バスゼミ 140327.ppt [互換モード]2014/4/3 容量C Idt C C Q V 1 C Q W C CV QV 2 2 2 1 2 1 2 1 電流: I 電圧: V 電圧は電流の時間積分に比例する（比例係数は1/C)

電気・電子システムと複素数

東京工業大学

大学院理工学研究科

電子物理工学専攻

松澤昭

2014/4/3

1

2講演の狙い

2014/4/3

電気電子工学や制御工学では「複素数」がやたら多く出てくる。複素数を使うと，複雑なことが簡単になるのだが，「虚数」という一見存在しないような数を使うので，最初はとまどってしまう。そこで，なぜ電気電子工学では複素数を使うのか，どんな意味があるかについて説明したい。

今後学習を進めるための参考にしてほしい。

この資料は，http://www.ssc.pe.titech.ac.jpのLecture にありますので，興味のある方はダウンロードしてください

3電気電子工学に現れる複素数

2014/4/3

sincos je j オイラーの公式：解析学 ３学期

工学上，最も重要な公式

dtetfF tj

)()( フーリエ変換：フーリエ変換とラプラス変換 ３学期

dtetfsF st

)()( ラプラス変換：フーリエ変換とラプラス変換 ３学期

時間領域関数の周波数領域関数への変換

時間領域関数の複素周波数領域関数への変換

iは電流を表すので工学での虚数はiではなくjが用いられる。

Sは複素数微分方程式の解法，回路解析，制御におけるシステム設計や安定解析などに用いられる。

通信，信号処理などに用いられる。

tjeVtV 0)( 電圧・電流の複素表示：線形回路 ３学期

回路理論 4学期

電気回路，電力工学などの基本。

js

4３種類の電気素子

2014/4/3

容量 C 抵抗 R インダクタ L

電気素子としてはこの３種類しかない。この３種類の素子の性質を知ろう

5抵抗の性質

2014/4/3

抵抗 R

電流: I

電圧

: VRIV

GVRVI

コンダクタンス：G

RG 1

電圧は電流に比例する （比例係数はR)

電流は電圧に比例する （比例係数はG)

22 RIGVVIP 消費電力は電圧の２乗もしくは電流の２乗に比例する

PdtWR

消費エネルギーは消費電力の時間積分

抵抗では電圧と電流は比例関係にあり，エネルギーを消費する

6容量の性質

2014/4/3

容量 C

dtICC

QV 1

CQQVCVWC

22

21

21

21

電流: I電

圧: V

電圧は電流の時間積分に比例する （比例係数は1/C)

電流は電圧の時間微分に比例する （比例係数はC)

電気エネルギーは電圧の２乗に比例し，これを蓄積する

CVQ 電荷は電圧に比例する（比例係数はC)

dtdVC

dtdQI

容量では電圧と電流は時間微積分関係にあり，電気エネルギーを蓄積する。電荷が本質的働きをする。

7インダクタの性質

2014/4/3

インダクタ L電流: I

電圧

: VdtdILV

dtVL

I 1

2

21 LIWL

電圧は電流の時間微分に比例する （比例係数はL)

電流は電圧の時間積分に比例する （比例係数は1/L)

電気エネルギーは電流の２乗に比例し，これを蓄積する

インダクタでは電圧と電流は時間微積分関係にあり，磁気エネルギーを蓄積する。

8抵抗，容量，インダクタのまとめ

2014/4/3

容量 C

抵抗 R

インダクタ L

電圧

V

電流

I

RIV

GVRVI

dtIC

V 1

dtdVCI

dtVL

I 1dtdILV

エネルギー

2

21CVWC

（保存）

dtIR

dtVGWR

2

2

（消失）

2

21 LIWL

（保存）

各素子の電圧と電流の関係

CVQ dtdQI

9容量と抵抗の時間応答

2014/4/3

S

C R

+Q0

-Q0

C R

SI(t)

V(t)

電荷が溜まっている容量を抵抗で終端した場合

V0

V0スイッチを閉じた瞬間，容量の電圧Voと抵抗の電圧V(t)は等しいので，

0)0( VtV 抵抗の電圧V(t)は電流I(t)が流れることで生じるので，

RVtI 0)0(

容量から電荷ΔQが抜けていく。このことによる容量側の電圧変化と抵抗側の電圧変化ΔVは等しいので

RICQV

tIR

tQ

CtV

1

全ての項を時間変化Δtで割ると

10容量と抵抗の時間応答の答え

2014/4/3

tIR

tQ

CtV

1

C R

SI(t)

