数値シミュレーションmse/uploads/2014/09/4438b035dad...4 空間の離散化 19 位置 温度T x 空間をΔxで離散化． 微小区間の温度を 代表点の温度で近似．

1

数値シミュレーション

2014年度 第2回

2014年10月2日

永野 （熱流体システム研究室）

[email protected]

本日の講義及び演習

• 偏微分方程式の偏微分項をコンピュータで扱えるようにする

– 離散化（差分化）

• テイラー展開の利用

– 1階微分項に対する差分式

– 2階微分項に対する差分式

• 1次元熱伝導方程式に適用して差分式を導出

• Excelを利用した温度変化シミュレーション

2

熱の伝わり方（伝熱モード）

熱伝導・・・物質（固体・流体）内の熱移動

3

重要！

熱伝達（対流）・・・流体と物体間の熱移動

輻射（放射）・・・電磁波として移動する熱移動

流体

電磁波

1次元（x方向のみ）を考える

温度差と温度勾配

熱移動量の表現

]J[dQ ：熱移動量

]W[J/s][ Qd ：単位時間当たり

]mW[ 2

dAQdq

：単位時間 単位面積当たり

熱流束（heat flux）

]K[12 TTdT ：温度差

]K/m[dxdT

：温度勾配＝単位距離当たりの温度差

熱伝導方程式の導出

4

重要！

x

1T

dx

2T

距離

面積dA

熱の移動方向はx方向を正とする熱移動量dQ

フーリエの法則熱流束（単位時間 単位面積当たりの熱移動量）は温度勾配に比例する

dxdTq

比例係数λを 熱 伝導 率（thermal conductivity）と呼ぶ

熱がxの正方向に流れるのはT1 > T2の時，すなわちT2－T1 < 0となる時である．よって負記号が付く．

①

フーリエの法則

5

復習

x

1T

dx

2T

距離

面積dA

熱移動量dQ

温度勾配 熱流束

温度勾配 と 熱流束 の正負

6

1T

2T

x

0dxdT 0q

0dxdT

0q

q

1T

2T

q

1T

2Tq

0dxdT 0q

q0

dxdT 0q

+

+

－

－

2T1T

復習

2

フーリエの法則

dxdTq

より，熱伝導率λの単位は W/(m・K) となる

]K/m[dxdT

温度勾配

]mW[ 2

dAQdq

熱流束

熱伝導率の単位

7

復習 熱伝導率の影響

• 物質を挟んだ点１と点２の間にある温度差があったとする．

熱伝導率が大きいと移動する熱量は【大きくなる】

熱伝導率が小さいと移動する熱量は【小さくなる】

8熱伝導のしやすさ（熱の流れやすさ）の指標

dxdTq

（※大きいか小さいかを問うているので、スカラー量すなわち絶対値で考えよ！）

1T

2Tq q+ +

2T

1T

復習

記入せよ

熱の出入りと温度変化の関係

9

・熱を与えられるとそれに比例して温度が上昇・熱を奪われるとそれに比例して温度が下降

• 温度変化の基本原理

TmcQ もらった

熱量質量 比熱

温度上昇

・すべてはこの原理に基づいている

・「温度」という物理概念と、「熱量」という物理概念を結び付ける法則＝原理

復習 熱の出入りがある棒の温度変化を考えてみる

10

この棒には，左からq12の熱量が入り，右からq23の熱量が出ていく

熱量収支

2312 QQQ

この熱量収支により棒の中点の温度がΔT2変化する

2TmcQ

23122 QQTmc ③

ある時点の温度T1, T2, T3が与えられたとき、Δt秒後の温度T2’を求めよ

Δx

1T 2T 3T

12Q 23Q

T2’=T2+ΔT2 なので，

ΔT2が分かればよい

復習

熱の出入りをフーリエの法則を使って表す

11

dxdTq

①式を変化量で表すと

xT

AtQ

dAQdq

xTAtQ

xTTAtQ

1212

xTTAtQ

2323

④

⑤

Δx

1T 2T 3T

12Q 23Q

復習

W/m2W = J/s

m2 s

J

①

温度変化を求める

12

④式と⑤式を③式に代入

xTT

xTTAtQQTmc 2312

23122

x

TTTAtx

TTTAt 123123 22 ⑥

棒を三次元的に考えると

Δy

Δx

Δz

A zyA

棒の質量は【密度ρ】×【体積】

⑦

⑧zyxm

復習

3

温度変化を求める

⑦式と⑧式を⑥式に代入

x

TTTtTcx 1232

2

2123

22

xTTTtTc

⑨

2123

22

xTTT

ctT

Δx

1T 2T 3T

12Q 23Q

復習

x

TTTzytTczyx 1232

2

棒の中点の温度変化を知ることができた！

13

一次元熱伝導方程式の導出

14

⑨式を変形すると

2123

22

xTTT

ctT

21232 2

xTTT

ctT

⑩

2123

22

2 2x

TTTxT

⑨

tT

tT

2

復習

温度は一般的に位置と時間の関数なので， 0

limt

