電子物性工学で何を学ぶか？ エネルギーバンドの概念 半導体の基礎物性 半導体（接合）素子の基礎
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Transcript
電子物性工学で何を学ぶか
エネルギーバンドの概念
半導体の基礎物性
半導体（接合）素子の基礎
電子の波束とは何であったか
量子力学における電子波
電子の波動波動関数
確率波 として
シュレディンガー方程式
シュレディンガー波動方程式の導出
(exp)(exp zkykxkwtiAtiA zyx kr
E )(2
2
Vm
E p
kp
EH
EVm
)2
( 22
エネルギーバンドの概念（１）
自由電子（平面波）
イオン格子の周期構造
ブラッグ反射と定在波
エネルギーギャップの形成
Na結晶内周期的ポテンシャル近似
この電子に注目
自由電子
Ｌ
一辺 Ｌ の箱
電子波のブラッグの反射
)sin(2)exp()exp(
)cos(2)exp()exp(
sin2
a
xi
a
xi
a
xi
a
x
a
xi
a
xi
Ua
k
nd
d
S
C
ような定在波となるにより反射され次の
形成するポテンシャルの電子波は＋イオンの波数
１次元結晶を考える
きく反射するをみたすと電子は大
）（ブラッグの反射条件
の電子が運動するときの中を波長格子面間隔
エネルギーバンドの概念（２）
自由電子（平面波）
イオン格子の周期構造
ブラッグ反射と定在波
エネルギーギャップの形成
エネルギーギャップの形成
なるフーリエ成分に等しく
は結晶ポテンシャルのャップつまりエネルギーギ
は次のようになるそのエネルギー差
なるネルギーを持つことに２つの状態は異なるエ
の影響を受けクーロンポテンシャルこのとき＋イオンの
度は２種類の電子の確率密
g
a
CSg
g
S
C
E
U
a
x
a
x
a
xdxU
xdxUE
E
a
x
a
x
0
22
0
0
22
22
22
))(cos)((sin)2
cos(2
)(
)(sin
)(cos
エネルギーギャップ発生機構
１次元結晶における分散関係
k=Π a に注目
２つのエネルギー状態が考えられる
比較） 金属中の自由電子のエネルギー
前期に学んだモデルを思い出そう
前図１次元結晶における分散関係と比較する
逆格子空間（基礎電子物性の復習）
が定義されるとして逆格子ベクトル
整数） （
これらを使って
なお
を定義する並進ベクトルとして逆格子空間の
に対してこのベクトル
整数） （
て不変であるは次の並進操作に対し結晶のすべての格子点
２１３１３２
G
vbvbvbvG
aaaV
b
V
aab
V
aab
V
aab
a
uauauauT
i
a
i
aaa
i
i
)(
222
332211
321
321
332211
結晶とフーリエ解析（基礎電子物性の復習）
思い出せ成分が関与したことを
ャルのフーリエ考えるときポテンシエネルギーギャップを
本式となるる結晶の構造解析の基この関係はＸ線等によ
であることが分かる
適用するとこれにフーリエ解析を
である
は電子密度結晶の並進対称性から
)exp()(
)()(
)(
riGnrn
rnTrn
rn
G
G
G=ν 1b1+ν 2b2+ν 3b3
ブリュアンゾーン
境界（点）であるがブリュアンゾーン
であるから１次元では
ギーギャップができる不連続となりエネル
のエネルギーは境界面では必ず電子ブリュアンゾーンの
となる
リュアンゾーンアンゾーン第３ブその外側が第２ブリュ
ブリュアンゾーン原点を含む領域を第１
２次元の例
アンゾーンと呼ぶ成される領域をブリュ垂直二等分する面で構
を結ぶ線分をの原点と他の逆格子点逆格子空間において
ak
aG
k
2
0
１次元結晶における分散関係
２次元結晶のブリュアン領域
有限結晶における電子状態
の電子を収める状態
状態）個の異なる波数（運動
において個の原子からなる結晶
の数ンドにおける電子状態 各バ
バンドぞれ独立のエネルギー それ
ンは界で隔離された各ゾーブリュアンゾーン境
N
N
N
2
補足説明
個態はピンを考慮すると状 ２種類のス
の許される値動ベクトル 電子の波
リュアンゾーンの中 第１ブ
）子定数 （格
元結晶個の格子からなる１次で長さ
N
aL
N
L
N
LLk
k
NaLa
NL
2
12
2
4
2
0
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
56個の原子で構成される1次元結晶の第1ブリュアン領域
有限２次元結晶のブリュアン領域
固体のエネルギーバンド
バンドと電気伝導性の関係を
最もエネルギーの高いバンドに注目して考える
そのバンドが電子ですべて占有されているとき （例えば一つの原子が偶数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を流さない絶縁体（半導体）となる
バンドの一部が電子で占有されているとき （例えば一つの原子が奇数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を良く流す金属となる
と考えられるのは何故か
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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ETk
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B
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2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
電子の波束とは何であったか
量子力学における電子波
電子の波動波動関数
確率波 として
シュレディンガー方程式
シュレディンガー波動方程式の導出
(exp)(exp zkykxkwtiAtiA zyx kr
E )(2
2
Vm
E p
kp
EH
EVm
)2
( 22
エネルギーバンドの概念（１）
自由電子（平面波）
イオン格子の周期構造
ブラッグ反射と定在波
エネルギーギャップの形成
Na結晶内周期的ポテンシャル近似
この電子に注目
自由電子
Ｌ
一辺 Ｌ の箱
電子波のブラッグの反射
)sin(2)exp()exp(
)cos(2)exp()exp(
sin2
a
xi
a
xi
a
xi
a
x
a
xi
a
xi
Ua
k
nd
d
S
C
ような定在波となるにより反射され次の
形成するポテンシャルの電子波は＋イオンの波数
１次元結晶を考える
きく反射するをみたすと電子は大
）（ブラッグの反射条件
の電子が運動するときの中を波長格子面間隔
エネルギーバンドの概念（２）
自由電子（平面波）
イオン格子の周期構造
ブラッグ反射と定在波
エネルギーギャップの形成
エネルギーギャップの形成
なるフーリエ成分に等しく
は結晶ポテンシャルのャップつまりエネルギーギ
は次のようになるそのエネルギー差
なるネルギーを持つことに２つの状態は異なるエ
の影響を受けクーロンポテンシャルこのとき＋イオンの
度は２種類の電子の確率密
g
a
CSg
g
S
C
E
U
a
x
a
x
a
xdxU
xdxUE
E
a
x
a
x
0
22
0
0
22
22
22
))(cos)((sin)2
cos(2
)(
)(sin
)(cos
エネルギーギャップ発生機構
１次元結晶における分散関係
k=Π a に注目
２つのエネルギー状態が考えられる
比較） 金属中の自由電子のエネルギー
前期に学んだモデルを思い出そう
前図１次元結晶における分散関係と比較する
逆格子空間（基礎電子物性の復習）
が定義されるとして逆格子ベクトル
整数） （
これらを使って
なお
を定義する並進ベクトルとして逆格子空間の
に対してこのベクトル
整数） （
て不変であるは次の並進操作に対し結晶のすべての格子点
２１３１３２
G
vbvbvbvG
aaaV
b
V
aab
V
aab
V
aab
a
uauauauT
i
a
i
aaa
i
i
)(
222
332211
321
321
332211
結晶とフーリエ解析（基礎電子物性の復習）
思い出せ成分が関与したことを
ャルのフーリエ考えるときポテンシエネルギーギャップを
本式となるる結晶の構造解析の基この関係はＸ線等によ
であることが分かる
適用するとこれにフーリエ解析を
である
は電子密度結晶の並進対称性から
)exp()(
)()(
)(
riGnrn
rnTrn
rn
G
G
G=ν 1b1+ν 2b2+ν 3b3
ブリュアンゾーン
境界（点）であるがブリュアンゾーン
であるから１次元では
ギーギャップができる不連続となりエネル
のエネルギーは境界面では必ず電子ブリュアンゾーンの
となる
リュアンゾーンアンゾーン第３ブその外側が第２ブリュ
ブリュアンゾーン原点を含む領域を第１
２次元の例
アンゾーンと呼ぶ成される領域をブリュ垂直二等分する面で構
を結ぶ線分をの原点と他の逆格子点逆格子空間において
ak
aG
k
2
0
１次元結晶における分散関係
２次元結晶のブリュアン領域
有限結晶における電子状態
の電子を収める状態
状態）個の異なる波数（運動
において個の原子からなる結晶
の数ンドにおける電子状態 各バ
バンドぞれ独立のエネルギー それ
ンは界で隔離された各ゾーブリュアンゾーン境
N
N
N
2
補足説明
個態はピンを考慮すると状 ２種類のス
の許される値動ベクトル 電子の波
リュアンゾーンの中 第１ブ
）子定数 （格
元結晶個の格子からなる１次で長さ
N
aL
N
L
N
LLk
k
NaLa
NL
2
12
2
4
2
0
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
56個の原子で構成される1次元結晶の第1ブリュアン領域
有限２次元結晶のブリュアン領域
固体のエネルギーバンド
バンドと電気伝導性の関係を
最もエネルギーの高いバンドに注目して考える
そのバンドが電子ですべて占有されているとき （例えば一つの原子が偶数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を流さない絶縁体（半導体）となる
バンドの一部が電子で占有されているとき （例えば一つの原子が奇数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を良く流す金属となる
と考えられるのは何故か
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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(
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11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
量子力学における電子波
電子の波動波動関数
確率波 として
シュレディンガー方程式
シュレディンガー波動方程式の導出
(exp)(exp zkykxkwtiAtiA zyx kr
E )(2
2
Vm
E p
kp
EH
EVm
)2
( 22
エネルギーバンドの概念（１）
自由電子（平面波）
イオン格子の周期構造
ブラッグ反射と定在波
エネルギーギャップの形成
Na結晶内周期的ポテンシャル近似
この電子に注目
自由電子
Ｌ
一辺 Ｌ の箱
電子波のブラッグの反射
)sin(2)exp()exp(
)cos(2)exp()exp(
sin2
a
xi
a
xi
a
xi
a
x
a
xi
a
xi
Ua
k
nd
d
S
C
ような定在波となるにより反射され次の
形成するポテンシャルの電子波は＋イオンの波数
１次元結晶を考える
きく反射するをみたすと電子は大
）（ブラッグの反射条件
の電子が運動するときの中を波長格子面間隔
エネルギーバンドの概念（２）
自由電子（平面波）
イオン格子の周期構造
ブラッグ反射と定在波
エネルギーギャップの形成
エネルギーギャップの形成
なるフーリエ成分に等しく
は結晶ポテンシャルのャップつまりエネルギーギ
は次のようになるそのエネルギー差
なるネルギーを持つことに２つの状態は異なるエ
の影響を受けクーロンポテンシャルこのとき＋イオンの
度は２種類の電子の確率密
g
a
CSg
g
S
C
E
U
a
x
a
x
a
xdxU
xdxUE
E
a
x
a
x
0
22
0
0
22
22
22
))(cos)((sin)2
cos(2
)(
)(sin
)(cos
エネルギーギャップ発生機構
１次元結晶における分散関係
k=Π a に注目
２つのエネルギー状態が考えられる
比較） 金属中の自由電子のエネルギー
前期に学んだモデルを思い出そう
前図１次元結晶における分散関係と比較する
逆格子空間（基礎電子物性の復習）
が定義されるとして逆格子ベクトル
整数） （
これらを使って
なお
を定義する並進ベクトルとして逆格子空間の
に対してこのベクトル
整数） （
て不変であるは次の並進操作に対し結晶のすべての格子点
２１３１３２
G
vbvbvbvG
aaaV
b
V
aab
V
aab
V
aab
a
uauauauT
i
a
i
aaa
i
i
)(
222
332211
321
321
332211
結晶とフーリエ解析（基礎電子物性の復習）
思い出せ成分が関与したことを
ャルのフーリエ考えるときポテンシエネルギーギャップを
本式となるる結晶の構造解析の基この関係はＸ線等によ
であることが分かる
適用するとこれにフーリエ解析を
である
は電子密度結晶の並進対称性から
)exp()(
)()(
)(
riGnrn
rnTrn
rn
G
G
G=ν 1b1+ν 2b2+ν 3b3
ブリュアンゾーン
境界（点）であるがブリュアンゾーン
であるから１次元では
ギーギャップができる不連続となりエネル
のエネルギーは境界面では必ず電子ブリュアンゾーンの
となる
リュアンゾーンアンゾーン第３ブその外側が第２ブリュ
ブリュアンゾーン原点を含む領域を第１
２次元の例
アンゾーンと呼ぶ成される領域をブリュ垂直二等分する面で構
を結ぶ線分をの原点と他の逆格子点逆格子空間において
ak
aG
k
2
0
１次元結晶における分散関係
２次元結晶のブリュアン領域
有限結晶における電子状態
の電子を収める状態
状態）個の異なる波数（運動
において個の原子からなる結晶
の数ンドにおける電子状態 各バ
バンドぞれ独立のエネルギー それ
ンは界で隔離された各ゾーブリュアンゾーン境
N
N
N
2
補足説明
個態はピンを考慮すると状 ２種類のス
の許される値動ベクトル 電子の波
リュアンゾーンの中 第１ブ
）子定数 （格
元結晶個の格子からなる１次で長さ
N
aL
N
L
N
LLk
k
NaLa
NL
2
12
2
4
2
0
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
56個の原子で構成される1次元結晶の第1ブリュアン領域
有限２次元結晶のブリュアン領域
固体のエネルギーバンド
バンドと電気伝導性の関係を
最もエネルギーの高いバンドに注目して考える
そのバンドが電子ですべて占有されているとき （例えば一つの原子が偶数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を流さない絶縁体（半導体）となる
バンドの一部が電子で占有されているとき （例えば一つの原子が奇数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を良く流す金属となる
と考えられるのは何故か
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
シュレディンガー波動方程式の導出
(exp)(exp zkykxkwtiAtiA zyx kr
E )(2
2
Vm
E p
kp
EH
EVm
)2
( 22
エネルギーバンドの概念（１）
自由電子（平面波）
イオン格子の周期構造
ブラッグ反射と定在波
エネルギーギャップの形成
Na結晶内周期的ポテンシャル近似
この電子に注目
自由電子
Ｌ
一辺 Ｌ の箱
電子波のブラッグの反射
)sin(2)exp()exp(
)cos(2)exp()exp(
sin2
a
xi
a
xi
a
xi
a
x
a
xi
a
xi
Ua
k
nd
d
S
C
ような定在波となるにより反射され次の
形成するポテンシャルの電子波は＋イオンの波数
１次元結晶を考える
きく反射するをみたすと電子は大
）（ブラッグの反射条件
の電子が運動するときの中を波長格子面間隔
エネルギーバンドの概念（２）
自由電子（平面波）
イオン格子の周期構造
ブラッグ反射と定在波
エネルギーギャップの形成
エネルギーギャップの形成
なるフーリエ成分に等しく
は結晶ポテンシャルのャップつまりエネルギーギ
は次のようになるそのエネルギー差
なるネルギーを持つことに２つの状態は異なるエ
の影響を受けクーロンポテンシャルこのとき＋イオンの
度は２種類の電子の確率密
g
a
CSg
g
S
C
E
U
a
x
a
x
a
xdxU
xdxUE
E
a
x
a
x
0
22
0
0
22
22
22
))(cos)((sin)2
cos(2
)(
)(sin
)(cos
エネルギーギャップ発生機構
１次元結晶における分散関係
k=Π a に注目
２つのエネルギー状態が考えられる
比較） 金属中の自由電子のエネルギー
前期に学んだモデルを思い出そう
前図１次元結晶における分散関係と比較する
逆格子空間（基礎電子物性の復習）
が定義されるとして逆格子ベクトル
整数） （
これらを使って
なお
を定義する並進ベクトルとして逆格子空間の
に対してこのベクトル
整数） （
て不変であるは次の並進操作に対し結晶のすべての格子点
２１３１３２
G
vbvbvbvG
aaaV
b
V
aab
V
aab
V
aab
a
uauauauT
i
a
i
aaa
i
i
)(
222
332211
321
321
332211
結晶とフーリエ解析（基礎電子物性の復習）
思い出せ成分が関与したことを
ャルのフーリエ考えるときポテンシエネルギーギャップを
本式となるる結晶の構造解析の基この関係はＸ線等によ
であることが分かる
適用するとこれにフーリエ解析を
である
は電子密度結晶の並進対称性から
)exp()(
)()(
)(
riGnrn
rnTrn
rn
G
G
G=ν 1b1+ν 2b2+ν 3b3
ブリュアンゾーン
境界（点）であるがブリュアンゾーン
であるから１次元では
ギーギャップができる不連続となりエネル
のエネルギーは境界面では必ず電子ブリュアンゾーンの
となる
リュアンゾーンアンゾーン第３ブその外側が第２ブリュ
ブリュアンゾーン原点を含む領域を第１
２次元の例
アンゾーンと呼ぶ成される領域をブリュ垂直二等分する面で構
を結ぶ線分をの原点と他の逆格子点逆格子空間において
ak
aG
k
2
0
１次元結晶における分散関係
２次元結晶のブリュアン領域
有限結晶における電子状態
の電子を収める状態
状態）個の異なる波数（運動
において個の原子からなる結晶
の数ンドにおける電子状態 各バ
バンドぞれ独立のエネルギー それ
ンは界で隔離された各ゾーブリュアンゾーン境
N
N
N
2
補足説明
個態はピンを考慮すると状 ２種類のス
の許される値動ベクトル 電子の波
リュアンゾーンの中 第１ブ
）子定数 （格
元結晶個の格子からなる１次で長さ
N
aL
N
L
N
LLk
k
NaLa
NL
2
12
2
4
2
0
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
56個の原子で構成される1次元結晶の第1ブリュアン領域
有限２次元結晶のブリュアン領域
固体のエネルギーバンド
バンドと電気伝導性の関係を
最もエネルギーの高いバンドに注目して考える
そのバンドが電子ですべて占有されているとき （例えば一つの原子が偶数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を流さない絶縁体（半導体）となる
バンドの一部が電子で占有されているとき （例えば一つの原子が奇数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を良く流す金属となる
と考えられるのは何故か
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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ETk
ETk
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Tk
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nn
Tk
EE
nN
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Tk
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nn
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dB
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B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
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dd
2
2
)2
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(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
エネルギーバンドの概念（１）
自由電子（平面波）
イオン格子の周期構造
ブラッグ反射と定在波
エネルギーギャップの形成
Na結晶内周期的ポテンシャル近似
この電子に注目
自由電子
Ｌ
一辺 Ｌ の箱
電子波のブラッグの反射
)sin(2)exp()exp(
)cos(2)exp()exp(
sin2
a
xi
a
xi
a
xi
a
x
a
xi
a
xi
Ua
k
nd
d
S
C
ような定在波となるにより反射され次の
形成するポテンシャルの電子波は＋イオンの波数
１次元結晶を考える
きく反射するをみたすと電子は大
）（ブラッグの反射条件
の電子が運動するときの中を波長格子面間隔
エネルギーバンドの概念（２）
自由電子（平面波）
イオン格子の周期構造
ブラッグ反射と定在波
エネルギーギャップの形成
エネルギーギャップの形成
なるフーリエ成分に等しく
は結晶ポテンシャルのャップつまりエネルギーギ
は次のようになるそのエネルギー差
なるネルギーを持つことに２つの状態は異なるエ
の影響を受けクーロンポテンシャルこのとき＋イオンの
度は２種類の電子の確率密
g
a
CSg
g
S
C
E
U
a
x
a
x
a
xdxU
xdxUE
E
a
x
a
x
0
22
0
0
22
22
22
))(cos)((sin)2
cos(2
)(
)(sin
)(cos
エネルギーギャップ発生機構
１次元結晶における分散関係
k=Π a に注目
２つのエネルギー状態が考えられる
比較） 金属中の自由電子のエネルギー
前期に学んだモデルを思い出そう
前図１次元結晶における分散関係と比較する
逆格子空間（基礎電子物性の復習）
が定義されるとして逆格子ベクトル
整数） （
これらを使って
なお
を定義する並進ベクトルとして逆格子空間の
に対してこのベクトル
整数） （
て不変であるは次の並進操作に対し結晶のすべての格子点
２１３１３２
G
vbvbvbvG
aaaV
b
V
aab
V
aab
V
aab
a
uauauauT
i
a
i
aaa
i
i
)(
222
332211
321
321
332211
結晶とフーリエ解析（基礎電子物性の復習）
思い出せ成分が関与したことを
ャルのフーリエ考えるときポテンシエネルギーギャップを
本式となるる結晶の構造解析の基この関係はＸ線等によ
であることが分かる
適用するとこれにフーリエ解析を
である
は電子密度結晶の並進対称性から
)exp()(
)()(
)(
riGnrn
rnTrn
rn
G
G
G=ν 1b1+ν 2b2+ν 3b3
ブリュアンゾーン
境界（点）であるがブリュアンゾーン
であるから１次元では
ギーギャップができる不連続となりエネル
のエネルギーは境界面では必ず電子ブリュアンゾーンの
となる
リュアンゾーンアンゾーン第３ブその外側が第２ブリュ
ブリュアンゾーン原点を含む領域を第１
２次元の例
アンゾーンと呼ぶ成される領域をブリュ垂直二等分する面で構
を結ぶ線分をの原点と他の逆格子点逆格子空間において
ak
aG
k
2
0
１次元結晶における分散関係
２次元結晶のブリュアン領域
有限結晶における電子状態
の電子を収める状態
状態）個の異なる波数（運動
において個の原子からなる結晶
の数ンドにおける電子状態 各バ
バンドぞれ独立のエネルギー それ
ンは界で隔離された各ゾーブリュアンゾーン境
N
N
N
2
補足説明
個態はピンを考慮すると状 ２種類のス
の許される値動ベクトル 電子の波
リュアンゾーンの中 第１ブ
）子定数 （格
元結晶個の格子からなる１次で長さ
N
aL
N
L
N
LLk
k
NaLa
NL
2
12
2
4
2
0
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
56個の原子で構成される1次元結晶の第1ブリュアン領域
有限２次元結晶のブリュアン領域
固体のエネルギーバンド
バンドと電気伝導性の関係を
最もエネルギーの高いバンドに注目して考える
そのバンドが電子ですべて占有されているとき （例えば一つの原子が偶数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を流さない絶縁体（半導体）となる
バンドの一部が電子で占有されているとき （例えば一つの原子が奇数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を良く流す金属となる
と考えられるのは何故か
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
Na結晶内周期的ポテンシャル近似
この電子に注目
自由電子
Ｌ
一辺 Ｌ の箱
電子波のブラッグの反射
)sin(2)exp()exp(
)cos(2)exp()exp(
sin2
a
xi
a
xi
a
xi
a
x
a
xi
a
xi
Ua
k
nd
d
S
C
ような定在波となるにより反射され次の
形成するポテンシャルの電子波は＋イオンの波数
１次元結晶を考える
きく反射するをみたすと電子は大
）（ブラッグの反射条件
の電子が運動するときの中を波長格子面間隔
エネルギーバンドの概念（２）
自由電子（平面波）
イオン格子の周期構造
ブラッグ反射と定在波
エネルギーギャップの形成
エネルギーギャップの形成
なるフーリエ成分に等しく
は結晶ポテンシャルのャップつまりエネルギーギ
は次のようになるそのエネルギー差
なるネルギーを持つことに２つの状態は異なるエ
の影響を受けクーロンポテンシャルこのとき＋イオンの
度は２種類の電子の確率密
g
a
CSg
g
S
C
E
U
a
x
a
x
a
xdxU
xdxUE
E
a
x
a
x
0
22
0
0
22
22
22
))(cos)((sin)2
cos(2
)(
)(sin
)(cos
エネルギーギャップ発生機構
１次元結晶における分散関係
k=Π a に注目
２つのエネルギー状態が考えられる
比較） 金属中の自由電子のエネルギー
前期に学んだモデルを思い出そう
前図１次元結晶における分散関係と比較する
逆格子空間（基礎電子物性の復習）
が定義されるとして逆格子ベクトル
整数） （
これらを使って
なお
を定義する並進ベクトルとして逆格子空間の
に対してこのベクトル
整数） （
て不変であるは次の並進操作に対し結晶のすべての格子点
２１３１３２
G
vbvbvbvG
aaaV
b
V
aab
V
aab
V
aab
a
uauauauT
i
a
i
aaa
i
i
)(
222
332211
321
321
332211
結晶とフーリエ解析（基礎電子物性の復習）
思い出せ成分が関与したことを
ャルのフーリエ考えるときポテンシエネルギーギャップを
本式となるる結晶の構造解析の基この関係はＸ線等によ
であることが分かる
適用するとこれにフーリエ解析を
である
は電子密度結晶の並進対称性から
)exp()(
)()(
)(
riGnrn
rnTrn
rn
G
G
G=ν 1b1+ν 2b2+ν 3b3
ブリュアンゾーン
境界（点）であるがブリュアンゾーン
であるから１次元では
ギーギャップができる不連続となりエネル
のエネルギーは境界面では必ず電子ブリュアンゾーンの
となる
リュアンゾーンアンゾーン第３ブその外側が第２ブリュ
ブリュアンゾーン原点を含む領域を第１
２次元の例
アンゾーンと呼ぶ成される領域をブリュ垂直二等分する面で構
