FICHA DE IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA … · 2018-04-30 · do cosseno em um triângulo que possui ângulos internos quaisquer e, para isso, vamos trabalhar com

FICHA DE IDENTIFICAÇÃO PRODUÇÃO DIDÁTICO-PEDAGÓGICA PDE 2016

Título: Trigonometria: Uma proposta de intervenção pedagógica no 2º ano do Ensino médio do Col. Est. de Dois Vizinhos - EFMP

Autora Eliandro Filipiak

Disciplina/Área Matemática

Escola de Implementação do Projeto e sua localização

Colégio Estadual de Dois Vizinhos – EFMP, localizado à Avenida Didi Barichello Montagner

Município da escola Dois Vizinhos

Núcleo Regional de Educação Dois Vizinhos

Professor Orientador Jean Sebastian Toillier

Instituição de Ensino Superior UNIOESTE

Resumo

A presente unidade didática intitulada: “Trigonometria: Uma proposta de intervenção pedagógica no 2º ano do Ensino Médio do Colégio Estadual de Dois Vizinhos – EFMP” tem o objetivo de apresentar uma proposta pedagógica de ensino da Trigonometria utilizando como instrumento pedagógico a história da matemática como metodologia, a fim de proporcionar ao educando uma visão de como conceitos utilizados neste conteúdo foram construídos ao longo do tempo pelos diversos povos e culturas e como estes conhecimentos foram utilizados para resolver problemas de suas épocas. Além, de estudar a história, vamos poder compreender como estes conhecimentos estão sendo utilizado em algumas tecnologias nos dias atuais. Esta proposta traz ainda a possibilidade de construção e manipulação de objetos pedagógicos, bem como a utilização de novas tecnologias através do uso do software GeoGebra na construção de gráficos para visualizar os objetos de estudo. Com este trabalho, nossa intenção é proporcionar uma aprendizagem significativa no ensino da trigonometria para os alunos do Ensino Médio.

Palavras-chave Trigonometria; História da Matemática; História da Trigonometria.

Formato do Material Didático Unidade Didática

Público Alunos do 2º ano do Ensino Médio

Apresentação

São vários os desafios enfrentados pelos professores no ensino dos

diversos conteúdos que estão atrelados à matemática escolar. Podemos citar

como exemplos mais claros vividos na experiência da docência o desinteresse

por parte dos educandos, principalmente no Ensino Médio. Por outro lado,

também fruto da vivência em sala de aula, é notável que muitos professores se

assentem em uma didática de sala de aula que privilegia o giz e quadro-negro

aliado ao comodismo do processo mecânico de resolução de problemas

apresentados em nossos livros didáticos. A junção destes dois fatores pode ser

uma das possíveis explicações para que a Matemática ainda sofra com o

estigma de ser uma matéria chata para muitos, incompreensível para alguns e

relevante para poucos.

Para tentarmos mudar este paradigma, visamos mostrar com este

trabalho uma prática pedagógica que leve à construção histórica de conceitos

utilizados pela Matemática no ramo da Trigonometria e também a

experimentação como proposta metodológica para a sala de aula. Embora em

nenhum momento deixe de mostrar o quão importante é a parte teórica e a

prática de resolução de problemas, procuramos dar lugar também à

experimentação com a construção de teodolitos demonstrando assim a

aplicação no mundo de hoje dos assuntos teóricos apresentados pelo

professor. Também temos a intenção de mostrar a possibilidade de incluir as

novas tecnologias (TIC’s) através da utilização do software GeoGebra na

construção de gráficos nas funções trigonométricas.

Ao delimitar o projeto de intervenção pedagógica à trigonometria

aplicada aos alunos do 2º ano do ensino médio do Colégio Estadual de Dois

Vizinhos – Ensino Fundamental, Médio e Profissional, esta possibilidade

pedagógica permite ao professor a abordagem histórica do conteúdo, dá a

oportunidade de construção de materiais para estudo, assim como permite

mostrar aos educandos onde este conhecimento está sendo aplicado no

mundo de hoje.

Introdução

A presente unidade didática divide-se em seis partes e em cada uma das

partes apresentamos um assunto da trigonometria procurando abordá-los com

um pouco da história de sua evolução histórica, algumas atividades lúdicas a

serem desenvolvidas dentro e fora da sala de aula e exercícios de fixação.

Na primeira parte (quatro aulas), acompanhamos o desenvolvimento da

trigonometria como estudo das figuras semelhantes, neste caso particular,

introduzimos o estudo com a história de como Tales de Mileto mediu a altura de

uma pirâmide no Egito utilizando razão e proporção entre dois triângulos

semelhantes.

Estudaremos em seguida, na segunda parte (duas aulas), os ângulos e

os fragmentos históricos do surgimento do conceito de ângulo e quais as

unidades de medida que constam hoje no Sistema Internacional de Medidas.

Para introduzir o assunto, vamos conhecer como Eratóstenes (276 – 194 a. C.)

conseguiu medir o diâmetro da Terra utilizando seus conhecimentos sobre

ângulos e razão e proporção.

Conhecida a relação entre lados nas figuras semelhantes e o conceito

de ângulos e suas unidades de medidas, na terceira parte (dez aulas) vamos

conhecer um pouco da história do surgimento de conceito das razões

trigonométricas seno, cosseno e tangente. Iniciaremos com a história de como

Aristarco de Samos (310 – 230 a. C.) e de como estimou a distância entre a

Terra e o Sol utilizando conceitos de ângulos e lados de um triângulo retângulo.

A partir daí vamos conhecer as razões trigonométricas citadas acima e como

elas são utilizadas para medir distâncias e alturas inacessíveis utilizando o

triângulo retângulo para isso. Além disso, vamos conhecer e construir um

modelo de Teodolito, instrumento moderno que utiliza as razões

trigonométricas com mais precisão para estas medidas.

Da aplicação das razões trigonométricas no triângulo retângulo vamos

iniciar a parte quatro (quatro aulas), na qual conheceremos o estudo do seno e

do cosseno em um triângulo que possui ângulos internos quaisquer e, para

isso, vamos trabalhar com a lei dos senos e dos cossenos. Começaremos

lendo um texto extraído da revista Superinteressante de como os astrônomos

medem distâncias astronômicas atualmente.

Na parte cinco (oito aulas) estudaremos ângulos superiores à 360º e

também ângulos negativos e seus respectivos senos, cossenos e tangentes.

Para visualizar e compreender melhor, vamos construir o Ciclo Trigonométrico

com a ajuda do software GeoGebra.

Abordaremos as funções trigonométricas na parte seis (quatro aulas).