温度の二階偏微分項を表す

0limx

一次元熱伝導方程式の導出

15

結果、⑩式は以下の様な偏微分方程式となる

2

2

xT

ctT

一次元熱伝導方程式

⑪

温度Tの時間tによる微分→ 温度の時間変化

温度Tの空間xによる2階微分→ 「温度の勾配」の勾配

比例する

復習

つまり、温度勾配が大きく変化する場所では温度の時間変化が大きい… ということ！

式を比較してみよう

16

21232 2

xTTT

ctT

⑨

連続式（熱伝導方程式）

離散式（温度変化）

極限化

0,0lim

xt

2

2

xT

ctT

⑪

Δx

1T 2T 3T

12Q 23Q

離散化（隣点の温度と分割幅Δx，時間刻みΔtを利用）

復習

数値シミュレーションの実際

• 対象となる現象を定式化

– 常微分方程式

– 偏微分方程式

方程式に現れる物理量は空間および時間に対して連 続 的

コンピュータ上では物理量の 離 散 的（デジタル的）な値しか扱えない

17

変換（離散化）が必要

復習 時間の離散化

18

実現象では温度が連続的に変化

0ttt

tt 2tt 3

シミュレーションでは，時間的に離散（とびとび）

時間

連続する時間をΔtで離散化．

5℃（固定）5℃（固定）

時間ステップ

時間t の変化によって…温度T

位置

復習

4

空間の離散化

19

位置

温度T

x

空間をΔxで離散化．微小区間の温度を代表点の温度で近似．

実現象では温度が連続的に分布

シミュレーションでは，空間的に離散（とびとび）

5℃（固定）5℃（固定）

節点

時間t=0 のとき

復習 数値シミュレーションの限界

• とびとびの値を使って変化を模擬しても、極限的には連続的な空間変化・時間変化へ近づけることが出来る

– 空間間隔を無限小にする・・・・・

– 時間分割を無限小にする・・・・・

0limx

0limt

・ 実際には限度がある・コンピュータの計算能力・ディスク容量・メモリ容量・計算時間の制限

20

偏微分方程式を離散的な式へ変換

• コンピュータで扱えるように，「連続的な」式（偏微分法方程式）を「離散的な式」（差分方程式）に変換する

– 微小変量 → 有限の（具体的な）小さな値の変量

– 微分演算 → 割り算 に変換

– 積分演算 → 掛け算 ＆ 足し算 に変換

• 変換は「近似」であるから，連続的な式との「誤差」が生ずる

• 離散的な式を使うと，プログラム上の四則代数演算で解くことが出来る

21

2

2

xT

ctT

変換対象は微分項

• 熱伝導方程式

22

時間tに関する一階偏微分項

空間xに関する二階偏微分項

偏微分項を離散的に表したい

時間的・空間的な隣接点で表現できないか？

コンピュータでは扱えない

・・・ 一次元熱伝導方程式

n1n t1nt t

偏微分方程式の差分化3次の項2次の項1次の項

テイラー展開

• 偏微分の差分化は「テイラー展開」を用いて行う

• テイラー展開 (Taylor expansion) とは・・・

– ある関数の従属変数の微小変量に対する関数の値の変化を、その関数の微係数の級数で表すこと

24

jjj

jj xux

xux

xuxuu 3

33

2

22

1 )(!3

1)(!2

1

33

32

2

2

!31

!21 dx

xudx

xudx

xuxudxxu

• 微小変量 dx → 有限変量 x に置き換えると

重要！

5

テイラー展開

25

• テイラー展開は、高次の項を考慮するほど漸近していく

jj uu 1

jjj x

uxuu

1

jjjj x

uxxuxuu 2

22

1 )(!2

1

jjjjj x

uxxux

xuxuu 3

33

2

22

1 )(!3

1)(!2

1

・・・高精度の近似

高次の項ほど小さな値を取る

粗い近似近似

テイラー展開の直観的な意味

• テイラー展開の直観的な意味

26

j 1jx

jux

u：連続分布変量 u3次の項2次の項1次の項

jjjjj x

uxxux

xuxuu 3

33

2

22

1 )(!3

1)(!2

1

1ju

節点番号・・・ 1j

xu

2

2

xT

ctT

偏微分の差分化

27

時間tに関する一階偏微分項

空間xに関する二階偏微分項

3次の項2次の項1次の項

jjjjj x

uxxux

xuxuu 3

33

2

22

1 )(!3

1)(!2

1• テイラー展開

• 熱伝導方程式

テイラー展開を用いて、偏微分項を離散的な値で近似したい！

一階の差分式の作り方 （その１）

隣接する点で偏微分項を近似する

テーラー展開より、

jjj

jj xux

xux

xuxuu 3

33

2

22

1 )(!3

1)(!2

1

)( 21 xO

xuxuu

jjj

28

隣接する点

１次精度の差分法(First-order accurate difference scheme)

