEs dpys)+ EpExt[t]= ( Mpxp[t] + Mpyp[t] ) Ep[t-t] + ( Mpxs[t] + Mpys[t] ) Es[t-t] - Mpxp dpxpÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

t ( Ep[t]-Ep[t-t] ) - Mpyp

dpypÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄt

( Ep[t]-Ep[t-t] ) - Mpxs dpxsÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄt

( Es[t]-Es[t-t] ) - Mpys dpysÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄt

( Es[t]-Es[t-t] ) + EpExt[t]= - (Mpxp dpxpÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

t+ Mpyp dpypÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

t) Ep[t] -(Mpxs dpxsÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

t+ Mpys dpysÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

t) Es[t] + ( Mpxp + Mpyp + Mpxp dpxpÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

t+

Mpyp dpypÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄt

) Ep[t-t] + ( Mpxs + Mpys + Mpxs dpxsÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄt

+ Mpxs dpxsÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄt

) Es[t-t] + EpExt[t]= -mpp Ep[t] - mps Es[t] + Mpp Ep[t-t] + Mps Es[t-t] + EpExt[t]mpp = Mpxp dpxpÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

t+ Mpyp dpypÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

tmps = Mpxs dpxsÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

t+ Mpys dpysÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ

tMpp = Mpxp + Mpyp + mppMps = Mpxs + Mpys + mpsJ 1 + mpp mps

msp 1 + mss NJ EpEs N@tD= J Mpp Mps

Msp Mss N J EpEs N@t - tD + J EpExt

EsExt Nü Expression for iteration

ü E”÷÷ HtL = Min

’ ÷÷÷÷÷÷ HtL E”÷÷ Ht - tL + Mext’ ÷÷÷÷÷÷÷÷ HtL E”÷÷ ext

E”÷÷

= J EPES N , E”÷÷

ext =

ikjjjjjjjjjjjj

EinP0EinS0EinX0EinY0

y{zzzzzzzzzzzz

EextHtL = Eext0 ¥ Exp@ ‰ b t Dr(t) = r(0) Exp[‰ 2 k v t ]Eint(t+D) = Eint(t) Exp[ ‰ V D ]

E”÷÷ HtL = ‰k = 0

N-1Min’ ÷÷÷÷÷÷ Ht - k tL ÿ E”÷÷ Ht - N tL + ‚

j = 1

N-1 ‰k = 0

j-1Min’ ÷÷÷÷÷÷ Ht - k tL ÿ Mext

’ ÷÷÷÷÷÷÷÷ Ht - jtL ÿ E”÷÷ ext Ht - jL + Mext’ ÷÷÷÷÷÷÷÷ HtL ÿ E”÷÷ ext (t)

wxxx t = OH k v t L = OH 2 pÅÅÅÅÅÅÅÅÅl v LÅÅÅÅÅÅc L = OI 2 pÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ10-6 HmL 10-6 Hm ê sL 10 HmLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ3 108 HmêsL M = OH 10-7 L << 1

sumcavTalk.nb 5

ü Summation

E”÷÷ HtL = J EP HtLES HtL NE”÷÷ HtL = ‰

k = 0

N-1Min’ ÷÷÷÷÷÷ Ht - k tL ÿ E”÷÷ Ht - N tL + ‚

j = 1

N-1 ‰k = 0

j-1Min’ ÷÷÷÷÷÷ Ht - k tL ÿ Mext

’ ÷÷÷÷÷÷÷÷ Ht - jtL ÿ E”÷÷ ext Ht - jL + Mext’ ÷÷÷÷÷÷÷÷ HtL ÿ E”÷÷ ext (t)

ü Bacic

Min(t - nt) > Min0 - n t Min1

Min0 ~ J P P P SS P S S N

Min0 = U M0 U-1 = U J G1 00 G2 N U-1

ü InternalJ a bc d

N = Â JAPXYP wPXYP APXYS wPXYS

ASXYP wSXYP ASXYS wSXYSN t

‰k = 0

N-1

MinHt - k tL = UmatIn.H M0N - M0M1N@N - 1D L.InvUMatInü External

‚j = 1

N-1 ‰k = 0

j-1

Min’ ÷÷÷÷÷÷ Ht - k tL ÿ Mext

’ ÷÷÷÷÷÷÷÷ Ht - jtL = ‚j = 1

N-1

UmatIn . HM0 j - M0M1N@ j - 1D L.InvUmatIn . Mext’ ÷÷÷÷÷÷÷÷ Ht - jtL

‰k = 0

j-1

MinHt - k tL = UmatIn.H M0j - M0M1N@j - 1D L.InvUMatInMexp Ht - j tL = JAEP Exp@-Â wEP t jD

