Fenille.pdf - Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP

Mergulho de produtos de esferas e suas somas conexas emcodimensão 1

Marcio Colombo Fenille

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito: 17 de janeiro de 2007

Assinatura:

Mergulho de produtos de esferas e suas somas conexas em codimensão 1 †

Marcio Colombo Fenille

Orientador: Prof. Dr. Oziride Manzoli Neto

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáti-

cas e de Computação - ICMC/USP, como parte dos requisi-

tos para obtenção do título de Mestre em Matemática.

USP - São Carlos

Fevereiro/2007

† O autor teve suporte financeiro do CNPq

Aos meus pais,

Neide e Alfeo.

Agradecimentos

Quando a injustiça inflamada e inimiga nos tenta sugar a vida e desonra o nosso próximo, por instantes se

esvai toda gratidão. Mas tremo de indignação diante de qualquer injustiça em qualquer lugar do mundo, e sei

que a solidão, se a trouxesse deveras comigo e para sempre, apenas garantir-me-ia poucas doses de liberdade.

Fico com a liberdade de poder fazer amigos e enxergar a cada dia um passo mais adiante. Se minha escolha é

segura? As espessas gotas de loucura que me pingam das torneiras mal fechadas da razão me fazem crer que

sim, que não ser compreendido, mesmo pelos mais velhos amigos, me garante segurança suficiente; e loucura

por loucura, me trás gozo. Por tudo isso, não me rendo as desgraças do mundo como até a luz se rende

curvando-se no horizonte de eventos, e estas poucas linhas espero deleitem por minha mais sincera gratidão

ao leitor que as mereça. Pararia por aqui; acho que me explico bem! Mas talvez ainda restem lacunas em

vossa mente suplantada pelo irreal para que me possas chamar injusto e mal agradecido. Por isso, prossigo a

lembrar as pessoas que mais diretamente contribuíram para o meu sucesso até aqui, das mais diversas maneiras,

algumas inimagináveis. Neste sentido, honras e terna gratidão à minha família, meus pais e minha irmã, que

com seu amor e ensinamentos sempre me transmitiram esperança, confiança e a alegria de poder estar sempre

de cabeça erguida. Agradeço ao amigo Renato, companheiro de toda hora, às vezes filho, outras vezes pai,

tantas vezes irmão, mais novo ou mais velho, sempre amigo. Ao meu orientador, o professor Oziride, a minha

gratidão imensa pela amizade, pela confiança, o companheirismo, pelas lutas que travamos juntos sempre com

a maior dignidade e honestidade - adjetivos já tão raros nos homens de hoje - e como não poderia deixar de

ser, pela exímia orientação e constantes provas de paixão pela Topologia. Aos amigos e colegas de mestrado

Aurélio, Mario e Hartmann, por tudo o que sofremos juntos ou sorrimos juntos, nossos estudos em grupo,

as idéias, ideais e experiências partilhadas, a esperança que sempre se buscou fazer florescer no outro mesmo

quando já ninguém tinha mais paciência, os momentos de descontração, enfim, pela amizade. Também aos

colegas de sala Amanda, Vanessa e Romenique, com os quais tive o maior prazer de dividir a maior parte dos

meus dias de trabalho. Aos demais colegas do instituto, mas apenas àqueles que mantém a amizade como o

primordial e nunca se deixaram contaminar pela competitividade. Vale lembrar dos bons professores que tive,

e também dos maus professores, tanto os do ICMC quanto os da FCT -Unesp, e em especial os professores

Márcio Cardim e José Roberto; todos de alguma forma me ensinaram muito, os primeiros como ser, os últimos

como não ser; algum crédito sempre restou. Para pôr fim, gostaria de lembrar do amigo Matheus, que com

sua alegria e manias me distraiu e me alegrou deveras. Valeu a pena!

Resumo

Estudamos inicialmente resultados de classificação de difeomorfismos de

produtos de esferas de mesma dimensão. Tratado isto, estudamos os

mergulhos suaves de produtos de esferas S1 × Sq × Sr, com 1 ≤ q ≤ r,

na esfera Sq+r+2, e buscamos a total caracterização do fecho das duas

componentes conexas do complementar de tais mergulhos. Tratamos

com enfoque especial os mergulhos do toro T 3 (= S1×S1×S1) na esfera

S4 e, finalmente, estudamos problemas de classificação de mergulhos PL

localmente não-enodados de somas conexas de toros em codimensão 1.

Abstract

We study first results of the classification of difeomorphisms of the carte-

sian product of spheres of the same dimension. In the sequence we study

smooth embeddings of the cartesian product of spheres S1 × Sq × Sr,

with 1 ≤ q ≤ r, in the sphere Sq+r+2, to obtain the total character-

ization of the closure of each of the two connected component of the

complement of there embeddings. Special attention is given to the em-

beddings of tori T 3 (= S1 × S1 × S1) into S4 and, finally we study the

classification of the locally unknotted PL embeddings of the connected

sum of tori in codimension 1.

Sumário

Introdução 17

1 Preliminares 19

1.1 Homologia e cohomologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2 Homotopia e grupo fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3 Homologia e cohomologia em variedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4 Nós e enlaçamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.5 Mergulho de produtos de esferas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.6 Topologia Linear por Partes (PL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2 Difeomorfismo de produtos de esferas 39

2.1 Algumas manipulações algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Classificação das matrizes que representam automorfismos . . . . . . . . . . . 44

3 Mergulho de produtos de três esferas em codimensão 1 53

3.1 Sobre as considerações e as espectativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2 Sobre a existência de mergulhos exóticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

A construção c© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3 Sobre a existência de mergulhos não-exóticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4 Sobre as homologias das componentes do complementar de um mergulho . . . 70

3.5 O que completa o capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4 Mergulhos do toro T 3 na esfera S4 79

4.1 Os Gêmeos de Montesinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.2 Um problema envolvendo mergulhos de 3-variedades em S4 . . . . . . . . . . 83

4.3 O que responde o problema anterior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.4 O análogo da seção anterior para outras dimensões . . . . . . . . . . . . . . . 89

13

5 Mergulhos de somas conexas de toros em codimensão 1 91

5.1 O teorema principal do capítulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.2 Esquema para a prova do teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Primeira parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Segunda parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

Terceira parte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.3 A prova do teorema principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Referências Bibliográficas 107

Lista de Símbolos 111

Índice Remissivo 113

Lista de Figuras

3.1 Esquema gráfico da construção c© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1 Vizinhança regular da 2-esfera S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2 Vizinhança regular da 2-esfera R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.3 Decomposição por alças dos Gêmeos de Montesinos . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.1 O poliedro X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Introdução

Este texto trata especialmente dos mergulhos de produtos de esferas e suas somas conexas

em codimensão 1. As esferas estão entre os objetos de estudo mais antigos da matemática e

desde o surgimento da Topologia o interesse pela pesquisa sobre esferas de dimensões mais

altas tem se fortalecido. Quando trabalhamos com mergulhos f : Sp × Sq × Sr → Sp+q+r+1,

ao contrário do que nos possa inicialmente parecer, os problemas de classificação do fecho

das componentes conexas de Sp+q+r+1 − f(Sp × Sq × Sr) tornam-se mais simples quando a

dimensão de todas as esferas envolvidas no produto é maior ou igual a dois. Neste sentido,

decidimos em nosso trabalho tratar especialmente os casos em que 1 = p ≤ q ≤ r.

Antes porém de partimos ao estudo específico a que se propunha este trabalho, dedicamos

um capítulo às definições e resultados básicos necessários para o progresso e entendimento do

texto. É bastante provável que o leitor já esteja bastante familiarizado com grande parte do

conteúdo que compõe este capítulo; no entanto, cremos que seja de demais valia esta breve

apresentação, mesmo para fixarmos notações e terminologias. Vale ressaltar que não nos

preocupamos em apresentar as demonstrações de tais resultados; antes disso, nossa preocu-

pação consistiu em inserir com maior amplitude os tópicos básicos do desenvolvimento deste

trabalho, para que o leitor sinta-se mais confortável com a leitura do restante do texto, sem

necessidade freqüente de consulta a outros materiais.

O texto se divide efetivamente em cinco capítulos, sendo o primeiro como já mencionado

no parágrafo anterior. Ao segundo capítulo ainda não compete os resultados mais importantes

e aos quais se dedicou maior ímpeto ao estudo. Não obstante, é nele apresentado resultados

conclusivos de classificação de difeomorfismos de produtos de esferas. O desenvolvimento

desta parte do trabalho requer várias ferramentas algébricas, mas todas bastante simples.

Alguns tópicos de Topologia Algébrica também aparecem, mas nenhum que não tenha sido

apresentado do capítulo preliminar.

No terceiro capítulo iniciamos de fato o estudo da classificação do fecho das componentes

conexas do completar de mergulhos de produtos de esferas em codimensão um, sendo sempre a

primeira esfera do produto de dimensão um. Apresentamos alguns resultados de caracterização

18 Introdução

propriamente dita, e outros que descrevem maneiras de, sob certas condições, se construir

infinitos mergulhos mutuamente distinto de modo que o fecho de nenhuma das componentes

de seu complementar seja homotopicamente equivalente a um produto de esferas com um

disco. Os resultados deste capítulo classificam totalmente os mergulhos estudados.

No quarto capítulo estudamos mais pormenorizadamente os mergulhos do toro T 3 na esfera

S4. O resultado principal do capítulo é Teorema 4.3.1, no qual se demonstra a existência de

duas 3-variedades que sempre podem ser mergulhadas em S4 de modo que o fecho de cada

componente de S4 − f(T 3), com f mergulho, seja difeomorfo ao fecho do complementar de

um destes mergulhos. Sem dúvida, este é um resultado bastante atraente.

O último capítulo é destinado ao estudo dos mergulhos de somas conexas de toros em codi-

mensão um. Nele apresentados uma série de resultados bastante expressivos que convergem a

demonstração do Teorema 5.1.2, o principal do capítulo, que dá uma caracterização, a menos

de pseudo-isotopias, dos referidos mergulhos.

X

Capítulo

1

Preliminares

1.1 Homologia e cohomologia

Complexo de cadeias e cocadeias - Teoremas dos Coeficientes Universais

Um complexo de cadeias C = (Cq, ∂q) é definido por um par de seqüências de grupos

abelianos Cq, q ∈ Z, e uma seqüência de homomorfismos ∂q : Cq → Cq−1 tal que ∂q−1 ◦∂q = 0,

para todo q ∈ Z. É definido também Cq = 0 se q < 0. Diremos que C = (Cq, ∂q) é livre se

cada Cq é um grupo abeliano livre. Os elementos de Cq são denominados q-cadeias e os

homomorfismos ∂p operadores bordo. A um complexo de cadeias C = (Cq, ∂q) se associa

de modo natural certos subgrupos dos grupos de cadeias Cq. O grupo Zq(C) = Ker(∂q) é

chamado grupo dos q-ciclos, e o grupo Bq(C) = Im(∂q+1) é chamado grupo dos q-bordos. São

ambos subgrupos normais de Cq e, sendo ∂q ◦ ∂q+1 = 0, temos Bq(C) ⊂ Zq(C).

Definição 1.1.1. O grupo quociente Hq(C) = Zq(C)/Bq(C) é chamado grupo de homologia

q-dimensional do complexo C.

Sejam C = (Cq, ∂q) um complexo de cadeias e G um grupo abeliano. Considere o produto

tensorial C ⊗ G. Por definição, C ⊗ G é o complexo de cadeias (Cq ⊗ G, ∂q ⊗ 1G), onde

1G : G→ G é o homomorfismo identidade.

Definição 1.1.2. O grupo de homologia q−dimensional Hq(C ⊗G) = Zq(C ⊗G)/Bq(C ⊗G) é

chamado grupo de homologia q-dimensional de C com coeficientes em G e será denotado por

Hq(C;G).

19

20 Capítulo 1 — Preliminares

A relação entre Hq(C;G) e Hq(C) é dada pelo seguinte resultado encontrado em [33, p. 243].

Teorema 1.1.3. (Teorema dos Coeficientes Universais para Homologia) Sejam C

um complexo de cadeias livre e G um grupo abeliano. Então

Hq(C;G) ≈ (Hq(C)⊗G)⊕ Tor(Hq−1(C), G)

Agora, se C é um complexo de cadeias e G um grupo abeliano, formamos o grupo abeliano

Cq = Hom(Cq, G), cujos elementos são todos os homomorfismos h : Cq → G, os quais serão

chamados q-cocadeias de C. O cobordo de h é uma (q + 1)-cocadeia, denotada por δqh, e

definida por δqh = (−1)q+1h ◦ ∂q+1 : Cq+1 → G. Em outras palavras, temos dito que o

operador bordo ∂q+1 : Cq+1 → Cq induz homomorfismo ∂∗q+1 : Hom(Cq, G) → Hom(Cq+1, G)

e δq = (−1)q+1∂∗q+1. Observe que δq ◦ δq+1 = 0. Segue que (Cq, δq) é um complexo de

cocadeias com coeficientes em G. Denotaremos Hom(C, G) = (Hom(Cq, G), δq).

Definição 1.1.4. A homologia do complexo Hom(C, G) é a cohomologia de C com coeficientes

em G, a qual será denotada por Hq(C;G), com Hq(C;G) = Ker(δq)/Im(δq−1). Além disso,

um elemento de Ker(δq) é chamado de q-cociclo, e um elemento de Im(δq−1) é chamado de

q-cobordo.

Para o Teorema a seguir, ver [33, p. 222].

Teorema 1.1.5. (Teorema dos Coeficientes Universais para Cohomologia) Sejam

C um complexo de cadeias livre e G um grupo abeliano. Então

Hq(C;G) ≈ Hom(Hq(C), G) ⊕ Ext(Hq−1(C), G)

Faremos agora algumas definições que, por ora, parecerão totalmente abstratas, mas que

utilizaremos na próxima seção para construirmos objetos e resultados que serão muito utiliza-

dos neste trabalho.

Comecemos considerando um complexo de cadeia C = (Cq, ∂q). Por um sub-complexo de

cadeias D de C entendemos uma seqüência de subgrupos normais Dq ⊂ Cq e de homomorfismos

∂′q : Dq → Dq−1 tais que ∂′q = ∂q|Dq . Na verdade, uma seqüência de subgrupos Dq ⊂ Cq

definem um sub-complexo se, e somente se, a seqüência for estável em relação aos operadores

bordo, isto é, se ∂qDq ⊂ Dq−1. Dado, então, um sub-complexo D de C, define-se o complexo

quociente E = C/D como o complexo de cadeias E = (Eq, ∂q), onde Eq = Cq/Dq e

∂q : Eq → Eq−1 é definido por passagem ao quociente de ∂q (visto que ∂qDq ⊂ Dq−1). Como

anteriormente pode-se definir, então, os grupos de homologia do complexo quociente E por

Hq(E) = Ker(∂q)/Im(∂q+1), para cada inteiro q. Tudo isto pode ser feito para complexos de

cocadeias de maneira semelhante as já adotadas nesta seção.

Chama-se complexo aumentado de um complexo C = (Cq, ∂q) ao complexo de cadeias

C = (Cq, ∂q), para o qual se define Cq = Cq se q ≥ 0, C−1 = Z, e ∂q = ∂q se q ≥ 1,

∂0 = εn : C0 → Z um homomorfismo conhecido por Índice de Kronecker. (Detalhes da

construção deste homomorfismo podem ser encontrados em [33]). Completa-se pondo C−q = 0

1.1 Homologia e cohomologia 21

se q > 1 e ∂−q = 0 se q ≥ 1. Os grupos de homologia do complexo C são denominados grupos

de homologia reduzidos do complexo C e denotados por Hq(C). Uma construção semelhante

pode ser realizada a partir desta para complexos de cocadeias de modo que possamos definir

os grupos de cohomologia reduzidos do complexo C, que denotaremos por Hq(C).

Homologia e cohomologia singular

Em [11] encontramos resultados de homologia e cohomologia singular para um espaço

topológico X, descritos nos seguintes termos: Considere os vetores e0 = (0, 0, . . .), e1 =

(1, 0, . . .), e2 = (0, 1, 0, . . .), . . . ∈ R∞. Identificamos Rn com o subespaço dos vetores nos

quais são nulas todas as componentes depois da n-ésima. Para qualquer q ≥ 0, definimos o

q-simplexo padrão ∆q como sendo o simplexo geométrico q-dimensional gerado por e0, . . . , eq.

Sendo P0, . . . , Pq pontos em algum espaço afim E, (P0 . . . Pq) denotará a restrição a ∆q da

única aplicação afim Rq → E aplicando e0 em P0, ..., eq em Pq. Assim, (e0 . . . eq) é a aplicação

identidade de ∆q, denotada por δq.

Dado um espaço X, um q-simplexo singular em X é uma aplicação ∆q → X. Definimos

Cq(X) como o grupo livre gerado por todos os q-simplexos singulares. Os elementos de Cq(X)

são combinações lineares ∑

σ

νασ

onde σ corresponde aos q-simplexos singulares e os coeficientes να estão no anel do inteiros

Z. Estas somas são chamadas q-cadeias singulares.

Para q > 0, defina F iq : ∆q−1 → ∆q, para 0 ≤ i ≤ q, como sendo a aplicação afim

(e0 . . . ei . . . eq), onde ei significa omitir ei. Para um q-simplexo singular arbitrário σ no espaço

X, defina a i-ésima face σ(i) de σ como sendo o (q − 1)-simplexo singular σ ◦ F iq . Assim, F iqé a i-ésima face de δq, e se σ = (P0 . . . Pq), X afim, então σ(i) = (P0 . . . Pi . . . Pq). Além disso,

F iq aplica ∆q−1 afim e homeomorficamente sobre a face de ∆q oposta ao vértice ei. Agora,

definimos o bordo de um q-simplexo singular como a (q − 1)-cadeia singular

∂(σ) =

q∑

i=0

(−1)iσ(i)

e, por esta definição, mostra-se que ∂ ◦ ∂ = 0. Uma q-cadeia singular c tal que ∂(c) = 0 é

chamada ciclo; se c = ∂(c′) para alguma (q + 1)-cadeia c′, então dizemos que c é um bordo.

Duas q-cadeias c1 e c2 que se diferem por um bordo são ditas homólogas e denota-se c1 ∼ c2.

Como ∂ ◦ ∂ = 0, os bordos formam um subgrupo Bq do grupo Zq dos ciclos. Chamaremos

o grupo quociente Zq/Bq de q-ésimo grupo de homologia singular de X, e vamos denotá-lo

Hq(X).

Se Y é um subespaço de X, podemos repetir todo o processo anterior para constru-

irmos o complexo de cadeias com grupos livres Cq(Y ), que serão subgrupos de Cq(X) para

cada inteiro q, e operadores bordo ∂′q que para cada inteiro q será a restrição ∂q|Y do ope-

rador bordo do complexo C(X) = (Cq(X), ∂q). Obtemos, deste modo, um sub-complexo


C(Y ) = (Cq(Y ), ∂′q) do complexo C(X). Denotamos o q-ésimo grupo de homologia do com-

plexo quociente C(X)/C(Y ) por Hq(X,Y ) e o tratamos por q-ésimo grupo de homologia rela-

tiva do par (X,Y ).

Definimos o grupo Cq(X) de todas as q-cocadeias singulares sobre X como sendo o grupo

Hom(Cq(X),Z). Assim, uma cocadeia singular de dimensão q é um homomorfismo linear

c : Cq(X) → Z. Se denotamos o valor desse homomorfismo sobre uma cadeia z por [z, c],

vê-se facilmente que [ , ] é bilinear. Como Cq é um funtor de espaços topológicos em grupos e

Hom( ,Z) é um contrafuntor na categoria dos grupos, o funtor composto Cq é um contrafuntor

de espaços topológicos em grupos. Além disso tudo, pode-se provar que, para cada inteiro

q, existe um único homomorfismo δq : Cq(X) → Cq+1(X), o operador cobordo, satisfazendo

[∂z, c] = [z, δc] para toda (q + 1)-cadeia z e q-cocadeia c. Ainda mais, δ ◦ δ = 0. Construí-

mos assim um complexo e cocadeias C∗(X) = (Cq(X), δq) e definimos o q-ésimo grupo de

cohomologia singular de X por Hq(X) = Hq(C∗(X)) = Ker(δq)/Im(δq−1).

Se Y é um subespaço de X podemos construir em semelhança ao realizado para os grupos

de homologia, os grupos de cohomologia relativa Hq(X,Y ).

Propriedades dos grupos de homologia

Assuma que grupos abelianos Hn(X,A) estejam sempre definidos para n = 0, 1, 2, . . .,

quando X é um espaço topológico e A é um subespaço de X. Estes grupos têm as seguintes

propriedades fundamentais, que podem ser melhor observadas em [30, p. 99 - 100].

(1) Se f : (X,A)→ (Y,B) é uma aplicação de pares, então existe um homomorfismo natural

induzindo f∗ : H∗(X,A)→ H∗(Y,B). Naturalidade quer dizer que:

(a) Se 1 : (X,A)→ (X,A) é a identidade, então 1∗ : H∗(X,A)→ H∗(X,A) é isomorfismo.

(b) Se f : (X,A) → (Y,B) e g : (Y,B) → (Z,C) são aplicações de pares, então tem-se

(f ◦ g)∗ = f∗ ◦ g∗.

(2) Existe um homomorfismo bordo natural ∂ : Hn(X,A) → Hn−1(A) ≡ Hn−1(A, ∅). Aqui a

naturalidade indica que se f : (X,A)→ (Y,B) é uma aplicação entre pares, então é comutativo

o diagrama abaixo:

Hn(X,A)

f∗��

∂ // Hn−1(A)

(f |A)∗��

Hn(Y,B)∂ // Hn−1(B)

(3) (Exatidão) É exata a seqüência · · · → Hn(A)→ Hn(X)→ Hn(X,A)∂−→ Hn−1(A)→ · · · ,

onde os homomorfismo não indicados são induzidos por inclusões.

(4) (Homotopia) Se f, g : (X,A)→ (Y,B) são homotópicas, então f∗ = g∗.

(5) (Excisão) Suponha que seja U ⊂ A um aberto tal que seu fecho está contido no interior

de A. Então o homomorfismo H∗(X − U,A − U) → H∗(X,A) induzido pela inclusão é um

isomorfismo.

1.1 Homologia e cohomologia 23

(6) (Dimensão)Hn(pt.) ≈

{Z se n = 0

0 se n 6= 0

Definição 1.1.6. Seja (X,Y,Z) uma tríada de espaços topológicos com Y e Z subespaços de

X. Considere as aplicações de pares k1 : (Z, Y ∩Z)→ (Y ∪Z, Y ) e k2 : (Y, Y ∩Z)→ (Y ∪Z,Z).

Dizemos que a tríada (X,Y,Z) é exata se as induzidas das inclusões em homologia k1∗ e k2∗

são isomorfismos.

Teorema 1.1.7. (Seqüência de Mayer-Vietoris) Seja (X,Y,Z) uma tríada exata de

espaços topológicos com X = Y ∪ Z. Então existe uma seqüência exata, chamada seqüência

de Mayer-Vietoris da tríada (X,Y,Z),

· · · → Hn(Y ∩ Z)η∗−→ Hn(Y )⊕Hn(Z)

ξ∗−→ Hn(X)

∂∗−→ Hn−1(Y ∩ Z)→ · · ·

onde η∗(x) = i1∗(x) ⊕ −i2∗(x) e ξ∗(y ⊕ z) = j1∗(y) + j2∗(z), com i1 : Y ∩ Z → Y ,

i2 : Y ∩ Z → Z, j1 : Y → X e j2 : Z → X inclusões.

Teorema 1.1.8. Se Sn denota a esfera n-dimensional e 1Sn : Sn → Sn é a identidade, temos:

(1) Hq(Sn) = 0, q 6= 0, n;

Hn(Sn) ≈ Z ≈ H0(S

n), n > 0;

H0(S0) ≈ Z⊕ Z.

(2) 1Sn : Sn → Sn é um gerador de Hn(Sn) (sob interpretação geométrica).

Para o afirmação (2) do último teorema veja a interpretação geométrica da Homologia

descrita em [30, p. 98].

O seguinte resultado pode ser consultado em [33, p. 230].

Teorema 1.1.9. (Fórmula de Künneth) Se X e Y são espaços topológicos, existe um

isomorfismo natural

Hn(X × Y ) ≈⊕

p+q=n

(Hp(X) ⊗Hq(Y )) ⊕⊕

r+s=n−1

Tor(Hr(X),Hs(Y ))

O produto de Kronecker

Dados dois complexos de cadeias C = (Cq, ∂q) e C′ = (C ′q, ∂

′q), chama-se aplicação de

cadeias Λ : C → C′ a uma família de homomorfismos Λ = {Λq : Cq → C ′q}, tal que ∂′q ◦ Λq =

Λq−1 ◦ ∂q para todo inteiro q.

Proposição 1.1.10. Dado um complexo de cadeias C, existe um homomorfismo, chamado

produto Kronecker,

Hn(C)⊗Hn(C)→ Z,

onde a imagem de x ⊗ y se escreve ⋖x, y⋗. Além disso, se f : C → D é uma aplicação de

cadeias, e x ∈ Hn(D) e y ∈ Hn(C), então ⋖ f∗(x), y⋗ = ⋖x, f∗(y) ⋗.


Note que se são dados um espaço topológico X e um subespaço Y deste, podemos construir

os complexos de cadeias C(X) e C(Y ) de X e de Y , respectivamente, e a família de inclusão

iq : Cq(Y ) → Cq(X) constituirá uma aplicação entre as cadeias C(Y ) e C(X). Deste modo,

segundo a proposição anterior, teremos definido um homomorfismo, o produto de Kronecker,

Hn(Y )⊗Hn(X)→ Z

tal que ⋖ i∗(y), x⋗ = ⋖ y, i∗(x) ⋗, sempre que y ∈ Hn(Y ) e x ∈ Hn(X).

O resultado apresentado nesta seção pode ser encontrados em [24, p. 164], onde o leitor

interessado poderá encontrar, além de sua demonstração, outras propriedades importantes

neste mesmo contexto.

Produto cup e cap

Seja C = (Cq, ∂q) um complexo de cadeias e C⊕ =⊕

q≥0 Cq. Seja C⊕ =⊕

q≥0 Cq, onde

C∗ = (Cq, δq) é o complexo de cocadeias dual de C, obviamente com Cq = Hom(Cq,Z) e

δq : Cq → Cq−1 definido por δqh = (−1)q+1h ◦ ∂∗q+1 ∈ Cq+1 se h ∈ Cq. Nestes termos,

Hn(C) = Hn(C∗).

Se C e C′ são complexos de cadeias, definimos C ⊗ C′ por (C ⊗ C ′)n =⊕

i+j=nCi ⊗ C′j e

∂⊗∂′(c⊗ c′) = ∂c⊗ c′ +(−1)kc⊗∂′c′, se c ∈ Ck. Defina a aplicação chamada operador slant

/ : (C ⊗ C ′)n ⊗ C′k → Cn−k

pela fórmula a/b =∑

i+j=n b(a′j)ai, onde a =

⊕i+j=n(ai ⊗ a

′j) e b(a′j) = 0 sempre que j 6= k.

Para ver que esta operação está, de fato, bem definida com imagem em Cn−k, note ini-

cialmente que sendo b ∈ C ′k = Hom(C ′k,Z), temos que b é um homomorfismo b : C ′

k → Z.

Além disso, definimos b(a′j) = 0 se j 6= k. Mas quando j = k, com k fixado, nas somas que

definem o operador slant teremos i = n− k. Logo, ficamos com

a/b =∑

i+j=n

b(a′j)ai = b(a′k)an−k ∈ Cn−k.

Sem muito esforço e como em [5] mostra-se que o operador slant é uma aplicação de

cadeias; logo induz uma aplicação H∗((C ⊗ C′)⊗ C ′∗)→ H∗(C). Compondo esta última com

a aplicação natural

H∗(C ⊗ C′)⊗H∗(C′)→ H∗((C ⊗ C

′),

chegamos ao operador slant

/ : Hn(C ⊗ C′)⊗Hk(C′)→ Hn−k(C).

Agora, seja C um complexo de cadeias aumentado com uma aplicação diagonal, digamos

△ : C → C ⊗ C tal que (ε ⊗ 1)△(c) = (1 ⊗ ε)△(c) = c, onde ε : C → Z é o aumento, e

identificamos C = C ⊗Z = Z⊗C. Então △ induz em C∗ a estrutura de um anel com unidade

1.2 Homotopia e grupo fundamental 25

por C∗ ⊗ C∗ → (C ⊗ C)∗△∗

−→ C∗, onde C∗ ⊗ C∗ → (C ⊗ C)∗ é a inclusão óbvia. Isto é chamado

produto cup, e em nível de cohomologia induz

Hn(C)⊗Hk(C)→ Hn+k(C),

também chamado produto cup, x⊗ y 7→ x ` y. Usando △, podemos definir o produto cap

a : Cn ⊗ Ck → Cn−k

pela fórmula a a b = (△a)/b. Como a é a composição das aplicação de cadeias △ e /, segue

que a é uma aplicação de cadeias e induz

a : Hn(C ⊗Hk(C))→ Hn−q(C).

Mais geralmente, suponha que A, B e C sejam complexos de cadeias aumentados e seja

△ : A → B ⊗ C uma aplicação de cadeias. Então, similarmente ao anterior, obtemos uma

aplicação em cohomologia

` : Hp(B)⊗Hq(C)→ Hp+q(A)

e um produto cap

a : Hn(A)⊗Hk(C)→ Hn−k(B)

Diversos resultados envolvendo os produtos cup e cap serão utilizados nos capítulos seguintes

deste trabalho; no entanto, não os poremos aqui devido a exaustão e delonga que isso causaria.

Antes disso, aqui deixamos [5] e [11] como as duas principais referências ao leitor interessado.

1.2 Homotopia e grupo fundamental

O leitor deve estar bastante habituado com os conceitos envolvendo grupos de homotopia.

Nesta convicção, expomos aqui somente algumas identificações destes grupos que faremos, em

momentos oportunos, durante boa parte deste texto. Façamo-las:

Seja X um espaço topológico e x0 um ponto base fixado em X. Se identificamos o bordo

do disco Dn a um ponto, o espaço quociente obtido desta identificação é a n-esfera Sn com

um ponto distinguido s0. Assim, πn(X,x0) pode ser interpretado como o grupo das classes

de homotopia das aplicações de (Sn, s0) em (X,x0). Outra interpretação interessante, que

na realidade é a mesma vista de outra forma, é a identificação que se faz de πn(X,x0) com o

grupo das classes de homotopia das aplicações de (Dn, Sn−1) → (X,x0). Agora, se A é um

subespaço fechado e conexo por caminhos de X, os elementos do grupo de homotopia relativa

πn(X,A, x0) estão em correspondência com as classes de homotopia das aplicações contínuas

κ : (Dn, Sn−1, s0) → (X,A, x0), onde κ(Dn) ⊂ X, κ(Sn−1) ⊂ A e κ(s0) = x0. Note que um

elemento de πn−1(A,x0) é representado pela restrição κ|Sn−1 : (Sn−1, s0)→ (A,x0).


Os Teoremas de Van Kampen

Sejam (X,x0) e (Y, y0) espaços topológicos com pontos base, e f : (X,x0)→ (Y, y0) uma

aplicação contínua. Vamos denotar por f♯ o homomorfismo induzido pela aplicação f no grupo

de homotopia, ou seja, f♯ : πn(X,x0)→ πn(Y, y0) definida pela equação f♯([h]) = [h ◦ f ].

No transcorrer deste trabalho disporemos principalmente dos resultados relacionados ao

grupo fundamental dos espaços que estaremos tratando, não sendo tão importante o estudo

dos grupos de homotopia de dimensões mais altas. Nestas situações, um resultado que será

sempre de grande valia é o chamado Teorema de Van Kampen que apresentamos agora em

duas versões, podendo a primeira ser encontrada em [8, p. 63] e a última em [28, p. 371].

