FENOMENI DI TRASPORTO FENOMENI DI TRASPORTO FENOMENI DI TRASPORTO R. Lapasin R. Lapasin Corso Corso di di laurea laurea in in ingegneria ingegneria industriale industriale Dipartimento Dipartimento di di Ingegneria Ingegneria Industriale Industriale e e dell dell’ Informazione Informazione Universit Università di Trieste di Trieste
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FENOMENI DI TRASPORTOFENOMENI DI TRASPORTOFENOMENI DI TRASPORTO
R. LapasinR. Lapasin
CorsoCorso di di laurealaurea in in ingegneriaingegneria industrialeindustriale
DipartimentoDipartimento di di IngegneriaIngegneria IndustrialeIndustriale e e delldell’’InformazioneInformazioneUniversitUniversitàà di Triestedi Trieste
ObiettiviObiettivi formativiformativi
Illustrare i fondamenti del trasportodi materia, energia e quantità di motoall'interno di una fase e tra due fasi,
fornire gli elementi necessariper l'analisi e la risoluzione di problemi semplici,riducibili a forma monodimensionale,
attraverso la definizione e derivazionedelle grandezze e delle relazioni utili,
e l'esercizio di calcolo di bilanci macroscopici
PROGRAMMAPROGRAMMA
TRASPORTO MOLECOLARENatura, meccanismi e forze motriciFlussi, equazioni costitutive, bilanciTrasporto di energia in stato stazionarioTrasporto di energia in stato non stazionarioFlussi diffusivi di materiaTrasporto di quantità di motoProprietà di trasporto per stati fisici e sistemi diversiProprietà non lineari: fluidi non-Newtoniani.Analisi dimensionale, bilanci in forma adimensionale
TRASPORTO CONVETTIVOTrasporto convettivo in flusso laminareFlussi interni ed esterni, strato limite. Moti potenzialiConvezione forzata e convezione naturaleTrasporto turbolento, approcci semi-empirici.Coefficienti di trasferimento e numeri caratteristici
CALCOLI MACROSCOPICITrasporto di quantità di moto ,di energia, di materiaCoefficienti di trasferimento
MODALITA’ D’ESAME
esame finale: prova scritta + una prova orale
Sono previste due prove scritte di accertamentoin corrispondenza alla metà del corsoe al termine dello stesso.
La prova scritta finale può essere omessain presenza di due prove effettuate con esito positivo
La prova orale può essere omessain presenza di due prove effettuate con esito positivo
MATERIALE DIDATTICO
W.J. ThomsonIntroduction to transport phenomenaPrentice Hall PTR, 2000(testo di riferimento)
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
processo di produzione di paraxileneprocesso di produzione di paraxilene
Criteri di analisi
1) Il processo di produzione di paraxilene nel suo insieme
2) Le operazioni unitarie che lo compongono
3) I processi di trasporto (di materia, energia, e quantità di moto) su scala locale
Criteri di analisi
1) Il processo di produzione di paraxilene nel suo insieme
2) Le operazioni unitarie che lo compongono
3) I processi di trasporto (di materia, energia, e quantità di moto) su scala locale
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
trasferimento di quantità di moto, di calore e di materia(momentum, heat, mass transfer)
processi comuni in campo industriale, biologico/medico, ambientale/geologico
meccanismi simili su scala molecolare(analogie fisiche intrinseche)
forze motrici: differenze di concentrazione Δcigradienti di concentrazione ∇ci
effetti risultanti: flussi del componente i
processi risultanti da differenti valori di grandezze(velocità, temperatura, concentrazioni)
all’interno di una regione, tra due regioni o fasi contigue
esempimoto di fluidi in tubazioni o intorno ad oggetti
(moti interni, moti esterni)scambio di massa attraverso pareti cellulari e membranefenomeni meteorologici su scala regionale e planetaria
esempio: diffusione di massaall’interno di una regione gassosa (emissioni di inquinanti)permeazione di principi attivi in applicazioni transdermaliassorbimento di gas in fasi liquide o di idrogeno in metalli
<>
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
RBCRBC membranePlasma film around RBCPlasmaPlasma film adiacent to capillary wallEndoteliumTissue
RBCRBC membranePlasma film around RBCPlasmaPlasma film adiacent to capillary wallEndoteliumTissue
ABCDEFG
ABCDEFG
FENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLOFENOMENI DI TRASPORTO: NATURA E RUOLO
scelta dell’espressione delle forze motrici: Δci o ∇ci :scelta dell’approccio analitico