Para isso, vamos construir o gráfico das funções seno, cosseno e tangente e

observar diferentes funções para ver seu comportamento no plano cartesiano.

Com esta atividade, espera-se que os alunos possam visualizar o domínio, a

imagem e o período de cada função dos exercícios apresentados.

1º Parte: Semelhança de Triângulos

A Trigonometria é o estudo das relações entre os lados e ângulos do

triângulo, isso é fato. O que não podemos precisar é a sua origem exata.

Muitos estudiosos garantem que seu estudo teve origem na necessidade de

descrever o movimento dos corpos celestes no espaço.

Sua aplicação é verificada no estudo das figuras semelhantes.

Um exemplo claro desta afirmação está em uma descrição encontrada

na história sobre Tales de Mileto (624-558 a.C.). Segundo Bongiovanni (2007),

citando historiadores, nos revela que Tales teria medido a altura de uma

pirâmide colocando uma estaca no chão e medindo as suas sombras,

utilizando para isso, a razão e proporção como ferramenta matemática.

Figura 1: pirâmide de Queops

Antes de ver como calculou a altura da pirâmide, vamos conhecer

quem foi Tales de Mileto pelo vídeo:

https://goo.gl/JXbHoR

Fonte: https://goo.gl/eW8r1K

É ainda atribuída a Tales de Mileto as descobertas da igualdade dos

ângulos da base do triângulo isósceles e a demonstração do teorema, no qual,

se dois triângulos têm dois ângulos e um lado respectivamente iguais, então

são iguais.

Com este conhecimento, Tales poderia medir alturas inacessíveis,

através da semelhança de triângulos, utilizando o seguinte procedimento para

medir a altura da pirâmide (Figura 2):

Figura 2: esquema provável elaborado por Tales de Mileto

Fonte: https://goo.gl/CB42Fs

Tales imaginou os triângulos VHB e ABC, que são semelhantes, por

terem dois ângulos respectivamente congruentes. Como Tales sabia que os

lados desses triângulos eram proporcionais, pode determinar altura VH da

pirâmide através da proporção VH está para AB, assim como HS está para BC

(Figura 3).

Figura 3: simplificação do modelo

Fonte: Autor

Desta forma, podemos montar o seguinte esquema: BC

HS

AB

VH . Com

este cálculo Tales chegou a medida muito próximo daquela medida que

sabemos que realmente ela tem: 139 metros.

Material necessário: 04 réguas de 1 metro 04 trenas Caderno e caneta para fazer as anotações e cálculos necessários. Procedimento: Dividir a turma em quatro equipes e deixar que eles selecionem os que vão colocar a vareta, medir as sombras e fazer as anotações para que posteriormente se façam os cálculos.

Agora é nossa vez!

01) Agora vamos utilizar a mesma ideia utilizada por Tales de Mileto para medir:

a) Uma árvore.

b) Um poste de energia.

Observação: nesta atividade faça um desenho em seu caderno apontando as

dimensões observadas durante o experimento mantendo a proporção. Em

seguida, realize os cálculos para encontrar os resultados.

02) Um prédio tem sombra, pela luz solar, projetada no solo horizontal com 70

m. Simultaneamente um poste de 8m de altura localizado nas proximidades

deste prédio tem sombra do mesmo tipo com 14 m. Calcule a altura do prédio.

Fonte: https://goo.gl/PJ28qZ

A) 10 m B) 20 m C) 35 m D) 40 m E) 80 m

03) (ENEM 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de

sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4

m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos

segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos

perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os

segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados. Qual

deve ser o valor do comprimento da haste EF?

Em sala de aula: exercícios complementares

Fonte: https://goo.gl/BrDZyV

a) 1m b) 2m c) 2,4m d) 3m e) 62 m

04) (ENEM – 2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada

uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe

que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metros. A distância

em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto

da rampa é:

a) 1,16 metros. b) 3,0 metros. c) 5,4 metros. d) 5,6 metros. e) 7,04 metros.

05) (UNESP – 2011) Uma bola de tênis é sacada de uma altura de 21 dm, com

alta velocidade inicial e passa rente à rede, a uma altura de 9 dm.

Desprezando-se os efeitos do atrito da bola com o ar e do seu movimento

parabólico, considere a trajetória descrita pela bola como sendo retilínea e

contida num plano ortogonal à rede. Se a bola foi sacada a uma distância de

120 dm da rede, a que distância da mesma, em metros, ela atingirá o outro

lado da quadra?

Orientações para o(a) professor(a)

No vídeo sobre Tales de Mileto é interessante exibir para o aluno

até o tempo 8’12”.

Para trabalhar com a semelhança de triângulos, torna-se

necessário uma breve revisão sobre o teorema de Tales. Pensando nisso,

torna-se necessária a realização de algumas atividades sobre o tema, que

podem ser acessadas em: https://goo.gl/weU4ng

Para encontrar as respostas das atividades da parte 1 você pode

acessar:

Questão 2: https://goo.gl/PJ28qZ

Questão 3: https://goo.gl/FzvBbj

Questão 4: https://goo.gl/gKjkhT

Questão 5: https://goo.gl/VkooWk

Parte 2: ÂNGULOS

Nesta parte vamos conhecer um pouco sobre a história do surgimento

do conceito de ângulo e suas respectivas unidades de medidas aceitas no

sistema internacional de medidas atualmente.

Para começar, vamos ver um texto extraído do site: https://goo.gl/bjYJ69

intitulado “Medindo a Circunferência da Terra” que conta como Eratóstenes

mediu a circunferência da Terra a mais de 2.200 anos.

O método de Eratóstenes está ilustrado na figura abaixo. No dia de

solstício de verão (o dia mais longo do ano), na cidade de Siene (atual Aswan),

ao meio dia, os raios solares eram extremamente verticais, o que ele verificou

pela ausência de sombra de uma estaca cravada verticalmente no solo.

Figura 4: Modelo de Erastóstenes

Fonte: https://goo.gl/W13jSg

Vejamos o vídeo sobre esta descoberta incrível: https://goo.gl/ymTx8z

Ao mesmo tempo, em Alexandria, a norte de Siene sobre o mesmo

meridiano, os raios solares faziam um ângulo θ = 7,2o com a vertical. Esse

ângulo foi medido utilizando um fio de prumo.