を結ぶ線分をの原点と他の逆格子点逆格子空間において
ak
aG
k
2
0
１次元結晶における分散関係
２次元結晶のブリュアン領域
有限結晶における電子状態
の電子を収める状態
状態）個の異なる波数（運動
において個の原子からなる結晶
の数ンドにおける電子状態 各バ
バンドぞれ独立のエネルギー それ
ンは界で隔離された各ゾーブリュアンゾーン境
N
N
N
2
補足説明
個態はピンを考慮すると状 ２種類のス
の許される値動ベクトル 電子の波
リュアンゾーンの中 第１ブ
）子定数 （格
元結晶個の格子からなる１次で長さ
N
aL
N
L
N
LLk
k
NaLa
NL
2
12
2
4
2
0
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
56個の原子で構成される1次元結晶の第1ブリュアン領域
有限２次元結晶のブリュアン領域
固体のエネルギーバンド
バンドと電気伝導性の関係を
最もエネルギーの高いバンドに注目して考える
そのバンドが電子ですべて占有されているとき （例えば一つの原子が偶数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を流さない絶縁体（半導体）となる
バンドの一部が電子で占有されているとき （例えば一つの原子が奇数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を良く流す金属となる
と考えられるのは何故か
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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2
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(
)exp(2
1
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11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
電子波のブラッグの反射
)sin(2)exp()exp(
)cos(2)exp()exp(
sin2
a
xi
a
xi
a
xi
a
x
a
xi
a
xi
Ua
k
nd
d
S
C
ような定在波となるにより反射され次の
形成するポテンシャルの電子波は＋イオンの波数
１次元結晶を考える
きく反射するをみたすと電子は大
）（ブラッグの反射条件
の電子が運動するときの中を波長格子面間隔
エネルギーバンドの概念（２）
自由電子（平面波）
イオン格子の周期構造
ブラッグ反射と定在波
エネルギーギャップの形成
エネルギーギャップの形成
なるフーリエ成分に等しく
は結晶ポテンシャルのャップつまりエネルギーギ
は次のようになるそのエネルギー差
なるネルギーを持つことに２つの状態は異なるエ
の影響を受けクーロンポテンシャルこのとき＋イオンの
度は２種類の電子の確率密
g
a
CSg
g
S
C
E
U
a
x
a
x
a
xdxU
xdxUE
E
a
x
a
x
0
22
0
0
22
22
22
))(cos)((sin)2
cos(2
)(
)(sin
)(cos
エネルギーギャップ発生機構
１次元結晶における分散関係
k=Π a に注目
２つのエネルギー状態が考えられる
比較） 金属中の自由電子のエネルギー
前期に学んだモデルを思い出そう
前図１次元結晶における分散関係と比較する
逆格子空間（基礎電子物性の復習）
が定義されるとして逆格子ベクトル
整数） （
これらを使って
なお
を定義する並進ベクトルとして逆格子空間の
に対してこのベクトル
整数） （
て不変であるは次の並進操作に対し結晶のすべての格子点
２１３１３２
G
vbvbvbvG
aaaV
b
V
aab
V
aab
V
aab
a
uauauauT
i
a
i
aaa
i
i
)(
222
332211
321
321
332211
結晶とフーリエ解析（基礎電子物性の復習）
思い出せ成分が関与したことを
ャルのフーリエ考えるときポテンシエネルギーギャップを
本式となるる結晶の構造解析の基この関係はＸ線等によ
であることが分かる
適用するとこれにフーリエ解析を
である
は電子密度結晶の並進対称性から
)exp()(
)()(
)(
riGnrn
rnTrn
rn
G
G
G=ν 1b1+ν 2b2+ν 3b3
ブリュアンゾーン
境界（点）であるがブリュアンゾーン
であるから１次元では
ギーギャップができる不連続となりエネル
のエネルギーは境界面では必ず電子ブリュアンゾーンの
となる
リュアンゾーンアンゾーン第３ブその外側が第２ブリュ
ブリュアンゾーン原点を含む領域を第１
２次元の例
アンゾーンと呼ぶ成される領域をブリュ垂直二等分する面で構
を結ぶ線分をの原点と他の逆格子点逆格子空間において
ak
aG
k
2
0
１次元結晶における分散関係
２次元結晶のブリュアン領域
有限結晶における電子状態
の電子を収める状態
状態）個の異なる波数（運動
において個の原子からなる結晶
の数ンドにおける電子状態 各バ
バンドぞれ独立のエネルギー それ
ンは界で隔離された各ゾーブリュアンゾーン境
N
N
N
2
補足説明
個態はピンを考慮すると状 ２種類のス
の許される値動ベクトル 電子の波
リュアンゾーンの中 第１ブ
）子定数 （格
元結晶個の格子からなる１次で長さ
N
aL
N
L
N
LLk
k
NaLa
NL
2
12
2
4
2
0
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
56個の原子で構成される1次元結晶の第1ブリュアン領域
有限２次元結晶のブリュアン領域
固体のエネルギーバンド
バンドと電気伝導性の関係を
最もエネルギーの高いバンドに注目して考える
そのバンドが電子ですべて占有されているとき （例えば一つの原子が偶数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を流さない絶縁体（半導体）となる
バンドの一部が電子で占有されているとき （例えば一つの原子が奇数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を良く流す金属となる
と考えられるのは何故か
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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(
)exp(2
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1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
エネルギーバンドの概念（２）
自由電子（平面波）
イオン格子の周期構造
ブラッグ反射と定在波
エネルギーギャップの形成
エネルギーギャップの形成
なるフーリエ成分に等しく
は結晶ポテンシャルのャップつまりエネルギーギ
は次のようになるそのエネルギー差
なるネルギーを持つことに２つの状態は異なるエ
の影響を受けクーロンポテンシャルこのとき＋イオンの
度は２種類の電子の確率密
g
a
CSg
g
S
C
E
U
a
x
a
x
a
xdxU
xdxUE
E
a
x
a
x
0
22
0
0
22
22
22
))(cos)((sin)2
cos(2
)(
)(sin
)(cos
エネルギーギャップ発生機構
１次元結晶における分散関係
k=Π a に注目
２つのエネルギー状態が考えられる
比較） 金属中の自由電子のエネルギー
前期に学んだモデルを思い出そう
前図１次元結晶における分散関係と比較する
逆格子空間（基礎電子物性の復習）
が定義されるとして逆格子ベクトル
整数） （
これらを使って
なお
を定義する並進ベクトルとして逆格子空間の
に対してこのベクトル
整数） （
て不変であるは次の並進操作に対し結晶のすべての格子点
２１３１３２
G
vbvbvbvG
aaaV
b
V
aab
V
aab
V
aab
a
uauauauT
i
a
i
aaa
i
i
)(
222
332211
321
321
332211
結晶とフーリエ解析（基礎電子物性の復習）
思い出せ成分が関与したことを
ャルのフーリエ考えるときポテンシエネルギーギャップを
本式となるる結晶の構造解析の基この関係はＸ線等によ
であることが分かる
適用するとこれにフーリエ解析を
である
は電子密度結晶の並進対称性から
)exp()(
)()(
)(
riGnrn
rnTrn
rn
G
G
G=ν 1b1+ν 2b2+ν 3b3
ブリュアンゾーン
境界（点）であるがブリュアンゾーン
であるから１次元では
ギーギャップができる不連続となりエネル
のエネルギーは境界面では必ず電子ブリュアンゾーンの
となる
リュアンゾーンアンゾーン第３ブその外側が第２ブリュ
ブリュアンゾーン原点を含む領域を第１
２次元の例
アンゾーンと呼ぶ成される領域をブリュ垂直二等分する面で構
を結ぶ線分をの原点と他の逆格子点逆格子空間において
ak
aG
k
2
0
１次元結晶における分散関係
２次元結晶のブリュアン領域
有限結晶における電子状態
の電子を収める状態
状態）個の異なる波数（運動
において個の原子からなる結晶
の数ンドにおける電子状態 各バ
バンドぞれ独立のエネルギー それ
ンは界で隔離された各ゾーブリュアンゾーン境
N
N
N
2
補足説明
個態はピンを考慮すると状 ２種類のス
の許される値動ベクトル 電子の波
リュアンゾーンの中 第１ブ
）子定数 （格
元結晶個の格子からなる１次で長さ
N
aL
N
L
N
LLk
k
NaLa
NL
2
12
2
4
2
0
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
56個の原子で構成される1次元結晶の第1ブリュアン領域
有限２次元結晶のブリュアン領域
固体のエネルギーバンド
バンドと電気伝導性の関係を
最もエネルギーの高いバンドに注目して考える
そのバンドが電子ですべて占有されているとき （例えば一つの原子が偶数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を流さない絶縁体（半導体）となる
バンドの一部が電子で占有されているとき （例えば一つの原子が奇数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を良く流す金属となる
と考えられるのは何故か
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
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nn
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nN
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Tk
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B
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B
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2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
エネルギーギャップの形成
なるフーリエ成分に等しく
は結晶ポテンシャルのャップつまりエネルギーギ
は次のようになるそのエネルギー差
なるネルギーを持つことに２つの状態は異なるエ
の影響を受けクーロンポテンシャルこのとき＋イオンの
度は２種類の電子の確率密
g
a
CSg
g
S
C
E
U
a
x
a
x
a
xdxU
xdxUE
E
a
x
a
x
0
22
0
0
22
22
22
))(cos)((sin)2
cos(2
)(
)(sin
)(cos
エネルギーギャップ発生機構
１次元結晶における分散関係
k=Π a に注目
２つのエネルギー状態が考えられる
比較） 金属中の自由電子のエネルギー
前期に学んだモデルを思い出そう
前図１次元結晶における分散関係と比較する
逆格子空間（基礎電子物性の復習）
が定義されるとして逆格子ベクトル
整数） （
これらを使って
なお
を定義する並進ベクトルとして逆格子空間の
に対してこのベクトル
整数） （
て不変であるは次の並進操作に対し結晶のすべての格子点
２１３１３２
G
vbvbvbvG
aaaV
b
V
aab
V
aab
V
aab
a
uauauauT
i
a
i
aaa
i
i
)(
222
332211
321
321
332211
結晶とフーリエ解析（基礎電子物性の復習）
思い出せ成分が関与したことを
ャルのフーリエ考えるときポテンシエネルギーギャップを
本式となるる結晶の構造解析の基この関係はＸ線等によ
であることが分かる
適用するとこれにフーリエ解析を
である
は電子密度結晶の並進対称性から
)exp()(
)()(
)(
riGnrn
rnTrn
rn
G
G
G=ν 1b1+ν 2b2+ν 3b3
ブリュアンゾーン
境界（点）であるがブリュアンゾーン
であるから１次元では
ギーギャップができる不連続となりエネル
のエネルギーは境界面では必ず電子ブリュアンゾーンの
となる
リュアンゾーンアンゾーン第３ブその外側が第２ブリュ
ブリュアンゾーン原点を含む領域を第１
２次元の例
アンゾーンと呼ぶ成される領域をブリュ垂直二等分する面で構
を結ぶ線分をの原点と他の逆格子点逆格子空間において
ak
aG
k
2
0
１次元結晶における分散関係
２次元結晶のブリュアン領域
有限結晶における電子状態
の電子を収める状態
状態）個の異なる波数（運動
において個の原子からなる結晶
の数ンドにおける電子状態 各バ
バンドぞれ独立のエネルギー それ
ンは界で隔離された各ゾーブリュアンゾーン境
N
N
N
2
補足説明
個態はピンを考慮すると状 ２種類のス
の許される値動ベクトル 電子の波
リュアンゾーンの中 第１ブ
）子定数 （格
元結晶個の格子からなる１次で長さ
N
aL
N
L
N
LLk
k
NaLa
NL
2
12
2
4
2
0
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
56個の原子で構成される1次元結晶の第1ブリュアン領域
有限２次元結晶のブリュアン領域
固体のエネルギーバンド
バンドと電気伝導性の関係を
最もエネルギーの高いバンドに注目して考える
そのバンドが電子ですべて占有されているとき （例えば一つの原子が偶数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を流さない絶縁体（半導体）となる
バンドの一部が電子で占有されているとき （例えば一つの原子が奇数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を良く流す金属となる
と考えられるのは何故か
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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ETk
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Tk
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nn
g
dB
dB
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B
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d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
エネルギーギャップ発生機構
１次元結晶における分散関係
k=Π a に注目
２つのエネルギー状態が考えられる
比較） 金属中の自由電子のエネルギー
前期に学んだモデルを思い出そう
前図１次元結晶における分散関係と比較する
逆格子空間（基礎電子物性の復習）
が定義されるとして逆格子ベクトル
整数） （
これらを使って
なお
を定義する並進ベクトルとして逆格子空間の
に対してこのベクトル
整数） （
て不変であるは次の並進操作に対し結晶のすべての格子点
２１３１３２
G
vbvbvbvG
aaaV
b
V
aab
V
aab
V
aab
a
uauauauT
i
a
i
aaa
i
i
)(
222
332211
321
321
332211
結晶とフーリエ解析（基礎電子物性の復習）
思い出せ成分が関与したことを
ャルのフーリエ考えるときポテンシエネルギーギャップを
本式となるる結晶の構造解析の基この関係はＸ線等によ
であることが分かる
適用するとこれにフーリエ解析を
である
は電子密度結晶の並進対称性から
)exp()(
)()(
)(
riGnrn
rnTrn
rn
G
G
G=ν 1b1+ν 2b2+ν 3b3
ブリュアンゾーン
境界（点）であるがブリュアンゾーン
であるから１次元では
ギーギャップができる不連続となりエネル
のエネルギーは境界面では必ず電子ブリュアンゾーンの
となる
リュアンゾーンアンゾーン第３ブその外側が第２ブリュ
ブリュアンゾーン原点を含む領域を第１
２次元の例
アンゾーンと呼ぶ成される領域をブリュ垂直二等分する面で構
を結ぶ線分をの原点と他の逆格子点逆格子空間において
ak
aG
k
2
0
１次元結晶における分散関係
２次元結晶のブリュアン領域
有限結晶における電子状態
の電子を収める状態
状態）個の異なる波数（運動
において個の原子からなる結晶
の数ンドにおける電子状態 各バ
バンドぞれ独立のエネルギー それ
ンは界で隔離された各ゾーブリュアンゾーン境
N
N
N
2
補足説明
個態はピンを考慮すると状 ２種類のス
の許される値動ベクトル 電子の波
リュアンゾーンの中 第１ブ
）子定数 （格
元結晶個の格子からなる１次で長さ
N
aL
N
L
N
LLk
k
NaLa
NL
2
12
2
4
2
0
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
56個の原子で構成される1次元結晶の第1ブリュアン領域
有限２次元結晶のブリュアン領域
固体のエネルギーバンド
バンドと電気伝導性の関係を
最もエネルギーの高いバンドに注目して考える
そのバンドが電子ですべて占有されているとき （例えば一つの原子が偶数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を流さない絶縁体（半導体）となる
バンドの一部が電子で占有されているとき （例えば一つの原子が奇数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を良く流す金属となる
と考えられるのは何故か
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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ETk
ETk
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Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
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Tk
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nn
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dB
dB
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B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
１次元結晶における分散関係
k=Π a に注目
２つのエネルギー状態が考えられる
比較） 金属中の自由電子のエネルギー
前期に学んだモデルを思い出そう
前図１次元結晶における分散関係と比較する
逆格子空間（基礎電子物性の復習）
が定義されるとして逆格子ベクトル
整数） （
これらを使って
なお
を定義する並進ベクトルとして逆格子空間の
に対してこのベクトル
整数） （
て不変であるは次の並進操作に対し結晶のすべての格子点
２１３１３２
G
vbvbvbvG
aaaV
b
V
aab
V
aab
V
aab
a
uauauauT
i
a
i
aaa
i
i
)(
222
332211
321
321
332211
結晶とフーリエ解析（基礎電子物性の復習）
思い出せ成分が関与したことを
ャルのフーリエ考えるときポテンシエネルギーギャップを
本式となるる結晶の構造解析の基この関係はＸ線等によ
であることが分かる
適用するとこれにフーリエ解析を
である
は電子密度結晶の並進対称性から
)exp()(
)()(
)(
riGnrn
rnTrn
rn
G
G
G=ν 1b1+ν 2b2+ν 3b3
ブリュアンゾーン
境界（点）であるがブリュアンゾーン
であるから１次元では
ギーギャップができる不連続となりエネル
のエネルギーは境界面では必ず電子ブリュアンゾーンの
となる
リュアンゾーンアンゾーン第３ブその外側が第２ブリュ
ブリュアンゾーン原点を含む領域を第１
２次元の例
アンゾーンと呼ぶ成される領域をブリュ垂直二等分する面で構
を結ぶ線分をの原点と他の逆格子点逆格子空間において
ak
aG
k
2
0
１次元結晶における分散関係
２次元結晶のブリュアン領域
有限結晶における電子状態
の電子を収める状態
状態）個の異なる波数（運動
において個の原子からなる結晶
の数ンドにおける電子状態 各バ
バンドぞれ独立のエネルギー それ
ンは界で隔離された各ゾーブリュアンゾーン境
N
N
N
2
補足説明
個態はピンを考慮すると状 ２種類のス
の許される値動ベクトル 電子の波
リュアンゾーンの中 第１ブ
）子定数 （格
元結晶個の格子からなる１次で長さ
N
aL
N
L
N
LLk
k
NaLa
NL
2
12
2
4
2
0
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
56個の原子で構成される1次元結晶の第1ブリュアン領域
有限２次元結晶のブリュアン領域
固体のエネルギーバンド
バンドと電気伝導性の関係を
最もエネルギーの高いバンドに注目して考える
そのバンドが電子ですべて占有されているとき （例えば一つの原子が偶数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を流さない絶縁体（半導体）となる
バンドの一部が電子で占有されているとき （例えば一つの原子が奇数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を良く流す金属となる
と考えられるのは何故か
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
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Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
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Tk
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nn
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dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
比較） 金属中の自由電子のエネルギー
前期に学んだモデルを思い出そう
前図１次元結晶における分散関係と比較する
逆格子空間（基礎電子物性の復習）
が定義されるとして逆格子ベクトル
整数） （
これらを使って
なお
を定義する並進ベクトルとして逆格子空間の
に対してこのベクトル
整数） （
て不変であるは次の並進操作に対し結晶のすべての格子点
２１３１３２
G
vbvbvbvG
aaaV
b
V
aab
V
aab
V
aab
a
uauauauT
i
a
i
aaa
i
i
)(
222
332211
321
321
332211
結晶とフーリエ解析（基礎電子物性の復習）
思い出せ成分が関与したことを
ャルのフーリエ考えるときポテンシエネルギーギャップを
本式となるる結晶の構造解析の基この関係はＸ線等によ
であることが分かる
適用するとこれにフーリエ解析を
である
は電子密度結晶の並進対称性から
)exp()(
)()(
)(
riGnrn
rnTrn
rn
G
G
G=ν 1b1+ν 2b2+ν 3b3
ブリュアンゾーン
境界（点）であるがブリュアンゾーン
であるから１次元では
ギーギャップができる不連続となりエネル
のエネルギーは境界面では必ず電子ブリュアンゾーンの
となる
リュアンゾーンアンゾーン第３ブその外側が第２ブリュ
ブリュアンゾーン原点を含む領域を第１
２次元の例
アンゾーンと呼ぶ成される領域をブリュ垂直二等分する面で構
を結ぶ線分をの原点と他の逆格子点逆格子空間において
ak
aG
k
2
0
１次元結晶における分散関係
２次元結晶のブリュアン領域
有限結晶における電子状態
の電子を収める状態
状態）個の異なる波数（運動
において個の原子からなる結晶
の数ンドにおける電子状態 各バ
バンドぞれ独立のエネルギー それ
ンは界で隔離された各ゾーブリュアンゾーン境
N
N
N
2
補足説明
個態はピンを考慮すると状 ２種類のス
の許される値動ベクトル 電子の波
リュアンゾーンの中 第１ブ
）子定数 （格
元結晶個の格子からなる１次で長さ
N
aL
N
L
N
LLk
k
NaLa
NL
2
12
2
4
2
0
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
56個の原子で構成される1次元結晶の第1ブリュアン領域
有限２次元結晶のブリュアン領域
固体のエネルギーバンド
バンドと電気伝導性の関係を
最もエネルギーの高いバンドに注目して考える
そのバンドが電子ですべて占有されているとき （例えば一つの原子が偶数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を流さない絶縁体（半導体）となる
バンドの一部が電子で占有されているとき （例えば一つの原子が奇数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を良く流す金属となる
と考えられるのは何故か
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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ETk
ETk
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Tk
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nn
Tk
EE
nN
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Tk
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nn
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dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
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dd
B
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dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
逆格子空間（基礎電子物性の復習）
が定義されるとして逆格子ベクトル
整数） （
これらを使って
なお
を定義する並進ベクトルとして逆格子空間の
に対してこのベクトル
整数） （
て不変であるは次の並進操作に対し結晶のすべての格子点
２１３１３２
G
vbvbvbvG
aaaV
b
V
aab
V
aab
V
aab
a
uauauauT
i
a
i
aaa
i
i
)(
222
332211
321
321
332211
結晶とフーリエ解析（基礎電子物性の復習）
思い出せ成分が関与したことを
