Estimation d’erreur en discrétisation dans Catia F. Louf Dans cette fiche, on montre comment estimer une erreur via un estimateur de type ZZ basé sur le lissage des contraintes. La démarche est détaillée pas à pas sur un exemple unidimensionnel très simple et les résultats obtenus sont comparés à ceux de Catia et à l’erreur exacte.
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Estimation d’erreur en discrétisation dans Catia
F. Louf
Dans cette fiche, on montre comment estimer une erreur via un estimateur de type ZZ basé
sur le lissage des contraintes. La démarche est détaillée pas à pas sur un exemple
unidimensionnel très simple et les résultats obtenus sont comparés à ceux de Catia et à
l’erreur exacte.
1 Problème éléments finis
1.1 Equations du problème continu
F
0 L
p(x)
E, S
FIG. 1 – Structure unidimensionnelle étudiée dans ce document
On s’intéresse ici au problème très simple proposé sur la figure 1.
La liaison encastrement enx = 0 impose un déplacement nul :
u(x = 0) = 0
L’équation d’équilibre locale impliquant l’effort normalN est :
dN
dx+ p(x) = 0 ∀x ∈ [0, L] et N(L) = F
La relation de comportement élastique lie l’effort normalN à la déformationε :
N(x) = ESε(x)
1.1.1 Formulation globale du problème
L’équation d’équilibre écrite sous forme globale, dans laquelle la relation de comportement a
été intégrée, devient :
ES
∫ L
0
du
dx
du∗
dxdx = Fu∗(L) +
∫ L
0
p(x)u∗(x)dx ∀u∗ CA0
Le problème est donc de trouver un champu vérifiant cette équation d’équilibre et les condi-
tions aux limites :
u(x = 0) = 0
1.2 Calcul éléments finis
1.2.1 Discrétisation
On cherche ensuite le déplacement solution du problème précédent dans la base éléments finis,
c’est-à-dire sous la forme :
u(x) = [Φ(x)]{u}
où [Φ(x)] désigne le vecteur ligne des fonctions de base éléments finis(fonctions chapeau), et
où{u} est le vecteur colonne des inconnues nodales.
Si le maillage de la barre contientN noeuds, le problème contient doncN inconnues (problème
unidimensionnel ici). Par conséquent, il suffit de chercherces inconnues vérifiant l’équation
– Estimation d’erreur dans Catia – Eléments de théorie - F. Louf 2
1.3 Calcul sur un maillage à trois éléments linéaires
d’équilibre pourN champs testsu∗. En pratique, on choisit les fonctions de bases éléments
finis [Φ(x)].
L’équation d’équilibre devient alors, dans sa forme discrétisée,∀u∗ = [Φ(x)]{u∗} tel que
[Φ(0)]{u∗} = 0 :
{u∗}T
∫ L
0
ES[Φ′(x)]T [Φ′(x)]dx = {u∗}T F [Φ(L)]T + {u∗}T
∫ L
0
p(x)[Φ(x)]T dx
Si l’on omet temporairement la condition sur le champu∗, l’équation précédente conduit au
système linéaire suivant :
[K]{u} = {F} (1)
avec la matrice de raideur et le vecteur des efforts généralisés définis par :
[K] =
∫ L
0
ES[Φ′(x)]T [Φ′(x)]dx et {F} = F [Φ(L)]T +
∫ L
0
p(x)[Φ(x)]T dx
Le fait queu∗ soit CA0 impose la valeur du champu∗ à zéro en un ou plusieurs points parti-
culier correspondant à un degré de liberté particulier. De ce fait, les équations correspondant à
ces degrés de liberté ne doivent pas apparaître dans le système linéaire précédent. Ainsi le réel
problème à résoudre est :
[K̃]{u} = {F̃} (2)
avec en plus[Φ(0)]{u} = 0. Dans[K̃], les lignes et colonnes correspondant aux degrés de
liberté bloqués sont ôtés par rapport à la matrice[K].
1.3 Calcul sur un maillage à trois éléments linéaires
Afin de comparer les différents calculs menés ici aux résultats de Catia, on travaille avec un
modèle très simple à trois éléments linéaires identiques. Le chargement linéiquep(x) imposé
est par ailleurs linéaire et nulle enx = 0. Dans ce cas la matrice de raideur prend la forme
suivante :
[K̃] =3ES
L
2 −1 0
−1 2 −1
0 −1 1
Le vecteur des efforts généralisés contient deux termes :{F̃} = {F1} + {F2}. Le premier est
associé à l’effort ponctuel en bout :
{F1} =
0
0
F
Le second est associé à l’effort linéique linéaire en notantp(L) = p1 :
{F2} =
Lp1
9
2Lp1
9
4Lp1
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– Estimation d’erreur dans Catia – Eléments de théorie - F. Louf 3
1.3 Calcul sur un maillage à trois éléments linéaires
Les déplacements obtenus par résolution du système linéaire sont comparés à ceux issus de
Catia associés à un modèle volumique contenant trois éléments CUB8 (figure 2). Ils sont éga-
lement comparés aux déplacements exacts. La figure 3 montre la concordance des résultats et
permet de vérifier la propriété qui sera démontrée au paragraphe 1.3.1. On peut toutefois être
surpris du léger défaut de la solution éléments finis Catia.
