7/23/2019 Feria de Matematicas http://slidepdf.com/reader/full/feria-de-matematicas 1/17 Feria de matematicas Es fácil medir la altura de un arbol usando solouna regla.) Medir la altura de un arbol, un edificio o cualquier otro objeto es relativamente sencillo si se dispone de una regla. El procedimiento es el siguiente 1. Colocarse a una distancia conocida del objeto cuya altura H se quiere medir, en este caso el arbol. Llamamos D a esa distancia. 2. Extender el brazo mientras se sostiene una regla verticalmente a la altura de los ojos. Llamamos d a la distancia entre la mano y el ojo. 3. Cerrar uno de los ojos y con el restante determinar a cuantos centmetros de la regla corresponde la altura del arbol. ! esa longitud medida en la regla la denominamos h. "or semejanza de tri#ngulos se obtiene que H/h = D/d . $e esta relaci%n se obtiene que la altura del arbol es& H = h.(D/d) Como ejemplo supongamos que la distancia que nos separa del arbol es de '( metros, que nuestro brazo extendido mide (cm *(.m) y que en la regla vimos que la altura relativa del arbol es de +(cm *(.+m), por lo tanto la altura real del arbol ser# H *(.+ x '(-(.)m .m volver a E/"E01ME2345 $E M!3EM!31C!5 PITAGORAS En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas: Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º. En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de ipotenusa ! los otros dos lados se llaman catetos. "eorema de #itágoras.$ En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la ipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
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Es fácil medir la altura de un arbol usando solouna regla.)
Medir la altura de un arbol, un edificio o cualquier otro objeto es relativamente sencillo sise dispone de una regla. El procedimiento es el siguiente
1. Colocarse a una distancia conocida del objeto cuyaaltura H se quiere medir, en este caso el arbol.Llamamos D a esa distancia.
2. Extender el brazo mientras se sostiene una reglaverticalmente a la altura de los ojos. Llamamos d a ladistancia entre la mano y el ojo.
3. Cerrar uno de los ojos y con el restante determinar acuantos centmetros de la regla corresponde la alturadel arbol. ! esa longitud medida en la regla ladenominamos h.
"or semejanza de tri#ngulos se obtiene que H/h = D/d . $eesta relaci%n se obtiene que la altura del arbol es&
H = h.(D/d)
Como ejemplo supongamos que la distancia que nos separa del arbol es de '( metros,que nuestro brazo extendido mide (cm *(.m) y que en la regla vimos que la alturarelativa del arbol es de +(cm *(.+m), por lo tanto la altura real del arbol ser#
H *(.+ x '(-(.)m .m
volver a E/"E01ME2345 $E M!3EM!31C!5
PITAGORAS
En primer lugar deberíamos recordar un par de ideas: Un triángulo rectángulo es un triángulo quetiene un ángulo recto, es decir de 90º. En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el
nombre de ipotenusa ! los otros dos lados se llaman catetos.
"eorema de #itágoras.$ En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la ipotenusa es igual a la suma
El l#ser es una 6erramienta con muc6os usos. 7no de los usos es para que nos sirvacomo medidor de distancia. Con ayuda de un puntero l#ser, algunos otros materiales y algo
de trigonometra, se puede medir una determinada distancia con la luz.
ATENCION# !unque se pueden adquirir libremente, los punteros l#ser no son $uguetes. Lospunteros l#ser tienen poca potencia, pero es un rayo de luz de muc6a intensidad y puede
causar da%o e&tensi'o ( )ermanente en los ojos. Nunca se debe apuntar el l#ser a nuestrosojos o los de otra persona. Manejar el l#ser con cuidado al 6acer los experimentos.
o $ispositivos para montar todo *el dise:o lo dejamos en tus manos)
9Cuando se trabaja con luz se necesita este tipo de espejos, que no tienen recubrimiento depintura en la parte plateada, de manera que se usa esta parte plateada para que el espesor
de del vidrio no distorsione el 6az de luz.