Δci →approccio ‘ingegneristico’ convenzionale(rate process approach)
coefficienti di trasferimento e correlazioni empiricheper il calcolo del trasferimento globale
leggi costitutive: equazioni differenziali simili(analogie formali sul piano matematico)
scelta agevole del volume di controlloin condizioni di trasporto monodimensionale
flussoz
x
y
LxLy
Δz rr+Δr
flusso
Δz
flusso D
Lz
flusso
Δr
LEGGI DI CONSERVAZIONE E BILANCI LEGGI DI CONSERVAZIONE E BILANCI LEGGI DI CONSERVAZIONE E BILANCI
i termini dell’equazione di bilancio vanno intesicome energia, materia e quantità di moto
entranti, uscenti, generati o consumati nell’unità di tempo
[ input ] e [ output ] risultano dal prodottodei flussi molecolari e convettivi
che attraversano le superfici del volume di controlloper le corrispondenti aree
[ input ] e [ output ] corrispondono, rispettivamente,ai flussi entranti e uscenti attraverso le superfici
seguendo la direzione positiva del sistema di coordinateindipendentemente dalla direzione del flusso reale
[ sources ] e [ sinks ] sono i termini legati a processidi generazione e di consumo
uniformi all’interno del volume di controllo
VHRA ΔΔ •
HΔ
AR velocità di reazione della specie A(moli di A reagenti per unità di volume e di tempo)
calore di reazione riferito alla specie Aenergia per moli di A reagenti
(endotermico: negativo, esotermico: positivo)
[ accumulation ] = 0 ⇔ stato stazionario
VRA Δ•
(termini di generazione positiva e negativa)reazione esotermica ed endotermica
RISOLUZIONE DEI PROBLEMI: ELEMENTI NECESSARI RISOLUZIONE DEI PROBLEMI: ELEMENTI NECESSARI RISOLUZIONE DEI PROBLEMI: ELEMENTI NECESSARI
elementi necessari per la risoluzione dei problemidi trasporto di energia, di materia e di quantità di moto
e procedura di risoluzione
equazioni di bilancio (equazioni differenziali)(principi di conservazione)
equazioni costitutive (equazioni differenziali)(comportamento dei materiali e
valori delle proprietà di trasporto)
condizioni al contorno e condizioni iniziali(particolarizzazione del problema)
(dalla soluzione generale a quella particolare)
combinazione dell’equazione di bilancioe dell’equazione costitutiva:
equazione per la risoluzione del problema(equazione differenziale)
soluzione generale attraverso integrazione/i
CONDIZIONI AL CONTORNO CONDIZIONI AL CONTORNO CONDIZIONI AL CONTORNO
esemplificazione per un problema di trasporto di energiain stato stazionario
problema del riscaldamento della guainacalcolo della distribuzione di T
filo elettrico con guaina esterna
LR
flusso2R2 2R1
r
z
TF
Condizioni del sistema (assunzioni, semplificazioni):
temperatura del filo costante in direzione ztemperatura alla parete interna della guaina (R1) eguale alla temperatura del filo TH
temperatura alla parete esterna (R2) eguale allatemperatura del fluido TF
0drdTr
drd
=)(
dal bilancio di energia in direzione radialeall’interno della guaina (e dall’equazionecostitutitva)
CONDIZIONI AL CONTORNO CONDIZIONI AL CONTORNO CONDIZIONI AL CONTORNO
0LrrqrLqrrrrr =Δ+π−π ••
Δ+)(22
r
z
r+Δrr
L
[ input ] - [ output ] = 0
0r
qrrrqrrrrr =
Δ
Δ+−Δ+
)(
0=rrqdrd
drdTkqr −=
0=)(drdTkr
drd
0drdTr
drd
=)(k costante
due integrazioni : due costanti (C1, C2) da determinareper ricavare la soluzione specifica
due condizioni al contorno del sistema (guaina)
1RrperTT H ==
2RrperTT F ==
21 CrlnCT +=
1
1
2 Rrln
RRln
TTTT FHH
−−= 21 RrRper ≤≤
CONDIZIONI AL CONTORNO CONDIZIONI AL CONTORNO CONDIZIONI AL CONTORNO
condizioni al contorno: due valori di temperatura
altre condizioni al contornonei problemi di trasporto di energia (calore)
riguardanti il flusso:
b) caso di perfetto isolamento
a) flusso costante al contorno
22
RrperqRr == costante
22
RrperqRr == 0
profilo di temperaturanella guaina
rRRnl
TTkdrdTkq FH 1
1
2
−=−=
cost
RRnl
TTkLqrL2Q FH =−
π=π=
1
22&
TF
TH
CONDIZIONI AL CONTORNO CONDIZIONI AL CONTORNO CONDIZIONI AL CONTORNO
condizioni al contorno tipiche dei problemi di trasportodi energia, di materia, di quantità di moto
quantità di moto
energia
materia
costdxdTkq
ii =−=
sulle variabili sui flussi
0qi =perfetto isolamento
(adiabaticità)
costdxdcDJ
i
AiA =−=
0J iA =impermeabilità
da velocità di reazionealla superficie
(catalisi eterogenea)
costdxvd
i
jij =μ−=τ
+− τ=τii xijxij
all’interfaccia tra due fluidi
0ij =τall’interfaccia gas/liquido
costT =superfici isoterme
