FELADATOK KOMPLEX SZÁMOK TÉMAKÖR...SZIE GAEK MATEMATIKA II. ATTI KOMPLEX SZÁMOK 1 FELADATOK MEGOLDÁSOKKAL KOMPLEX SZÁMOK TÉMAKÖR 1.Oldjuk meg az adott egyenletet, ahol x,y

SZIE GAEK MATEMATIKA II.

ATTI KOMPLEX SZÁMOK

1

FELADATOK MEGOLDÁSOKKAL KOMPLEX SZÁMOK TÉMAKÖR

1. Oldjuk meg az adott egyenletet, ahol Ryx , :

a) iyixi 1523123

Megoldás:

iyiyxix 152323

iiyxyx 152323

1532

323

yx

yx

1532

639

yx

yx +

217 x 3x

Behelyettesítve: 233 y 7y

Tehát a megoldás:

7

3

y

x

Ellenőrzés:

iiiii 15221769731323

b) iyixi 746554

Megoldás:

iyiyxix 746554

iiyxyx 746554

4765

5454

yx

yx

282420

202520

yx

yx +

8 y 8y

Behelyettesítve: 4854 x 444 x 11x

Tehát a megoldás:

8

11

y

x

Ellenőrzés:

iiiii 74484055448651154



2

2. Végezzük el a műveleteket:

a)

i

ii

2

2134

Megoldás:

ii

iii

ii

ii

i

i

i

iii

i

ii

435

2015

12

5101020

22

2510

2

510

2

6834

2

213422

1

2

1

2

b)

14

31

23

252

i

i

i

i

Megoldás:

i

iiii

ii

ii

i

i

iii

iiiiii

ii

iiii

i

i

i

i

i

ii

i

i

i

i

i

i

221

406

221

93

221

40693

1011

160176230253

10111011

10111623

1011

1623

28312

1218162428520

1423

23681425

14

68

23

25

14

961

23

25

14

31

23

25

22

1

2

1

2

1

2

1

2

1

22

c)

20132

11

7

1

1

1

2

i

i

i

i

Megoldás:

2

3

11

22

11

12

1

2

1

222

1

2

11

7 iiii

ii

ii

i

i

i

i

i

i

2

34

4

68

4

69

2

3

1

2

1

222

11

7 iiiii

i

i

iiii

ii

ii

i

i

2

2

11

21

11

11

1

122

1

2

iiii

ii

20132013

2013

1

1

iiii

ii

i

i

i

i2

2

3

2

43

2

34

2

34

1

1

1

2

1

220132

11

7



3

d) 32

1

2

117

2

17

3

ii

i

Megoldás:

5

3

12

22

22

21

2

1

2

122

1

2

17

3 iiii

ii

ii

i

i

i

i

i

i

25

68

25

69

5

3

2

1

1

222

17

3 iiii

i

i

13

23

23

23

2323

23

23

1

32

12217

ii

ii

i

iii

ii

iiiiii

ii

i

325

28

325

29

325

2829

325

507578104

325

23256813

13

23

25

68

32

1

2

117

2

17

3

3. Oldjuk meg az adott valós együtthatójú másodfokú egyenletet:

a) 02582 xx

Megoldás:

02582 xx

iii

x 342

68

2

368

2

368

2

25488 22

2,1

Tehát a megoldások:

ix

ix

34

34

2

1

Ellenőrzés:

ix 341

0772524329241625348341

22

iiiii

ix 341

0772524329241625348341

22

iiiii

b) 053182 2 xx

Megoldás:

053182 2 xx

2

59

4

1018

4

10018

4

10018

22

53241818 22

2,1

iiix


ii

x

ii

x

2

5

2

9

2

59

2

5

2

9

2

59

2

1



4

Ellenőrzés:

2

591

ix

045284528

5345812

905653599

4

259081253

2

5918

2

592

1

22

ii

ii

iiiii

2

592

ix

045284528

5345812

905653599

4

259081253

2

5918

2

592

1

22

ii

ii

iiiii

4. Oldjuk meg az adott komplex együtthatójú másodfokú egyenletet:

a) 03242 izz

Megoldás:

03242 izz

2

124

2

1444

2

1444

2

128164

2

32444 2

1

22

2,1

iiiiiiiiiz

iiii

z 82

16

2

1241

i

iiiz 4

2

8

2

1242


iz

iz

4

8

2

1

Ellenőrzés:

iz 81

0323232326432848

1

2222

iiiiii

iz 42

0323232161632444

1

2222

iiiiii



5

b) 051342 iziz

Megoldás:

051342 iziz

2

4334

2

2049241634

2

5143434

1

22

2,1

iiiiiiiiiz

biai 43 , ahol Rba ,

abibaibabiabiai 2243 22

1

2222

0mert ,2

2

442

322

bbb

aab

ba

32 2

2

b

b 22

23

4bb

b 24 34 bb 043 24 bb

Legyen tb 2 . Így 0432 tt

2

53

2

253

2

4433 2

2,1

t

42

8

2

531

t 42 b nincs valós megoldás

12

2

2

532

t 12 b 12,1 b

Ha 1b , akkor 21

2a Ha 1b , akkor 2

1

2

a

A kapott megoldások:

