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Fibrado Cotangente y Forma de Liouville
Samuel Tomas M.
Universidad Mayor de San Simon, UMSSVIII Jornadas Matematicas
noviembre 2012
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Fibrado Cotangente y Forma de Liouville
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Fibrado Cotangente y Forma de Liouville
Teorema
El fibrado cotangente M = T ∗X de una variedad X , tiene una
estructura natural de una variedad symplectic
1 Que es una Variedad Diferencial
2 Que es una forma diferencial
3 Que es una variedad Symplectic
4
Que es un Fibrado Cotangente
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Fibrado Cotangente y Forma de Liouville
Teorema
El fibrado cotangente M = T ∗X de una variedad X , tiene una
estructura natural de una variedad symplectic
1 Que es una Variedad Diferencial
2 Que es una forma diferencial
3 Que es una variedad Symplectic
4
Que es un Fibrado Cotangente
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Fibrado Cotangente y Forma de Liouville
Teorema
El fibrado cotangente M = T ∗X de una variedad X , tiene una
estructura natural de una variedad symplectic
1 Que es una Variedad Diferencial
2 Que es una forma diferencial
3 Que es una variedad Symplectic
4
Que es un Fibrado Cotangente
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Fibrado Cotangente y Forma de Liouville
Teorema
El fibrado cotangente M = T ∗X de una variedad X , tiene una
estructura natural de una variedad symplectic
1 Que es una Variedad Diferencial
2 Que es una forma diferencial
3 Que es una variedad Symplectic
4
Que es un Fibrado Cotangente
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Fibrado Cotangente y Forma de Liouville
Teorema
El fibrado cotangente M = T ∗X de una variedad X , tiene una
estructura natural de una variedad symplectic
1 Que es una Variedad Diferencial
2 Que es una forma diferencial
3 Que es una variedad Symplectic
4
Que es un Fibrado Cotangente
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Prueba
1 Comencemos construyendo la Forma de Liouville α
2
Sea π : T ∗
X → X la proyeccion canonica3 Sea η ∈ T ∗X , con x = π(η), asi que η ∈ T ∗xX
Sea v ∈ T η(T ∗X ), asi que dπη(v) ∈ T xX
donde dπ(η) : T η(T ∗X ) → T π(η)X = T xX , definido
αη(v) = η(dπη(v))
4 por mostrar que α es suave
5 fijemos η0 talque π(η0) = x0, consideremos las coordenadas
sobre T ∗X , x1, x2,...,xn, ξ 1, ξ 2,...,ξ n y x1, x2,...,xn
coordenadas sobre X cercanos a x0, entonces
6
α p(v) = ξ ((dπ p)v)
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Prueba
1 Comencemos construyendo la Forma de Liouville α
2
Sea π : T ∗
X → X la proyeccion canonica3 Sea η ∈ T ∗X , con x = π(η), asi que η ∈ T ∗xX
Sea v ∈ T η(T ∗X ), asi que dπη(v) ∈ T xX
donde dπ(η) : T η(T ∗X ) → T π(η)X = T xX , definido
αη(v) = η(dπη(v))
4 por mostrar que α es suave
5 fijemos η0 talque π(η0) = x0, consideremos las coordenadas
sobre T ∗X , x1, x2,...,xn, ξ 1, ξ 2,...,ξ n y x1, x2,...,xn
coordenadas sobre X cercanos a x0, entonces
6
α p(v) = ξ ((dπ p)v)
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Prueba
