ff.unze.ba Trostruk...Trostruki integrali 1. Izračunaj trostruki integral . 2 0 1 1 1 (4 ) 2 I dx dy z dz x Rješenje: 3 40 3 4) 10 3 2) 10(2 3 10 (1 ) 10((8 2) 10 2 (4 ) 4 1 1 3

71

Trostruki integrali

1. Izračunaj trostruki integral .

2

0

11

1

)4(2

dzzdydxIx

Rješenje:

3

40

3

410)

3

22(10)

3(10)1(10

10)28(2

4)4(

1

1

31

1

1

1

2

11

1

1 1

1

2

0

2

0

1

1

22

0

111

1 2222

xxdxx

dxydydxdyz

zdxdzzdydxIxxxx

2. Izračunaj trostruki integral G yx

dxdydz

1, gdje je G ograničena ravnima :

a) x+y+z=1, x=0, y=0, z=0; b) x=0, x=1, y=2, y=5, z=2, z=4. Rješenja:

a) G

yx

dxdydz

1 x=0, y=0, z=0

Skicirajmo oblast G (vidi sliku desno).

x+y+z=1 1111

zyx

x= 0 je yOz ravan y= 0 je xOz ravan z= 0 je xOy ravan Odredimo projekciju oblasti na xOy ravan: Nacrtati sliku (uputa: pogledati xoy ravan sa slike desno). x+y+z=1 z= 0

x+y=1 z= 1-x-y

yxz

xy

x

10

10

10 Sa slike projekcije odredimo granice:

2

1

2

11

2

)1())1(1

1(

1

1

11

1

0

21

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

xx

dxxdxydydxdyyxyx

dx

dyzyx

dxdzyx

dydx

yx

dxdydz

xxx

yx xyx

x

G

b) G yx

dxdydz

1 x=0, x=1, y=2, y=5, z=2, z=4.

Skicirajmo oblast G (vidi sliku).

dxxdxx

dxxxtt

dtdx

xty

xty

dtdy

tyx

yx

dydx

yx

dyzdxdz

yx

dydx

x

x

x

x

1

0

1

0

1

0

4

1

1

0

1

0

4

1

1

0

5

2

4

2

1

0

5

2

4

2

1

0

5

2

1ln24ln2

1ln4ln2ln22

45

12

1

12

11