伊伊 伊伊 伊伊伊伊伊 () Fiber Bundles and Matrix Models 伊伊伊伊伊 arXiv: 0802.2782 [hep-th] 伊伊伊伊伊 ( 伊伊伊伊 ) 伊伊伊伊伊 ・ ( 伊伊伊伊 ) 伊伊伊伊伊 ・ ( 伊伊伊伊 ) 1 JHEP 0705(2007)014 [hep-th/0703021]
Jan 08, 2016
伊敷 吾郎(大阪大学)
Fiber Bundles and Matrix Models
共同研究者
arXiv: 0802.2782 [hep-th]
石井貴昭氏 ( 大阪大学 ) ・ 島崎信二氏 ( 大阪大学 ) ・ 土屋麻人氏 ( 大阪大学 )
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JHEP 0705(2007)014 [hep-th/0703021]
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IIB matrix model [Ishibashi-Kawai-Kitazawa-Tsuchiya]
BFSS Matrix model [Banks-Fischler-Shenker-Susskind]
Matrix string theory [Dijkgraaf-Verlinde-Verlinde]
行列模型による曲がった時空の記述についての知見を得たい。
[Hanada-Kawai-Kimura]
■ Matrix model as nonperturbative definition of superstring theory
■ AdS/CFT correspondence
Motivation
今回の話の特別な場合 ⇒ R×S3 上の N=4 SYM 理論の行列正則化 (島崎氏の講演参照)
曲った時空がどのように行列によって実現されるのか?
Our results
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P 上の YM M 上の YM-higgs
(1) 主ファイバー束 P 上の YM の dimensional reduction (ファイバー G , 低空間 M )
(2) Extended matrix T-duality ( G=U(1) or SU(2) or SU(2)k×U(1)l)
YM on P = YM-higgs on M のある真空周りの理論で orbifolding を課したもの
例 )
S7 上の YM S4 上の YM-higgs(1)
(2)
S7 = SU(2) bundle on S4
(3) CPn 上の U(1) monopole 背景中の YM-higgs は、行列模型 のある真空周りの理 論の可換極限で得られることを示した。 (monopoles on fuzzy CPn [Dolan et al.]) 我々は連続極限での、 CPn 上の理論の作用とモノポール配位を具体的に導いた。(4) : (2)+(3) より、ある行列模型の適切な真空周りの理論おいて orbifolding を課すと、
S2n+1 ( =U(1) on CPn )上の YM-higgs と等価であることが言える。 (Fuzzy space での monopole の構成+ extended matrix T-duality)
(5) IIB + Myers 型の作用の連続極限 ⇒ YM + Chern-Simons like term
G 方向の reduction
特に、 (2) で G = U(1) の場合は Buscher の T-duality として解釈できる。
Plan of Talk
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3. Extended matrix T-duality
4-2. Fuzzy CPn, U(1) monopoles on Fuzzy CPn
1. Introduction & Motivation
4-4. IIB+ Myers term
2. Dimensional reduction of YM on P (= G on M)
4. Total space = SU(n+1) ( =SU(n) on S2n+1 = SU(n)×U(1) on CPn )
4-1. Dimensional reductions to S2n+1, CPn and matrix model
4-3. YM –higgs on S2n+1 from matrix model
5. Summary & outlook
Dimensional reduction of YM on P
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Local metric on P
Local connection 1-form of PHorizontal
Vertical
Dimensional reduction
YM-higgs theory on M
[Ishii-G.I-Shimasaki-Tsuchiya]
Ex) P=S3 (U(1) on S2) ⇒ : Dirac monopole の配位
YM on P (G bundle on M)
Extended matrix T-duality for U(1) bundle
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真空: U(1) モノポール
次の特別な真空を考える。
この真空の周りで、揺らぎに Orbifolding 条件を課す。
background + fluctuation
M 上のあるモノポール真空周りの U(N×∞) YM-higgs にorbifolding を課したものは、 P 上の U(N) YM と等価である。
[Ishii-G.I-Shimasaki-Tsuchiya] [cf. Taylor]
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ファイバーが U( 1 ) の場合、 Orbifolding 条件を課したある monopole 真空まわりの M 上の YM-higgs は、 P 上の YM と等価である。
ファイバーが SU(2) = S3 の場合にも拡張できる。
各パッチの上で、 P 上のゲージ場を定義
一般に、ファイバーが SU(2)k×U(1)l の場合にも拡張できる。
場の揺らぎに Orbifolding 条件を課すU(N×∞) 行列の中にたくさんの N×N 行列
対角方向に同一視
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Total space = SU(n+1)