Para saber a distancia s entre Siene e Alexandria, Eratóstenes mandou

seu aprendiz percorrer o trajeto entre as cidades utilizando uma roda com

circunferência conhecida, de modo que ao final do percurso bastava apenas

multiplicar a quantidade de voltas realizadas pelo comprimento da

circunferência. O valor para s encontrado por Eratóstenes foi de 5.000 “stadia”

(medida grega de comprimento na época). Tendo todos esses valores, o

matemático grego utilizou uma regra de três muito simples, dada por:

Substituindo o valor obtido para θ, Eratóstenes chegou a seguinte

expressão: 502 RC

Assim, foi possível calcular o raio da Terra, e consequentemente o

comprimento da circunferência da Terra, chegando ao valor de: C = 250.000

“stadia”, o que corresponde a C = 39.250 km.

Hoje, este valor está medido muito precisamente, correspondendo a C =

40.023 km, ou seja, a medida feita pelo matemático Grego apresentou um erro

menor que 2% em relação ao conhecido atualmente. Assim, é possível notar a

exatidão das medidas realizadas por Eratóstenes, em uma época em que ainda

não havia sido desenvolvido o cálculo e muito menos aparelhos capazes de

realizar medidas de longas escalas de comprimento.

Fonte: https://goo.gl/q0P6GS

Na Trigonometria, estudamos as relações existentes entre lados e

ângulos de um triângulo. Na definição atual temos que ângulo é a região do

plano limitada por duas semirretas de mesma origem. As semirretas recebem o

nome de lados do ângulo e a origem delas, de vértice do ângulo.

Figura 5: Ângulo

Fonte: https://goo.gl/8FXBhA

Temos na história uma primeira definição de ângulo escrita por Euclides

(aproximadamente 300 a.C.) que muito se parece com a definição que usamos

hoje. Mas na verdade:

Não sabemos exatamente onde o conceito de ângulo emergiu pela primeira vez. Segundo Kline (1953), pode ter surgido quando o homem observou a figura formada pelo braço, o antebraço e o cotovelo ou então pela perna, coxa e joelho. Apoiando-se nesta visão, ele cita o uso das palavras “braço” de um ângulo, em inglês, e “perna” de um ângulo, em alemão (COSTA, 1997, p.27).

As unidades de medida utilizadas para mensurar um ângulo presentes

no Sistema Internacional de Medidas (SI), são o grau e o radiano.

Grau (°)

Segundo Oliveira (2010), acredita-se que os babilônicos dividiram o

círculo em 360 partes e utilizavam essa divisão por ser a quantidade de dias

durante um ano e/ou pelo fato de que há grande quantidade de divisores para

360 e porque seu sistema de numeração era de base sessenta ou

sexagesimal.

O grau (símbolo °) é uma medida dos ângulos planos correspondendo a

1/360 de uma circunferência. Cada grau pode ser dividido em minutos, que

equivalem a 1/60 do grau e segundos, equivalente a 1/60 do minuto.

Radiano (rad)

O radiano (símbolo: rad) é a razão entre o comprimento de um arco e o

seu raio. Ele é a unidade padrão de medida angular utilizada em muitas áreas

da matemática. Assim,

O Radiano, em sua origem, contrasta com o grau. Ele surgiu de um trabalho do físico Thomson em 1873. Ele e o matemático Thomas Muir acharam necessário uma nova unidade angular, e escolheram o nome radian, que é uma combinação de radial angle. O radiano foi adotado na busca da simplificação de certas fórmulas matemáticas, como as derivadas e integrais trigonométricas, e físicas, como as expressões para velocidade e aceleração em movimentos curvilíneos (COSTA, 1997, p. 30).

Desta forma, um arco de circunferência cujo comprimento é igual ao raio

r corresponde a um ângulo de 1 radiano.(Figura 6):

Figura 6: Representação do radiano

Fonte: Autor

O comprimento deste arco é colocado pode ser inserido três vezes em uma

semicircunferência e ainda “sobra” um pequeno espaço. Este espaço equivale

a um comprimento de 0,141592..., ou seja, o comprimento de 3,141592... que

conhecemos como sendo o valor de π (pi). Daí a meia volta na circunferência

ser de πrad (pi radianos), conforme a Figura 7:

Figura 7: π radianos

Fonte: Autor

Da mesma forma ocorre no outro semicirculo, assim podemos afirmar

que uma volta completa na circunferência equivale a 2π radianos.

Para realizar a conversão entre radianos e graus, utilizamos a regra de

três simples:

x

radianosgraus

º30

º180

O mesmo raciocínio é utilizado para tansformar graus em radianos.

1 – Como auxílio de um transferidor, marque na circunferência os ângulos 0°,

30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°,

330° e 360°. A partir do ponto B no sentido anti – horário.

Agora é sua vez!

2 – Agora vamos marcar os ângulos 30º, 90º, 135º, 180º, 210º, 270º, 330º, mas

com as medidas em radianos. Para isso, vamos converter os ângulos do

enunciado acima.

3 – Represente na circunferência os seguintes ângulos trigonométricos:

a) 405°

b) -240°

c) 3

13

d) 3

7

Orientações para o(a) professor(a)

Para obter o material quadriculado da atividade 1, o professor pode pedir

ao aluno para trazer uma folha quadriculada ou então construir no GeoGebra.

Para esta construção, seguem os passos:

1º Abra o Geogebra.

2º Clique com o botão direito e selecione “eixos”, eles desaparecerão.

3º Clique em . Marque um ponto na janela de visualização e

coloque raio igual a 4 na caixa que pede.

4º Clique o botão direito e selecione “malha”.

5º Clique em e marque um ponto sobre a circunferência próximo

aquilo que entendemos como ser o ângulo 0°.

6º Clique em “editar” e depois “copiar para área de transferência” e salve

em um documento do “Word”.

Parte 3: Seno, Cosseno e Tangente no Triângulo Retângulo

A relação estabelecida entre o estudo de lados e ângulos em um

triângulo sistematizada é vista na Grécia nos estudos daquele que é conhecido

hoje como o pai da trigonometria: Hiparco de Rodes (190 – 120 a. C.).