Sejam X,X0,X1 e X2 espaços topólógicos com X = X1 ∪ X2 e X0 = X1 ∩ X2 6= ∅,

X1 e X2 abertos, X0,X1 e X2 conexos por caminhos e x0 ∈ X0 um ponto fixado. Denote

G = π1(X,x0) e Gi = π1(Xi, x0), i = 0, 1, 2. Os homomorfismos induzidos pelas aplicações

inclusões formam um diagrama comutativo

G0

w0

��

θ2

!!BBB

BBBB

Bθ1

}}||||

||||

G1

w1 !!CCCC

CCCC

G2

w2}}{{{{

{{{{

G

Teorema 1.2.1. (Teorema de Van Kampen) Os grupos wi(Gi), i = 1, 2, imagens por widos grupos Gi, geram o grupo G. Além disso, se H é um grupo arbitrário e ψi : Gi → H,

i = 0, 1, 2, são homomorfismos que satisfazem ψ0 = ψ1 ◦ θ1 = ψ2 ◦ θ2, então existe um único

homomorfismo Φ : G→ H tal que ψi = Φ ◦ wi, i = 0, 1, 2.

Teorema 1.2.2. (Teorema de Van Kampen) Suponha que os grupos fundamentais de X0,

X1 e X2 tenham as seguintes apresentações:

π1(X1, x0) = |x1, x2, . . . : r1, r2, . . . |,

π1(X2, x0) = |y1, y2, . . . : s1, s2, . . . |,

π1(X0, x0) = |z1, z2, . . . : t1, t2, . . . |.

Então o grupo fundamental de X é dado por

π1(X,x0) = |x1, x2, . . . , y1, y2, . . . : r1, r2, . . . , s1, s2, . . . , θ1(z1) = θ2(z1), θ1(z2) = θ2(z2), . . . |.

Observe que se π1(X0) é trivial, então π1(X) é o produto livre de π1(X1) e π1(X2).

Estes teoremas serão utilizados nas duas versões apresentadas conforme o contexto e a

necessidade. Será especificado, quando não trivialmente claro, que versão esta sendo utilizada.

1.2 Homotopia e grupo fundamental 27

Os Teoremas de Hurewicz

Outros resultados muito importantes são aqueles que relacionam os grupos de homotopia

com os grupos de homologia. Estes resultados, que aqui apresentamos sumarizados, podem

ser encontrados em [33], Seções 4 e 5 do Capítulo 7, e levam o mérito à Hurewicz.

Teorema 1.2.3. (Teorema do Homomorfismo de Hurewicz) Considere dois espaços

topológicos com ponto base (X,x0) e (Y, y0), um subespaço A de X contendo x0 e uma apli-

cação f : (X,A, x0)→ (Y,A, y0). Se n ≥ 2, ou se n = 1 e A = {x0}, existe um homomorfismo

ϕ que faz comutar o diagrama

πn(X,A, x0)

ϕ

��

f♯ // πn(Y,A, y0)

ϕ

��Hn(X,A)

f∗ // Hn(Y,A)

Teorema 1.2.4. Se X é um espaço conexo por caminhos, então o homomorfismo de Hurewicz

ϕ : π1(X)→ H1(X) é sobrejetor e seu núcleo é o subgrupo comutador de π1(X).

Teorema 1.2.5. (Teorema de Hurewicz) Seja X um espaço simplesmente conexo. Então,

são equivalentes as seguintes afirmações:

πj(X) = 1 para todo j = 1, . . . , n− 1,

Hj(X) = 0 para todo j = 1, . . . , n− 1.

Além disso, no caso de uma das condições acima for satisfeita, tem-se Hn(X) ≈ πn(X).

O Teorema de Whitehead

Definição 1.2.6. Sejam X e Y espaços topológicos e f : X → Y uma aplicação contínua.

Dizemos que f é uma equivalência de homotopia fraca se f induz uma correspondência bi-

unívoca entre as componentes conexas por caminhos de X e de Y e se para todo n ≥ 1 e

x ∈ X, f♯ : πn(X,x)→ πn(Y, f(x)) é um isomorfismo.

Observe que se f : X → Y é uma equivalência de homotopia, então f é uma equivalência

de homotopia fraca. Além disso, se X e Y forem variedades infinitamente diferenciáveis, então

ambas têm estrutura de complexos CW e os conceitos de equivalência de homotopia e equiva-

lência de homotopia fraca coincidem, pelo Corolário 24 da página 405 de [33]. Para maiores

detalhes consulte esta referência. Considerando este fato juntamente com o Teorema 7.15 de

[35, p. 182], decorre o seguinte resultado, freqüentemente chamado Teorema de Whitehead.

Teorema 1.2.7. (Teorema de Whitehead) Sejam X e Y complexos CW finitos simples-

mente conexos e f : X → Y uma aplicação contínua tal que f∗ : Hn(X) → Hn(Y ) é um

isomorfismo para todo n. Então f é uma equivalência de homotopia.


O produto Wedge

Dados espaços X e Y com pontos escolhidos x0 ∈ X e y0 ∈ Y , o produto wedge X ∨ Y

é o espaço quociente obtido da união disjunta X ⊔ Y identificando-se os pontos x0 e y0 a

um único ponto. Mais geralmente, podemos formar o produto wedge ∨αXα de uma coleção

arbitrária de espaços Xα identificando no espaço ⊔αXα pontos escolhidos xα ∈ Xα. No

caso dos espaços Xα serem complexos celulares e os pontos xα serem 0-células, o produto

∨αXα é um complexo celular, já que é obtido do complexo celular ⊔αXα colapsando-se um

subcomplexo a um ponto. Para qualquer complexo celular X, o quociente Xn/Xn−1, onde

Xj denota o j-ésimo esqueleto de X, é um produto wedge de n−esferas, ∨αSnα, com uma

esfera para cada n−célula de X.

O produto de Whitehead

Considere o produto wedge Sp∨Sq = Sp×{q0}∪{p0}×Sq ⊂ Sp×Sq, onde p0 ∈ S

p, q0 ∈ Sq,

p, q ≥ 2. Os elementos de πp+q(Sp × Sq, Sp ∨ Sq, ⋆) estão em correspondência com as classes

de homotopia das aplicações contínuas κ : (Dp ×Dq, ∂(Dp ×Dq), w)→ (Sp × Sq, Sp ∨ Sq, ⋆),

com w ∈ Sp−1 × Sq−1 = ∂Dp × ∂Dq ⊂ ∂(Dp × Dq) e ⋆ = (p0, q0). Assim, cada elemento

γ ∈ πp+q(Sp × Sq, Sp ∨ Sq, ⋆) é representado por uma aplicação contínua

κ : (Dp ×Dq, ∂(Dp ×Dq), w)→ (Sp × Sq, Sp ∨ Sq, ⋆).

Observe que Hp+q(Sp × Sq, Sp ∨ Sq, ⋆) ≈ Z. Segue-se do Teorema de Hurewicz relativo,

enunciado em [33, p. 397], que

πp+q(Sp × Sq, Sp ∨ Sq, ⋆) ≈ Hp+q(S

p × Sq, Sp ∨ Sq, ⋆) ≈ Z

pois Sp × Sq e Sp ∨ Sq são simplesmente conexos. Defina o homomorfismo bordo

d : πp+q(Sp × Sq, Sp ∨ Sq, ⋆)→ πp+q−1(S

p ∨ Sq, ⋆)

como sendo d(γ) = σ, onde σ é a classe de homotopia representada pela aplicação restrição

h|∂(Dp×Dq) : (∂(Dp ×Dq), w)→ (Sp ∨ Sq, ⋆).

Definição 1.2.8. Considere as classes de homotopia α ∈ πp(X,x0) e β ∈ πq(X,xo) repre-

sentadas pelas aplicações κ1 : (Sp, p0)→ (X,x0) e κ2 : (Sq, q0)→ (X,x0), respectivamente, e

a aplicação κ1 ∨ κ2 : (Sp ∨Sq, ⋆)→ (X,x0) com κ1 ∨ κ2(p0, q0) = x0, κ1 ∨ κ2(x, q0) = κ1(x) e

κ1 ∨ κ2(p0, y) = κ2(y). Seja γ um gerador de πp+q(Sp × Sq, Sp ∨ Sq, ⋆) ≈ Z escolhido através

da fixação de uma orientação adequada de Sp × Sq. Para a composta abaixo

πp+q(Sp × Sq, Sp ∨ Sq, ⋆)

d−→ πp+q−1(S

p ∨ Sq, ⋆)κ1∨κ2−→ πp+q−1(X,x0)

defina[[α, β]] = ((κ1 ∨ κ2)♯ ◦ d)(γ) = (κ1 ∨ κ2)♯(σ) ∈ πp+q−1(X,x0).

O elemento [[α, β]] assim definido é denominado produto de Whitehead dos elementos α e β.

1.3 Homologia e cohomologia em variedades 29

Observe que [[α, β]] apenas depende das classes de homotopia α e β e não dos particulares

representantes κ1 e κ2.

Uma propriedade do produto de Whitehead que será utilizada no próximo capítulo deste

texto é a “bilinearidade”, isto é, para quaisquer a, b ∈ Z tem-se

[[aα, bβ]] = ab[[α, β]].

Esta propriedade e outras mais sobre o produto de Whitehead podem ser encontradas em

[35], esta especificamente no Capítulo 7, p. 478.

O seguinte resultado pode ser encontrado em [7].

Proposição 1.2.9. A aplicação contínua κ1 ∨ κ2 : Sp ∨ Sq → X se estende a uma aplicação

contínua K : Sp × Sq → X se, e somente se, [[α, β]] = 0 em πp+q−1(X,x0).

H-espaços

Definição 1.2.10. Seja (X,x0) um espaço topológico com ponto base x0 ∈ X. Dizemos que

X é um H-espaço se existe uma aplicação contínua f : X ×X → X, com f(x0, x0) = x0 e tal

que as aplicação f1 : X → X, f1(x) = f(x, x0), e f2 : X → X, f2(x) = f(x0, x), são ambas

homotópicas a aplicação identidade 1X : X → X. O ponto x0 ∈ X é o elemento neutro de X

a menos de homotopia.

Foi demonstrado em [1] que Sp tem estrutura de H-espaço se, e somente se, p = 1, 3 ou 7.

Nestes casos, a aplicação f : Sp × Sp → Sp é a multiplicação dos complexos, dos quatérnios e

dos octônios unitários, respectivamente.

Proposição 1.2.11. Se p é um inteiro positivo ímpar, p 6= 1, 3 e 7, e neste caso Sp não é

um H-espaço, então o produto de Whitehead [[β, β]] é um elemento de ordem 2 de π2p−1(Sp),

onde β é um gerador de πp(Sp) ≈ Z.

1.3 Homologia e cohomologia em variedades

Dualidades

Os próximos resultados podem ser encontrados em [27, p. 419] e [13, p. 254], respectiva-

mente, e serão de grande utilidade para os propósitos deste trabalho.

Teorema 1.3.1. (Dualidade de Poincaré-Lefschetz) Seja M uma n-variedade com-

pacta com bordo ∂M . Se (M,∂M) é orientável, então

Hp(M,∂M) ≈ Hn−p(M) e Hp(M) ≈ Hn−p(M,∂M).

Teorema 1.3.2. (Dualidade de Alexander) Seja X 6= ∅ um subconjunto próprio da

esfera Sn. Suponha que X seja um retrato de alguma vizinhança. Então

Hn−k(X) ≈ Hk−1(Sn −X).


O Teorema do h-cobordismo

Para os enunciados desta subseção veja [25].

Definição 1.3.3. Uma terna (W,V0, V1) é uma tríada de variedades se W é uma variedade

compacta e seu bordo é a reunião disjunta das variedades sem bordo V0 e V1.

Definição 1.3.4. Seja W uma variedade diferenciável compacta com duas componentes de

bordo V0 e V1, tais que V0 e V1 são ambas retratos por deformação de W . Então W é dito

um h-cobordismo entre V0 e V1.

Definição 1.3.5. Uma tríada de variedades (W,V0, V1) é chamada cobordismo produto se for

difeomorfa à terna (V0 × [0, 1], V0 × {0}, V0 × {1}).

O Teorema a seguir é um resultado sensacional e será muito útil para o nosso trabalho.

Teorema 1.3.6. (Teorema do h-Cobordismo) Considere uma tríada (W,V0, V1) com as

seguintes propriedades:

1. W , V0 e V1 são simplesmente conexas,

2. H∗(W,V0) = 0,

3. dimW ≥ 6.

Então (W,V0, V1) é um cobordismo produto.

Teorema 1.3.7. (Conjectura de Poincaré Generalizada). Se M é uma n-variedade

fechada, conexa e simplesmente conexa, e n ≥ 4, então M é homeomorfa a esfera Sn.

Grau de uma aplicação diferenciável

Sejam M e N variedades diferenciáveis orientadas de dimensão n, ambas sem bordo, com

M compacta e N conexa. Seja f : M → N uma aplicação diferenciável de classe C∞ e x ∈M

um ponto regular de f . Observe que, nestas condições, a derivada de f no ponto x, denotada

por Df(x), é um isomorfismo entre os espaço tangente a M em x e o espaço tangente a N

em f(x). Dizemos que f preserva a orientação em x se Df(x) aplica uma base de TxM da

orientação de M numa base de Tf(x)N da orientação de N . Se isto não ocorre dizemos que f

inverte a orientação em x.

Seja x ∈ M um ponto regular. Dizemos que o grau de f no ponto x é igual a 1 se f

preserva a orientação em x. Denotaremos degx f = 1. Se f inverte a orientação em x, então

o grau de f no ponto x é dito ser igual a −1, e denotamos degx f = −1. Para cada valor

regular y ∈ N definimos também o grau de f sobre y como sendo

deg(f, y) =∑

x∈f−1(y)

degx f.

Se f−1(y) for vazio, então diremos que deg(f, y) = 0. Observe que f−1(y) tem um número

finito de pontos, pois M é compacta.

1.4 Nós e enlaçamentos 31

O grau de uma aplicação contínua f : M → N , denotado por deg f , é definido como sendo

o grau de uma aplicação h, deg(h, z), onde h : M → N é um aplicação C∞ homotópica a

f e z ∈ N é um valor regular para h. Por resultados de Hirsch [14], uma tal aplicação h

existe e deg f independe da escolha de h e z. Se N é compacta, então f∗[M ] = (deg f)[N ] em

Hn(N ; Z), com [M ] e [N ] classes fundamentais de M e N respectivamente.

1.4 Nós e enlaçamentos

Todos as definições e resultados apresentados nesta seção podem ser encontrados em [28].

Considerações gerais

Definição 1.4.1. Um subconjunto K de um espaço X é um nó p-dimensional em X se K

é homeomorfo a uma esfera Sp. Mais geralmente, K é um enlaçamento se é homeomorfo a

uma união disjunta Sp1 ⊔ · · · ⊔ Spr de uma ou mais esferas. Dois nós ou enlaçamentos K e

K ′ são equivalentes se existe um homeomorfismo h : X → X tal que h(K) = K ′.

Alguns autores consideram nós como mergulhos de K : Sp → Sn preferivelmente à sub-

conjuntos como na definição anterior. Quando o espaço X da definição anterior for a esfera

Sn, será, em geral, mais conveniente usarmos esta definição. Não obstante, usaremos o mesmo

símbolo K para denotar tanto a aplicação K quanto sua imagem K(Sp) em Sn.

Definição 1.4.2. Seja V uma subvariedade da variedade M . Uma isotopia de V em M é uma

família de mergulhos ft, t ∈ [0, 1], de V em M , tal que f0 é a aplicação inclusão e a função

F definida por F (t, x) = ft(x) é simultaneamente contínua em t e em x. As aplicações f0 e

f1 são chamadas mergulhos isotópicos. Quando V = M e cada ft é um difeomorfismo com f0

igual a aplicação identidade em M , então F é chamada difeotopia ou isotopia ambiente.

Definição 1.4.3. Dois nós K e K ′ num espaço X são ditos isotópicos se existe uma isotopia

ambiente {ht} de X tal que h1(K) = K ′.

Obviamente, se dois nós são isotópicos, então eles são equivalentes.

Será comum falarmos nesta seção do tipo de um nó; pois bem, diremos que dois nós têm

o mesmo tipo se eles são equivalentes, e que são de tipos distintos se não são equivalentes.

Teorema 1.4.4. (Teorema da Separação e Brouwer) SeK é um nó (n−1)-dimensional

em Rn (ou Sn), então Rn −K (ou Sn −K) tem exatamente duas componentes conexas e K

é o bordo de cada uma delas.

Definição 1.4.5. Seja X uma variedade de dimensão n e M uma variedade de dimensão m,

n < m, ambas sem bordo. Por uma vizinhança tubular de X em M entendemos um mergulho

N : X ×Dn−m →M tal que N (x, 0) = x para todo x ∈ X.

Nesta definição, como em todo este trabalho, entendemos Dm−n como o disco unitário

(m−n)−dimensional em Rm−n com centro na origem. Por exemplo, uma vizinhança tubular


de um nó K de dimensão 1 em R3 é um toro sólido S1×D2 cujo cerne é K. Entendemos por

cerne de um toro S1 ×D2 o subconjunto S1 × {0} deste.

Notação: Em casos em que a variedade X da definição anterior for um nó K, denotaremos

sua vizinhança tubular por NK .

Definição 1.4.6. Seja M uma variedade n-dimensional e f : Dk → M um mergulho. Dize-

mos que f é liso se f estende a um mergulho f : U → M , onde U é uma vizinhança de Dk

em Rn (Dk ⊂ Rn da maneira trivial). Também dizemos, neste caso, que o subconjunto f(Dk)

de M é um disco liso.

Teorema 1.4.7. Um nó k-dimensional K em Sn, k < n, é equivalente ao nó trivial Sk ⊂ Sn

se, e somente se, K é o bordo de um (k + 1)−disco liso em Sn.

Definição 1.4.8. Seja K um nó k-dimensional numa n-variedade M . Diremos que K é

localmente liso em x ∈ K se existe uma vizinhança fechada V de x em M tal que (V,K ∩ V )

é homeomorfo, como um par, ao par de discos usuais (Dn,Dk). Se tal propriedade é válida

para todo ponto de K diremos que K é liso. Ainda mais, diremos que um nó K em M é suave

se é diferenciável.

O Grupo de um nó

Se K é um nó (ou um enlaçamento) (n − 2)-dimensional em Rn, o grupo fundamental

π1(Rn − K) do seu complementar será chamado, simplesmente, o grupo de K. Note que o

grupo é o mesmo, a menos de isomorfismo, se consideramos o nó em Sn ao invés de em Rn.

Deveras, temos o seguinte:

Proposição 1.4.9. Se B é qualquer subconjunto limitado do Rn tal que Rn−B é conexo por

caminhos e n ≥ 3, então a inclusão induz um isomorfismo i♯ : π1(Rn −B)→ π1(S

n −B).

A inclusão natural Sn−2 ⊂ Rn−1 ⊂ Rn ⊂ Rn ∪ {∞} ∼= Sn é o nó trivial (ou não-

enodamento) de codimensão 2.

Proposição 1.4.10. O nó trivial tem grupo π1(Sn − Sn−2) ≈ Z.

Observação 1.4.11. O grupo π1(R3−K) de um nó suave é isomorfo aos grupos π1(R

3−NK)

e π1(R3−

◦NK). De fato, o complementar R3 −K e o exterior R3−

◦NK tem o mesmo tipo de

homotopia por uma retração de deformação óbvia.

Nós toroidais

Uma aplicação f : S1 → T 2, onde T 2 é o toro S1 × S1, pode ser considerada, uma vez

que S1 é orientada, como um laço representando um elemento [f ] de π1(T2) ≈ Z⊕Z. Pontos

bases são imateriais neste caso, já que π1(T2) é abeliano. Então [f ] pode ser escrito em termos

da base longitude-meridiano como [f ] =≺ a, b ≻. Assim a longitude tem classe ≺ 1, 0 ≻ e o

meridiano ≺ 0, 1 ≻.

1.4 Nós e enlaçamentos 33

Observação 1.4.12. Diferentemente do comum, estamos denotando classes em π1(T2) com

os símbolos ≺ · , · ≻ não apenas para que não haja confusão com demais notações semelhantes

e que já são utilizadas neste trabalho para outros fins, mas porque, uma vez de posse do próximo

resultado que apresentamos, passaremos a tratar os mergulhos de S1 em T 2 especificando sua

classe em π1(T2). Desta forma, a notação ≺ · , · ≻ servirá, sobretudo, para representar nós

específicos em T 2.

Teorema 1.4.13. Uma classe ≺ a, b ≻ em π1(T2) é representada por um mergulho S1 → T 2

se, e somente se, a = b = 0 ou mdc(a, b) = 1.

Escolhidos inteiros p e q primos entre si, o nó toroidal Tp,q de tipo ≺ p, q ≻ é o nó que

“enrola” em torno do toro sólido p vezes na direção longitudinal e q vezes na direção meridional.

O grupo de um tal nó Tp,q pode ser determinado sem muito trabalho encontrando-se sua

apresentação que, nestes termos, é dada por

Gp,q = |x, y : xp = yq|.

Pode-se classificar os tipos de nós toroidais observando-se que: T±1,q e Tp,±1 são de tipo trivial;

e o tipo de Tp,q é imutável por mudança de sinal de p ou de q, ou por permutação de p e q.

Teorema 1.4.14. Se 1 < p < q, então o grupo Gp,q determina o par p, q.

Corolário 1.4.15. Existem infinitos tipos de nós toroidais.

Dado um grupo G vamos denotar por Z(G) o seu centro, ou seja, o subgrupo Z(G) =

{g ∈ G : gx = xg, ∀ x ∈ G}. Além disso, dado um elemento qualquer g ∈ G vamos escrever

〈g〉 para expressar o subgrupo de G gerado por g, ou seja, 〈g〉 = {gn : n ∈ Z}.

Se C é o subgrupo cíclico (infinito) de G = Gp,q gerado pelo elemento xp(= yq), pode-se

demonstrar facilmente que C é subgrupo de Z(G), que C é normal em G e que G/C é o

produto livre dos grupos cíclicos Zp e Zq. Escrevemos G/C ≈ Zp ∗ Zq. Além disso, é apenas

um simples exercício de Álgebra provar que o centro de um produto livre de quaisquer dois

grupos não triviais consiste apenas do elemento identidade. Sendo assim, Z(Zp ∗ Zq) = 1.

Concluímos daí que o grupo C é exatamente o centro de G. Este resultado será utilizado no

terceiro capítulo deste texto e, por isso, o apresentamos sumariamente no seguinte:

Lema 1.4.16. Z(Gp,q) ≈ 〈xp〉 = 〈yq〉 e Gp,q/Z(Gp,q) ≈ Zp ∗ Zq.

Nós girados

Em R4, considere os subconjuntos R3+ = {(x1, x2, x3, 0) : x3 ≥ 0}, obviamente com bordo,

e R2 = {(x1, x2, 0, 0)}. Podemos rotacionar um ponto x = (x1, x2, x3, 0) de R3+ em torno de

R2 de acordo com a fórmula

xθ = (x1, x2, x3 cos θ, x3senθ).


Defina o giro X de qualquer conjunto X ⊂ R3+ como sendo o subconjunto do R4

X = {xθ : x ∈ X, 0 ≤ θ ≤ 2π}.

Para obter um nó em R4, escolha um arco A em R3+ com pontos finais em R2. Então A

é uma 2-esfera em R4, que diremos ser um nó girado. A próxima proposição mostra que o

grupo de A é isomorfo a π1(R3+ − A) que é por sua vez isomorfo ao grupo do nó A ∪ L em

R3, onde L ⊂ R2 é o segmento ligando os pontos finais de A.

Proposição 1.4.17. O nó girado A em R4 tem o mesmo grupo do nó A ∪ L em R3.

Agora, se A é pontualmente linear e intercepta R2 transversalmente, é fácil ver que A é

localmente liso.

Proposição 1.4.18. Existem infinitos nós localmente lisos não-equivalentes de S2 em R4.

Proposição 1.4.19. Se X é um subconjunto aberto e conexo por caminhos de R3+, tal que

X ∩ R2 6= ∅, então a inclusão i : X → X induz um isomorfismo i♯ : π1(X)→ π1(X).

Será interessante em nosso trabalho considerarmos X ⊂ R4 ⊂ R4 ∪ {∞} ∼= S4. Note

que isto pode ser feito com total naturalidade e que, em face da Proposição 1.4.9, temos

provado que o grupo de um nó girado visto como subconjunto de R4 ou de S4 é o mesmo,

ou seja, π1(S4 − A) ≈ π1(R

4 − A) e este último, pela Proposição 1.4.17, é homeomorfo a

π1(R3 −A ∪ L) que é por sua vez homeomorfo a π1(S

3 −A ∪ L).

Para pormos fim a esta seção observe que o processo de giro de um nó pode ser iterado

de modo a se obter, a partir de um nó 1-dimensional em R3+, um nó (n − 2)-dimensional em

Sn, qualquer que seja o inteiro n ≥ 4 previamente fixado. Construções neste sentido serão

realizadas no Capítulo 3 e constituirão uma ferramenta essencial para demonstrarmos alguns

dos mais importantes resultados daquele capítulo.

1.5 Mergulho de produtos de esferas

Dedicamos esta última seção deste capítulo para inserirmos algumas terminologias e

resultados envolvendo a existência de mergulhos de produtos de três esferas em codimensão

1, bem como algumas de suas propriedades invariantes.

Em todo o texto, diremos que um mergulho é suave se é um difeomorfismo.

Sobre a existência de mergulhos de Sp × Sq × Sr em Sp+q+r+1

Nesta seção e em diversas ocasiões neste trabalho, vamos identificar a esferas Sp+q+1 com

Sp ×Dq+1 ∪ Dp+1 × Sq, através dos seguintes difeomorfismos:

Sp+q+1 ∼= ∂Dp+q+2

∼= ∂(Dp+1 ×Dq+1)

∼= ∂Dp+1 ×Dq+1 ∪ Dp+1 × ∂Dq+1

∼= Sp ×Dq+1 ∪ Dp+1 × Sq.

1.5 Mergulho de produtos de esferas 35

Considere as inclusões

i : Sp × Sq → Sp ×Dq+1 e j : Sp ×Dq+1 → Sp ×Dq+1 ∪ Dp+1 × Sq ∼= Sp+q+1

onde identificamos Sp × Sq com ∂(Sp ×Dq+1). Tomando-se a composição abaixo

f : Sp × Sqi−→ Sp ×Dq+1 j

−→ Sp+q+1

conclui-se sobre a existência de um mergulho diferenciável de Sp × Sq em Sp+q+1.

Foi demonstrado em [19, 21, 34] que, se p, q ≥ 2, então mergulhos de Sp × Sq em Sp+q+1

são únicos a menos de difeomorfismo. Abordamos neste trabalho exatamente os casos que

não cumprem estes quesitos sobre p e q, a saber, os casos 1 = p ≤ q.

Definição 1.5.1. Um mergulho g : Sm → Sn, com m < n, é dito trivial se g(Sm) é isotópico

à imagem do mergulho dado pela composta de inclusões

Sm ∼= Sm × {0} → Sm ×Dn−m → Sm ×Dn−m ∪ Dm+1 × Sn−m−1 ∼= Sn

Neste caso, dizemos que Sm está mergulhada trivialmente em Sn.

Definição 1.5.2. Um mergulho g : Sm × Sn → Sp+q+r+1, com m,n = p, q ou r, é trivial se

g(Sm × Sn) é isotópico ao bordo de uma vizinhança tubular da esfera Sm (ou da esfera Sn)

mergulhada trivialmente em Sp+q+r+1. Um tal mergulho pode ser construído com a composta

de inclusões

Sm × Sn → Sm ×Dn+1 → Sm ×Dn+1 ∪Dm+1 × Sn ∼= Sm+n+1 ⊂ Sp+q+r+1

onde a última inclusão é um mergulho trivial. Neste caso, dizemos que Sm × Sn está mergu-

lhada trivialmente em Sp+q+r+1.

Definição 1.5.3. Considere um mergulho diferenciável f : Sp×Sq×Sr → Sp+q+r+1. Dizemos

que f é trivial se f(Sp×Sq×Sr) é isotópico ao bordo de uma vizinhança tubular de Sm×Sn,

com m,n = p, q ou r, mergulhada trivialmente em Sp+q+r+1. Diremos, neste caso, que

Sp × Sq × Sr está mergulhada trivialmente em Sp+q+r+1.

Proposição 1.5.4. Existem mergulhos de Sp × Sq × Sr em Sp+q+r+1.

Prova: Pela Definição 1.5.2, escolhendo-se m e n apropriadamente, encontramos mergulhos

triviais Sp × Sq → Sp+q+r+1, Sp × Sr → Sp+q+r+1 e Sq × Sr → Sp+q+r+1. Tomando-

se os bordos de vizinhanças regulares desses mergulhos se obtém três mergulhos triviais de

Sp × Sq × Sr em Sp+q+r+1.�


Sobre a unicidade de mergulhos triviais

Que mergulhos triviais Sm → Sn, com m < n, são únicos a menos de isotopia (ou de

difeomorfismo) seque imediatamente da Definição 1.5.1. Mas quanto aos mergulhos que se

referem as outras definições, ou seja, mergulhos Sm × Sn → Sp+q+r+1, com m,n = p, q ou r,

e Sp × Sq × Sr → Sp+q+r+1, estes podem não ser únicos.

Pode-se mostrar, por exemplo, que para mergulhos f : Sm × Sn → Sp+q+r+1, temos no

máximo dois mergulhos triviais a menos de difeomorfismo. Isto se deve ao fato de que para

um tal mergulho podemos fazer duas escolhas, do Tipo 1 ou do Tipo 2, sendo a de Tipo

1 quando f(Sm × Sn) borda Sm × Dn+1 em Sp+q+r+1, e a de Tipo 2 quando f(Sm × Sn)

borda Dm+1 × Sn em Sp+q+r+1. Em [21] foi mostrado que, para r = 0 e p, q ≥ 2, todo

mergulho Sp × Sq → Sp+q+1 é trivial. Também naquele trabalho, foi mostrado que, para

r = 1, considerando um mergulho f : Sp × Sq → Sp+q+2, pode ocorrer que f seja do Tipo

1 e não seja do Tipo 2, e que a coincidência entre os dois tipos somente ocorre sob algumas

condições adicionais, as quais não mencionamos aqui, mas podem também ser encontradas

em [21, Teorema 1.9 e Observação 6.3].

No caso de mergulhos f : Sp×Sq×Sr → Sp+q+r+1, temos seis mergulhos triviais a menos

de difeomorfismo. Isto se deve ao fato de, neste caso, termos três escolhas para a imagem de

f , a saber, aos de: Tipo 1: quando f(Sp × Sq × Sr) borda Sp × Sq × Dr+1 em Sp+q+r+1;

Tipo 2: quando f(Sp × Sq × Sr) borda Sp × Dq+1 × Sr em Sp+q+r+1; e Tipo 3: quando

f(Sp × Sq × Sr) borda Dp+1 × Sq × Sr em Sp+q+r+1; e para cada destes temos ainda duas

escolhas para o mergulho trivial Sm × Sn → Sp+q+r+1, como já temos visto.

O fato é que não sabemos se a unicidade é ou não válida para mergulhos triviais de

produtos de duas ou de três esferas, com Sm × Sn → Sp+q+r+1 e Sp × Sq × Sr → Sp+q+r+1,

e um problema natural é analisar as relações entre os seis tipos de mergulhos triviais. Neste

trabalho, como já ressaltamos, vamos estudar os mergulhos Sp×Sq×Sr → Sp+q+r+1 no caso

em que p = 1.

Sobre o número de componentes de Sp+q+r+1 − f(Sp × Sq × Sr)

Vamos mostrar, neste penúltimo tópico preliminar, que apesar de todas as particulari-

dades que possa ter um mergulho suave Sp × Sq × Sr → Sp+q+r+1, com 1 ≤ p ≤ q ≤ r, ele

sempre desconecta a esfera Sp+q+r+1 em duas componentes.

Proposição 1.5.5. Seja f : Sp×Sq×Sr → Sp+q+r+1 um mergulho suave. Então Sp+q+r+1−

f(Sp × Sq × Sr) possui duas componentes conexas.

Prova: Vamos calcular o grupo de homologia H0(Sp+q+r+1 − f(Sp × Sq × Sr)). Por simpli-

cidade, denote X = Sp × Sq × Sr e Y = Sp+q+r+1. Sabemos que

H0(Y − f(X))⊕ Z ≈ H0(Y − f(X)).

