Top Banner
i FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV OPTIMIZING CONTROL AND TRAJECTORY FOLLOWING OPTIMIZATION By DALE BRIAN MCDONALD A dissertation submitted in partial fulfillment of the requirements for the degree of DOCTOR OF PHILOSOPHY WASHINGTON STATE UNIVERSITY School of Mechanical and Materials Engineering May 2006 ©Copyright by DALE BRIAN MCDONALD, 2006 All Rights Reserved
146

FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

Feb 12, 2022

Download

Documents

dariahiddleston
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Page 1: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

i

FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV

OPTIMIZING CONTROL AND TRAJECTORY

FOLLOWING OPTIMIZATION

By

DALE BRIAN MCDONALD

A dissertation submitted in partial fulfillment of the requirements for the degree of

DOCTOR OF PHILOSOPHY

WASHINGTON STATE UNIVERSITY School of Mechanical and Materials Engineering

May 2006

©Copyright by DALE BRIAN MCDONALD, 2006

All Rights Reserved

Page 2: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

©Copyright by DALE BRIAN MCDONALD, 2006

All Rights Reserved

Page 3: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING
Page 4: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

ACKNOWLEDGMENTS

I have greatly enjoyed my time at Washington State University and have many

individuals who I wish to acknowledge. First and foremost I would like to thank my

advisor, Professor Walter J. Grantham. It was in an undergraduate dynamic systems

course he instructed that I was first exposed to control systems theory; this experience

ultimately led to my decision to attend graduate school. He has not only provided

countless hours of guidance and expertise pertaining to this research, but also great

encouragement as I begin an academic career. I feel extremely fortunate to have had

Professor Grantham as an advisor and mentor; he has made my graduate school

experience truly rewarding and I am forever grateful for this. I would also like to thank

Professor Charles Pezeshki for his support and guidance throughout my graduate school

career. I very much enjoyed working closely with Professor Pezeshki during the

development of the laboratory portion of the mechatronics course and on several

consulting projects. I feel that these experiences will serve me well as I transition into a

faculty career and I am exceedingly grateful for this. I wish to thank Professor Robert H.

Dillon for his guidance and efforts during this research. Early in my Ph. D. program,

Professor Dillon taught a numerical analysis course that I enjoyed greatly; that experience

has given me the tools and inspiration to extend the current research by discretizing the

developed algorithms.

I would also like to thank Professor Hussein M. Zbib; the School of Mechanical and

Materials Engineering has allowed me to gain extensive teaching experience and I am

grateful for this. I wish to thank Annette Cavalieri, Jan Danforth, Mary Simonsen, Gayle

iii

Page 5: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

Landeen, and Sophia Tseng for all of their assistance over the last several years; it has

been an absolute pleasure to work with them. I would like to thank my friend and office

mate Steve Edburg who has provided much moral support throughout graduate school.

I wish to thank my parents, Larry and Cheryl McDonald for their great support

throughout my life. I could not imagine more caring, supportive parents. I am particularly

grateful that they encouraged me to follow a technical career and for their financial and

emotional support through the years. I am also thankful for the help and guidance of my

brother Matt McDonald. I wish to thank my children, Rosalia, Cole, and Hayley. They are

able to relieve the stress of the most difficult day with a smile and a hug and I am truly

lucky to be their Father. Finally, I would like to thank my wife Elizabeth. She has always

supported me and has sacrificed so much during my academic career. I am so thankful

that I am married to such a wonderful wife and mother; I am excited to travel down life's

road with her at my side.

iv

Page 6: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV

OPTIMIZING CONTROL AND TRAJECTORY

FOLLOWING OPTIMIZATION

Abstract

by Dale Brian McDonald, Ph.D.

Washington State University May 2006

Chair: Walter J. Grantham This research is concerned with the development of feedback control laws specified

through the combination of Lyapunov optimizing control techniques with trajectory

following optimization algorithms. Initially, this research extends the application of

Lyapunov optimizing control to explicitly consider periods of singular control when a

state-space switching surface is encountered. A detailed investigation of minimum-time

optimal control problems, where the state equations are linear and decoupled from the

bounded, scalar control, is presented. A primary outcome is the specification of control

design steps for the selection of an appropriate descent function. This analysis explicitly

considers how a quadratic approximation to the optimal return function affects stability,

chatter, and the existence of singular control. An additional concern is the presence of

two time scales; whether part of the original state-space system or induced by control

gains. Such time scales complicate the analysis make efficient numerical implementation

of any algorithm more difficult. These time scales, or, singular perturbations are

examined and interesting results are obtained. The second major focus of this research is

the combination of trajectory following optimization techniques with Lyapunov

v

Page 7: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

optimizing control methods to produce new control algorithms for generating feedback

controls “on-line”. During this analysis we are concerned with the presence of time scales

that appear in the augmented set of differential equations. The resulting Lyapunov

optimizing control algorithms via trajectory following optimization allow the analyst to

specify efficient feedback control algorithms that are especially well suited for on-line

applications.

vi

Page 8: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

vii

TABLE OF CONTENTS ACKNOWLEDGMENTS ...………..……………………………………………...... iii

ABSTRACT ..………………………………………………………………………… v

LIST OF FIGURES ………………………………………………………………….. x

DEDICATION ……………………………………………………………………….. xi

I INTRODUCTION ……………………………………………………………....... 1

1.1 Research Objectives ………………………………………………………...... 1

1.2 Significance and Justification …….………………………………………….. 3

1.3 Technical Background …….…………...…………………………………….. 4

1.3.1 Optimization Necessary Conditions ……………………………………... 4

1.3.2 Trajectory Following Optimization …………………………………….... 7

1.3.3 Time Scales in Systems of Differential Equations ..……………………... 10

1.3.4 Discontinuous Ordinary Differential Equations ………………………..... 19

1.3.5 Lyapunov Exponents ……………………………...……………………... 19

1.3.6 State of the Art Control Methodologies ……….………………………..... 20

II LYAPUNOV OPTIMIZING CONTROL ………………..…………………..... 22

2.1 Open-Loop Optimal Control Theory ……………………………………........ 22

2.2 Closed-Loop Optimal Control Theory ……………………………………...... 25

2.3 Min-Max Differential Game Theory ……………………………………........ 26

2.4 State of the Art in Lyapunov Optimizing Control ………………………........ 28

2.4.1 Steepest Descent Control ………….……………………………………... 30

2.4.2 Quickest Descent Control ……….……………………………………...... 30

Page 9: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

viii

2.4.3 Minimum Cost Descent Control …..……………………………………... 31

III LYAPUNOV OPTIMIZING CONTROL RESEARCH ...………………....... 32

3.1 Minimum Time Optimal Control – Linear Systems …….……………............ 32

3.1.1 Lyapunov Optimizing Switching Control ……………………………….. 36

3.1.2 Design Summary for LOSC Applied to Linear Systems ..……………...... 77

3.2 General Optimal Control Problems ……………………….……………......... 77

IV TRAJECTORY FOLLOWING RESEARCH …………....………………....... 87

4.1 State of the Art in Singular Perturbation Methods …………………………… 87

4.2 Research ……………………………………….. …………………………… 88

4.2.1 Linear Systems – Minimum Time Optimal Control ……………………... 89

4.2.2 Nonlinear Systems ……………………………………………………...... 96

V EXTENSION TO DIFFERENTIAL GAMES .………....……………….......... 108

5.1 Minimum Cost Descent Algorithm ………………………………………….. 110

5.2 Total Cost Descent Algorithm …...………………………………………….. 111

5.3 Singular Perturbation Minimum Cost Descent Algorithm ………………….. 115

5.3.1 Slow Subsystem ………………………………………………………..... 118

5.3.2 Fast Subsystem ………………………………………………………...... 118

5.4 Efficient Cost Descent Algorithm ……………………….………………….. 119

5.4.1 Slow Subsystem Component …………………………………………..... 119

5.4.2 Fast Subsystem Component .…………………………………………...... 120

5.4.3 Full Subsystem Component .………………………………….………..... 120

5.4.4 Performance Comparison – ECD and SPMCD ………………………..... 121

Page 10: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

ix

5.4.5 ECD Modification ………....…………………………………………...... 124

5.5 Design Summary and Conclusion ……………………….…………………... 126

VI CONCLUSIONS ……………………………….………....………………......... 128

6.1 Lyapunov Optimizing Control …...………………………………………….. 128

6.2 Trajectory Following Optimization ...……………………………………….. 129

6.3 Differential Games ………………………………………….……………….. 129

VII REFERENCES .……………………………….………....………………......... 130

Page 11: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING
Page 12: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�� �������� ������� ���� ��� �����

6�

Page 13: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��� ��! �

���!�� �����

��� ������� ���� ����

���� ������ � ������� �� ������� �� �������� � �����9���� �� I������ .J ���� ����

��� � ����� �� �� ����

�� � ������ ?(@

2���� � � �> �� � � �> 2���� ��� � �� �� �� � ����� ���' )� ���� ���� �����

�� �� ��� �� ��� �� ���9������ ����� ���� ���� 2�� �� ������ ���� ������� ��

�����0�� � ������ I ��J

�� ���� �� ��

��� ����� �� ?"@

��� � �� �� ������ . ���� �� �������� � �� ���� �� ��2�� ��� ����9

� �� ������ �� ����� �� ������� ����%��� �� �� �����' ) � ��� ����> � ����������

������ . ���� ����2� �� ����� � �� �� � � ������> �� ������� � ������ ��9

�����' !���� ������ ���� ����� ���%���� �� ����� �� ���� � � ������� ���

��.G ��� ���� 2� ������������ ��� �����2�� 2�� � �������� ����� � � ������ ����9

�� . ���� ��2' �������B� ������ ��� ���� ���%���� � ������ ������ �� �

������> ���9���� ���� ��2 ��� ������' ����� ������ �� ������ ���� ������� ��9

��2 ��� � ������ . ���� � �� ������0�� ���� �� ���9���� ������> ��� ������ ���

������� �� ����������' � ������ ������ . ���� ��� �� ������ ���� �� ������

(

Page 14: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�� ������ �� �� 2���9.�2 H�����9+� ���9-����� ������ ��4������ ������G ���

������ � �� �������� � �� ����� ����������'

��� �� ������ ������ ���� �������> ��� �� ��� �� �� ������ . ���� �� ����

��= ��' ������� �� � ������ . ���� ��2 ���� �� ���9���� ���� ������ ������

�� ����� ��� �� �� ������ ��� ���� �� ��� ��� �� ���� ��� ��� ������ ��

�8���� � ��%������ ������� �� ��� ��� �� � ������ ����� �� ��� ���' ��� �����8 ��

������9��������� ������ ��� ��. ��� �� ���� ������' ��� ����� ����������

������ � �� �������� �� � �� ������ . ���� �� ��� ���� ���� ��G ��2�%�� ����� ��

������� ��� ���� ����' 1����� �� ������� ��� �� ������ �� ���� ��� �� ���������

�� ����� � ��> ���� ����� 2�� � ������ �� I�9���J ���� �� �������'

��� � �� ������� �� �� ������ �� ��= ����� ���� ���� 2�� ������� �� ��9

�������� �� ���� ������ ������ . �����> ���9������ ������������ ��%� �� ���

� �������� ������' � ���� ����� �� �� � ������������ �8�� 2�� � �� � ��K� ��

�� �� ������ �� �����8�� �� 2��������� ����� ������ �� �� ���� �� ������ ���� �

��� �������� �������� �������� �� �� � �� ��' ��� �8�����> 7�����% �����09

�� ���� ������ 7�����% ������� ����� 2�� �� �� �� �� �����0��� � �����

������ . �����' �2� 7�����% �����0�� ���� � ������ ������ � ��� ������ � ���

������ ��� � ���� �� ��� .�� ��� � ����' ����� ���� �������� ��%� ���%�

���� �4� �%� ��� ��� ����� �� ������ ��������G ��� ��� ���� ���� 2��� ����� �

�9��� ����������' ����� ������ �8����� �� �� �� %������� ��� ��� ����'

F��� %������� ��� ��� ���� �� ���� ��� �2� � � �� ������ �� � �� �� ����2����

������ �� ��� �� �� ���' )��> %������� ��� ��� ���� ��������� ��� �������

� ���%� �� ��� � � ��2��9���������> ����� ������� 2�� � ���� �� ���� ?�������

�.� �� �� �����@' ��� ��2��9��������� ������� �� �� ������� �� ��� �� ����

"

Page 15: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�� ����� �� ��� �� �� �� ����� ���� �� ���� ��2'

��� �� �� �� ��� ������ � �� � �8�� �� ����� �� 7�����% �����0�� ���� �

�� �����2�� �����' ��������� ��� ��� ������9��� ������ ���� �������� 2����

�� ����� �� ����� � �� ��� �� �� ������ ���� �� � ����> ������ ����' ��� ��9

����� ���9������ �������� �8���� ������ ��� ���G �� �� ��� ��� ���� � ����� �

������� �� ���9��� �� ���9��������� ����' � ���� ��> ����� � ������ ��������

�������> ����> �� ���� �������� � ���� ����� � ��� ����������' ��� �� �� ��*��

������ � ���� � ��� �� ���������� �� ���� �2 ��������� ���� �� � ������ ��

��*� ���9�����2�� �����0���' F�� �� ��� �����0��� � ����� ����� �� ���������

�� ��� ������ ���������2��� � ������� �� ���� ����� 2��� ����� � �9��� ����� �9

���' ����� ��� ����� �� �� ������� ������� ����������> 2�� � ����� � ������ ��

��4������ ������� �� �8�� � �������� ��� � ���� 2��� �� �%�������' ������> ��

������ ������ ���� �������> 2���� �� ��� ������� ��� ������ � �� ��� ��

����> �� ��������' �2� ��������� ��� ��%������G �� ������� �� � ���� 2�� �� ��

�������> ��� � ��� ����������> �� �� �������� �����0��� �������'

��� ����������� ��� ��� ���� ���

��� ������ ��� ��� ������ � �� ���%���� �� �� ��� ��� ������ �����������> ������ .