Segundo BERLINGHOFF e GOUVÊA (2010), Hiparco, juntamente com outros

astrônomos gregos, procuraram descrever os movimentos dos astros no céu. A

grande dificuldade da época era justamente trabalhar com os ângulos, devido à

dificuldade de medi-los com precisão. Neste caminho, Hiparco tentava

relacionar estes ângulos com algum segmento de reta, conforme a Figura 8:

Figura 8: Representação do cálculo feito por Hiparco

Fonte: autor

Podemos dizer que esta relação nasceu do estudo da relação

estabelecida entre o ângulo e o tamanho das cordas inscritas numa

circunferência. Deste modelo nasceram as primeiras tábuas trigonométricas

Conforme Berlinghoff e Gouvêa (2010), no século V d. C. os

matemáticos da Índia evoluíram para aquilo que foi descrito como sendo a

tabela das “meias cordas”. Este estudo é o que mais se aproxima do que

entendemos hoje como uma tabela de senos. Ao invés de utilizar a corda

inteira, usava-se apenas a metade da corda numa clara referência ao estudo

do seno que encontramos hoje, conforme Figura 9:

Figura 9: modelo de estudo dos matemáticos da Índia

Fonte: autor

Nesta época ainda não haviam nomes específicos para as relações dos

lados e ângulos no triângulo. A história nos diz que foi somente:

No século XII, quando se iniciaram as traduções do árbe para o latim foi encontrada a palavra jiva copiada do sanscrito como jiba. Os árabes tinham por hábito escrever apenas as consoantes de uma palavra , deixando para o leitor acrescentar as vogais e por isso o matemático inglês Robert de Chester encontrou a palavra jb e acrescentou as vogais obteve jaib que significa baía ou enseada e a traduziu para o latim como sinus (em português seno). De toda a forma, seno é um erro de tradução do árabe para o latim, da palavra jiva em sanscrito (COSTA, 1997, p.31).

Já o cosseno era tratado como complemento da corda e não era

importante, por exemplo, para os gregos. Conforme COSTA (1997), ele só

assumiu importância quando o estudo foi realizado no triângulo retângulo

quando da necessidade de se trabalhar com o complemento do seno do

ângulo. Em 510 d.C., Aryabhata o chamou de Kotijya.

A ideia de tangente vem dos estudos árabes como uma função

“sombra” devido à razão entre a altura e tamanho da sombra projetada pelo

Gnômon (relógio de sol), conforme Figura 10 (BERLINGHOFF; GOUVÊA,

2010).

Figura 10: Gnômon

Fonte: https://goo.gl/f1soUi

Sobre o estudo da trigonometria no triângulo retângulo, temos um

exemplo de sua aplicação ainda de três séculos antes da era cristã com o

astrônomo grego chamado Aristarco de Samos, que primeiro se aventurou no

cálculo da distância entre Terra-Sol e Terra-Lua.

No site: https://goo.gl/f3U0fk encontramos uma descrição do modelo

utilizado por Aristarco para medir estas distâncias astronômicas. Vejamos:

“O grego Aristarco de Samos (310-230 a.C.), considerado por muitos o

primeiro grande astrônomo da história, fez uso das ideias da Trigonometria ao

estabelecer um método geométrico para investigar a razão entre as distâncias

Terra-Sol e Terra-Lua.

Seus cálculos partiram da observação de que, quando a lua está no

quarto crescente – ocasião em que exatamente a metade dela aparece

iluminada pelo Sol -, o triângulo TSL (sendo T um observador da Terra, S o

Vejamos no vídeo abaixo o experimento realizado por Aristarco:

https://goo.gl/gToaob

centro do Sol e L o centro da Lua) é retângulo em L, como mostra o esquema

abaixo:

Figura 11: Modelo de Aristarco

Fonte: https://goo.gl/f3U0fk

Para os cálculos, vamos considerar T (Terra), S (Sol) e L (Lua).

Aplicando os conhecimentos da época, Aristarco observou que o ângulo

entre as linhas de vista da Terra ao Sol e da Terra à Lua era de 30

29 de um

ângulo reto (ou seja, 87º). Na linguagem atual, isso significa que a razão entre

as distâncias Terra-Lua e Terra-Sol é sen 3º. Como ainda não haviam sido

desenvolvidas tabelas trigonométricas, Aristarco recorreu a outros recursos

para concluir que esta razão

TS

TL estava entre

20

1e

18

1, e daí concluiu que a

razão entre as distâncias Terra-Sol e Terra-Lua estaria entre 18 e 20.

Hoje, sabemos que esse valor é pouco menor que 400 o que significa

que a distância Terra-Sol é cerca de 400 vezes a distância Terra-Lua. A grande

diferença entre esse valor e o encontrado por Aristarco está relacionado entre o

ângulo TL e TS, cuja medida correta é de aproximadamente 89º 50´. Mesmo

assim, o raciocínio de Aristarco foi perfeito.”

As Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo

Para iniciarmos o nosso estudo daquilo que entendemos hoje como

sendo razões trigonométrica, vamos fazer um pequeno exercício com auxílio

do software GeoGebra, para verificarmos uma curiosidade interessante.

Nesta atividade, vamos construir dois triângulos retângulos de tamanhos

diferentes, mas ângulos internos iguais, ou seja, triângulos semelhantes.

Utilizaremos a ferramenta para medir

todos os lados do triângulo, conforme o exemplo na Figura 12:

Figura 12: Modelo de dois triângulos retângulos

Fonte: Autor

Agora vamos ver algo interessante: ao fazermos a razão entre lados em

triângulos retângulos distintos a partir do ângulo (α) e (β) observaremos valores

iguais. Vejamos os cálculos:

57,0CD

DG

AB

BF, assim como 5,0

GC

DG

FA

BF e também 86,0

GC

CD

FA

AB

Agora é com vocês, construam triângulos retângulos com comprimentos

diferentes deste exemplo e verifiquem as respostas, utilizando triângulos

retângulos semelhantes. Para isso utilizem outros valores para os ângulos, mas

lembrem-se: os ângulos (α) e (β) precisam ser iguais.

O que vamos observar é que as razões serão exatamente iguais e são

estes valores que fundamentam todo o estudo da trigonometria para o nosso

estudo.

A partir deste entendimento, vamos acompanhar agora que o seno, o

cosseno e a tangente são nomes atribuídos às razões entre lados do triângulo

retângulo a partir dos ângulos observados. Vejamos:

SENO

A razão entre o lado oposto ao ângulo observado e a hipotenusa do

triângulo retângulo:

Figura 13: Triângulo Retângulo

Fonte: Autor

Vamos entender como seno dos ângulos (α) e (β) a razão:

hipotenusa

ânguloaoopostocateto

ACsegmento

ABsegmentosen

hipotenusa

ânguloaoopostocateto

ACsegmento

BCsegmentosen

___)(

___)(

COSSENO

A razão entre o lado adjacente ao ângulo observado e a hipotenusa do

triângulo retângulo:

Figura 14: Triângulo Retângulo

Fonte: Autor

Vamos entender como cosseno dos ângulos (α) e (β) a razão:

hipotenusa

ânguloaoadjacentecateto

ACsegmento

BCsegmento

hipotenusa

ânguloaoadjacentecateto

ACsegmento

ABsegmento

___)cos(

___)cos(

TANGENTE

A razão entre o lado oposto ao ângulo observado e o cateto adjacente do

triângulo retângulo:

Figura 15: Triângulo Retângulo

Fonte: Autor

Vamos entender a tangente dos ângulos (α) e (β) a razão:

ânguloaoadjacentecateto

ânguloaoopostocateto

BCsegmento

ABsegmentotg

ânguloaoadjacentecateto

ânguloaoopostocateto

ABsegmento

BCsegmentotg

___

___)(

___

___)(

Podemos observar que não importa o tamanho do triângulo, quando

medimos os lados e fizemos estas razões, sempre encontramos valores fixos

para os ângulos observados e isso vale para todos os ângulos de 0º a 90º.