ャルのフーリエ考えるときポテンシエネルギーギャップを
本式となるる結晶の構造解析の基この関係はＸ線等によ
であることが分かる
適用するとこれにフーリエ解析を
である
は電子密度結晶の並進対称性から
)exp()(
)()(
)(
riGnrn
rnTrn
rn
G
G
G=ν 1b1+ν 2b2+ν 3b3
ブリュアンゾーン
境界（点）であるがブリュアンゾーン
であるから１次元では
ギーギャップができる不連続となりエネル
のエネルギーは境界面では必ず電子ブリュアンゾーンの
となる
リュアンゾーンアンゾーン第３ブその外側が第２ブリュ
ブリュアンゾーン原点を含む領域を第１
２次元の例
アンゾーンと呼ぶ成される領域をブリュ垂直二等分する面で構
を結ぶ線分をの原点と他の逆格子点逆格子空間において
ak
aG
k
2
0
１次元結晶における分散関係
２次元結晶のブリュアン領域
有限結晶における電子状態
の電子を収める状態
状態）個の異なる波数（運動
において個の原子からなる結晶
の数ンドにおける電子状態 各バ
バンドぞれ独立のエネルギー それ
ンは界で隔離された各ゾーブリュアンゾーン境
N
N
N
2
補足説明
個態はピンを考慮すると状 ２種類のス
の許される値動ベクトル 電子の波
リュアンゾーンの中 第１ブ
）子定数 （格
元結晶個の格子からなる１次で長さ
N
aL
N
L
N
LLk
k
NaLa
NL
2
12
2
4
2
0
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
56個の原子で構成される1次元結晶の第1ブリュアン領域
有限２次元結晶のブリュアン領域
固体のエネルギーバンド
バンドと電気伝導性の関係を
最もエネルギーの高いバンドに注目して考える
そのバンドが電子ですべて占有されているとき （例えば一つの原子が偶数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を流さない絶縁体（半導体）となる
バンドの一部が電子で占有されているとき （例えば一つの原子が奇数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を良く流す金属となる
と考えられるのは何故か
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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11
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43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
結晶とフーリエ解析（基礎電子物性の復習）
思い出せ成分が関与したことを
ャルのフーリエ考えるときポテンシエネルギーギャップを
本式となるる結晶の構造解析の基この関係はＸ線等によ
であることが分かる
適用するとこれにフーリエ解析を
である
は電子密度結晶の並進対称性から
)exp()(
)()(
)(
riGnrn
rnTrn
rn
G
G
G=ν 1b1+ν 2b2+ν 3b3
ブリュアンゾーン
境界（点）であるがブリュアンゾーン
であるから１次元では
ギーギャップができる不連続となりエネル
のエネルギーは境界面では必ず電子ブリュアンゾーンの
となる
リュアンゾーンアンゾーン第３ブその外側が第２ブリュ
ブリュアンゾーン原点を含む領域を第１
２次元の例
アンゾーンと呼ぶ成される領域をブリュ垂直二等分する面で構
を結ぶ線分をの原点と他の逆格子点逆格子空間において
ak
aG
k
2
0
１次元結晶における分散関係
２次元結晶のブリュアン領域
有限結晶における電子状態
の電子を収める状態
状態）個の異なる波数（運動
において個の原子からなる結晶
の数ンドにおける電子状態 各バ
バンドぞれ独立のエネルギー それ
ンは界で隔離された各ゾーブリュアンゾーン境
N
N
N
2
補足説明
個態はピンを考慮すると状 ２種類のス
の許される値動ベクトル 電子の波
リュアンゾーンの中 第１ブ
）子定数 （格
元結晶個の格子からなる１次で長さ
N
aL
N
L
N
LLk
k
NaLa
NL
2
12
2
4
2
0
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
56個の原子で構成される1次元結晶の第1ブリュアン領域
有限２次元結晶のブリュアン領域
固体のエネルギーバンド
バンドと電気伝導性の関係を
最もエネルギーの高いバンドに注目して考える
そのバンドが電子ですべて占有されているとき （例えば一つの原子が偶数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を流さない絶縁体（半導体）となる
バンドの一部が電子で占有されているとき （例えば一つの原子が奇数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を良く流す金属となる
と考えられるのは何故か
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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(
)exp(2
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11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
ブリュアンゾーン
境界（点）であるがブリュアンゾーン
であるから１次元では
ギーギャップができる不連続となりエネル
のエネルギーは境界面では必ず電子ブリュアンゾーンの
となる
リュアンゾーンアンゾーン第３ブその外側が第２ブリュ
ブリュアンゾーン原点を含む領域を第１
２次元の例
アンゾーンと呼ぶ成される領域をブリュ垂直二等分する面で構
を結ぶ線分をの原点と他の逆格子点逆格子空間において
ak
aG
k
2
0
１次元結晶における分散関係
２次元結晶のブリュアン領域
有限結晶における電子状態
の電子を収める状態
状態）個の異なる波数（運動
において個の原子からなる結晶
の数ンドにおける電子状態 各バ
バンドぞれ独立のエネルギー それ
ンは界で隔離された各ゾーブリュアンゾーン境
N
N
N
2
補足説明
個態はピンを考慮すると状 ２種類のス
の許される値動ベクトル 電子の波
リュアンゾーンの中 第１ブ
）子定数 （格
元結晶個の格子からなる１次で長さ
N
aL
N
L
N
LLk
k
NaLa
NL
2
12
2
4
2
0
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
56個の原子で構成される1次元結晶の第1ブリュアン領域
有限２次元結晶のブリュアン領域
固体のエネルギーバンド
バンドと電気伝導性の関係を
最もエネルギーの高いバンドに注目して考える
そのバンドが電子ですべて占有されているとき （例えば一つの原子が偶数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を流さない絶縁体（半導体）となる
バンドの一部が電子で占有されているとき （例えば一つの原子が奇数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を良く流す金属となる
と考えられるのは何故か
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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ETk
ETk
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dB
dB
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B
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B
Fd
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B
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(
)exp(2
1
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11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
１次元結晶における分散関係
２次元結晶のブリュアン領域
有限結晶における電子状態
の電子を収める状態
状態）個の異なる波数（運動
において個の原子からなる結晶
の数ンドにおける電子状態 各バ
バンドぞれ独立のエネルギー それ
ンは界で隔離された各ゾーブリュアンゾーン境
N
N
N
2
補足説明
個態はピンを考慮すると状 ２種類のス
の許される値動ベクトル 電子の波
リュアンゾーンの中 第１ブ
）子定数 （格
元結晶個の格子からなる１次で長さ
N
aL
N
L
N
LLk
k
NaLa
NL
2
12
2
4
2
0
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
56個の原子で構成される1次元結晶の第1ブリュアン領域
有限２次元結晶のブリュアン領域
固体のエネルギーバンド
バンドと電気伝導性の関係を
最もエネルギーの高いバンドに注目して考える
そのバンドが電子ですべて占有されているとき （例えば一つの原子が偶数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を流さない絶縁体（半導体）となる
バンドの一部が電子で占有されているとき （例えば一つの原子が奇数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を良く流す金属となる
と考えられるのは何故か
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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(
)exp(2
1
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11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
２次元結晶のブリュアン領域
有限結晶における電子状態
の電子を収める状態
状態）個の異なる波数（運動
において個の原子からなる結晶
の数ンドにおける電子状態 各バ
バンドぞれ独立のエネルギー それ
ンは界で隔離された各ゾーブリュアンゾーン境
N
N
N
2
補足説明
個態はピンを考慮すると状 ２種類のス
の許される値動ベクトル 電子の波
リュアンゾーンの中 第１ブ
）子定数 （格
元結晶個の格子からなる１次で長さ
N
aL
N
L
N
LLk
k
NaLa
NL
2
12
2
4
2
0
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
56個の原子で構成される1次元結晶の第1ブリュアン領域
有限２次元結晶のブリュアン領域
固体のエネルギーバンド
バンドと電気伝導性の関係を
最もエネルギーの高いバンドに注目して考える
そのバンドが電子ですべて占有されているとき （例えば一つの原子が偶数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を流さない絶縁体（半導体）となる
バンドの一部が電子で占有されているとき （例えば一つの原子が奇数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を良く流す金属となる
と考えられるのは何故か
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
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nn
Tk
EE
nN
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Tk
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B
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B
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2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
有限結晶における電子状態
の電子を収める状態
状態）個の異なる波数（運動
において個の原子からなる結晶
の数ンドにおける電子状態 各バ
バンドぞれ独立のエネルギー それ
ンは界で隔離された各ゾーブリュアンゾーン境
N
N
N
2
補足説明
個態はピンを考慮すると状 ２種類のス
の許される値動ベクトル 電子の波
リュアンゾーンの中 第１ブ
）子定数 （格
元結晶個の格子からなる１次で長さ
N
aL
N
L
N
LLk
k
NaLa
NL
2
12
2
4
2
0
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
56個の原子で構成される1次元結晶の第1ブリュアン領域
有限２次元結晶のブリュアン領域
固体のエネルギーバンド
バンドと電気伝導性の関係を
最もエネルギーの高いバンドに注目して考える
そのバンドが電子ですべて占有されているとき （例えば一つの原子が偶数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を流さない絶縁体（半導体）となる
バンドの一部が電子で占有されているとき （例えば一つの原子が奇数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を良く流す金属となる
と考えられるのは何故か
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
補足説明
個態はピンを考慮すると状 ２種類のス
の許される値動ベクトル 電子の波
リュアンゾーンの中 第１ブ
）子定数 （格
元結晶個の格子からなる１次で長さ
N
aL
N
L
N
LLk
k
NaLa
NL
2
12
2
4
2
0
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
56個の原子で構成される1次元結晶の第1ブリュアン領域
有限２次元結晶のブリュアン領域
固体のエネルギーバンド
バンドと電気伝導性の関係を
最もエネルギーの高いバンドに注目して考える
そのバンドが電子ですべて占有されているとき （例えば一つの原子が偶数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を流さない絶縁体（半導体）となる
バンドの一部が電子で占有されているとき （例えば一つの原子が奇数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を良く流す金属となる
と考えられるのは何故か
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
56個の原子で構成される1次元結晶の第1ブリュアン領域
有限２次元結晶のブリュアン領域
固体のエネルギーバンド
バンドと電気伝導性の関係を
最もエネルギーの高いバンドに注目して考える
そのバンドが電子ですべて占有されているとき （例えば一つの原子が偶数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を流さない絶縁体（半導体）となる
バンドの一部が電子で占有されているとき （例えば一つの原子が奇数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を良く流す金属となる
と考えられるのは何故か
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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B
Fd
d
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B
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2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
有限２次元結晶のブリュアン領域
固体のエネルギーバンド
バンドと電気伝導性の関係を
最もエネルギーの高いバンドに注目して考える
そのバンドが電子ですべて占有されているとき （例えば一つの原子が偶数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を流さない絶縁体（半導体）となる
バンドの一部が電子で占有されているとき （例えば一つの原子が奇数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を良く流す金属となる
と考えられるのは何故か
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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B
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d
B
Fd
d
dd
B
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dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
固体のエネルギーバンド
バンドと電気伝導性の関係を
最もエネルギーの高いバンドに注目して考える
そのバンドが電子ですべて占有されているとき （例えば一つの原子が偶数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を流さない絶縁体（半導体）となる
バンドの一部が電子で占有されているとき （例えば一つの原子が奇数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を良く流す金属となる
と考えられるのは何故か
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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ETk
ETk
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Tk
ETkmNn
nn
Tk
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Tk
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B
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d
B
Fd
d
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B
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2
2
)2
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(
)exp(2
1
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11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
バンドと電気伝導性の関係を
最もエネルギーの高いバンドに注目して考える
そのバンドが電子ですべて占有されているとき （例えば一つの原子が偶数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を流さない絶縁体（半導体）となる
バンドの一部が電子で占有されているとき （例えば一つの原子が奇数個の自由電子を出す場合）
この物質は電気を良く流す金属となる
と考えられるのは何故か
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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B
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d
B
Fd
d
dd
B
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2
2
)2
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(
)exp(2
1
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11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１ （奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消しあっている
電流＝０
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
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B
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B
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B
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2
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(
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1
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11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から１（奇数）個の自由電子が供給されるとき
電子が状態を占有している
電子がその状態を占めていない
電子の速度は打ち消されない
電界
電流＝有限
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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B
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B
Fd
d
dd
B
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2
2
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(
)exp(2
1
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11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
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B
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B
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2
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1
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11
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43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
エネルギー E
波数 ｋ
０ πa -πa
各原子から２（偶数）個の自由電子が供給されるとき
電子の速度は打ち消しあっている
電界
状態を移動したとしても
電子の速度分布は変わらない
電流＝０
すべての電子が動いている
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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B
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d
B
Fd
d
dd
B
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2
2
)2
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(
)exp(2
1
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11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
２次元３次元では 方向によってブリュアンゾーンが異なる
エネルギーで見ると重なりが出る場合がある
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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B
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d
B
Fd
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B
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2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
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11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
面心立方格子（fcc）結晶の
第1ブリュアンゾーンを描きなさい
ヒント
ｆｃｃの実格子空間を描く
代表的なミラー指数方向に注目する
ｆｃｃの逆格子を描いてみる
ブリュアンゾーンの決め方を思い出す
レポート課題（次週の授業開始時まで提出）
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
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B
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2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
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11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
３次元ｆｃｃ結晶の第１ブリュアン領域
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
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nn
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dB
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B
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d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
価電子帯と伝導帯
価電子帯
伝導帯
エネルギー
ギャップ
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