costcA=equilibrio
all’interfaccia
costv j =velocità dei contorni mobili
(assenza di slittamento)
0v j =contorni fissi
(assenza di slittamento)
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
Trasporto assiale in un corpo cilindrico
TH
2R
r
z
TCLsuperficie isolata
superficie isolata 0qr =
022 =π−π ••Δ+
RqRqzzzzz
[ input ] - [ output ] = 0
0=Δ
−Δ+
zqq
zzzzz
flusso2R
z+Δzz
0=−dzdqz
21 Cz
kCT +−=
k costante
1z Ccostq ==
dzdTkqz −=
1CdzdTk =−
0zperTT H ==LzperTT C == L
zTTTT CHH )( −−=
LTTk
zTk
dzdTkq HC
z−
−=ΔΔ
=−=
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
Trasporto di calore attraverso una parete
xΔx
xxqxxxq
Δ+
flusso monodirezionale(parete molto estesa)
0=− ••Δ+ zyxxxzyxx LLqLLq
[ input ] - [ output ] = 0
0=Δ−
Δ+
xqq
xxxxx 0=−dxdqx
due strati(I : muro (L1), II: isolante (L2) )
1C=xq
analisi valida per 2111 ,0 LLxLLx +≤≤≤≤parete isolante
I1
Ix Cq = II
1II
x Cq =
condizione al contorno(interfaccia muro/isolante) )II
1I
11II
xI
x CC(Cqq ====
1Lx =
1
TF Ta
L1 L2
T0 T1 T2
flusso
y
zx
Ly
Lz
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
dalla legge di Fourier:
211 LLxL +≤≤parete isolante
dxdTkqC
dxdTkq
IIIIII
x1
III
x −===−=
I2I
1I CxkCT +−=
10 Lx ≤≤
II2II
1II CxkCT +−=
condizione al contorno(interfaccia muro/isolante)
1Lx =
condizione al contorno(interfaccia ambiente interno/muro)
0=x
condizione al contorno(interfaccia isolante/ambiente esterno)
21 LLx +=
FTT =I
iTTT == III
aTT =II
FI1I Tx
kCT +−=
2
3
4
2
1II1II
21I1
F LkCCL
kCT −=−3 )( III1F
II2 kk
LCTC 111 −+=
FI
2 TC =
4 x
II2
I1
aF q
kL
kL
TTC =+
−=1 flusso =
potenzialeresistenza
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
211 LLxL +≤≤parete isolante
10 Lx ≤≤
I
II2
I1
aFF
I
kx
kL
kL
TTTT+
−−= ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++
−−= II
1I1
II2
I1
aFF
II
kLx
kL
kL
kL
TTTT
1
2II
IaF
Fi
LL
kk1
TTTT+
−−=
II2
I1
kL
kL , resistenze in serie
ruolo della conduttività e dello spessore dello strato isolante
x
II2
I1
aF q
kL
kL
TTC =+
−=1
resistenza maggiore
flusso minore
L2 maggiore kII minore
Ti maggiore
KII decrescenteIT
IIT
KII= KI
iT
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
02)(22 =ΔΔπ+ΔΔ+π−Δπ ••Δ+
• zrrSzrrqzrq errrrr
temperatura esterna costante
Δz
r
r
z
Ta
r+Δr
[ input ] - [ output ] + [ sources ] = 0
L/R >> 1
2R
generazione uniforme di calore(effetto Joule)
solo flusso radiale qr
flusso
0)(
=+Δ
Δ+−•
•Δ+
•rS
rrrqrq
errrrr
rSdrrqd
er =)(
12
21 CrSrq er +=
rCrSq er
1
21
+=
qr grandezza finita,ovvero per vincoli di simmetria 01 =C
00
==rrq
Distribuzione radiale della temperatura in un filo conduttore
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
drdTkrSq er −==
21
22e Cr
4kST +−=
condizione al contorno esterno: aTT =
K costante
12 kk >
1k
a parità di condizioni esterne (Ta), riscaldamento controllato dalla conducibilità del materiale
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+= 2
2e
a Rr1
4kRSTT )(
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
Alette di raffreddamento
dissipazione di calore da un corpo caldoproporzionale alla superficie e
alla differenza di temperatura tra superficie ed ambiente
incremento della superficie di scambiocon alette sottili metalliche (alette di raffreddamento)
necessità di avere la più alta differenza possibiledi temperatura tra superficie ed ambiente esterno
su tutta l’aletta
materiale di alta conducibilità termica:alette metalliche
alette sottili (sviluppo mono- o bidimensionale)
ragioni strutturaliconservazione di un profilo alto di T in senso assiale
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
Aletta di raffreddamento
(2R<<L)
[ input ] - [ output ] - [ sinks ] = 0
analisimonodimensionale
(T funzione di z)
dissipazione dovuta alla differenza di temperaturatra superficie T(z) e ambiente Ta
regolata dalla legge di raffreddamento di Newton
zRTThQ aS Δπ−= • 2)(&
)( ar TThThq −=Δ=
dissipazione relativa al tratto di lunghezza Δz:
h: coefficiente di trasmissione termicadipendente dai moti convettivi attorno alla superficie
riconducibile ad un termine di volume ( sink )
zRQqzRqQQ S
VVVS Δπ=Δπ== 2
2&
&&&&
2R
L
z
rΔz
Tw Ta
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
02)(22 =Δπ−−π−π ••Δ+
• zRTThRqRq azzzzz
0)(2 =−
−−R
TThdzdq az
dzdTkqz −= )( a2
2
TTkR2h
dzTd
−=
condizioni al contorno
0== zperTT w LzperdzdTqz ==→= 00
usando variabili adimensionali