Mais tarde estudaremos os ângulos superiores a este.

As medidas dos ângulos eram uma tarefa difícil naqueles tempos

antigos, justamente por sua falta de precisão e confiabilidade. Hoje em dia,

temos ferramentas utilizadas por astrônomos e profissionais que se utilizam

das razões trigonométricas que apresentam grande confiabilidade, por

exemplo, o teodolito.

Primeiramente vamos conhecer o teodolito através do vídeo:

https://goo.gl/fGSw7f

Vamos conhecer um instrumento de medição trigonométrico:

TEODOLITO

No site: https://goo.gl/QNZT95, encontramos uma matéria intitulada “O

que é um Teodolito” que nos relata o que o Teodolito e qual sua importância na

engenharia. Vamos ler:

“Este instrumento é utilizado por engenheiros e agrimensores, com ele

podemos medir distâncias através do uso de conceitos da trigonometria com a

medida de ângulos e lados de triângulos. Mas o que é um Teodolito, como e

onde ele é utilizado?

Bem, frequentemente vemos plantas de terrenos sem que nos ocorra

pensar em como elas teriam sido elaboradas. Alguns terrenos são irregulares,

outros, mais complicados, são atravessados por córregos e, então, podemos

nos perguntar: “Como um engenheiro pôde chegar à sua representação?”.

Figura 16: Teodolito

Fonte: https://goo.gl/FbyQNk

Topografia é a área da engenharia que trata de questões como essa:

medições que determinam a forma e a posição de elementos de um terreno.

Para isso, utiliza-se um teodolito. Esse instrumento, além de medir distâncias,

permite a determinação de “ângulos de visada” a partir de dois pontos

marcados no local em que ele se encontra, cuja distância possa ser medida.

Obtém-se assim um triângulo do qual se conhecem dois ângulos e o lado que

contém seus vértices. As relações trigonométricas que envolvem as medidas

dos lados e dos ângulos de um triângulo qualquer permitirão ao topógrafo

determinar as medidas dos elementos restantes do triângulo, tais como:

medida de qualquer um dos lados e também a área deste triângulo.”.

Fonte: https://goo.gl/BwKeAi

Agora é a nossa vez!

1 - Nesta atividade, vamos construir um modelo de Teodolito:

Materiais necessários:

4 transferidores de madeira ou plástico (tipo usado pelo professor);

4 compassos de madeira (tipo usado pelo professor);

4 canetas laser;

4 colas.

Construção do teodolito:

1 – Colar uma das hastes do compasso à base do transferidor deixando a outra

livre para medir os ângulos

2 – Na extremidade livre prender a caneta laser

1 – Vamos utilizar agora o teodolito para medir algumas alturas e

comprimentos:

Trigonometria na Prática!

Sugestões para este trabalho:

a) medir a altura de uma árvore;

b) a largura da rua;

c) a altura de um poste.

1 - (UFPI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com

o solo um ângulo de 30° (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja

plana). Depois de percorrer 1.000 metros, a altura atingida pelo avião, em

metros, é:

Descrição do trabalho com o “teodolito”

Materiais necessários:

4 teodolitos

4 trenas

Cadernos e lápis para anotações

Descrição das atividades:

Montar 4 equipes com 6 integrantes e distribuir a eles as quatro trenas e

os teodolitos. Cada equipe deverá se distribuir em funções tais como:

manuseador do teodolito, quem fará a medição com a trena e apontadores que

farão anotações no caderno com o modelo a ser desenhado do problema

proposto pelo professor para que todos do grupo resolvam o problema

posteriormente.

Em sala de aula: exercícios complementares

2 - (CEFET-MG - adaptado) Uma escada que mede 6m está apoiada em uma

parede. Sabendo-se que ela forma com o solo um ângulo α e que

cos α = √5

3

Calcule a distância de seu ponto de apoio no solo até a parede, em metros.

3 - Quando o Sol se encontra a 45º acima do horizonte, uma árvore projeta sua

sombra no chão com o comprimento de 15 m. Determine a altura dessa árvore:

4 - (Unicamp-SP) Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um

edifício conforme o esquema abaixo. Para sabermos a altura do prédio,

devemos somar 1,65m a:

a) b cos b) a cos c) a sen d) b tg e) b sen

5 - (U.F. Juiz de Fora – MG) Ao aproximar-se de uma ilha, o capitão de um

navio avistou uma montanha e decidiu medir a sua altura. Ele mediu um ângulo

de 30° na direção do seu cume. Depois de navegar mais 2 km em direção à

montanha, repetiu o procedimento, medindo um novo ângulo de 45°. Então,

usando √3 = 1,73, qual o valor que mais se aproxima da altura dessa

montanha, em quilômetros?

Orientações para o(a) professor(a)

Embora apresente fragmentos sobre a história da Trigonometria e a

origem dos conceitos através dos tempos, é sugerida a leitura do trabalho

completo de Nielce Meneguelo Lobo da Costa, disponível em:

https://goo.gl/DbjIVU

Também a título de informação e conhecimento é recomendável a leitura

da parte histórica da dissertação de Luiz Roberto de Moura Lindegger,

disponível em: https://goo.gl/OCtm97

Outro material que pode auxiliar o(a) professor(a) a compreender as

distâncias astronômicas e como elas foram calculadas podem ser encontradas

em: https://goo.gl/f6bXrG

Para esta parte do estudo, torna-se necessário que o aluno faça uma

revisão das razões trigonométricas fundamentais: seno, cosseno e tangente no

triângulo retângulo. O professor deve deduzir os ângulos notáveis: 30°, 45° e

60° com os alunos. Material disponível em: https://goo.gl/8I9Z9H

Parte 4: A Trigonometria no triângulo qualquer

Os estudos trigonométricos no triângulo retângulo têm por finalidade

relacionar os ângulos do triângulo com as medidas dos lados, por meio das

seguintes relações: seno, cosseno e tangente. Essas relações utilizam o cateto

oposto, o cateto adjacente e a hipotenusa.

