FRAKTALNA MEHANIKA 1 LEKCIJA 7 Prof.dr Đuro Koruga 7.1 FIBONAČIJEVI BROJEVI Fibonači (Leonardo de Pisa, Fibonacci, 1170-1250) posmatrajući prirodni proces, raznožavanje zečeva, došao je do otkrća jedne posebne klase brojeva, koji pripadaju skupovima brojeva (1.61803....) i (0.61803....). Ovo svoje saznanje publikovao je 1202. godine u knjizi Liber Abaci. Brojevi se mogu dobiti na i mogu se dobiti na više načina , a mi ćemo ovde pokazati dva. Prvi je preko niza brojeva : 0,0!,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144........tako što se ovi brojevi satavljaju u odnos: 0 ! 0 0 ! 0 0 1 ! 0 1 1 1 ! 0 2 1 2 5 . 0 2 1 5 . 1 2 3 666 . 0 3 2 666 . 1 3 5 6 . 0 5 3 6 . 1 5 8 625 . 0 8 5 625 . 1 8 13 615 . 0 13 8 615 . 1 13 21 619 . 0 21 13 619 . 1 21 34 617 . 0 34 21 ........ ........ 61803 . 1 2 1 5 61803 . 0 2 1 5 Drugi pristup je preko kvadratnih jednačina. Prva kvadratna jednačina 0 1 2 x x , daće rešenja, x1= -1.61803 i x2=0.61803..., dok će kvadratna jednačina 0 1 2 x x dati rešenja x1= 1.61803 i x2= -0.61803... što daje četiri rešenja: -,,-, što se može grafički predstaviti --Leonardo de Pisa Fibonacci Fig.7.1: Shematski prikaz razmnožavanja zečeva i generisanje Fibonačijevih brojeva na bazi para brojeva (primena ovog zakona najedekvatnija je kod procesa i/ili sistema koji generišu parove.
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
FRAKTALNA MEHANIKA
1
LEKCIJA 7 Prof.dr Đuro Koruga
7.1 FIBONAČIJEVI BROJEVI
Fibonači (Leonardo de Pisa, Fibonacci, 1170-1250)
posmatrajući prirodni proces, raznožavanje zečeva, došao je do
otkrća jedne posebne klase brojeva, koji pripadaju skupovima
brojeva (1.61803....) i (0.61803....). Ovo svoje saznanje
publikovao je 1202. godine u knjizi Liber Abaci.
Brojevi se mogu dobiti na i mogu se dobiti na više
načina , a mi ćemo ovde pokazati dva. Prvi je preko niza
brojeva : 0,0!,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144........tako što se ovi
brojevi satavljaju u odnos:
0
!0 0
!0
0
1!0
1 1
1
!0
21
2 5.0
2
1
5.12
3 666.0
3
2
666.13
5 6.0
5
3
6.15
8 625.0
8
5
625.18
13 615.0
13
8
615.113
21 619.0
21
13
619.121
34 617.0
34
21
........ ........
61803.12
15
61803.0
2
15
Drugi pristup je preko kvadratnih jednačina. Prva kvadratna
jednačina
012 xx ,
daće rešenja, x1= -1.61803 i x2=0.61803..., dok će kvadratna
jednačina
012 xx
dati rešenja x1= 1.61803 i x2= -0.61803... što daje četiri rešenja:
-,, -, što se može grafički predstaviti
-
-
Leonardo de Pisa
Fibonacci
Fig.7.1: Shematski prikaz razmnožavanja
zečeva i generisanje Fibonačijevih brojeva
na bazi para brojeva (primena ovog zakona
najedekvatnija je kod procesa i/ili sistema
koji generišu parove.
2
Medjutim, Binet je uopštio Fibonačijev niz u formi
što je predstavljeno na Fg. 7.2 .
Fig.7.2 : Binetovo uopšteneo rešenje Fibonačijevijeve serije
Ovo uopštenje daje rešenje i za vrednosti x 0, u formi:
Pored uočavanja fenomena razmnožavanja zečeva i formiranje
potpuno novog sistema brojeva Fibonači je deo veliki doprinos
matematici time što je indijsko-arabski system brojeva uveo u
matematiku zapadne civilizacije.
Od mnoštva primera primene i realizacije zlatnog preseka na
bazi Fibonačijevih brojeva ( raspored lišća na granama drveća-
princip minimum metanja,
pirmida u Egiptu, hramova u
antičkoj Grčkoj, proporcija
ljudskog tela, periodnog
sistema elementa, genetkog
koda i dr. ) Paskalov trougao i
šah su dava najelegantnija
primera primene Fibonačijevih
brojeva u matematicii i nuci
generalno.