V(t)V0 I

tQ

電荷と電流は

tIR

CI

tQ

C

1

これよりRCI

dtdI

指数関数を仮定して解いてみる

teItI 0)(

100

tt eIeI

dtdI

t

eItI

0)(答えは t

eVtRItV

0)()(RC

これを時定数という

微分方程式

11指数関数の性質

2014/4/3

0 1 2 3 4 51 10 3

0.01

0.1

1

x

0 1 2 3 4 5

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

xe xe

リニア表示 対数表示

指数関数は値が一定の比率で時間とともに増減する関数である

時間 t 時間 t

12インダクタと抵抗の回路の時間応答

2014/4/3

S1 S2R0

L RV0I0 I

V

最初にスイッチS1が閉じられ，S2は開いておりインダクタLには電流I0が流れていた。次にS1を開きt=0でS2を閉じると，電圧，電流はどうなるか

インダクタに蓄積されている磁気エネルギーWLは

202

1 LIWL

このエネルギーWLは急には変化できないので電流Iは-I0になる。したがって初期電圧は，

0RIV

インダクタの電圧電流関係は，電流の向きを考慮してdtdILV

RIV 抵抗側では インダクタの電圧と抵抗の電圧は等しいので，

ILR

dtdI

t

eII

0容量の場合と同様に指数関数になる

t

eRIRIV

0

RL

微分方程式

13容量とインダクタの回路の時間応答

2014/4/3

I

V

容量: C インダクタ：L

V0

S

dttdVCtI )()( dttV

LtI )(1)(

dttVLdt

tdVC )(1)()(1)(

2

2

tVLCdt

tVd

teAtV 0)(

tt eAdttVdeA

dttdV 0

22

2

0)(,)(

tt eLCAeA 0

02

LCj

LC

1

tjtj eeAtV 0)(

容量側の方程式 インダクタ側の方程式

電流は等しいので ２階の微分方程式にすると

指数関数を想定して微分方程式を解いてみる

指数の肩に虚数が現れた

容量Cに初期電荷があり，その電圧をV0とする。Sを閉じるとLC回路では

LC1

したがって

14容量とインダクタの回路の時間応答

2014/4/3

tjtj eeAtV 0)( t=0でV0なので

2)( 0

tjtj eeVtV

dttdVCtI )()( から電流を求める

jeeV

LC

jeeVCejejCV

dttdVCtI

tjtjtjtjtjtj

222)()( 000

jeeV

LCtI

tjtj

2)( 0

三角関数を用いて微分方程式を解いてみる tAtV 'cos)( 0 と置くと

tAdttVdtA

dttdV 'cos')(,'sin')(

02

2

2

0

)(1)(2

2

tVLCdt

tVd なので

LCt

LCAtA 1','cos'cos' 0

02

t=0でV(t)=V0なので tVtV cos)( 0

tVLCtVCtV

dtdC

dttdVCtI sinsincos)()( 000

15指数応答と正弦波応答の関係

2014/4/3

2)( 0

tjtj eeVtV

jeeV

LCtI

tjtj

2)( 0

tVtV cos)( 0

tVLCtI sin)( 0

指数関数から求めた答え 三角関数から求めた答え

本来は同じ答えなので

tjee

tee

tjtj

tjtj

sin2

cos2

tjeetee

tjtj

tjtj

sin2cos2

tjte tj sincos

sincos je j 有名なオイラーの公式

一般化すると指数関数と三角関数を結びつける公式で複素数で表される

指数関数に虚数を導入すると三角関数になる

16

sincos je j

実軸

虚軸：j

大きさが１

je

cos

sinj角度θを位相角という

オイラーの公式はZ平面（複素平面）上の大きさ１，で位相角θの点を表し単位円上にある。実軸成分がcosθ，虚軸成分がjsinθである

オイラーの公式の複素平面での表現

複素数の極形式

17LC回路の電圧と電流

2014/4/3

0 2 4 6 8 101

0.5

0

0.5

1

V x( )