*ROCEDIMIENTO#
Coloca y sujeta el puntero l#ser en el extremo de un tablero de madera o de aglomerado. 5i elpuntero no tiene un interruptor permanente que mantiene el l#ser encendido, tendr#s quecambiar el interruptor.
El divisor de 6az o beam splitter tiene que ser montado de manera tal que el 6az del l#ser sedivida en un #ngulo de +, grados.
El espejo giratorio se coloca a metro de distancia del centro del divisor de 6az. $ebe estar sobre un soporte que puede ser de madera u otro material. El transportador se fija de formapermanente debajo del espejo giratorio, de manera que muestre una lectura de ( cuando el6az del l#ser es dirigido de vuelta al lugar en donde se encuentra el divisor de 6az. 3ambi;n
se puede 6acer que ambos 6aces se proyecten en una pared a metro de distancia entre si.$e esta manera el aparato esta listo para ser usado.
!bajo se puede ver un dibujo de como se colocan todos los accesorios.
Coloca el medidor de distancia sobre una mesa a cierta distancia de lla pared o de alg<nobjeto, de manera que el 6az que indica la distancia desconocida / se pueda ver claramente.La distancia m#xima la determinar# la potencia del l#ser. Recuerda# =l beam splitter divide el
6az de l#ser original en dos 6aces, de manera que ambos 6aces tienen la mitad del brillo del6az original. El tablero de montaje debe estar paralelo a la pared.
!6ora se ajusta el espejo giratorio de manera que ambos 6aces se superponen en el objeto opared cuaya distabncia deseamos calcular. Luego se lee el desplazamiento del espejo
giratorio en el transportador para obtener el #ngulo del rayo reflejado.
CAC"OS#
!6ora tenemos un triángulo rectángulo y conocemos uno de los #ngulos y su ladoadyacente. 3odo lo que tenemos que 6acer es aplicar la f%rmula de la tangente para calcular
la distancia -.
tangente del #ngulo lado opuestolado adyacente
Entonces&
tangente del #ngulo >>>> - >>>> metro
"ara resolver -&
- *tangente del #ngulo)* metro)
5e pueden encontrar otros usos para el medidor de distancias, uno de estos puede ser medidor de #ngulos.
instrumentos que a su vez 6an sido construidos teniendo en cuenta proporciones igualmente
matem#ticasIJ.
La reflexi%n os 6abr# resultado tan desconcertante como a m, pero se me olvida mencionar que mi
amigo es ingeniero de telecomunicaciones especialista en imagen y sonido. !cto seguido me
coment% que durante la carrera 6aba cursado una asignatura optativa llamada G!c<stica musicalJque acab% por abandonar por resultarle demasiado complicada.
0eflexionando sobre el asunto me intrigaron dos cosas& por un lado, c%mo a un ingeniero de
telecomunicaciones poda resistrsele una asignatura como aquella, existiendo otras bastante m#s
complicadas como Fundamentos de álgebra o Métodos NuméricosK por otro lado, pens; en la
absurda relaci%n entre las matem#ticas y las canciones de Back to Back , el disco de !my ine6ouse
que aquella ma:ana 6aba cargado en mi ipod.
"or muy surrealista que resulte, la relaci%n existe. "ara comprenderla, tenemos que remontarnos a
la antigua ?recia, concretamente a "it#goras. Este fil%sofo fue quien descubri% la importancia de los
n<meros en la m<sica y la relaci%n existente entre esta disciplina y las matem#ticas. a )ro)ia
)alabra matemáticas )ro'iene del griego mathema/ 0ue significa conocimiento. "it#goras y sus
seguidores, los llamados Gpitag%ricosJ, dividan esta ciencia en cuatro #reas& la aritm1tica/ la
geometr2a/ la astronom2a ( la m3sica. Curiosamente, las matem#ticas y la m<sica tienen en
com<n una propiedad excepcional& ambas constituyen lenguajes universales.
