CAPITOLUL 7 FIABILITATE 7.1. Indicatori de fiabilitate
Fiabilitatea reprezint, calitativ vorbind, proprietatea unui produs
de a-i conserva performanele n limite stabilite, ntr-un anumit
interval de timp i n condiii determinate. Cantitativ, fiabilitatea
este descris de un ansamblu de indicatori, cu ajutorul crora se
poate prevedea comportarea produsului n condiii specificate,
respectiv se poate anticipa momentul defectrii sale. Defectarea
este neleas ca o depire a limitelor prescrise de ctre cel puin una
din caracteristicile produsului. Limitele prescrise, constituind
criterii de defectare, difer de la un exemplar la altul n funcie de
misiunea atribuit i de sistemul n care urmeaz s fie integrat. n
particular, fiabilitatea metrologic reprezint probabilitatea ca
mijloacele de msurare s furnizeze informaia de msurare cu erori mai
mici dect erorile tolerate. Previziunile date de teoria fiabilitii
nu pot fi deterministe deoarece procesele de degradare sunt
influenate de o multitudine de factori incomplet cunoscui. De
aceea, modelul matematic al fiabilitii se ntemeiaz pe teoria
probabilitilor i statistica matematic. Pentru construirea acestui
model matematic, respectiv pentru definirea indicatorilor de
fiabilitate, se consider timpul de funcionare al unui produs, de la
punerea sa n funciune pn la defectare, ca variabil aleatoare
continu. Aceasta nseamn c dintr-o colectivitate mare de produse
principial identice, funcionnd simultan n aceleai condiii, nu vor
exista dou exemplare care s se defecteze la acelai moment de timp.
Astfel, o producie poate fi uniform din punctul de vedere al
performanelor realizate, fiind variabil n privina capacitii de
conservare a acestora. Fie T durata de funcionare pn la defectare a
unui produs i F(t) funcia de repartiie a acestei variabile
aleatoare continue. Funciile i caracteristicile numerice asociate
unei variabile aleatoare continue au o interpretare particular n
domeniul teoriei fiabilitii, putnd fi considerate deci ca
indicatori de fiabilitate. Astfel, funcia de repartiie F(t), adic
probabilitatea ca variabila aleatoare T s ia valori mai mici dect
t, reprezint probabilitatea de defectare a produsului n intervalul
(0, t) :
F (t ) = P(T t ) .
(7.1)
7-2 Funcia de repartiie (7.1) caracterizeaz produsul n orice
interval de timp avnd drept origine momentul punerii n funciune
(t=0). ntr-un interval de timp oarecare (t, t+x) probabilitatea de
defectare este
P(t T t + x) = F (t + x) F (t ) .
(7.2)
Probabilitatea (7.2) este o probabilitate total de defectare. n
analiza fiabilitii ns intereseaz probabilitatea de defectare F(t,
t+x) ntr-un interval de timp (t, t+x) a unui produs despre care se
tie c este bun la momentul iniial t al intervalului. Conform
definiiei probabilitilor condiionate se poate scrie:
F (t , t + x) =
P (t T t + x) F (t + x) F (t ) = . P(T t ) 1 F (t )
(7.3)
Se observ c pentru t=0, (7.3) se reduce la (7.1). n teoria
fiabilitii se prefer caracterizarea comportrii produselor n
intervale finite de timp prin probabilitatea de bun funcionare n
interval, n locul probabilitii de defectare. De aceea, se definete
funcia de fiabilitate R(t) ca probabilitatea de bun funcionare a
produsului ntr-un anumit interval de timp, condiionat de buna sa
funcionare la momentul iniial al intervalului. Considernd
complementarele expresiilor (7.1) i (7.3) se poate scrie funcia de
fiabilitate R(t) a unui sistem n intervalul (0, t), respectiv R(t,
t+x) n intervalul (t, t+x):
R(t ) = P(T t ) = 1 F (t )R(t , t + x) = 1 F (t , t + x) = R(t +
x) . R (t )
(7.4) (7.5)
Funciile definite pn acum descriu fiabilitatea sistemului n
diferite intervale de timp. Variaia lor tipic este prezentat n fig.