AES Exp@-Â wES t jDN = JAEP Exp@-Â wEP t jDAES Exp@-Â wES t jDN =

ikjjjjAEP EPTj

AES ESTjy{zzzz,

EPT = Exp@-Â wEP tDEST = Exp@-Â wES tD

sumcavTalk.nb 6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10−5

0

5

10

15CR on RM : Re

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10−5

−10

0

x 10−16 CR on RM : Im

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10−5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0CR on SR : Re

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10−5

−2

0

2

4

6x 10−17 CR on SR : Im

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10−5

−0.01

0

0.01

0.02SB on RM : Re

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x 10−5

−0.01

−0.005

0

0.005

0.01SB on SM : Re

n=10

static high finess

0 0.5 1 1.5 2 2.5x 10−6

0

2

4

6CR on RM : Re

0 0.5 1 1.5 2 2.5x 10−6

−8

−6

−4

−2

0x 10−16 CR on RM : Im

0 0.5 1 1.5 2 2.5x 10−6

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0CR on SR : Re

0 0.5 1 1.5 2 2.5x 10−6

−4

−2

0

2

4x 10−17 CR on SR : Im

0 0.5 1 1.5 2 2.5x 10−6

−0.05

0

0.05

0.1

0.15SB on RM : Re

0 0.5 1 1.5 2 2.5x 10−6

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04SB on SM : Re

n = 10static low finess

0 1 2 3x 10−6

0

2

4

6CR on RM : Re

0 1 2 3x 10−6

−8

−6

−4

−2

0x 10−16 CR on RM : Im

0 1 2 3x 10−6

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0CR on SR : Re

0 1 2 3x 10−6

−4

−2

0

2

4x 10−17 CR on SR : Im

0 1 2 3x 10−6

−0.05

0

0.05

0.1

0.15SB on RM : Re

0 1 2 3x 10−6

−0.04

−0.02

0

0.02

0.04SB on SM : Re

n = 40static low finess

0.005 0.01 0.0156

8

10

12

14CR on RM : Re

0.005 0.01 0.015−4

−2

0

2

4CR on RM : Im

0.005 0.01 0.015−8

−6

−4

−2

0CR on SR : Re

0.005 0.01 0.015−4

−2

0

2

4CR on SR : Im

0.005 0.01 0.0150.0106

0.0106

0.0106

0.0107SB on RM : Re

0.005 0.01 0.015−10

−8

−6

−4

−2x 10−5 SB on SM : Re

n=1000

ITMX = 1 µ/s

0.005 0.01 0.0156

8

10

12

14CR on RM : Re

0.005 0.01 0.015−4

−2

0

2

4CR on RM : Im

0.005 0.01 0.0150

2

4

6

8CR on SR : Re

0.005 0.01 0.015−4

−2

0

2

4CR on SR : Im

0.005 0.01 0.0150.0105

0.0106

0.0107

0.0108SB on RM : Re

0.005 0.01 0.015−1.5

−1

−0.5

0x 10−4 SB on SM : Re

n=1000

ITMY = 1 µ/s

0.005 0.01 0.0150

5

10

15CR on RM : Re

0.005 0.01 0.015−10

−5

0

5

10CR on RM : Im

0.005 0.01 0.015−4

−2

0

2

4x 10−3 CR on SR : Re

0.005 0.01 0.015−6

−4

−2

0

2x 10−3 CR on SR : Im

0.005 0.01 0.015

0.0106

0.0107

SB on RM : Re

0.005 0.01 0.015−1

−0.5

0

0.5

1x 10−3 SB on SM : Re

n=1000PRM = 1 μ/s

0.005 0.01 0.01512.344

12.344

12.3441

12.3441

12.3441CR on RM : Re

0.005 0.01 0.015−5

0

5

10

15x 10−6 CR on RM : Im

0.005 0.01 0.015−2

0

2x 10−4 CR on SR : Re

0.005 0.01 0.015−2

0

2

4x 10−4 CR on SR : Im

0.005 0.01 0.015

0.0106

0.0106

SB on RM : Re

0.005 0.01 0.015−1

−0.5

0

0.5

1x 10−3 SB on SM : Re

n=1000

SRM = 1 µ/s