Fibonacci-Zahlen Definition. Die Fibonacci-Zahlen sind die Folge von Zahlen (F i ) i ∈N definiert durch 1. F 0 = 0, F 1 = 1, 2. F i = F i -1 + F i -2 für alle i ∈ N, i ≥ 2.
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Fibonacci-Zahlen
Definition. Die Fibonacci-Zahlen sind die Folge von Zahlen(Fi)i∈N definiert durch
1. F0 = 0, F1 = 1,2. Fi = Fi−1 + Fi−2 für alle i ∈ N, i ≥ 2.
Berechnung:
fib :: Int -> Intfib 0 = 0fib 1 = 1fib n = (fib (n - 1)) + (fib (n - 2))
Fibonacci-Zahlen
Definition. Die Fibonacci-Zahlen sind die Folge von Zahlen(Fi)i∈N definiert durch
1. F0 = 0, F1 = 1,2. Fi = Fi−1 + Fi−2 für alle i ∈ N, i ≥ 2.
Berechnung:
fib :: Int -> Intfib 0 = 0fib 1 = 1fib n = (fib (n - 1)) + (fib (n - 2))
Fibonacci-Zahlen: Rekursion
fib 5
fib 3 fib 4
fib 1 fib 2 fib 2 fib 3
fib 0 fib 1 fib 0 fib 1 fib 1 fib 2
fib 0 fib 1
. . . F200?! Effizienter durch Memoization.
Fibonacci-Zahlen: Rekursion
fib 5
fib 3 fib 4
fib 1 fib 2 fib 2 fib 3
fib 0 fib 1 fib 0 fib 1 fib 1 fib 2
fib 0 fib 1
. . . F200?! Effizienter durch Memoization.
Fibonacci-Zahlen: Geschlossene Form
Sei ϕ =√
5+12 ≈ 1,618 der goldene Schnitt.
Satz (de Moivre – Binet). Fn = ϕn−(−ϕ)−n
ϕ−(−ϕ)−1 = ϕn−(−ϕ)−n√
5=
[ϕn√
5
]cfib :: Int -> Integercfib n = (round (phi^n / sqrtfive))where sqrtfive = (sqrt 5.0)
phi = ((1 + sqrtfive) / 2)
F200 = 280571172992509965361722520092440986124288
Korollar. limn→∞ Fn+1/Fn = ϕ
11
2 3
58
13 21
3455
11
2 3
58
Sonnenblumen
Größe 5
Größe 5
5
10
2
712
4
9
1
6
11
3
8
13
9
17
4
12
20
7
15
2
10
18
5
1321
8
16
3
11
19
6
14
1
Größe 3, 4
Größe 3, 4
2
4
1
3
5
4
7
25
8
3
61
4
7
2
5
8
3
6
1
5
10
2
7
12
4
9
16
11
3
8
13
Größe 2
Größe 2
2
31
2
4
1
3
5
Größe 6
Größe 6
9
17
4
12
20
7
15
2
10
18
5
13
21
8
16
3
11
19
6
14
1
13
26
5
18
31
10
23
2
15
28
7
20
33
12
25
4
17
30
9
22
1
14
27
6
19 32
11
24
3
16
29
8
21
34
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