1 Comencemos construyendo la Forma de Liouville α
2
Sea π : T ∗
X → X la proyeccion canonica3 Sea η ∈ T ∗X , con x = π(η), asi que η ∈ T ∗xX
Sea v ∈ T η(T ∗X ), asi que dπη(v) ∈ T xX
donde dπ(η) : T η(T ∗X ) → T π(η)X = T xX , definido
αη(v) = η(dπη(v))
4 por mostrar que α es suave
5 fijemos η0 talque π(η0) = x0, consideremos las coordenadas
sobre T ∗X , x1, x2,...,xn, ξ 1, ξ 2,...,ξ n y x1, x2,...,xn
coordenadas sobre X cercanos a x0, entonces
6
α p(v) = ξ ((dπ p)v)
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Prueba
1 Comencemos construyendo la Forma de Liouville α
2
Sea π : T ∗
X → X la proyeccion canonica3 Sea η ∈ T ∗X , con x = π(η), asi que η ∈ T ∗xX
Sea v ∈ T η(T ∗X ), asi que dπη(v) ∈ T xX
donde dπ(η) : T η(T ∗X ) → T π(η)X = T xX , definido
αη(v) = η(dπη(v))
4 por mostrar que α es suave
5 fijemos η0 talque π(η0) = x0, consideremos las coordenadas
sobre T ∗X , x1, x2,...,xn, ξ 1, ξ 2,...,ξ n y x1, x2,...,xn
coordenadas sobre X cercanos a x0, entonces
6
α p(v) = ξ ((dπ p)v)
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Prueba
1 Comencemos construyendo la Forma de Liouville α
2
Sea π : T ∗
X → X la proyeccion canonica3 Sea η ∈ T ∗X , con x = π(η), asi que η ∈ T ∗xX
Sea v ∈ T η(T ∗X ), asi que dπη(v) ∈ T xX
donde dπ(η) : T η(T ∗X ) → T π(η)X = T xX , definido
αη(v) = η(dπη(v))
4 por mostrar que α es suave
5 fijemos η0 talque π(η0) = x0, consideremos las coordenadas
sobre T ∗X , x1, x2,...,xn, ξ 1, ξ 2,...,ξ n y x1, x2,...,xn
coordenadas sobre X cercanos a x0, entonces
6
α p(v) = ξ ((dπ p)v)
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Prueba
1 Comencemos construyendo la Forma de Liouville α
2
Sea π : T ∗
X → X la proyeccion canonica3 Sea η ∈ T ∗X , con x = π(η), asi que η ∈ T ∗xX
Sea v ∈ T η(T ∗X ), asi que dπη(v) ∈ T xX
donde dπ(η) : T η(T ∗X ) → T π(η)X = T xX , definido
αη(v) = η(dπη(v))
4 por mostrar que α es suave
5 fijemos η0 talque π(η0) = x0, consideremos las coordenadas
sobre T ∗X , x1, x2,...,xn, ξ 1, ξ 2,...,ξ n y x1, x2,...,xn
coordenadas sobre X cercanos a x0, entonces
6
α p(v) = ξ ((dπ p)v)
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Fib d t t f d Li ill
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Fibrado cotangente y forma de LiouvilleResumen
Prueba
1
α p = (
n
i=1
ξ idxi)dπ =
n
i=1
ξ id(xioπ)
2 abusando la notación podemos escribir xi por xioπ entonces
α =
ξ idxi
por lo tanto α es una forma de liuoville por tanto es suave.
notese que dα =
dξ i ∧ dxi por tanto α es no degenerada y
cerrada asi ω = −dα
y esto es una forma symplectic sobre el fibrado cotangente
T ∗X .
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Fib d t t f d Li ill
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Fibrado cotangente y forma de LiouvilleResumen
Prueba
1
α p = (
n
i=1
ξ idxi)dπ =
n
i=1
ξ id(xioπ)
2 abusando la notación podemos escribir xi por xioπ entonces
α =
ξ idxi
por lo tanto α es una forma de liuoville por tanto es suave.
notese que dα =
dξ i ∧ dxi por tanto α es no degenerada y
cerrada asi ω = −dα
y esto es una forma symplectic sobre el fibrado cotangente
T ∗X .