Essas relações somente são válidas se aplicadas no triângulo retângulo,

aquele que possui um ângulo reto (90º) e outros dois ângulos agudos. Nos

casos envolvendo triângulos quaisquer utilizamos a lei dos senos ou a lei dos

cossenos no intuito de calcular medidas e ângulos desconhecidos. Vejamos

nas figuras abaixo estas relações:

LEI DOS SENOS:

Figura 17: triângulo qualquer

Fonte: autor

senC

c

senB

b

senA

a

LEI DOS COSSENOS:

Figura 18: triângulo qualquer

Fonte: Autor

cos2

cos2

cos2

222

222

222

babac

cacab

cbcba

Mas como estas relações são usadas, para que servem?

Bem, são várias as aplicações para a lei dos senos e dos cossenos, uma

delas é na atual Astronomia. Um relato de aplicação na Astronomia moderna

pode ser observado em uma reportagem da revista Superinteressante sobre

como os astrônomos medem distâncias astronômicas. Vejamos:

“Como os astrônomos medem a distância em anos-luz entre as estrelas e a Terra?

É simples, juram os especialistas. “Primeiro observamos o astro com um

telescópio. A luz que ele emite é como uma reta e o próprio instrumento mede o

ângulo entre essa linha e a Terra”, diz o astrônomo Thyrso Villela, do Instituto

Nacional de Pesquisas Espaciais (Inpe), em São José dos Campos, São Paulo.

Seis meses depois, repete-se a operação. Aí, a Terra vai estar do outro lado do

Sol, ou seja, no extremo oposto de sua órbita, e, por isso, o ângulo será

diferente. Juntando as duas retas e a linha que representa o deslocamento da

Terra entre os dois momentos, é possível desenhar um triângulo (veja o

infográfico abaixo). Como o diâmetro da órbita terrestre é conhecido, o

astrônomo pode usá-lo para deduzir o tamanho dos outros lados da figura

geométrica e, assim, descobrir a distância entre a estrela e o nosso planeta. A

medida é feita em anos-luz – o espaço percorrido pela luz, no vácuo, durante

um ano. Como a luz corre a 300 000 quilômetros por segundo, 1 ano-luz dá 9,5

trilhões de quilômetros. Usado desde 1838, o método tem margem de erro de

10%, o que é considerado muito pouco pelos astrônomos.

Régua no céu

Telescópios e geometria calculam a posição dos astros.

1. Os cientistas apontam um telescópio em direção à luz emitida pela

estrela e traçam uma reta imaginária entre ela e a Terra. Assim podem calcular

o ângulo formado por essa reta e a órbita terrestre.

2. Seis meses depois, é feita nova medição, que encontra um ângulo

diferente, pois o planeta está na outra ponta da sua órbita. Com isso, forma-se

um triângulo.

3. Como se conhece o diâmetro da órbita terrestre (300 milhões de

quilômetros), que é a base do triângulo, e dois ângulos, pode-se deduzir o

tamanho dos outros lados do triângulo, que são as distâncias da estrela nos

dois momentos.

4. Como as distâncias (os lados maiores do triângulo) são enormes, usa-

se como medida o ano-luz (9,5 trilhões de quilômetros). O diâmetro da órbita

da Terra corresponde a cerca de 17 minutos-luz e a estrela mais perto (Proxima

Centauri) está a 4,3 anos-luz.”

Fonte: Superinteressante. São Paulo: Abril, ano 12, n.12, dez. 1998. p. 33

Figura 19: Modelo distância entre Terra e estrela próxima

Fonte: https://goo.gl/77APqI

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

1 - (ENEM) Para se calcular a distância entre duas árvores,

representadas pelos pontos A e B, situados em margens opostas de um rio, foi

escolhido um ponto C arbitrário, na margem onde se localiza a árvore A . As

medidas necessárias foram tomadas, e os resultados obtidos foram os

seguintes: 74º BCA e 62º CAB m 70 AC

Sendo cos 28º = 0,88 , sen 74º = 0,96 e sen 44º = 0,70 , podemos

afirmar que a distância entre as árvores é :

Agora é a nossa vez!

a) 48 metros b) 78 metros c) 85 metros d) 96 metros e) 102 metros

2 – (UEMA – 2010) Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo

os pontos A e B, como ilustrado na figura a seguir. Para calcular o

comprimento AB, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que B está,

e medem-se os ângulos C A = 57° e A B = 59°. Sabendo que mede 30m,

indique, em metros, a distância . (Dado: use as aproximações sen(59°) ≈

0,87 e sen(64°) ≈ 0,90)

3 - (UEPA) A figura abaixo mostra o corte lateral de um terreno onde

será construída uma rampa reta, _____

AC , que servirá para o acesso de veículos à

casa, que se encontra na parte mais alta do terreno. A distância de A a B é de 6

m, de B a C é de 10 m e o ângulo ABC mede 120º. Qual deve ser o valor do

comprimento da rampa em metros?

Orientações para o(a) professor(a)

Para a atividade proposta “Agora é nossa vez!” recomendamos que

sejam utilizadas varetas de madeira para que se façam as “estacas” e sejam

bem fixadas no chão para que não se movam.

É recomendável que se leve carteiras escolares para suporte dos

teodolitos.

Resposta das atividades complementares:

Questão 1: https://goo.gl/OLrLwD

Questão 2: https://goo.gl/zR2bOf

Questão 3: https://goo.gl/G2Inxt

Parte 5: O Círculo Trigonométrico

Em Trigonometria trabalhamos com ângulos que vão além dos 360º,

além de utilizar ângulos negativos.

Sendo assim, para utilizarmos e sabermos seus senos, cossenos e

tangentes nós estudaremos no círculo, que recebe o nome especial de ciclo

trigonométrico.

Para que esta ideia nos fique bem clara, vamos utilizar o software

GeoGebra para construí-lo e compreendermos o que significam as razões

trigonométricas de qualquer ângulo que gostaríamos de saber.

Figura 21: Construção Ciclo Trigonométrico

Fonte: Autor

1 – Seguindo o roteiro abaixo, vamos construir um Ciclo Trigonométrico

no software GeoGebra.

Roteiro de construção do Ciclo Trigonométrico

1. Abra o Geogebra.

2. Clique em e selecione a lupa com o sinal + para dar zoom.

3. Clique em , e selecione “círculo dados centro e raio”, selecione a origem

dos eixos coordenados, na janela em que é pedido o raio digite 1 e dê Ok.