)( 10 ≤Θ≤−−
=Θaw
a
TTTT
)10( ≤ζ≤=ζLz
Θ=ζΘ 22
2
Ndd
e ponendo
kRh
h2
=Γ
)(22
2
aTTkRh
dzTd
−=
soluzione generale :
)()( ζ+ζ=Θ NcoshCNsinhC 21
01 =ζ=Θ per 10 =ζ=ζΘ per
dd
LN hΓ=
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
ζ−ζ=−−
=Θ • NhsinNhtanNcoshTTTT
aw
a
NcoshNcosh )( ζ−
=Θ1
0
40
80
120
0 30 60 90z (cm)
T (°C)
alluminiok = 206 J m-1 s-1 K-1
2R = 2.54 cmh = 17 J m-2 s-1 K-1
0
40
80
120
0 30 60 90z (cm)
T (°C)alluminio
legno
importante ruolo di k
1=ζperNcosh1
=Θ
Tw= 120°CTa = 25°C
kRhLN 2
=
efficienzadell’aletta
calore dissipato con T(z) realecalore massimo teorico (per T = Tw)=
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
zRTThQ a Δπ−=Δ •• 2)(
calore dissipato dalla superficie dell’alettanel tratto di lunghezza Δz
RdzTThdQ a π−= •• 2)(Δz → 0
calore dissipato dall’intera superficie dell’aletta
∫∫ −π=π−= ••
L
a
L
a dzTTRhRdzTThQ00
)(22)(
h indipendente da z
calore dissipato eguale al calore cedutodalla parete calda all’aletta
0
20
2 )(=
•=
• −π=π=z
zz dzdTkRqRQ
calore massimo teorico
∫∫ −π=π−= ••
L
aw
L
aw dzTTRhRdzTThQ00
)(22)(
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO STAZIONARIO IN STATO STAZIONARIO
∫∫
∫
∫
∫
∫
∫ζΘ=
ζ
ζΘ=
−−
=−π
−π=η
1
01
0
1
0
0
0
0
0 )()(
)(2
)(2d
d
d
dz
dzTTTT
dzTTRh
dzTTRh
L
L
aw
a
L
aw
L
a
NNtanhd
1
0
=ζΘ=η ∫
efficienzadell’aletta
calore dissipato con T(z) realecalore massimo teorico (per T = Tw)
=
ζ
Θ
0 1
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 2 4 6 8 10N
η
kRhLLN h
2=Γ=
alta efficienza k grande(L piccolo, h piccolo, R grande)
0.1
1
0.1 1 10N
η
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO NON STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO NON STAZIONARIO IN STATO NON STAZIONARIO
problemi in stato non stazionario
Esempio:processo di riscaldamento di una sfera metallica
equazioni differenziali a derivate parziali
riducibili a equazioni differenziali ordinariecon semplificazioni
termocoppia
elemento riscaldante
sfera metallica(temperatura iniziale T0 )
immersa in un bagnocon temperatura TH
TH costante nel tempoTH > T0
scambio di calore tra fluido e superficie della sferavariabile nel tempo e governato dalla legge di Newton
)(4 2RH TThR −= πQ&
distribuzione di temperatura all’interno della sfera T(r) ?
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO NON STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO NON STAZIONARIO IN STATO NON STAZIONARIO
e
rr+Δr
flusso
[ input ] - [ output ] = [ accumulation ]
=δΔ+π−δπΔ+
tqrrtqrrrrrr
22 44 )(
[ input ] - [ output ] =
tqrqrrrrrr δπ−π
Δ+))()(( 22 44
[ accumulation ] → aumento di energia interna Unel tempo
0, →Δδ rt
( ) ( )0P
0V TTcTTcU −≅−=
riducibile ad una sola variabile dipendente (temperatura) tramite
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
=∂∂
rTr
rr1
ρck
tT 2
2P
rTkqr ∂
∂−=
condizioni al contorno
00 == tperTT
condizione iniziale
00 ==∂∂ rper
rT
RrperTThrTk HR
=−=∂∂
− )(
^
( ) ( )( ) ( ) rrUUtqrqrtttrrrrr Δπ−ρ=δ−π
δ+Δ+222 44 ^^
tUqr
rr r ∂∂
ρ=∂∂
− )( 22
1 ^
^ ^ ^
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO NON STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO NON STAZIONARIO IN STATO NON STAZIONARIO
soluzione esatta per via numerica: T(r,t)
t
r/R
T
r/R
T
r/R
T
soluzione approssimata in forma chiusaper la cinetica di riscaldamento T(t)
ipotesi semplificativa: T uniforme all’interno della sfera
calore scambiato = termine di generazione = accumulo
[ sources ] = [ accumulation ]
( ) ( ) 32
344 RUUtTThR
tttH π−ρ=δ−πδ+
( ) TcUU ptttδ=−
δ+
( )TTRh
dtdTc Hp −=ρ
3
^ ^
^ ^ ^
^
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO NON STAZIONARIO
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)IN STATO NON STAZIONARIO IN STATO NON STAZIONARIO
( ) 11p
H CtCtRc
hTTln +Φ=+ρ
=−−3
Rch
pρ=Φ
3
0tperTT == 0 ( )0TTlnC H1 −−=
( )( ) t
TTTTln
H
H Φ−=−−
0
( ) ( )tpexTTTT HH Φ−−−= 0 t
T
verifica sperimentale
sfera di alluminio(R = 2.5 cm)
(T0 = 0°C, TH = 57°C)
)(. 112 KscmJ0790h −−−=
0.1
1
0 10 20 30 40 50t (s)
(TH-T
)/(T H
-To)
0
20
40
60
0 10 20 30 40 50t (s)
T
0390Rc
h3
p
.=ρ
=Φ
ρ = 2.65 g cm-3
cP= 0.92 J g-1K-1
^
^
^
^
TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)TRASPORTO MOLECOLARE DI ENERGIA (CALORE)
aletta di raffreddamento)( aTT
kRh
dzTd
−=2
2
2
NcoshNoshc )( ζ−
=Θ1
h: coefficiente di trasmissione termicadipendente dai moti convettivi attorno alla superficie