1.6 Topologia Linear por Partes (PL) 37

Além disso, pela Dualidade de Alexander, tem-se

Hn(f(X)) ≈ Hp+q+r−n(Y − f(X))

E em particular Hp+q+r(f(X)) ≈ H0(Y − f(X)). Donde H0(Y − f(X)) ≈ Z. Portanto,

H0(Y − f(X)) ≈ Z ⊕ Z e Y − f(X) possui duas componentes conexas. Isto completa a

prova. �

1.6 Topologia Linear por Partes (PL)

Muitas definições e resultados de Topologia Linear por Partes (PL) serão utilizados princi-

palmente no último capítulo deste trabalho. Não poremos aqui tal conteúdo, mas gostaríamos

de deixar registrado que as notações, terminologias e resultados básicos que utilizaremos são

os mesmos apresentados por C. P. Rourke e B. J Sanderson em [30].

Concluímos aqui nossa breve exposição e argumentação sobre os resultados básicos que

serão utilizados no limiar do restante de todo este trabalho.

X

Capítulo

2

Difeomorfismo de produtos de

esferas

O objetivo deste capítulo é caracterizar todos os automorfismos deHp(M ; Z) ≈ Zn que são

realizados como isomorfismos induzidos por difeomorfismos de M , onde M =

n∏Sp, p ≥ 1,

n ≥ 2. Isto foi desenvolvido por L. A. Lucas em [20]. Antes, porém, de nos embrenharmos

nesta empresa, dedicaremos a primeira seção deste capítulo às construções algébricas que nos

serão úteis na empreita da classificação das matrizes que representam automorfismos de M .

Desde já fixamos GL(n; Z) para denotar o grupo das matrizes de ordem n cujo determinante

é ±1, com as operações usuais de matrizes.

2.1 Algumas manipulações algébricas

Definição 2.1.1. Seja Sn o grupo das permutações de ordem n, ou seja, Sn é o grupo das

bijeções σ : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}. Para cada σ ∈ Sn, defina a matriz Aσ = (aij) ∈

GL(n; Z) fazendo

aij =

{1 se i = σ(j)

0 c.c.

Vamos construir um argumento para identificarmos o grupo das permutações Sn com um

subgrupo de GL(n; Z). Nossa construção se inicia com o seguinte lema:

39

40 Capítulo 2 — Difeomorfismo de produtos de esferas

Lema 2.1.2. A aplicação γ : Sn → GL(n; Z) dada por γ(σ) = Aσ é um monomorfismo.

Prova: Provemos inicialmente que γ é um homomorfismo. Para tanto, considere permutações

arbitrárias σ e µ em Sn, com respectivas matrizes Aσ = (aij) e Aµ = (bjk) dadas em acordo

com a definição anterior, ou seja,

aij =

{1 se i = σ(j)

0 c.c.e bjk =

{1 se j = µ(k)

0 c.c.

Denotando AσAµ = C = (cik) podemos escrever cik =∑n

j=1 aijbjk. Agora, pelas definições

de Aσ e Bµ, temos

cik =n∑

j=1

aijbjk = aiµ(k)bµ(k)k = aiµ(k).

Logo

cik = 1⇐⇒ aiµ(k) = 1⇐⇒ i = σ(µ(k))

cik = 0⇐⇒ aiµ(k) = 0⇐⇒ i 6= σ(µ(k)).

Mas isto implica em C = Aσ◦µ = γ(σ ◦ µ). Temos, então,

γ(σ) · γ(µ) = AσAµ = Aσ◦µ = γ(σ ◦ µ).

E portanto γ é um homomorfismo.

Provemos agora a injetividade de γ. Sejam γ(σ) = Aσ = (aij) e γ(µ) = Aµ = (bij), com

σ distinta de µ. Sendo assim, existe um inteiro l, 1 ≤ l ≤ n, tal que σ(l) 6= µ(l). Escreva

k = σ(l). Então temos akl = 1, mas bkl = 0. Logo, akl 6= bkl e, deste modo, Aσ 6= Aµ.

Portanto γ(σ) 6= γ(µ) e γ é injetivo. �

Tendo provado este lema, obtemos um isomorfismo γ : Sn → γ(Sn), o qual nos permitirá,

a partir de agora, identificarmos o grupo das permutações Sn com o subgrupo γ(Sn) de

GL(n; Z). Que γ(Sn) é de fato um subgrupo de GL(n; Z) segue diretamente do fato de ser

Sn um grupo e γ um homomorfismo.

Seja η : GL(n; Z) → GL(n; Z2), onde Z2 é o grupo cíclico de ordem 2, o homomorfismo

canônico definido por η(A) = A, para toda matriz A em GL(n; Z), isto é, dada A = (aij)

em GL(n; Z), fazemos η(A) = (aij), onde aij indica a classe de aij em Z2. Note que, para

quaisquer A,B ∈ GL(n; Z), tem-se:

η(AB) = AB = AB = η(A)η(B)

Sendo assim, η um homomorfismo e η(Sn) é um subgrupo de GL(n; Z2).

Agora vamos definir, através do homomorfismo η, um subconjunto de GL(n; Z) que

provaremos, logo após formalizada sua definição, ser também um subgrupo de GL(n; Z).

2.1 Algumas manipulações algébricas 41

Definição 2.1.3. Defina G′ = η−1(η(Sn)).

Note que uma matriz A de GL(n; Z) está em G′ se, e somente se, cada uma de suas linhas

e colunas contém exatamente um inteiro ímpar.

Lema 2.1.4. G′ munido da multiplicação usual de matrizes é um subgrupo de GL(n; Z).

Prova: Denote por In a matriz identidade de ordem n, a qual é o elemento neutro do grupo

GL(n; Z) e, conseqüentemente, do grupo Sn. Claramente In ∈ G′, pois η(In) = In = In.

Sejam A,B ∈ G′; então η(A) e η(B) estão em η(Sn), e temos: η(AB) = η(A)η(B) ∈ η(Sn),

pois, como vimos, η(Sn) é um grupo. Logo AB ∈ G′.

Seja A ∈ G′; então η(A) ∈ η(Sn). Sendo η(Sn) um grupo, [η(A)]−1 ∈ η(Sn). Agora, como

η é homomorfismo segue [η(A)]−1 = η(A−1). Portanto A−1 ∈ G′.

Isto prova que G′ é um subgrupo de GL(n; Z).�

Lema 2.1.5. η é um epimorfismo.

Prova: Já vimos que η é homomorfismo. Basta-nos então provar que η é sobrejetor. Para

isto, seja A uma matriz arbitrária em GL(n; Z2). Então A tem apenas entradas 0 e 1, e seu

determinante é não nulo. Tome a matriz B tal que suas entradas correspondam às de A com

1 no lugar de 1 e 0 no lugar de 0. Claramente B ∈ GL(n; Z) e η(B) = A.�

Notação: Se H é um subgrupo de um grupo G, denotaremos por [G : H] o índice de H em

G, o qual, pelo teorema de Lagrange, é igual a|G|

|H|, onde |G| denota a ordem do grupo G e

|H| a ordem do grupo H. Resumindo, [G : H]|H| = |G|.

Lema 2.1.6. |GL(n; Z2)| = 2(n2−n)/2(21 − 1)(22 − 1) · · · (2n − 1)

Prova: Para se construir uma matriz A em GL(n; Z2), observe inicialmente que seu deter-

minante deve ser não-nulo, ou seja, A é não singular. Escreva A como matriz linha de seus

vetores coluna, A = [C1 C2 · · · Cn]. Sendo A não singular, {C1, C2, . . . , Cn} deve ser um

conjunto linearmente independente sobre Z2. Com isso, vemos que existem 2n − 1 escolhas

possíveis para C1, já que este não pode ser o vetor nulo. Uma vez escolhidos os vetores

C1, . . . , Ck, o vetor Ck+1 pode ser escolhido como qualquer vetor que não pertença ao espaço

gerado pelos vetores linearmente independentes C1, . . . , Ck. Como este espaço contém 2k ve-

tores e existem 2n vetores no total, Ck+1 pode ser escolhido de 2n−2k modos distintos. Segue

que a matriz A pode ser construída de (2n − 1)(2n − 2) · · · (2n − 2n−1) maneiras. Portanto, a

ordem do grupo GL(n;Z2) é:

|GL(n; Z2)| = (2n − 1)(2n − 2) · · · (2n − 2n−1)

= (2n − 1)2(2n−1 − 1) · · · 2n−1(21 − 1)

= 21+···+n−1(21 − 1)(22 − 1) · · · (2n − 1)

= 2(n2−n)/2(21 − 1)(22 − 1) · · · (2n − 1) �


Lema 2.1.7. [GL(n; Z) : G′] = [GL(n; Z2) : η(Sn)]

Prova: Seja m = [GL(n; Z2) : η(Sn)]. Considere as classes laterais à direita de S = η(Sn) em

GL(n; Z2) dadas por Sk1,Sk2, . . . ,Skm, onde k1, k2, . . . , km ∈ GL(n; Z2) são representantes

de classes. Como η é um epimorfismo, existem elementos g1, g2, . . . , gm ∈ GL(n; Z) tais que

η(gj) = kj , para todo j = 1, . . . ,m.

Afirmamos que G′g1, G′g2, . . . , G

′gm são classes laterais à direita de G′ em GL(n; Z),

todas distintas. De fato: se G′gi = G′gj então gjg−1i ∈ G

′. E segue η(gjg−1i ) = η(gj)η(g

−1i ) =

η(gj)η(gi)−1 = kjk

−1i ∈ S. Logo, Ski = Skj e, portanto, i = j. Isto prova que as classes

G′g1, G′g2, . . . , G

′gm são todas distintas.

Para completar a prova do lema resta-nos provar que G′g1, G′g2, . . . , G

′gm são as únicas

classes à direita de G′ em GL(n; Z). Para tanto, seja g ∈ GL(n; Z) fixado arbitrariamente;

vamos mostrar que g ∈ G′gj para algum j, 1 ≤ j ≤ m. Ora, temos η(g) ∈ GL(n; Z2), então

temos também η(g) ∈ Skj para algum inteiro j, 1 ≤ j ≤ m, ou seja, existe algum σ ∈ S tal

que η(g) = σkj . Tome x = gg−1j . Temos, então, η(x) = η(g)η(gj )

−1 = σkjk−1j = σ ∈ S. Logo

x ∈ η−1(η(Sn)) = G′, ou seja, gg−1j ∈ G

′, donde g ∈ G′gj .

Provado tudo isto, segue que {G′g1, G′g2, . . . , G

′gm} consiste de todas as classes à direita

de G′ em GL(n : Z) e, portanto,

[GL(n; Z) : G′] = [GL(n; Z2) : η(Sn)].�

Proposição 2.1.8. [GL(n; Z) : G′] =2(n2−n)/2(21 − 1)(22 − 1) · · · (2n − 1)

n!

Prova: Sabemos que |Sn| = n!. Assim, como η é homomorfismo, também |η(Sn)| = n!.

Agora, utilizando os dois lemas precedentes e o Teorema de Lagrange, temos:

[GL(n; Z) : G′] = [GL(n; Z2) : η(Sn)] =|GL(n; Z2)|

|η(Sn)|=

2(n2−n)/2(21 − 1)(22 − 1) · · · (2n − 1)

n!�

Notação: Daqui por diante, dada uma matriz X de ordem n1 e outra Y de ordem n2,

denotaremos por X ⊕ Y a matriz de ordem n = n1 + n2 definida como

X ⊕ Y =

[X 0

0 Y

]

Notação: Denotaremos por R, em todo este capítulo, a matriz diagonal de ordem n definida

como

R = [−1]⊕ In−1 =

[−1 0

0 In−1

]

Note que sendo R definida desta forma, temos R2 = In, de modo que o conjunto R′ = {In, R},

munido da multiplicação usual de matrizes, é um grupo, o qual é subgrupo tanto de G′ quanto

de GL(n; Z). Além disso, é óbvio que R′ ≈ Z2.

2.1 Algumas manipulações algébricas 43

Definição 2.1.9. Seja G′′ o subgrupo de GL(n; Z) gerado pelos subgrupos Sn e R′. Denota-

mos, como comumente, G′′ = 〈Sn ∪R′〉.

Escrevamos o conjunto Sn ∪R′ explicitanto os seus elementos com a seguinte notação:

Sn ∪R′ = {R, In, Aσ2

, Aσ3, . . . , Aσn!

}.

Como é sabido, o subgrupo gerado por um subconjunto não vazio é o conjunto de todas

as suas palavras. Sendo assim,

〈Sn ∪R′〉 =

{Br1

1 Br22 · · ·B

rmm : Bs ∈ Sn ∪R

′, rs = ±1, 1 ≤ s ≤ m, m ∈ Z}.

Denote SnR = {AR : A ∈ Sn}. Vamos provar que 〈SnR〉 = 〈Sn ∪ R′〉 = G′′. Com efeito,

é evidente que SnR ⊂ 〈Sn ∪R′〉. Logo 〈SnR〉 é subgrupo de 〈Sn ∪R′〉. Por outro lado, para

todo A ∈ Sn ∪R′ podemos escrever

A = AIn = A(R2) = (AR)(InR) ∈ 〈SnR〉.

Desse modo, temos provado que Sn ∪R′ ⊂ 〈SnR〉 e, assim, 〈Sn ∪R′〉 é subgrupo de 〈SnR〉.

E portanto, 〈SnR〉 = 〈Sn ∪R′〉 = G′′.

Note que uma matriz A de GL(n; Z) pertence ao subgrupo G′′ se, e somente se, cada uma

de suas linhas e colunas contém exatamente um inteiro não nulo, sendo estes iguais a ±1.

Esta importante observação será lembrada oportunamente.

Proposição 2.1.10. O grupo G′′ é finito de ordem 2nn!. Ainda mais, G′′ é isomorfo ao

produto direto de (Z2)n com Sn.

Prova: Inicialmente, considere o grupo Z2 em sua forma multiplicativa, isto é, Z2 = ({−1, 1}, ·).

Faça a identificação de (Z2)n com um subgrupo de GL(n; Z2) através do homomorfismo

ν : (Z2)n → GL(n; Z2) dado por

(z1, . . . , zn)ν7−→

z1 0 · · · 0

0 z2 · · · 0...

.... . .

...

0 0 · · · zn

Considere a seqüência

1 // (Z2)n ν // G′′ ω // Sn // 1

onde ω é o homomorfismo dado pela congruência módulo 2, ou seja, ω(A) = A, onde −1 ≡ 1

mod 2. Deste modo, é fácil ver que a seqüência acima é uma seqüência exata curta, já que

ω(A) = In se, e somente se, A = (aij) é uma matriz diagonal tal que aii = ±1 para todo i,

com i = 1, . . . , n. E sendo assim, temos A = ν(a11, . . . , ann), com (a11, . . . , ann) ∈ (Z2)n.

Considere a inclusão G′′ j←− Sn. Ficamos então com a seqüência

1 // (Z2)n ν // G′′

ω //Sn

joo // 1

onde ω ◦ j = 1Sn . Logo, esta seqüência cinde e, portanto, G′′ é produto direto dos grupos

(Z2)n e Sn. Agora, uma vez que |(Z2)

n| = 2n e |Sn| = n!, segue |G′′| = 2nn!. �


Os grupos definidos nesta seção, juntamente com suas propriedades demonstradas nos

lemas e proposições precedentes, serão bastante úteis na próxima seção, onde faremos uma

classificação das matrizes que representam automorfismos. Antes, porém, de nos empenhar-

mos neste propósito, introduzimos mais um importante resultado para o qual não apresenta-

mos a prova que se resume em manipulações algébricas de matrizes e pode ser encontrada na

integra em [20].

Notação: Denotaremos no decorrer deste capítulo, a partir de agora, por T e U as seguintes

matrizes de GL(n; Z):

T =

[1 1

0 1

]⊕ In−2 e U =

[1 2

0 1

]⊕ In−2

Note que detT = 1 = detU .

Lema 2.1.11. Com as notações acima, temos que GL(n; Z) é gerado por Sn, {R} e {T},

enquanto G′ é gerado por Sn, {R} e {U}.

2.2 Classificação das matrizes que representam automorfismos

Denote por ⋆ um ponto base da esfera Sp, esta com uma orientação fixada, e considere

αi, com i = 1, . . . , n, classes de homologia que geram Hp(M ; Z) ≈ Zn, representadas por

Sp × {⋆} × . . .× {⋆}, {⋆} × Sp × {⋆} × . . . × {⋆}, . . . , {⋆} × . . .× {⋆} × Sp

onde M =∏n Sp é a variedade definida no início do capítulo.

Definição 2.2.1. Seja f : Sp → Sp uma aplicação; então f induz um homomorfismo no

p-ésimo grupo de homologia f∗ : Hp(Sp) → Hp(S

p). Sendo Hp(Sp) ≈ Z, dado um gerador α

de Hp(Sp), temos que f∗(α) = dα, para algum d ∈ Z. Este tal inteiro d independe da escolha

do gerador α e é denominado o grau da aplicação f . Escrevemos d = deg f .

Vale observar que esta definição de grau de uma aplicação coincide, nestas particularidades,

com aquela dada na Seção 1.3.

Definição 2.2.2. Seja φ : M →M um difeomorfismo e defina φ∗ : Hp(M)→ Hp(M) por

φ∗(αj) =

n∑

i=1

aijαi

onde cada aij, i, j = 1, . . . , n, é o grau da aplicação φij : Sp → Sp definida pela composição

Spkj−→M

φ−→M

pi−→ Sp

onde kj é a inclusão no j-ésimo fator de M e pi a i-ésima projeção. Neste termos, chamamos

a matriz A = (aij) de matriz da induzida por φ na base {αi}ni=1 de Hp(M ; Z).

2.2 Classificação das matrizes que representam automorfismos 45

Definição 2.2.3. Dizemos que uma matriz A de GL(n; Z) é realizada por um difeomorfismo

de M se existe um difeomorfismo φ : M → M tal que [φ∗] = A para φ∗ definida na base

canônica {αi}ni=1 de Hp(M).

Lema 2.2.4. Seja φ : M →M o difeomorfismo que permuta as duas primeiras coordenadas,

ou seja, φ(x1, x2, . . . , xn) = (x2, x1, x3, . . . , xn). Então a matriz da induzida por φ na base

canônica {αi}ni=1 de Hp(M) é dada por

[φ∗] =

[0 1

1 0

]⊕ In−2

Prova: Escreva [φ∗] = (aij). De acordo com a Definição 2.2.2, para cada 1 ≤ i, j ≤ n, temos

aij = deg φij, onde φij é dada pela composição Spkj−→ M

φ−→ M

pi−→ Sp. Pois bem, para

j = 1, dado x ∈ Sp, φi1(x) é, então, obtido pela seqüência de aplicações

xk17−→ (x, ⋆, . . . , ⋆)

φ7−→ (⋆, x, ⋆, . . . , ⋆)

pi7−→

{x se i = 2

⋆ se i 6= 2.

Logo, a21 = 1 enquanto ai1 = 0 para todo i 6= 2. Já φi2(x) é dado da seguinte forma:

xk27−→ (⋆, x, ⋆, . . . , ⋆)

φ7−→ (x, ⋆, . . . , ⋆)

pi7−→

{x se i = 1

⋆ se i 6= 1.

De modo que a12 = 1 e ai2 = 0 para todo i 6= 1. Agora, para j ≥ 3, não é difícil ver que

φjj(x) é a aplicação identidade e que, sempre que i 6= j, a aplicação φij será constante, já

que a permutação realizada por φ ocorre somente entre as duas primeiras posições de kj(x).

Assim, para j ≥ 3 temos ajj = 1 e aij = 0 se i 6= j. Isto conclui a prova do lema. �

Definição 2.2.5. Considere Sp = {x ∈ Rp+1 : ‖x‖ = 1}. Para 1 ≤ t ≤ p+1 defina a t-ésima

reflexão rt : Sp → Sp por rt(x1, . . . , xp+1) = (x1, . . . , xt−1,−xt, xt+1, . . . , xp+1). O grau de rté obviamente igual a −1.

Lema 2.2.6. Seja φ : M → M o difeomorfismo φ(x1, x2, . . . , xn) = (rt(x1), x2, . . . , xn).

Então, qualquer que seja o inteiro t, 1 ≤ t ≤ p + 1, a matriz da induzida de φ na base

canônica {αi}ni=1 de Hp(M) é a matriz R = [−1]⊕ In−1.

Prova: Escreva [φ∗] = (bij). Então, como definido, bij = deg φij , onde mais uma vez tem-se

φij definido pela composição Spkj−→M

φ−→M

pi−→ Sp. Para j = 1, temos, para x ∈ Sp,

xk17−→ (x, ⋆, . . . , ⋆)

φ7−→ (rt(x), ⋆, . . . , ⋆)

pi7−→

{rt(x) se i = 1

⋆ se i 6= 1.

Logo, como o difeomorfismo rt tem grau −1, segue que b11 = −1 e bi1 = 0 para todo i > 1.

Já para j > 1, note que a primeira posição do vetor kj(x) será igual a ⋆. Deste modo

φij(x) =

rt(⋆) se i = 1 < j

x se i = j > 1

⋆ se j 6= i > 1

.


Assim, bij =

{1 se i = j > 1

0 se i 6= j. Isto basta para provar que [φ∗] = [−1]⊕ In−1.

�

Vimos na Seção 1.2 que a esfera Sp possui estrutura de H-espaço se, e somente se, p =

1, 3 ou 7. Para x, y ∈ Sp, p = 1, 3 ou 7, denotaremos por xy o produto induzido pela estrutura

de H-espaço em Sp. Note que, nestes casos, para todo x ∈ Sp existe o elemento “inverso” que

será denotado por x−1.

Lema 2.2.7. Para p = 1, 3 ou 7, a aplicação λ : Sp → Sp, λ(x) = x−1, é de classe C∞.

Prova: Faremos a prova separadamente para cada valor de p = 1, 3 e 7.

1◦ Caso: Se p = 1, temos a aplicação λ : S1 → S1. Faça a identificação usual do plano real R2

com o plano complexo C. Desta maneira, a esfera S1 consiste do números complexos unitários,

ou seja, S1 = {z ∈ C : |z| = 1}. Agora, sabemos que todo complexo unitário z = a + bi

possui inverso multiplicativo z−1 o qual é idêntico ao conjugado de z, isto é, z−1 = a − bi,

o qual tem ainda norma 1. Como sabido, a aplicação λ1 : R2 → R2, λ1(x, y) = (x,−y) é

infinitamente diferenciável. Como além disso S1 é uma subvariedade C∞ do R2, a aplicação

λ = λ1|S1 : S1 → S1 é também infinitamente diferenciável.

2◦ Caso: Seja λ : S3 → S3, λ(x) = x−1. Podemos agora identificar o espaço R4 com os

quatérnios Q através da aplicação x = (x1, x2, x3, x4) 7→ w = x1 + x2i+ x3j + x4k. Assim, os

elementos da esfera S3 são identificados com os quatérnios de norma 1. Dado um quatérnio

w = x1+x2i+x3j+x4k, não é difícil notar que w−1 = w = x1−x2i−x3j−x4k, e este é ainda

unitário. Segue que a aplicação infinitamente diferenciável λ3 : R4 → R4, λ3(x1, x2, x3, x4) =

(x1,−x2,−x3,−x4), tem por restrição a S3 a aplicação λ = λ3|S3 : S3 → S3 que, por ser S3

subvariedade C∞ do R4, é também de classe C∞.

3◦ Caso: O conjunto dos octônios O é definido como O = {c = (w1, w2) : w1, w2 ∈ Q}. A

multiplicação de dois octônios c1 = (w1, w′1) e c2 = (w2, w

′2) é definido por

c1c2 = (w1, w′1)(w2, w

′2) = (w1w

′2 − w

′2w

′1, w

′2w1 + w′

1w2).

Os octônios têm um elemento neutro e = (1, 0), o qual satisfaz ec = ce = c, para todo c ∈ O.

É natural identificar tal elemento com 1 ∈ R ⊂ O. Definimos o conjugado c de um octônio

c = (w,w′) como sendo c = (w,−w′). Então cc = |c|2e = (|w|2 + |w′|2)e pode ser identificado

com o número não negativo |c|2. Além disso, |c|2 = 0 se, e somente se, c = (0, 0). Observe

que a multiplicação dos octônios é distributiva com relação a adição e que o mesmo constitui

uma álgebra de divisão, isto é, valem todos os axiomas de um corpo exceto a comutatividade

e a associatividade. De modo semelhante ao realizado nos casos anteriores, os octônios podem

ser identificados com o R8, e a esfera S7 com os octônios unitários. Para um tal octônio c, é

fácil ver que c−1 = c. Segue de modo similar aos anteriores que λ : S7 → S7, λ(x) = x−1 é de

classe C∞.�


Lema 2.2.8. Para p = 1, 3 ou 7, a aplicação φ : M → M dada por φ(x1, x2, . . . , xn) =

(x1x2, x2, . . . , xn) é um difeomorfismo.

Prova: Assuma p = 1, 3 ou 7. É claro que φ é diferenciável. Agora, note que a aplicação

φ−1 : M →M , definida como φ−1(x1, x2, . . . , xn) = (x1x−12 , x2, . . . , xn), é a aplicação inversa

de φ. Além disso, podemos escrever φ−1(x1, x2, . . . , xn) = (x1λ(x2), x2, . . . , xn). Logo, pelo

lema anterior, segue que φ−1 é infinitamente diferenciável. Portanto, φ é um difeomorfismo.�

Lema 2.2.9. Considere p = 1, 3 ou 7. A matriz [φ∗] da induzida pelo difeomorfismo φ do

lema anterior é a matriz

T =

[1 1

0 1

]⊕ In−2

Prova: Mais uma vez vamos determinar a matriz [φ∗] escrevendo [φ∗] = (aij), onde, pela

definição, aij = deg φij , com φij definida pela composição Spkj−→ M

φ−→ M

pi−→ Sp. Neste

termos, é fácil notar que

φij(x) =

⋆ x se i = j = 1, 2, ou i = 1 e j = 2

x se i = j > 2

⋆ se i 6= j 6= 2

E portanto, [φ∗] = T . �

Definição 2.2.10. Para cada x ∈ Sp fixado, defina as aplicações infinitamente diferenciáveis

θx : Sp → Sp, θx(y) = y − 2〈x, y〉x e ϕx : Sp → Sp, ϕx(y) = x− 2〈x, y〉y

para y em Sp, e 〈 , 〉 denotando o produto interno usual em Rp+1.

Note que realmente as aplicações θx e ϕx têm, para todo x ∈ Sp, imagem ainda em Sp.

De fato: para todo y ∈ Sp, temos:

(i) ‖θx(y)‖2 = 〈θx(y), θx(y)〉

= 〈y − 2〈x, y〉x, y − 2〈x, y〉x〉

= 〈y, y〉 − 2〈x, y〉〈y, x〉 − 2〈x, y〉2 − 4〈x, y〉〈x, y〉〈x, x〉

= ‖y‖2 − 2〈x, y〉2 − 2〈x, y〉2 + 4〈x, y〉2‖x‖2

= 1− 4〈x, y〉2 + 4〈x, y〉2

= 1

(ii) ‖ϕx(y)‖ = 1, similarmente ao anterior.

Além disso, θx tem a seguinte importante propriedade, da qual não dispõe ϕx :


(iii) θx é reflexiva. Com efeito:

θx(θx(y)) = θx(y)− 2〈x, θx(y)〉x

= y − 2〈x, y〉x − 2〈x, y − 2〈x, y〉x〉x

= y − 2〈x, y〉x − 2〈x, y〉x − 2〈x,−2〈x, y〉x〉x

= y − 4〈x, y〉x + 4〈x, y〉‖x‖2x

= y

Lema 2.2.11. Para cada x ∈ Sp, as aplicações θx e ϕx tem graus −1 e 1 + (−1)p+1,

respectivamente.

Prova: A primeira afirmação segue diretamente do fato de ser θx uma reflexão, o que vê-se

por (iii). Para provar a segunda parte, antes de qualquer coisa, observe que, para quaisquer

x, x′ ∈ Sp, ϕx e ϕx′ são aplicações homotópicas, pois Sp é conexa por caminhos. Agora, como

o grau de uma aplicação é invariante por homotopia, por simplicidade, vamos calcular o grau

de ϕx para x = (0, . . . , 0, 1) ∈ Sp. Pois bem, neste caso, para y = (y1, . . . , yp+1) ∈ Sp, tem-se:

ϕx(y)= x− 2〈x, y〉y

= (0, . . . , 0, 1) − 2yp+1(y1, . . . , yp+1)

= (−2yp+1y1, . . . ,−2yp+1yp, 1− 2y2p+1).

Seja q = (0, . . . , 0,−1) ∈ Sp. Então

ϕx(y) = q ⇐⇒ (−2yp+1y1, . . . ,−2yp+1yp, 1− 2y2p+1) = (0, . . . , 0,−1).

Isto implica em ϕ−1x (q) = {(0, . . . , 0, 1), (0, . . . , 0,−1)}. Denotamos, agora, q+ = (0, . . . , 0, 1)

e q− = (0, . . . , 0,−1). Para calcularmos Dϕx(q+) e Dϕx(q−), as derivadas de ϕx aplicadas em

q+ e q− respectivamente, vamos primeiro especificar os espaços tangentes Tq+Sp e Tϕx(q+)S

p =

TqSp = Tq−S

p. Como sabido, o espaço tangente a Sp num ponto u ∈ Sp, TuSp, consiste

dos vetores normais a u no ponto u. Então, Tq+Sp é o espaço p-dimensional cuja base é

{∂/∂y1, ∂/∂y2, . . . , ∂/∂yp} . Aqui estamos denotando (y1, y2, . . . , yp+1) como coordenadas de

Rp+1. Vamos fixar a orientação por esta base ordenada. Então, a base orientada dos espaços

TqSp = Tq−S

p é

{∂/∂y1, ∂/∂y2, . . . ,−∂/∂yp} .

Agora vamos determinar a matriz de Dϕx(q+) em relação às bases acima. Usando a equação

ϕx(y) = (−2yp+1y1, . . . ,−2yp+1yp, 1− 2y2p+1), tem-se:

Dϕx(q+) (∂/∂y1) = (−2yp+1, 0, . . . , 0)|y=q+ = (−2, 0, . . . , 0) = −2 (∂/∂y1) ,

...

Dϕx(q+) (∂/∂yp−1) = (0, . . . , 0,−2yp+1, 0, 0)|y=q+ = (0, . . . , 0,−2, 0, 0) = −2 (∂/∂yp−1) ,

Dϕx(q+) (∂/∂yp) = (0, . . . , 0,−2yp, 0)|y=q+ = (0, . . . , 0,−2, 0) = −2 (∂/∂yp) = 2 (−∂/∂yp) .


Na forma matricial, podemos escrever Dϕx(q+) como sendo a matriz de ordem p

−2Ip−1 ⊕ 2I1 =

[−2Ip−1 0

0 2I1

].

Donde conclui-se que q+ é um ponto regular e deg(ϕx, q+) = (−1)p−1 = (−1)p+1. Com

argumentos similares mostra-se que a matriz de Dϕx(q−) é representada pela matriz 2Ip.

Assim, q− também é um ponto regular e deg(ϕx, q−) = 1. Portanto, q é um valor regular e

degϕx = 1 + (−1)p+1. Isto completa a prova do lema. �

Lema 2.2.12. Considere p um inteiro positivo ímpar. A matriz da induzida pelo difeomor-

fismo φ : M → M , definido por φ(x1, x2, . . . , xn) = (θx2(x1), x2, . . . , xn), é a matriz produto

UR, ou seja,

[φ∗] = UR =

[−1 2

0 1

]⊕ In−2

Prova: Escrevendo φij para indicar a composição Spkj−→M

φ−→M

pi−→ Sp, vemos que

φij(x) =

θ⋆(x) se i = j = 1

θx(⋆) se i = 1 e j = 2

x se i = j ≥ 2

±⋆ se i 6= j 6= 2

onde, pelo lema anterior, deg θ⋆(x) = −1. Logo, se escrevemos [φ∗] = (aij), já temos deter-

minado a11 = −1. Além disso, é claro que akk = 1 para k ≥ 2 e aij = 0 para i 6= j 6= 2. Falta

apenas determinar a12. Para tanto, note que

θx(⋆) = ⋆− 2〈x, ⋆〉x = ⋆− 2〈⋆, x〉x = ϕ⋆(x)

Assim, como p é ímpar, segue do lema anterior que a22 = degϕ⋆(x) = 2. E portanto,

[φ∗] = UR. �

Enunciaremos agora um resultado bastante evidente, mas que gostaríamos de deixar for-

malmente registrado para futuras alusões demais necessárias.