4. Clique em , selecione “ponto” e novamente em cima do círculo.

5. Clique em e selecione “segmento”, agora selecione os pontos A e B na

tela.

6. Clique em e selecione “reta perpendicular” e selecione o ponto B e o

eixo x, repita o procedimento para o ponto B e o eixo y.

7. Clique em selecione “intersecção de dois objetos”, após selecione o

eixo x e a reta que acabou de criar (vertical), repita a operação para o eixo y e

a outra reta (horizontal).

8. Selecione uma das retas que acabou de criar, clique com o botão direito

sobre as mesmas, uma por vez e selecione o item “exibir objeto”. Neste

momento as retas irão “desaparecer”.

9. Clique em e selecione “segmento” selecionando os pontos BC e BD.

Repita a operação para AC e AD.

10. Clique com o botão direito em cima dos segmentos recém-criados e

selecione propriedades, modifique o estilo e a cor. Para os segmentos BC e BD

Agora é a nossa vez!

modifique o estilo selecionando pontilhado. Para os segmentos AC e AD,

modifique a cor (de sua preferência) e o estilo para nº 9.

11. Clique com o botão direito em cima dos segmentos “coloridos” recém-

criados e selecione propriedades, na aba “básico” e no item nome escreva:

* Para AC = cosseno e para AD = seno

12. Clique em selecione “intersecção de dois objetos”, após selecione o

eixo x e a circunferência, repita a operação para o eixo y. Você deve visualizar

os ponto E e F no eixo x e os pontos H e G no eixo y.

13. Clique em selecione “ângulo”, após isso selecione (nesta ordem) FAB.

14. Na caixa entrada digite “sen(α)=”+(y(B)) e dê enter.

Repita o procedimento digitando “cos(α)=”+(x(B)). DICA IMPORTANTE: Digite

as aspas como indicado. Com esse passo, você poderá visualizar os valores

do seno e cosseno do ângulo.

15. Clique na opção e selecione “ângulo com amplitude fixa” clique sobre

o ponto F e A e digite na janela 30º (selecione o sentido anti-horário). Repita o

procedimento para 45º, 60º, 90º, 120º, 135º, 150º, 180º, 210º, 225º, 240º, 270º,

300º, 315º, 330º.

16. Esconda todos os ângulos criados, exceto o ângulo alfa, clicando com o

botão direito do mouse, selecione “propriedades” e por último em

“exibir/esconder objeto”.

17. Clique com o botão direito em cima do ponto F’ que acabou de criar e

selecione propriedades. No item básico preencha em “legenda” e digite 6

e

marque legenda no item “exibir rótulo”. Repita o procedimento para os demais

pontos da seguinte maneira:

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7

4

3

2

3

2

4

3

6

5 π

F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14

6

7

4

5

3

4

2

3

3

5

4

7

6

11

18. Para criar a tangente basta, criar uma reta perpendicular ao eixo x no

ponto F, após isso criar uma reta entre os pontos A e B , fixar o ponto de

encontro com o comando “ponto de intersecção entre dois objetos” .

19. Clique com o botão direito nas retas que acabou de criar e selecione a

opção “exibir objeto”. Após isso, construa um segmento de reta entre AI e IF.

Selecione o segmento IF e clicando com o botão direito, selecione propriedade,

modifique a cor, a espessura do segmento e na aba “básico” troque o nome

para tangente.

20. Na caixa entrada digite “tan(α)=”+(y(I)) e dê enter.

DICA IMPORTANTE: Digite as aspas como indicado. Com esse passo, você

poderá visualizar os valores da tangente do ângulo.

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES:

1 – Utilizando a dinâmica da mudança do comprimento do arco é

possível identificar o sinal de cada razão trigonométrica (seno, cosseno e

tangente) em cada quadrante do ciclo trigonométrico. Utilize este recurso e

indique o sinal em cada uma das figuras abaixo:

Figuras 22: representação seno, cosseno e tangente

SENO COSSENO

TANGENTE

Fonte: Autor

2 – Utilizando o ciclo trigonométrico, encontre os valores para os ângulos

indicados abaixo:

a) )º170(sen

b) )º42cos(

c) )º135(tg

d)

4

13sen

e)

3

4tg

f) )º315(tg

g)

3

5sen

h)

3

10cos

i)

4

13cos

3 - Observando a construção realizada, responda:

a) Qual é o valor máximo e o valor mínimo para seno? Justifique.

b) Verifique qual é o seno de 60º. Existe mais algum outro ângulo que possui o

mesmo seno? Justifique a sua resposta.

c) Em que intervalos o valor do seno é crescente? E decrescente?

4 - Observando a construção realizada, responda:

a) Qual é o valor máximo e o valor mínimo para seno? Justifique.

b) Verifique qual é o cosseno de 30º. Existe mais algum outro ângulo que

possui o mesmo seno? Justifique a sua resposta.

c) Em que intervalos o valor do cosseno é crescente? E decrescente?

5 - Observando a construção realizada, responda:

a) Em que intervalos o valor do seno é crescente? E decrescente?

b) Observando a construção, o que acontece quando o ângulo marcado é de

90º? Explique.

Parte 6: As Funções trigonométricas

Atualmente a trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos.

Sua aplicação se estende a outros campos da matemática, como a Análise, e a

outros campos da atividade humana como a Eletricidade, a Mecânica, a

Acústica, a Música, a Topologia, a Engenharia Civil, etc.

A aplicação da Trigonometria nestas áreas só é possível com a ajuda do

desenvolvimento dos estudos das funções trigonométricas seno, cosseno e

tangente. É importante saber que,

Outro fato era que ninguém ainda tinha pensado no seno como uma função no sentido moderno da palavra. Essas duas mudanças ocorreram somente depois que foi inventado o cálculo, e foram realmente fixadas por Leonhard Euler (1707 – 1783) no século XVIII. Foi Euler quem convenceu as pessoas de que deveriam pensar no seno como função do arco em um círculo unitário (isto é, deveriam pensar nele como função do ângulo medido em radianos). A influência de Euler foi grande, e é por causa de seu trabalho que abordamos a trigonometria como o fazemos hoje. (BERLINGHOFF e GOUVÊA, 2010, p. 193).

Faremos agora um estudo do comportamento do gráfico das funções

com a ajuda do software GeoGebra. Deste modo, construiremos as funções

Seno, Cosseno e Tangente.

Agora é a nossa vez!