I x( )

x

電圧 V

電流 I

sin0VLCI

cos0V

V0

t

電圧と電流

電圧波形

電流波形

LC共振回路における電圧と電流の関係は等速円運動上の水平軸への投影と垂直軸の投影と考えることができる

tjte tj sincos

時間 （位相）

18電気エネルギーと磁気エネルギーの交換

2014/4/3

電流：I

電圧：V容量: C インダクタ：L

初期電圧V0

電気エネルギー 磁気エネルギー

2

21CVWc

2

21 LIWL

tCV

tCVCVW

tVtV

c

2cos141

cos21

21

cos)(

20

220

2

0

tCV

tCVLIW

tVLCtI

L

2cos141

sin21

21

sin)(

20

220

2

0

202

1CVWWW LCtot 全エネルギーは一定

LC共振回路では電気エネルギーを磁気エネルギーに，磁気エネルギーを電気エネルギーに，互いに交換している。これが振動である。

tCVWc 2cos141 2

0 tCVWL 2cos141 2

0

19

t CW

LW0CW

cos0CW

sin0CW

電気エネルギーと磁気エネルギー

0 2 4 60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

)

x１周期

赤：電気エネルギー青：磁気エネルギー

電気エネルギー

磁気エネルギー

tCVWc 2cos141 2

0

tCVWL 2cos141 2

0

tVCW

tCVW

c

c

cos2

cos21

0

220

tVCW

tCVW

L

L

sin2

sin21

0

220

00 2VCWC

電気的振動は電気エネルギーと磁気エネルギーの交換から生じる

エネルギー交換から生じる電気振動

20

ILV

容量: C インダクタ：L

V0

S

抵抗: 1/G

IC

IR

VdtL

I

GVIdtdVCI

L

R

C

1

0 LRC III

0

01

2

2

LV

dtdVG

dtVdC

VdtL

GVdtdVC

teAtV 0)(

VdtVd

VdtdV

22

2

012 L

GC

CLCGG

2

42

C

GLCjG

LCG

2

4

4

2

2

のときは

抵抗・容量・インダクタの回路

流れ出る電流の和はゼロ

したがって

とすると

各素子の電圧Vは同一で，電流の和はゼロであるので

21抵抗・容量・インダクタの回路の時間応答

2014/4/3

teAtV 0)(

CLCGG

2

42

C

GLCjG

LCG

2

4

4

2

2

のときは

回路の応答はλが実根の場合は振動成分が生ぜず，λが複素根のときに振動成分が発生する

22

21

2

4

2

CG

LCC

GLC

CG

tjtjt

tjtjt

eeeAeAeAeAtV

0

000)(

複素根の場合は

t=0でV(t)=V0なので

teVeeeVtV ttjtj

t

cos2

)( 00

減衰項 振動項

22時間応答の違い

2014/4/3

V(V(1)@R

-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

1.2

0 50u 100u 150u 200u 250u 300u

TIME (s)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

f3 x1( )

f x1( )

電圧

時間

赤：複素根の場合

青：実根の場合

複素平面上の動き

tetV t cos)( 減衰振動波形

微分方程式が実根の場合は減衰するだけで振動成分は発生しない。複素根の場合は振動成分が発生し，減衰振動になる。

0

23電気回路の応答の基本

2014/4/3

x

x

x

2

21

CG

LCp

CG2

LCc1

LCG 42

x

j

pp js 1

pp js 1

共役複素根

共役複素根

２重根

定常振動（発振）

安定

不安定

減衰振動

電気回路の応答は，微分方程式の根（ラプラス変換の極）の複素平面上の位置で決まる

24

IL

V

容量: C インダクタ：L

V0

抵抗: 1/GIC IR

VdtL

I

GVIdtdVCI

L

R

C

1

02

2

LV

dtdVG

dtVdC

tAetV )(

012 L

GC

CLCGG

2

42

電気回路と複素数

tjt AeAetV )(

P:比例項

D:微分項

I:積分項

電気素子(RCL)は電圧・電流の関係が比例・積分・微分(PID) の関係にあり，その応答は２次の微分方程式で表される。解は複素数の指数関数となる。

電気エネルギーと磁気エネルギが交換されるときの解は虚数を含み，正弦波の振動を発生させる。解の実数部分は電磁エネルギーの減衰を表す。

複素数は電気回路の基本

25なぜ複素数で電気信号を表すのか？

2014/4/3

電圧 V

電流 I

sin0VLCI

cos0V

V0

t

電圧と電流

tjtVeV tj sincos00

電流：I電圧：V

容量: C インダクタ: L

電気エネルギー 磁気エネルギー

実数だけを用いると，振動現象の背後にある電気エネルギーと磁気エネルギーの交換を表せない。複素数を用いることにより，総エネルギー量（絶対値）と電気エネルギーと磁気エネルギーの比率（位相）が表現でき，振動の本質を表すことができる。

26超高速無線通信

2014/4/3

複素数は電気電子工学，特に通信や信号処理の基本である。

ここでは，高周波信号に情報を載せる変調技術への応用を示す。関数の直交性から信号を複素数で捉え，同一周波数で２つの独立した（複素）情報をおくることができるため，古典的な変調技術に比べ，同一帯域で２倍の情報を送ることができる。

研究室ではこの技術を用いて，28Gbpsの世界最高速無線通信が可能な60GHz帯無線トランシーバー集積回路を開発した。

2760GHz CMOSトランシーバーの開発

研究室で開発した，超高速無線伝送用集積回路

2013/1/25 A. Matsuzawa, Tokyo Tech.