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symplectic manifold
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symplectic manifold
Definición
Una variedad symplectic es un par (M, ω) donde M es una
variedad suave, y ω es una form symplectic
vamos a definir lo que es una variedad, y una form symplectic
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symplectic manifold
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symplectic manifold
Definición
Una variedad symplectic es un par (M, ω) donde M es una
variedad suave, y ω es una form symplectic
vamos a definir lo que es una variedad, y una form symplectic
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Variedades diferenciales
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Variedades diferenciales
Definición
Una variedad diferenciable de clase C ∞
es un par (M,
), que consiste en un espacio topológico M y una estructura diferenciable
de clase C ∞
Figure : skdjksdjnksjd
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Variedades diferenciales
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Variedades diferenciales
Definición
Una variedad diferenciable de clase C ∞
es un par (M,
), que consiste en un espacio topológico M y una estructura diferenciable
de clase C ∞
Figure : skdjksdjnksjd
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Variedades diferenciales
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Variedades diferenciales
Definición
Una variedad diferenciable de clase C ∞
es un par (M,
), que consiste en un espacio topológico M y una estructura diferenciable
de clase C ∞
Figure : skdjksdjnksjd
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estructura diferenciable
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estructura diferenciable
Definición
Una carta o sistema de coordenadas m-dimensional en M es un par
(U, ϕ), donde U ⊂ M es un conjunto abierto y ϕ : U −→ m es
un homeomorfismo de U sobre el subconjunto abierto ϕ(U ) ⊂ m
Definición
Un atlas m−dimensional de clase C r, r ≥ 1 sobre un espacio
topológico M es una colección A = {(U i, ϕi) : i ∈ Λ} de cartas de
M , Donde Λ conjunto de indices tales que:
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estructura diferenciable
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estructura diferenciable
Definición
Una carta o sistema de coordenadas m-dimensional en M es un par
(U, ϕ), donde U ⊂ M es un conjunto abierto y ϕ : U −→ m es
un homeomorfismo de U sobre el subconjunto abierto ϕ(U ) ⊂ m
Definición
Un atlas m−dimensional de clase C r, r ≥ 1 sobre un espacio
topológico M es una colección A = {(U i, ϕi) : i ∈ Λ} de cartas de
M , Donde Λ conjunto de indices tales que:
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estructura diferenciable
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estructura diferenciable
1 M = ∪i∈ΛU i2 Si U i ∩ U j = ∅,entonces el cambio de coordenadas
ϕ j ◦ ϕ−1i : ϕi(U i ∩ U j) ⊂ n −→ ϕ j(U i ∩ U j) ⊂ m
es un difeomorfismo de C r entre los abiertos ϕi(U i ∩ U j) y
ϕ j(U i ∩ U j) de n
Figure : skdjksdjnksjd
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estructura diferenciable
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estructura diferenciable
1 M = ∪i∈ΛU i2 Si U i ∩ U j = ∅,entonces el cambio de coordenadas
ϕ j ◦ ϕ−1i : ϕi(U i ∩ U j) ⊂ n −→ ϕ j(U i ∩ U j) ⊂ m
es un difeomorfismo de C r entre los abiertos ϕi(U i ∩ U j) y
ϕ j(U i ∩ U j) de n
Figure : skdjksdjnksjd
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formas diferenciales
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o as d e e c a es
Teorema
Una k−form diferencial en
n
k ≥ 1 es una aplicación ω que acada p ∈ n asocia w( p) ∈ Λk(T pn)∗ ; donde
w( p) =
i1<i2...<inai1 ...ik( p)(dxi1 ∧ ... ∧ dxik)
Definición
una forma symplectic es una 2− form, cerrada y no degenerate.