7.1.R(t),F(t) 1 R(t) F(t)
0,5
Fig. 7.1. Exemplu de funcii de fiabilitate i de repartiie. t
0
7-3 Comportarea produsului n jurul unui moment dat este descris
cu ajutorul densitii de probabilitate a timpului de funcionare pn
la defectare, definit conform relaieif (t ) = lim F (t + t ) F (t )
dF (t ) = . t dt t 0 (7.6)
Densitatea de probabilitate caracterizeaz legea de repartiie a
timpului de funcionare pn la defectare, avnd semnificaia unei
probabiliti totale de defectare n jurul momentului t, indiferent de
comportarea anterioar a produsului. Pentru a descrie pericolul de
defectare instantanee a unui produs aflat n stare bun, se definete
un alt indicator care descrie comportarea local a produsului, anume
rata de defectare. Rata de defectare z(t) este probabilitatea de
defectare n jurul unui moment dat, condiionat de buna funcionare a
produsului pn n acel moment. Ea se obine raportnd expresia (7.3) a
probabilitii de defectare la mrimea intervalului i trecnd la limit
cnd aceasta tinde ctre zero:z (t ) = lim F (t + t ) F (t ) f (t ) .
= R(t )t R (t ) t 0
(7.7)
Din relaiile (7.6) i (7.7) rezultz (t ) = 1 dR(t ) . R(t ) dt
(7.8)
Integrnd ecuaia diferenial (7.8) cu condiia iniial R(0)=1, se
obine:
R(t ) = exp[ z (u )du ]0
t
(7.9)
i introducnd n (7.5) R(t , t + x) = exp[t+x t
z (u )du ]
(7.10)
Media timpului de funcionare este, conform definiiei valorii
medii a unei variabile aleatoare
7-4 m = tf (t )dt0
(7.11)
care, integrat prin pri conduce la m = R(t )dt .0
(7.12)
Pentru valoarea medie m a timpului de funcionare se utilizeaz
dou notaii consacrate n fiabilitate, i anume: MTBF (Mean Time
Between Failures) n cazul produselor reparabile i MTTF (Mean Time
To Failure) n cazul produselor nereparabile.
n practic, uneori nu se face distincie ntre cele dou situaii,
folosindu-se aceeai notaie (MTBF). O generalizare a expresiei
(7.12) se poate obine considernd funcia de fiabilitate ntr-un
interval oarecare (t, t+x):1 m(t ) = R (t , t + x)dx = R(u )du. R
(t ) t 0
(7.13)
Expresia (7.13) reprezint media timpului de funcionare rmas pn
la defectare ncepnd de la un moment arbitrar t. Evident, pentru
t=0, (7.13) se reduce la (7.12). Cele dou valori medii sunt
interpretate n fig. 7.2.R(t) 1 m m(t)-R(t)
0
t
t
Fig. 7.2. Explicativ pentru mediile m i m(t). Indicatorii de
fiabilitate definii pn acum sunt legai ntre ei prin relaii uor de
dedus, care sunt prezentate n tabelul 7.1.
7-5
Tabelul 7.1. Relaii ntre indicatorii de fiabilitate
Indicator F(t) F(t)--
Exprimat n funcie de indicatorul f(t) R(t)
z(t)1 exp[ z (u )du ]0 t
f (u )du0
t
1-R(t)
f(t)
dF (t ) dt
--
dR (t ) dt--
z (t ) exp[ z (u )du ]0
t
R(t)
1-F(t)
f (u )dut
exp[ z (u )du ]0
t
z(t)
1 dF (t ) 1 F (t ) dt
f (t ) t
f (u )du0
1 dR(t ) R(t ) dt0
--
m
[1 F (t )]dt0
tf (t )dt
R(t )dt
0
exp[ z (u )du ]dt0
t
7-6 n afara indicatorilor enumerai, fiabilitatea unui produs
poate fi descris prin caracteristici numerice ca: abaterea medie
ptratic, dispersia i cuantila timpului de funcionare. Dispersia D i
abaterea medie ptratic indic gradul de uniformitate al unei
colectiviti de produse din punctul de vedere al fiabilitii. Dac
procesul tehnologic este bine controlat, D i vor fi mici. Un alt
indicator de fiabilitate este cuantila t de ordinul a timpului de
funcionare, definit ca rdcin a ecuaiei F(t)=. (7.14)
Din aceast relaie rezult posibila interpretare a cuantilei ca
timp de garanie, adic timp n care proporia de elemente defectate
dintr-o anumit colectivitate nu depete o valoare prestabilit .7.2.