h costante
in assenza di moti prodotti da forze esterne(convezione forzata)
h dipende dall’intensità dei moti convettivi naturali,prodotti dal gradiente di densità locale
h dipende da ΔT1/4
h dipende da z: h maggiore per z minore
( ) 45a2
2
TTRk
2CzdTd /−=
( ) 41aTTCh /−=
migliore accordocon i dati sperimentali
0
40
80
120
0 30 60 90z (cm)
T (°C)
ANALOGIE E SIMILITUDINIANALOGIE E SIMILITUDINIANALOGIE E SIMILITUDINI
kcPr Pμ
=αν
= diffusività di quantità di motodiffusività termica
analogie e similitudini tra problemi di trasportoriconoscibili attraverso l’analisi adimensionale
(equazioni in forma adimensionale, gruppi adimensionali)
dxdcJ A
xA AmD−=
confronto tra proprietà,riconoscimento dei fattori fisici determinanti
soluzione di problemi per analogia, semplificazione di problemi
(trasformazione di equazioni differenziali a derivate parzialiin equazioni differenziali ordinarie)
)( Tcdxdq Px ρα−= ( )xyx v
dxdτ ρν−=
)(,, 12 −να tlàdiffusivitAmD
AmPAm Dck
DLe
ρ=
α= diffusività termica
diffusività di massa
AmAm DDSc
ρμ
=ν
= diffusività di quantità di motodiffusività di massa
numeri di Prandtl, Schmidt, Lewis
Pr e Sc presenti nelle analisi di problemi riguardantimoti convettivi combinati con conduzione di calore o
con diffusione di massa
diffusività e gruppi adimensionali
^
^
^
ANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALIANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALIANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALI
riscaldamento di una sfera metallica : T( r , t )
)(rTr
rrtT
∂∂
∂∂
α=∂∂ 2
2
1
condizioni al contorno
0tperTT 0 ==
condizione iniziale
0rper0rT
==∂∂
( ) RrperTThrTk
RHR
=−=∂∂
rr+Δr
flusso
RHR r
ThkTT
∂∂
−=−
HRTT →
∞→h
moti convettivielevati
0qRr →0h →
moti convettivimolto limitati
0rT
R
→∂∂
H
H
TTTT
−−
=Θ0 R
r=η
cttt =∗
)( 2* η
ηηη
1Rtα
t 22c
∂Θ∂
∂∂
=∂Θ∂
∗
∗
∗ ∂Θ∂−
=∂∂
∂Θ∂
Θ∂∂
=∂∂
ttTT
tt
tT
tT
c
H0
trasformazionedelle derivate
η∂Θ∂−
=∂η∂
η∂Θ∂
Θ∂∂
=∂∂
RTT
rT
rT H0
Pρck
=α ^
ANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALIANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALIANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALI
)η
(ηηη
1t
22 ∂
Θ∂∂∂
=∂Θ∂
*α
=2Rtc
condizioni al contorno
01 ==Θ ∗tper00 =η=η∂Θ∂ per
11=ηΘ−=
η∂Θ∂ per
m hRkm =
soluzione:
),,( mtf ∗η=Θ
m/1modulo di Biot
rappresentazionegrafica
carte di Gurney-Lurie
condizione iniziale
m
η
Θ
∗t
Fot ⇔*numero di Fourier
ANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALIANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALIANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALI
Θ H
H
TTTT
−−
=Θ0
Rr
=η
hRkm =
2Rtt α
=∗
ANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALIANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALIANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALI
carta di Gurney-Lurie per geometria cilindrica
ANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALIANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALIANALISI DEI PROBLEMI IN TERMINI ADIMENSIONALI
carta di Gurney-Lurie per geometria rettangolare
SEMPLIFICAZIONE DI PROBLEMISEMPLIFICAZIONE DI PROBLEMISEMPLIFICAZIONE DI PROBLEMI
semplificazione di problemi di stato transitorionella fase iniziale:
trasformazione di equazioni differenziali a derivate parzialiin equazioni differenziali ordinarie
riscaldamento di un mezzo solidomesso a contatto con una parete calda
z
Ts
2
2
zT
tT
∂∂
α=∂∂
condizioni al contorno
0tperTT == 0
condizione iniziale
0t0zperTT s >== ,0tzperTT 0 >∞== ,
tz
=ζcondizioni iniziali e al contorno
00 =η=ζ= ,perTT s
∞=η∞=ζ= ,perTT 0
tzα
=η4
0
0
TTTT
s −−
=Θ
tzerfde
tz
α−=η
π−=Θ ∫
αη−
4121
4
0
2/
022
2
=ηΘ
η+ηΘ
dd
dd
la variazione di temperatura con z si riduceall’ 1% del totale per η ≅ 2
tz α≅ 4
SEMPLIFICAZIONE DI PROBLEMISEMPLIFICAZIONE DI PROBLEMISEMPLIFICAZIONE DI PROBLEMI
)()(td
dTTtd
dddT
tT
sη
−ηΘ
−=∂η∂
ηΘ
Θ=
∂∂
21
0
zddTT
zdd
ddT
zT
sη
ηΘ
−=∂η∂
ηΘ
Θ=
∂∂ )( 0
2
2
20
2
02
2
ηΘ−η
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ηηΘ
−∂∂
=∂∂
dd
zTT
zddTT
zzT s
s)()(
2
2
20
2
021
ηΘ−η
α=ηΘ
−η
−dd
zTT
ddTT
ts
s)()(
022
2
=ηΘ
η+ηΘ
dd
dd
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.5 1 1.5 2η
Θ
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.5 1 1.5 2η
Θ
semplificazione(strato limite)
stratolimite
01.0=Θ
tzα
=η4 0
0
TTTT
s −−
=Θ