Lema 2.2.13. Toda matriz do grupo Sn é realizada por um difeomorfismo de M .

Prova: Dada uma matriz A em Sn considere a permutação σ que gera esta matriz através do

homomorfismo γ introduzido na primeira seção deste capítulo. Dado um ponto (x1, . . . , xn)

de M , podemos identificar Sn com o grupo de permutações do conjunto {x1, . . . , xn}. Por-

tanto, é fácil ver que a matriz A é realizada pelo difeomorfismo φσ : M → M definido por

φσ(x1, . . . , xn) = (σ(x1), . . . , σ(xn)). �


Proposição 2.2.14. Seja {αi}ni=1 a base canônica de Hp(M). Temos:

(a) Se p = 1, 3 ou 7, então toda matriz de GL(n; Z) é realizada por um difeomorfismo de M .

(b) Se p é ímpar, p 6= 1, 3, 7, então toda matriz de G′ é realizada por um difeomorfismo de M .

(c) Se p é par, então toda matriz de G′′ é realizada por um difeomorfismo de M .

Prova: O item (a) segue dos Lemas 2.1.11, 2.2.6, 2.2.9 e 2.2.13. O item (b) segue dos Lemas

2.1.11, 2.2.6 e 2.2.13. O item (c) segue dos Lemas 2.2.6, 2.2.13 e da definição de G′′.�

Lema 2.2.15. Sejam A uma matriz em GL(n; Z) e p um inteiro positivo ímpar, p 6= 1, 3, 7.

Se A é realizada por um difeomorfismo de M , então A ∈ G′.

Prova: Seja A = (aij) em GL(n; Z). Sendo assim, detA = ±1. Considere a composição

Sp × Spβ−→M

φ−→M

π−→ Sp

onde β é a inclusão no i-ésimo e no k-ésimo fatores, i 6= k, π é a j-ésima projeção e φ é um

difeomorfismo que realiza A. Considere os geradores canônicos w1, w2 ∈ πp(Sp×Sp) ≈ Z⊕Z,

w ∈ πp(Sp) ≈ Z, e o homomorfismo

(π ◦ φ ◦ β)♯ : πp(Sp × Sp)→ πp(S

p)

definido por

(π ◦ φ ◦ β)♯(w1) = aijw,

(π ◦ φ ◦ β)♯(w2) = ajkw.

Tomemos a restrição de π ◦φ ◦β a Sp∨Sp = Sp×{u}∪{u}×Sp ⊂ Sp×Sp, onde u ∈ Sp.

(π ◦ φ ◦ β|Sp∨Sp)♯ determina um elemento de π2p−1(Sp), a saber, o produto de Whitehead, o

qual é dado por

[[aijw, ajkw]] = aijajk[[w,w]].

Como p é ímpar, p 6= 1, 3 e 7, segue da Proposição 1.2.11 que [[w,w]] 6= 0 é um elemento

de ordem 2. Como π ◦ φ ◦ β|Sp∨Sp pode ser estendida a Sp × Sp, por [7. Proposição 2],

aijajk[[w,w]] = 0 ⇐⇒ aijajk ≡ 0 mod 2.

Portanto, o produto de dois elementos quaisquer de uma mesma coluna de A é sempre

um número par. Sendo assim, cada linha e coluna da matriz A tem exatamente uma entrada

ímpar. Isto implica que η(A) ∈ η(Sn), ou seja, A ∈ η−1(η(Sn)) = G′.�

Lema 2.2.16. Sejam A uma matriz em GL(n; Z) e p um inteiro positivo par. Se A é realizada

por um difeomorfismo de M , então A ∈ G′′.


Prova: Seja A = (aij) e {α∗i }ni=1 a base de Hp(M) ≈ Hom(Hp(M),Z), dual da base canônica

{αi}ni=1 de Hp(M). Por dualidade mostra-se que

α∗1 ` α∗

1 = α∗2 ` α∗

2 = · · · = α∗n ` α∗

n = 0

e {α∗i ` α∗

j : 1 ≤ i ≤ j ≤ n} é uma base para H2p(M). Note que a matriz da induzida de φ

na cohomologia Hp(M), a qual denotaremos por [φ∗], relativamente a base dual, é a matriz

transposta da matriz A, que aqui denotamos por At. Como p é par, α∗i ` α∗

j = α∗j ` α∗

i , para

quaisquer i, j = 1, . . . , n. Deste modo, para cada k, 1 ≤ k ≤ n, temos φ∗(α∗k) =

∑ni=1 akiα

∗i .

Ainda mais,

0 = φ∗(0) = φ∗(α∗k ` α∗

k) = φ∗(α∗k) ` φ∗(α

∗k) =

∑

1≤i,j≤n

2akiakj(α∗i ` α∗

j ).

Logo, akiakj = 0 quaisquer que sejam os inteiros i, j, k, positivos e menores que n. Disto e do

fato que detA = ±1, segue que cada linha e coluna de A tem exatamente uma entrada não

nula, sendo esta igual a ±1. Portanto A ∈ G′′.�

Proposição 2.2.17. Sejam {αi}ni=1 a base canônica de Hp(M) e φ : M → M um difeomor-

fismo. Temos as seguintes relações:

(a) Se p = 1, 3 ou 7, então [φ∗] ∈ GL(n; Z);

(b) Se p é ímpar, p 6= 1, 3 e 7, então [φ∗] ∈ G′;

(c) Se p é par, então [φ∗] ∈ G′′.

Prova: O item (a) é trivial, já que [φ∗] é realizada pelo difeomorfismo φ. O item (b) segue

do Lema 2.2.15, e o item (c) segue do Lema 2.2.16.�

Enunciaremos agora o resultado principal desta seção.

Teorema 2.2.18. Seja Dp o subgrupo de GL(n; Z) consistindo de todas as matrizes A de

GL(n; Z) tais que [φ∗] = A para algum difeomorfismo φ : M →M . Temos:

(a) Se p = 1, 3 ou 7, então Dp = GL(n; Z);

(b) Se p é ímpar, p 6= 1, 3 e 7, então Dp = G′;

(c) Se p é par, então Dp = G′′;

Prova: Segue diretamente das Proposições 2.2.14 e 2.2.17.�

X

Capítulo

3

Mergulho de produtos de três

esferas em codimensão 1

3.1 Sobre as considerações e as espectativas

Seja f : Sp × Sq × Sr → Sp+q+r+1 um mergulho suave com 1 ≤ p ≤ q ≤ r. Para p ≥ 2,

L.A. Lucas e O. Saeki [22] demonstraram que se p + q 6= r, ou p + q = r com r par, então o

fecho de uma das duas componentes conexas de Sp+q+r+1 − f(Sp × Sq × Sr) é difeomorfa a

Sp × Sq ×Dr+1 ou Sp ×Dq+1 × Sr ou Dp+1 × Sq × Sr. Além disso, a condição sobre p, q e

r é essencial, isto é, se ela não for satisfeita, então existe uma infinidade de mergulhos suaves

que não gozam de tal propriedade. Este último resultado é verdadeiramente surpreendente,

já que o mergulho de uma esfera ou do produto de duas esferas em codimensão 1 tem sempre

a propriedade anteriormente mencionada, com possíveis exceções em certas dimensões envol-

vendo a Conjectura de Poincaré (generalizada) onde “difeomorfo” é devidamente substituído

por “homeomorfo”. Por esta razão, dizemos que o mergulho f é exótico se o fecho de nenhuma

das duas componentes conexas de Sp+q+r+1−f(Sp×Sq×Sr) é difeomorfa ao produto de duas

esferas e um disco. Caso contrário, diremos que o mergulho é não-exótico. O propósito deste

capítulo é estudar o caso p = 1. Para tanto vamos nos basear principalmente na referência

[23] de L. A. Lucas e O. Saeki.

53

54 Capítulo 3 — Mergulho de produtos de três esferas em codimensão 1

3.2 Sobre a existência de mergulhos exóticos

Iniciamos o estudo dos mergulhos suaves f : S1×Sq×Sr → Sq+r+2 buscando demonstrar

a existência de uma infinidades de tais mergulhos cujo fecho de nenhuma das componentes

conexas de seu complementar seja homotopicamente equivalente a um produto de esferas. O

resultado principal desta seção é o seguinte:

Teorema 3.2.1. Se 1 ≤ q ≤ r, então existem infinitos mergulhos mutuamente distintos

fn : S1×Sq ×Sr → Sq+r+2, n = 1, 2, . . ., tais que o fecho de nenhuma das duas componentes

conexas de Sq+r+2−fn(S1×Sq×Sr) é homotopicamente equivalente a um produto de esferas.

A prova deste teorema será efetivamente realizada somente no final desta seção. Contudo,

todos os resultados que demonstraremos a partir de agora nos direcionarão à sua conclusão.

A construção c©

Dados inteiros q, r ≥ 1, vamos introduzir um método para se construir mergulhos suaves

fn : S1 × Sq × Sr → Sq+r+2 tais que o fecho de nenhuma das duas componentes conexas de

Sq+r+2 − fn(S1 × Sq × Sr) é homotopicamente equivalente a um produto de esferas. Não

assumiremos q ≤ r por enquanto.

Iniciamos com um mergulho suave K de uma esfera r-dimensional em Sr+2; em outras

palavras, K é um nó r-dimensional em codimensão 2. Seja NK ∼= D2 × Sr uma vizinhança

tubular de K, e seja EK = Sr+2−◦NK . Seja D0 um (r + 2)-disco em

◦NK , e seja ainda

D1 = Sr+2−◦D0. Note que D1 é difeomorfo ao (r + 2)-disco Dr+2. Considere o mergulho

suave

g : S1 × Sr∼=−→ ∂NK

i−→ D1

∼= Dr+2

onde i é a aplicação inclusão. Então a composição

f : S1×Sq ×Srδ−→ S1×Sr×Sq

g×1Sq

−→ Dr+2×Sq → (Dr+2×Sq)∪ (Sr+1×Dq+1) ∼= Sq+r+2

é um mergulho suave em codimensão 1, onde δ é o difeomorfismo que simplesmente permuta

os dois fatores Sq e Sr, e → é a inclusão natural.

Note que Sq+r+2−f(S1×Sq×Sr) sempre consiste de duas componentes conexas. Vamos

denotar os seus fechos em Sq+r+2 por C1 e C2.

A Figura 3.1 a seguir garante uma simples, porém eficiente ilustração desta construção, e

nos facilita em muito a percepção de que podemos assumir

C1∼= EK × S

q (3.1)

C2∼= [(NK−

◦D0)× S

q]⋃

∂D0×Sq

[Sr+1 ×Dq+1] (3.2)

3.2 Sobre a existência de mergulhos exóticos 55

K

2rS

+

qS

0D

NK EK2r

S+= NK

1D2r

S+= 0D

Figura 3.1: Esquema gráfico da construção c©

Vamos determinar as homologias de C1 e de C2.

Utilizando o fato de termos EK = Sr+2−◦NK e NK ∼= D2 × Sr, e aplicando a Dualidade

de Alexander, obtemos a seguinte seqüência de isomorfismos:

Hi−1(EK) ≈ Hi−1(Sr+2−

◦NK) ≈ Hr+2−i(NK) ≈ Hr+2−i(D2 × Sr) ≈ Hr+2−i(Sr).

Agora, como os grupos de homologias H∗(Sr) são livres, pela fórmula de Künneth obtemos

Hi−1(EK) ≈ Hr+2−i(Sr).

De posse deste último isomorfismo, as homologias de EK ficam determinadas através da

seguinte tabela

i i− 1 r + 2− i Hr+2−i(Sr) Hi−1(EK)

0 −1 r + 2 0 0

1 0 r + 1 0 Z

2 1 r Z Z

......

... 0 0

r + 2 r − 1 0 Z 0...

...... 0 0

Ficamos assim com

H∗(EK) ≈ H∗(S1).

Agora, uma vez que C1∼= EK × S

q, a Fórmula de Künneth para homologia aplicada a

este produto nos dá:

Hn(C1) ≈⊕

i+j=n

(Hi(EK)⊗Hj(Sq)) ⊕

⊕

s+t=n−1

Tor(Hs(EK),Ht(Sq))

≈⊕

i+j=n

(Hi(S1)⊗Hj(S

q)) ⊕⊕

s+t=n−1

Tor(Hs(S1),Ht(S

q))

≈ Hn(S1 × Sq),


onde o último isomorfismo também se deve a Fórmula de Künneth. Obtemos, portanto,

Hn(C1) ≈ Hn(S1 × Sq) ≈

Z se n = 0

Z⊕ Z se n = 1, q = 1

Z se n = 2, q = 1

Z se n = 1, q, q + 1, q 6= 1

0 c.c.

(3.3)

Como os grupos de homologia H∗(C1) são todos livres, assim são os grupos de cohomologia

H∗(C1), e temos H∗(C1) ≈ H∗(C1). Este fato e o conhecimento que já temos sobre homologias

de C1 serão agora utilizadas para determinarmos as homologias de C2, as quais se relacionam

com as de C1 através da Dualidade de Alexander da seguinte maneira:

Hn(C2) ≈ Hq+r+1−n(Sq+r+1 − C2) ≈ H

q+r+1−n(C1).

Vamos, desta vez, utilizar uma tabela para facilitar o cálculo das homologias. Construamos

uma tabela onde possamos fazer os cálculos separadamente para os casos em q = 1 e q 6= 1.

q = 1 q 6= 1

n q + r + 1− i Hq+r+1−n(C1) Hn(C2) Hq+r+1−n(C1) Hn(C2)

0 q + r + 1 0 Z 0 Z

1 q + r 0 0 0 0...

... 0 0 0 0

r q + 1 Z Z Z Z

r + 1 q Z⊕ Z Z⊕ Z Z Z

...... 0 0

r + q 1 Z⊕ Z Z⊕ Z Z Z

...... 0 0 0 0

‖ ‖

Temos assim expressos os grupos de homologia da componente C2, os quais apresentamos,

noutros termos, abaixo:

Hn(C2) ≈

Z se n = 0, r

Z⊕ Z se n = r + 1, q = 1

Z se n = r + 1, q 6= 1

Z se n = r + q, q 6= 1

0 c.c.

(3.4)

Construímos, portanto, um mergulho suave f : S1 × Sq × Sr → Sq+r+2 de modo que

o fecho C1 de uma das componentes conexas de Sq+r+2 − f(S1 × Sq × Sr) tem os mesmos

grupos de homologia do produto S1 × Sq, e o fecho C2 da outra componente tem os grupos

de homologia indicados em 3.4.

3.2 Sobre a existência de mergulhos exóticos 57

Lema 3.2.2. Temos:

(a) Se π1(Sr+2 − K) é não-abeliano, então C1 não é homotopicamente equivalente a um

produto de esferas.

(b) Se q ≤ r, então C2 não é homotopicamente equivalente a um produto de esferas.

Prova: (a) Se C1 fosse homotopicamente equivalente a um produto de esferas, então teríamos

π1(C1) abeliano. Agora, C1∼= EK × S

q e π1(Sr+2 −K) ≈ π1(EK). Logo

π1(C1) ≈ π1(EK × Sr) ≈ π1(S

r+2 −K)× π1(Sr).

Donde teríamos π1(Sr+2 −K) abeliano.

(b) Basta notar através de 3.4 que sendo q ≤ r, os grupos de homologia de C2 jamais coincidem

com os de qualquer produto de esferas. �

Vamos agora construir uma infinidade de mergulhos mutuamente distintos utilizando a

construção acima. Para este propósito, considere o nó toroidal kn de tipo ≺ n, 2n + 1 ≻,

com n ≥ 1, em S3, e seja Kn o nó r-dimensional em Sr+2 construído a partir de kn através

de iterações do processo de giro descrito na Seção 1.4 do primeiro capítulo deste texto. Pelas

Proposições 1.4.1 e 1.4.3 daquela mesma seção, segue que π1(S3−kn) ≈ π1(S

r+2−Kn). Além

disso, estes grupos são não-abelianos.

Lema 3.2.3. Temos π1(Sr+2 −Kn)× Z ≈ π1(S

r+2 −Km)× Z se, e somente se, n = m.

Prova: Sabemos que Gn = π1(S3 − kn) tem apresentação Gn = {x, y : x2 = y2n+1}, e que

o centro deste grupo Z(Gn) = 〈x2〉 = 〈y2n+1〉. Do mesmo modo, Gm = π1(S3 − km) tem

apresentação Gm = {x, y : x2 = y2m+1} e Z(Gm) = 〈x2〉 = 〈y2m+1〉.

Pois bem, é claro que Z(Gn × Z) ≈ Z(Gn)× Z. Agora, considere a composição

Gn × Zp1−→ Gn

p2−→

GnZ(Gn)

onde p1 e p2 são as projeções óbvias. Pelo Teorema do Isomorfismo, segue que

Gn × Z

Z(Gn)× Z≈

GnZ(Gn)

≈ Z2 ∗ Z2n+1

sendo o último isomorfismo devido ao Lema 1.4.16. O mesmo processo pode ser realizado com

grupo Gm para obtermos

Gm × Z

Z(Gm)× Z≈

GmZ(Gm)

≈ Z2 ∗ Z2m+1.

Agora, como Z(Gn) = 〈x2〉 = Z(Gm), temos que, se Gn ≈ Gm, então,

Gn × Z

Z(Gn)× Z≈

Gm × Z

Z(Gm)× Z

o que implica em Z2 ∗ Z2n+1 ≈ Z2 ∗ Z2m+1. Portanto, n = m. A recíproca é óbvia.�


Com os resultados até aqui demonstrados já podemos fazer a prova do Teorema 3.2.1,

tendo sempre em vista os resultados do primeiro capítulo deste trabalho. Façamos a prova:

Prova do Teorema 3.2.1: Para 1 ≤ q ≤ r, considere fn : S1 × Sq × Sr → Sq+r+2,

n ≥ 1, o mergulho suave em codimensão 1 construído a partir do r-nó suave Kn, utilizando

as construções anteriores. Pelo Lema 3.2.2, o fecho de nenhuma das componentes conexas de

Sq+r+2 − fn(S1 × Sq × Sr) é homotopicamente equivalente a um produto de esferas. Além

disso, se Sq+r+2−fn(S1×Sq×Sr) é homotopicamente equivalente a Sq+r+2−fm(S1×Sq×Sr),

então, claro, devemos ter π1(Sr+2−Kn) ≈ π1(S

r+2−Km) para q > 1 ou π1(Sr+2−Kn)×Z ≈

π1(Sr+2−Km)×Z para q = 1. Então, em ambos os casos, pelo Lema anterior, segue n = m.

Portanto, os mergulhos fn são mutuamente distintos, ou mais precisamente, não existem

difeomorfismos de Sq+r+2 aplicando a imagem de fn à imagem de fm sempre que n 6= m. Isto

completa a prova do teorema. �

Para finalizarmos esta seção façamos algumas breves, porém importantes, observações

sobre o que até aqui fora construído neste capítulo.

Observação 3.2.4. Os mergulhos construídos acima tem a propriedade que o fecho de uma

das duas componentes conexas do complemento referente a C2 é sempre difeomorfo a mesma

variedade, a saber, (((D2 × Sr)−◦

Dr+2)× Sq) ∪ (Sr+1 ×Dq+1).

Observação 3.2.5. Quando o nó K é trivial, o mergulho construído é também trivial (ver

[22, §8]). Em particular, a variedade anterior jamais será o fecho de uma das componentes

conexas do complemento do mergulho trivial de S1 × Sq × Sr em Sq+r+2.

Observação 3.2.6. Semelhantemente se q ≥ r, podemos utilizar a mesma construção como

na prova do Teorema 3.2.1 para obter o resultado desejado, embora a conclusão para o caso q =

r + 1 requeira alguns argumentos mais sofisticados. Faremos detalhes no momento oportuno.

3.3 Sobre a existência de mergulhos não-exóticos

Apresentamos nesta seção um resultado que dá condições essenciais para que o fecho de

uma das componentes do complementar de um mergulho suave f : (S1 × Sq × Sr)→ Sq+r+2

seja difeomorfo a um produto de duas esferas com um disco. A essencialidade das hipóteses de

tal proposição será demonstrada mais tarde, nesta mesma seção, através de outras proposições.

Proposição 3.3.1. Seja f : S1 × Sq × Sr → Sq+r+2, 2 ≤ q ≤ r, e C1 o fecho de uma das

componentes conexas de Sq+r+2 − f(S1 × Sq × Sr).

(a) Suponha r 6= q+1. Se H∗(C1; Z) ≈ H∗(Sq×Sr; Z), então C1 é difeomorfo a D2×Sq×Sr.

(b) Suponha r = q + 1. Se C1 tem o mesmo anel de cohomologia de Sq × Sr, então C1 é

difeomorfo a D2 × Sq × Sr.

3.3 Sobre a existência de mergulhos não-exóticos 59

Para a prova desta proposição utilizaremos vários resultados que passamos a enunciar e

demonstrar agora.

Utilizaremos com freqüência o espaço

Y = f({⋆} × Sq × Sr) ⊂ ∂C1.

Prossigamos com o primeiro destes importantes resultados.

Lema 3.3.2. Se r 6= q + 1, então Hn(C1, Y ) = 0 para n = q, r.

Prova: Considere a seqüência exata

· · · → Hn(∂C1, Y )→ Hn(C1, Y )→ Hn(C1, ∂C1)→ Hn−1(∂C1, Y )→ · · · (3.5)

da tríada (C1, ∂C1, Y ). Pela Dualidade e Poincaré-Lefschetz obtemos

Hn(C1, ∂C1) ≈ Hq+r+2−n(C1) ≈ Hq+r+2−n(C1), (3.6)

onde o último isomorfismo se deve ao Teorema dos Coeficientes Universais e ao fato das

homologias de C1 serem livres de torção em qualquer dimensão. Além disso, como

(∂C1, Y ) ∼= (S1 × Sq × Sr, {⋆} × Sq × Sr) ∼= (S1, {⋆}) × (Sq × Sr),

a Fórmula de Künneth mostra que

Hn(∂C1, Y ) ≈⊕

i+j=n

(Hi(S

1, {∗}) ⊗Hj(Sq × Sr)

)⊕

⊕

k+l=n−1

Tor(Hk(S1, {∗}),Hl(S

q × Sr))

≈⊕

i+j=n

(Hi(S

1, {∗}) ⊗Hj(Sq × Sr)

),

uma vez que os grupos de homologias envolvidos na fórmula são todos livres.

Podemos, agora, expressar as homologias relativas do par (∂C1, Y ), uma vez conhecidas as

homologias de Sq×Sr e as homologias relativas do par (S1, {⋆}), as quais são de determinação

bastante simples. É o que fazemos através da tabela impressa na página seguinte, onde

particularizamos os casos em que se tem q = r ou q 6= r.

Dos resultados expressos na tabela concluímos que

Hn(∂C1, Y ) ≈

{Z se n = 1, q + 1, r + 1, q + r + 1

0 c.c..

O conhecimento destes grupos de homologia relativa nos possibilitará a conclusão do lema.


r = q r 6= q

n Hn(S1, {⋆}) Hn(S

q × Sr) Hn(∂C1, Y ) Hn(Sq × Sr) Hn(∂C1, Y )

0 0 Z 0 Z 0

1 Z 0 Z 0 Z

... 0 0 0 0 0

q 0 Z⊕ Z 0 Z 0

q + 1 0 Z⊕ Z 0 Z

... 0 0 0

r 0 Z⊕ Z Z 0

r + 1 0 0 Z⊕ Z 0 Z

... 0 0 0 0 0

q + r 0 Z 0 Z 0

q + r + 1 0 0 Z 0 Z

... 0 0 0 0 0

Provemos que Hq(C1, Y ) = 0.

Considere, por ora, q 6= 2. Utilizando as já calculadas homologias do par (∂C1, Y ) e o

isomorfismo 3.6, obtemos:

Hq(∂C1, Y ) = 0 = Hr+2(C1) ≈ Hq+r+2−q(C1) ≈ Hq(C1, ∂C1).

E pela exatidão da seqüência 3.5 segue que Hq(C1, Y ) = 0.

Para q = 2, considere a seqüência exata

· · · → H1(C1)→ H1(C1, Y )→ H0(Y )→ H0(C1)→ H0(C1, Y )→ · · ·

do par (C1, Y ). Calculadas e substituídas nesta seqüência os grupos de homologia nela ex-

pressos obtemos a seqüência exata

0→ H1(C1, Y )→ Z≈−→ Z→ 0

donde vemos que H1(C1, Y ) = 0. Pelo isomorfismo 3.6 temos H2(C1, ∂C1) ≈ Hq+r(C1) ≈ Z.

Disto e uma vez que já temos calculado H1(∂C1, Y ) ≈ Z, a seqüência 3.5 gera a seqüência

exata

0→ H2(C1, Y )→ Z≈−→ Z→ 0

e fica provado que H2(C1, Y ) = 0. Isto conclui a prova de que Hq(C1, Y ) = 0.

Provemos agora que Hr(C1, Y ) = 0.

Ora, se r = 2, então q = 2 e já temos provado deveras que H2(C1, Y ) = 0. Suponha

2 6= r 6= q + 2. Visto que r 6= q + 1, o isomorfismo 3.6 nos dá

Hr(∂C1, Y ) = 0 = Hq+2(C1) ≈ Hq+r+2−r(C1) ≈ Hr(C1, ∂C1).


Assim, a exatidão da seqüência 3.5 implica em Hr(C1, Y ) = 0. Para 2 6= r = q + 2 note

inicialmente que o isomorfismo 3.6 nos dá

Hr(C1, Y ) ≈ Hq+2(C1, Y ) ≈ Hq+r+2−(q+2)(C1) ≈ Hr(C1) ≈ Z.

Considere a seqüência exata

· · · → Hq+1(C1)→ Hq+1(C1, Y )→ Hq(Y )→ Hq(C1)→ Hq(C1)→ · · ·

do par (C1, Y ). Substituindo as homologias já conhecidas obtemos a seqüência exata

0→ Hq+1(C1, Y )→ Z≈−→ Z→ 0.

E assim mostramos que Hq+1(C1, Y ) = 0. Agora, a seqüência 3.5 gera

0→ Hq+2(C1, Y )→ Z≈−→ Z→ 0.

Portanto, Hq+2(C1, Y ) = 0, ou seja, Hr(C1, Y ) = 0. Isto conclui a prova do Lema.�

Lema 3.3.3. Suponha r 6= q + 1 e H∗(C1) ≈ H∗(Sq × Sr). Se a inclusão j : Y → C1 induz

isomorfismo j∗ na cohomologia de dimensão q + r, então induz isomorfismo j∗ na homologia

desta mesma dimensão. A recíproca é verdadeira.

Prova: Sabemos que Hq+r(C1) ≈ Hom(Hq+r(C1),Z) ≈ Z. Lembremo-nos que, dadas f e g

em Hom(Hq+r(C1),Z), a soma f + g ∈ Hom(Hq+r(C1),Z) é definida fazendo-se (f + g)(x) =

f(x) + g(x) para todo x ∈ C1.

Suponha j∗ : Hq+r(C1) → Hq+r(Y ) seja um isomorfismo, onde j : Y → C1 é a inclusão.

Seja ξ ∈ Hq+r(C1) ≈ Z um gerador deste grupo. Então ξ = [ϕ]∗, para algum homomor-

fismo ϕ : Hq+r(C1) → Z. Mas sendo ξ gerador de Hq+r(C1) ≈ Z ≈ Hom(Hq+r(C1),Z),

necessariamente ϕ é um gerador de Hom(Hq+r(C1),Z), ou seja, ϕ = ±1Z, onde 1Z denota o

homomorfismo identidade em Z, já que Hq+r(C1) ≈ Z.

Note que sendo j∗ um homomorfismo entre Hq+r(Y ) ≈ Z e Hq+r(C1) ≈ Z, temos que

j∗ ∈ Hom(Hq+r(C1),Z). Considere, então, a composição

ϕ ◦ j∗ : Hq+r(Y )j∗−→ Hq+r(C1)

ϕ−→ Z.

Como j∗ é isomorfismo precisamos ter ±ξ = j∗(ξ) ∈ Hq+r(Y ) ≈ Hom(Hq+r(Y ),Z). Vê-se,

então, que ±ξ = j∗(ξ) = [ϕ ◦ j∗]∗ = [j∗]

∗. Logo j∗ = ±1Z e, portanto, um isomorfismo.

A recíproca é totalmente análoga. �

Lema 3.3.4. Se H∗(C1) ≈ H∗(Sq × Sr), então H1(C2) ≈ Z e Hq+r(C2) = 0

Prova: Sabemos que C2 é uma variedade compacta com bordo ∂C2∼= f(S1×Sq×Sr) ∼= ∂C1,

em Sq+r+2. Pelo Teorema 3.42 de [13], podemos construir uma variedade C2 homeomorfa a

C2 e cujo interior contém C2, e termos H∗(◦C2) ≈ H∗(C2) ≈ H∗(C2).


Mais ainda, C2−◦C2 é homotopicamente equivalente a ∂C2

∼= ∂C1. Por simplicidade

denote X = Sq+r+2. Temos:

H2(X,C2) ≈ H2(X, C2) ≈ H2(X−◦C2, C2−

◦C2) ≈ H2(C1, ∂C1) ≈ Hq+r(C1) ≈ Z

onde o segundo isomorfismo é obtido por excisão e o quarto pela Dualidade de Poincaré-

Lefeschetz. De modo análogo obtemos Hq+r+1(X,C2) ≈ H1(C1) = 0. Considere a seqüência

exata· · · → Hn(X)→ Hn(X,C2)→ Hn−1(C2)→ Hn−1(X)→ · · ·

do par (X,C2). Substituindo as homologias conhecidas obtemos a seqüência exata

· · · → 0→ 0→ Hq+r(C2)→ 0→ · · · → 0→ Z→ H1(C2)→ 0→ · · ·

Portanto, H1(C2) ≈ Z e Hq+r(C2) = 0, como queríamos demonstrar.�

Lema 3.3.5. A inclusão j : ∂C2 → C2 induz isomorfismo j∗ : H1(∂C2)→ H1(C2).

Prova: Começamos esta prova relembrando que ∂C2∼= f(S1 × Sq × Sr) com f suave. Logo,

H1(∂C2) ≈ H1(S1 × Sq × Sr) ≈ Z ≈ H1(C2), sendo o último isomorfismo garantido no lema

anterior. Considere a seqüência exata

· · · → Hq+r+1(C2)→ Hq+r+1(C2, ∂C2)→ Hq+r(∂C2)→ Hq+r(C2)→ · · ·

do par (C2, ∂C2). Como Hq+r(C2) = 0, o que também decorre do lema anterior, existe um

(q + r + 1)-ciclo (Γ, ∂Γ) em (C2, ∂C2) cujo bordo é homólogo a Σqr = f({⋆} × Sq × Sr)

em ∂C2. Então, o número de intersecção entre (Γ, ∂Γ) e o ciclo obtido “empurrando-se”

Σ1 = f(S1 × {⋆} × {⋆}) para o interior de C2 é obviamente igual ao número de intersecção

entre ∂Γ e Σ1 em ∂C2, a menos de sinal, o qual é igual a ±1. Logo, j∗[Σ1] ∈ H1(C2) é uma

classe de homologia não nula e primitiva. Portanto, j∗[Σ1] é gerador de H1(C2). Mas como

Σ1 é gerador de H1(∂C2) e H1(∂C2) ≈ Z ≈ H1(C2), o resultado segue. �

Observação 3.3.6. Utilizamos na prova acima a seguinte terminologia: um elemento g de

um grupo abeliano G é primitivo se g = nh com n ∈ Z e h ∈ G implicar em n = ±1.

Lema 3.3.7. C1 é simplesmente conexo.

Prova: A efeito desta demonstração, denote X = f(S1 × Sq × Sr). Considere o diagrama

comutativo abaixo, onde i1, i2, j1, j2 e i são as inclusões óbvias.

