. . グラフへ退化する細い領域上の Neumann Laplacian を定める quadratic form の Mosco 収束 黒田 紘敏 東北大学 大学院理学研究科 数学専攻 2011 年度日本数学会秋季分科会 実函数論分科会 2011 年 9 月 29 日 supported by CREST「離散幾何学から提案する新物質創成と 物性発現の解明」 黒田 紘敏 (東北大学 大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 1 / 14
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......
グラフへ退化する細い領域上の NeumannLaplacian を定める
quadratic form の Mosco 収束
黒田 紘敏
東北大学大学院理学研究科数学専攻
2011年度日本数学会秋季分科会実函数論分科会
2011年 9月 29日
supported by CREST「離散幾何学から提案する新物質創成と物性発現の解明」
黒田 紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 1 / 14
1.1 Introduction
カーボンナノチューブ
直径 10−9メートル程度の非常に微細な構造をもつ.
1991年に飯島澄男に発見された.半導体の素材や軌道エレベータのロープなどへの応用が期待されている.
黒田 紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 2 / 14
1.1 Introduction
ごく細い領域をグラフで近似すると,ネットワークの性質は頂点でどのような条件を与えるかで決定される.
実際には厚みがあるので,制御するための条件はチューブの表面に与えることになる.チューブが限りなく細いときに,グラフでの結果との対応を考察する.
黒田 紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 3 / 14
1.1 Introduction
ごく細い領域をグラフで近似すると,ネットワークの性質は頂点でどのような条件を与えるかで決定される.
実際には厚みがあるので,制御するための条件はチューブの表面に与えることになる.チューブが限りなく細いときに,グラフでの結果との対応を考察する.
黒田 紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 3 / 14
1.2 Squeezing problem
Rn内の領域 Ωε (tube部分の半径が ε)とグラフ Gについて
Ωε −→ G (ε → +0)
という状況を考える.
Ωε G
黒田 紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 4 / 14
1.2 Squeezing problem
Ωε 上のある(線形な)境界条件 Bを備えた Laplacian
−∆Ωε = −n∑
i=1
∂2
∂x2i
with Bu = 0 on ∂Ωε
に対して,ε → +0の極限について考察する.
ここで,境界条件 Bは例えば
Bu = u (Dirichlet ,−∆DΩε
), Bu =∂u
∂ν(Neumann,−∆N
Ωε), . . .
Ωε G
黒田 紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 5 / 14
2.1 Quadratic forms associated with Neumann Laplacian on Ωε
Ωε
Ωε 上の重みつき測度 dµε を
dµε :=1
ωεn−1dx
とおく.ここで,ωεn−1は半径 εであるn − 1次元球の体積(チューブの部分の断面積)
次に汎関数 Qε : Hε = L2(Ωε, dµε) → [0,+∞] を
Qε[uε] = Qε[uε, uε] :=
∫Ωε
|∇uε|2 dµε if uε ∈ H1(Ωε, dµε)
+∞ otherwise
と定義すれば
Qε[uε, vε] = ⟨uε,−∆vε⟩Hε uε, vε ∈ D(∆NΩε
)
黒田 紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 6 / 14
2.1 Quadratic forms associated with Neumann Laplacian on Ωε
Ωε
Ωε 上の重みつき測度 dµε を
dµε :=1
ωεn−1dx
とおく.ここで,ωεn−1は半径 εであるn − 1次元球の体積(チューブの部分の断面積)
次に汎関数 Qε : Hε = L2(Ωε, dµε) → [0,+∞] を
Qε[uε] = Qε[uε, uε] :=
∫Ωε
|∇uε|2 dµε if uε ∈ H1(Ωε, dµε)
+∞ otherwise
と定義すれば
Qε[uε, vε] = ⟨uε,−∆vε⟩Hε uε, vε ∈ D(∆NΩε
)
黒田 紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 6 / 14
2.1 Quadratic forms associated with Neumann Laplacian on Ωε
Ωε
Ωε 上の重みつき測度 dµε を
dµε :=1
ωεn−1dx
とおく.ここで,ωεn−1は半径 εであるn − 1次元球の体積(チューブの部分の断面積)
次に汎関数 Qε : Hε = L2(Ωε, dµε) → [0,+∞] を
Qε[uε] = Qε[uε, uε] :=
∫Ωε
|∇uε|2 dµε if uε ∈ H1(Ωε, dµε)
+∞ otherwise
と定義すれば
Qε[uε, vε] = ⟨uε,−∆vε⟩Hε uε, vε ∈ D(∆NΩε
)
黒田 紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 6 / 14
2.2 The measured GH-convergence [cf: ’03 Kuwae-Shioya]
チューブ状領域からグラフへの射影の族 fε : Ωε → Gをうまく定めると,Gromov-Hausdorffの意味で(
Ωε,O, dµε = dx/(ωεn−1)) −→ (G,O, ds) (ε → +0)
が成り立つ.これは大雑把に言うと,近い点は近い点に射影され
limε→+0
∫Ωε
ψ fε dµε =∫
Gψ ds
= N∑j=1
∫ l j
0ψ j(s) ds
が任意の ψ ∈ C0(G)に対して成り立つこと.