i 間接遷移型 d 直接遷移型
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
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g
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B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
バンド間遷移による光吸収
収が観察される点ではじめて大きな吸光吸収が始まり
から穏やかな足分を補われながら運動量保存のための不
ォノンによっての場合フォトンはフが異なる状態への遷移
の変化はほとんどない遷移の際の電子状態の
いので光速度は非常に大き）の保存則を考えると運動量（
励起しつつ吸収される
電子を伝導帯へをもつ光は価電子帯の数の関係を満たす角周波
Ｅ
ルギー保存則により光と電子準位のエネ結晶に光を照射すると
ｇ
gE
k
k
k
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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(
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11
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43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
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h
h
h
he
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m
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m
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Em
EevE
m
Eev
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he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
間接遷移型
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
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nn
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EE
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B
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B
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2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
直接遷移型
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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ETk
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(
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1
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11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
シリコンは光エレクトロニクスの世界では
間接遷移型では光エネルギーのやり取りがやり難い
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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ETk
ETk
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EE
nN
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Tk
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nn
g
dB
dB
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B
dBe
d
B
Fd
d
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B
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2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
空間に関わる位相
波動の一般式（1次元）
)(exp)( kxtitxWave
（基礎電子物性の復習）
振幅 時間に関わる位相
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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)exp(2
1
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43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
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edx
dt
dp
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pp
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J
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0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
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DL
pp
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L
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x
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pp
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dp
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222
2
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exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
有効質量 その１
となるしたがって
であるつまり
であるであり一方
は仕事の間に電子になされるによって時間ここで電界
と表現しても良いを用いればエネルギー
これを群速度と呼ぶ
で表される度は 波束としての電子の速
の電子の運動を考えるエネルギーバンド中で
FeEdtdk
teE
k
kvkdkdEteEv
EtE
kvk
dkdv
gg
kg
g
)(
)(
)(1
)(
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
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Tk
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B
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2
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)exp(2
1
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43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
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)(2
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)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
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)2
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0
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23
2
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TkmN
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n
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M
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DnBCM
BeC
B
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Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
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0
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00
0
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da
daD
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D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
有効質量 その２
である付近では自由電子近似で
の例ではちなみに強結合近似
えるトンの運動方程式が見と定義するとニュー
としてここで有効質量
10
2
11
)1
()(11
2
2
2
2
2
2
2
22
22
mmk
am
dk
d
m
m
Fdk
d
dt
dk
dk
d
dkdt
d
dt
dvg
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
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2
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1
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11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
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ndpa
D
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Dn
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x
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xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
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Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
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B
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En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
有効質量図
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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Tk
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Tk
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B
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2
2
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1
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11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
正孔
型とよぶ型後者を前者を
両方がある帯のホールの場合との電子の場合と価電子
キャリア）が伝導帯の内の電流を運ぶもの（半導体素子では結晶
を正孔と呼ぶこの正電荷のキャリア
対して振舞うに外部の電場や磁場にを持っているかのよう＋
道はあたかも正の電荷その跡に生じた空の軌持ち上げたとすると
を近からいくらかの電子起で価電子帯の上端付しかし光励起や熱励
ぶことはできない変化が無く電流を運
部から電場を加えても子帯の電子全体は外電子が満ちている価電
pn
e
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
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Tk
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nn
Tk
EE
nN
n
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Tk
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nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
模型と似ているれた水素原子のボーア
は量子力学で良く知らいることになるこれ力によって束縛されて
ーロン電荷に１個の電子がク結晶中のＰ不純物の正この状況は
気的に中性であるもち結晶としては電
の正電荷をよりれを除いたイオン殻は余計な電子がありそ
成してなお１個のの共有結合ボンドを構と同様に周囲と
の造がであるＰは外殻電子構がとする外殻電子構造
が格子点で置換した族のリン（Ｐ）の原子シリコンの代わりに５
って考えるシリコン結晶を例にと
Si
eSi
spSi
psps
3
2232 3333
不純物準位(ドナー）
ボーア模型
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
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Tk
EE
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nn
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dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
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)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
である状態のボーア半径は
基底でありネルギーはＥ水素原子のイオン化エ
結晶の誘電率であるはと弱くなるここで
でなくンシャルはそのために引力ポテ
じているの中のクーロン場を感真空中でなく結晶格子
されている電子はなって不純物に束縛ただし水素原子と異
０
2
0
2
0
2
0
4
2
0
2
12
44
ema
sme
Si
rere
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
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p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
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E
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E
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E
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Tk
Emm
Tkpn
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3
2
1
2
2
)2
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(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
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B
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2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
となる
Å
は誘電率の影響を受けの半径と束縛された電子軌道化えねるぎー
準位のイオンると半導体のドナーの電子が存在するとす質量
中を有効クーロンポテンシャルの媒質の影響を受けた誘電率
][)(530
][1
)(6132
0
2
2
2
0
22
4
m
m
mea
eVm
mmeE
aE
m
d
d
dd
エネルギー
ドナー準位
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
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EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
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nN
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Tk
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g
dB
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(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
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m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
Åとなるからでは
と計算される
Åを使うとについて
80510815
302020711
dd
dd
ameVEmmGe
ameVEmmSi
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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Tk
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(
)exp(2
1
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43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
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Jq
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dxdnS
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BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
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0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
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L
xApp
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2
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exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
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HeightBarrierSchottky
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ショットキー障壁高さ
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ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
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(2
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0
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23
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n
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BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
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0
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)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
不純物準位（アクセプター）
位とよぶこれをアクセプター準
形成する
位を電子帯の上端に浅い準ことのできる準位が価受け取る
すなわち電子をールを放出する価電子帯の上端にはホ
いモデルで処理すればよ
捉えられているロン場に１個の正孔がの不純物原子核のクー
えると今度はにドープする場合を考をつぎに３族の不純物
e
Si
アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
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(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
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B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
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(
)exp(2
1
)](1[
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11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
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1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
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0
02
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00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
ドナー準位
アクセプター準位
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
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Tkpn
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3
2
1
2
2
)2
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(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
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dB
dB
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B
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B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
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(
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1
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11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
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1
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43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
フェルミディラック分布関数
真性半導体の状態密度D(ε)
バンドは無くても
分布関数は考える
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