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA
oggetto dell’analisi: miscele di due o più componenti
maggiore complessità dell’analisi del processo di trasportorispetto agli altri processi molecolari:
proprietà di miscela (non di una singola specie)
maggiore difficoltà di previsione delle proprietà
diffusione di materia: processo di trasporto molecolare
legato al moto molecolare di una specie A edallo stato di non equilibrio del sistema,
prodotto da un gradiente di potenziale chimico(differenze di concentrazione di A nel sistema)
risultante in un moto (flusso) netto della specie Aorientato e differente da quello delle altre specie,
distinto per causa e direzionedall’eventuale moto convettivo dell’intero sistema
necessità di definire in maniera appropriatale grandezze (flussi e gradienti) utili per l’analisi
trasporto molecolare di materia
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:FLUSSI DIFFUSIVI
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:FLUSSI DIFFUSIVIFLUSSI DIFFUSIVI
moto molecolare (Browniano)in stato di equilibrio
moto molecolare diffusionalein stato di non equilibrio
direzione del gradientedi potenziale
moto molecolare diffusionale di A +moto convettivo d’insieme nella stessa direzione
moto molecolare diffusionale di A +moto convettivo d’insieme in direzione opposta
trasporto molecolare di A legato alla velocità relativa(velocità di A relativa alla velocità del sistema)
scelta duplice per la concentrazione:ρi (massiva), ci (molare)
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:FLUSSI DIFFUSIVI
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:FLUSSI DIFFUSIVIFLUSSI DIFFUSIVI
flusso massivodella specie i
iiin vρ=
∑∑
ρρ
=i
ii vv
velocità media ponderale
flusso molaredella specie i
iii cN v=
∑∑=
i
ii
cc v
v*
velocità media molare
flusso diffusionalemolare della specie i )vv( ** −= iii cJ
)vv( −= iii cJ
v v *≅per
relazione tra i flussi molari
∑∑∑
−=−=−=j
jji
ii
jj
jjj
iiiiii cccc
c
ccccJ vv
vv)vv(
∑∑ −=−=j
jiij
jjiiii NxNcxcJ vv
0∑ ∑∑∑ ∑∑∑ =−=−= •
i jji
ii
i jji
ii
ii NxNNxNJ
0=∑i
iJ BA JJ −= sistemabinario
*ii JJ ≅
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:FLUSSI DIFFUSIVI – LEGGE DI FICK
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:FLUSSI DIFFUSIVI FLUSSI DIFFUSIVI –– LEGGE DI FICKLEGGE DI FICK
flusso diffusionale molare della specie Aregolato dalla legge di Fick
AABBAAAA xDcNNxNJ ∇−=+−= )( sistemabinario
BAAB DD =DAB diffusività: proprietà di miscela
0=∇−∇−=+ BBAAABBA xDcxDcJJ
0=∇+∇ BBAAAB xDxD0=∇+∇ BA xx BAAB DD =
)( BAAAABA NNxxDcN ++∇−=
flussodiffusionale
flussoconvettivo
vcJvcxJvcxJvcxJN iiiij
jiij
jjiii +=+=+=+= ∑∑ •
flusso complessivo risultante dalla sommadei flussi molecolare e convettivo
AABA cDJcostantecper ∇−=
[ L2 t-1 ]
sistemabinario
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:DIFFUSIONE ATTRAVERSO UNO STRATOTRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:DIFFUSIONE ATTRAVERSO UNO STRATODIFFUSIONE ATTRAVERSO UNO STRATO
esempio di diffusione di materia: strato attraversato da una o più specie
(membrana solida, film gassoso…)
flusso di una singola specie (A) in direzione z(membrana semipermeabile I-I)
dal bilancio relativo a Δz
Lx, Ly estesi rispetto a δ
analisi in forma monodimensionale
x
y
z
Ly
Lx
δ
flusso
δ
liquido
concentrazioni di A nello strato(lato liquido, lato gas) costanti nel tempo:
analisi in stato stazionario
z = 0 xA0, xB0z = δ xAδ, xBδ
membrana semipermeabile NBz = 0xAδ > xA0 flusso NAz da lato gas a lato liquido
)( BzAzAAzAz NNxJN ++=)( BzAzBBzBz NNxJN ++=
AAzAz x
JN−
=1
1
0=−Δ+
••zzAzyxzAzyx NLLNLL
flussodi A
zgas
Δz
I
I
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:DIFFUSIONE ATTRAVERSO UNO STRATOTRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:DIFFUSIONE ATTRAVERSO UNO STRATODIFFUSIONE ATTRAVERSO UNO STRATO
z = 0 x = xA0
z = δ x = xAδ
A
AAB
AAzAz xdz
dxcDx
JN−
−=−
=1
11
1
0=Δ
−Δ+
zNN
zzAzzAz
0→Δz0=
dzdN Az
1Acost ==AzN
dzcDx
dx
ABA
A 1A1 1=
−−
21 A1A)1(ln +=− zcD
xAB
A
)1(lnA 02 Ax−=
))1(ln)1((ln1A 01 AAAB xxcD −−−δ
= δ
δδ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
=−−
z
A
A
A
A
xx
xx
00 11
11
distribuzionedella concentrazione di A
nello stratoper differenti xAδ
Ax
δz
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:DIFFUSIONE ATTRAVERSO UNO STRATOTRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIA:DIFFUSIONE ATTRAVERSO UNO STRATODIFFUSIONE ATTRAVERSO UNO STRATO