Ωε
O
G
O
黒田 紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 7 / 14
2.3 The measured GH-convergence [cf: ’03 Kuwae-Shioya]
(X, p, m)で任意の有界集合が相対コンパクトな,基点つき可分距離空間 (X, p)と正値ラドン測度 mの組を表す..Definition..
......
(Xε, pε, mε) → (X, p, m) in the measured GH− topologyとは
∀r > 0, ∃rε, (rε → r), ∃ηε, (ηε 0)
∃可測写像 fε : B(pε, rε) → B(p, r), ( fε(pε) = p) s.t.
B(p, r) ⊂ B( fε(B(pε, rε)), ηε)
|d( fε(x), fε(y)) − dε(x, y)| < ηε for x, y ∈ B(pε, rε)
limε→+0
∫B(pε,rε)
u fε dmε =
∫B(p,r)
u dm for u ∈ C0(B(p, r))
ここで,dε, dは Xε, X の距離で,B(A, r) = x ∈ X | d(x, A) < r
黒田 紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 8 / 14
3.1 Mosco convergence of quadratic forms [cf: ’03 Kuwae-Shioya]
.Definition..
......
(Xε, mε)が (X, m)にGromov-Hausdorff収束するとする.また,Hε = L2(Xε, dmε),H = L2(X, dm)とおく.閉準双線型形式 Φε : Hε → (−∞,+∞] と Φ : H → (−∞,+∞] に対して,Φε が ΦにMosco収束するとは,次の 2条件を満たすことである.
...1 Hε ∋ uε u ∈ H weakly =⇒ Φ(u) ≤ lim infε→+0
Φε(uε)
...2 ∀u ∈ H , ∃uε ∈ Hε s.t. uε → u strongly, Φ(u) = limε→+0
Φε(uε)
ここで,uε → u stronglyとは,今回の設定では
limε→+0
∫Xε
|uε − u fε|2 dmε = 0
ということ.( fε : Xε → X は射影)黒田 紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 9 / 14
3.2 Quadratic form associated with Kirchhoff Laplacian on the graph
G
汎関数 Q0 : L2(G) → [0,+∞] を
Q0[ψ] :=
N∑
j=1
∫ej
|ψ′j(s)|2 ds if ψ ∈ H1(G)
+∞ otherwise
とおく.ここで
H1(G) = ψ ∈ C(G) | ψ j := ψ|ej ∈ H1(ej)
このとき
Q0 ←→ − d2
ds2with ψ ∈ C(G),
N∑j=1
dψ j
ds(0) = 0
黒田 紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 10 / 14
3.2 Quadratic form associated with Kirchhoff Laplacian on the graph
G
汎関数 Q0 : L2(G) → [0,+∞] を
Q0[ψ] :=
N∑
j=1
∫ej
|ψ′j(s)|2 ds if ψ ∈ H1(G)
+∞ otherwise
とおく.ここで
H1(G) = ψ ∈ C(G) | ψ j := ψ|ej ∈ H1(ej)
このとき
Q0 ←→ − d2
ds2with ψ ∈ C(G),
N∑j=1
dψ j
ds(0) = 0
黒田 紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 10 / 14
3.3 Main result
.Theorem..
......
Qε は Q0に ε → +0でMosco収束する. つまり,Ωε 上のNeumann Laplacianは G上の Kirchhoff Laplacianに収束する.
Qε[u] =∫Ωε
|∇uε|2 dµε if uε ∈ H1(Ωε, dµε)
Q0[ψ] =N∑
j=1
∫ej
|ψ′j(s)|2 ds if ψ ∈ H1(G)
H1(G) = ψ ∈ C(G) | ψ j ∈ H1(ej)
Ωε
O
G
O
黒田 紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 11 / 14
3.3 Main result
.Theorem..