"oca gente sabe que fueron los fil4sofos )itag4ricos los que )usieron las bases de nuestra
m3sica actual incluida la de !my ine6ouse, aunque m#s de uno lo discutaD. En la asignatura
G!c<stica musicalJ, la mencionada por mi amigo el ingeniero, se estudiaban las leyes cuantitativas de
la ac<stica que fueron formuladas por el propio "it#goras. El fil%sofo quera descubrir qu; relaci%n
6aba entre la armona musical y los n<meros.
3odos conocemos la escala musical que va del $o 6asta el siguiente $o *una octava m#s
alto).*itágoras descubri4 0ue la octa'a ten2a una )ro)orci4n matemática de 56. 4s
preguntar;is c%mo descubri% esta relaci%n matem#tica si las proporciones pertenecen al mundo de
lo fsico y las notas musicales al de lo auditivo. El descubrimiento fue el resultado de una serie de
experimentos sencillos en los que utiliz% cuerdas.
3ens% varias cuerdas de distintas longitudes y las fue pellizcando para que vibraran y emitiesen
sonidos. @inalmente, tras 6acer muc6as pruebas, tens% dos de ellas& una el doble de larga que la
5.5. Pitágoras de Samos • Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), Vivió inmediatamente después de Tales.
Fundó la escuela pitagórica (Sur de Italia), organización que se guiaba por el amor a la sabiduría y
en especial a las Matemáticas y a la Música. • Además de formular el teorema que lleva su
nombre, inventó una tabla de multiplicar y estudió la relación entre la música y las matemáticas.
6.6. Descubrimientos (I) • Teorema de Pitágoras. También el converso del teorema (si los lados de
un triángulo satisfacen la ecuación, entonces el triángulo es recto). • Ternas pitagóricas. Una terna
pitagórica es una terna de números enteros (a, b, c) tales que a² + b² = c². • Números perfectos.
aquellos números que son iguales a la suma de sus divisores propios (por ejemplo 6=1+2+3).
7.7. Descubrimientos (II) • Números amigables. Un par de números son amigables si cada uno es
igual a la suma de los divisores propios del otro. Ej: 220 y 284 • Números irracionales. El
descubrimiento de que la diagonal de un cuadrado de lado 1 no puede expresarse como un
cociente de números enteros marca el descubrimiento de los números irracionales. • Números
figurados. Un número es figurado (triangular, cuadrangular, pentagonal, hexagonal, etc.) si tal
número de guijarros se pueden acomodar formando el polígono correspondiente con lados 1,2,3,
etc.
8.8. Leonardo Fibonacci • (c. 1170-c. 1240) matemático italiano que recopiló y divulgó el
conocimiento matemático de clásicos grecorromanos, árabes e indios y realizó aportaciones en los
campos matemáticos del álgebra y la teoría de números. Fibonacci nació en Pisa, una ciudad
comercial donde aprendió las bases del cálculo de los negocios mercantiles. • Cuando Fibonacci
tenía unos 20 años, se fue a Argelia. Utilizó esta experiencia para mejorar las técnicas de cálculo
comercial que conocía y para extender la obra de los escritores matemáticos clásicos, como los
matemáticos griegos Diofante y Euclides.
9.9. Aportes • Escribió sobre la teoría de números, problemas prácticos de matemáticas comerciales
y geodesia, problemas avanzados de álgebra y matemáticas recreativas. Sus escritos sobre
matemáticas recreativas, que a menudo los exponía como relatos, se convirtieron en retos
mentales clásicos ya en el siglo XIII. • Estos problemas entrañaban la suma de series recurrentes,como la serie de Fibonacci que él descubrió (kn = kn-1 + kn-2, por ejemplo, 1, 2, 3, 5, 8, 13…). A
cada término de esta serie se le denomina número de Fibonacci (la suma de los dos números que
le preceden en la serie).