Legi de repartiie asociate timpului de funcionare
Descrierea complet a fiabilitii unui produs necesit cunoaterea
legii de repartiie a timpului de funcionare, respectiv a
indicatorilor de fiabilitate ca funcii de timp. Exist dou direcii
de abordare a problemei stabilirii legii de repartiie a timpului de
funcionare pn la defectare pentru un anumit produs. Prima se bazeaz
pe cunoaterea mecanismelor fizico-chimice ale defectrii, n scopul
deducerii pe cale teoretic a legii de repartiie. A doua direcie
const n alegerea, pe baza concordanei cu rezultatele experimentale,
a celei mai adecvate legi de repartiie dintre cele studiate n
statistica matematic: normal, log-normal, exponenial, Weibull etc.
n practic se constat o combinare a celor dou direcii, raionamentele
de ordin fizic fiind coroborate cu rezultatele experimentale
obinute n ncercrile de fiabilitate sau n exploatarea produselor. Pe
baza experienei anterioare se adopt iniial un grup de legi de
repartiie din care se elimin cele ce nu concord cu rezultatele
experimentale. Alegerea final ntre legile de repartiie rmase se
face din considerente de ordin fizic, legate n primul rnd de
caracterul uzurii produsului. n ce privete uzura, se spune c un
produs este cu uzur pozitiv dac rata sa de defectare este
cresctoare n timp, cu uzur negativ dac rata de defectare este
descresctoare i fr uzur, dac rata de defectare este constant.
Practica arat c, n general, orice produs trece prin trei faze de
evoluie, caracterizate printr-o uzur negativ, nul i respectiv
pozitiv (fig. 7.3).
7-7z(t) A I II III
B
C
0
t1
t2
t
Fig.7.3. Forma tipic de variaie a ratei de defectare. Prima faz,
a defectrilor timpurii, corespunde rodajului, prin care se mbuntesc
caracteristicile de fiabilitate ale produsului, rata de defectare a
acestuia micorndu-se. n a doua faz, numit perioada util de
funcionare, nu se manifest fenomene de uzur, rata de defectare
rmnnd constant. n ultima faz, de mbtrnire, rata de defectare crete
accentuat datorit fenomenelor de mbtrnire. Duratele celor trei faze
difer mult de la un produs la altul. Produsele electronice sunt
caracterizate de o durat extins a perioadei utile de funcionare i
de o pondere nsemnat a perioadei defectrilor timpurii. Perioada
uzurii nule poate fi modelat cu ajutorul legii de repartiie
exponeniale, aceasta fiind singura lege cu o rat de defectare
constant. Perioadele de rodaj i de mbtrnire pot fi modelate cu
ajutorul celorlalte legi, alegnd convenabil valorile parametrilor
lor.7.2.1. Repartiia exponenial
n cazul repartiiei exponeniale densitatea de probabilitate f(t),
probabilitatea de defectare F(t) i funcia de fiabilitate R(t) au
expresiile: f (t ) = e t (7.15)
F (t ) = 1 e t R (t ) = e t innd cont de relaia (7.7), rata de
defectare z(t) devinef (t ) e t z (t ) = = = = constant. R(t ) e
t
(7.16) (7.17)
(7.18)
Media m (sau MTBF) i abaterea medie ptratic au valori egale
7-8
MTBF = =Observaii
1 .