π1(X)i1♯

xxqqqqqqqqqq

i♯

��

i2♯

&&MMMMMMMMMM

π1(C1)

j1♯ &&MMMMMMMMMMπ1(C2)

j2♯xxqqqqqqqqqq

π1(Sq+r+2)


Pelo Lema 3.3.5, temos que i2∗ : H1(X) → H1(C2) é um isomorfismo. Agora, pelo

Teorema de Hurewicz, é comutativo o seguinte diagrama, onde ϕ é o homomorfismo, neste

caso bijetor, de Hurewicz.

π1(X)i2♯ //

ϕ

��

π1(C2)

ϕ

��H1(X)

i2∗// H1(C2)

Logo, i2♯ : π1(X) → π1(C2) é injetiva. Suponha que também i1♯ seja injetiva. Então

vemos que π1(Sq+r+2) é o produto livre amalgamado de π1(C1) e π1(C2) com i1♯(π1(X)) e

i2♯(π1(X)), identificado pelo Teorema de Van Kampen. Como i1♯ e i2♯ são injetivas, j1♯ e j2♯devem também ser injetivas (ver, por exemplo, [21, Lema 4.1]). Mas isto é uma contradição,

pois π1(X) ≈ Z e π1(Sq+r+2) = 1. Portanto, i1♯ não pode ser injetiva.

Seja t um gerador de π1(X) representado por f(S1×{⋆}× {⋆}). Como i1♯ é não injetiva,

i1♯(ts′) = 1 para algum inteiro positivo s′. Seja s o menor dos inteiros positivos satisfazendo

tal propriedade. Vamos provar que s = 1.

Considere o seguinte diagrama comutativo, onde T é o subgrupo (normal) de π1(X) gerado

por ts, N é o subgrupo normal gerado por i2♯(ts) e α, β, α, β e ω são as aplicações óbvias

induzidas por i1, i2, j1, j2 e i, respectivamente.

π1(X)/T

α

xxqqqqqqqqqq

ω

��

β

''OOOOOOOOOOO

π1(C1)

α &&MMMMMMMMMMπ1(C2)/N

βwwppppppppppp

π1(Sq+r+2)

Note que, pela definição de s, α é injetiva. Agora, suponha que β não seja injetiva. Então,

existe um inteiro a com 0 < a < r tal que (i2)∗(ta) ∈ N . Assim, pela definição de N , temos

i2♯(ta) = a1(i2♯(t

s))±1a−11 · · · am(i2♯(t

s))±1a−1m

para certos a1, . . . , am ∈ π1(C2). Então, no grupo abelianisado H de π1(C2), temos

i2♯(ta) = i2♯(t

r)b

para algum inteiro b. Mas como bem sabido, H é isomorfo a H1(C2) ≈ Z. Além disso,

sabemos da prova do Lema 3.3.5 que H1(C2) é gerado por i2♯(t). Então, a última equação

implica em a− sb = 0, já que i2♯(t)a−sb = 1 em H. Isto contradiz o assumido 0 < a < s. Logo

β precisa ser injetiva.

Então, pelo Teorema de Van Kampen, segue que ω é também injetiva. Assim, r deve ser

igual a ±1, pois a ordem de π1(X)/T é igual a r e π1(Sq+r+2) = 1. Novamente pelo Teorema


de Van Kampen, vemos que π1(Sq+r+2) é isomorfo ao produto livre de π1(C1) e π1(C2)/N .

Isto implica que π1(C1) é trivial e completa a prova deste lema. �

Dispomos já de resultados suficientes para que possamos provar a primeira parte da

Proposição 3.3.1. Façamos a prova.

Prova da Proposição 3.3.1 (a): Seja f : S1× Sq ×Sr → Sq+r+2, 2 ≤ q ≤ r, um mergulho

suave, e suponha que o fecho C1 de uma das componentes conexas de Sq+r+2−f(S1×Sq×Sr)

seja tal que H∗(C1) ≈ H∗(Sq × Sr). Vamos provar que se r 6= q + 1 então C1 é difeomorfo a

D2 × Sq × Sr. Considere a seqüência exata

· · · −→ Hn(Y )→ Hn(C1)→ Hn(C1, Y )→ Hn−1(Y )→ · · ·

do par (C1, Y ). Pelo Lema 3.3.2, temos que Hn(C1, Y ) = 0, para n = q, r. Assim, a seqüência

acima torna-se

· · · → Hq(Y )jq−→ Hq(C1)→ 0→ · · · → Hr(Y )

jr−→ Hr(C1)→ 0→ · · ·

onde, por hipótese, Hq(Y ) ≈ Hq(C1) e Hr(Y ) ≈ Hr(C1). Da exatidão desta seqüência segue

que a inclusão j : Y → C1 induz isomorfismo nos grupos de homologia de dimensões q e r.

Além disso, uma vez que os grupos de homologias aqui apresentados são todos livres, eles

coincidem com os respectivos grupos de cohomologia, e com argumentos puramente análo-

gos aos utilizados no Lema 3.3.3 prova-se que j induz isomorfismo também nos grupos de

cohomologia de dimensões q e r.

Considere o seguinte diagrama comutativo , onde ` indica o produto cup.

Hq(C1)⊗Hr(C1)

j∗⊗ j∗

��

⌣ // Hq+r(C1)

j∗

��Hq(Y )⊗Hr(Y )

⌣ // Hq+r(Y )

Como a linha de baixo é um epimorfismo, também j∗ : Hq+r(C1) → Hq+r(Y ) é um

epimorfismo. Logo, como Hq+r(Y ) ≈ Hq+r(C1), segue que j∗ é um isomorfismo. Pelo Lema

3.3.3, também j∗ : Hq+r(Y )→ Hq+r(C1) é isomorfismo.

Portanto, temos provado, uma vez que Hn(C1) ≈ Hn(Y ) = 0 para todo n 6= q, r, q+r, que

a inclusão j : Y → C1 induz isomorfismo dos grupos de homologia em todas as dimensões.

Por outro lado, pelo Lema 3.3.7, temos que C1 é simplesmente conexo. Logo, C1 pode ser

entendido como um h-cobordismo com bordo entre f(J1×Sq×Sr) e f(J2×S

q×Sr), onde J1 e

J2 são mergulhos disjuntos de intervalos fechados em S1. Agora, como dimC1 = q+r+2 ≥ 6,

pelo Teorema do h-cobordismo, concluímos que C1 é difeomorfo a D2 × Sq × Sr. Isto prova

a primeira parte da Proposição 3.3.1. �

Vamos agora prepararmo-nos para demonstrar a segunda parte da Proposição 3.3.1. Come-

çamos introduzindo novos resultados técnicos.


Lema 3.3.8. Suponha que C1 tenha o mesmo anel de cohomologia de Sq×Sr, com r = q+1.

Então a inclusão i : ∂C1 → C1 induz isomorfismo i∗ : Hn(∂C1) −→ Hn(C1), para n = q, q+r.

Prova: Considere a composição

ϕ : {⋆} × Sq × Sq+1 j−→ S1 × Sq × Sq+1 ∼= ∂C1

i−→ C1

onde i e j são as aplicações inclusão. Como i∗[S1 × {⋆} × Sq+1] = 0 em Hq+2(C1) = 0,

existe uma (q + 3)-cadeia [Γ, ∂Γ] em (C1, ∂C1), tal que ∂Γ é homólogo a S1 × {⋆} × Sq+1 em

∂C1. Agora, o número de intersecção entre [Γ, ∂Γ] e i∗[S1 × {⋆} × Sq+1] em C1 é igual ao

número de intersecção entre [S1 × {⋆} × Sq+1] e [{⋆} × Sq × {⋆}] em ∂C1. Sendo este último

número igual a ±1, segue que ϕ∗ : Hq({⋆} × Sq × Sq+1) → Hq(C1) é isomorfismo, já que

Hq({⋆} × Sq × Sq+1) ≈ Z é gerado por [{⋆} × Sq × {⋆}], e ϕ∗[{⋆} × S

q × {⋆}] deve ser uma

classe de homologia primitiva em Hq(C1) ≈ Z. Mas ϕ = i ◦ j; logo ϕ∗ é a composição

ϕ∗ : Hq({⋆} × Sq × Sq+1)

j∗−→ Hq(∂C1)

i∗−→ Hq(C1).

Então i∗ é um epimorfismo e, portanto, isomorfismo, já que Hq(∂C1) ≈ Hq(C1) ≈ Z.

Por outro lado, como i∗[S1 × {∗} × {∗}] = 0 em H1(C1) = 0, existe uma 2-cadeia [Υ, ∂Υ]

em (C1, ∂C1), tal que ∂Υ é homólogo a [S1×{∗}×{∗}] em ∂C1. Como antes, é fácil perceber

que o número de intersecção entre [Υ, ∂Υ] e i∗[{⋆}×Sq×Sq+1] em C1 deve ser igual, a menos

de sinal, ao número de intersecção entre [S1 × {⋆} × {⋆}] e [{⋆} × Sq × Sq+1] em ∂C1, que

por sua vez é igual a ±1. Isto implica que ϕ∗ : H2q+1(∂C1) → H2q+1(C1) é um isomorfismo.

Agora, com argumentos totalmente similares aos já utilizados nesta mesma prova, concluímos

que i∗ : H2q+1(∂C1)→ H2q+1(C1) é também um isomorfismo. �

Lema 3.3.9. Se C1 tem o mesmo anel de cohomologia de Sq × Sr, com r = q + 1, então

Hr(C1) é gerado por i∗[{⋆} × {⋆} × Sr], onde i : ∂C1 → C1 é a aplicação inclusão.

Prova: Vimos no Lema 3.3.8 que i∗ : Hn(∂C1)→ Hn(C1) é um isomorfismo para n = q, q+r.

Denote:

α∗ = [S1 × Sq × {⋆}]∗, β∗ = [{⋆} × {⋆} × Sr]∗ ∈ Hr(∂C1) ≈ Z⊕ Z,

γ∗ = [{⋆} × Sq × {⋆}]∗ ∈ Hq(∂C1) ≈ Z,

δ∗ = [{⋆} × Sq × Sr]∗ ∈ Hq+r(∂C1) ≈ Z,

e seja ξq ∈ Hq(C1) ≈ Z e ξr ∈ Hr(C1) ≈ Z, ambos geradores, onde [ · ]∗ indica a base dual.

Note que γ∗ ` β∗ = ±δ∗ e γ∗ ` α∗ = 0.

Considere o diagrama comutativo abaixo, onde ` indica o produto cup.

Hq(C1)⊗Hr(C1)

i∗⊗ i∗

��

⌣ // Hq+r(C1)

i∗

��Hq(∂C1)⊗H

r(∂C1)⌣ // Hq+r(∂C1)

Temos:


(i) A classe de cohomologia ξq ` ξr gera Hq+r(C1), já que C1 tem o mesmo anel de coho-

mologia de Sq × Sr.

(ii) i∗(ξq) = ±[{⋆} × Sq × Sr] = ±δ∗, pois i∗ : Hq(C1)→ Hq(∂C1) é um isomorfismo (o que

se prova facilmente tendo em vista do lema anterior e utilizando argumentos similares

aos adotados na prova do Lema 3.3.3).

(iii) A classe de cohomologia i∗(ξq ` ξr) gera Hq+r(∂C1), uma vez que a segunda linha do

diagrama é um isomorfismo, por hipótese.

(iv) Podemos por i∗(ξr) = aα∗ + bβ∗ para certos inteiros a e b. Assim, temos:

i∗(ξq ` ξr) = i∗(ξq) ` i∗(ξr)= ±δ∗

` (aα∗ + bβ∗)

= ±a(γ∗ ` α∗)± b(γ∗ ` β∗)

= ±b(γ∗ ` β∗)

= ±bδ∗

O que implica, por (iii), em b = ±1.

(v) Por (iv),

⋖ ξr, i∗[{⋆} × {⋆} × Sr] ⋗ = ⋖ i∗ξr, [{⋆} × {⋆} × S

r] ⋗

= ⋖ a[S1 × Sq × {⋆}]∗ ± [{⋆} × {⋆} × Sr]∗, [{⋆} × {⋆} × Sr] ⋗

= ⋖ ± [{⋆} × {⋆} × Sr]∗, [{⋆} × {⋆} × Sr] ⋗

= ±1

sendo a última igualdade da definição de base dual, e onde ⋖ , ⋗ denota o Produto de

Kronecker.

Portanto, pelo Teorema dos Coeficientes Universais, i∗[{⋆} × {⋆} × Sr] gera Hr(C1). �

Prossigamos com a prova da segunda parte da Proposição 3.3.1.

Prova da Proposição 3.3.1 (b): Suponha que C1 tenha o mesmo anel de cohomologia de

Sq × Sr, com r = q + 1. Considere a composição de inclusões

ϕ : {⋆} × Sq × Srj−→ S1 × Sq × Sr ∼= ∂C1

i−→ C1

Pelo Lema 3.3.9, Hr(C1) é gerado por i∗[{⋆}×{⋆}×Sr ]. Logo, ϕ∗ : Hr({⋆}×Sq ×Sr)→

Hr(C1) é isomorfismo. No Lema 3.3.8 vimos que ϕ∗ : Hn({⋆} × Sq × Sr) → Hn(C1) é

isomorfismo para n = q, q + r. Mais ainda, Hn(C1) ≈ Hn({⋆} × Sq × Sr) = 0, para todo

n 6=, 0, q, r, q + r. Para n = 0, o gerador [{⋆} × {⋆} × {⋆}] de H0({⋆} × Sq × Sr) ≈ Z é,

obviamente, aplicado por ϕ∗ num dos geradores de H0(C1) ≈ Z; noutras palavras, tem-se

ϕ∗[{⋆}× {⋆}×{⋆}] = ±[{⋆}×{⋆}×{⋆}]. Portanto, temos provado que ϕ∗ é um isomorfismo

em qualquer dimensão. Sendo assim, como {⋆} × Sq × Sr e C1 são ambos simplesmente

conexos, segue, pelo Teorema de Whitehead, que ϕ é uma equivalência de homotopia.

Seja Y = f({⋆} × Sq × Sr) ⊂ ∂C1∼= S1 × Sq × Sr. Podemos “empurrar” Y para o

interior de C1 usando um campo de vetores normais para dentro, de ∂C1 em C1, e obtemos


uma variedade Y ′. Seja G uma vizinhança tubular fechada suficientemente pequena de Y ′ no

interior de C1. Claramente, vemos que G é difeomorfa a D2 × Sq × Sr.

Por excisão e por ser ϕ uma equivalência de homotopia, vemos que a variedade V = C1−◦G

é um h-cobordismo entre ∂G e ∂C1. Como dimV = q + r + 2 = 2q + 3 > 6, haja visto que

q ≥ 2, segue do Teorema do h-cobordismo que V é difeomorfa a ∂G × [0, 1]. Portanto,

C1 = V ∪G ≅ (∂G × [0, 1]) ∪G ≅ G ≅ D2 × Sq × Sr, onde ≅ lê-se “é difeomorfo a”.

Isto conclui definitivamente a prova da Proposição 3.3.1.�

Como já anunciado no início desta seção, a condição r 6= q + 1 do item (a) da Proposição

3.3.1 é essencial. Para provarmos isto vamos proceder como na construção c© para encontrar-

mos um mergulho suave S1 × Sq × Sq+1 → S2q+3 que não satisfaça o primeiro item daquela

proposição. Mais que isso, provaremos o seguinte:

Proposição 3.3.10. Para 1 ≤ q, existem infinitos mergulhos mutuamente distintos,

fn : S1 × Sq × Sq+1 → S2q+3, n = 1, 2, . . ., tais que:

(a) Uma das duas componentes de S2q+3 − fn(S1 × Sq × Sq+1) tem os mesmos grupos de

homologia de Sq × Sq+1, e a outra tem os grupos de homologia de S1 × Sq+1, mas

(b) O fecho de nenhuma das duas componentes de S2q+3 − fn(S1 × Sq × Sq+1) é homotopi-

camente equivalente a um produto de esferas.

Prova: Se repetimos a construção c© com q no lugar r e q + 1 no lugar de q, e evitamos a

utilização o difeomorfismo δ que permuta as duas primeiras esferas do produto S1 × Sq × Sr,

partimos então de um nó q-dimensional K em Sq+2 é chegamos a um mergulho suave

f : S1 × Sq × Sq+1 → Dq+2 × Sq+1 → (Dq+2 × Sq+1) ∪ (Sq+1 ×Dr+1) ∼= S2q+3.

Se chamamos C1 e C2 aos fechos das componentes conexas do complementar deste mer-

gulho como antes, pelo isomorfismo 3.3 vê-se que C1 tem os grupos de homologia do produto

S1×Sq+1, enquanto o isomorfismo 3.4 nos garante que os grupos de homologia de C2 coincidem

com os de Sq × Sq+1. Isto concorda com o item (a).

Agora, se o nó K é escolhido de modo que se tenha π1(Sq+2 − K) não-abeliano, o que

é deveras possível, então C1 não pode ser homotopicamente equivalente a um produto de

esferas, como mostra o Lema 3.2.2 item (a).

Para mostrar que também C2 não é homotopicamente equivalente a um tal produto,

assuma inicialmente q > 1. Pela construção realizada não há grande dificuldade em se perceber

que j∗ : H2q+1(∂C2) → H2q+1(C2) é um isomorfismo, onde j : ∂C2 → C2 é a aplicação

inclusão. Além disso, j∗ : Hq+1(∂C2)→ Hq+1(C2) aplica a classe de homologia [S1×Sq×{⋆}]

no gerador de Hq+1(C2) e j∗[{⋆}×{⋆}×Sq+1] = 0. Decorre destes fatos que as induzidas em

cohomologia j∗ : H2q+1(∂C2) → H2q+1(C2) é um isomorfismo e j∗ : Hq+1(∂C2) → Hq+1(C2)

aplica o gerador de Hq+1(C2) ≈ Z em ±[S1 × Sq × {⋆}]∗, onde, claro, { [S1 × Sq × {⋆}∗],

[{⋆} × {⋆} × Sq+1]∗} constitui uma base de Hq+1(∂C2) ≈ Hom(Hq+1(∂C2), Z), dual da base


{[S1×Sq×{⋆}], [{⋆}×{⋆}×Sq+1 ]} deHq+1(∂C2). Então, considerando o diagrama comutativo

do produto cup

Hq(C2)⊗Hq+1(C2)

j∗⊗ j∗

��

⌣ // H2q+1(C2)

j∗

��Hq(∂C2)⊗H

q+1(∂C2)⌣ // H2q+1(∂C2)

vemos que a primeira linha deve ser o homomorfismo nulo, já que Hq(∂C2) é gerado pelo dual

[{⋆} × Sq × {⋆}]∗ de [{⋆} × Sq × {⋆}], gerador de Hq(C2), mas, por outro lado, Hq+1(C2) é

gerado por [S1 × Sq × {⋆}]∗ e temos [{⋆} × Sq × {⋆}]∗ ` [S1 × Sq × {⋆}]∗ = 0. Logo, C2 não

é homotopicamente equivalente a um produto de esferas, pois caso contrário o produto cup

induziria isomorfismo no anel graduado de cohomologia.

Quando q = 1 um argumento similar pode ser aplicado. Pouparemos maiores detalhes.

Portanto, como na Seção 2.2, podemos construir infinitos mergulhos suaves mutuamente

distintos satisfazendo as propriedades (a) e (b) desta proposição que, por isso, tem sua prova

concluída. �

Na Proposição 3.3.1 assumimos 2 ≤ q ≤ r. Quando q = 1 temos o seguinte resultado

similar a Proposição 3.3.10.

Proposição 3.3.11. Para 1 ≤ r, existem infinitos mergulhos mutuamente distintos,

fn : S1 × S1 × Sr → Sr+3, n = 1, 2, . . ., tais que

(a) Uma das duas componentes de Sr+3−fn(S1×S1×Sr) tem os mesmos grupos de homologia

de S1 × Sr, mas

(b) O fecho de nenhuma das duas componentes de Sr+3−fn(S1×S1×Sr) é homotopicamente

equivalente a um produto de esferas.

Prova: Os mergulhos satisfazendo esta proposição serão construídos, novamente, de forma

semelhante aos da construção c© da Seção 2.2, usando desta vez r no lugar de q e 1 no lugar

de r, e como na prova anterior poupando a utilização do difeomorfismo δ.

Partindo de um nó 1-dimensional K em S3 obtemos, então, um mergulho suave

f : S1 × S1 × Sr → D3 × Sr → (D3 × Sr) ∪ (S2 ×Dr+1) ∼= Sr+3.

Com as mesmas notações até aqui utilizadas, o isomorfismo 3.3 nos garante que C1 possui

os grupos de homologia de S1×Sr. Já os grupos de homologia de C2, segundo o isomorfismo

3.4, se expressam da seguinte maneira:

Hn(C2) ≈

Z se n = 0, 1

Z⊕ Z se n = 2, r = 1

Z se n = 2, r 6= 1

Z se n = r + 1, r 6= 1

0 c.c.


Sendo assim, se mais uma vez escolhemos, com podemos, o nó K de modo que seu grupo

seja não-abeliano, o Lema 3.2.2 já nos garante que C1 não é homotopicamente equivalente a

um produto de esferas.

Para provarmos que também C2 não é homotopicamente equivalente a um tal produto,

vamos trabalhar separadamente os casos r = 2 e r 6= 2. Deveras, temos também o caso r = 1,

mas para este, o Lema 3.2.2 item (b) já nos dá o resultado. Para r > 2, note que os grupos

de homologia de C2 se reduzem a

Hn(C2) ≈

{Z se n = 0, 1, 2, r + 1

0 c.c.

E estes não representam, obviamente, grupos de homologia de um produto de esferas. Para

r = 2, C2 tem grupos de homologia de S1×Sq, mas a Proposição 3.3.10 enunciada para q = 1

garante que, ainda assim, C2 não é homotopicamente equivalente a um produto de esferas.

A infinidade de mergulho satisfazendo as propriedades (a) e (b) da proposição segue, agora,

das construções da Seção 2.2. �

Mais uma vez utilizando construção semelhante àquela da Seção 2.2 podemos provar o

seguinte resultado.

Proposição 3.3.12. Para 1 ≤ q, r, existem infinitos mergulhos mutuamente distintos,

fn : S1 × Sq × Sr → Sq+r+2, n = 1, 2, . . ., tais que

(a) Uma das duas componentes de Sq+r+2−fn(S1×Sq×Sr) tem o mesmo grupo de homologia

de S1 × Sr, mas

(b) O fecho de nenhuma das duas componentes de Sq+r+2 − fn(S1 × Sq × Sr) é homotopica-

mente equivalente a um produto de esferas.

Prova: Fazemos aqui a mesma adaptação da construção c© já realizada nas duas provas

anteriores, desta vez trocando q por r e r por q. Sendo assim, partimos de um nó q-dimensional

K em Sq+2 e vamos dar num mergulho suave

f : S1 × Sq × Sr → Dq+2 × Sr → (Dq+1 × Sr) ∪ (Sq+1 ×Dr+1) ∼= Sq+r+1.

O isomorfismo 3.3 nos garante, nas notações comuns, que H∗(C1) ≈ H∗(S1×Sr), enquanto

os grupos de homologia de C2 são dados pelo isomorfismo 3.4 da forma que aparece abaixo.

Hn(C2) ≈

Z se n = 0, q

Z⊕ Z se n = q + 1, r = 1

Z se n = q + 1, r 6= 1

Z se n = q + r, r 6= 1

0 c.c.

Novamente pelo Lema 3.2.2, uma vez escolhido K de modo que se tenha π1(Sq+2 − K)

não-abeliano, segue que C1 não é homotopicamente equivalente a um produto de esferas.


Para provar igual propriedade para a componente C2, basta mais uma vez analisarmos

suas homologias. Vejamos: Se r = 1, então temos

Hn(C2) ≈

Z se n = 0, q

Z⊕ Z se n = q + 1

0 c.c.

Tais homologias não coincidem com a de qualquer produto de esferas e, por isso, C2 não pode

ser homotopicamente equivalente a um tal produto. Se r 6= 1, ficamos com

Hn(C2) ≈

{Z se n = 0, q, q + 1, q + r

0 c.c.

Logo, se r = q + 1, então C2 não tem homologia de um produto de esferas e o resultado fica

provado nesta particularidade. Já para r = q + 1, C2 tem sim homologia de um produto de

esferas, a saber, H∗(C2) ≈ H∗(Sq × Sr). Não obstante, pela Proposição 3.3.10, ainda assim,

C2 não é homotopicamente equivalente a um produto de esferas.

Portanto, está concluída a prova da proposição. �

Passamos agora a próxima seção, aquela que nos permitirá concluir sobre a abrangência

dos resultados da seção que encerramos agora.

3.4 Sobre as homologias das componentes do complementar de

um mergulho

Provaremos nesta seção que não importa quais especificidades possua um mergulho suave

f : S1 × Sq × Sr −→ Sq+r+2, com 1 ≤ q ≤ r, sua imagem sempre divide a esfera Sq+r+2 em

duas componentes conexas, como mostra o Proposição 1.5.5, uma das quais possui os mesmos

grupos de homologia de um produto de duas esferas escolhidas entre aquelas que compõem

do domínio do mergulho. Apresentamos este resultado formalmente no seguinte:

Teorema 3.4.1. Seja f : S1 × Sq × Sr → Sq+r+2, 1 ≤ q ≤ r, um mergulho suave. O fecho

de uma das duas componentes conexas de Sq+r+2 − f(S1 × Sq × Sr) tem as homologias de

S1 × Sq ou S1 × Sr ou Sq × Sr.

Prova: Denotaremos, como comumente, por C1 e C2 os fechos das componentes de Sq+r+2−

f(S1 × Sq × Sr). Vamos dividir a prova deste teorema em seis casos, de acordo com relações

entre os inteiros positivos 1, q e r.

Antes, porém, de partimos às particularidades de cada caso, notemos que, dado um mer-

gulho suave f : S1 × Sq × Sr → Sq+r+2 como no enunciado do teorema, temos, obviamente,

C1 ∪C2 = Sq+r+2 e ∂C1 = ∂C2 = f(S1×Sq ×Sr). Disto e da Dualidade de Alexander segue

que, qualquer que seja o inteiro n > 0,

Hn(C1)⊕Hn(C2) ≈ Hn(Sq+r+2 − f(S1 × Sq × Sr)) ≈ Hq+r+1−n(f(S1 × Sq × Sr)).

3.4 Sobre as homologias das componentes do complementar de um mergulho 71

Ainda, por ser f suave, esta expressão resulta, para n > 0, no isomorfismo

Hn(C1)⊕Hn(C2) ≈ Hq+r+1−n(S1 × Sq × Sr). (3.7)

Novamente pela Dualidade de Alexander, temos, para n > 0,

Hn(C1)⊕Hn(C2) ≈ Hn(C1)⊕ Hq+r+1−n(Sq+r+2 − C2) ≈ Hn(C1)⊕ H

q+r+1−n(C1).

E pelo Teorema dos Coeficientes Universais, uma vez que os grupos de homologia aqui en-

volvidos são todos livres, chegamos a:

Hn(C1)⊕ Hq+r+1−n(C1) ≈ Hn(C1)⊕Hn(C2), (3.8)

sempre com n > 0.

As equações 3.7 e 3.8 que acabamos de obter serão adaptadas, segundo as relações entre

1, q e r em cada caso que passamos a detalhar agora.

1◦ Caso: q = r = 1. Aqui, temos f como o mergulho suave do toro T 3 na esfera S4, ou seja,

f : S1×S1×S1 → S4. Nestas condições, em função da equação 3.7, temos a seguinte tabela:

n H3−n(S1 × S1 × S1) Hn(C1)⊕Hn(C2)

0 Z Z⊕ Z

1 Z⊕ Z⊕ Z Z⊕ Z⊕ Z

2 Z⊕ Z⊕ Z Z⊕ Z⊕ Z

... 0 0

Pela equação 3.8 e resultados expressos nesta tabela, concluímos que, para n > 0,

Hn(C1)⊕H3−n(C1) ≈ Hn(C1)⊕Hn(C2) ≈

{Z⊕ Z⊕ Z se n = 1, 2

0 c.c.

Com isso, eliminamos 12 casos do total de 16 possibilidades para as homologias de C1,

restando apenas as que satisfazem uma das seguinte relações:

(H1(C1),H2(C1)) ≈

(Z⊕ Z,Z)

(Z,Z⊕ Z)

(Z⊕ Z⊕ Z, 0)

(0,Z ⊕ Z⊕ Z)

Quando ocorre (Z⊕ Z,Z), vê-se claramente que C1 tem homologias de S1 × S1.

Se ocorre (Z,Z ⊕ Z), então, pelas conhecidas relações entre as homologias de C1 e C2,

descobrimos que (H1(C2),H2(C2)) ≈ (Z ⊕ Z,Z) e, desta vez, C2 é que tem as homologias de

S1 × S1.


Assuma que ocorra o caso (H1(C1),H2(C1)) ≈ (Z⊕Z⊕Z, 0). Considere a seqüência exata

de cohomologia

· · · → H1(C1)i∗−→ H1(∂C1)

δ∗−→ H2(C1, ∂C1)→ H2(C1)→ · · ·

do par (C1, ∂C1), onde i : C1 → ∂C1 é a aplicação inclusão e δ∗ é o operador cobordo. Pela

Dualidade de Poincaré-Lefschetz, H2(C1, ∂C1) ≈ H2(C1) = 0. Logo, i∗ é um epimorfismo na

seqüência acima. Considere, agora, o diagrama comutativo do produto cup abaixo.

H1(C1)⊗H1(C1)

i∗⊗ i∗

��

⌣ // H2(C1)

i∗

��H1(∂C1)⊗H

1(∂C1)⌣ // H2(∂C1)

Como i∗ : H1(C1) −→ H1(∂C1) é epimorfismo na seqüência exata do par (C1, ∂C1), segue

que i∗⊗ i∗ é epimorfismo na primeira coluna deste diagrama. Deste modo, é não nula a linha

de baixo do diagrama; do que segue uma contradição, uma vez que H2(C1) = 0 e o diagrama

comuta. Portanto, não pode ocorrer o caso (Z⊕ Z⊕ Z, 0).

Para que ocorra o caso (0,Z ⊕ Z ⊕ Z), deve ocorrer (H1(C2),H2(C2)) ≈ (Z ⊕ Z ⊕ Z, 0).

Sendo assim, com argumentos análogos os que acabamos de adotar, mostra-se que também

este caso é de impossível ocorrência.

Isto completa o 1◦ caso da demonstração.

2◦ Caso: 1 < q = r. Nestas especificações, o mergulho proposto é f : S1×Sq ×Sq → S2q+2.

Calculando as homologias Hn(C1)⊕Hn(C2) a luz da equação 3.7, confeccionamos a seguinte

tabela:

n H2q+1−n(S1 × Sq × Sq) Hn(C1)⊕Hn(C2)

0 Z Z⊕ Z

1 Z Z

... 0 0

q Z⊕ Z Z⊕ Z

q + 1 Z⊕ Z Z⊕ Z

... 0 0

2q Z Z

... 0 0

De posse dos resultados expressos nesta tabela, a equação 3.8 nos mostra que, para n > 0,

Hn(C1)⊕H2q+1−n(C1) ≈ Hn(C1)⊕Hn(C2) ≈

Z⊕ Z se n = q, q + 1

Z se n = 1, 2q

0 c.c.


Assim, das 36 possibilidades para as homologias de C1 apenas nos cumpre analisar as que

satisfazem esta última relação; e são elas:

(H1(C1),Hq(C1),Hq+1(C1),H2q(C1)) ≈

(Z,Z,Z, 0)

(0,Z,Z,Z)

(0,Z ⊕ Z, 0,Z)

(Z, 0,Z ⊕ Z, 0)

(Z,Z ⊕ Z, 0, 0)

(0, 0,Z ⊕ Z,Z)

Quando ocorre (Z,Z,Z,0), é fácil ver que C1 tem os mesmos grupos de homologia do

produto S1 × Sq.

Se ocorre (0,Z,Z,Z), então (H1(C2),Hq(C2),Hq+1(C2),H2q(C2)) ≈ (Z,Z,Z, 0) e, assim,

C2 tem homologias de S1 × Sq.

Somente ocorre (0,Z⊕Z, 0,Z) no caso em que C1 tem homologias de Sq×Sq. E se ocorre

(Z, 0,Z⊕ Z, 0), é porque (H1(C2),Hq(C2),Hq+1(C2),H2q(C2)) ≈ (0,Z⊕ Z, 0,Z) e, então, C2

tem as homologias de Sq × Sq.