entonces una 2− form es una aplicación tal que
ω =
i<j ai,jdxi ∧ dx j Se dira que es una 2− form cerrada, si la
derivada exterior de ω es cero es decir dω = 0
Definición
Sea V un espacio vectorial, sea ω ∈ Λ2V ∗ es no degenerate, si para
cada v ∈ V ω(u, v) = 0 pata todo u ∈ V entonces v = 0
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formas diferenciales
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Teorema
Una k−form diferencial en
n
k ≥ 1 es una aplicación ω que acada p ∈ n asocia w( p) ∈ Λk(T pn)∗ ; donde
w( p) =
i1<i2...<inai1 ...ik( p)(dxi1 ∧ ... ∧ dxik)
Definición
una forma symplectic es una 2− form, cerrada y no degenerate.
entonces una 2− form es una aplicación tal que
ω =
i<j ai,jdxi ∧ dx j Se dira que es una 2− form cerrada, si la
derivada exterior de ω es cero es decir dω = 0
Definición
Sea V un espacio vectorial, sea ω ∈ Λ2V ∗ es no degenerate, si para
cada v ∈ V ω(u, v) = 0 pata todo u ∈ V entonces v = 0
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formas diferenciales
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Teorema
Una k−form diferencial en
n
k ≥ 1 es una aplicación ω que acada p ∈ n asocia w( p) ∈ Λk(T pn)∗ ; donde
w( p) =
i1<i2...<inai1 ...ik( p)(dxi1 ∧ ... ∧ dxik)
Definición
una forma symplectic es una 2− form, cerrada y no degenerate.
entonces una 2− form es una aplicación tal que
ω =
i<j ai,jdxi ∧ dx j Se dira que es una 2− form cerrada, si la
derivada exterior de ω es cero es decir dω = 0
Definición
Sea V un espacio vectorial, sea ω ∈ Λ2V ∗ es no degenerate, si para
cada v ∈ V ω(u, v) = 0 pata todo u ∈ V entonces v = 0
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Teorema
Una k−
form diferencial en
n
k ≥ 1 es una aplicación
ω que a
cada p ∈ n asocia w( p) ∈ Λk(T pn)∗ ; donde
w( p) =
i1<i2...<inai1 ...ik( p)(dxi1 ∧ ... ∧ dxik)
Definición
una forma symplectic es una 2− form, cerrada y no degenerate.
entonces una 2− form es una aplicación tal que
ω =
i<j ai,jdxi ∧ dx j Se dira que es una 2− form cerrada, si la
derivada exterior de ω es cero es decir dω = 0
Definición
Sea V un espacio vectorial, sea ω ∈ Λ2V ∗ es no degenerate, si para
cada v ∈ V ω(u, v) = 0 pata todo u ∈ V entonces v = 0
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g y
Definición
El fibrado tangente de una variedad es la union disjunta de todos
los espacios tangentes T M = p∈M T pM
Figure : fibrado tangente
DefiniciónSe llama espacio cotangente a M en un punto p ∈ M , al espacio
vectorial T ∗ p M dual del espacio tangente T pM
T ∗ p M = {ω : T pM → | ω, lineal}
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Definición
El fibrado tangente de una variedad es la union disjunta de todos
los espacios tangentes T M = p∈M T pM
Figure : fibrado tangente
DefiniciónSe llama espacio cotangente a M en un punto p ∈ M , al espacio
vectorial T ∗ p M dual del espacio tangente T pM
T ∗ p M = {ω : T pM → | ω, lineal}
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Tenemos proyeccion natural
Figure : proyección natural
Definición
El Fibrado Cotangente es (T ∗M , π , M ) donde T ∗M = p∈M T ∗ p M
y π es la proyección natural de T ∗M en M y M una variedad
Y ahora hayque dotar de una estructura de variedad diferencial que