���� ��2�' �� ���%������ ������> ����� ������ ����� ��� �� ��= �� �� ��9

�������� � ��G ����� �� ������� ����� ���� �2 ��= �����' ���� ������ � ��%�����

���9������ ���� ��2� �� ��������� ������ �� �� ��� � �� ������> � ����� �������>

��������� ����> ����> ��4���> �� �����' )� ���� ���� ����� ��� �� ������9

����� �� �8�� ��2�� ���� ����� ���� ����� � �� �� ��� �� � �����8�����

� �� ������ ���� �� ��'

�8���� ���9������ ������������ �� � �� ������ ���� ���� �������� �� �� ���

,

Page 16: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

���%�� �� ��� � ���� ��2��9��������� ����� ������� �� �� ��� ��� �' ��� �

�2��� ��� ������� �� �������� �������0�� �%�� ��� ��� �� ����� ?����@' �� �� �>

����� �������> ���� ����������> � ' ��� ����2�� ��� �� �� ���� �� ���

�� � ������ ���� �� ��' ��� ���� �������� ��%������ � ��� ������ � �8��� ���

�%������ ���� ������ 2�� ��������� �� � �����8���� ������ ���� �� ��' ���9

�� 7�����% �����0�� ����� �.� ��%���� �� � ������ ������� ��� ���> ��

��� ���� �� � ������� �� ���� �� �� ��������� ���� �� �� ���� ���� �����

����%���' �� � ��*�� �� ��> ��� ������ � ������� ��� ������ � ���� �����' )� ������

����� � � �� �� � �������� �� ��*� ���9�����2�� �����0��� ������ �� �� �9

��� � ����' ���� ���%���� �� ����� 2�� � ���� ������ �4� �%� ��� ��� �9��� ����

����� ����' ����%��� �� ������� ��*� ���9�����2�� ��������� �� � ������ ����� �

�� ��� �� ��� ������ �' ����� ��2� ����%�� ������ �� ������� �� 7�����% ��9

���0�� ���� � ������ 2�� ��*� ���9�����2�� �����0��� ������� ���� ��

������� ����� �� ��4��� �� ��������� �� ����� � �� �������� ��� � ���� 2��� ���9

��� �� ����%� ��4������ �������'

��� �������� ����������

'�+�' �1����2���� ��3���� �������

��� �� ��� �� � ������ ���� �� � ��������� �� ���%�� � �������� �����0���

�������' 1� ������ ������ �� � �� �� ������ ��� ������ ��� ��%� ���' �

�8���� �� ��� ������ � � 2�9������> ��9��8 ��4������ ����� �� �������G ��������>

�� �� ��9��8 � ������ ������ ��� �������'

/

Page 17: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

������� ����������� ������� ���������

������� �� �����0��� �� � � ����9%����� �� �� � ���G �� %������� � � � �� �9

������ � �� � ����� �� �� ����� ��

� � �� � � � ��� � �� ?,@

2����

� ��� � ��� ��� � � �������� � ?/@

�� ��� ����� �������' ��� � ������ ������ ��� � �� �� ������ � �� �������0��

�� �����2� C(> ��' 6"(<6""D' 7� �� �� � ������� ���� �� � G �� � ��� �.�� � � ������

� � � �� �� ���� �8��� � %� ��

� � ��� � � � ���� ?6@

�� � ��

��

��� ��

� ���� � �

��� ���� � �

� � �� ?$@

2���� � �� ����� � 7������ ��������� %� �� �� �� 7������� �� �� � �� ����� ��

� ����� � � ���� ��� ��� � ?3@

6

Page 18: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

������� ������� ������� ���������

������� �� ��9��8 �� � � ���� %����� �� �� � �����G �� %�������� � �� � ��� �9

������ � �� ������ �� �� ����� ���

� � �� � � � ��� � ��

� ��� � � �� ��� � �� ?:@

2����

� ��� � ��� ��� � � ��������

�� ��� ����� ��� � � � ������

��� ?5@

��� � ������ ������ ��� � ���� ������ ������ ��� ������ � �� �������0�� ��

�����2� C(> ��' 6"(<6""D' 7� �� �� �� �� ������� ���� �� � �� � ����� �%���' �� � �����

�.�� � � ��9��8 � � � �� �� � � ��> �� 7������ ����������

� � ��� � � � ����

�� � ���� � � � ����� ?(#@

�8�� �� � ��

��

��� ��

��

��� �� ?((@

$

Page 19: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

� ���� � �

�� ���� � � ?("@

��� ���� � �

����� ���� � � ?(,@

� � �

�� �� ?(/@

2����

� ������� ��� � � ������ ��� ���� ����� ��� ?(6@

�� �� ������ ����%��%�� ��� �%������ � � � �� �� � � ��'

'�+�* ���4�3��� ���5��6 �1����2����

���*� ��� �����2�� �����0��� ��������� ���%��� ������� �� ���%�� ��� ��� ��� ��

������ ��4������ �������' ����� ��4������ ������� ��� ����� �� �� ����

����������� ������� ������ �� �� � ������ ������ ��� �� �����0��� � ���G ���9

��0���> ��8���0���> �� ��9��8' � �� 2��� .�2 �� ��*� ���9�����2�� ���������

��� ���� �����G �� ������� �� �� ��� � �� ���� � ���������� ��� ��0�> ���

�������� �� ��� ��= �� � ���%� �� ���� ������ � �� ���%�� �� ��*� ���9�����2��

������' ����� ��������� ��� ���� ����9�������G �� ���������� �������� �� ���������9

2��� �� ���� � ������� � ����� ��� �%����'

3

Page 20: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

������� ����������� ��� ���� !����"��# $%��������

� ��2 �� �� ��� ������� � ������� ��*� ���9�����2�� �����0��� ��������� ���

������� ����' ��������� ��%������ �� � ����� �� ��� ������ � ��.� ��� �� ����'

����1�� ��3��� ������� �� �����0��� �� �� � ���� %����� �� �� � ���G � 9

������ ������ ��� ������� � �� �� (','('(' ������� ����

�� � ����

��

��

?($@

�� ������� �� � ��� ��� � ������ �� �� ������ � � � �� C(> ��' (/,9(/6D' � ����

����������� �� ��> 2� �� ��%�

��

��

���� ?(3@

2�� � ���� ?($@ ������

�� ���

��

���

��

��

� �� ?(:@

��� ����� � ��' ������� ������� � ��� ���� ���� �� �� � ���������� ����� �9

����G �� ������� ��� ��� �� ������ 2�� � � ��� � ������> �� � �� ������� ��

��= ���� �����> 2���� ��� ����� �� �� ����� ���'

��5��7 %���� � ������9��� ��*� ���9�����2�� �������� �������� � 1�29

�B� ����� ��� �� ���������> �� � C"#D �� C"(D' � 1�2�B� ����� 2� ��%�

���

����� � �

���

��

��

?(5@

:

Page 21: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

2�� � �������

�� � �����

���

�� ���

��

��

� ?"#@

���%���� ������

� �� ?"(@

������� ���������� �8��'

�������� �����3�� ��5�� ��������� �� ����� ��� �� 1�2� ��������

�� ��� ��

�� � ���

������������ � ���

���

��� ���

��

��

?""@

2���� � �� � ���' � C3D � �� ���%� �� �� ����� ��� �� 1�2� ����� ��

�������� ������� ���� ����� ��� �� ��� �� ������ � 7�����% ���2� ����� ��

��%� � ����� ������ ������� ������ ���' ��� ����� ��� �� 1�2� ��������

��� ��� ���2 � �� ���4G ��� �� ��K� �� � �� ����� � 2�� � �� �����0�� ��

������ ���'

������� ��� ���� !����"��# $%�������� "�� &��%� ���������

-���� � �� �����0��� � ������ ������> �� �����2�� ��*� ���9�����2�� ����9

���� 2�� ��%������ � C(> ��' (/69(/5D ��� �������� �� ��%� ������ ������

���� � ����

5

Page 22: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

� � � �&

��� �

� � �

� �� �� � ����� ����

��� �

���

�������2���

� �� �� � ����� ����

���� �

2���� � � �� � � � ��'

'�+�+ ���� �3��� �� ����� � ��8�������� �9�����

E� ������ ��� � ���� �� ��� �� ������� � 2� 2���' ��� �� ��� � ���� ��� � ��

����� � �� � ���� ��� �� ��� � ���� �� �8�� ��� � ����� ����� ���������'

������� '��(�� ��� �����

����� �� � �������� �� ��*� ���9�����2�� �����0��� �� �� ���� ������> �

��� � �� �� � ���> �� ����%�����> � ������� ��������� ����� �� �� � ����� ��

��4������ ������� ����� � ���� ����� ������ ����� ��' ����� � �����> �����%�>

������� ��������� �������� � ������ �� ������� �����

�� � � ����� ��

� �� � � ����� �� '

?",@

��� ����� ?",@ ��������� � 2�9���9� ��� ������� 2�� � ��������� ���2 ����� �� �

��������� ��� ����� C"> �' 6,(D' ������� ?",@ ������� � ��4 ����� �� ��4������

�������> 2�� � � ��.� ����� �� ������� ��= ��' ������� ��������� ������

���������� 2��� �� ���� � �����%� �� ����� �� ��4��� �� ����� � � ���> �= ��

��*� ���9�����2�� ��������' ��4 ��4������ ������ ���%��� � ����� ?",@> �� 2� 2���

������� ��� ����� �� ��� �� ��%� �� ����� ��29��%�� ���� �%�� �� ��� ���' �������

��������� ����� ���%���� � ���� �� 2�� � �� ����� ?",@ ��� �� �%���� �� ���2

(#

Page 23: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�� ��� ��������� C"> �' 6,(D' �� � �������� ��� �� �8����� � � ����� ��� � ���

� ������� �������� ���� �� ������� �����' � ��� ������ � 2� 2��� �8�� �� �

�������� ���� �� ���2 �� ��� ��������� � ��%���� � ��*� ���9�����2�� ����� ��

�� � �� �= ���� ������ 2�� � ���4 ����� �� ������� ��� ��4������ �������'

������� ������# ��� &����

� ����� ������� ��������� ��������> ��������� �� ������ ����%��%� �� �� ���

������� ���� ����� � 2� ��� � ��� �����' ������� ������ �� �� ����

��� � ���

� ��� � ��� � ?"/@

2����

� �

��������

����

�� �

������������

� � � � � �

� � � � � �

'''' ' '

'''

� � � � � �

������������

?"6@

� �

������������

��

'''

��

������������

?"$@

((

Page 24: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

���

������������

��

��

'''

����

������������

� ���� � � � � ���� ?"3@

2�� � � �����%� �������� ��������� �� ��� ����%��%� �� ��' �� �� �> ������� ?"/@

�� ��� � ��4 �� �� ��4������ ������� C,> �' 6,(D' � �� �8 �� ��> 2� ����� �

����� ��� ����� �� �� ������ � ������ 2�� ������ 2�� � ��������� �������� �����

�� ��4������ �������'

������� &��#(��� )�(������ *�������

�8� ������� � ��� �������� �� ����� � �������� �� �� � �� �� ��� ��= ��> ��

� ���������� � ��' ���� ����> ���� �����8���� ������ ���������� ��� �� �%�.��'

���� ��� � ���� ����� �� ������ ������> �����%� ������ ������ ?�� � �� �8�� ���

������@> �� ��������� ������ C/D' 1����� �� �������� ��� ��4 ��4������ �������>

2���� �8������ ������> ��� �������� �������� ����� �������' � ��� ������ � 2� ���

������� � �� ������� ��2�� ���� ��2 ����� �� ��4 ��4������ �������' ���

���� ��������� ��%������ � �� �����2�� �� ��� �8��� ��� ������ �� ����� � ��

�������� ��� � ����' �� �� ����� �� ��%������ �� ���� ���� ��2� �� � ���� ���%�

�� � �.� �� ��� ��� ����� ������ �> 2� ����� � ����� ��� ����� �� �8���� �������

��������� ������� � ������ �� ���� ����� ��� � ���� �8����� ��������' ��

������ � C$> ��' (9"D> ���� �����> �� ������� ��������� ������ %����� ����

������� ���� � ������� ���� ?�� ��� ������� � �������@' ������ ������� ���� ���

("

Page 25: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

� �8�����%�> �� ��K� � ������ �� ��%� ��� ���� � �������� ������ ��������'

��3:6���� ��� ��;����� ������� �� �����

�� � � ����� ��

�� � � ����� �� �

?":@

�� ��. �� � ��� �� �� � ��� %�������' ��� ��> ��� �� ����� �������> 2� ��� ������

������� � � ����� �� ��4������ ������� ?":@ 2���� ����������� � ���� %� ��

���� � ��� %� ��' � � ������� ��������� �������> ����� ��> �� ������ � ��� ��>

� ��� �� �� ?":@ ������ � �� ������� ��������� �������� � � �� � � ���� �� ��

�� � ���� ������� �%���� � �� I������ ����J ������ ���� �� ���� � � � � ?":@

�� ���%�� �� ������� ��4������ ������ ��� � ��� ��> � ��� ��' ��� ��> �� �� �> � ��� ��>

� ��� �� �%���� �������� 2�� ����� � � � �� ������ � ��� ��> � ��� ��' � � �������

��������� �������> ����� �> ��� ������ �%���� � ����.� ��2' � � � � ��

������ � ��� ��> � ��� �� ��� � ��� ������ ���� �� �� � C6> ��'69$D'

�� � ������ �8����� � �������� ��� ������� �%���� � ������

� ��� � � �

���� � ��

��� � � �G �� ���� ������ �� � ��� �� � � � ��� � �� ����> 2�� �� ������ ���� ������

� ��� �� � �' ��� � � � �� � � �> � ��� �� � �G ��� � � � �� � � �> � ��� �� � ��' F���� �

������ �� �� � �> �� ��� ������ ���� � � � � �� �����%��'

��� ��� ������ ���� ����� ��%���� ��= ����� �� ����� �� �� ������� �� ����9

����� �������� ��������' ��� �������� � ����� � ��4 �� �� ��4������ ������� ��

(,

Page 26: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��.� ����� �� �������� ��= �� �� ��= ��' �� ����� ������%�> � ���� ��

%�������� �> � � ��2 ��� ��� ����> ������� � ��������� �������� ������� � � ����9

����� �������� �������' ��������� ������� ��4������ ������ ������ ������ ���

�� �� � ������ � ����� C/> �' "#D' � ���� �� �����8����> ����� ���� ������� ���

�������� �� ��� ���� �����8 �� �� ������ �8����� *�� ��������> �� ���������

�������� ����� ��= ����� �� 2���' � �����8���� ������ � ����� �� ��� ���

���� �� ������ � � ������ ��������� �� ����� ����%��� ��� ��������� �� ���������

�������� �������� �� ������� �8����� C/> ��'("9"(D> C6> ��' (3966D' ��� ���� ����

�� � ��� ��� � �����8���� ������ � �� ���� �� � ��� ��� ��2�� ������ � � C6> �' "D'

��� � ��������� �������� �����> �� �� ��� ���� � ��� ��� � �����8����� � ����

�� � ����� �8�����' ��� � ��������� �������� �����> � ����� �8����� �� ��9

���� �� ������� ������ 2���� � ������ ��K� �� ���9��� �� ����� ��� ����%���'

���������> � �� �� ?�� � � ���� '''@ �8����� �� �����'

������ ��� ��� �� ��������� �������� �������

�� � � ����� ��

� �� � � ����� �� '

?"5@

�� �������� 2��. �� ��.���% �� 7�%��� C6> ��' /$96$D ������� �� � �����8����

������ ������ ���� �� 2� ��� �� ����' )� ��> �� �%��%�� � � ��� �� I��� ���J

��� � ��� � ?�� � �� � � ���@> ������ ����2 ��� ������ �� �� �� ����� ������ � �

I���J ������� �����' �� � � > ��� �� ������ �� �� � 0��� �� ����� � � �� �� ����

�� �%��%� � �� ���2 ��� � ��� �> ����� � I����J ������� �����' ���� �� �� �� ��

���� �� ��� �� ���9��� �� �����9��� ����%��� �� �� ������' �� ��� �� �� �����

(/

Page 27: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��> ������ ��� 2� ��� �� �� ���' ��� ��� �� �� ������ � �� � ���� ��� ��

���� ������� ����� ������� � � ������ ��� ����> ����� � ������ �����8�����'

��� �� �� �� �� �� �� ��� �����8����� �� ���%���� %���� ������> � ���� �����

?���> �� ��> � '@> ��� ��� � � �� ����� �� �����'

!���3�� �<��� �� ���� �� � � �����8���� ������> ���� �� ��� �� ����

����� �� ?"5@ ��� �� �����' ������� �� ���� �� ���� �������

��� � � ������� �� �� ?,#@

� � � ������� �� �� ?,(@

2�� ����� ����� ����� � � ��� �� 2���� �� ���� ��� I�J ��������� � �� ��

�� 2� ��%� ������ ��� ���� �� ������� �� ���� �� �' ���������> ������ � ����

�� %������� � � ��� �� ����2� �� � �� �� � �� ��� �� ��� ���� �� �������' E��

��� � ��� �� �� ����� ����� �� ��� � ����> ?"5@ �� ����

�� � ������ �� �� ?,"@

��

�� � ������ �� ��

�� ���� �� � ������

�� �� �� ��� ��� ��� � �� �� � � ?,,@

���

� � �� ��� ���� �� �� � ?,/@

(6

Page 28: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

1�� �� 2� ��%� ����� �� �� %������� �� ��� � ��� ���� �� �%����� �� �� ���������

��� %������� � � �� ��� ������� �����' ��� ������ ���� ���� � ������� ��� ��

%��2 �� � ������ �� �� � � � �� �� � ��> ����� � ������ ������ �%�� � � � ���%��

�� �����'

�����3��� � �11�=����� ������ � ��� �� ��> 2� ����� � ��� ����� �

��2 � ������> �����8���� ������ ��� �� ���� �� ���� �� ���� �� �������� ?,#@

�� ?,,@' ���� ��� ����� �� ��� � ���%��� ����� � �� ��� ��� �� �� � �8�����%�'

��� � ���� ������� ��� ����� ��� C6> ��' /$96$D> C$> ��'""9"3D �� C/> ��'(9,#D' E� ����

�� ������ � ���%� ?,(@ ��� �� � � ���� ��' �� �� ������> � ���� �� ��� �� ��������

�� ?,#@ �������

��� � � ����� ���� �� � �� �� � ?,6@

E�� �� ��� � � ���> ?,6@ �� ������� ������� �� ��� �� �� �� ���' �� ����� ��9

���� �> ?,(@ ���� �� ��4������� �������

� ��� ������� �� ��

��� ������� �� �� �

�� ������� �� ��

����� �

�� ������� �� ��

��?,$@

�������

��� � ���� ������� �� ��

��

��� ��� ������� �� ��

��� ������� �� �� �

�� ������� �� ��

��

�� ?,3@

������� ?,#@ �� ?,3@ ��� �� ������� � ����� �� ��� �� �� ���' ��� ���%� ��� ���>

2����� �� ��� � ���� �� �� ���� �8� �� �� ����� ����> �� ���%���G ��� ������

�������� �� �8��� � �� �� � ������� ��� C6> ��' /$9/5D' 1�2> �� ��� ������� ?,/@ ��

�������' ������� �� ��� ��� � ���� �� � � > 2�� �� ��� � �� � � 2� ��� ��������

($

Page 29: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

� ������ �� �� ����

� ��� �� � � ��� �� � �� �� � �� ?,:@

� ��� �� � � ��� �� � �� �� � ��

2���� �� ���� � �� � ��� �����8������ ����%�� ���� �� ���� �������> 2�� � ��

� ����%�� ���� �� ��� �������'

�� ��� �� 2�� � 2�� � ��� ��� �� � ���������> 2� 2��� �8��� ?":@ � � ��2�� ������

�� �� ���� ����� ��� ��

� ��� ��

���� �

����

������ ���

�� ���

���� �� � ?,5@

�������� ?,5@ �� ?":@ �� ������ ��= ��� �� ��2��� �� �> ��������� �� � 0����

����� �� �����8����� �������� �� �� ��= ��� �� �� �� ������

��� � �

������� �� �

�?/#@

��

��� � �������� �� �

�?/(@

2�� � �������

��� � �

������� �� �

� � �������� �� �

��

���> �� �����> �� �� �8� ���� �� �� ���� �� ������ ?,#@ �� ?,(@' H����� �����

(3

Page 30: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�����8������ ��� ���� �� ����%��� � ���� �� � �� ��� ���� ��= ��� �� �� �� '

��� ������� ������ ?,:@ �������

��

���

�� �

��

��

���

�� � �

��� ��� ������� ���� � �� � ��� �� ���� �� �������

�� ���� ��� �� ����� � ��� ���� ���� � �� ?/"@

�� ���� ��� �� ����� � ������� ���� � ���

�� � ��� �� ��> ���� ?/#@ �� ?/(@> �� ��� �� ������ �� ��4������ ������> �� ����

?/"@ �� �� � 0��� �� � � '

��� ������ ������ ���%� ����2 ��� �� ������� �� ���� %��� �����8 ��������' �

%��� ������� ����� �� �� �� �� ��������� �������� L� ��� ��� �� ������G �� ����

�� 2�� �

�� � � ?/,@

� �� � �� �

� � �

�� ������ � C6> ��' $"9$5D' � �� ���2 �� �� ���2 �� ��� ����� �� �� ����� ?/,@

����� � � ������� ���� ����� ��*� ���' ���� ����� � � ����8��� �� ������ C6> ��'

$,DG �� ������� ������� ������ ��%������ ���� �� ���%� ����������' ��� �� ���

��� ��� ��� �� �����8 ����� ?/,@ �� ���� ������� �� �� 2��� 2��� �� ������'

(:

Page 31: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

'�+�> ��3������ �������� ��8�������� �9�����

������9���� ���� ��2� ��� ����� � ��� ������ ��� ������� � ���� � �2� ���

����� � � � �� ���� � �� � ��� ��� �' ���� ��� ����� ��� ����� � � �������

.�2 �� ���� C(> �' (/D' 7� �� ���� � ��� ��� �� �� ���� � ��� ��� ���� �� %��� ��

%� �� *�� ������ �� *�� ���� �' ������� �� ����� �� ���� �� �� ���� ��� ��� �

� � � ��� 2���� � ���� � ���> � ������ ������ ��� ���� ��� ��

��

���� ���� ?//@

��

��

���� ���� ?/6@

��%� ������� ����'

� �� �� � ��� �� � ������ �

�� ��� � ����

� �� ���� �� �������% C(> �' ($9(3D �� �� ��� �� � �%�8 ������� �� �� ���� �� �� ����'

��� ��> ���� �8��� � � � ��� �� �� � ��

�� ��� � � �� ���� � ��� �� �� ���� � ?/$@

'�+�? ���1��" �=1����

���� ������ � �8��� ��� ������� �� ����� � �� ���� ��� � ���� � ������ �� ��4������

�������' ��� ����� ������> ����%����� ���%��� � ����%� ������� �� ��� �������'

��� ������ ������> 7�����% �8���� 2��� �������� 2����� �������� ��� � ���� C3D'

(5

Page 32: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

7�����% �8���� ���%��� �������� ���� �� �%����� ���� � 2�� � ���������

��*� ����� �%���� �� ��%���� � � ������ ����� �� �����' � ������� ��� ����� ��

7�����% �8���� �� ��%� � C(> �' "#69"#:D' )� ���� �� �������� �� �� ��������

���� ���� ��� ������ ��4������ �������G ��� ��� ����� ��� �� � ���� ���

2���� �� ����� �� 7�����% �8����' � C:D � ��� ��������� *��� ����� ��

������� �� ����2� �� ��� ��������� ������� C(> �' ,":9,"5D � � ������ �������

��������� ��*� �����' ����� ��� ��������� ������� ��� �� ������� ������ �� ��

�������� �� �� ����� 7�����% �8����G ��� *��� ����� ��� �� ��������

2�� �� ����� 7�����% �8���� ��� ������ 2�� ��� ������ �����'

'�+�@ ����� � ��� ��� ����� %�����6��

������ �� �� ���9������ ���� ��������� ��%������ � ��� ������ � ��%� ���� ���9

�������� � �8���� ������ �� ���� ���������' �� �8����� ����%� ����������� �� ��4��9

� ��> � ����� � �� �� ���� �� ���� ������ �� ��%� ����'

����+�� ,������ &�(�(� ������

F��� %������� ��� ��� ���� �� ���������� ���� �� ����� �� � ����� �� ������

���������' � �� ��� �� ���� ��� �2� � ��� �������� ���� �� ������ ��

�� �� � ����� C5D' � ���� ���� ��� �� %������� ��� ��� ����> .�2 �� ������ ����

����> ����� � ���%� �� ��� � � ��2��9��������� �������' �� ��� ������� ��

��� �%� �� �� ���� �� ��� ������� ��� ����� � ��� �������> �� ���� �8��� �

����� ����� �� ��� �� � �� ����� C(#D' � ������> �4�� �� ��� � ����� �

�� ����� �� ��� �� � �� ��2��9��������� �������' ) � � ��� �������> ����

�4�� �� �� ���� ��� ����� �������' �� � ���� ���������� �� ����� ���� � � 2���

����� �� ����� ������' � C((D � %������� ��� ��� ���� �� ��%������ ��� �������

"#

Page 33: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

������0��� �� � ���� �� ������� ��' � C("D %������� ��� ��� ���� ��������� 2���

��� ���� ��� ������ ���*� � ������ ��� ��' � C(,D ���� �%���� � ������ ������

���� ���� �� ��������' � �8 ���� ������ � ��� ������ ���� �������� ���*� �

��� ������ �2� ��� � �� ���� �� C(/D'