10.10. Galileo Galilei • Galileo nació Pisa en 1564, hijo de un músico. Aunque había ido a la
universidad para estudiar medicina, decidió inclinarse hacia las matemáticas. • A sus veinticinco
años fue nombrado profesor de matemáticas en la universidad de Pisa, donde comenzó a
investigar sobre mecánica y sobre el movimiento de los cuerpos. • Ha sido considerado como el
«padre de la astronomía moderna», el «padre de la física moderna» y el «padre de la ciencia».
11.11. Descubrimientos • Sus descubrimientos astronómicos fueron importantes, siendo él el primeroen hacer del telescopio, recién inventado, un instrumento útil para la observación astronómica. •
Pero su contribución más interesante fue la de establecer el lazo a partir de entonces, nunca roto,
entre física, en particular la mecánica, y las matemáticas, que hasta entonces se habían
considerado como ciencias separadas. • Se le atribuye la primera ley del movimiento y un apoyo
determinante para el copernicanismo.
12.12. Blaise Pascal • (1623-1662), filósofo, matemático y físico francés. • Nació en Clermont-Ferrand
el 19 de junio de 1623, y su familia se estableció en París en 1629. A la edad de 16 años formuló
uno de los teoremas básicos de la geometría proyectiva, conocido como el teorema de Pascal y
descrito en su Ensayo. • Pascal formuló la teoría matemática de la probabilidad, que ha llegado a
ser de gran importancia en estadísticas actuariales, matemáticas y sociales, así como un
elemento fundamental en los cálculos de la física teórica moderna o sobre las cónicas (1639). • En
1642 inventó la primera máquina de calcular mecánica.
13.13. Isaac Newton • (Woolsthorpe, , Lincolnshire 1642 - Londres, 1727). Fue enviado a la
Universidad de Cambridge, en donde hubo de trabajar para pagarse los estudios. • Allí Newton no
destacó especialmente, pero asimiló los conocimientos y principios científicos de mediados del
siglo XVII, con las innovaciones introducidas por Galileo, Bacon, Descartes, Kepler y otros. • Suele
considerarse a Isaac Newton uno de los protagonistas principales de la llamada «Revolución
científica» del siglo XVII y, en cualquier caso, el padre de la mecánica moderna.
14.14. Aportes • Newton coincidió con Leibniz en el descubrimiento del cálculo integral. Pero sus
aportaciones esenciales se produjeron en el terreno de la Física. • Sus primeras investigaciones
giraron en torno a la óptica. Isaac Newton formuló una teoría sobre la naturaleza corpuscular de la
luz y diseñó en 1668 el primer telescopio de reflector. • También trabajó en otras áreas, como la
termodinámica y la acústica; pero su lugar en la historia de la ciencia se lo debe sobre todo a su
refundación de la mecánica. En Principios matemáticos de la filosofía natural (1687), formuló
rigurosamente las tres leyes fundamentales del movimiento.
15.15. Carl Friedrich Gauss • (Brunswic, 1777- Göttingen, 1855) • Sus aportaciones en todos los
campos matemáticos (Teoría de números, Astronomía, Magnetismo, Geometría, Análisis) fueron
increíbles, aunque algunos de sus descubrimientos tuvieran que esperar más de un siglo para ser
valorados debidamente. • Es apodado “El príncipe de las matemáticas”
16.16. Descubrimientos • Representó geométricamente los números complejos mediante puntos en el
plano, además de aceptarlos y emplearlos como objetos matemáticos puros. • Hacia 1820 Gauss
comenzó a trabajar en geodesia (determinación de la forma y tamaño de la tierra), tanto de forma
teórica como e forma práctica. • Determinó la órbita del asteroide Pallas, teniendo en cuenta en
sus cálculos, las perturbaciones producidas por los otros planetas del sistema solar. • Trabajó conel físico Wilhelm Weber en la investigación teórica y experimental del magnetismo Ambos