1 – Com o auxílio do roteiro abaixo, vamos construir o gráfico das

funções trigonométricas do seno, cosseno e tangente:

1. Abra o arquivo do ciclo trigonométrico construído na aula anterior.

2. Clique em e selecione “arco circular”, no ciclo selecione os

pontos AFB, nesta ordem.

3. Observe que na “janela álgebra” no item “cônicas” irá aparecer um

valor chamado k. Clique com o botão direito em cima e selecione propriedades,

modifique a cor e a espessura do arco.

4. Clique na aba exibir e selecione . Observe

que agora você tem três janelas em sua tela, para saber qual está selecionada,

basta observar qual apresenta o título em negrito.

5. Clique na aba opções selecione avançado e clique em . Na aba

“eixo x” selecione a distância em 2

. Clicando com o botão direito do mouse

você pode escolher que apareç

6. Na caixa , crie o ponto J(k,0), digitando apenas

(k,0). Mexa no ponto B da janela 1 (no ciclo) e perceba o que acontece com o

ponto J na janela 2.

7. Selecionando a janela 2, novamente na caixa de entrada, digite

K(k,x(B)), digitando apenas (k,x(B)) e dê enter, na janela 2 aparecerá um ponto

K.

8. Clicando com o botão direito do mouse no ponto K, selecione

propriedades, modificando sua cor para a mesma cor que deu ao cosseno e na

aba básico selecione exibir rastro. Perceba que ao mover o ponto B no ciclo o

ponto K realiza a trajetória no gráfico, demonstrando como fica a função

cosseno.

9. Selecionando a janela 2, novamente na caixa de entrada, digite

L(k,y(B)), digitando apenas (k,y(B)) e dê enter, na janela 2 aparecerá um ponto

L.

10. Clicando com o botão direito do mouse no ponto L, selecione

propriedades, modificando sua cor para a mesma cor que deu ao seno e na

aba básico selecione exibir rastro. Perceba que ao mover o ponto B no ciclo o

ponto L realiza a trajetória no gráfico, demonstrando como fica a função seno.

11. Selecionando a janela 2, novamente na caixa de entrada, digite

M(k,y(I)), digitando apenas (k,y(I)) e dê enter, na janela 2 aparecerá um ponto

M.

2 - Utilizando o software GeoGebra, vamos construir o gráfico de

algumas funções para observarmos como as funções trigonométricas se

comportam no plano cartesiano e observar o domínio e a imagem da função:

)(xseny

Figura 23: Função Seno

Fonte: Autor

Neste caso, temos como domínio da função o conjunto dos números

Reais:

)( fD

E como imagem da função:

}11/{Im )( xxf

Além disso, podemos identificar o período da função trigonométrica:

Passo a passo: 1 – abra o GeoGebra 2 – na caixa de entrada digite: y=sin(x) e clica em “enter”.

Figura 24: Período da Função Seno

Fonte: Autor

Período da função = 2

Com o mesmo processo, construa o gráfico das funções abaixo indicando o

domínio, a imagem e o período da função.

a) )(2 xseny

b) )(3 xseny

c) )(2

1xseny

d) )(2 xseny

e)

223

xseny

f) xy cos2

g) )cos(3 xy

h) )cos(2

1xy

i) )(xtgy

j) )(3 xtgy

k)

223

xtgy

Considerações finais

As atividades colocadas aqui tem a intenção de mostrar a trigonometria

numa perspectiva de construção histórica e apresenta propostas que incluem a

utilização do software GeoGebra e a construção de materiais pedagógicos para

tornar a aprendizagem dos conceitos trigonométricos mais significativos.

Nesta perspectiva, cabe ao professor a complementação com exercícios

em sala de aula e adaptar as atividades propostas nesta unidade didática para

a realidade de sua escola.

Espero que as atividades propostas aqui sirvam como instrumento para

um ensino que mostre a matemática como fruto de desenvolvimento histórico e

ajude a dar significado para a trigonometria no processo de aprendizagem dos

alunos.

Referências Astrônomos desenham triângulos no céu. 12. ed. São Paulo - SP: Abril, 1998. 33 p. Disponível em: <http://super.abril.com.br/tecnologia/astronomos-desenham-triangulos-no-ceu/>. Acesso em: 13 out. 2016. ARISTARCO de Samos. Disponível em: <http://www.somatematica.com.br/biograf/aristarco.php>. Acesso em: 13 dez. 2016. BERLINGHOFF, Willian P; GOUVÊA, Fernando Q. A matemática através dos tempos: um guia fácil para professores e entusiastas. Tradução: Elza Gomide, Helena Castro. 2ª ed. São Paulo: Blucher, 2010. BONGIOVANNI, Vicenzo. O teorema de Tales: uma ligação entre o geométrico e o numérico. REVEMAT - Revista Eletrônica de Educação Matemática, UFSC, v. 2, n. 5, p. 94-106, fev. 2007. Disponível em: <http://www.ppgecnm.ccet.ufrn.br/documentos/documento_132.pdf>. Acesso em: 13 dez. 2016. COSTA, Nielce Meneguelo. Função Seno e Cosseno: Uma sequencia de ensino a partir dos contextos do “mundo experimental” e do computador. Dissertação (mestrado) – Pós-Graduação em Ensino de Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo: [s.n.], 1997. 170f. Disponível em: http://www.matematicaepraticadocente.net.br/pdf/teses_dissertacoes/dissertacao_nielce_meneguelo_lobo_da_costa.pdf. Acessado em 20/10/2016. LINDEGGER, Luiz Roberto de Moura. Construindo os conceitos básicos da trigonometria no triângulo retângulo. Dissertação (mestrado) – Pós-Graduação em Ensino de Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo: [s.n.], 2000. 197f. Disponível em: http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/2010/artigos_teses/MATEMATICA/Dissertacao_Lindegger.pdf. Acessado em: 25/10/2016

NUSSENZVEIG, Moysés. Medindo a Circunferência da Terra. Disponível em: <http://www.inape.org.br/colunas/fisica-conceito-historia/medindo-circunferencia-terra>. Acesso em: 13 dez. 2016. OLIVEIRA, Jaqueline de. Tópicos selecionados de trigonometria e sua história. 2010. 68 f. monografia (licenciatura em matemática)- Universidade Federal de São Carlos, São Carlos, SP, 2010. Disponível em: <http://www.dm.ufscar.br/profs/tcc/trabalhos/2010-2/313530.pdf>. Acesso em: 10 out. 2016. O QUE é um Teodolito?. Disponível em: <https://waldexifba.wordpress.com/2011/10/31/o-que-e-um-teodolito/>. Acesso em: 2 set.. 2016.