1

2

b

a és

1

2

b

a (a két komplex szám egymás ellentettje)

Így ii 243

Mindezek alapján:

2

234

2

43342,1

iiiiz

iiii

z 232

46

2

2341

i

iiiz

1

2

22

2

2342


iz

iz

1

23

2

1

Ellenőrzés:

iz 231

0225169812412951233423

1

2222

iiiiiiiiiii

iz 12

02251343421511341

1

2222

iiiiiiiiiii



6

5. Végezzük el a négyzetgyökvonás műveletét:

i34

Megoldás:

biai 34 , ahol Rba ,

abibaibabiabiai 2234 22

1

2222

0mert ,2

332

422

bb

aab

ba

42

3 2

2

b

b 22

244

4

9bb

b 24 1649 bb 09164 24 bb

Legyen tb 2 . Így 09164 2 tt

8

2016

8

40016

42

9441616 2

2,1

t

2

9

2

541

t

2

92 b nincs valós megoldás

2

1

2

542

t

2

12 b 2

2

2

12,1 b

Ha 2

2b , akkor

2

23

2

3

2

22

3

a

Ha 2

2b , akkor

2

23

2

3

2

22

3

a


2

2

2

23

b

a

és

2

2

2

23

b

a

(a két komplex szám egymás ellentettje)

Tehát

ii

2

2

2

2334

Ellenőrzés:

iiiiii 342

13

2

9

4

2

4

2232

4

29

2

2

2

23

2

2

2

23

1

2

22



7

6. Oldjuk meg az adott egyenletet, ahol Cz :

a) izz 42

Megoldás:

Legyen biaz , ahol Rba , 22 baz

ibiaba 4222

44

222

bb

aba

2422 aa

22 216 aa feltétel: 02 a

22 4416 aaa

124 a 3a (teljesíti a feltételt)

Tehát a megoldás:

4

3

b

a, azaz a keresett komplex szám iz 43

Ellenőrzés:

iiizz 424354343 22

b) 12 zz Megoldás:

Legyen biaz , ahol Rba , biaz

12

biabia

12

1

222

biaibabia

1222 ibababa

012 vagy 001202

122

ababbab

aba

Ha 0b , akkor

12 aa

012 aa

2

51

2

1411 2

2,1

a


0

2

51

b

a

2

511

z

0

2

51

b

a

2

512

z



8

Ha 012 a , azaz 2

1a , akkor

12

1

2

1 2

2

b

12

1

4

1 2 b

14

3 2 b

4

12 b nincs valós megoldás


2

51

2

51

2

1

z

z

Ellenőrzés:

1112

51zzRz

14

4

4

522526

4

522

4

5521

2

51

2

512

2222

51zzRz

14

4

4

522526

4

522

4

5521

2

51

2

512

7. Írjuk fel az adott komplex számokat trigonometrikus alakban:

a) 55 iz

Megoldás:

55 iz 5;5P I. negyed

10555522

r

18045 vagy 45:15

5tg (nem jó)

4

4sin

4cos10

iz



9

b) iz 434

Megoldás:

iz 434 4;34 P IV. negyed

864164843422

r

18030 vagy 30:3

3

3

1

34

4tg

(nem jó)

6

112

6

6

11sin

6

11cos8

iz

c) iz2

6

2

2

Megoldás:

iz2

6

2

2

2

6;

2

2P II. negyed

24

6

4

2

2

6

2

222

r

12018060 vagy jó) (nem 60:3

2

2

2

6

tg

3

2

3

2sin

3

2cos2

iz

8. Végezzük el a műveleteket:

a) 8153221 ii

Megoldás:

iz 11 1;1P II. negyed

21111 22r

13518054 vagy jó) (nem 45:11

1tg

4

3



10

4

3sin

4

3cos21

iz

4

45sin

4

45cos2215

4

3sin15

4

3cos2 7

1515

1

iiz

4

525

4

45arg

4

452 15

1

z

4

5sin

4

5cos227

i


4161243222

2 r

18006 vagy 60:32

32tg (nem jó)

3

3sin

3cos42

iz

3

2sin

3

2cos2

3

8sin

3

8cos28

3sin8

3cos4 161688

2

iiiz

3

22

3

8arg

3

82 8

2

z

12

23sin

12

23cos22

3

2

4

5sin

3

2

4

5cos22

3

2sin

3

2cos2

4

5sin

4

5cos223221

2323

1678

2

15

1

815

ii

iizzii

b) 6

7

33

3

i

i

Megoldás:

iz 31 1;3 P IV. negyed

24131322

r

18030 vagy 30:3

3

3

1

3

1tg

(nem jó)