es justamente la demostración del teorema a analizar.Samuel Tomas M. Universidad Mayor de San Simon, UMSS VIII Jornadas MatematicasFibrado Cotangente y Forma de Liouville
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1 Comencemos construyendo la Forma de Liouville α
2
Sea π : T ∗
X → X la proyeccion canonica3 Sea η ∈ T ∗X , con x = π(η), asi que η ∈ T ∗xX
Sea v ∈ T η(T ∗X ), asi que dπη(v) ∈ T xX
donde dπ(η) : T η(T ∗X ) → T π(η)X = T xX , definido
αη(v) = η(dπη(v))
4 por mostrar que α es suave
5 fijemos η0 talque π(η0) = x0, consideremos las coordenadas
sobre T ∗X , x1, x2,...,xn, ξ 1, ξ 2,...,ξ n y x1, x2,...,xn
coordenadas sobre X cercanos a x0, entonces
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1 Comencemos construyendo la Forma de Liouville α
2
Sea π : T ∗
X → X la proyeccion canonica3 Sea η ∈ T ∗X , con x = π(η), asi que η ∈ T ∗xX
Sea v ∈ T η(T ∗X ), asi que dπη(v) ∈ T xX
donde dπ(η) : T η(T ∗X ) → T π(η)X = T xX , definido
αη(v) = η(dπη(v))
4 por mostrar que α es suave
5 fijemos η0 talque π(η0) = x0, consideremos las coordenadas
sobre T ∗X , x1, x2,...,xn, ξ 1, ξ 2,...,ξ n y x1, x2,...,xn
coordenadas sobre X cercanos a x0, entonces
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1 Comencemos construyendo la Forma de Liouville α
2
Sea π : T ∗
X → X la proyeccion canonica3 Sea η ∈ T ∗X , con x = π(η), asi que η ∈ T ∗xX
Sea v ∈ T η(T ∗X ), asi que dπη(v) ∈ T xX
donde dπ(η) : T η(T ∗X ) → T π(η)X = T xX , definido
αη(v) = η(dπη(v))
4 por mostrar que α es suave
5 fijemos η0 talque π(η0) = x0, consideremos las coordenadas
sobre T ∗X , x1, x2,...,xn, ξ 1, ξ 2,...,ξ n y x1, x2,...,xn
coordenadas sobre X cercanos a x0, entonces
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1 Comencemos construyendo la Forma de Liouville α
2
Sea π : T ∗
X → X la proyeccion canonica3 Sea η ∈ T ∗X , con x = π(η), asi que η ∈ T ∗xX
Sea v ∈ T η(T ∗X ), asi que dπη(v) ∈ T xX
donde dπ(η) : T η(T ∗X ) → T π(η)X = T xX , definido
αη(v) = η(dπη(v))
4 por mostrar que α es suave
5 fijemos η0 talque π(η0) = x0, consideremos las coordenadas
sobre T ∗X , x1, x2,...,xn, ξ 1, ξ 2,...,ξ n y x1, x2,...,xn
coordenadas sobre X cercanos a x0, entonces
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1 Comencemos construyendo la Forma de Liouville α
2
Sea π : T ∗
X → X la proyeccion canonica3 Sea η ∈ T ∗X , con x = π(η), asi que η ∈ T ∗xX
Sea v ∈ T η(T ∗X ), asi que dπη(v) ∈ T xX
donde dπ(η) : T η(T ∗X ) → T π(η)X = T xX , definido
αη(v) = η(dπη(v))
4 por mostrar que α es suave
5 fijemos η0 talque π(η0) = x0, consideremos las coordenadas
sobre T ∗X , x1, x2,...,xn, ξ 1, ξ 2,...,ξ n y x1, x2,...,xn
coordenadas sobre X cercanos a x0, entonces
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α p(v) = ξ ((dπ p)v)
α p = (
n
i=1
ξ idxi)dπ =
n
i=1
ξ id(xioπ)
abusando la notación podemos escribir xi por xioπ entonces
α =
ξ idxi
por lo tanto α es una forma de liuoville por tanto es suave. notese
que dα =
dξ i ∧ dxi por tanto α es no degenerada y cerrada asi
ω = −dα
y esto es una forma symplectic sobre el fibrado cotangente T ∗X .
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Eso es todo
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