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p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
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Tkpn
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3
2
1
2
2
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(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
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B
Fd
dd
2
2
)2
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(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
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2
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(
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1
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)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
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he
h
h
h
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h
h
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he
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pene
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m
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p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
キャリアー濃度（真性半導体） Ｉ
とすることができる
より十分大きいからはふつう
に比例して励起されるそれが伝導帯の準位へ
除かれに比例して電子が取り価電子帯の準位からは
ャリアが形成される伝導帯や価電子帯にキを越えての熱励起で
てはバンドギャップ性半導体の結晶におい有限の温度における真
真性半導体
)exp()(
)(
)(1
Tkf
TkE
f
f
B
Bg
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
1)(
)()2
(2
1)(
2)(
2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
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nn
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(
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1
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11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
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tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
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Jq
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ldx
dnvS
dxdnS
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BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
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e
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dt
dp
p
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h
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J
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h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
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Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩ
2123
2
2
2123
2
2
22
22
)()2
(2
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2)(
v
h
h
c
e
e
h
v
e
c
Em
D
Em
D
m
kEk
m
kEk
ようになる応する状態密度は次のとするこのとき対
ーをの上端近傍のエネルギ伝導帯の底と価電子帯
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
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p
Tk
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n
B
g
heB
gvc
B
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h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
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E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
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(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
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B
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B
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2
2
)2
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(
)exp(2
1
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11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
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43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
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dx
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dx
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Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
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h
h
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J
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h
hJ
1
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1
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0
00
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少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
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L
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dp
dx
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2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
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D
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sD
smD
sD
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HeightBarrierSchottky
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ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
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0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
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n
n
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TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
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BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
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))((2
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0
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VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
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B
Dnnnp
np
BDn
D
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nn
L
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TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
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)(exp
)(exp
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B
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B
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Tk
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Tk
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En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
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0Tk
eVJ
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n
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BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
となる
であるからとこれらの式の積をとる
は次のようになるル濃度同様に価電子帯のホー
分すればえられるエネルギーに関して積
分布関数の積をは状態密度とフェルミ伝導帯の電子濃度
)exp()()2
(4
)exp()2
(2)](1)[(
)exp()2
(2)()(
233
2
23
2
23
2
Tk
Emm
Tkpn
EEE
Tk
ETkmdfDp
p
Tk
ETkmdfDn
n
B
g
heB
gvc
B
vBhE
h
B
cBe
Ee
v
c
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
heB
E
m
mTkE
E
nnnp
TEnp
E
TkE
Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
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(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
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(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
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43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
キャリアー濃度（真性半導体） ＩＩＩ
していることが分かる
中に位置はギャップのほぼ真んルギーとなりフェルミエネ
の関係はとバンドギャップルまた化学ポテンシャ
を真性密度と呼ぶ
で定義されるっている半導体は固有の値を持
それぞれののみに依存しておりと温度積はここで
となるルギーはすなわち活性化エネ
るに指数関数的に依存すとなりキャリア数は
は等しいしたがって
導帯の電子の数子帯のホールの数と伝真性半導体では価電
F
e
hBg
g
ii
g
g
Bg
B
g
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E
m
mTkE
E
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E
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Tk
Emm
Tkpn
)ln(4
3
2
1
2
2
)2
exp()()2
(2
2
2323
2
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
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Tk
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nn
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dB
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2
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)2
exp()2
(
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1
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11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
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he
h
h
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h
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he
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m
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m
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Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
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NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
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JJJ
Tk
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Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
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d
B
Fd
d
dd
B
Fd
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2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
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43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
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e
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he
m
pe
m
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m
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m
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Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
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yBz
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xxEv
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n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
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1
))(()()(
0 h
h
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dt
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ppnnrgdt
nd
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キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
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Tkvmvl
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BB
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2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
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少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
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少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
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2
2
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exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
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HeightBarrierSchottky
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ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
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)2
(2
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0
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23
2
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kTeVkTeKnJ
KJ
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n
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M
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BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
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x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
ドナーアクセプタ準位とフェルミ準位
ドナー準位 アクセプター準位
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
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NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
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dx
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xxeN
dx
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空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
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n
n
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n
B
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D
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nn
L
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L
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pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
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B
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B
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B
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En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
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p
B
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B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
ドナー準位
アクセプター準位
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
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(
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1
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11
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43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
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m