����+�� ���� )�����- ������

!���� ����� �%� ����> ���� .�2 �� �� ���� ����0� ����> ��%����� � ������ . ����

������ �� ���%�� ��� ���9���� ������ ���� �������� � �� � ��� ���� �� ���

��*� ���' -���� ��� ���������� �� �� ��� �� ����> �� ���9���� ������

���� ������� ����� � ����� �� ����� ����%��� �� �� ����� �� �����' ����

��� .�2�����> � ������ . ���� �� ��������� �� �� ��� �%��%�� � �������' � C(6D

��� ���������� �� ������� � � ��9��8 ���� 2���� ������ . ���� �� ����� �� ��

�� �� ���� ����0�' � C($D ��������� ����� ����� �%� ���� ��������� ��� ��%������

�� ���� ������0�� ���� ����� � ��� ������ ������ ��� ��� �����'

"(

Page 34: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��� ��! ��

�&� ��( � ��%�)��� ����!��

7�����% �����0�� ���� ��� ��� �� �� ���� ����� � �� ���� ������ �����'

-����� ��� ����� 7�����% �����0�� ���� � ������� �� ����� ������ ���� �����

�� �������' � ��� �� �� 2� ����� �� ������ ������ ���� �� ��4������ ����

���������� �������� � ��� ������ �' ��� �� �� �� 7�����% �����0�� ����

������������ ��� ��� ����� ������ ������� ��� ������ �'

��� ���� ��� � �!�� "�� ��� ����#

� ������> ��� ������ � ������� �� �����2�� ������ ���� ������� C(> ��' ,$69,$$D ��

�����0�� � I ��J ������

�� ���� �� ��

��� ����� � ?/3@

2�� � �� ���� ���� 2�� �������� �� ��� �

�� � � ����� ?/:@

���� ���� ����� ���

� ��� � �� ?/5@

� �� ��� ��� � �� � � � ��� ���� ������ �� � ��>

� �� � � � � �� � ��� ��� � �� � ?6#@

""

Page 35: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

2���� � ��� � ��� ��� � � � � � �� ����' ��� ���� �� �� ��� ���� ��%� � ���� �� �������

������ � �� ���' ��� ��� ��� � �� �������� ��� ���� ���� �� �� ����� �� ��

��� ��� �� �� ��� ��� ��� �� ����' ��� ������ ������ %�������� ��� �������

� �� ������ �� �� ����� ��

� � �� � � � ��� � �� ' ?6(@

��� ����� ������ �� ������ � ��� �� ������� � �����0� ?/3@' E� ������ ��

�� ����� �� �� � ����� �� �� %� �� �� ��� � �����> � ���> �� � ��� ��� ������

�� �������� ��4�������� 2�� ����� � ���� �������' ����������> 2� ������

�� �� ������ %� ��� ��� ��� ���> � � �� � � � � ��� ������� ������� � �� � ���

� � ' ��� ������ %� ��� ��� ��� ���> ! � �� � � � � " ��� ���� ������� � �� �������

������� � �� � �%� �����'

������ �� �� ������ ���� ������� �������� �� 2� ���� � ��������> ��������

������> �����0��� ������� � �� � ��� � ���� �� ��� ��*� ���' � ������ ����

2� ���

������

# ������� ?6"@

���*� �

� � � � �� ��� � �� ' ?6,@

��� ������ ���� # �� �� �� ��%� ��

# ��>�A�� � �� ����� � ��� �����

2���� �� �� �� ��� �� ���� �� � ������� ��> � ���� �� ����� ����� �> �� �

",

Page 36: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�� �� ��*�� %� ��' E� ������ �� # ������� �� ������ �� �������� ��4���9

����� � �' ����9����� � ������ ������ ��� �� �������� �����0��� ������� �

�� �������0�� �� �����2� C(> �' ,3/D'

. �� � � �#(��� %��� �/ � � '/ # �0� �� � �����(� "�� ��%� � � � ��� ��

.�#���# �(��%����

� � ��� � � � ���� ?6/@

��� �(�� ��

��

��

� � ?66@

� ���� � � ?6$@

��� ���� � � ?63@

� � � ?6:@

"�� � .�#���#��� /(����� ��

� ��������� � # �������� ��� ��� ?65@

��� � %����� ���-��-� �� -��(�� � � � ��' ��� ���9������� ���� �9

����� �� ���%� ������ � �� ��9���� � ���� �� � ������ ���� ������ ��� ����

C(> ��' ,369,3$D'

�%� �� ����� �� � > �� �� ��� � � �� � ������ ���� ��� �� ������ ��

"/

Page 37: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

������ ���� ������� ?/3@<?6(@> �� ���� ��� �8�� � ������ �� ��� �2��� ��4��9

������ %� �� �� ��

� ��� � �$� � � �$���� ?$#@

�� � ��� ��������� %� ��

� � �%� � � � %��� ?$(@

�� � �� � ��� ������� �� ��*�� �������

���

� ��#

��� ?$"@

2���� � �� ������ �� � > � �� � ������� �� ���%������� ������

�� �� � � ���� �� �� ��

��?$,@

�� �� � �� # �.�� � � ������ ������ %���� 2�� ����� � � � �� � ��� � ����

�� ��*� ��� ������� �� �� ���' ��� ������ %���� �� # � �%��� �� � ��� �� 0���'

��� "������ ��� � �!�� "�� ��� ����#

��� �� ������ ���� �������> �� ������ ���� �� �� C(> ��' /"#9/""D �� ����� ��

& � ��� �

� ��

��� ����

� ���� �� ?$/@

2���� �� ��� �� �� ������ ������ . ���� ��2' ������� & � ���> �� ������ ����

�� ��> �� '� �� -�����B� ��� ���� �� )������� ����2� ��� �� ����%��� �� ��

"6

Page 38: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

H�����9+� ���9-����� ������ ��4������ ������

� � ������

�#

�����

�& �

��

�� ?$6@

2����

# � �� ��>�� ��& �

��� ��>�� � ?$$@

2�� �� ������� �����

& � ��� � � � � ��� � �� ?$3@

��� $���$�% &�'���� ��� (�!� ����#

� ������> ��� ������ 2�� 2� ���� �����> 2� ������ � ��9��8 ��4������ ����

C(> ��' 6(,<6(/D ��%�� � �� �� ����

�� ��� �� ���� �� ��

��� ������� � ?$:@

2�� � �� ���� ���� 2�� �������� �� ��� ���� � � �� � �����

�� � � ������� ?$5@

���� ���� ����� ���

� ��� � �� ?3#@

� �� ��� ��� � �� � � � ��� ���� ������ �� � ��>

� �� � � � � �� � � � ��� � �� � ?3(@

"$

Page 39: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

2���� � ��� � ��� ��� � � � �������' ��� ��� ��� � �� �������� ��� ���� ���� �� �� �����

�� �� ��� ��� �� �� ��� ��� ��� �� ����' ��� ������ ������ %�������� � � �

�� � � �> ����� �%���> ��� ������� � �� ������ �� �� ����� ���

� � �� � � � ��� � �� ?3"@

��

� ��� � � �� ��� � �� � ?3,@

2����

� ��� � ��� ��� � � �������� ?3/@

��

�� ��� ����� ��� � � � ������

��� ?36@

������ � ������ �� ������ ���� �� ������� � �����0� ?$:@' ������ ������ ��

������ ���� �� ������� � ��8���0� ?$:@' E� ������ �� �� ������� �� �� � �����

�� �� %� �� �� ��� � �������> � ���> � ���> �� �� ��� ��� ������ �� ��������

��4�������� 2�� ����� � ���� �������' ����������> 2� ������ �� ��� ���� �

� > � > �� � ��� ������� ���� C(> ��' 6(,<6(/D' � ���� ����> 2� ������ �� �� ������

%� ��� ��� ��� ���> � � �� � � � � ��� ������� ������� � �� � ��� � � ' ��� ������

%� ��� ��� ��� ���> ! � �� � � � � " ��� ���� ������� � �� ������� ������� � �� � �%�

� ����� ����� � �' ���������> �� ������ %� ��� ����� ��� ���> �( � �� � � � � ) ��� �������

� �� ������� ������� � �� � �%� � ����� ������� � � C(> ��' 6(,<6(/D' ������

�� � ��9��8 ��4������ ���� �������� �� 2� ���� � ��������> �������� ������>

��9��8 �����0��� ������� � �� � ��� � ���� � ��� ��*� ��� ����' � ������

"3

Page 40: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

���� 2� ���

������

������

# ��������� ?3$@

���*� �

� ��� � �

�� ��� � �'?33@

��� ��4������ ���� # �� �� �� ��%� ��

# ��������� � �� ������� � ��� ������� � ?3:@

2���� �� �� �� ��� �� ���� �� � ������� ��> � ���� �� ����� ����� �> �� �

�� �� ��*�� %� ��' ��� %� �� � �� �� ���> � �� � ��� ���� %� ��� 2�� � � �

�� � � � ��� ���� ����� ��� ������ �� "9��������� �� )9��������� %� ���

�� �������� ����� �� ��� � ��� � � �� �� ��� � �> ����� �%���' )�� ���������

� ����� �� ���� ����� �� # ��������� �� ������ �� �������� ��4�������� � �

�� �'

��) � � � �* � +� �� #������ � �!�,��� "�� ���

�8���� 7�����% �����0�� ���� ��������� ��� ������ �� ����� �� ����� ��������

��� � %����� �� ����� �� ������ ������' ����� �� �� � 7�����% �����0�� ����

����� �� ���� �� � ���������� I7�����%9��.�J �� �� �� ���%���� ���� �������

�� ��� � �� �%���� � � �� ���� ��' ��� �8�����> ���� � � �� ���� �� ���

� ������ 7�����%9��.� �� ��G �� �� ����� ���� � ���� �� � �� ��� ���� � ��2���

�� ������> �� ���� �� ������� ���� �����' �������� � �� ��%������ �� �� �

���� ��2� �� 7�����% �������'

� ������ � ������ �� ��� � �� ��4������ ������ ?/:@ �� ���� � �� 7�����% ����� ��

":

Page 41: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

������� 2�� ����� ������ ��� �� ��� ��� � � ����������� �� �� ������ � ��*� ���

�� ��� ��� ��� � � �' )� ����� � ��� ������ � �� �� �������� �������> 2���� �� ������ �

��*� ��� �� ��� �� � ����������� ��� � ��� ��� �' ��� ��� ������ � ������

�� ��� � �� �� 7�����% ����� �� ��� �� * � � ���� �8��� � + � + �*� �� � �� ��� ��

� ��� 2����

�� ���� ��� � + ?35@

��

�� ���� ��� � * ?:#@

��� ��� � � �' ��� ������ �� ��� � �� �� �� ���� ������� ���� ����� ��> � ������>

�� ���� ��� � � �� �� �� ?:(@

�� �������� ������� ���� ����� �� ?35@9?:(@ ���� ��� ��� ������� � ?/:@ C(> ��' 6(,<6(/D'

��� ���� �� �� � ���������� ��� � �� �� � �� ���� �� ��� �� � �� �� ���

�� �� ������� ����' 7� ���� ���� �� � � ��� � �� ��G �� ���� ������� ��

�����2�� � ��� ���� �� ��� ��������� � �� ���� C(> ��' 6(,<6(/D&

(@ ���� �� ������ �� �������� ��4�������� ������ �� ���� �� �� 2��� �� �

�� ������� �� �� ���� ��'

"@ ��� ������ ���� , ��� ����'

,@ ��� ���� �� ����� � � ����� ���� ,'

/@ �� �� ���� �� � �� ������ �� �� ������ ���� , ��� ���� ������'

)� ���� ���� ����� ��� ���� ���� �� 7�����% �����0�� ����G ������ ��� �

"5

Page 42: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

����> ��� .�� ��� � ����> �� ������ �� ��� � ����' � ������� ����%���

�� �� � ���� ���������� �� ������� � C(> ��' 6(,<6(/DG �� ������ ��� ���� ����'

*�>�' ����1�� ��3��� �����

���������� �� ������ ��� � ���� �������� �� � � � ��� � �� �� � ��

���� ���� �� ���� ��> � ���� ���� �� ���� �� ?�� ����������@ �� � �� �� %��� �� �� ���

���� �� ������ �� �������� � �� ���� �� ������� � �� ������ ����� ���' ��� ��

����� �� ����� ?/:@ ��� �� � ��������� C(> ��' 6(,<6(/D ��

������

���

������

2����

��

����� ������

��

� �����

�� ������ � ?:"@

*�>�* B��3:�� ��3��� �����

���������� �� ��� .�� ��� � ���� �������� �� � � � ��� � �� �� � ��

���� ���� �� ���� ��> � ���������� ���� ���� �� ���� �� �� � �� �� %��� �� �� ���

���� � ������ ����� ���� �� ��� .�� �� ��������' ��� �� ����� �� ����� ?/:@ ���

�� � ��������� �� C(> ��' 6(,<6(/D

������

��� �����

2����

�� ����� ������

��� ����� � ?:,@

,#

Page 43: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

*�>�+ %������ �� ��3��� �����

���������� �� ������ �� ��� � ���� � �������� � ��� �� �� ��� � �� 9

�� �� ��K� � �� ���> ��> � 2�� � �� � �������' E��

�� �

� ��

��� ����� �� ?:/@

�� ������ ���� ������� ?/3@ ������ � �����8�����

-� � �� �����

� �� ������ ���� �� �� ?$/@> 2�� ��� �� ����

�-� � �� ����� ������

��� ����� ?:6@

2���� �� ���� �� ���� �� ������

��-� �����

�' ��������� �� ������� ?:,@ �� ?:6@

��%��� �� ��� .�� ��� � ���� �� � ��� ��� ��� �� ������ �� ��� � ����'

,(

Page 44: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��� ��! ���

�&� ��( � ��%�)��� ����!�� !����!��

E� ��� ��%���� � �������� ����� ���� � ������9��� ������ ���� �������� 2����

�� ��� �� ����� �� �� ������ ���� � � ���� ���� �'

��� $���!�! ��!� � �!�� "�� ��� - ����� �#� �!�

���� �� �� �� � ���� 2�� �� ��������� �� �����9����> ���9������ ��������

����� ���� � �����> ������9��� ������ ���� �������� ���*� � � ������ � ����

����' ���� ���� �� �������� �� ��� ������> ��� � �� 2��� ����� ����� ������' )�

���� ����� ��� ��������� �� ������� �� ��= ����� ������� �� �� ���� �����> �'�'>

� ���� �������' ��� ���� �� ��������� 2� ����%� �8��� �8���� 7�����% )��9

��0�� ����� ?7)�@ ����� �� ������ ���� � �� ������ ���� ����� 2�� ��������

����� ������ . ����' ��� ��> 2� ����� ��������� �� �8���� I������J ���� ����� �G

��� � ����� ������ ���� ������ ��� ���> �8��� � ��������� �� ���� �����> ��

��� �%���� � ��� � � ����� ����������� �� �� ����> 2�� � �� �.� �� �� �����'

����������> ���� ��������� ����0� ����� ���� ����� � ������� ������� �������

�� �� �����' E�� ������ ��� ������ . ���� �������� �� ��� ���� � �������> ����9

����� � ������ �� I�9���J ����� ����' E� ��� �� �8���� �� 7)� ������ � ��

������9��� ������ ���� ���� 7�����% )����0�� �2� ��� ����� ?7)��@'

��� ���%��� ��� ��%������ �� � �������� ������ ���� �� ���%��� ���� �� ��

������ ���������� ���%���� �� ����� ������ ���� �����' �8� �� �����8����

�����9���� ����� ��� �� ������0�� ���� �� ���9���� ������ ���� ������ ��

,"

Page 45: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

����� ��� �� �������B� ������ ��� ����' ������%���> �� ����� ����������

������ � ������ �� �����9���� ������ ���� ��> ������ �� ������ �� �� H�����9

+� ���9-����� ������ ��4������ ������' ��� �� ��� �� �� � ����� ��� �� �8������

��= �� �%� ��� �������� ������ ������> ��� � �� ����� ��� ������� ������� �� ��

��� � ���%� �� H+- ������ ��4������ ������' � ����� ���> ��� ��. ���2� ����

��= �� �� �� ������� �� �� ����� � ������'

��� ������� ��= ��� ���� ���� 2�� �8���� �� 7)� ����� � �� ������ ����

���� �� ���� �� �� � ���������� I7�����%9��.�J ��� � �� �� �� �� ��� �� � ��

�� ��� �� �� �����' � �������� �� ��� �� ��� 2��. �� �� ��� �� ��� �� ������

� �� ���� �� ��� ��� � �� ��' E� ������ � �����%� ����� ������� ����G �� �8�

���� �� ��� �� �� �� ��� ���� ������ � ������� ������� �� �������� ����� ����%����'

E� ��%���� ������ � �� ��� � �� �� �� ������� �� �� ������� �� �� ���9

�� ��� �� ������ ����� �����' ����� ��� ����� �� �� ������� 2� ����� ������

������� ��� ��� �� ���� ����� �� �������� ��� ��� � �� �������� ��8���� ��

������ ���� �4�� �4 �� �2� ��� ����� �> 2�� ��������� ���� ?�� �������@ �

�� �2� ��� ����� �' 1��� �� �����> � �� �2� ��� ����� �> 2� �������� ������� ��

��������� � ������ . ��������� ����' ���� ������� ������ ���� ��������

���� � ��� �� ��� � �� ��� � ���9��� ����' �� ����> 2� ������� ����G �

���������� ����%��� �� �� �������� � ������ ����� �� ����� �� ������ . ������

�����' E� ���2 �� ���� �� ������ ��� �� ��� ���� ��� � �� �� �� ��9

������ ����� �������' ����� �� �K�� �� � 2� 2���G ������ �� ��� ��� ��

� �2� ��� ����� �> 2�� � ������ � �� ���� �� �� ��� � �� ��> �� ������ ��

���������� �� � ��������� ����> 2�� � ���� ������ ��� �� ���� �� �� ��9

� � �� ��' ���� �� �� ���� ������ ����� �� ���� ���� ������� ��������

,,

Page 46: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

������ � �� ���� �� �� ��� � �� ��' ������> 2� �8���� �� ����� �� ������

������� �� �� �����' ������� ��� �� ����%���� ��� ��� �� �� ����� ����� 2�

��� ��� ������ � �� ��� � �� �� �� ���%��� � ����� �� ��� �� �� �� ��

���� ��������� ��' E� �������� ����9�4� ��2�� �� �� �� ������ ������� �� �����

��� � ��� �������� �� ������� ����� ����%���'

��� ������9��� ������ ���� ������� ��> �� �����> � ��� ��� ��� �� �� ������

������ �� ������� �� ?/3@' ��� ������� ��������� �� �2 � �����0� �� ��

�� ���� � �� �

� ��

��� ��� �� � �

� ��

�� ?:$@

���� ���� 2�� �������� �� ��� � ��� � � �� � �����

�� � � ��� ��

� ��� �� ?:3@

���� ���� ����� ���

� ��� � �� ?::@

� �� ��� ��� � �� � � �� ��� ���� ������ �� � ��' ��� ��� ��������

� ��� � � �� � � � ?:5@

�� �� ��� ��� � �� ����� �� �� ��� ��� �� �� ��� ��� ��� �� �����' ��� ������

,/

Page 47: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

������ %�������� ��� ������� � �� ������ �� �� ����� ��

� ��� � � ���� � ��� ����

�� ?5#@

2���� ���� � � � ����' ��� ����� ������ �� ������ � ��� �� ������� � �����0� ?:$@'

E� ������ �� �� � ����� �� �� %� �� �� ��� � ��� �� �� � ��� ��� ������

�� �������� ��4�������� 2�� ����� � ���� �������'

��� ���� �� ������ ���� �������� 2���� �� ���� %� �� ������� ������� � ��

# �� �� ?$$@ ������ � ���� ��2� �� �� ������ ����

� �

� � �

���� �� � ��� � �

� ������ ����� �� � ��� � �

���� �� � ��� � �

� ?5(@

2���� �� ���� �2� ��� ��� �������� � ���� �� �2� ��� ����� � � ��� � �' ���

�2� ��� �� �� ��� �� ����> ����%�� ���� ?$$@> ��

� ��� ��#

��?5"@

�� ������� ���� �%�� � �0��� ��� ���%�� �������� �� � ��� � �� ��� �� � � C(> ��'

/#$9/#:D' ��� �2� ��� ����� � 2��� �� ��%� ��

� � �� � ��� � �� � ?5,@

,6

Page 48: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

+�'�' ���1��" �1����2��6 �5��3���6 �����

��� 7)�� ����� ������� ������ . ����� ������ �� ������ �� �����8���� ����9

���� 2�� ������ ��� ���' ��� �� ������9��� ������ ���� ������� 2���� �2� �9

�� ���� �� ��������> ��� ��� �� � ��%���� � ������� �����8����� -� � �� ������

���� �� �� & � ��� C(> �' /"(D �� ��� ����� �� ��� � �� ��

���� ��

��

���

����� ?5/@

2���� ������� �� ���> ������� > �� �����%� �����' 1�� ���� ?:6@ �� ?5/@ ��

�-� � ��� � �� ?56@

� �� � �� � � � ��� ?5$@

E�� ?56@ ������� � �� ������ ���� # �� �� C(> �' /"(D> �� ���� �� ���� �� ��

�����0��� ������

�-� ��� ��' ������� ���� ��2� �.� �� ����

� ��� �

� � �

���� �� � ��� � �

� ��� �� � ��� � �

���� �� � ��� � �

?53@

2���� 2� ��� ��� ��� � ������ . ���� � ��� � ������0� �� �����> � .��� � ��� � �>

�� ���' � ���� � ��� � � ��� �� ������ � � �� ���� � � ��� � �0��� ��� ���%��

�� ����� I������� ����J' )���2���> �� ���� �2� ��� ��2�� � ��� � ���� ��

� ��� � ���� �� �� ����� I���9���J ?�� �2� ���@ ����'

,$

Page 49: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

������� � �� ���� �� �-� ��� �� ��� ���������� �� � �� �� �� ������� �� �� �����

�� ���%���� �� ���� ��2� �� �� ���� ?53@' ���� ������� �� �� �2� ��� ����� � � ��

��� �� �� � �� ���� �� � 7�����% �� �� ���������� � ���� �� �� ������� �������

�� �� �����> ���*� � �� ��� ?:3@ �� �� ���� ��2 ?53@' ������� � ����> ��

����2 ��� �� ���� �� �� �������� �� ���� � �� ������ ��� ���������� �8' ������>

������ 2�� � ����2 ��� ������ ������� �� �� ����� ��� ��� �����'

������� &������ �/ � $��#��

E� �%������ �� ���� � 2�� � �� ������� ��� ��� �� �� ��� � �� �� ����

�4� � ����� �������' � �� ���%� �� �� ���� ��2 ?53@ ���%���� �� ��> �������

������� � � ����������� �� �� �����> ���%���� ���� ���������� ��� �������' ����9

��� � �� ��� �� ���� �� ���� ��� ������ �� 2� ����� � �� � �� ���� ����������

��� �����0��' E� ���� �� �� �� ������ ������G ���� 2��� �� ����������� � ������� ��

2� ��� ���'

���� ?56@ 2� ��� �� �� ����� �� �-� 2�� � �� �� ��� ��� �� ���� �� ����> ��

�� ��� � �������� �� �� ����� �� �����' ��� �� ����� ����� ?:3@> �������� ?5/@>

�� ����� ��

��

���

������

���

���

����

��

��

����

�������

���

���

��� ��

���

����� ?5:@

�� �� �2� ��� ����� � �����

� ��� �� �-�

���

�����

� �����

���� � ��

���

����� ?55@

,3

Page 50: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��

��� ��

���

���� ?(##@

��

�� ��� ��������

������� ��� � ?(#(@

���*� ����� �� ��%�� ���� �� ������� ������� ��� � ��� ��� ������ ��� �������

�� ������� ���� � ���G ��� �������� � ��� � �� ��� �� � �� ��� �� ����� ����� ?:3@> %��

?55@> ?(##@> �� ?(#(@

� ��� � ���

���

����

�����

����

� ���������

���������� ?(#"@

1�2> �� �� ���� ��� ���� � �� �2� ��� ����� � � ��� 2�� � �� ������� ���� � ���

�� ����������' ��� ��>

�� � �� � � ���� � ��� ����� � ?(#,@

��� ������ ������ �� ��

� �

����

�������

���

���

�� ?(#/@

���� ?5:@ 2� ��%�

�� ����� ��

����� �

��

���� ?(#6@

��� �������� �� ������� � � �� ?(##@ �������

��

��� � ��

���

���� � � ?(#$@

,:

Page 51: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��� � � �' 1�� �� ��� � ����� �������� �� M���� ����������� ����� C(3> �'

6/D 2� ��%� � � � �� �� � ?6"@ ��������

��

��� � ��

���

���� � �� ?(#3@

E� ��� �2 �������� ��� �� ��� ����� �� ��� �� ������� �� ����'

������� ' !�� � ���������� ���� ?:3@� � ���(�� ��(�(� ?5/@ �/ ����� �1(���

�� " ����� ����� �(�� ��

��

��� � ��

��� � ��%� ��� � �� �� ����> 2� ���2 �� �� ���� ��2 ?53@ �� ������ ��

���%���� ������� ������� � ���� ����������� �� �� �����' � ����� ���> ���

�������� �� ���� ��� �� ��� ����> �� ����%����� ����� ��� �� ��� �� �� � ��

�� ��� � � ��� ��� �0��� � � � ����������� �� �� �����' �� �� 2���� �8�� > ��

����%���� ��� ��� �� � ����� � ��*�� ���� � ��� ��� ���' ��������� ��� �������> �

2��� �� �%��� � ����0� ������� ������� ��� �� � ���� �� ��� � �� �4 �' 7�

�� ������

� ���� � �� ?(#:@

�� ��> �� ����� � ��� � �' 7� .� ���� � ������ ��� ���� �G ��� ������ �

� � �� � .�� ?(#5@

� �� 2��� .�2 �� �������B� ������ ��� ���� ���� � ����2 ������� ������

���� ��� ���������> ������9���> ����� ������ C(> �' /6"D' H�2�%��> ������� ��

��������� �� ��*� ����� ������ 2�� ������� ����> ��������� � ���� �����

,5

Page 52: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

����������� �� �� �����> �� �������� ��� ��%���� ������' � �� ���.��� �� ���� 2���

����� � �2� ��� ����� � � �� ���� �� ����� �� �� ��� �2� � ��� �� ��*� ��� � ��� �

�� �����' ������� ���� ������%�� ������ ��� ��� �� �������� ���� � ��� ����

�� ����� ��� �� �� ���9��� ����' E� ��� ���� 2��� � ����� ��� ���������� �

������ 2���� �� M���� ����������� ������ �� � �������' ������> �� ������9

��� ������ ���� ������� ��������� ���� � ������� ������� ������� �� ��

�����' ����� ����������� �8��> �� ��� �� ��� �� � ���� ��2 � �� ���� ?53@ ����

�� 7)�� ������ �> 2�� � � ����� ������� ����> �� ���������� ��4��� �� � ��

7)� �� �������� ����� ������ . ���� ������ ���'

E� 2��� � ��� ��� ������ ����� �� �������� ������� �� �� ����� ���� �������

����G ��� �� � ��������� � � 2� ���� ��� ���' ���� 2� ���%� �� �� ���� �4��

�4� �� �� ���� � 0��� �� �.�� � �' E� �� ���%� �� �� �2� ��� ����� � � �� ��� ���

� ��� ���' 7��� 2� ���2 �� ��*� ����� � � ������� ���� ������ � �� �����'

������ ' *� �.�� � �� � .$&� ������ 2� � ��� �� �� ����� �%%������ ����

��� ���� ������� ?(#/@ �� ?(#6@

�� ����� ��

��

����

�������

���

���

��� ��

���

������ ?((#@

�������� ?(#5@ �� ?((#@ ������ �

�� ����� ��

��� � .���

����

�������

���

���

���� � .�� � ��� � .���

���

������ ?(((@

/#

Page 53: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

2�� �> 2�� ��������� � � ���� ?55@ �� ?(##@> ������

�� ����� ��

��� � .���

����

�������

���

���

���� � .�� � .��

���

�����

��

��� � .���

����

�������

���

���

���� � .�� � �

��

��.�� ?(("@

���� ?(("@ 2� �����%� �� �� �.�� � �> �� ���� �4� ��� � ������� .� ������ ���

0���'

�� � �� ���� �4� ��� � ������� .� � ?(("@ ������ ��� 0��� �� �.�� � �> 2�

�� ������� �� �� ����� � � ��� ��� �' �� ���%� ������� 2� ���> � ���> ���2 ��

��*� ����� ��� � � � ��� ���'

������ * '/ � ���� ?:3@ �� ���������� ��� � � � �� ������ � � ������ ��������

� � � �� /�� ��� �(3����� ������ �� ����� ���� � �"�����# �(�/�� � �� 4�� ���

��� ������� �� ����� � ��� � �> 2���� � ��� � ���� ���� ?53@' ��� ��� ��� ��

���� �� � ��

�� ���

����

���

������ ��� � ?((,@

���� ������ ( �������� � �G 2�� � ��� � � �� � � � ������ � � > 2� ��%� ��

��� ���

��

���� � �� ?((/@

/(

Page 54: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��� ��� ��= ���� ����� �� ��� ?((/@ ������� ���������' ���� ������� �� �� � �

2�� � ��� � �' �������� ������ ���� ��� �� ����� � ��� � �> 2�� � ���%�� ��*� �����

��� � � � ��� ���'

�� �������� ��%���� �8�������� ������ �� �����2��' ���� ?(#"@ 2� ��%�

� ��� � ���������

���������� ?((6@

�������� �� ��� �8������� �� ?:3@ ������

�� � ��� ��

� ��� ����������

��������

��

��� �

���������

��������

��� ?(($@

�2� ��������> ���> ����� ���� �� ���� � ��*�� ���� � �� ����%��� �� �� 7)��

��������� ���� � ���' ����

� � ���������

��������?((3@

��

� � ��� ?((:@

/"

Page 55: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�� �� ������ ?(($@ ��� �2 �� �8������� ��

�� � ��� ?((5@

1�� �� � �� ��� ����� � �� ����� � �> 2���� �� ��������� ���� ?((6@ ���

��� ���������' ������� �� ��� ��� �� ���� �� ��� ���� ����� �� � �G ?((:@

�������� �� �� ��� �� �� ����%��� ������� ?5:@> ������

�� ����� ��

��

���

������

�����

���

����

��

��

����

����� ��

���

���

��� ?("#@

7�

� �

����

����� ��

���

���

�?("(@

2�� � ������

�� ����� ��

����� ?(""@

���� �� ������ �� � �� �� ����%����� �� � ��%� ����%� ���� ���� 2���� �������

������� ������� �� �� �����' ������ ?("#@ ��%���� �� �������� ��4��� � � ��2

��� ���� �� �� � ��������� � �������� ����� ������ . ���� ������ � � ��������

� �� 7)�� ����������' ��������� ������ ��� ��� �� ���� �� � ����� �� � ����8

�� ����> �> �� �� ��� %��������' ����� ����> �� �������� �� ���� �� �� ����>

��� ���� � �� ���� �� � �� � �����%� ����� ����8 ��� ?�������� � �������@

�8���> 2�� ���������� �� �� & ��� � ���������� 2�� � �� ��� �� �& ����� � �

?� �� �� ������� � �� �����@' ���� ��� �� � ��������� �� ���%�� � ����8 7�����%

/,

Page 56: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

������

���������� � �� ?(",@

2���� � �� �����%� ����� C(> ��' """9"",D' ������ ?(",@ �� ����� � �� ������ ��

���G �� ������ �� ��� ��� ���� � �� ����' ��� 7)�� ���������� �� ����������

��4���G �� I������ .J ���� � ��� ��� ��� �� ��� � ���� �� �������' ���������>

�� � ?("(@> � �� � ������> ������ � �� ������ �� �������' ��� � ��� ��������

2� 2��� ����� ���� � ���� �� �4� �G � 2��� �� �4� �� ����� ��'

������� &������ ����(#� ����%(����� �/ � 5��� !(�����

�� ��� ��� 2� ��%� ����0�� ������� ��%� ���� �����8����� -� ��� � �� ����� �

�� ������ ���� �� �� & ����' �� ������� �������> ����� �%� ��������� � �����

��� ��� ��� ��������' ��� �� ��� �� ���� �� �������� � ��� ��������G � �� �����2��

�� ��� 2� 2��� ���2 ��2 ������ ��������� �� ���� ����2� �� � �������� ������� ��

�� ����� ���� ���� ����� �%� ���������' E����� � ������ . ������ ���� ��� ���

������0�� ���� � ���9���� ������ �� ������ ������ ������ �� �� H+- ������

��4������ ������> ������ �� �� ����%� � ������ ������ ������� �� ����� ��

� ���� ������ ���� ��� ��� ����' ���9������ ������> �� � �� 7)��> ��� ������

���� �� ���� ������> �� � � ���%� ��������� ������ �� ����8 ���� ��������� 2�

��� ������ ��� � �� ����%��� � � ���� �8��� � ����' ��� �� ��� �� ���� 2��� ��

������ �� �� ��� ��� �� �� ��� �������' ����������� � ���� �0��� �����������

�������� ?����@> �������� �� ����> �������� �� ���� � ���> �� �����������

���������'

��2�� �9����<��� �� !�6�� � ������ ����� E� �2 ������� �� �8��� �

�� �0��� ����������� �������� � ������ �� ��� ���� �4��'

//

Page 57: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

������ + '/ � �� ������#(���� "�� � � � ������ � � ������ �������� � � � ������

��# ���� �(�� ��

��

������ � ?("/@

#(����� �� �� ����� #���� �� � ������ ��" ?53@ �� �� ���-�# � ������

1(������(� %���� �� �#���� �/ ������ �������

��� � �0��� ����������� ��� ��������

� � ��� �� ?("6@

2�� �> �� � � �� �%������ ������

��� � ������� ?("$@

7� .��� �� �� � ����������� ��� ��� �����%� � �> 2��

��� � �� � .��� ?("3@

2����> �� ������> �� �� � �' ������� �� ����� � ��� � �G �� ���� ���� ����������� �

��� ����� �� ��� ��� � �� �� .���� �� �� ��� ��� �����%� � �' 1�2

���� � �� � .���� ?(":@

�� �� 2� ��%�

�� � .���� � ���������� ?("5@

/6

Page 58: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

1�2>

��

��

��� � .����

��

��

��

����������� ?(,#@

2�� � ������� ��

��

��.���� �

��

��

����������� ?(,(@

�� � ��������� � �' E�� � ��� � ����� �� ��

������

��

��.����� ?(,"@

�� � ������

� �> ������� .���� � �G ��� ������� �� ��� � �0��� ����������� ��� �

�8�� � ��� ����� �� ���� ���� �� ?(,(@ ��� �� ������ �� 0���' E�� ���� � � ���

��������

��

��

�����

�� �� ?(,,@

���������> ������ �� ����� � ��� � �G �� ���� ���� ����������� � ��� ����� ��

��� ��� � �� �� .���� �� �� ��� ��� �����%� � �> 2��

���� � �� � .����� ?(,/@

��� 2� ��%�

�� � .���� � ���������� ?(,6@

2�� � ������� ��

��

��.���� �

��

��

����������� � ?(,$@

/$

Page 59: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�� � ������

� �> ������� .���� � �G ��� ������� �� ��� � �0��� ����������� ��� �

�8�� � ��� ����� �� ���� ���� �� ?(,$@ ��� �� ���� �� 0���G 2�� ���� � � ��� ����

��������

��

��

�����

�� �� ?(,3@

� �0��� ����������� ��� �������� �� ���� �� ���� �� � �� ?(,3@ �� �������' H�29

�%��> 2� ��%� ��� ����

��

��

�����

� � ?(,:@

�� �������� � ���� �� ��*� ����� ������� �� �� ���� ��2 ?53@ �� � �%����

� �0��� ����������� ���� � ������ �� ��� ����'

������� * !��� � ��(�� �/ ����� 6� �/ ��� ���� ��� ���� �(�� ��

��

������ �� ?(,5@

E� ��� ���� ������ ����������� ��������> � ������ �� ��� ����> ��� ��

��� 2���� � �� �������' ��� � ��� ���������> �� ������ �� � �� � � ��� ��%� �

���� ����� �� ������� C(:> �' :D' ����� ������ ��� ���������� ������� �� M����

����������� ������ �� ������� �� ��� �����.���� ������� � ?(,5@'

��� �� �������� �� �� �����> �� ������ ���� ���������� �� ?:3@ 2��� �� ����

�%���' E� 2��� 2��.> 2���� ���� �� ��������> ���� �� �������� �� �� �����

?:3@ �� � ������ ����'

������ > '/ � ���� ?:3@ �� ���������� ��� � � � �� ������ � � ������ ��������

� � � �� ���#(����� �/ � ���� ����� � ��� �� %���(� 1(������(� ����/���� ��

�#���� �/ ���#����# �������

/3

Page 60: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��� E��

� �

����������������

� � � �

� � � �

'''' ' '

'''

� � � � � � �

��� ��� �� � � � ���

����������������

�� �������� �� � �� ������� ������� �� �� ��2� ��� ������� ������G ��������

��� � �' � �0��� ����������� ��� �������� �� �� � �G ���� ?:3@

����������������

'''

����������������

����������������

� � � �

� � � �

'''' ' '

'''

� � � � � � �

��� ��� �� � � � ���

����������������

����������������

��

��

'''

����

��

����������������

����������������

'''

����������������

�� ?(/#@

�� � ��� � �> ������ ?(/#@ � ��� �� ������� �� � ��� � �' E�� � ��� � � ������ �

�� ���� ����� ��> 2� � ���� �� �� ��������� �� � 2��� � ��� � �����������

�������� � ������ �� ���9��� ����'

� �� ������� � �� �� 2� ���� ��%� ����%�� ������� , � � ���� ������� � ��

�� ������� /> ���� �� �������� �� � �� ��������' � �0��� ����������� ��� �

� ����� �� ��� ���� 2���� ������� � � ����� � �> 2�� � ������� �� � ������� E�

���� �� ���� 2�� ��� �8������� �� � ?(":@ ������ 2�� �� ����� � ��� � �'

F�������> 2� 2���� ��%� � �8������� �������� � ?(,5@ 2�� � �������� �� �

����������� ��� ���� � �8�� � ������ �� ���9��� ����'

/:

Page 61: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��2�� �9����<��� �� !�6�� � ���6���� ����� �� � �� ���9��� ����

���> 2� ��� �8����� �� ����� ���� � ���� ���� ��� � �� ���� � ����� ������� �

�� ��� �� ������� ����' )� ���� ����� �� �� ����%���� ��� ��� �� �G � ���� ����

2� 2��� �8����� �� �8��� � �� ������� �������� �� �'

������ ? '/ � ���� ?:3@ �� ����������� � ����� � �� �� ���%����� /����

��� ��� � ��������� ����� ?:3@ 2� ��� �8����� � � ������ ���� 2����

���� �� ��������' E��

� �

����������������

'''

����������������

� ?(/(@

������� �� ����8

� � ���������

��������� ?(/"@

� �� � �������8 ������ �� ��� ��2� �� 0���� 2�� �� ��� ��2 ����� � ��������� ��������'

7�

� �

����������������

� � � �

� � � �

'''' ' '