‘stagnant film diffusion’
00
0 11
== −−== z
A
AABzAzAz dz
dxx
cDNN
011ln
A
AABAz x
xcDN−−
δ= δ
NBz = 0
‘equimolar counterdiffusion’NBz = - NAz
1A)( =−=++−=dz
dxcDNNxdz
dxcDN AABBzAzA
AABAz
21 A1A +−= zcD
xAB
A
z = 0 x = xA0 = A2
z = δ x = xAδ 2AB
1 AcD
A+δ−=
00 )( AAAA xzxxx +δ
−= δ
δ−
−=−== δ
==
0
00
AAAB
z
AABzAzAz
xxcDdz
dxcDNN
Ax
δz
catalisi eterogenea(reazione alla superficie di un catalizzatore)
particelle catalitiche(alta superficie specifica = alta porosità)
efficacia della reazione legata alla diffusionedei reagenti all’interno dei pori
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
zeolite
zeolite sintetica (nanosheets)
bisolfuro di molibdeno sintetico
foam catalyst
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
catalisi eterogenea(reazione alla superficie di un catalizzatore)
particelle catalitiche(alta superficie specifica = alta porosità)
efficacia della reazione legata alla diffusionedei reagenti all’interno dei pori
idealizzazione del sistema e semplificazione del problemadiffusione in un poro cilindrico
z D
A→B
L
A→B reazione irreversibile di primo ordine
ArsA ckR =)(ScR AA ,∝D << L → riduzione a problema monodimensionale
LDckR ArA π= )(),( rcczcc AAAA ≠=
termine di consumo di A (superficiale) ridotto a termine di consumo riferito al volume
Dck
LDLDckR ArAr
VA4
4
)( 2 =π
π=
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
analogia con il problema del trasporto di calore (assiale)in un corpo cilindrico
0→Δz
D << L → riduzione a problema monodimensionale
044)( 2
2
=−=−−−Dck
dzcdD
Dck
dzdcD
dzd ArA
ABArA
AB
04
)(44
222
=Δπ
−π
−π
Δ+zDRDNDN VAzzAzzAz
input - output - sink
0)( =−− VAAz RNdzd
dalla stechiometria di reazione: BzAz NN −=
‘equimolar counterdiffusion’
dzdcDNNx
dzdxcDN A
ABBzAzAA
ABAz −=++−= )(
DAB costante
042
2
=−Dck
dzcdD ArA
eff
DAB diffusività molecolare ⇔ urti molecola-molecola
diametro D >> cammino libero medio molecolare λdensità medio-alta del fluido
bassa densità del fluido ⇒ D comparabile con λ
urti molecola-parete ⇔ diffusività di Knudsendipendente dalla geometria
Deff diffusività effettiva, legata alla geometria reale(lunghezza e tortuosità dei percorsi diffusivi reali)
e alle condizioni di densità (bassa o alta)
z = 0 cA = cA0
z = L 0=dz
dcA
z = L ⇔ r = 0
0=ArN
condizioni al contorno ed equazione differenzialeanaloghe al caso del raffreddamento di un aletta
soluzione analoga
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
)(42
2
aTTkD
hdz
Td−=
kRh
h2
=Γ LN hh Γ=
Θ=ζΘ 22
2
hNdd
aw
a
TTTT
−−
=ΘLz
=ζ
h
h
NN
cosh)1(cosh ζ−
=Θ
Aeff
rA cDD
kdz
cd 42
2
=
0A
A
cc
Lz
=ζ
0
2
02
2
A
Ac
A
A
ccN
cc
dd
=ζ
Reff
rc D
k2=Γ LN cc Γ=
profili assiali analoghi di temperatura e concentrazioneespressioni analoghe dell’efficienza
c
c
A
A
NN
cc
cosh)1(cosh
0
ζ−=
efficienza reagente convertito con cA(z) realemassima conversione (per cA = cA0 )
=
c
c
A
A
NNd
cc tanh1
0 0
=ζ=η ∫
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
0.1
1
0.1 1 10N
ηfattore di Thiele
LD
kNeff
rc R
2=
Nc
diffusion-controlled
reaction-controlled
kr basso:kr parametro limitante
Deff basso:Deff parametro limitante
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICADIFFUSIONE IN UNA PARTICELLA CATALITICA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIAATTRAVERSO UNA MEMBRANA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIAATTRAVERSO UNA MEMBRANAATTRAVERSO UNA MEMBRANA
separazione a membrana:separazione di miscele gassose
basata sulla differente diffusività dei componentiattraverso una membrana (polimerica o ceramica)
H2/CO
H2/ N22R1 2R2
0)(22 =Δ+π−πΔ+
LrrNrLNrrArrAr
analisi della diffusione di H2attraverso la membranaper concentrazioni costantidi A, B, C nelle due fasi(stato stazionario)
H2N2CO
ABC
r+Δrr
zr
L
cAs cCs
cA0 cB0
NAr
0)( =− rNdrd
Ar
1cost ArNAr ==
l’equazione costitutiva può essere semplificata(piccolo valore di xA)
ArCrBrArAArAr JNNNxJN ≅+++= )(
drdcD
drdxcDJN A
AA
AArAr −=−=≅
DA diffusività di Aattraverso la membrana
c costante
rDA
drdc
A
A 11−=
21 ln Ar
DAc
AA +−=
condizioni al contorno
10 Rrcc AA =⇔=
2Rrcc AsA =⇔= 21, AA
1
2
0
2 ln2
RRcc
RDN AsAA
RAr−
=
1
2
0
lnRRcc
rDN AsAA
Ar−
=
flusso uscente dalla membrana
1
2
1
0
0
RRRr
cccc
AsA
AA =−−
ln
ln
cAs
cA0