......
Qε は Q0に ε → +0でMosco収束する. つまり,Ωε 上のNeumann Laplacianは G上の Kirchhoff Laplacianに収束する.
(補足)適切な V ∈ C0(Rn), V ≥ 0をとり, Vε(x) = (1/ε)V(x/ε),定数 CV を V のmassとすると,新たに汎関数を
φε[uε] :=∫Ωε
|∇uε|2 dµε +∫Ωε
Vε|uε|2 dµε
φ[ψ] :=N∑
j=1
∫ej
|ψ′j(s)|2 ds+ CV |ψ(O)|2
とおけば,φε は φにMosco収束する.
黒田 紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 12 / 14
3.4 Sketch of proof
supε>0Qε[uε] + ∥uε∥2
L2(ΩE,dµε) < +∞ ⇒ ∃uεk → ψ∞
D1,εJε
D2,ε
D3,ε
O
Ωε
D j,ε 上では
wεj(y) := uε|D j,ε(y1, εy′)
y = (y1, y′) ∈ (0, l j) × B1
とおけば
supε>0∥wε
j∥H1 < +∞
∥∇y′wεj∥L2 → 0
⇒ ∃wεk
j→ ψ∞
j
黒田 紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 13 / 14
3.4 Sketch of proof
supε>0Qε[uε] + ∥uε∥2
L2(ΩE,dµε) < +∞ ⇒ ∃uεk → ψ∞
D1,εJε
D2,ε
D3,ε
O
Ωε
D j,ε 上では
wεj(y) := uε|D j,ε(y1, εy′)
y = (y1, y′) ∈ (0, l j) × B1
とおけば
supε>0∥wε
j∥H1 < +∞
∥∇y′wεj∥L2 → 0
⇒ ∃wεk
j→ ψ∞
j
黒田 紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 13 / 14
3.4 Sketch of proof
supε>0Qε[uε] + ∥uε∥2
L2(ΩE,dµε) < +∞ ⇒ ∃uεk → ψ∞
D1,εJε
D2,ε
D3,ε
O
Ωε
D j,ε 上では
wεj(y) := uε|D j,ε(y1, εy′)
y = (y1, y′) ∈ (0, l j) × B1
とおけば
supε>0∥wε
j∥H1 < +∞
∥∇y′wεj∥L2 → 0
⇒ ∃wεk
j→ ψ∞
j
黒田 紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 13 / 14
3.4 Sketch of proof
ψ∞ ∈ D(Q0) = H1(G) = ψ ∈ C(G) | ψ j ∈ H1(ej) ?
D1,εJε
D2,ε
D3,ε
O
Ωε
Jε 上では
vε(z) := uε|Jε(εz)
z ∈ J = ε−1Jε
とおけば
∥∇zvε∥L2 → 0
vε ≃ Cε : const
このとき,D j,ε と Jε の共通部分で
ψ∞j(0) = lim
k→∞Cεk
がわかるので,ψ∞ ∈ C(G)
黒田 紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 14 / 14
3.4 Sketch of proof
ψ∞ ∈ D(Q0) = H1(G) = ψ ∈ C(G) | ψ j ∈ H1(ej) ?
D1,εJε
D2,ε
D3,ε
O
Ωε
Jε 上では
vε(z) := uε|Jε(εz)
z ∈ J = ε−1Jε
とおけば
∥∇zvε∥L2 → 0
vε ≃ Cε : const
このとき,D j,ε と Jε の共通部分で
ψ∞j(0) = lim
k→∞Cεk
がわかるので,ψ∞ ∈ C(G)
黒田 紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 14 / 14
3.4 Sketch of proof
ψ∞ ∈ D(Q0) = H1(G) = ψ ∈ C(G) | ψ j ∈ H1(ej) ?
D1,εJε
D2,ε
D3,ε
O
Ωε
Jε 上では
vε(z) := uε|Jε(εz)
z ∈ J = ε−1Jε
とおけば
∥∇zvε∥L2 → 0
vε ≃ Cε : const
このとき,D j,ε と Jε の共通部分で
ψ∞j(0) = lim
k→∞Cεk
がわかるので,ψ∞ ∈ C(G)黒田 紘敏 (東北大学大学院理学研究科) 細い領域上のハミルトニアン 2011 年 9 月 29 日 14 / 14