'''

� � � � � � �

/�� /�� /� � � � /��

����������������

/5

Page 62: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

���� ?((:@ 2� ��%�

� �

����������������

� � � �

� � � �

'''' ' '

'''

� � � � � � �

��� ��� �� � � � ���

����������������

����������������

� � � �

� � � �

'''' ' '

'''

� � � � � � �

/�� /�� /� � � � /��

����������������

����������������

� � � �

� � � �

'''' ' '

'''

� � � � � � �

��� � /�� ��� � /�� �� � /� � � � ��� � /��

����������������

� ?(/,@

��� ����8 � �� � ������ ����'

������ @ '/ � ���� ?:3@ �� ����������� � ����� � �� ���#(����

��� ������� �� ����8 �> ��%� �� ?(/"@> ������ �� � � � ��2� �� 0���� 2��

�� ��� ��2 ����� � ��������� ��������' ��� ��� ����� � �� ��2 %� �� ��������

�� ��%� ��

���

���

��

���� � � ��

���

�������������

'''

���

�������������

���

������

�� ?(//@

6#

Page 63: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

2���� � � ���� �' ��� ��� ����� � �� ��� ��2 �� � �� ��%� ��

/�� �

��

���

��

���

� ���� ?(/6@

E�� � �����

�� ������ ���� ��

��� � ��� � /��

� � ?(/$@

2� ��%�

� �

����������������

� � � �

� � � �

'''' ' '

'''

� � � � � � �

� ��� � /�� �� � /� � � � ��� � /��

����������������

?(/3@

�� � ���� �� � �� �������'

�� �������� �� ������ � �� �������� ��������� �� ����� ���� �� ����� �����

�� �� ���� ��2> 2� ����� �� �����2�� �8����� C(> ��' /$/9/$$D' � ���� ����> 2� ��

�� 2� ��� ���� ���� �������� � �%��� ����� � �0��� ����������� �������'

�=��1�� ' ������� � %����� �/ ����/����# � �� � � ���#�� �� �����(� ��

6(

Page 64: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

/�� � ���� #�-��� �� �� 1(�����

�� � ��� ��

���� � �

�� �

������

������

������ ?(/:@

�� �#�-��(� �/ � �� 0� � ��� ��� ��� 0� � �� � �

��7 � ���� �� (������

&(%%�� " �%%������ � �%���� �(�� /(����� (���# ������ � � ��# �1(��� ��

� ���� /(������ 8 ��-

���� ��

��� ��

������ �

� �

������������

����

��

��� �

���� ?(/5@

/��� ?55@� ?(##@� ��� ?(#(@

� ��� � �����

����

� ��� ?(6#@

�� �� ?(/5@ �� � %����- �4��7 �������� � �� ����4�� &(%%�� " ��%��� �

���#(��� ������ ���#� � ��� %��� ����# � �� ����� ��� � ���#��� �� ������ ��

"��� �����%���� ��� ��0 �� /�(�� �� ���# �� ��� �� � � ��� ���-��# /�� � ���� ��� ��� "

��- � ��� � �� � � ���

�� ��� �� � ��� � �� � �

6"

Page 65: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

"����� "�� �� � � ��%��� �� � ��� � ��� '/ " ��%��� � ��� � ��� %��� ��

� ��� � �� � �� � �� 1(����� ��(� �

���� ���

���

���� �

���� � �

�� �

�������� ��

�����

���� �

������ �

���� �

���� �

���� ��(� �� �%��7 /��� ?((:@� ���������# ?(/:@ ��� ?(/5@�

� �

���� � �

�� �

�����

������

����

!""#����� ��

� �

����������

����$%%&�

�� �

�������

����

����� �

� �

����

"���� �� ���#(���� ��� ��� %��� �� � � �� � �� �(� � � ���#(��� ������� �� �� 1(�����

��(� %���� �� �%���� �(�� /(����� �%%��������� (���# 9�6:; ��(�� � ��������

��%��-� �� �%��/���# ���� � �������������� ������# � ��� � ������ ' �� ��� � -��/�

�� ��������� � ��� � �� ����4�7 � �� ���#(���� �1(������(� %���� ���(� ���� "��

�� � �� ��"-�� /��� � ��� � �� � �� � �� � ���� 1(������(� %��� �� � �"�����#

�(�/�� �� � ���#���

E�� � �������> 2� �8�� �� ��2��9��������� �0��� ����������� �������� �8��'

������ . '/ � ���� ?:3@ �� ����������� � .$&� ��#����� %���(�� � ��������������

������� 1(������(� ����/����

6,

Page 66: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��� E��

� �

����������������

� � � �

� � � �

'''' ' '

'''

� � � � � � �

��� ��� �� � � � ���

����������������

� ?(6(@

�������> 2� ��%� ��� � �' ��� ��� �������

�� � ��

����������������

� � � �

� � � �

'''' ' '

'''

� � � � � � �

� ��� �� � � � ���

����������������

����������������

��

��

'''

����

��

����������������

?(6"@

� �� ������� ������� ��� 0��� ��� ��� �� 2�� �� � � � � � � � �� � �' ��� �8��� � ��

�� ��9��������� ����������� ������� �� ���%�'

��� ������ �� �� �� �8��� � �� ��� ������� 2��� �� �8������ ������G �������

��� �� ����%���� ��� ��� �� � ��� ������� ���� �� ���� � �� ��� �� ��� �� �

���� ��2 2�� � ����� �� ��� �� ����� � �� ��������� ��'

������� ( �� " ���%��� ��������� � ��� � ��� ���� �� �� ����' H�2�%�� 2� ���

��%� ����� � � ��� ���� ��� �� �2� ��� ����� �> �%� � � ����� ����������� �� ��

�����' � ������> 2� ��� ���� ?((5@ �� ����� � � � � �� � �� ������' E� �������

���� ������ ������ ������ ���� �� �� ����'

6/

Page 67: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

������� ����

E� �������� �� ���� � 2�� � �� ���� ������� ��� �� �K�� �� ������ ���� 9

�� �� ���� ��> ����%�����> �� ��� ��� �� �����' ����> � ��> �4� � ����������

���������� �� �� ������� �� %������� ��� ��� ���� ������'

��� ������� ���� ��� ��� ��� ���� ���%������> � ?((6@G ������ ���� ������ ��

�� ��� � �������% �������' E�� � ���� � � ��

��� � ��� � ����� ?(6,@

�� 2�� � ���� � � ��

��� � ��� � ������ ?(6/@

) �� �2� ��� ����� � �> 2�� � ��� � �> �� �������% %��� �� ?/$@> ��

��� � � ��� � ��� �� ���

� ���

��� � .��

� �����

�� ��� ��

��

��� � .��

� �����

� ���� � .��

� ��

�.�� � .��

� ������ � ��� �������� ?(66@

2���� � �� ���� �� � �� ?(66@ �� ��� � �' !��� ��� �����> ������ ?(66@ �� ��

�4� �%� %��� �� %� �� � �� ���� �� �������%G 2� ��� ��. �� � ������ ��*� ��� ��

������ ���� � 2�� %��� �� ?(66@' ������� ���� ���� ����� �� %��� �� %� ��� ���� ��

���� �G 2� �8�� ����2���� ������� ���� �� �� ����� � �� ���� � �� ������'

� ?(66@> � ��� �� ���� �� � �� ��� �� ��� � �' ���� �������� ������� ��� � �

66

Page 68: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

2�� � �� ������� �� � �' ����> �������% %��� �� %� ��� ��� ����%��� � ���� ����� �� ��

������� ����' �� �%������ �� ���� ������� � �� 7)�� ����> ������ ��

�����2�� ��������'

������ - 8�� � ��� � � ������ � � ������ �������� � ��� ����� ����� �(��

�� �������� � �� ����4� � .$&� ���� %���(�� �� ����� ��� � �� ����/�

������� ��� �(3��� ��������� /�� �����

��� ������� ��*� ����� ��� � 2���� � � �G 2� ��%�

��

����� �

��

��

���� � �����

���

��

��

��� � .��

� �����

�� ?(6$@

���������> ��� ��*� ����� ��� � 2���� � � � 2� ��%�

��

����� �

��

��

���� � �����

���

��

��

��� � .��

� �����

�� ?(63@

1��� � � �> .� � � �� 2� ��%�

��

����� � ��

������ � ������

��

����� � ��

������ � ������ � ?(6:@

6$

Page 69: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�� � ��*� ��� ������ ��� �� ����> ��� �> �� � � �� ?(6:@ �� ����

��

����� � ��

������� � �

��

����� � ��

������� � �� ?(65@

E�� ����� �� � ��� %� ���> 2�� � ��� � � ������ � �� ���� ����� �� 2�

� ���� �� �� ������� � ?(65@ ��� �� ������� ���' ����������> 2�� � � � 2� ��%�

�� � � �� 2�� � � � 2� ��%� �� � �' 1� ������ �� ��= �� ������ ��� �� �8��� �

�� ���� ��� �������'

��� ����� �� ������� : ���%���� �� 2�� � ������� �� �� ����� �� � �� ���� �

2�� � ���� ���� �� 7)�� ������' E� �2 �8���� ���� � � ������ ����> ����8��

�� �������� �� �� �� �����' E�� ������� �� � ���� �������� ��2�� ���� ��

������ 2���� �� ������� ���� � ��� �� ����������'

������ C ������� � �� ��� ����� �� �� "�� �� �� �� ��������� ����� �� ��#�

��(�� '/ � ��� � � �� ������ � � ������ �������� � ��� ���� � � ��� � ����� �

.$&� ���� %���(�� ���� ���( � � ��� %����

��� ���� ?(6$@ 2� ��%�

��

����� �

��

��

��

��� � .��

� �����

�?($#@

2�� � 2�� .�� � � ������

��

����� � ��

������ � ������ � ?($(@

63

Page 70: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

1�2 2��

� ���� � ���������

���������� ?($"@

2� ��%�

��

����� � ���

���� ?($,@

2�� �> ���� ?($(@> ������

��

����� � ���

���� � �����

���

��� ����� � �� � �� ?($/@

1�2 ���� ?(63@ 2� ��%�

��

����� �

��

��

��

��� � .��

� �����

�?($6@

2�� � 2�� .�� � � ������

��

����� � ��

������ � ������ � ?($$@

���� ?($,@> ?($$@ �� ����

��

����� � ���

���� �

��

������� ?($3@

2�� � ������

��

����� � ��

��� ����� � �� � �� ?($:@

� �������� 2�� ?//@ �� ?/6@> 2� ��� �� ?($/@ �� ?($:@ ������ �� � ������ ��

6:

Page 71: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��6��� 'D ���������� �� ��� �8����� "> ���� 2�� 2� ������ �2� ��� ����� ��'

��6��� *D ����� �� �4� �%���� ��� �8����� " 2�� � � �� � ���

��= �� ������ ��� ����'

��� ����� �� ������� : ������� �� � � ����������� �� �� �����> ��*� ����� 2���

����> ���������� �� �� �8� ���� �� �����' E�� ���� �� ���� ������� � ��� ��

������ ( �������> ?(65@ ������� �� � ������ �� ��= �� ������ ��� ����' ���

����� �� ������� 5 ������� ��2 2� ��� �4� ����> �������� �� ��������� ��> ��

������ �� ��� ��� �� � ���'

��� �����2�� �8����� ��������� ��2 ���� ���� � ������G � ���� ��������� ����9

����� � ��� ������ � �� ����� �� ������� 3'

65

Page 72: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�=��1�� * ������� � %����� �/ ����/����# � �� � � ���#�� �� �����(����

/�� � ���� #�-��� �� �� 1(�����

�� � ��� ��

���� ���

���

���� �

���� � �

��

������

���� �

������ ?($5@

�� ������ �� ��(��� �� �� ���� �� �� �#�-��(� �/ � �� 0� � 0� � �7 � ����

�� (����� �� � ����� �/ ������� �� ���������� � � � ���#�� �� ���"� �� !�#� ��

����# "�� "� ������� �"�����# �(�/���� �� ���������� � � "�� #���� �� �� C(>

��' /6:9/65D� ������� � ��%������� �/ � ������ ��" ?53@ "�� � ��� � ����� � �7

� �#��� �/ 2��-��� � (��� ������ ��" ?53@ �� ���"� �� !�#� �� ��%���� �� �����

�� ���"� �� !�#� �7 �� �� �/ � ������ � ��� �� ���������� �� ����� ���� �

� ���#��� $��"��� �� ���%�� %��� ���(#� � �"�����# �(�/�� � ��� � �� !��� C(>

��' 5:955D " 0��" �� � (%%� %����� �/ � ���������� � �� !�#� � �� #����

"�� � � ��7 � ��"� %����� �� #���� "�� � � �� <��� (%�� ��� /��� " �%�

�� ���# � ��� � �� ��� ����" � ��(���# ������ ��" ?53@ � ����/� ��� ��� �� �

���������� � � � ���#��� ��"-�� � ��(���# ����� � �� ���#(��� ��� � ���

�(�/�� � ��� � � �� �� 1(������(� ����/���� !�#� 6 ���"� �%���� �� ����� /�� � ��� � ��7