Assuma que ocorra o caso (Z,Z ⊕ Z, 0, 0). Considere a seqüência exata

· · · → Hq(C1)i∗−→ Hq(∂C1)

δ∗−→ Hq+1(C1, ∂C1)→ Hq+1(C1)→ · · ·

de cohomologia do par (C1, ∂C1) com as mesmas notações do 1◦ caso. Pela Dualidade de

Poincaré-Lefschetz tem-se Hq+1(C1, ∂C1) ≈ H2q+2−(q+1)(C1) ≈ Hq+1(C1) = 0. Logo i∗ é

epimorfismo. Considere o diagrama comutativo do produto cup.

Hq(C1)⊗Hq(C1)

i∗⊗ i∗

��

⌣ // H2q(C1)

i∗

��Hq(∂C1)⊗H

q(∂C1)⌣ // H2q(∂C1)

Como i∗ é epimorfismo na seqüência exata acima, assim é a coluna da esquerda do dia-

grama. Mas sendo H2q(C1) = 0, com o mesmo argumento do caso anterior chega-se a uma

contradição e, portanto, este caso não pode ocorrer.

De modo similar mostra-se que também o caso (0, 0,Z ⊕ Z,Z) não procede; já que se o

mesmo ocorresse, teríamos (H1(C2),Hq(C2),Hq+1(C2),H2q(C2)) ≈ (Z,Z ⊕ Z, 0, 0) e o argu-

mento anterior igualmente aplicar-se-ia para C2 no lugar de C1.

Isto conclui o 2◦ caso da prova.

3◦ Caso: q = 1 e r = 2 (r = q + 1). Desta vez, ficamos com um mergulho suave da forma

f : S1× S1 × S2 → S5, e os grupos de homologia Hn(C1)⊕Hn(C2), relacionadas na equação

3.7, estão apresentadas na tabela abaixo.


n H4−n(S1 × S1 × S2) Hn(C1)⊕Hn(C2)

0 Z Z⊕ Z

1 Z⊕ Z Z⊕ Z

2 Z⊕ Z Z⊕ Z

3 Z⊕ Z Z⊕ Z

... 0 0

Neste termos, a equação 3.8 nos permite afirmar que, para n > 0,

Hn(C1)⊕H4−n(C1) ≈ Hn(C1)⊕Hn(C2) ≈

{Z⊕ Z se n = 1, 2, 3

0 c.c.

Assim, eliminamos 24 das 27 possibilidades para as homologias de C1, restando-nos apenas

as abaixo relacionadas.

(H1(C1),H2(C1),H3(C1)) ≈

(Z,Z,Z)

(Z⊕ Z,Z, 0)

(0,Z,Z ⊕ Z)

Se ocorre (Z,Z,Z), então também (H1(C2),H2(C2),H3(C2)) ≈ (Z,Z,Z) e, sendo assim,

ambos, C1 e C2, tem as homologias de S1 × S2 ou S1 × S2.

Quando ocorre (Z⊕Z,Z, 0), C1 tem as homologias do toro T 2, os seja, do produto S1×S1.

Se ocorre (0,Z,Z ⊕ Z), então (H1(C2),H2(C2),H3(C2)) ≈ (Z ⊕ Z,Z, 0) e, desta vez, C2 tem

as homologias de S1 × S1.

Isso completa a prova do teorema para o 3◦ caso.

4◦ Caso: 1 < q 6= r 6= q + 1. Agora nenhum dos inteiros q e r são dados numericamente e,

por isso, o mergulho que assumimos é da forma geral f : S1 × Sq × Sr −→ Sq+r+2, a menos

das relações sobre q e r para o caso.

Utilizando mais uma vez a equação 3.7 nos cálculos das homologias H∗(C1) ⊕ H∗(C2),

poupando destas vez a confecção de uma tabela, expressamos-las da seguinte forma:

Hn(C1)⊕Hn(C1) ≈

Z⊕ Z se n = 0

Z se n = 1, q, q + 1, r, r + 1, q + r, q + r + 1

0 c.c.

A partir destas expressões a equação 3.8 nos mostra que, para n > 0, tem-se

Hn(C1)⊕Hq+r+1−n(C1) ≈ Hn(C1)⊕Hn(C2) ≈

{Z se n = 1, q, r, q + 1, r + 1, q + r

0 c.c.


Isto faz com que, das 26 = 64 possibilidades para as homologias de C1, apenas os casos a

seguir requeiram investigação.

(H1(C1),Hq(C1),Hq(C1),Hq+1(C1),Hq+r(C1),Hr+1(C1)) ≈

(Z,Z, 0,Z, 0, 0)

(Z, 0,Z, 0, 0,Z)

(0,Z,Z, 0,Z, 0)

(0, 0,Z, 0,Z,Z)

(0,Z, 0,Z,Z, 0)

(Z, 0, 0,Z, 0,Z)

(Z,Z,Z, 0, 0, 0)

(0, 0, 0,Z,Z,Z)

Pois bem, investiguemos a ocorrência destes casos:

Quando ocorrem os casos (Z,Z, 0,Z, 0, 0), (Z, 0,Z, 0, 0,Z) e (0,Z,Z, 0,Z, 0), C1 tem as

homologias de S1 × Sq, S1 × Sr e Sq × Sr, respectivamente.

Quando ocorrem os casos (0, 0,Z, 0,Z,Z), (0,Z, 0,Z,Z, 0) e (Z, 0, 0,Z, 0,Z), C2 tem as

homologias dos casos do parágrafo anterior e, portanto, as homologias de S1 × Sq, S1 × Sr e

Sq × Sr, respectivamente.

Considerando o diagrama comutativo do produto cup para as cohomologias de dimensão

1 e q (e obviamente q + 1), concluímos, com argumentos puramente análogos aos utilizados

nos primeiros casos desta prova, que os casos (Z,Z,Z, 0, 0, 0) e (0, 0, 0,Z,Z,Z) não podem

ocorrem.

Fica assim provado mais um caso deste teorema.

5◦ Caso: 1 = q 6= r 6= q + 1. Neste caso temos o mergulho f : S1 × S1 × Sr → Sr+3, e a

equação 3.7 nos permite gerar a tabela

n Hr+2−n(S1 × S1 × Sr) Hn(C1)⊕Hn(C2)

0 Z Z⊕ Z

1 Z⊕ Z Z⊕ Z

2 Z Z

... 0 0

r Z Z

r + 1 Z⊕ Z Z⊕ Z

... 0 0

Da equação 3.8 segue, para n > 0,

Hn(C1)⊕Hr+2−n(C1) ≈ Hn(C1)⊕Hn(C2) ≈

Z⊕ Z se n = 1, r + 1

Z se n = 2, r

0 c.c.


Esta relação descarta 30 dentre as 36 possibilidades para as homologias de C1, restando-nos

apenas as seguintes:

(H1(C1),H2(C1),Hr(C1),Hr+1(C1)) ≈

(Z, 0,Z,Z)

(Z,Z, 0,Z)

(Z⊕ Z,Z, 0, 0)

(0, 0,Z,Z ⊕ Z)

(0,Z, 0,Z ⊕ Z)

(Z⊕ Z, 0,Z, 0)

Quando ocorre (Z, 0,Z,Z), C1 tem homologias de S1 × Sr.

Se ocorre (Z,Z, 0,Z), então (H1(C2),H2(C2),Hr(C2),Hr+1(C2)) ≈ (Z, 0,Z,Z), donde C2

tem homologias de S1 × Sr.

Quando ocorre (Z⊕ Z,Z, 0, 0), C1 tem as homologias de S1 × S1.

Se ocorre (0, 0,Z,Z ⊕ Z), então (H1(C2),H2(C2),Hr(C2),Hr+1(C2)) ≈ (Z ⊕ Z,Z, 0, 0) e,

neste caso, C2 tem as homologias de S1 × S1.

Com argumentos análogos aos já trabalhados nesta demonstração prova-se que os casos

(0,Z, 0,Z ⊕ Z) e (Z⊕ Z, 0,Z, 0) não ocorrem.

Isso completa o 5◦ caso.

6◦ Caso: 1 < q e r = q + 1. Agora temos por considerar um mergulho suave da forma

f : S1×Sq×Sq+1 → S2q+3. A equação 3.7 ajustada para os inteiros positivos aqui considerados

nos possibilita a construção da tabela abaixo.

n H2q+2−n(S1 × Sq × Sq+1) Hn(C1)⊕Hn(C2)

0 Z Z⊕ Z

1 Z Z

... 0 0

q Z Z

q + 1 Z⊕ Z Z⊕ Z

q + 2 Z Z

... 0 0

2q + 1 Z Z

... 0 0

Esta, junto com a equação 3.8, nos dá a seguinte relação, para n > 0:

Hn(C1)⊕Hr+2−n(C1) ≈ Hn(C1)⊕Hn(C2) ≈

Z⊕ Z se n = q + 1

Z se n = 1, q, q + 2, 2q + 1

0 c.c.

3.5 O que completa o capítulo 77

que elimina de vez 44 possibilidades para as homologias de C1 das 48 inicialmente possíveis.

As quatro possibilidades que restam são as seguintes:

(H1(C1),Hq(C1),Hq+1(C1),Hq+2(C1),H2q+1(C1)) ≈

(Z,Z,Z, 0, 0)

(0, 0,Z,Z,Z)

(Z, 0,Z,Z, 0)

(0,Z,Z, 0,Z)

Quando ocorre (Z,Z,Z, 0, 0), é fácil ver que C1 tem homologias de S1 × Sq.

Se ocorre (0,0,Z,Z,Z), então tem-se (H1(C2),Hq(C2),Hq+1(C2),Hq+2(C2),H2q+1(C2)) ≈

(Z,Z,Z, 0, 0) e, neste caso, C2 tem as homologias de S1 × Sq.

Se ocorre (Z, 0,Z,Z, 0), então tem-se (H1(C2),Hq(C2),Hq+1(C2),Hq+2(C2),H2q+1(C2)) ≈

(0,Z,Z, 0,Z) e, deste modo, vê-se que C1 tem as homologias de S1 × Sq+1, enquanto C2 tem

as homologias de Sq × Sq+1.

Se C1 tem as homologias (0, Z, Z, 0, Z), então ocorre o contrário do caso do parágrafo

anterior.

Isso completa o 6◦ caso e, finalmente, a prova do teorema.�

3.5 O que completa o capítulo

Seja f : S1 × Sq × Sr → Sq+r+2 um mergulho suave com 1 ≤ q ≤ r. Mostramos

no Teorema 3.4.1 da seção anterior que o fecho de uma das duas componentes conexas do

complementar de um tal mergulho tem sempre os mesmos grupos de homologia de S1 × Sq

ou S1 × Sr ou Sq × Sr.

Pois muito bem, ponhamos em uma tabela quais são as reais possibilidades para as ho-

mologias de uma componente Cj, j = 1 ou 2, à luz daquele teorema e segundo as relações

particulares entre os inteiros 1, q e r abordadas nas Proposições 3.3.1 à 3.3.12.

Proposição Relação Caso(s) abordado(s): para j = 1 ou 2, H∗(Cj) ≈

3.3.1 2 ≤ q ≤ r 6= q + 1 H∗(Sq × Sr)

3.3.10 1 ≤ q = r − 1 H∗(S1 × Sq+1) e H∗(S

q × Sq+1)

3.3.11 1 = q ≤ r H∗(S1 × Sr)

3.3.12 1 ≤ q, r H∗(S1 × Sr)

Note que para quaisquer inteiros q e r com 1 ≤ q ≤ r, o que concorre com todas as

hipóteses deste capítulo, q e r estão relacionados em uma, e em mais de uma, das linhas da

segunda coluna da tabela. Esta flexibilidade que temos em perceber os inteiros q e r em mais

de uma relação das expressas nas hipóteses das Proposições 3.3.1 à 3.3.12 é que nos permitirá

concluir sobre o abrangência total daquelas proposições. Vejamos como isso se dá:


Nas relações referentes a terceira linha da tabela restam analisar os casos em que (i)

H∗(Cj) ≈ H∗(S1 × S1) para j = 1 ou 2. Mas este é apenas um caso especial da Proposição

3.3.11 quando trocamos r por 1.

Já na quarta e última linha da tabela há que se analisar ainda os casos em que (ii)

H∗(Cj) ≈ H∗(S1 × Sq) ou (iii) H∗(Cj) ≈ H∗(S

q × Sr) para j = 1 ou 2. Mas note que

o primeiro destes decorre da Proposição 3.3.12 suposta uma troca de r por q, e o segundo

procede da Proposição 3.3.1, uma vez que os casos em que q = 1 já se esgotaram em (ii) e da

própria Proposição 3.3.12.

Na segunda linha apenas um caso ainda não aparece automaticamente suprido, aquele em

que (iv) H∗(Cj) ≈ H∗(S1 × Sq) para j = 1 ou 2. Para englobar também este, basta notar

que é o mesmo que (ii) com a sutileza de termos r = q + 1.

Finalmente, das duas possibilidades restantes na primeira linha, a primeira, (v) H∗(Cj) ≈

H∗(S1 × Sq) é o mesmo que (ii) visto quando q ≥ 2, e segunda, (vi) H∗(Cj) ≈ H∗(S

1 × Sr)

procede diretamente da Proposição 3.3.12, também aqui para q ≥ 2.

Isto mostra que as Proposições 3.3.1 à 3.3.12 contemplam todas as possibilidades para

a homologia daquela componente de Sq+r+2 − f(S1 × Sq × Sr) que tem homologia de um

produto de duas esferas. Portanto este trabalho extingue todas as dúvidas com respeito as

possibilidades de serem as componentes Sq+r+2 − f(S1 × Sq × Sr) difeomorfas a um produto

de duas esferas e um disco.

X

Capítulo

4

Mergulhos do toro T 3 na esfera S4

O propósito deste capítulo é estudar os mergulhos do toro T 3 (= S1 × S1 × S1) na esfera

S4 com maiores detalhes.

A maneira mais trivial de se mergulhar T 3 em S4 é primeiro mergulhar o toro 2-dimensional

T 2 (= S1 × S1) em S4 e, então, tomar o bordo de uma vizinhança tubular do mesmo em S4.

Para um tal mergulho, o fecho de uma das duas componentes conexas do complementar é

claramente difeomorfa a T 2 × D2, enquanto o fecho da outra é conhecido como Gêmeos de

Montesinos e será denotado por E4.

Em [18, Exemplo 4.6], A. Katanaga e O. Saeki mostraram que existem muitos mergulhos

de T 3 em S4. De fato, existem mergulhos destes tais que o fecho de nenhuma das componentes

do complementar é homeomorfo a T 2×D2 ou a E4. Não obstante, mostraremos neste capítulo

que sempre existem mergulhos topológicos de T 2×D2 e de E4 em S4 de modo que C2 e C1, ou

vice-versa, são homeomorfos, cada um, ao complementar do interior de um destes mergulhos

em S4. Para tanto, faremos uma seção inicial para tratar um pouco mais pormenorizadamente

da variedade conhecida por Gêmeos de Montesinos, que definiremos com o mesmo rigor en-

contrado em [26], uma vez que o conhecimento de algumas de suas propriedades topológicas

será assaz importante para a conclusão dos principais resultados deste capítulo.

As principais referências para as definições e algumas construções da primeira seção deste

capítulo são [26] e [30].

79

80 Capítulo 4 — Mergulhos do toro T 3 na esfera S4

4.1 Os Gêmeos de Montesinos

Para que possamos bem compreender a estrutura topológica da variedade que aqui

chamaremos Gêmeos de Montesinos, vamos iniciar esta seção apresentando (ou relembrando)

algumas importantes definições, que vêm a garantir ao menos uma razoável visão geométrica

da 4-variedade em questão.

Alças em uma variedade

Seja M uma n-variedade e H uma n-bola tal que M ∩H ⊂ ∂M , e suponha que exista

um homeomorfismo h : Ip × In−p → H, tal que h(Ip × In−p) = H ∩M . Então, diremos que

(H,h) é uma alça de índice p em M , ou simplesmente que H é uma p-alça.

Note que M ′ = M ∪H é também uma n-variedade. Se escrevemos f = h|Ip×In−p , então

podemos identificar M ∪H com M ∪f In. Assim, diremos que M ′ é obtida de M colando-se a

esta uma alça por meio de f . Reciprocamente, dado qualquer mergulho f : Ip× In−p → ∂M ,

M ′ = M ∪f In pode ser considerada como M com uma p-alça colada de maneira óbvia.

Escrevemos variavelmente

M ′ = M ∪H = M ∪H(p) = M ∪f H.

Seja (H,h) uma p-alça. Então chamamos h(Ip × 0) o cerne de H e h(0× In−p) o cocerne.

Chamamos ainda h(Ip×0) de esfera de colagem e h(0× In−p) de esfera-cinta. Temos também

o a-tubo h(Ip × In−p) e o b-tubo h(Ip × In−p). Finalmente, h é a aplicação característica da

alça H, e f = h|Ip×In−p é a aplicação de colagem.

Vizinhança regular de uma 2-esfera

Uma vizinhança regular de uma 2-esfera S2 consiste de uma vizinhança formada por

um 4-disco D4 localmente liso com uma 2-alça atada ao longo de um nó em seu bordo ∂D4.

Reciprocamente, qualquer 4-variedade que é composta de um 4-disco localmente liso com uma

2-alça atada contém uma 2-esfera mergulhada naturalmente consistindo do cerne da 2-alça

junto com o cone em D4 na curva de colagem da 2-alça.

Os Gêmeos de Montesinos

Seja M uma 4-variedade fechada. Por um par de Gêmeos em M entendemos um subcon-

junto R ∪ S de M que consiste de duas 2-esferas encontrando-se em exatamente dois pontos,

transversalmente e com sinais opostos.

Na 4-variedade S4 ∼= R4 ∪ {∞}, tome o conjunto

E4 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x2

1 + x22 ≤ 1 ou x2

3 + x24 ≤ 1} ∪ {∞}.

Veja que E4 é uma vizinhança regular da união dos planos coordenados R = R2×{0}∪{∞}

e S = {0} × R2 ∪ {∞}, que se encontram transversalmente em 0 e ∞.

4.1 Os Gêmeos de Montesinos 81

Considerando S2 ∼= R2∪{∞}, E4 pode ser visto também como uma vizinhança regular dos

Gêmeos R∪S. Veremos isso com mais detalhes um pouco mais adiante. Por ora, chamaremos

Gêmeos de Montesinos a terna (E4, R, S), ou mais simplesmente a E4.

O complemento S4−◦

E4 é uma vizinhança regular do toro

F 2 = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4 : x2

1 + x22 = 2 = x2

3 + x24}.

Logo, ∂E4 é homeomorfo ao toro T 3. Um homeomorfismo explícito T 3 → ∂E4 pode ser

encontrado em [26].

Vamos agora encontrar uma apresentação de E4 através de colagens de alças em um 4-disco

D4, o qual é obviamente uma 0-alça.

Sabemos que uma vizinhança regular de S consiste de um 4-disco D4 com uma 2-alça

colada ao longo de um nó em sua borda. Seja, então, D4 uma vizinhança regular em E4 de

um arco simples em S conectando os pontos de R ∩ S. Agora adicione uma 2-alça a D4 para

completar uma vizinhança regular de S. Veja a Figura 4.1 abaixo.

4D

R

S

(2)H

Figura 4.1: Vizinhança regular da 2-esfera S

4D

R

4

1D

4

2D

1 3D D´

(2)H

S

Figura 4.2: Vizinhança regular da 2-esfera R

Agora fazemos o mesmo para obter um vizinhança regular de R, mas desta vez com D4

visto como duas cópias, D41 e D4

2 de D4, conectadas por um tubo não-enodado D1 × D3

ao longo de dois 3-discos, cada um localizado no bordo de uma das cópias de D4. Ainda

mais, consideramos cada uma das cópias D41 e D4

2 de modo que cada um dos dois pontos de

R ∩ S esteja no interior de uma delas, e ambas sejam suficientemente pequenas de modo que

estejam contidos no disco D4 que compõe a vizinhança regular de S. Esta construção está

representada na Figura 4.2 impressa acima.

A reunião destas vizinhanças regulares de R e S gera uma vizinhança regular de R ∪ S,

a qual é homeomorfa ao próprio E4. Então, os Gêmeos de Montesinos podem agora serem

vistos como a composição de uma 0-alça, uma 1-alça e duas 2-alças. Maiores detalhes desta

decomposição de E4 podem ser encontrados em [26], e uma representação gráfica da mesma

está expressa na Figura 4.3 a seguir.


S

(2)H

(1)H

(2)H

R

(0)H

Figura 4.3: Decomposição por alças dos Gêmeos de Montesinos

Visto E4 com esta apresentação, e ainda com detalhes apresentados em [26], não é difícil

notar que

Hn(E4) ≈

Z se n = 0, 1

Z⊕ Z se n = 2

0 c.c.

.

Vamos agora encontrar o grupo fundamental dos Gêmeos de Montesinos, ou seja, π1(E4).

Para tanto, vamos escrever E4 como reunião de dois subconjuntos conexos por caminhos tais

que sua intersecção é ainda conexa por caminhos, e o grupo fundamental de todos eles são

conhecidos. Esta decomposição de E4 pode ser encontrada com detalhes mais precisos em

[26]; faremos aqui apenas uma breve descrição.

Seja NR uma vizinhança tubular de R em E4. Então, é fácil ver que ∂NR ∼= S1 × S2

separa E4 em duas regiões. Uma delas é NR ∼= D2 × S2 e a outra é S1 × V 3, onde V 3 é um

toro sólido com um buraco em seu interior, ou seja, (D2 × S1)−◦

D30, onde D3

0 é um 3-disco

contido no interior de D2×S1. O bordo de S1×V 3 é a união disjunta de S1×S2 e T 3 ∼= ∂E4.

Considere o diagrama abaixo, onde i1, i2, j1 e j2 são aplicações inclusão:

π1(S1 × S2)

i1♯xxqqqqqqqqqq

i2♯ ''PPPPPPPPPPPP

π1(D2 × S2)

j1♯ &&MMMMMMMMMMπ1(S

1 × V 3)

j2♯wwnnnnnnnnnnnn

π1(E4)

Uma vez que π1(D2 × S2) = 0, é óbvio que as aplicações i1♯ e j1♯ são ambas nulas. Por

outro lado, temos π1(S1×S2) ≈ Z e π1(S

1×V 3) ≈ Z⊕Z, e a aplicação i2 : S1×S2 → S1×V 3 é

4.2 Um problema envolvendo mergulhos de 3-variedades em S4 83

a aplicação identidade na primeira coordenada. Logo i2♯ é um monomorfismo e, pelo Teorema

de Van Kampen, π1(E4) ≈ Z.

4.2 Um problema envolvendo mergulhos de 3-variedades em S4

Sejam Γ e ∆ poliedros conexos e compactos. Suponha que existam mergulhos “triviais”

ϕ : Γ→ S4 e ψ : ∆→ S4, tais que ϕ(Γ)∩ψ(∆) = ∅, NΓ∪N∆ = S4 e NΓ∩N∆ = ∂NΓ = ∂N∆,

onde NΓ e N∆ são vizinhanças regulares de ϕ(Γ) e ψ(∆), respectivamente. Considere a

variedade fechada conexa e orientável M = ∂NΓ = ∂N∆.

Problema 4.2.1. Seja f : M → S4 um mergulho localmente liso arbitrário e C1 e C2 os

fechos das componentes conexas de S4 − f(M). Então, existem mergulhos ϕ : Γ → S4 e

ψ : ∆ → S4 tais que C1 e C2 (ou C2 e C1) são homeomorfos aos fechos de S4 − NΓ e

S4 − N∆ respectivamente, onde NΓ e N∆ são vizinhanças regulares de ϕ(Γ) e ψ(∆) em S4,

respectivamente?

4.3 O que responde o problema anterior

Daqui por diante, em toda esta seção, trabalharemos à responder o problema levantado

em [18, Problema 4.1] e reproduzido na seção anterior, para o caso em que a 3-variedade M

é o toro T 3, ou seja, para mergulhos de T 3 em S4 na categoria topológica, o que integra os

propósitos deste capítulo.

Deveras, a resposta ao problema é revelada no seguinte teorema.

Teorema 4.3.1. Seja f : T 3 → S4 um mergulho liso e denote por C1 e C2 os fechos das duas

componentes conexas de S4− f(T 3). Então, existem mergulhos topológicos ϕ : T 2×D2 → S4

e ψ : E4 → S4 tais que:

(a) C2 é homeomorfo a S4−◦

ϕ(T 2 ×D2), e

(b) C1 é homeomorfo a S4−◦

ψ(E4)

após permutação entre C1 e C2, se necessário.

Prova: Seja f : T 3 → S4 um mergulho localmente liso e C1 e C2 os fechos das duas com-

ponentes conexas de S4 − f(T 3). Pelo Teorema 3.4.1, um destes fechos, digamos C1, tem

os mesmos grupos de homologia do toro T 2, enquanto o outro, agora C2, tem os grupos de

homologia dos Gêmeos de Montesinos E4.

No que segue, vamos identificar ∂C1 e ∂C2 com T 3. Mostremos que existe um homeomor-

fismo

ϕ : T 3 ∼= ∂(T 2 ×D2)→ ∂C2∼= T 3

tal que a 4-variedade fechada M = C2 ∪ϕ (T 2 × D2), obtida colando-se C2 e T 2 × D2 pelo

homeomorfismo ϕ, é homeomorfa a S4.


Ora, como o homeomorfismo de colagem ϕ de C2 e T 2×D2 é realizado ao longo do bordo

comum T 3 ∼= ∂C2∼= ∂T 2 ×D2, temos que

χ(M) = χ(C2) + χ(T 2 ×D2)− χ(T 3)

onde χ denota a Característica de Euler. Mas uma vez conhecidas as homologias de todos os

espaços envolvidos, ou seja, os grupos de homologia de C2, de T 2×D2 e de T 3, a Caracterís-

tica de Euler χ(M) torna-se perfeitamente calculável. Relembrando que, se Y é um espaço

topológico, sua Característica de Euler é definida por

χ(Y ) =∑

(−1)npostoHn(Y ; Z),

obtemos pelas homologias conhecidas

χ(C2) = 1− 1 + 2 = 2, χ(T 2 ×D2) = 1− 2 + 1 = 0 e χ(T 3) = 1− 3 + 3− 1 = 0.

E portanto,

χ(M) = χ(C2) + χ(T 2 ×D2)− χ(T 3) = 2.

Sendo, então, a Característica de Euler de M igual a 2, vemos facilmente que M é home-

omorfa a S4 se, e somente se, M é simplesmente conexa. Logo, pela solução da Conjectura

de Poincaré 4-dimensional na categoria topológica (Freedman [9]), precisamos somente provar

que M é simplesmente conexa para algum homeomorfismo ϕ.

Fixemos, então, um homeomorfismo ϕ como acima mencionado. Pela definição de C1 e

de C2, existe um homeomorfismo g : T 3 ∼= ∂C1 → ∂C2∼= T 3 tal que C2 ∪g C1

∼= S4.

Considere o seguinte diagrama:

π1(T3)

id1♯

≈

zzuuuuuuuuu

w0♯

��

g♯

≈

$$IIIIIIIII

ζ1=ϕ−1

♯◦g♯

≈// π1(T

3)

ϕ♯

≈

zzuuuuuuuuu

w3♯

��

id2♯

≈

$$IIIIIIIII

π1(T3)

ζ2=ϕ−1

♯◦g♯

≈

��

i1♯

��

π1(T3)

i2♯

��

π1(T3)

j♯��

π1(C1)

γ

BBw1♯

$$IIIIIIIIIπ1(C2)

w2♯

zzuuuuuuuuuw5♯

$$IIIIIIIIIπ1(T

2

w4♯

zzuuuuuuuuu×D2)

π1(S4)

Θ// π1(M)

Neste, as aplicações i1, i2, j, w0, w1, w2, w3, w4 e w5 são inclusões, id1 e id2 são aplicações

identidades, e γ : π1(C1) → π1(T2 × D2) é a composição γ = β ◦ α do homomorfismo

4.3 O que responde o problema anterior 85

de Hurewicz α : π1(C1) → H1(C1), o qual é obviamente sobrejetor, e um isomorfismo

β : H1(C1) ≈ Z⊕ Z→ Z⊕ Z ≈ π1(T2 ×D2). Note que, nestes termos, γ é um epimorfismo.

Denote : φ0 = w3♯ ◦ ζ1 = w4♯ ◦ j♯ ◦ id2♯ ◦ ζ1 = w5♯ ◦ i2♯ ◦ ϕ♯ ◦ ζ1,

φ1 = w4♯ ◦ γ e

φ2 = w5♯

Se a comutatividade φ0 = φ1 ◦ i1♯ ◦ id1♯ = φ2 ◦ i2♯ ◦ g♯ for válida, então, pelo Teorema

de Van Kampen, existe um único homomorfismo Θ : π1(S4) → π1(M) tal que φi = Θ ◦ wi♯,

i = 0, 1, 2. Ou seja, será comutativo o diagrama abaixo.

π1(T3)

φ0

((QQQQQQQQQQQQ

w0♯

��

i1♯◦id1♯

��

i2♯◦g♯ // π1(C2)

φ2

��w2♯

��77

77

77

77

77

77

77

77

7

π1(C1)

w1♯

--

φ1

// π1(M)

π1(S4)

Θ

ddd$

d$d$

d$d$

Vamos provar que Θ é um epimorfismo.

Considere δ : π1(T3)→ π1(C1) a aplicação definida pela composição δ = i1♯ ◦ id1♯ ◦ g

−1♯ , e

λ : π1(T3)→ π1(T

2×D2) definida pela composição λ = j♯◦id2♯◦ϕ−1♯ . Estas aplicações, vistas

no primeiro diagrama desta prova, fornecem, lá mesmo, dois diagramas como no Teorema de

Van Kampen, ambos com a aplicação i2♯ : π1(T3) → π1(C2) em comum. Tais diagramas

juntos nos fornecem o diagrama abaixo.

π1(T3)

δzzuuuuuuuuu

λ %%JJJJJJJJJ

i2♯

��π1(C1)

γ

��

φ1

++

w1♯

��

π1(C2)

w2♯zzuuuuuuuuuφ2

%%JJJJJ

JJJJ

Jπ1(T

2×

w4♯

��

D2)

π1(S4)

Θ// π1(M)

Pelo Teorema de Van Kampen, π1(M) é gerado pelas imagens Im(φ2) e Im(w4♯). Agora:

(i) Como φ2 = Θ ◦ w2♯, temos Im(φ2) ⊂ Im(Θ).

(ii) Como γ é sobrejetora, temos Im(w4♯) = Im(w4♯ ◦ γ). Logo, como φ1 = w4♯ ◦ γ, segue

que Im(w4♯) = Im(φ1). Ainda, como φ1 = Θ ◦ w1♯, ficamos com Im(φ1) ⊂ Im(Θ). Donde

Im(w4♯) ⊂ Im(Θ).

Portanto, π1(M) é gerado pela imagem de Θ, o que prova que Θ é sobrejetor.


Ora, sendo Θ sobrejetor, uma vez que π1(S4) é trivial, seguirá que π1(M) é também trivial.

Assim, temos somente que provar que existe, de fato, um homeomorfismo ϕ : T 3 → T 3 de tal

modo que tenhamos a comutatividade φ0 = φ1 ◦ i1♯ ◦ id1♯ = φ2 ◦ i2♯ ◦ g♯, a qual é equivalente

a comutatividade j♯ ◦ (ϕ−1♯ ◦ g♯) = γ ◦ i1♯.

É bem sabido que todo automorfismo de π1(T3) é realizado por um homeomorfismo de

T 3. Portanto, se existe um automorfismo κ : π1(T3) → π1(T

3) tal que j♯ ◦ κ = γ ◦ i1♯, então

podemos encontrar um homeomorfismo ϕ : T 3 → T 3 tal que ϕ♯ = g♯ ◦κ−1, e a comutatividade

requerida vale para todo ϕ. (Veja o diagrama comutativo abaixo).