“Leonard of Pisa or Fibonacci played an important role in
reviving ancient mathematics and made significant
contributions of his own. Liber abaci introduced the Hindu-
Arabic place-valued decimal system and the use of Arabic
numerals into Europe”.
3
Da to pokažemo na šahovskoj ploči, polazimo od opšte poznate
činjenice da snaga svake figure zavisi od njene pokretljivosti po
šahovskoj tabli.
Dama je zato najjača šahovska figura, jer može sa svakog
polja učiniti više poteza nego bilo koja druga figura.
Da bi se dobio numerički
izraz za snagu svake pojedine
figure, može se ovom
problemu prići na sledeći
način, sl.7.4:
Slova , , ,S L T D
označavaju redom: Skakača,
Lovca, Topa, Damu.
Za svaku od tih figura
iskorišćena je samo četvrtina
dijagrama, jer pozicije su iste
u sva četri polja pa su isti
brojevi u ostale tri četvrtine
dijagrama simetrično
raspoređeni.
Ako sad sumu svih brojeva na čitavoj tabli nazovemo
potencijom figure kojoj ta suma pripada i označimo je
odgovarajućim slovom, dobija se:
S 336 , L 560 , T 896 , D 1456 .
Lako se ouočava da je: D T L . što nije ništa neobično, jer
dama sadrži u svom kretanju i poteze topa i poteze lovca.
Međutim, više iznenađuje relacija T L S , koja
omaogućava da se formiraju odnosi:
: :D T T L i : :T L L S .
Ako se ima u vidu da je:
D T L i T L S ,
Tada se dolazi do saznanja da su veličine , ,D T L i , ,T L S u
relaciji preko ZLATNOG PRESEKA, jer
D:T 1456:896 1.6...,
T:L 896:560 1.6...,
L:S 560:336 1.6..., .
Sva tri odnosa podudaraju se tačno na jednu decimalu,
jer nisu uzeti u obzir pešaci i kralj. Kada se sve to uzme u obzir i
uvede korekcioni faktor za odnos Dama = Top-Lovac ( dama je
jedna figura i stoji na jednom polju, a top i lovac su dve figure i
4
stoje na dva odvojena polja- situacija nije ista) dobija se da je
potencija šaha data kao rešenje zlatnog preseka.
Dodelite sada pojedinim organima ili funkcijama
ljudskog organizma šahovsku figuru sa spekta fizioloških
aktivnosti, imajui u vidu da biomolekuli i organizam kao celina
trebaju biti u harmoniji kao deo-celina.
Tabela 7.2: Staja biomolekula (klatrina,mikrotubula i dr ) koji na
osnovu svoje strukture imaju energetski zakon zlatnog preseka
Pored toga treba imati u vidu da se svi brojevi
dekadnog sistema mogu generisati iz i na sledeći (ili neki
drugi) način: - = 1
+ 2 = 2
2 + 2 = 3
3 - 3 = 4
( +)2 = 5
2(2 + 2) = 6
4 + 4 = 7
2(3 - 3) =8
3(2 + 2)= 9
2(( +)2) = 10
5 - 5 = 11
...........
6 +6 = 16
.............
(3 +3)2 = 20
...........
što postavlja uzročno-posledično pitanje dekadnog sistema: da
li se zlatni presek generiše iz prirodnih brojeva, ili priroda koja
radi po zakonu zlatnog preseka u našem umu generiše dekadni
broji sistem?
Harmonizovani sitem na
bazi I .
Suncokret kao prirodno
rešenje harmonizacije
strukturalno-energetsko-
informacionih procesa
koji daju (obezbeđuju)
harmnizovan odnos dela i
celine.
5
7.2 SAVRŠENI BROJEVI
Neki broj je savršen ako je zbir njegovih činioca jednak
njemu samom. Ovo je veoma važno prilikom izučavanja
sistema, a još važnije u inženjerskoj praksi prilikom određivanja
ustrojstva sistema. Stari Grci znali su za četiri savršena broja: 6,
28, 496 i 8128. Čnioci ova četiri broja su:
Primećujemo da kod drugog, trećeg i četvrtog savršenog
broja postoji mesto asimetrije. Tako naprimer kod drugog
savršenog broja posle 4 trebalo bi očekivati 8, ali to nije slučaj
jer 8 nije činilac broja 28. Isto je kod trećeg savršenog broja,
posle 16 je 31 (a ne 32), odnosno kod četvrtog 64 i 127. Posle
ovog jediničnog pomaka na datim mestima sistem se simetrično
udvostručava.
Računanje savršenih brojeva može se vršiti po dve formule