2次以降の項を無視

近似によって生じる誤差項 28

一階の微分項を近似できた！

2

2

xT

ctT

)(1 xOx

uuxu jj

j

一階の差分式の作り方 （その2）

29

jjjj x

uxxuxuu 2

22

1 )(!2

1

)(1 xOxuu

xu jj

j

)( 21 xO

xuxuu

jjj

ΔxのかわりにマイナスΔxを用いれば…

前進差分 (Forward difference)隣り合う離散的な点の

物理量によって，一階の微分項を近似

j1j x1jx x

前進後退

後退差分 (Backward difference)

)(1 xOx

uuxu jj

j

一階の差分式の作り方 （その3）

– 前進差分と後退差分の差を取る

30

jj

jj xux

xuxuu 2

22

1 )(!2

1

jj

jj xux

xuxuu 2

22

1 )(!2

1

正方向

負方向

差を取る

)(2

211 xOxuu

xu jj

j

3次以降の項を無視

2次精度の差分法(Second-order accurate difference scheme)

2次の項まで考慮！（但し相殺してゼロ）

j1j x1jx x

中心中心差分 (Central difference)

6

一階の差分式の作り方 （まとめ）

• 3種類の一階差分法

31)(

2211 xO

xuu

xu jj

j

中心差分 2次精度

)(1 xOxuu

xu jj

j

1次精度

1次精度前進差分

後退差分

)(1 xOx

uuxu jj

j

j 1j1j

)(xuu

x

前進差分

後退差分

中心差分

31312

2

xT

ctT

2

2

xT

ctT

二階の差分式の作り方

• 二階の差分式

– 一階の前進差分と後退差分の和を取る

正方向

負方向

jj

jj xux

xuxuu 2

22

1 )(!2

1

jjjj x

uxxuxuu 2

22

1 )(!2

1和を取る

)()(

2 22

112

2xO

x

uuu

xu jjj

j

3次以降の項を無視

2次精度の差分法

近似できた！

j1j x1jx x

前進後退

時間に関する差分式

33

前進差分

後退差分

)(1

tOt

uutu nnn

)(1

tOtuu

tu nnn

n は現在の時間ステップn+1 は次の時間ステップn-1 は前の時間ステップΔt は微小時間間隔

)(tuu

n1n 1n

nu 1nu

t時間

t

時間ステップ （※ 次数 ではない）

0t tt tt 2

tt 3

位置

時間

x

• 時間の差分化

– 「時間的に隣接」する点との差分を考える

時間

温度

温度

時間的空間的に連続な温度分布

34

温度T

時間t

位置x

温度Tは場所xと時間tに依存する関数 T(x,t)