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mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
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HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
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00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
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Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
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Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
低温 －－－－ 高温
低温領域
不純物レベルからの電子励起
高温領域
真性半導体的振る舞い
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
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d
B
Fd
d
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B
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2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
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11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
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m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
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キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
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dx
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dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
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p
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少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
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DL
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電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
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Vd
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D
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HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
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kTeVkTeKnJ
KJ
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Dnn
n
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M
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DnBCM
BeC
B
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Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
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0
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xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
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nn
n
n
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n
B
Dnnnp
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D
pp
nn
L
DDLv
v
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TkeVn
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pn
L
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りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
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En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
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Dnnnp
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ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
キャリアー濃度（不純物半導体）
固有領域）となる（真性領域ルギーはと同じく活性化エネ
性半導体電子励起が始まり真では価電子帯からの＞
ばれるとなり飽和領域と呼
ギーはゼロとなり活性化エネルでは指数関数はほぼ１
であることが分かる
ギーは域）では活性化エネルの温度領域（不純物領
は次式で与えられるの表現を用いれば先に求めた
である供給されるので電子はドナー準位から
として次の式を用いるドナー準位の分布関数
を考える励起された電子濃度型半導体の伝導帯に熱一例として
ｄ
orE
ETk
ETk
EnN
Tk
ETkmNn
nn
Tk
EE
nN
n
EfNn
Tk
EEEf
nn
g
dB
dB
dD
B
dBe
d
B
Fd
d
dd
B
Fd
dd
2
2
)2
exp()2
(
)exp(2
1
)](1[
)exp(2
11
1)(
43
2
21
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
e
e
e
he
m
pe
m
ne
pene
m
e
m
e
Em
EevE
m
Eev
pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
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Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
半導体の電気伝導
2
2
h
h
e
e
he
h
h
h
e
e
e
h
h
h
he
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Em
EevE
m
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pevnevj
he
mv
p
n
導電率は
移動度は
ドリフト速度は
電流密度は
ることにするの添え字を付けて用いキャリアに対して
れの についてはそれぞ有効質量散乱時間ドリフト速度
自由正孔密度を
自由電子密度を
キャリアが存在する半導体中では２種類の金属のときと違って
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
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HallneR
BJRne
BJE
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LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
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xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
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dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
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J
pp
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J
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1
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1
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0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
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DL
pp
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pp
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0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
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1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
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pa
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ppp
ndn
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NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
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Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
キャリアの散乱機構
に比例するき散乱頻度はほぼよって生じるこのと
方向を変える機能にてわずかにその運動シャルを遠くから感じ
ンのクーロンポテン乱 は不純物イオ不純物による電子の散
に比例する頻度は
のフォノンによる散乱のため十分低温までや運動量も小さいそ
ーるフォノンのエネルギくこれと相互作用す小さく運動量も小さ
の運動エネルギーは半導体中では自由電子金属の場合と異なり
に比例する度はしたがって散乱の頻
に比例する電子の平均速度は程度であるこのときは
平均の運動エネルギー金属の場合と異なり半導体中では電子は
に比例するフォノン密度は温度
に比例する
の密度と電子の速度散乱の頻度はフォノンされるのであるから
ノンに衝突して散乱散乱 は電子がフォ格子振動による電子の
23
23
23
21)23(
T
T
T
TTk
T
B
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
z
xx
xex
x
R
peRp
HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
nevJ
xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
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x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
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)(2
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0
2
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0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
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00
0
0
da
daD
npnp
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D
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Dn
nDnn
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NeN
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xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
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c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
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J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
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Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
電流磁気効果（Hall効果)
である導体の型の判定が可能符号によって不純物半
知ることができまずキャリア密度をを測定することにより
である型半導体であれば一方
係数というを このとき定義される
係として また電流密度との関
つまり
状態となる
力とつりあって平衡が先の方向の電界電荷による
これらの面には正電荷が生じる面には負電荷がこのとき
力）の力を受ける
方向に子はの磁界を加えると電方向に磁束密度
の電流が流れる
方向に密度方向に運動しでドリフト速度
の電子が電荷密度を加えるとその中の方向に電界
型半導体を考える例えば
H
H
H
zxH
zx
y
zxy
y
zx
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xx
xex
x
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HallneR
BJRne
BJE
BeveE
LorentzEy
yy
LorentzBev
yBz
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xxEv
enEx
n
1
1
(
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
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Jq
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BB
Bthth
Bth
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th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
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p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
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Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
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Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
みなして良いも真性の場合と同じとも
ほぼイオン化しているドナーアクセプタは不純物半導体では通常
である真性半導体では
である
ではとすると熱平衡状態をるのでその比例定数
度と正孔密度に比例する電子の密度は電子密の関数である消滅す
は温度とするとたり発生する電子数を単位体積単位時間あ
する発生と消滅は平衡に達
キャリアは消滅する電子と正孔は再結合し
という キャリア少数のキャリアを少数
リアるキャリアを多数キャ半導体中に多数存在す
リアは注入されるつけた電極からもキャさらに半導体表面に
される価電子帯に電子が励起また光照射によって
発生する定の割合でキャリアは温度によって決まる一
rg
npn
grnp
r
Tgg
carrierority
carriermajority
i
)(min
)(
キャリアの発生と再結合 Ｉ
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
)()(
1
))(()()(
0 h
h
h
tpp
pprn
dt
nd
dt
pd
rnpnpnnppn
ppnnrgdt
nd
dt
pd
np
ppn
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
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edxxJxJ
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J
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h
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1
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1
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0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
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pD
pp
dt
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pp
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222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
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E
D
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HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
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0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
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xxxxeN
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xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
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L
pnp
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りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
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)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
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Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
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Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
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J
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n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
キャリアの発生と再結合 ＩＩ
ことが分かる指数関数的に減少する
少数キャリアは となり注入されたつまり
うになるすれば上式は次のよ
とらに比べて無視できるかはであり
られる変化は次のように与えキャリア密度の時間的
が入り込むに等しい電子件からするが電気的中性条
に増加は入したとすると正孔形半導体中に正孔を注例えば
合を考える少数キャリア注入の場
寿命は伸びると呼ばれキャリアの不純物準位はトラップ
きに大きな違いがあるとるキャリアの捕獲確率再結合中心に捕らわれ
結合再結合中心）を介しての特定の不純物準位（間接再結合禁制帯中
に落ち込み結合電子が価電子帯の正孔直接再結合伝導帯の
合と間接再結合がある再結合過程は直接再結
)exp(
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1
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0 h
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tpp
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dt
nd
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pd
rnpnpnnppn
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キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
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Einstein
q
Tk
m
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tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
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Jq
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BB
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th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
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pgp
pg
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n
h
h
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hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
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DL
pp
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L
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pp
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222
2
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00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
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sD
smD
sD
m
1
2)(
)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
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0
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D
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p
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ppp
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xNxN
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VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
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cp
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Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