Remarque. – Le choix d’éléments massif dans Catia a été guidé par le fait que l’estimateur
d’erreur ne fonctionne pas pour des éléments poutre. Les conditions aux limites ont été choi-
sies de façon à ce que le barreau ne travaille qu’en traction-compression.
Les efforts normaux sont ensuite calculés via la relation decomportement élastique. Ils sont
bien entendu constants par élément.
FIG. 2 – Maillage utilisé dans Catia
1.3.1 Propriété propre aux problèmes poutres
Remarque. – Cette démonstration m’a été soufflée de mémoire par J.P. Pelle, il y a quelques
années, sur le coin d’une table. Rendons à César ce qui lui appartient.
Notons :
f(u∗) = Fu∗(L) +
∫ L
0
p(x)u∗(x)dx
la fonction des données en effort.
On cherche une solution approchée par éléments finisuh(x) deuex(x), associée en fait àN
inconnues nodales, qui vérifie le problème écrit sous forme globale pourN u∗
h(x) différents :
ES
∫ L
0
duh
dx
du∗
h
dxdx = f(u∗
h)
– Estimation d’erreur dans Catia – Eléments de théorie - F. Louf 4
1.3 Calcul sur un maillage à trois éléments linéaires
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.00005
0.0001
0.00015
0.0002
Déplacements
Exact
EF Catia
EF Perso
FIG. 3 – Déplacements axiaux calculés ici, dans Catia, et exacts
La solution exacteuex vérifie quant à elle :
ES
∫ L
0
duex
dx
du∗
h
dxdx = f(u∗
h)
On a donc par différence, pour chacun desN u∗
h retenus :
ES
∫ L
0
d
dx(uex − uh)
du∗
h
dxdx = 0 (3)
Cas d’un élément intérieur Prenons pour le moment les fonctions chapeaux éléments finis
pour chaqueu∗
h. La fonction associée au noeudi est représentée figure 5(a). Ces fonctions
étant à support compact, l’intégrale sur toute la barre définie dans l’équation (3) se résume à
une intégrale sur deux éléments entourant le noeudi :
ES
∫ xi+1
xi−1
d
dx(uex − uh)
du∗
h
dxdx = 0
En intégrant cette dernière relation par partie, on obtient:∫ xi
xi−1
(uex − uh)d2u∗
h
dx2dx −
[(uex − uh)
du∗
h
dx
]xi
xi−1
+
∫ xi+1
xi
(uex − uh)d2u∗
h
dx2dx −
[(uex − uh)
du∗
h
dx
]xi+1
xi
= 0
Les fonctions chapeau retenues pour lesN u∗
h étant linéaires par morceaux, la dérivée seconde
deu∗
h est nulle partout. Ainsi :[(uex − uh)
du∗
h
dx
]xi+1
xi
+
[(uex − uh)
du∗
h
dx
]xi
xi−1
= 0
En déroulant les calculs, et en remarquant que :
du∗
h
dx=
1
xi − xi−1
sur[xi−1 xi] etdu∗
h
dx= −
1
xi+1 − xi
sur[xi xi+1]
– Estimation d’erreur dans Catia – Eléments de théorie - F. Louf 5
1.3 Calcul sur un maillage à trois éléments linéaires
0.2 0.4 0.6 0.8 1
100
150
200
250
300
Efforts normaux
Exact
EF Catia
EF Perso
FIG. 4 – Efforts normaux éléments finis (calculés ici et dans Catia)
xi−1 xi xi+1
1
(a) Fonction chapeau associée à un noeud intérieur
x1 x2
1
(b) Fonction chapeau associée à un
noeud bord
FIG. 5 – Fonctions chapeau intérieures et bord
on obtient :
(uex − uh)(xi)1
xi − xi−1
− (uex − uh)(xi−1)1
xi − xi−1
+(uex − uh)(xi+1)1
xi+1 − xi
− (uex − uh)(xi)1
xi+1 − xi
= 0
En posant∆u(x) = (uex − uh)(x) l’écart entre la solution éléments finis et la solution exacte
et en simplifiant un peu l’expression, on trouve finalement :