K. Okada and A. Matsuzawa, et al.,ISSCC 2012

28アンテナ内蔵パッケージと電波の放出

2013.08.12 Tokyo Tech

29性能測定系

AbsorberRF boardRF board BB boardBB board

BB chip BB chipRF chipwith 6dBi antenna [3]

I/Q

Control signals

RF boardI/Q

BB PHYControl(FPGA)

Laptop PC

Power supply

I/Q

Control signals

I/Q

RF board

Power supply

BB PHY Control(FPGA)

Laptop PC

Tx mode Rx mode

2013/1/25 A. Matsuzawa, Tokyo Tech.

30超高速無線通信

2014/4/3

0

5

10

15

20

25

30

2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015

Dat

a ra

te [G

b/s]

UCBNEC

Univ. of Toronto

CEA-LETIToshiba

IMEC

Panasonic

UCB

Broadcom

Toshiba

SiBeam

松澤・岡田研の成果

世界最高速の28Gbps 無線通信を実現

超高速無線通信ではダントツの世界一

31

2013/1/25 A. Matsuzawa, Tokyo Tech.

研究室の高周波特性評価装置

110GHzまでの最新の高周波評価装置が揃っている

32トランシーバー開発メンバー

2013/3/12

修士学生が中心の開発メンバー 若い力が未来をつくる

2011年1月

33変調技術

2014/4/3

どのようにして無線信号に情報を載せるか？

(1) 振幅変調; AM(Amplitude modulation)

(2) 周波数変調; FM(Frequency modulation)

(3) 位相変調; PM(Phase modulation)

)()()()( cos tttt tAy 高周波信号

(1) 振幅変調： A(t)(2) 周波数変調： ω(t)(3) 位相変調：θ(t)

正弦波の３つのパラメータをデータに応じて変化させれば良い

これらの古典的な変調方法は効率が悪い!

34

101030 A. Matsuzawa 34

直交という概念

0)()( dxxgxf

xcos xsin

02sin

21sincos xxdxx

２つの関数f(x), g(x) が区間αからβにおいて、

となる関数は互いに直交している関数である。例えば、

は区間-πから+πにおいて、

であるので、直交している。

と

関数の直交性

複素数の直交性

複素数の実部と虚部は独立しており，直交性を有する。

111 jbaz

222 jbaz 212121 bbjaazz

35

101030 A. Matsuzawa 35

Da

Db

送信波

tccos

tcsin

フィルタ後

直交変調

復調変調

sin波とcos波は直交しているため、同一周波数でも2つの独立した情報が送れる

元のデータが再現できる

36

101030 A. Matsuzawa 36

複素変調 （直交変調）

QAM( Quadrature Amplitude Modulation) 位相と振幅の両方に情報を有し、狭帯域でも多くの情報を送れる。複素数としての取り扱いが可能である。

実数

虚数

(0001)

(0010)

(0011)

(0000)

(0101)

(0110)

(0111)

(0100)

(1001)

(1010)

(1011)

(1000)

(1101)

(1110)

(1111)

(1100)

)()()( ttjetAty

)(tA

)(ta

jb

ttjbttaty sin)(cos)()(

極形式

cos波とsin波を重みを付けて加えることで，複素形式となる

abt 1tan)(

22 )()()( tbtatA

直交加算

37超高速無線通信機の構成

2014/4/3

電力増幅器

低雑音増幅器

直交ミキサ（乗算器）

フィルタ

フィルタ

発振器

送信機

受信機 フィルタ

フィルタ

発振器

tccos

tcsin

a(t)

b(t)

tta ccos)(

ttb csin)(

ttbtta cc sin)(cos)(

)(cos)( tttA c

tccos

tcsin

a(t)

b(t)

直交発振器

直交発振器とミキサを用いることで複素変復調が可能になる

この技術で通信速度を上げた

38複素平面で考えよう

2014/4/3

偏差値

高い低い

１次元の価値観

お金

勝ち組，負け組偏差値

高い低い

人間性

高い

低い

複素平面の価値観

39複素の価値で考えると

2014/4/3

電気電子（ハードウエア）

情報（ソフトウエア）

エネルギー

エンターテインメント