H1(C1)β

≈ %%JJJJJJJJJ

π1(C1)

α99ttttttttt

γ// π1(T

2×D2)

π1(T3)

g♯ $$JJJJJJJJJ

i1♯

OO

κ// π1(T

3)

j♯

OO

ϕ♯zzttttttttt

π1(T3)

Como β é um isomorfismo e γ = β ◦ α, temos somente que mostrar a existência de um

automorfismo κ tal que β−1 ◦ j♯ ◦ κ = α ◦ i1♯. Mostremos primeiro que a composição α ◦ i1♯ é

um epimorfismo. Para isto, considere a seqüência exata

· · · → H1(T3)

i1∗−→ H1(C1)→ H1(C1, T3)→ H0(T

3)→ · · ·

do par (C1, ∂C1) ∼= (C1, T3). Por excisão, temos H1(C1, T

3) ≈ H1(S4, C2) = 0. Isto implica

que i1♯ é um epimorfismo. Então, pelo diagrama comutativo

π1(T3)

i1♯

��

α′

// H1(T3)

i1∗��

π1(C1)α // H1(C1)

vemos que α◦i1♯ é um epimorfismo, onde α e α′ são os homomorfismo de Hurewicz apropriados,

que são epimorfismos. Finalmente, para um isomorfismo arbitrário

β′ : ker(α ◦ i1♯) ∼= Z −→ Z ∼= ker j♯

temos o seguinte digrama comutativo com linhas exatas, para algum isomorfismo κ,

0 // Z

≈ β′

��

// π1(T3)

≈ κ

��

α◦i1♯ // H1(C1)

≈ β��

// 0

0 // Z // π1(T3)

j♯ // π1(T2 ×D2) // 0

4.3 O que responde o problema anterior 87

Assim, temos um automorfismo κ que satisfaz a comutatividade requerida. Por conse-

qüência, M = C2 ∪ϕ (T 2×D2) é homeomorfa a esfera S4. Isto completa a prova da parte (a)

do teorema, já que ficamos com

C2 = M−◦

ϕ(T 2 ×D2) ∼= S4−◦

ϕ(T 2 ×D2) .

A prova da parte (b) é bastante similar e, por isso, pouparemos apologias que sejam

deveras semelhantes as já apresentados na demonstração da parte (a).

Dado mergulho f : T 3 → S4 localmente liso e C1 e C2 os fechos das duas componentes

conexas de S4 − f(T 3), temos visto que, digamos, C1 tem homologias do toro T 2, enquanto

C2 tem as homologias de E4. Precisamos mostrar que existe um homeomorfismo

ψ : T 3 ∼= ∂(T 2 ×D2)→ ∂C2∼= T 3

tal que a 4-variedade fechada M = C1 ∪ψ E4 seja homeomorfa a S4.

Das já conhecidas homologias de C1, E4 e T 3, obtemos

χ(C1) = 1− 2− 1 = 0, χ(E4) = 1− 1 + 2 = 2 e χ(T 3) = 1− 3 + 3− 1 = 0.

E portanto,

χ(M) = χ(C1) + χ(E4)− χ(T 3) = 2.

Logo, como antes, precisamos somente provar que M é simplesmente conexa para algum

homeomorfismo ψ. Fixado, então, um tal homeomorfismo ψ e outro g : T 3 ∼= ∂C1 → ∂C2∼= T 3

tal que C2 ∪g C1∼= S4, considere o diagrama abaixo, onde utilizamos as mesmas notações do

diagrama análogo a este na demonstração da parte (a).

π1(T3)

id1♯

≈

zzuuuuuuuuu

w0♯

��

g♯

≈

$$IIIIIIIII

ζ1=ψ−1♯

◦g♯

≈// π1(T

3)

ψ♯

≈

zzuuuuuuuuu

w3♯

��

id2♯

≈

$$JJJJJJJJJ

π1(T3)

ζ2=ψ−1♯

◦g♯

≈

��

i1♯

��

π1(T3)

i2♯

��

π1(T3)

j♯��

π1(C2)

γ

BBw1♯

$$IIIIIIIIIπ1(C1)

w2♯

zzuuuuuuuuu w5♯

$$IIIIIIIIIπ1(E

4)w4♯

zzttttttttt

π1(S4)

Θ// π1(M)


Com as mesmas notações anteriores, obviamente substituindo ϕ po ψ, se a comutatividade

φ0 = φ1◦i1♯◦id1♯ = φ2◦i2♯◦g♯ for válida, então, pelo Teorema de Van Kampen, existe um único

homomorfismo Θ : π1(S4) → π1(M) tal que φi = Θ ◦ wi♯, i = 0, 1, 2. De modo puramente

análogo ao utilizado na primeira parte, mostra-se que tal homomorfismo, se existe, é então

um epimorfismo; donde seguirá que M é simplesmente conexa. Assim, temos somente que

provar que existe um homeomorfismo ψ : T 3 → T 3 de tal modo que se tenha a comutatividade

φ0 = φ1 ◦ i1♯ ◦ id1♯ = φ2 ◦ i2♯ ◦g♯, a qual é equivalente a comutatividade j♯ ◦ (ψ−1♯ ◦g♯) = γ ◦ i1♯.

Mas uma vez que todo automorfismo de π1(T3) é realizado por um homeomorfismo de T 3, se

existe um automorfismo κ : π1(T3)→ π1(T

3) tal que j♯ ◦κ = γ ◦ i1♯, então podemos encontrar

um homeomorfismo ψ : T 3 → T 3 de maneira que se tenha ψ♯ = g♯ ◦ κ−1, e a comutatividade

requerida valha para todo ψ. (Veja o diagrama comutativo abaixo).

H1(C2)β

≈ %%JJJJJJJJJ

π1(C2)

α99ttttttttt

γ// π1(E

4)

π1(T3)

g♯ $$JJJJJJJJJ

i1♯

OO

κ// π1(T

3)

j♯

OO

ψ♯yyttttttttt

π1(T3)

Como β é um isomorfismo e γ = β ◦ α, temos somente que mostrar a existência de um

automorfismo κ tal que β−1 ◦ j♯ ◦ κ = α ◦ i1♯. Mostremos, por ora, que a composição α ◦ i1♯ é

um epimorfismo. Para isto, considere a seqüência exata

· · · → H1(T3)

i1♯−→ H1(C2)→ H1(C2, T

3)→ H0(T3)→ · · ·

do par (C2, ∂C2) ∼= (C2, T3). Por excisão, temos H1(C2, T

3) ≈ H1(S4, C1) = 0. Isto implica

que i1♯ é um epimorfismo. Então, pelo diagrama comutativo

π1(T3)

i1♯

��

α′

// H1(T3)

i1∗��

π1(C2)α // H1(C2)

vemos que α ◦ i1♯ é um epimorfismo, onde α′ é o homomorfismo de Hurewicz, que é um

epimorfismo. Finalmente, para um isomorfismo arbitrário

β′ : ker(α ◦ i1♯) ∼= Z⊕ Z −→ Z⊕ Z ∼= ker j♯

temos o seguinte digrama comutativo com linhas exatas, para algum isomorfismo κ,

4.4 O análogo da seção anterior para outras dimensões 89

0 // Z⊕ Z

≈ β′

��

// π1(T3)

≈ κ

��

α◦i1♯ // H1(C1)

≈ β��

// 0

0 // Z⊕ Z // π1(T3)

j♯ // π1(E4) // 0

Portanto, temos um automorfismo κ que satisfaz a comutatividade requerida. Por conse-

qüência, M = C1∪ϕ (E4) é homeomorfa a S4. Isto completa a prova da parte (b) do Teorema,

pois ficamos com

C1 = M−◦

ψ(E4) ∼= S4−◦

ψ(E4) .

Isto finaliza a prova do teorema. �

4.4 O análogo da seção anterior para outras dimensões

Seja f : Sp× Sq × Sr → Sp+q+r+1 um mergulho suave trivial, isto é, f(Sp× Sq ×Sr) é o

bordo de uma vizinhança tubular de um mergulho trivial de Sp × Sq ou Sq × Sr ou Sp × Sr

em Sp+q+r+1. Sejam C1 e C2 os fechos das duas componentes de Sp+q+r+1−f(Sp×Sq×Sr).

Então um deles, digamos C1, é claramente difeomorfo a Sp×Sq×Dr+1, que é uma vizinhança

tubular de um mergulho de Sp × Sq em Sp+q+r+1, após uma apropriada permutação de p, q

e r, se necessário. O outro, então C2, que é difeomorfo a

[((Dp+1 × Sr)−◦

Dp+r+1)× Sq] ∪ [Sp+r ×Dq+1]

(para p = 1 veja a Observação 3.2.4), é uma vizinhança regular da união de duas esferas, Sp+r

e Sq+r, mergulhadas em Sp+q+r+1, interceptando uma a outra transversalmente ao longo de

Sr−1. (Em particular, C2 tem o mesmo tipo de homotopia de um bouquet Sp+r ∨Sq+r ∨Sr).

Então, é natural perguntar se um resultado similar ao Teorema 4.3.1 vale para p, q e r inteiros

positivos arbitrários. De acordo com [22], quando 2 ≤ p ≤ q ≤ r, se r 6= p+ q, ou se r = p+ q

é par, a resposta é afirmativa.

X

Capítulo

5

Mergulhos de somas conexas de

toros em codimensão 1

Problemas de classificação de mergulhos de um toro Sp×Sq em Sp+q+1 foram estabelecidos

na categoria diferencial e linear por partes (PL) por R. Z. Goldstein [10] e A. Kosinski [19].

O objetivo deste último capítulo deste texto é, com base no trabalho de D. R. Anderson

[3], detalhar como se estende estes resultados na categoria PL para mergulhos localmente

não-enodados de somas conexas de toros em uma esfera de codimensão 1.

5.1 O teorema principal do capítulo

Definição 5.1.1. Sejam M e V variedades PL e sejam f, g : M → V mergulhos PL lo-

calmente não-enodados. Então f é pseudo-isotópica a g, escrevemos f ∼ g, se existe um

homeomorfismo PL, H : V × I → V × I com H(x, 0) = (x, 0) e H(x, 1) = (h(x), 1) tal que

h(f(M)) = g(M). Claramente ∼ é uma relação de equivalência. A classe de equivalência de

um mergulho localmente não-enodado f : M → V é chamada classe de pseudo-isotopia de f ,

e o conjunto de todas as classes de pseudo-isotopia é denotado por Pseudo-Iso(M,V ).

Nosso objetivo é estudar as pseudo-isotopias nos casos em que M é uma soma conexa de

toros mergulhada em uma esfera de codimensão 1. Neste sentido temos o seguinte teorema,

o principal deste capítulo, a cuja prova se dedicam as próximas seções.

91

92 Capítulo 5 — Mergulhos de somas conexas de toros em codimensão 1

Teorema 5.1.2. Seja n ≥ 5 e seja

Mn = (#r1i=1S

p1i × S

q1i ) # · · ·# (#rs

i=1Sps

i × Sqsi )

onde 2 ≤ p1 < p2 < · · · < ps ≤ qs < · · · < q2 < q1, pj + qj = n, j = 1, . . . , s, e # denota

soma conexa. Então

|Pseudo-Iso(Mn, Sn+1)| = ⌊12(r1 + 1) · · · (rs + 1)⌋ se n é ímpar, ou se n é par e ps 6=n

2e

|Pseudo-Iso(Mn, Sn+1)| = ⌊12 (r1 + 1) · · · (rs−1 + 1)⌋ se n é par e ps =n

2

onde a notação de valor absoluto indica cardinalidade e ⌊x⌋ é o menor inteiro ≥ x.

Uma vez provado este teorema, seguem como casos especiais os seguintes corolários que

sequer demonstraremos neste texto por serem realmente imediatos.

Corolário 5.1.3. Seja n = p+ q ≥ 5 com p, q ≥ 2. Se n é ímpar ou se n é par com p 6= n2 ,

então existem ⌊ r+12 ⌋ classes de pseudo-isotopia de mergulhos de #r

i=1Spi × S

qi em Sp+q+1.

Corolário 5.1.4. Seja n = 2p com p ≥ 3. Então quaisquer dois mergulhos de #ri=1S

pi × S

pi

em S2p+1 são pseudo-isotópicos.

5.2 Esquema para a prova do teorema principal

Primeira parte

Seja Mn uma variedade simplesmente conexa e f : Mn → Sn+1 um mergulho localmente

não-enodado. Pela Dualidade de Alexander Sn+1− f(M) tem duas componentes cujos fechos

vamos denotar, no decorrer deste capítulo, por A e B. Como f é localmente não-enodada, A

e B são variedades PL e ∂A = f(M) = ∂B.

Lema 5.2.1. Seja f : Mn → Sn+1 um mergulho localmente não-enodado. Então:

(a) As inclusões f(M) ⊂ A e f(M) ⊂ B induzem isomorfismos Hj(f(M))→ Hj(A)⊕Hj(B),

para 0 < j < n.

(b) Hj(A) ≈ Hj(B) = 0, para j = n, n+ 1.

(c) Se M é (p− 1)-conexa, p ≥ 2, então assim são A e B.

Prova: Note inicialmente que o homomorfismo bordo Hn+1(Sn+1)

∂−→ Hn(A∩B) ≈ Hn(M)

é um isomorfismo.

Agora considere a seqüência de Mayer-Vietoris da tríada própria (Sn+1;A,B), a saber

· · · → Hj(A ∩B)→ Hj(A)⊕Hj(B)→ Hj(Sn+1)

∂−→ Hj−1(A ∩B)→ · · ·

5.2 Esquema para a prova do teorema principal 93

observando que M precisa ser orientável e identificando M a A∩B = f(M). Para todo inteiro

positivo j, j < n, tem-se Hj+1(Sn+1) ≈ Hj(S

n+1) = 0. Logo, o item (a) segue da exatidão

desta seqüência.

Uma vez que o homomorfismo bordo Hn+1(Sn+1)

∂−→ Hn(A∩B) é um isomorfismo, como

já temos visto, ainda da seqüência de Mayer-Vietoris segue que Hj(A) ⊕ Hj(B) = 0 para

j = n, n+ 1, o que prova o item (b).

Para concluir (c) note primeiro que M é simplesmente conexa; logo, pelo Teorema de Van

Kampen A e B também o são. O resultado, então, segue de (a) e do isomorfismo de Hurewicz

ϕ que faz comutar o diagrama abaixo, para qualquer j > 0.

πj(f(M))

ϕ

��

// πj(A)⊕ πj(B)

ϕ

��Hj(f(M)) // Hj(A)⊕Hj(B)

�

Para o restante desta seção vamos especificar

Mn = (#r1i=1S

p1i × S

q1i ) # · · ·# (#rs

i=1Sps

i × Sqsi )

onde pj, qj , com j = 1, . . . , s, são inteiros arbitrários, porém fixados, satisfazendo 2 ≤ p1 <

p2 < · · · < ps ≤ qs < · · · < q2 < q1, e pj + qj = n ≥ 5 para todo j = 1, . . . , s. Então M é

simplesmente conexa e

Hi(M) ≈

Z se i = 0, n

Z rj se i = pj, qj, j = 1 . . . , s

0 c.c.

Assim, pelo Lema 5.2.1,

Hi(A) ≈

Z se i = 0

Z uj se i = pj, j = 1 . . . , s

Z vj se i = qj, j = 1 . . . , s

0 c.c.

(5.1)

onde 0 ≤ uj ≤ rj e 0 ≤ vj ≤ rj , j = 1 . . . , s.

Então segue da Dualidade de Alexander que uj + vj = rj, j = 1 . . . , s, e do Lema 5.2.1

que

Hi(B) ≈

Z se i = 0

Z vj se i = pj , j = 1 . . . , s

Z uj se i = qj , j = 1 . . . , s

0 c.c.

.


Seja 0 ≤ uj ≤ rj e 0 ≤ vj ≤ rj, j = 1 . . . , s, e construa um poliedroX(u1, . . . , us, v1, . . . , vs)

como segue: Sejam

Sp11 , . . . , Sp1u1, Sp21 , . . . , S

p2u2, · · · , Sps

1 , . . . , Spsus, Sqs1 , . . . , S

qsvs, · · · , Sq21 , . . . , S

q2v2 , S

q11 , . . . , S

q1v1 ,

esferas da dimensão indicada com pontos base

b1, . . . , bu1,

bu1+1, . . . , bu1+u2,

...

bu1+···+us−1+1, . . . , bu1+···+us ,

bu1+···+us+1, . . . , bu1+···+us+vs ,

...

bu1+···+us+vs+···+v3+1, . . . , bu1+···+us+vs+···+v2 ,

bu1+···+us+vs+···+v2+1, . . . , bu1+···+us+vs+···+v1

respectivamente, e seja I o intervalo fechado [1, u1 + · · · + us + vs + · · · + v1].

Então X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs) é obtido da união disjunta das esferas e o intervalo I iden-

tificando o ponto base bi com o ponto i ∈ I, i = 1, . . . , u1 + · · · + us + v1 + · · ·+ vs.

Assim, X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs) tem o tipo de homotopia do wedge de uj esferas de dimen-

são pj e vj esferas de dimensão qj, j = 1, . . . , s.

Uma representação gráfica do poliedro X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs) é feita através da Figura

5.1 mostrada abaixo.

1

1

pS 1

1

p

uS 1sp

S s

s

p

uS1

sqS s

s

q

vS 1

1

qS 1

1

q

vS

1 1u

+ 1su+1u +

su+1u +

+ +1u + 1su - 1svsu+1u + +

svsu 2v

1u + ++ + + + 1

1vsv

su1u + + + + +

Figura 5.1: O poliedro X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs)

Na seqüência será freqüente identificarmos a esfera Sp11 , ou Sp21 , e o intervalo [1, 2] com suas

imagens emX(u1, . . . , us, v1, . . . , vs). Também suprimiremos os argumentos u1, . . . , us, v1, . . . , vs

e escreveremos simplesmente X quando não houver risco de confusão.


Teorema 5.2.2. (a) Seja h : Mn → Sn+1 um mergulho localmente não-enodado e suponha

que a homologia de A seja como em 5.1. Então existe um mergulho

f : X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs)→ Sn+1

tal que A é uma vizinhança regular de f(X).

(b) Reciprocamente, se f : X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs) → Sn+1 é um mergulho e N é uma

vizinhança regular de f(X), então

N ∼=(♮u1

i=1Sp1i ×B

q1+1i

)♮ · · · ♮

(♮us

i=1Sps

i ×Bqs+1i

)♮

♮(♮vsi=1S

qsi ×B

ps+1i

)♮ · · · ♮

(♮v1i=1S

q1i ×B

p1+1i

)

onde ♮ denota soma conexa ao longo do bordo e os Bi são bolas (discos) da dimensão

indicada. Logo ∂N ∼= M .

A prova deste teorema requer vários resultados preliminares que passamos a enunciar

e demonstrar agora. Neste empreendimento, vamos denotar X = X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs),

X1 = Sp11 ⊂ X se u1 ≥ 1 e X1 = Sp21 ⊂ X se u1 = 0, e X2 = X − (X1 ∪ [1, 2]).

Lema 5.2.3. Seja f : X → Sn+1 um mergulho e seja N uma vizinhança regular de f(X) em

Sn+1. Então existe uma vizinhança regular Ni de f(Xi) em N , i = 1, 2, e uma bola Bn+1 ⊂ N

tal que:

(a) N1 ∩N2 = ∅.

(b) Ni ∩B é uma face de B em ∂Ni, i = 1, 2.

(c) N = N1 ∪B ∪N2.

Prova: Pela unicidade da vizinhança regular é suficiente provar o lema no primeiro caso. Por-

tanto, seja (J ;K,K1,K2, L) uma triangulação de (Sn+1; f(X), f(X1), f(X2), f([1, 2])) com

K,K1,K2 e L completos em J , e sejam

N =⋃

v∈K ′

st(v, J ′′)

Ni =⋃

v∈K ′

i

st(v, J ′′) , i = 1, 2

B =⋃

v∈L′−(f(1)∪f(2))

st(v, J ′′)

onde ′ denota o primeiro complexo derivado, ′′ o segundo complexo derivado, e st(v, J ′′) é a

estrela fechada de vértice v em J ′′.

Então N,N1 e N2 são vizinhanças regulares de f(X), f(X1) e f(X2), respectivamente, e

N1 ∩N2 = ∅.


Mais ainda, B é uma vizinhança regular do complexo L1 obtido de L′ removendo-se

f(1), f(2) e os 1-simplexos abertos σ1 e σ2 contendo estes pontos. Assim, como L1 é ou um

ponto ou homeomorfo a um intervalo fechado, L1 colapsa a um ponto e B é uma bola.

Agora, N1 ∩ B =⋃

(st(v, J ′′) ∩ st(w, J ′′)), onde a união se dá sobre todos os vértices

v ∈ K ′1 e w ∈ L′ − (f(1) ∪ f(2)). Como v,w ∈ J ′, st(v, J ′′) ∩ st(w, J ′′) 6= ∅ se, e somente se,

v e w geram um 1-simplexo de J ′. Mas se v = σ e w = τ , onde σ, τ ∈ J e σ (τ) é o ponto

de◦σ (

◦τ ) em que σ (τ) é estrelado formando J ′, então v e w geram um 1-simplexo de J ′ se, e

somente se, τ ≺ σ ou σ ≺ τ , onde ≺ significa “é uma face de”. Suponha τ ≺ σ. Então, como

um ponto de◦τ , a saber w = τ , está em L′ − (f(1) ∪ f(2)), τ ∈ L. Similarmente, τ ∈ K1.

Assim, τ ∈ K1 ∩L e como K1∩L = f(1), τ = f(1). Logo, w = τ = f(1) /∈ L′− (f(1)∪ f(2)),

o que é uma contradição. Assim, σ ≺ τ .

Por um argumento similar ao anterior segue que σ = f(1). Portanto, como σ ≺ τ ∈ L e

como L é uma triangulação de f([1, 2]), τ é um 1-simplexo de J .

Finalmente, como f : [1, 2] → Sn+1 é um mergulho, existe um único 1-simplexo τ de L

com f(1) ≺ τ . Assim,

B ∩N1 = st(f(1), J ′′) ∩ st(τ , J ′′)

que é justamente a célula Bn dual ao 1-simplexo de J ′ gerado por f(1) e τ . Como é claro que

Bn ⊂ ∂B e Bn ⊂ ∂N1, a afirmação (b) vale para N1 ∩B.

Similarmente prova-se que (b) vale para N2 ∩B.

Como a afirmação (c) segue da construção deN,N1, N2 eB, a prova do lema está completa.�

Corolário 5.2.4. Seja f : X → Sn+1 um mergulho e seja N uma vizinhança regular de f(X)

em Sn+1. Então

N ∼=(♮u1

i=1Sp1i ×B

q1+1i

)♮ · · · ♮

(♮us

i=1Sps

i ×Bqs+1i

)♮(♮vs

i=1Sqsi ×B

ps+1i

)♮ · · · ♮

(♮v1i=1S

q1i ×B

p1+1i

)

Prova: A prova é por indução sobre r = u1 + · · · us + vs + · · ·+ v1.

Se r = 1, então X = Sp com 2 ≤ p ≤ q e p+ q = n ≥ 5. Assim, (n+ 1)− p = q+ 1 ≥ 3 e,

portanto, por [36, Teorema 2], X não enoda em Sn+1 e o resultado procede.

Suponha que o corolário seja válido para r − 1. Então, no lema anterior,

N1∼= Sp11 ×B

q1+1 (ou Sp21 ×Bq2+1 se u1 = 0) por [36], e

N ∼=(♮u1

i=2Sp1i ×B

q1+1i

)♮ · · · ♮

(♮us

i=1Sps

i ×Bqs+1i

)♮(♮vs

i=1Sqsi ×B

ps+1i

)♮ · · · ♮

(♮v1i=1S

q1i ×B

p1+1i

)

O corolário então segue do Lema 5.2.1 e da definição de soma conexa de bordo. �

Lema 5.2.5. Sejam Mn uma variedade orientável e Bi ⊂◦M , i = 1, 2, duas n-bolas. Seja

P ⊂M−(B1∪B2) um poliedro que não desconecta M . Se h : B1 → B2 é um homeomorfismo

de grau 1, então existe um homeomorfismo k : M →M isotópico a 1M estendendo h, tal que

k|P = 1P .

Prova: Este é o Teorema 3 de [12]. �


Lema 5.2.6. Seja Mn uma variedade orientável e seja Bi ⊂ ∂M , i = 1, 2, (n− 1)-bolas com

B1∩B2 = ∅. Se h : M →M é um homeomorfismo de grau 1, então existe um homeomorfismo

k de M em M isotópico a h e tal que k|Bi= 1Bi

, i = 1, 2.

Prova: Pelo Lema 5.2.5, como h−1|h(B1) : h(B1)→ B1 é de grau 1, existe um homeomorfismo

k1 : ∂M → ∂M isotópico a 1∂M com k1|h(B1) = h−1|h(B1). Seja K : ∂M × [0, 1]→ ∂M × [0, 1]

a isotopia entre k1 e 1∂M e estenda k1 a um homeomorfismo k′1 : M → M sendo k′1 = K em

um colar em torno de ∂M e k′1 = identidade fora do colar. Claramente k′1 é isotópico a 1M .

Por uma segunda aplicação do Lema 5.2.5, existe um homeomorfismo k2 : ∂M → ∂M

isotópico a 1∂M tal que k2|k1h(B2) = (k1h)−1|k1h(B2) e k2|B1

= 1B1. Estenda k2 a um homeo-

morfismo k′2 : M →M isotópico a 1M como acima.

Tomando k = k′2k′1h completamos a prova. �

Lema 5.2.7. Seja V = ♮ri=1Sq × Bp, com p ≥ 3 e q ≥ 2. Então qualquer automorfismo

σ : Hq(V )→ Hq(V ) pode ser realizado por um homeomorfismo h : V → V .

Prova: Sejam e1, . . . , er ∈ Hq(V ) um sistema de geradores correspondendo as zero-seções

Sqi × 0 ⊂ Sqi × Bpi ⊂ V , i = 1, . . . , r, e sejam R,S e Ti, i = 1, . . . , r − 1, automorfismos de

Hq(V ) satisfazendo:

R(e1) = −e1, R(ej) = ej, j 6= 1

S(e1) = e1 + e2, S(ej) = ej , j 6= 1

Ti(ei) = ei+1, Ti(ei+1) = ei, Ti(ej) = ej , j 6= i, i + 1

Vamos provar primeiro o lema para σ igual a R,S ou Ti. Para simplificar a prova nestes

casos, assumimos sem perda de generalidade que, em V , (Sqi ×Bpi )∩ (Sqj ×B

pj ) = Ci,j é uma

(p+ q−1)-bola em ∂(Sqi ×Bpi )∩∂(Sqj ×B

pj ) se j = i−1 ou i+1, e é vazio se j 6= i−1, i, i+1.

Suponha σ = R. Sejam f : Sq1 → Sq1 e g : Bp1 → Bp

1 homeomorfismo de grau −1.

Então f × g : Sq1 × Bp1 → Sq1 × B

p1 tem grau 1 e, pelo Lema 5.2.6, existe um homeomorfismo

k : Sq1 × Bp1 → Sq1 × Bp

1 tal que k|C1,2 = 1|C1,2 . Então k estende a um homeomorfismo

h : V → V , sendo h igual a identidade fora de Sq1 ×Bp1 . Claramente h realiza R.

Suponha σ = S e que V = Sq1 × Bp1 ♮ S

q2 × B

p2 . Seja a : [1, 2] → V um mergulho tal que

a([1, 2]) ∩ (Sqi × 0) = a(i), i = 1, 2, e seja

K = Sq1 × 0 ∪ Sq2 × 0 ∪ a([1, 2]).

Seja N ⊂◦V vizinhança regular de K. Então, pela prova do Lema 5.2.3, N = N1∩D∪N2,

onde Ni = Sqi ×Bp é uma vizinhança regular de Sqi × 0 em V , i = 1, 2; N1 ∩N2 = ∅; D é uma

(p+ q)-bola; e D ∩Ni é uma face de D em ∂Ni, i = 1, 2.

Seja Bp = Ep1 ∪ Ep2 onde Epi , i = 1, 2, são bolas tais que Ep1 ∩ E

p2 é uma face comum.

Então existe um homeomorfismo f : Sq ×Bp → Sq2 ×Bp2 tal que C1,2 ⊂ f(Sq ×Bp) e tal que

f(Sq × 0) representa e2. Então

V ′ = (Sq1 ×Bp1) ∪ f(Sq × Ep1)


é homeomorfo a V . Assim, pelo Teorema de Irwin [17], existe um mergulho g1 : Sq → V com

g1(Sq) ⊂

◦

V ′ que representa e1 + e2.

Seja M1 uma vizinhança regular de g1(Sq) em◦

V ′. Então como V ′ mergulha em Sp+q (isto

é, em codimensão zero), M1 é também uma vizinhança regular de g1(Sq) em Sp+q. Como

p ≥ 3, [36, Teorema 2] implica que M1 é homeomorfo a Sq × Bp. Seja h1 : N1 → M1 um

homeomorfismo de grau 1, tal que h1|Sq1×0 = g1.

Agora, seja g2 : Sq → V a composição

Sq ∼= Sq × 0 ⊂ Sq × Ep2f |−→ V.

Por argumentos similares ao anterior existe um homeomorfismo h2 : N2 → M2 de grau 1 tal

que h2|Sq2×0 = g2, onde M2 ⊂

◦V é uma vizinhança regular de g2(Sq) que não encontra M1.

Seja xi ∈ (Ni ×D)◦, i = 1, 2, e seja

b : [1, 2]→ V − (M1 ∪M2) = W

um mergulho tal que b(i) = hi(xi), i = 1, 2. Seja D′ uma vizinhança regular de b([1, 2]) em W

que encontra ∂W regularmente. Então D′ é uma (p+ q)-bola e segue da teoria de vizinhança

regular (ver, por exemplo, [15, Lema 2.19]) que podemos assumir D′ ∩ ∂Mi = hi(Ni ∩ D),

i = 1, 2. Agora, como hi|Ni∩D é de grau 1, não é muito difícil ver que estas aplicações podem

ser estendidas a um homeomorfismo h3 : D → D′.

Seja h4 : N1 ∪D∪N2 →M1 ∪D′∪M2 o homeomorfismo obtido pondo h1, h2 e h3 juntos.

Então h4 tem grau 1. Finalmente, como

V − (N1 ∪D ∪N2) e V − (M1 ∪D′ ∪M2)

são ambos homeomorfos a ∂V × [0, 1], pelo Teorema do h-cobordismo, h4 pode ser estendido

a um homeomorfismo h : V → V de grau 1.

Se V = ♮ri=1Sqi ×B

pi com r ≥ 2, podemos utilizar a prova do Lema 5.2.6 para assumir que

o homeomorfismo h construído acima mantém C2,3 pontualmente fixado. Então h pode ser

estendido a um homeomorfismo de V sendo h(x) = x se x /∈ (Sq1 ×Bp1) ∪ (Sq2 ×B

p2).

Segue da construção que h realiza S.

Suponha σ = Ti e seja V ′ = Sqi × Bpi ♮ S

qi+1 × Bp

i+1 ⊂ V. Então existe, obviamente,

um homeomorfismo k : V ′ → V ′ de grau 1 que permuta Sqi × Bpi e Sqi+1 × Bp

i+1. Pelo

Lema 5.2.6, existe um tal homeomorfismo com k|Ci−1,i∪Ci,i+1= identidade. Estenda k a um

homeomorfismo h : V → V sendo h(x) = x se x ∈ V − V ′ e h|V ′ = k. Então h realiza Ti.

O lema agora segue notando-se que R, S e Ti, i = 1, . . . , r − 1 geram Aut(Hq(V )).�

Corolário 5.2.8. Seja V = ♮ri=1Sq ×Bp, com p ≥ 3 e q ≥ 2. Qualquer sistema de geradores

g1, . . . , gr ∈ Hq(V ) pode ser representado por mergulhos fi : Sq → V com imagens mutuamente

disjuntas, i = 1, . . . , r.


Prova: É fácil ver que cada gi pode ser representado por uma q-esfera mergulhada. É a

disjunção mútua que requer algum esforço para a prova.