6

112

6

6

11sin

6

11cos21

iz



11

6

5sin

6

5cos2

6

77sin

6

77cos27

6

11sin7

6

11cos2 7777

1

iiiz

6

526

6

77arg

6

772 7

1

z

iz 332 3;3 P III. negyed

2318993322

r

22518054 vagy jó) (nem 45:13

3tg

4

5

4

5sin

4

5cos232

iz

2

15sin

2

15cos236

4

5sin6

4

5cos23 36

66

2

iiz

2

323

2

15arg

2

152 6

2

z

2

3sin

2

3cos23 36

i

3

4sin

3

4cos

729

16

3

2sin

3

2cos

729

16

2

3

6

5sin

2

3

6

5cos

3

2

2

3sin

2

3cos23

6

5sin

6

5cos2

33

36

4

36

7

6

2

7

1

6

7

ii

i

i

i

z

z

i

i

3

42

3

2arg0

3

26

2

7

1

z

z

9. Végezzük el a gyökvonás műveletét:

a) 6 31 i

Megoldás:


2431312

2 r



12

18006 vagy 60:31

3tg (nem jó)

3

3sin

3cos231

ii

6

23sin

6

23cos231 66

k

i

k

i , ahol ;5;4;3;2;1;0k

18

sin18

cos26

3sin6

3cos20 660

iiwk

18

7sin

18

7cos2

6

23sin

6

23cos21 66

1

iiwk

18

13sin

18

13cos2

6

43sin

6

43cos22 66

2

iiwk

18

19sin

18

19cos2

6

63sin

6

63cos23 66

3

iiwk

18

25sin

18

25cos2

6

83sin

6

83cos24 66

4

iiwk

18

31sin

18

31cos2

6

103sin

6

103cos25 66

5

iiwk

b) 4 3i

Megoldás:

iz 3

3330 222 r

290:

0Im

0Re

z

z



13

2sin

2cos33

ii

4

22sin

4

22cos33 44

k

i

k

i , ahol ;3;2;1;0k

8

sin8

cos34

2sin4

2cos30 440

iiwk

8

5sin

8

5cos3

4

22sin

4

22cos31 44

1

iiwk

8

9sin

8

9cos3

4

42sin

4

42cos32 44

2

iiwk

8

13sin

8

13cos3

4

62sin

4

62cos33 44

3

iiwk

c) 5 32

Megoldás:

32z

3232032 222r

180:0Im

0Re

z

z

sincos3232 i

5

2sin

5

2cos3232 55 k

ik

, ahol ;4;3;2;1;0k

5sin

5cos20 0

iwk

5

3sin

5

3cos2

5

2sin

5

2cos21 1

iiwk

sincos25

4sin

5

4cos22 2

iiwk

5

7sin

5

7cos2

5

6sin

5

6cos23 3

iiwk



14

5

9sin

5

9cos2

5

8sin

5

8cos24 4

iiwk

d) 3

2

31

i

i

Megoldás:

311 iz 3;1P IV. negyed

2431312

2 r

18060 vagy 60:31

3tg

(nem jó)

3

52

3

3

5sin

3

5cos21

iz

iz 22

2220 222 r

2

3270:

0Im

0Re

z

z

2

3sin

2

3cos22

iz

6sin

6cos

2

3

3

5sin

2

3

3

5cos

2

3sin

2

3cos2

3

5sin

3

5cos2

2

1

ii

i

i

z

z

3

26sin

3

26cos1

2

31 33

2

13

k

i

k

z

z

i

i ahol ;2;1;0k

18sin

18cos

3

6sin3

6cos0 0

iiwk

18

13sin

18

13cos

3

26sin

3

26cos1 1

iiwk

18

25sin

18

25cos

3

46sin

3

46cos2 2

iiwk



15

10. A komplex számsíkon határozzuk meg azon z komplex számok mértani helyét, amelyekre

teljesülnek az alábbi feltételek:

a) 2Re1 z

Megoldás:

Legyen yixz , ahol Ryx , xz Re

2Re1 z 21 x

b) 3Im2 z

Megoldás:

Legyen yixz , ahol Ryx , yz Im

3Im2 z 32 y

c) 6

arg4

z

Megoldás:



16

d) 22 iz

Megoldás:

Legyen yixz , ahol Ryx ,

iyxiyixiz 1222

22122 yxiz

22 iz 222212 yx 412

22 yx

A keresett mértani hely egy 1;2 középpontú 2 egység sugarú körlap.

e) 2311 iz

Megoldás:

Legyen yixz , ahol Ryx ,

iyxiyixiz 313131

223131 yxiz

2311 iz 2222311 yx 4311

22 yx

A keresett mértani hely egy 3;1 középpontú 1, illetve 2 egység sugarú

koncentrikus körök által meghatározott körgyűrű.

FELADATOK KOMPLEX SZÁMOK TÉMAKÖR...SZIE GAEK MATEMATIKA II. ATTI KOMPLEX SZÁMOK 1 FELADATOK MEGOLDÁSOKKAL KOMPLEX SZÁMOK TÉMAKÖR 1.Oldjuk meg az adott egyenletet, ahol x,y

Documents