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YM on SU(n+1) = SU(n) bundle on S2n+1
ファイバー SU(n) の reduction
全ての方向を reductionKilling vector
直行する vector
Horizontal
Vertical ( SU(n) 方向 )
fABC : structure constant of SU(n+1)
[Kitazawa]
YM-higgs on CPn
YM-higgs on S2n+1=U(1) bundle on CPn
ファイバー U(1) 方向 reduction
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YM on SU(n+1) = SU(n) bundle on S2n+1
YM-higgs on CPn
Extended matrix T-duality for U(1)
For n=2 case,extended matrix T-duality for SU(2)
Fuzzy CPn の可換極限(任意のモノポール真空も実現できる)
YM-higgs on S2n+1=U(1) bundle on CPn
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Extended matrix T-duality for U(1)
For n=2 case,extended matrix T-duality for SU(2)
Fuzzy CPn の可換極限(任意のモノポール真空も実現できる) 組み合わせると
行列模型からYM-higgs on S2n+1
が実現される。
YM on SU(n+1) = SU(n) bundle on S2n+1
YM-higgs on CPn
YM-higgs on S2n+1=U(1) bundle on CPn
Fuzzy CPn
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真空
表現の SU(n+1) generator
可換極限は
[Dolan-Huet-Murray-O’Connor]Dim ×Dim 行列の基底
関数の基底 (CPn の球面調和関数 )
[Grosse-Steinacker, Barachandran et al, Kitazawa]
YM-higgs on CPn
次の表現の真空を選ぶ
New result !
U(1) monopoles on Fuzzy CPn
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可換極限において、上の真空周りの行列模型は、下の U(1) モノポール真空周りのCP n上の YM-higgs 理論に帰着する。
=
任意の CP n上のモノポール真空が実現できる。⇒ 適切な真空で orbifolding 条件をかせば、 S2n+1 上の YM-higgs が実現できる。
New result
[Grosse et al, Dolan et al]
IIB + Myers 項 型作用の連続極限
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(YM-higgs on CPn )
+
S2n+1 を実現する表現+ orbifolding 条件
(YM-higgs on S2n+1)Chern-Simons like term
ex.) n =1 の場合 , IIB+Myers → YM on S3 + Chern Simons on S3
表現 ( Fuzzy CPn )
Summary
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1.ファイバーが U(1), SU(2) の場合の extended matrix T-duality
2. Fuzzy CPn の可換極限での作用の形を導いた ( U(1) モノポールも実現)
3.この二つを組み合わせて、全空間が SU(n+1) のときに、
YM-higgs on CPn
YM-higgs on S2n+1
YM on SU(n+1)
Matrix model
Matrix T-duality for U(1) bundle
Fuzzy CPn の可換極限(任意の U(1) モノポール 真空を再現できる。)
Dim.Red.
YM-higgs on S2n+1 が行列模型で表わされる。
For n=2, Matrix T-duality for SU(2) bundle ( 島崎氏の講演参照 )
4. IIB+Myers 型の作用の可換極限で得られる CPn, S2n+1 上の理論の 作用の形も導いた。
Future works
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◆ U(n) モノポールの Fuzzy CPn 上での実現
◆ Matrix T-duality の U(n) bundle への拡張
◆ SU(n+1) 上の YM の行列模型における実現
◆ AdS/CFT 対応の検証 (n=1 の場合 )
[Grosse-Steinacker, Dolan-Huet-Murray-O’Connor]
PWMM → R×S3 上の N=4 SYM 理論 (島崎氏の講演参照)
◆ 弦理論における Non-abelian T-duality との関係
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群多様体上の YM 場 Maurer-Cartan 方程式
: right invariant 1-form
群多様体上の Killing vector
群多様体上の pure YM 理論
YM theory on group manifold
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上の pure YM 理論
上の YM-higgs 理論
上の YM-higgs 理論
Matrix model
SU(n) 方向の reduction
U(1) 方向の reduction
全て reduction
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上の pure YM 理論
上の YM-higgs 理論
上の YM-higgs 理論 ( 任意の monopole bg.)
Matrix model
Matrix T-duality (U(1) を構成 )
Fuzzy CPn の可換極限
のとき、
[J,0, ,0]‥ 表現を並べた真空
[Grosse, Kitazawa]