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n
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BB
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pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
キャリアの流れの１次元モデル
キャリア
Ｖｔｈ
l l
以下の１次元キャリア移動モデルの下で拡散によって
流れる粒子数Sはどのように表わされるか
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ
Ｖｔｈ キャリアの熱速度 ｌ キャリアの平均自由行程
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
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dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
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pg
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h
h
h
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J
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hJ
h
hJ
1
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1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
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pD
pp
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2
2
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0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
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D
D
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ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
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Tk
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M
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BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
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2
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xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
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Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
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p
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BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
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E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
粒子の運動（ジグザグ）
散乱向きが変わる
vthで進む
平均自由行程 l
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
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2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
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少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
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少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
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電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
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eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
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BeC
B
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c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
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dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
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りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
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キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
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En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
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p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
キャリアの流れ １次元モデル
S = ｖｔｈ(n2 ndash n1) 2
n1 = no + l (dndx)
n2 = n0 - l (dndx)
S = -ｖｔｈ l (dndx)
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
dt
dp
pgp
pg
dt
dp
n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
dp
dx
dpE
x
pD
pp
dt
dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
DDsD
sD
smD
sD
m
1
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)(2
2
1
2
1
0
0
2
0
0
)(
)(
HeightBarrierSchottky
eEE
smB
FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
)exp()exp(
)2
(2
)exp()2
(2)()(
0
0
0
23
2
23
2
kTeVkTeKnJ
KJ
kTVenn
n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
nnd
Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
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J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
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Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
キャリアの拡散にともなう電流
成分となるは電流密度のとおけばを三次元の場合
いうこの電流を拡散電流と
るの関係式とよばれていの関係は
とよばれ は拡散係数係数
としたおよびここで定義により
が観察される密度次式で表される電流を持つキャリアならばこの粒子が電荷
は熱速度である行程はキャリアの平均自由ここで
に比例するはキャリアの濃度勾配子数拡散によって流れる粒
生じる動を伴うため電流がこの拡散現象は電荷移
する密度は一様になろうとあると熱運動によりキャリア密度に勾配が
xJvv
Einstein
q
Tk
m
TkD
tcoefficiendiffusionD
Tkvmvl
dx
dnqD
dx
dn
m
Tqk
dx
dnlqvqSJ
Jq
vl
ldx
dnvS
dxdnS
xthth
BB
Bthth
Bth
th
th
)(
)(
2
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
edxxJxJ
edx
dt
dp
J
pp
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pg
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n
h
h
h
hh
J
h
hJ
h
hJ
1
1)()(
1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
h
hh
h
DL
pp
xAx
L
xApp
dtdp
pxp
x
pD
pp
dt
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pp
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dp
0
0
222
2
2
0
2
2
0
00
exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
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E
D
D
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sD
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HeightBarrierSchottky
eEE
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FcBsmD
ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
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23
2
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kTeVkTeKnJ
KJ
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kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
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2
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0
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da
daD
npnp
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D
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nnd
Dn
nDnn
p
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NeN
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x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
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nppn
B
Dnnpnpn
B
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B
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JJJ
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eVnevnevJ
Tk
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EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
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J
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JJJ
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VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
一般的な電流の式
るび正孔の拡散係数であ はそれぞれ電子およ
正孔による電流
電子による電流
うに表される流を考えると次のよドリフト電流と拡散電
he
hhh
eee
DD
dx
dpeDEpeJ
dx
dneDEneJ
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
dxdx
dJ
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少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
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pp
xAx
L
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x
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222
2
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exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
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VNeWeNQ
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ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
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2
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KJ
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n
n
kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
)()(
00
0
0
da
daD
npnp
ndpa
D
ndpa
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Dn
nDnn
p
pa
p
ppp
ndn
pap
NeN
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xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
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J
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Tk
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VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
少数キャリアの連続の式 I
という キャリアの連続の式 となるこれを 少数
の変化は全体としてのとなるしたがって
の空間変化を考慮して正孔電流密度電流が流れていれば
となる
であるからとすれば の正孔密度をであり熱平衡のとき
電流が０であれば
形半導体を考える例として
動く滅と拡散電流となってアは再結合による消注入された少数キャリ
dx
dJ
e
pp
dt
dp
p
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h
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J
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1
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1
0
0
0
00
0
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
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DL
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L
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exp
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電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
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sD
smD
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ショットキー障壁高さ
eND
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ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
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M
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DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
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2
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VVxV
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dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
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n
n
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B
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np
BDn
D
pp
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りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
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キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
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En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
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VJV
n
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V
BB
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p
B
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B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
少数キャリアの連続の式 II
と呼ばれる距離であり拡散距離
の間に拡散するが寿命 は注入された正孔
の値である
におけるは とするとなるただし
の場合上式の解は
でおきかえるのかわりに３次元のときは
散方程式 というとなるこの式を 拡
場合には電流が拡散のみによる
になるを変形すると次のよう少数キャリア連続の式
hhhh
h
h
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hh
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exp
0
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
WeN
E
D
D
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sD
smD
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ショットキー障壁高さ
eND
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ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
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M
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BeC
B
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Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
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2
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xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
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n
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L
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pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
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B
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B
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En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
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n
p
V
BB
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p
B
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pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
電子親和力
原子が電子一個を取り込んで
一価の陰イオンになるときに放
出するエネルギー
金属の仕事関数が大きい
例えばAu Mo W
金属 - ｎ型半導体の接触界面
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
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ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
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BeC
B
cBe
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c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
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dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
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eVJ
Tk
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n
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V
BB
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p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
金属 - ｎ型半導体の接触界面のエネルギーバンド