Sejam e1, . . . , er ∈ Hq(V ) o conjunto de geradores da prova do lema anterior e seja σ o

automorfismo de Hq(V ) que aplica ei a gi, i = 1, . . . , r. Então σ pode ser realizado por um

homeomorfismo de V . Portanto, como ei, i = 1, . . . , r, pode ser representado por q-esferas

mergulhadas mutuamente disjuntas, também o pode cada gi, i = 1, . . . , r.�

Prova do Teorema 5.2.2: Vamos mostrar que se e1, . . . , er ∈ H∗(A) geram H∗(A), onde

r = u1 + · · · us + v1 + · · · + vs, então estes geradores podem ser representados por esferas

mergulhadas mutuamente disjuntas em◦A. (Note que como H∗(A) tem posto r este é um

sistema minimal de geradores). Na prova desta etapa distinguiremos entre os geradores de

dimensão ≤ ps e os geradores de dimensão > ps.

Sejam e1, . . . , et ∈ H∗(A) os geradores de H∗(A) de dimensão ≤ ps Assim, t = u1+ · · ·+us

se ps 6= qs, e t = u1 + · · ·+us+vs se ps = qs. Como H∗(M) aplica sobrejetivamente em H∗(A)

e como toda classe em H∗(M) é “esférica”, toda classe em H∗(A) é “esférica”. Assim, existem

aplicações fi : Spj

i → A, i = 1, . . . , uj , j = 1, . . . , s (ou se ps = qs, i = 1, . . . , us + vs para

j = s) representando os geradores e1, . . . , et. Por resultados de Irwin [17], podemos assumir

que os fi são mergulhos. Como dimA ≥ 2ps + 1, estes mergulhos podem ser construídos

mutuamente disjuntos por argumentos de posicionamento gerais.

Suponha agora que fi : Si →◦A, i = 1, . . . , t, são mergulhos com imagens mutuamente

disjuntas representando os geradores e1, . . . , et ∈ H∗(A) de dimensão menor que m, onde

m ≥ ps, e que N1, . . . , Nt são vizinhanças regulares mutuamente disjuntas das imagens com

mesmo índice. Sejam et+1, . . . , et+w ∈ Hm(A) geradores de dimensão m. (Note que w = vj

se m = qj.)

Se tomamos certo cuidado na formação da soma conexa, é claro que os mergulhos Sqji∼=

xi × Sqji ⊂ S

pj

i × Sqji , onde xi ∈ S

pj

i , produzem mergulhos Sqji → Mn, i = 1, . . . , rj ,

representando um sistema de geradores de Hqj(M) que são mutuamente disjuntos. Utilize

um colar de M em A′ = A− (◦N1 ∪ · · · ∪

◦Nt) para obter mergulhos gi : Sqj →

◦

A′ com imagens

mutuamente disjuntas, i = 1, . . . , rj . Agora, seja yi ∈ gi(Sqj ), i = 1, . . . , rj, pontos quaisquer

e seja ai : [i, i+ 1]→◦

A′, i = 1, . . . , rj − 1, mergulhos tais que

ai([i, i + 1]) ∩ gk(Sqj) =

yi se k = i

yi+1 se k = i+ 1

∅ c.c.

.

Como dimA ≥ 6, é possível selecionar um mergulho ai tal que

ai([i, i+ 1]) ∩ ak([k, k + 1]) =

yi se k = i− 1

yi+1 se k = i+ 1

∅ se k 6= i− 1, i, i + 1


Assim, os mergulhos gi, i = 1, . . . , rj “cabem juntos” a um dado mergulho g : X(rj)→ A′.

Seja N uma vizinhança regular de g(X(rj)) em◦

A′. Então N é também uma vizinhança

regular de g(X(rj)) em Sn+1. Logo, pelo Corolário 5.2.4

N = ♮ri=1Sqji ×B

pj+1.

Como a inclusão M ⊂ A induz epimorfismo Hqj(M) → Hqj(A), segue da construção de N

que Hqj(N)→ Hqj(A) é também um epimorfismo.

Agora, sejam e′1, . . . , e′rj ∈ Hqj(N) um conjunto de geradores tal que e′j projeta a ei+1 ∈

Hqj(A) para i = 1, . . . , rj e a zero caso contrário. O Corolário 5.2.8 mostra que e′1, . . . , e′rj

podem ser representados por qj-esferas mergulhadas mutuamente disjuntas em N . Logo,

existem mergulhos fi : Sqji →

◦A, i = t + 1, . . . , t + vj , representando et+1 . . . , et+vj

, cujas

imagens são mutuamente disjuntas e não encontram qualquer das outras esferas mergulhadas

fi(Si), i = 1, . . . , t.

Por indução, portanto, existem mergulhos fi : Si →◦A representando ei, i = 1, . . . , r, com

imagens mutuamente disjuntas. O mergulho

f : X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs)→◦A

é obtido dos fi por argumentos similares aos utilizados anteriormente para a construção do

mergulho g : X(rj) →◦

A′. Note que segue da construção de f que f∗ : H∗(X) → H∗(A) é

isomorfismo.

Agora, seja N uma vizinhança regular de f(X) em◦A. Então π1(∂N) = 1 pelo Corolário

5.2.4. Como π1(A) e π1(N) também são triviais, segue do Teorema de Van Kampen que

π1(A−◦N) = 1. Mas também Hi(A−

◦N, ∂N) ≈ Hi(A,N) = 0 para todo i, já que f∗ é

isomorfismo. Logo, a inclusão ∂N ⊂ A−◦N é uma equivalência de homotopia.

Como π1(M) = 1 e Hi(A−◦N,M) = 0, pela Dualidade de Lefschetz, a inclusão M ⊂ A−

◦N

é também uma equivalência de homotopia. Logo, pelo Teorema do h-cobordismo, A−◦N ∼=

∂N × I e A é uma vizinhança regular de f(X). Isto conclui a prova da afirmação (a).

Como a afirmação (b) segue do Corolário 5.2.4, a prova do teorema está completa.�

Segunda parte

Teorema 5.2.9. Sejam f, g : X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs) → Sn+1 mergulhos e sejam P e Q

vizinhanças regulares de f(X) e g(X) respectivamente. Então existe um homeomorfismo

h : Sn+1 → Sn+1 de grau 1, tal que h(P ) = Q.

Antes de provar este teorema, vamos fixar a notação e provar dois lemas preliminares.

Nestes e na demonstração do Teorema 5.2.9 denotamos X = X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs) e se

u1 ≥ 1, X1 = Sp11 e X2 = X − (X1 ∪ [1, 2)).


Lema 5.2.10. Seja u1 ≥ 1. Seja f : X → Sn+1 um mergulho e seja N (N2) uma vizinhança

regular de f(X) em Sn+1 (de f(X2) em◦N). Então existe um mergulho f ′ : X → N e uma

bola Bn+1 ⊂ Sn+1 tal que:

(a) N é uma vizinhança regular de f ′(X) em Sn+1

(b) f(X1) ⊂ B e B ∩N2 = ∅

Prova: Como N (respectivamente N2) colapsa a X (respectivamente a X2) e u1 ≥ 1, a

seqüência exata do par (N,N2)

· · · → Hi(N2)→ Hi(N)→ Hi(N,N2)→ Hi−1(N2)→ · · ·

mostra que Hp1(N,N2) ≈ Z e Hi(N,N2) = 0 se i 6= p1. Com efeito, uma vez que 2 ≤ p1 <

p2 < · · · < ps ≤ qs < · · · < q2 < q1 segue Hp1(N) ≈ Zu1 e Hp1(N2) ≈ Zu1−1. Além disso,

é fácil notar que a inclusão N2 ⊂ N induz isomorfismo Hi(N2) → Hi(N) para todo i > p1.

Assim, ficamos com a seqüência exata

· · · → Hp1+1(N2)≈−→ Hp1+1(N)→ Hp1+1(N,N2)→ Z

u1−1 → Zu1 → Hp1(N,N2)→ 0→ · · ·

donde vemos que, de fato,

Hi(N,N2) ≈

{Z se i = p1

0 se i 6= p1

.

Pelo Teorema 5.2.1, Hp1−1(N,N2) = 0. Assim, são exatas as duas linhas de cima no diagrama

comutativo

0 // Hp1(N2)i1∗ // Hp1(N)

j1∗ // Hp1(N,N2) // 0

0 // Hp1(∂N2)

k1∗

OO

i2∗ //Hp1(N−

◦N2)

k2∗

OO

k4∗��

j2∗ //Hp1(N−

◦N2, ∂N2)

k3∗

OO

// 0

Hp1(∂N2)i3∗ //

Hp1(Sn+1−

◦N2)

Note que k3∗ é um isomorfismo, por excisão. Agora, considere a seqüência de Mayer-

Vietoris

· · · → Hp1+1(Sn+1)→ Hp1(∂N2)

ν−→ Hp1(N2)⊕Hp1(S

n+1−◦N2)→ Hp1(S

n+1)→ · · ·

da tríada (Sn+1;N2, Sn+1−

◦N2). Sendo, obviamente, Hp1+1(S

n+1) ≈ Hp1(Sn+1) = 0, é um

isomorfismo a aplicação ν. Disto segue que são epimorfismos as aplicações k1∗ e i3∗ do

diagrama.


O diagrama, então, mostra que existe uma classe x ∈ Hp1(N−◦N2) que não é imagem por

i2∗ e tal que k4∗(x) = 0 em Hp1(Sn+1−

◦N2). Sendo assim, a comutatividade do quadrado

superior esquerdo do diagrama, onde i1∗ é claramente injetivo e aplica gerador a gerador,

mostra que (j1∗ ◦ k2∗)(x) é um gerador de Hp1(N,N2). Ainda, pela exatidão da seqüência

referente a primeira linha do digrama, Hp1(N) é gerado pela imagem de i1∗ e k2∗(x).

O mergulho f ′ : X → N é agora obtido notando-se que, como N−◦N2 é (p1 − 1)-conexa,

x é esférico e pode ser representado por um mergulho g : Sp1 → (N−◦N2)

◦, sendo f ′|Sp11

= g,

f ′|X2= f |X2

; e estendendo f ′ sobre o intervalo [1, 2] ⊂ X como na prova do Teorema 5.2.2.

Então claramente f ′∗ : Hi(X) → Hi(N) é um isomorfismo se i 6= p1 e tem imagem gerada

pela imagem de i1∗ e por k2∗(x). Assim, f ′∗ : Hp1(X) → Hp1(N) é um epimorfismo. Mas

como ambos os grupos aí envolvidos são abelianos livres em u1 geradores, segue que f ′∗ é

isomorfismo também na dimensão p1.

Portanto, a afirmação (a) segue do Teorema do h-cobordismo.

Para provar a segunda afirmação, note primeiro que Sn+1−◦N2 é (p1 − 1)-conexo. Assim,

como k4∗(x) = 0, o mergulho composto

g : Sp1 → (N−◦N2)

◦ ⊂ Sn+1−◦N2

é homotopicamente nulo. Como q1 ≥ 2, a codimensão deste mergulho é ≥ 3 (n = p1 + q1). A

prova do Teorema 7.4 de [15] então mostra que existe uma bola Bn+1 ⊂ Sn+1−◦N2 tal que

f ′(X1) = g(Sp1) ⊂ Bn+1, provando o item (b).�

Lema 5.2.11. Sejam u1 ≥ 1, n ≥ 5 e sejam f, g : X → Sn+1 mergulhos tais que f |Xi= g|Xi

,

i = 1, 2; e sejam P e Q vizinhanças regulares de f(X) e g(X) respectivamente. Então existe

um homeomorfismo h : Sn+1 → Sn+1 de grau 1 e tal que h(P ) = Q.

Prova: Alterando os mergulhos f |[1,2] e g|[1,2] se necessário, podemos assumir que f |[1,2]∩g|[1,2]consiste de dois pontos f(1) = g(1) e f(2) = g(2). (Como Sn+1, P e Q têm dimensão

≥ 6, é sempre possível alterar f e g desta maneira). Logo f |[1,2] e g|[1,2] combinadas dão

um mergulho ξ : S1 → Sn+1. Seja Φ : S1 × I → Sn+1 um mergulho com Φ|S1×0 = ξ e

Φ(S1 × 1) ⊂ Sn+1 − (f(X1) ∪ f(X2)). (Claramente um tal mergulho existe). Então, como

Sn+1 − (f(X1) ∪ f(X2)) é simplesmente conexo, Φ|S1×1 estende a uma aplicação

Φ1 : B2 → Sn+1 − (f(X1) ∪ f(X2)).

Ainda do fato de n+1 ≥ 6, podemos assumir que Φ1 é um mergulho e que Φ(S1×I)∩Φ1(B2) =

Φ(S1 × 1). Assim, Φ e Φ1 juntos dão um mergulho Ψ : D2 → Sn+1, onde D2 é o 2-disco

(S1 × I)⋃

S1×1

B2, com

Ψ(∂B2) = f([1, 2]) ∪ g([1, 2]).

Seja Bn+1 uma vizinhança regular de Ψ(D2) relativa a f(X1) ∪ f(X2). Então Bn+1 é

uma bola pelo Lema 1 de [16], e f |[1,2] : [1, 2] → Bn+1 e g|[1,2] : [1, 2] → Bn+1 são mergulhos


próprios. Pelo não-enodamento de bolas em bolas [36], então, existe um homeomorfismo

h1 : Bn+1 → Bn+1 de grau 1 tal que

h1f([1, 2]) = g([1, 2]) e h1|∂Bn+1 = identidade

Estenda h1 a um homeomorfismo de Sn+1 tomando h1 = identidade fora de Bn+1.

Claramente h1 tem grau 1. Então, como f(Xi) ∩ Bn+1 = f(i) e g|Xi

= f |Xi, i = 1, 2,

h1f(X) = g(X). Assim, h1(P ) é uma vizinhança regular de g(X). Pela unicidade da

vizinhança regular, então, existe um homeomorfismo h2 : Sn+1 → Sn+1 de grau 1 com

h2(h1(P )) = Q. Tomando-se h = h2h1 completa-se a prova. �

Prova do Teorema 5.2.3: Faremos esta prova por indução sobre o número r (= u1 + · · ·+

us + v+ + · · ·+ vs) de esferas em X = X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs).

Se r = 1, então X = Sp, com 2 ≤ p ≤ q e p+ q = n ≥ 5. Assim, (n + 1) − p = q + 1 ≥ 3

e, portanto, pelo Teorema 2 de [36], X não enoda em Sn+1. Logo f(X) e g(X) não são

enodamentos e o resultado segue da unicidade da vizinhança regular.

Agora, suponha válido o teorema para r − 1 esferas e seja X com r esferas. Existem dois

casos a se considerar:

1◦ Caso: X = X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs) com u1 ≥ 1. Neste caso assumimos, sem perda de

generalidade, que f e g satisfazem (a) e (b) do Lema 5.2.10 e que, como no Lema 5.2.3,

P = P1 ∪ C ∪ P2, Q = Q1 ∪ D ∪ Q2, onde P1 (Q1) é uma vizinhança regular de f(X1)

(de g(X1)), P2 (Q2) é uma vizinhança regular de f(X2) (de g(X2)), C e D são bolas, e

P1 ∩ P2 = ∅ = Q1 ∩ Q2. Como P1 colapsa a f(X1) e existe uma (n + 1)-bola B1 com

f(X1) ⊂ B1, podemos engolfar P1 em B1 e assumir pelo Lema 7.1 de [15] que P1 ⊂ B1.

Portanto, podemos assumir que B1 ∩ P2 = ∅. Similarmente, assumimos que existe uma

(n+ 1)-bola B2 com Q1 ⊂ B2 e B2 ∩Q2 = ∅.

Agora, pelo Lema 5.2.5, existe um homeomorfismo h1 : Sn+1 → Sn+1 de grau 1 com

h1(B1) = B2 e h1(Q2) = Q2, uma vez que Q2 ⊂ Sn+1− (B1∪B2) não desconecta Sn+1. Pela

hipótese de indução existe um homeomorfismo h2 : Sn+1 → Sn+1 de grau 1 com h2h1(P2) =

Q2. Afirmamos que h2 pode ser escolhido tal que h2|B2= identidade. Com efeito: se esta

afirmação não fosse certa, então teríamos B2 e h(B2) duas bolas distintas em Sn+1, e Q2 um

poliedro em Sn+1 − (B2 ∪ h2(B2)) que não desconecta Sn+1. Considere o homeomorfismo

h−12 : h2(B2) → B2, obviamente de grau 1, inverso do homomorfismo h2 restrito a h2(B2).

Pelo Lema 5.2.5, existe um homeomorfismo k : Sn+1 → Sn+1 de grau 1 (isotópico a 1Sn+1),

tal que k|Q2é a identidade e k|h2(B2) = h−1

2 . Logo,

kh2h1(P2) = k(Q2) = Q2 e kh2|B2= h−1

2 h2 = identidade.

Substituindo h2 por kh2 verifica-se a afirmação.

Similarmente, como Sn+1−◦B2 é uma (n+1)-bola, existe um homeomorfismo h3 : Sn+1 →

Sn+1 de grau 1 tal que h3h2h1(P1) = Q1 e h3|Sn+1−

◦

B2

é a identidade. Assim, se h′ = h3h2h1,

h′(P1) = Q1 e h′(P2) = Q2


Defina um mergulho f ′ : X → h′(P ) fazendo f ′|Xi= g|Xi

, i = 1, 2, e fazendo f ′|[1,2]

descrevendo um caminho em h′(P ) entre g(1) e g(2) não interceptando g(X1)∪ g(X2). Como

h′(Pi) = Qi colapsa a g(Xi), i = 1, 2, não é muito difícil verificar que f ′ : X → h′(P ) é

uma equivalência de homotopia e que h′(P ) é, portanto, uma vizinhança regular de f ′(X).

Ficamos, então, com mergulhos f ′, g : X → Sn+1 com f ′|Xi= g|Xi

, i = 1, 2, sendo Q

vizinhança regular de g(X) e h′(P ) vizinhança regular de f ′(X). Pelo Lema 5.2.11, existe um

homeomorfismo h4 : Sn+1 → Sn+1 de grau 1 tal que h4h′(P ) = Q.

Tomando-se h = h4h′ completa-se a prova do 1◦ caso.

2◦ Caso: X = X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs) com u1 = 0. Neste caso, como

∂P = (#r1i=1S

p1i × S

q1i )# · · ·# (#rs

i=1Sps

i × Sqsi ) ,

segue do Lema 5.2.1 e Teorema 5.2.2 que existem mergulhos

f ′, g′ : X ′(u′1, . . . , u′s, v

′1, . . . , v

′s)→ Sn+1

tais que Sn+1−◦P e Sn+1−

◦Q são vizinhanças regulares de f ′(X) e g′(X) respectivamente,

onde u′j = rj − uj e v′j = rj − vj .

Agora, se v1 ≥ 1, então u′1 ≥ 1 e existe, pelo 1◦ caso, um homeomorfismo h : Sn+1 → Sn+1

de grau 1 tal que h(Sn+1−◦P ) = Sn+1−

◦Q. Mas então h(P ) = Q, completando a prova do

2◦ caso e do teorema. Por outro lado, se v1 = 0, então não se tem esferas em dimensões p1

e q1. Logo, podemos renumerar as esferas chamando p2 de p1, . . . , pn de pn−1, e o mesmo

com os qj, j = 1, . . . , n. Repetimos este processo (um número claramente finito de vezes) até

que se obtenha u1 ≥ 1 ou v1 ≥ 1, aplicando na seqüência o 1◦ ou o 2◦ caso respectivamente,

e concluindo o teorema. �

Terceira parte

Teorema 5.2.12. Sejam f : X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs)→ Sn+1 e g : X ′(u′1, . . . , u′s, v

′1, . . . , v

′s)→

Sn+1 mergulhos, e sejam P e Q vizinhanças regulares de f(X) e g(X ′) respectivamente. Para

que exista um homeomorfismo h : Sn+1 → Sn+1 de grau 1 tal que h(∂P ) = ∂Q é necessário e

suficiente que uj + vj = u′j + v′j, j = 1, . . . , s, e que uma das seguintes afirmações seja válida:

(i) Se n é ímpar ou se n é par e ps 6= n2 , uj = u′j e vj = v′j , j = 1, . . . , s, ou uj = v′j e

vj = u′j, j = 1, . . . , s.

(ii) Se n é par e ps = n2 , uj = u′j e vj = v′j, j = 1, . . . , s − 1, ou uj = v′j e vj = u′j,

j = 1, . . . , s− 1.

Prova: Separamos os casos.

(i) Suponha que exista um homeomorfismo h : Sn+1 → Sn+1 de grau 1 tal que h(∂P ) =

∂Q. Então ∂P e ∂Q têm homologias isomorfas e como, pelo Teorema 5.2.2, Hpj(∂P ) é

abeliano livre de posto uj + vj enquanto Hpj(∂Q) é abeliano livre de posto u′j + v′j , segue que


uj + vj = u′j + v′j , j = 1, . . . , s. Também como h é um homeomorfismo e ∂P e ∂Q separam

Sn+1 em duas componentes, ou h(P ) = Q ou h(P ) = Sn+1−◦Q. Se h(P ) = Q, então P e Q

tem as mesmas homologias. Além disso, pelo Lema 5.2.1, temos:

Hi(P ) ≈

Z se i = 0

Z uj se i = pj , j = 1 . . . , s

Z vj se i = qj , j = 1 . . . , s

0 c.c.

ou Hi(P ) ≈

Z se i = 0

Z vj se i = pj , j = 1 . . . , s

Z uj se i = qj, j = 1 . . . , s

0 c.c.

e

Hi(Q) ≈

Z se i = 0

Zv′j se i = pj , j = 1 . . . , s

Zu′j se i = qj , j = 1 . . . , s

0 c.c.

ou Hi(Q) ≈

Z se i = 0

Zu′j se i = pj, j = 1 . . . , s

Zv′j se i = qj, j = 1 . . . , s

0 c.c.

o que mostra que uj = u′j e vj = v′j , j = 1, . . . , s, ou uj = v′j e vj = u′j , j = 1, . . . , s. Se, por

outro lado, h(P ) = Sn+1−◦Q, um argumento similar usando as homologias de P e Sn+1−

◦Q

e o Lema 5.2.1 mostra que, também neste caso, uj = u′j e vj = v′j, j = 1, . . . , s, ou uj = v′j e

vj = u′j , j = 1, . . . , s.

Agora, suponha que (i) valha. Então se uj = u′j e vj = v′j, j = 1, . . . , s, X e X ′ são

homeomorfos e existe um homeomorfismo h : Sn+1 → Sn+1 de grau 1 com h(∂P ) = ∂Q, pelo

Teorema 5.2.9. Por outro lado, suponha uj = v′j e vj = u′j, j = 1, . . . , s. Então pelo Lema

5.2.1, Hpj(Sn+1−

◦Q) e Hqj(S

n+1−◦Q) são abelianos livres de posto uj e vj , respectivamente,

j = 1, . . . , s; já que Hpj(∂Q) e Hqj(∂Q) são abelianos livres de posto u′j + v′j pelo Teorema

5.2.2, e Hpj(Q) e Hqj(Q) são abelianos livres de posto u′j e v′j , respectivamente. Logo, pelo

Teorema 5.2.2 existe um mergulho

g′ : X(u1, . . . , us, v1, . . . , vs)→ Sn+1

tal que Sn+1−◦Q é uma vizinhança regular de g′(X). Outra aplicação do Teorema 5.2.9 dá o

homeomorfismo h.

(ii) A prova da condição necessária é idêntica a do caso anterior. Já a condição suficiente,

repare, não impõe condições de relação entre os valores us, vs, u′s e v′s. Pois muito bem,

sendo n par e ps = n/2, uma vez que ps + qs = n, é também qs = n/2. Logo, assumindo

us + vs = u′s + v′s, tanto f(X) quanto g(X ′) possui o mesmo número de esferas de dimensão

n/2 = ps = qs.

Agora, se denotamos por X(us, vs) o subconjunto de X formando somente pelas esferas

de dimensão ps e qs coladas no intervalo [u1 + · · ·+us−1 +1, u1 + · · ·+us + vs] reunido com o

intervalo (u1+ · · ·+us+vs, u1+ · · ·+us+vs+1], e denotamos por X ′(u′s, v′s) o subconjunto de

X ′ formando somente pelas esferas de dimensão ps e qs coladas no intervalo [u′1 + · · ·+u′s−1 +

1, u′1 + · · ·+ u′s + v′s] reunido com o intervalo (u′1 + · · ·+ u′s + v′s, u′1 + · · ·+ u′s + v′s + 1]; então

X(us, vs) é naturalmente homeomorfo a X ′(us, vs). Logo, se Ps ⊂◦P e Qs ⊂

◦Q são vizinhanças


regulares de X(us, vs) e X ′(us, vs) respectivamente, segue da unicidade da vizinhança regular

que existe um homeomorfismo h1 : Sn+1 → Sn+1 de grau 1, tal que h1(Ps) = Qs.

Seja X o espaço quociente obtido de

(X − {X(us, vs) ∪ [u1 + · · ·+ us + vs, u1 + · · ·+ us + vs + 1]}) ∪ {u1 + · · ·+ us−1 + 1}

segundo a relação u1 + · · ·+ us−1 + 1 ≡ u1 + · · ·+ us + vs + 1. Seja X ′ o espaço construído

de modo análogo partindo de X ′. Pela prova da primeira parte do teorema, se P ⊂◦P e Q ⊂

◦Q

são vizinhanças regulares de f(X) e g(X ′) respectivamente, então existe um homeomorfismo

h2 : Sn+1 → Sn+1 de grau 1, tal que h2(P ) = Q.

Agora, não é difícil notar que Ps∪ P ⊂◦P e Qs∪Q ⊂

◦Q são vizinhanças regulares de f(X) e

g(X ′), respectivamente. Logo, pela unicidade da vizinhança regular P ∼= Ps∪P e Q ∼= Qs∪Q.

Vê-se, então, que h1 e h2 dão juntos um homeomorfismo h : Sn+1 → Sn+1 de grau 1, tal que

h(P ) = Q, o que conclui a prova do teorema. �

5.3 A prova do teorema principal

Concluídas as provas dos três teoremas apresentados na seção anterior, estamos prepara-

dos para proceder a prova do teorema principal, que agora pode ser feita de forma bastante

simples utilizando apenas os resultados apresentados nos referidos teoremas e argumentos

básicos de análise combinatória. Vamos a prova.

Prova do Teorema 5.1.1: Como qualquer homeomorfismo h : Sn+1 → Sn+1 de

grau 1 é ambiente isotópico a identidade, os Teoremas 5.2.2 - 5.2.12 estabelecem uma cor-

respondência um a um entre elementos de Pseudo-Iso(Mn, Sn+1) e seqüências de inteiros

u1, . . . , us, v1, . . . , vs, 0 ≤ uj ≤ rj , 0 ≤ vj ≤ rj, j = 1, . . . , s, satisfazendo somente as relações

uj + vj = rj , j = 1, . . . , s, e (i) ou (ii) do Teorema 5.2.12.

Um cálculo simples completa a prova. �

X

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Lista de Símbolos

Z os inteiros

Zp os inteiros módulo p

Zn grupo livre em n geradores

R o corpo dos reais

C o corpo dos complexos

Q os quatérnios

O os octônios

Sn esfera n-dimensional

T n toro n-dimensional

E4 os Gêmeos de Montesinos

In matriz identidade de ordem n

Ip cubo unitário p-dimensional

Ip fronteira do cubo unitário p-dimensional

⋆ um ponto base

≈ isomorfismo entre objetos algébricos∼= homeomorfismo (ou difeomorfismo) entre objetos topológicos

` produto cup

a produto cap

⊗ produto tensorial

⊕ soma direta de grupos

× produto cartesiano de espaços∏

produto de espaços

∗ produto livre de grupos

# soma conexa de variedades sem bordo

♮ soma conexa de variedades ao longo do bordo

≺ é face de

111

112 Lista de Símbolos

1X aplicação identidade em X

f∗ aplicação entre grupos de homologia induzida por f

f∗ aplicação entre grupos de cohomologia induzida por f

f♯ aplicação entre grupos de homotopia induzida por f

degf grau da aplicação f

⌊x⌋ menor inteiro maior ou igual a x

〈 , 〉 produto interno usual do Rn

⋖ , ⋗ produto de Kronecker

[[ , ]] produto de Whitehead

≺ , ≻ tipo de um nó toroidal

Kn nó toroidal do tipo ≺ n, 2n+ 1 ≻

NK vizinhança tubular do nó K

X o giro de um conjunto X◦A interior de A

A fecho de A

∂A bordo (ou fronteira) de A

Ker núcleo

Im imagem

Tor produto Torção

Ext produto Extensão

Df(x) derivada de f no ponto x

TxM espaço tangente a M no ponto x

χ(M) Característica de Euler de M

dimM dimensão da variedade M

[M ] classe fundamental de M (em homologia)

[M ]∗ classe fundamental de M (em cohomologia)

Z(G) centro do grupo G

πn( ) grupo de homotopia n-dimensional

Hn( ) grupo de homologia n-dimensional

Hn( ) grupo de homologia reduzida n-dimensional

Hn( ) grupo de cohomologia n-dimensional com coeficientes em Z

Hn( ) grupo de cohomologia reduzida n-dimensional com coeficientes em Z

Hn( , ) grupo de homologia relativa n-dimensional

Hn( , ) grupo de cohomologia relativa n-dimensional com coeficientes em Z

Hn( ;G) grupo de cohomologia n-dimensional com coeficientes em G

Aut(X) grupo dos automorfismos de X

Hom(X,Y) grupo dos homomorfismo de X em Y

Pseudo-Iso(X,Y ) conjunto das classes de Pseudo-Isotopia de X em Y

Índice Remissivo

alça, 80

aplicação

de colagem, 80

característica, 80

bordo, 19

de um simplexo singular, 21

cadeia

(s) homólogas, 21

singular, 21

Característica de Euler, 84, 87

centro de um grupo, 33

cerne, 80

ciclos, 19

classe de Pseudo-Isotopia, 91

cobordismo produto, 30

cobordo, 20

cocadeia, 20

singular, 22

cocerne, 80

complexo

aumentado, 20

quociente, 20

de cadeias, 19

derivado, 95

Conjetura de Poincaré generalizada, 30

disco liso, 32

Dualidade

de Alexander, 29

de Poincaré-Lefschetz, 29

elemento primitivo, 62

enlaçamento, 31

equivalência de homotopia, 27

fraca, 27

esfera

-cinta, 80

de colagem, 80

espaço tangente, 48

estrela, 95

exatidão, 22

excisão, 22

face, 96

Fórmula de Künneth, 23

grau de uma aplicação, 30, 44

grupo de cohomologia

reduzido, 21

singular, 22

com coeficientes em G, 20

grupo de homologia, 19

reduzido, 21

relativa, 22

singular, 21

com coeficientes em G, 19

grupo de permutações, 39

grupo de um nó, 32

114 Índice Remissivo

Gêmeos de Montesinos, 79, 81

h-cobordismo, 30

H-espaços, 29

homotopia, 22

Índice de Kronecker, 20

isotopia ambiente, 31

matriz

induzida por difeomorfismo, 44

realizada por um difeomorfismo, 45

mergulho

(s) isotópicos, 31

exótico, 53

não-exótico, 53

liso, 32

suave, 34

nó, 31

girado, 33

liso, 32

localmente liso, 32

suave, 32

toroidal, 32

trivial, 32

número de intersecção, 62, 65

Octônios, 46

operador

bordo, 19

cobordo, 22

slant, 24

cobordo, 20

par de Gêmeos, 80

produto

cap, 25

cup, 25

de Kronecker, 23

de Whitehead, 28, 50

livre amalgamado, 63

wedge, 28

tensorial, 19

Pseudo-Isotopia, 91

Quatérnios, 46

reflexão, 45

Seqüência de Mayer-Vietoris, 23

simplexo

padrão, 21

singular, 21

soma conexa ao longo do bordo, 95

sub-complexo de cadeias, 20

Teorema

da separação de Brouwer, 31

de Hurewicz, 27

de Van Kampen, 26

de Whitehead, 27

do h-cobordismo, 30

do homorfismo de Hurewicz, 27

dos coeficientes universais para homolo-

gia, 20

dos coeficientes universais para coho-

mologia, 20

triangulação, 95

tríada

de variedades, 30

exata, 23

vizinhança

regular de uma 2-esfera, 80

regular, 95

tubular, 31

vértice, 95

wedge, 94

Fenille.pdf - Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da USP

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