(7.19)
1). Dup scurgerea unui interval de timp egal cu MTBF, valoarea
funciei de fiabilitate este R( MTBF ) = e 1 = e 1 0,37 ,
(7.20)
ceea ce nseamn c exist doar 37% anse ca produsul s funcioneze un
timp mai lung dect MTBF. 2). Dispersia valorilor timpilor de bun
funcionare este extrem de mare (ca o consecin a faptului c
z(t)=constant), neputndu-se practic vorbi de o grupare a timpilor
de funcionare n jurul valorii medii MTBF. 3). Distribuia exponenial
se caracterizeaz printr-o rat constant de defectare, adic dac un
sistem a funcionat pn la momentul t, probabilitatea ca el s
funcioneze n momentul urmtor este aceeai ca i cum sistemul tocmai
atunci ar fi fost pus n funciune. Aceast presupunere neglijeaz
defectele datorate dereglrii i uzurii. Pentru un produs oarecare
este normal ca n timp, din cauza uzurii, rata de defectare s
creasc. O rat de defectare constant pune n eviden faptul c, pentru
un produs care se afl n funcionare la un moment dat, nu are nici o
importan vrsta lui, adic timpul ct a funcionat anterior. Cu alte
cuvinte, probabilitatea ca un produs s se afle n stare de
funcionare la momentul t+t atunci cnd el se afl n funcionare la
momentul t va fi dat de expresia p = exp(t ) . (7.21)
Acelai lucru rezult mai clar din urmtorul exemplu: dac la t=0 se
pune n funciune un lot de N0 produse, la momentul t vor mai fi n
funciune N(t)=N0exp(-t) produse, iar la momentul t+t vor fi
N(t+t)=N0exp[-(t+t)]= N(t)exp(-t), adic pentru un produs care se
afl n stare de funcionare la momentul t, probabilitatea de
funcionare la t+t va fiN (t + t ) N (t )e t p= = = e t . N (t ) N
(t ) (7.22)
7-9 Acest lucru este foarte important deoarece simplific
calculul fiabilitii sistemelor reparabile. Astfel, un sistem n care
a fost nlocuit un bloc defect cu unul nou, va avea o funcie de
fiabilitate R(t)=exp(-t), unde originea timpului coincide cu
momentul repunerii n stare de funcionare, dei blocurile care nu au
fost nlocuite pot avea o vrst apreciabil. Distribuia exponenial se
folosete n cazul mecanismelor de defectare complexe, cnd defectrile
elementelor componente se produc cu rate diferite, astfel nct rata
global de defectare este constant. Dac elementele componente au o
repartiie exponenial a timpului de funcionare, atunci echipamentul
care conine aceste elemente va avea de asemenea o repartiie
exponenial, iar rata de defectare rezultant va fi suma ratelor de
defectare ale componentelor, cu condiia ca defectele componentelor
s fie independente.7.2.2. Repartiia Weibull
Repartiia Weibull este caracterizat de densitatea de
probabilitate
f (t ) = t 1e t ,
(7.23)
unde este un parametru de scar iar un parametru de form (fig.
7.4).f(t)
1
>1
0
t
Fig. 7.4. Densitatea de probabilitate a repartiiei Weibull.
Funcia de repartiie i funcia de fiabilitate sunt date de relaiile:F
(t ) = 1 e t ,
(7.24) (7.25)
R(t ) = e t . Rata de defectare, calculat pe baza relaiei (7.7),
este
7-10 z (t ) = t 1 . Media, calculat conform relaiei (7.12),
este1 1 m = ( + 1) ,
(7.26)
(7.27)
unde (z) este funcia Euler de spea I ( z ) = t z 1e t dt .0
(7.28)
Dispersia are expresia2 2 1 = [(1 + ) 2 (1 + )] . 2
(7.29)
Alura curbei z(t) depinde de valoarea parametrului de form (fig.
7.5).z(t) >2 1