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
Vd
dQC
VNeWeNQ
WeN
WEV
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E
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HeightBarrierSchottky
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ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
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0
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M
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DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
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xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
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n
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pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
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B
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B
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En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
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VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
空間電荷層はｎ型半導体中に広がるこの電荷にバランスする上で金属 表面にデルタ関数的に負の電荷を考える 半導体中の不純物密度は均一であると仮定しその密度をNDとする 界面における電界の最大値をEmとすると
V
Ne
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VNeWeNQ
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E
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ショットキー障壁高さ
eND
Ws
ｎ型半導体
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
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Tk
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n
Dnn
M
n
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BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
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0
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xxxxeN
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xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
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n
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りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
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B
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B
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En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
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1exp
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VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
い小さいので無視してよ電子電流に比べ十分に
がその値はって正孔も注入される一方順バイアスによ
を用いは比例定数れによる電流したがって電子の流
け変化して障壁の高さの変化分だバイアスを加えると
と等しい
は密度障壁を越えられる電子バイアスの無い場合
1)exp()exp(
))(exp(
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0
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23
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kTeVkTeKnJ
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kTenkTeNn
TkmN
Tk
ETkmdfDn
Dnn
n
Dnn
M
n
DnBCM
BeC
B
cBe
Ee
c
整流機能の発現する機構
金属からは熱電子放出機構（リチャードソンダッシュマンの式）
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
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xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
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xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
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りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
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ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
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B
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B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
ショットキーダイオードにおける整流特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
2
2
2
2
2
))((2
2
)(
0
02
)()(
0
02
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00
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D
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p
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NeN
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xxDxx
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xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
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pn
Tk
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JJJ
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VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
p型- ｎ型半導体の接触界面(接合）のエネルギーバンド
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
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))((2
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xNxN
x
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VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
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n
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L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
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nppn
B
Dnnpnpn
B
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cp
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JJJ
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Tk
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eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
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n
p
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BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
空乏層の電位分布
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
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dxdVVxx
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dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
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L
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りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
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キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
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B
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eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
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B
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pnnppn
B
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B
Dnnnp
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ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
がえられる
を求めるとさ を求め遷移領域の厚とこの式から
から滑らかに接続する条件 において二つの解がさらに
として＝ において 領域では 同様に
とおくとき＝ において 境界条件として
てるけてポアソンの式をためる二つの領域にわ座標を前図のように定
21
22
2
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)(
0
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00
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daD
npnp
ndpa
D
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nDnn
p
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ppp
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NeN
NNVVD
xxDxx
xNxNeVV
xNxN
x
xxxxeN
VVxV
dxdVVVVxxn
xxxxeN
xV
dxdVVxx
xxeN
dx
Vd
xxeN
dx
Vd
空乏層（遷移領域）の厚さ
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
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np
BDn
D
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L
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L
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pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
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B
Dnnpnpn
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eVnn
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En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
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B
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pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
ダイオードの示す容量
空乏層の対応する空間電荷領域の基づく静電容量Cf
それぞれの領域内に正負の電荷Qが混在した状態で電荷が蓄えられる
その結果ｐ型領域ではCDｐそしてｎ型領域ではCDｎなる静電容量を持つ
この容量を拡散容量という
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
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n
n
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n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
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L
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pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
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En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
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B
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B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
ｐｎダイオードの整流特性 その１
n
n
n
nn
n
n
n
n
B
Dnnnp
np
BDn
D
pp
nn
L
DDLv
v
Tk
eVnevJ
Jpn
TkeVn
eV
n
pn
L
pnp
pnn
りは電子の拡散速度であここで
は次のようになる領域に流れ込む電流領域からであるので
はたがってその電子数以上のものであるし底から
ンドのそのエネルギーがバ領域にある電子のうちこうした電子は
流れ込む
領域まで拡散しながら領域に発生した電子はより短いならば
その拡散距離平均自由行程より長く接合部の厚さが電子の
とする領域におけるそれを
とし孔の密度をそれぞれ領域における電子と正
)exp(
)exp(
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
キャリア数 n に注目
キャリア数 ｐ に注目
あるエネルギーレベルでのキャリア数について考える
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
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cp
B
Fc
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Dc
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JJJ
Tk
eVnevnevJ
Tk
eVnn
Tk
EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
Tk
eVnev
Tk
VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
ｐｎダイオードの整流特性 その２
バランスして０になる同様に正孔の電流も
となるとなり
したがって
立しているつまり次の関係が成
であるから領域におけるものは
とすればそこのエネルギーを領域における伝導帯の一方
0
exp
exp
)(exp
)(exp
nppn
B
Dnnpnpn
B
Dnp
B
FDc
cp
B
Fc
cn
Dc
c
JJJ
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eVnevnevJ
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eVnn
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EeVENn
Tk
EENn
eVEp
En
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
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JJJ
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VVenevJ
VJV
n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
ｐｎダイオードの整流特性 その３
となる
を考えると全電流は流成分同様にして正孔の電
領域に流れ込む領域からだけの電子電流が
となり正味は変らないのでこのとき
存するの値に指数関数的に依は次のようにが加わると
呼び負号とするるとき逆バイアスと側に正の電圧を印加す逆に
呼ぶるとき順バイアスと側に正の電圧を印加す
えるが印加された場合を考今接合部に電圧
1exp1exp)(
1exp
)exp(
)(exp
0Tk
eVJ
Tk
eVpvnveJJJ
J
pn
Tk
eVnevJ
JJJ
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VVenevJ
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n
p
V
BB
nppnpn
p
B
pnn
pnnppn
B
pn
B
Dnnnp
np
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
ｐｎダイオードにおける整流特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
付 録
（追加 図面）
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
追加図面
雪崩（アバランシェ）現象
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
少数キャリア蓄積効果
整流特性は周波数が高くなると次のような効果のために十分機能しなくなる
ｎおよびｐの中性領域には順バイアス時に拡散していた過剰ホールおよび電子が逆バイアス時に接合面を介して引き戻されるこのとき電流が流れる
追加図面
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
A バンド間直接遷移発光 D ドナーアクセプタ遷移発光
B ドナー価電子帯遷移発光 E エキシトン（励起子）価電子帯遷移発光
C 伝導帯アクセプタ遷移発光
追加図面 半導体の発光機構
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
キャリアの光学遷移過程 追加図面
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
n-Si基板
熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
追加図面
ヘテロ（異種）結合
に着目した
ｐｎ接合部分での発光
順バイアスになっていることに注目
半導体発光ダイオード(Light Emitting DiodeLED)
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
npn バイポーラトランジスタ IC の例
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熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
バイポーラ トランジスタ
1
n
B
C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
は次のようになるンで考えると電流ゲイつまりエミッタ接地
で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
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熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
1
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C
EC
BCE
C
E
I
I
II
III
I
I
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で定義されるは ンベース接地の電流ゲイ
が成り立つこれらの電流の間には
となるクタ電流加速された電子はコレ
ってこでの逆バイアスによタ接合に到達するそよってベースコレク
にるが大部分拡散過程た電子は一部再結合すベース領域に注入され
を使用する）ングした
ーピエミッタは高濃度ド悪い影響を与えるので（正孔電流は増幅度に
）込む（エミッタ電流らエミッタ領域へ流れ正孔がベース領域か
領域ミッタ領域からベース接合部では電子がエエミッタベース間の
逆バイアスベースコレクタ間は
順バイアスエミッタベース間は
増幅作用の原理
バイポーラトランジスタ
ｐｎ接合とバイアスの関係
トランジスタの増幅作用
エネルギーバンドで見直してみると
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
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熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
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エネルギーバンドで見直してみると
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集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
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熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
エネルギーバンドで見直してみると
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集積化されたトランジスタへの進化
電 極
絶縁材料
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熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
増幅回路とバイアスの下でのエネルギーバンド
集積化されたトランジスタへの進化
電 極
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順バイアス特性
集積化されたトランジスタへの進化
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熱拡散 打ち込み ドーピング
順バイアス特性
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