2

2

xT

ctT

１次元熱伝導の差分方程式（その１）

• 熱伝導方程式を差分化する場合

– 時間に関しては・・・前進差分

– 空間に関しては・・・二階差分

35t

TTtT n

jnj

1

211

2

2 2x

TTTxT n

jnj

nj

前進差分 二階差分

n1n t1nt t

j1j x1jx x

近似 近似

時間ステップ （※ 次数 ではない）節点番号（空間分割）

2

2

xT

ctT

１次元熱伝導の差分方程式（その2）

• シミュレーションに用いる差分式

36

tTT

tT n

jnj

1

211

2

2 2

x

TTT

xT n

jnj

nj

211

1 2x

TTTct

TT nj

nj

nj

nj

nj

・・・・・・・・・・ 各項の差分化

・・・・・・・・・・ 微分方程式の差分化

・・・・・・・・・・ 未知数の分離

現時点 時間ステップn（既知）

次の時間ステップn+1（未知）

n

jnj

nj

nj

nj TTT

xt

cTT 112

1 2

7

現時点 時間ステップn（既知）

2

2

xT

ctT

時間はΔtで離散化次の時間ステップn+1に対して前進差分

n1n t1nt t

１次元熱伝導の差分方程式（まとめ）

• シミュレーションに用いる差分式

37

次の時間ステップn+1（未知）

n

jnj

nj

nj

nj TTT

xt

cTT 112

1 2

コンピュータで扱える式になった！現時点での値がわかれば未来の値を計算できる！

空間はΔxで離散化両隣の節点j-1, j+1を用いて中心差分

j1j x1jx x

コンピュータで扱えない…

演 習 課 題

現在の時間ステップn（既知）

次の時間ステップn+1

（未知）

演習1： 1次元熱伝導

• 初期（t=0,n=0）において下図の様な温度分布で

あったとする．左右端の温度は変化しないとして，真ん中の点の温度変化をExcelを用いて時間ステップn=100 （時間 t=1.00） まで求めよ．

– 時間ステップ： Δt = 0.01– 節点間の距離： Δx = 1– 1 c 5℃ 5℃

20℃

Δx

jj-1 j+1

39

壁の温度（固定）

壁の温度（固定）

n

jnj

nj

nj

nj TTT

xt

cTT 112

1 2

時間ステップ 位置x の温度Tx [℃]n Tj-1 Tj Tj+1

0 5 20.00 51 5 ? 52 5 ? 53 5 ? 5

… … …

演習1： Excelでの計算のやりかた

5℃ 5℃

20℃

Δx

jj-1 j+1

壁の温度（固定）

壁の温度（固定）

40時間

位置

下方向に時間軸、左方向に空間軸をとったときの各位置の温度Tjをまとめる

計算対象であるTjは、過去時点の温度Tj-1, Tj, Tj+1を用いて算出する

n

jnj

nj

nj

nj TTT

xt

cTT 112

1 2

演習1： データのまとめかた

41

• 見やすくまとめること

– 他の人が見ても理解できるように、重要な情報を記載する

– 誰がいつ作ったのか？ 何のためのデータか？

– 計算条件はどれか？ 解（結果）はどれか？

• 後で容易に変更できるように作ること

– 将来、計算式や条件を変更することを事前に想定し、

容易に変更できるよう工夫して作成する

– Excelでは絶対参照／相対参照などを有効に活用する

本講義・本課題のみの注意事項ではなく、今後のあらゆるデータ整理・プログラムコード作成の際に気をつけておくべきこと

重要！

時間ステップ 時間 [sec] 位置x の温度Tx [℃]n t Tj-1 Tj Tj+1

0 0.00 5 20.00 51 0.01 5 19.85 52 0.02 5 19.70 53 0.03 5 19.55 54 0.04 5 19.41 55 0.05 5 19.26 56 0.06 5 19.12 57 0.07 5 18.98 58 0.08 5 18.84 59 0.09 5 18.70 5

10 0.10 5 18.57 5…100まで … … … …

演習1： Excelシートの例

解析条件

支配方程式 熱伝導方程式

差分法前進差分（時間）中心差分（空間）

節点間距離Δx 1時間ステップΔt 0.01比熱 c 1密度 ρ 1熱伝導率 λ 1

数式も載せておけば、見直しが容易（必須ではない）

1次元熱伝導の解析 ←1番上の行にタイトルを入れる習慣をつけよう（Sheet名にも）

境界条件

左端 j-1 温度固定

5右端 j+1 温度固定

5

n

jnj

nj

nj

nj TTT

xt

cTT 112

1 2

??????????

…

計算させるセルでは解析条件セルを参照する

8

演習1： グラフも書いてみよ

0

5

10

15

20

25

0 0.5 1 1.5 2

X

Tem

per

atu

re,℃

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

熱伝導の特性（温度の平滑化）が再現できる 44

時間

壁の温度（固定）

壁の温度（固定）

初期温度

節点間の線は、近似曲線で表示

時間的空間的に連続な温度分布

45

温度T

時間t

位置x

温度Tは場所xと時間tに依存する関数 T(x,t)

一次元熱伝導方程式

46

2

2

xT

ctT

温度Tの時間tによる微分→ 温度の時間変化

温度Tの空間xによる2階微分→ 「温度の勾配」の勾配

遅い

速い

ある場所における温度の時間的な変動量は，その場所における2階微分値（とんがり具合・凹凸具合）に比例している

演習2： 差分法

• 正方向および負方向のテイラー展開より以下を求めよ

– 空間一階偏微分項に対する前進差分

– 空間一階偏微分項に対する後退差分

– 空間一階偏微分項に対する中心差分

– 空間二階偏微分項に対する二次差分

（講義中に説明した内容の復習）

• A4レポート用紙．手書き．来週授業開始時に提出

47

本日のまとめ 【答案用紙に書いて提出】

48

• 微分方程式中の微係数を隣接する点で近似することを 化という

• ①化には 展開を利用する

• 位置j点における物理量uのxに関する微分を以下の３つの方式により表せ

– uj+1とujを用いて

– ujとuj-1を用いて

– uj+1とuj-1を用いて

• ③，④，⑤をそれぞれ， 差分， 差分， 差分とよぶ

④

①

②

jxu

jxu

③

jxu

⑤

⑥ ⑦ ⑧