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIAATTRAVERSO UNA MEMBRANA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIAATTRAVERSO UNA MEMBRANAATTRAVERSO UNA MEMBRANA
21 Arln
DAc
AA +−=
10 Rrpercc AA ==
1
2
0
22
RRln
ccRDN AsAA
RAr−
=
1
2
1
0
0
RRln
Rrln
cccc
AsA
AA =−−
ln
ln
cAs
cA0
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIAATTRAVERSO UNA MEMBRANA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIAATTRAVERSO UNA MEMBRANAATTRAVERSO UNA MEMBRANA
21 CrlnCT +=
1RrperTT H ==
2RrperTT F ==
1
1
2 Rrln
RRln
TTTT FHH
−−=
TH
1
22
RRnl
TTRkq FH
R2
−=
2Rrpercc sAA ==
1
2
0
ln2
RRccLDW AsA
AA−
= π
RcDAW A
AmA ΔΔ
=
22
0
1
2
0
ln2
RRccD
RRccLD
AAsA
A
AsAA
m
−−
−
=
π
mlm A
AA
AA
RR
RRLA =−
=−
=
1
2
12
1
2
12
lnln
)(2π
area media logaritmica
RcDAW A
AmlA ΔΔ
=
1
2
02
ln22
2
RRccDRN
LW AsA
AR
ArA −
== ππportata molare
uscente(per unità di lunghezza)
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIAATTRAVERSO UNA MEMBRANA
TRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIATRASPORTO MOLECOLARE DI MATERIAATTRAVERSO UNA MEMBRANAATTRAVERSO UNA MEMBRANA
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’ DI MOTOTRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITATRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’’ DI MOTODI MOTO
trasporto molecolare di quantità di motoda regione di alta velocità v a regione di bassa v
in direzione diversa da quella del moto
x
yv
alta v
bassa v
trasporto convettivo di quantità di motonella direzione del moto
in direzione opposta al gradiente di velocità
trasporto di quantità di moto secondo x in direzione yda strati ad alta vx a bassa vx
condizione di moto laminare: moto ordinatofluido idealmente suddiviso in strati
strati paralleli tra loro (regione piana di flusso)strati concentrici tra loro (moto in tubazioni, moto rotazionale in geometrie cilindriche), …
τyx flusso di quantità di moto (sforzo tangenziale)primo indice: direzione del trasporto di quantità di moto
secondo indice: direzione del moto
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’ DI MOTOFLUSSO TRA PIANI PARALLELI (COUETTE)
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITATRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’’ DI MOTODI MOTOFLUSSO TRA PIANI PARALLELI (COUETTE)FLUSSO TRA PIANI PARALLELI (COUETTE)
v
x
y
( )yvx
( )yvx lineare in stato stazionario
F
costante nel tempoF
AF
yx =τsforzo tangenziale
costante nel tempo e nello strato piano(flusso di quantità di moto costante)
v
x
yA
b
Δy ΔyLx
Lz
yyxτ
yy Δ+τyx
0=τ−τΔ+ zxyyzxy
LLLL yxyx
0=τ− yxdyd cost=τyx
0)v( =μdyd
dyd x
fluido Newtonianodyd xv
μ−=τyx
21v CyCx +=
condizioni al contorno
00v =⇔= yx
0)v( =μdyd
dyd x
cost=μcost)( =T
byx =⇔= vv by
x vv =
costvv==
bdyd x
flusso prodotto da contorno mobile eda gradiente di pressione (forze di superficie)
ΔyLx
Lz
yyxτ
yy Δ+τyx
xP
Lxx+P
Lxxx +≠ PP
0PP =Δ−Δ+τ−τ+Δ+
yLyLLLLL zxLxzxzxyyzxy yxyx
0PPP=
Δ−
τ−=
−−
τ− +
xx
xxLx
Ldyd
Ldyd yxyx
x
x
Ldyd
dyd P)v( Δ
=μ
gradiente di pressione ≈ source / sink
x
x
Ldyd
dyd
μP)v( Δ
=
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’ DI MOTOFLUSSO TRA PIANI PARALLELI (COUETTE)
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITATRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’’ DI MOTODI MOTOFLUSSO TRA PIANI PARALLELI (COUETTE)FLUSSO TRA PIANI PARALLELI (COUETTE)
condizioni al contorno
00v =⇔= yx
byx =⇔= vv
1Pv CyLdy
d
x
x +μΔ
=
21
2
2Pv CyCyLx
x ++μΔ
=
21 CC
by
by
byb
Lxx v
2Pv
22
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
μΔ
=
velocità media2v
12Pv
2
+μ
Δ−=
xx L
b
portata volumetrica bLLbLbL z
x
zzx 2
v12Pv
3
+μ
Δ−=
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1v(y) / v
y/b
ΔP<0
ΔP<0
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’ DI MOTOFLUSSO TRA PIANI PARALLELI (COUETTE)
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITATRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’’ DI MOTODI MOTOFLUSSO TRA PIANI PARALLELI (COUETTE)FLUSSO TRA PIANI PARALLELI (COUETTE)
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’ DI MOTOFLUSSO SU SUPERFICI
TRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITATRASPORTO MOLECOLARE DI QUANTITA’’ DI MOTODI MOTOFLUSSO SU SUPERFICIFLUSSO SU SUPERFICI
forza peso = source
flusso prodotto dal campo gravitazionale(forze di volume)
esempio: flusso di condensato su superficie cilindricain condensatore (lato mantello)