� �� ���� �� � ������������� 1(������(� ����/����

������6 .$&� 5����� �/ *������

� ��� �� �� 2� �8���� �� ����� �� ��� �� ���%���� �� �� 7)�� �����' ����

������� 2��� ������ ����� ������ ?�� � ���� 2��� �����@> ������� ����� ������>

$#

Page 73: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��6��� +D ���� �� ��*� ����� ��� �8����� " 2�� � � �� � ���

��6��� >D ���� �� ���*� ����� ��� �8����� " 2�� � ��� � ��'

$(

Page 74: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�� ������ ������' ������� ������� ������� ��� ������ �� ���9��� �� �������

���� 2��� �� �������� ���������'

���<�� ����� E ���6F���6 ����� ��� �������� �������� �� ��� �� ��

�� �� �� ����%����� �� � ��%� ��� �� ����%� ���� ����' ��� ����� ������> ��

���� ��2 ?53@ ����� �� 2� ��� �� ����������� ���� ���������� � � ��� � ���� ���

� ��� � � �� � ��� � ���� ��� � ��� � �' ��� ������� ��������� �� �� � ��� �� ����������

��� ������� ���� � C(3> �' (,,D' ��� ��> ���� �� ���� � ��� � ����> �� ���

�� � ��������� �� �������� ������� ���� �����G ��������� �� ��� �� � ��������� ��

�������� ������� ���� ����� ��� � ��� � ����' E� 2��� �������� ���%� ������ �������

������� �� �� ����� ���� �� �8 �� ��> �� �������%��� 2� ��� �2 ��� ��� �������

�� � ������ � ���9��� ����' ������� �� �����2�� �����'

������ '0 '/ � ���� �� �� ���������� �� ����� #���� �� .$&� �� �� �����

��� ���� ����� �� ������� � �� �� ������� 5> �� �������� ���� ����� ���

�� %��2' ������� � ����� ��� � 2���� � ��� � � �� � ���� �� � ����������G �'�'

� ���� � ����' ���� ?($#@ 2� ��%�

��

����� �

��

��

��

��� � .��

� �����

�?(3#@

2�� �> �������� ?($(@> ?($"@ �� ?($,@ ������

��

����� � ���

���� � �����

���

��� ����� � �� � �� ?(3(@

$"

Page 75: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��� �� ���� ��� �� � ?(3(@ ������ �� ����� � ��� � � �� �� �� � ���� � ����

���� �����' E� ��%�

��

����� �

��

��

��

��� � .��

� �����

�?(3"@

2�� �> �� ������> ������ �

��

����� � ���

���� � �����

���

��� ����� � �� � �� ?(3,@

E� ��� �� 2�� � ���� � ����> �� � ������ ������ ��� ���� ��� � �������'

�������� ������ ���� ��� � ���� � ����'

���<�� ����� E ���6���� ����� ������� 3 ���%�� �� �8��� � �� �0��� ����9

������� �������� � ������ �� ��������� ����' �� � �������� ������ �4� ��

����� �� ��� �� ��� �� ���� ��2 ?53@' E� �2 �%������ ����������� ��2��

�� ����� �� ��� �� �� �� 7)�� ��������� ���� ������' �8����� � ����

?((3@ ������

� ��

��������

����������������

'''

����������������

���

���

��

���

��

��� � � ��

���

����������������

� � � �

� � � �

'''' ' '

'''

� � � � � � �

��� ��� �� � � � ���

����������������

$,

Page 76: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�� ��

� ��

������

�����������������

� � � � � � �

� � � �

'''' ' '

'''

� � � � � � �

�����

���

��

���� ���

��

���� � � ��

������ ���

��

���

�����������������

1�2 ���� ?((:@ � � ��� ������

� �

����������������

� � � �

� � � �

'''' ' '

'''

� � � � � � �

��� ��� �� � � � ���

����������������

� �

������

�����������������

� � � � � � �

� � � �

'''' ' '

'''

� � � � � � �

�����

���

��

���� ���

��

���� � � ��

������ ���

��

���

�����������������

$/

Page 77: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

2� ��%�

� �

�����������������

� � � �

� � � �

'''' ' '

'''

� � � � � � �

� �������������

�������������

� � � ���������������

�����������������

� ?(3/@

���� ������ ( 2� ��%�

��

��� � � ?(36@

2�� � 2�� � � ������ ���� ��� ������� ��

��

���� �� ?(3$@

� %��2 �� ?(3/@ �� ?((6@ 2� ��� ��. �� ������ �� ������� �� ������� �� ��

������� ������� ����%����� �� ���� �� ������� �� �� ������� ����' ��� �������

������ �� ����� ��� �� ����� �� �� ������� �� ��� �� �� ����%����� �� ?(3/@>

2�� � �������� ������� ��������� �� ��*� ����� � �� ������� �������' E� �����%�

���� ������ ?(3/@ �� �� � ����%����� �� � ��� ���� � �� ��� ����G ��2�%�� ���%������

���������� ������� ������ ��� �� �������� ����� � ��� ����%���� ���� ��' ���

�����2�� ������� ��������� ��� ���> ������ 2�� ����� ������'

��� ����� ������> �� ��������� �� �� ��� �� ��� ��� �' E� 2��� ���2 �� ������

������ ���� �� �� �����> ��� ��*� ����� ������� �� � ��� ��� �����' �� �� ���> 2�

��� ������ �� ������ �� ���%���� ������� ������ ��%� ������� ��� ���

$6

Page 78: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�����'

����� ' '/ � �� ����� "�� � ��� � � ������ � � ������ �������� � � ��

�������� � �����

���������

��

��� ���� ����� �����2� �� �8���� �� ����� �� ������� ,' E�� � � ������

����

��� �

�����������������

�������

������

� � � �������

���

� � � � � � �

� �' ' ' � �

� �' ' ' � �

� � � � � � �

�����������������

2�� � ������

���� �

���������������������

���

'''

���������������������

��

��

������ �

���������

���� ������ " 2� ��%�

���������

�� ?(33@

$$

Page 79: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

E� ��� � ���� � ������ ��� ��� �� � ������ �� ?(3/@G ��� ��� ��%������ �4� ��

����� �� ��� ��' �������� ��� ����� ������ 2� ��� ���� ���� � ���2 �� ��

7)�� ����� ������ � ���� �� � �� �� ����� �� �������� ������� ���� ����� ����

������� ����'

������ '' '/

���������

� � ?(3:@

�� � ���#(��� �(�/�� ��� �� ������ � ������ 1(������(� ����/����

��� �8��� � �� � ��9��������� ����������� ������� ��� ��� ��> 2�� �� � � �

� � � � �� � �> 2�� ���%� � ������� 3' �� ���� �� ���� �0��� ���� �� ���

����������� ������� 2���� ��%� � ����� 2���� �� ��� ��� ������ �� 0���' ��� �����

������> �� ��� ��� �� �0���G �� ��������� ?(3:@ �� ������� �� ������ ��

�0���' ��� ��� ��� � �� ����������� �������> ����� �� �� �2� ��� ����� �

2�� ������ � � �� �� �����'

E� ��� �2 ������ ������ " � ���� �� �� ������ �� 7���� ( �� ������� (('

������� + &��

���������

� �� ?(35@

������ �� ��������� �� �> 2�� � ��� �� � ��9��������� ����������� �������>

������� (( ������� �� �� 2� �� ��%� �� ������� � ����� � �2� ��� ����� � ��

���� � ��� �0��� ����������� ����' H�2�%��> �� �� � ��� �� ��� ����> 2� ���

������ �� ������� �4� � � ����� �������' � ���� ����> ��� ����� ������> � 2�

������ ��� �� ������ ��%������ ��� ��� �� ���� ������� ������ ������� �������N

E� ��� ��� ���2 �� ���� �8��� � ����������� ����� �� �����> � �� �������

$3

Page 80: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

������� �> 2���� � ����2���� ��������� ���� ��� �� ��� ��*� ����� � ������� ����

������ � �� �����' )� ���� ���� ����� �� �� �����2��G � 2� ������ ������ , ��

���� ���%� ������� ������� � �� ����� ��� ��*� ����� � �N ��� ��*�� � �� ��

�� ������� � � �������� �� 2� ��� � � �� � �� �� ����������� ��� ����������

� ��8���� ���� �4�� ���� � �� ����� � � �'

������ '* *��(� � ���� ?:3@ �� ���������� ��� � �#�-��(� �/ � �����

� ��- ������ �#��- ��� %���� !(������� ���(� �� � � ��� 8�� � �%��4�

�(�� �� ��������� ( ��� , �� ����4�� � ��3���� ���� ��� � � � � ��� ��� � �����

�#��-�

��� ������� ( �� , ��� � ����� ��� � �� ���� �� ������ �� ������G ���

�4� � ��� ������ � ��� ��� ������ �� �' 7�

�� �

������������

� � �

' ' ''''

� � � � � �

��� �� � � � ���

������������

?(:#@

��> ����%�����>

�� �

�������������

� � �

' ' ''''

� � � � � �

�������������

�������������

� � � ���������������

�������������

?(:(@

���� � ���� �� ����� ����8 ����%�� ���� �> ������ ?(3/@' E�� � ������� ����

$:

Page 81: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�����> ��� � �G ������ ������ , ��� ������� �� ������ � �' E�� ������ � � 2�

��%� ��� � �' )� 2�� � ������� �� ���� � � � � ��� ��� ��� ����%� �� � ����

��� � ���������������

� ��� � ! � � ���� �� ?(:"@

������ '+ *��(� � ���� ?:3@ �� ����������� � �#�-��(� �/ � ����� � ��-

������ �#��- ��� %���� ��� �� � � ��� 8 ��� ��� ���� ��� � � � � ��� �(�� �� �

�� � �#�-��(� �/ �� ��- ������ �#��- ��� %����

��� ���� ������� ("> ���� 9�=�;� 2� ��%� ���� ��� � � � � ��� ���� �� 0���G ���

�� � � ������ ����� ��� �� ����%����� �� �� � ��%� ��� �� ����%� ���� ����' ��

�������� �� 2� ��� ��2��� ��� ��� ���� ��� � � � � ��� �� � �� �� ��� ����%����� 2��

��� �� ����%� ���� ���� ������ �� �����2��' 7� � �� � �� � ����8 �� �� ����

� �

����������������

� � � �

� � � �

'''' ' '

'''

� � � � � � �

�1� �1��� �1��� � � � �1�

����������������

?(:,@

2�� � ������� �� H��2�0 �� ��� �������' ��� ��> �� ��= ��� 1�� � � �� � � � � � �� ��

���� ����� ������

2� � 1�2��� � � � �� 1���2� 1� � � ?(:/@

$5

Page 82: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�� �� �������� ��� � � �� � � � � �> ��� �����%�> 2����

�� �

1� � � � � � � � � �

1 1� 1� � � � � � � �

1 1� 1 1� 1� � � � � �

''''''

''''''

''''''

' ' ' �

1���� 1���� 1��� 1���� 1��� 1���� � � � 1�

� ?(:6@

��� H��2�0 �������� ��� ���� ���0�� �� �� ��= ��� 1� � �� ������� ��

� ������ ��� �� ���� ���� � ��� �� �� � ����> ��� C"$D ��� ������ ������ �' 1�2

������ �� ��� ��� ��� �� ����8 ��> ���� �� ������ �� ��� ��2 �� ���� �� �'

�� �

������������

� � �

' ' ''''

� � � � � �

�1��� �1��� � � � �1�

������������

?(:$@

2�� ���� ����� ������

2��� � 1�2��� � � � �� 1���2� 1��� � �� ?(:3@

1�� �� �� ��= ��� 1�� � � �� � � � � ���> �� �� ���� ����� ������ ?(:3@ ��� �����%�'

��� �� � ������ �� H��2�0 �� ��� ������� �� �������� ��%� ����%����� 2�� ��� ��

3#

Page 83: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

����%� ���� ���� �� �������� ��

�� � � �� � � � � �� �> ��� �� �����%�' E� ��%�

��

� �

1� � � � � � � � � �

1 1� 1� � � � � � � �

1 1� 1 1� 1� � � � � �

''''''

''''''

''''''

' ' ' �

1���� 1���� 1��� 1���� 1��� 1���� � � � 1�

� ?(::@

�������� �� ?(:6@ �� ?(::@ ���2� �� �� ��� � � �� � � � � � ��� �����%� �� ��

�� � �

�� � � � � �� �> ��� ���� �����%�' H� �> �� �� � ����%����� �� �� ��%� ��� �� ����%� ����

����'

�=��1�� + ������� ��� ����� "�� ����������� 1(����

2� � 1�2 � 1�2

� � 12� 1� � ��

"���� ����4� � �(�"�� � /�� �������� ��� ��� " ��- 1�� � � �� ���� � #��� ���

��� ���

�� � 1� � �

�� �

1� �

1 1�

� �

3(

Page 84: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

� �

1� � �

1 1� 1�

1 1� 1

� �

�� �

1� � � �

1 1� 1� �

1 1� 1 1�

1� 1� 1 1�

� ��

��" ������� � ����������� %��������� �/ � ��(�� �����

2 � 1�2� � 1�2� 1 � ��

!�� �������� " �� � ��3���� 1�� � � �� ���� #��� ��� ���7 ���� ��� ������ 8

���� ��

��

� � 1� � �

��

� �

1� �

1 1�

� �

��

1� � �

1 1� 1�

1 1� 1

� ��

*#��� " -��/� �� � �������� ��

�� � � �� � � � � �� #��� ��� ����

3"

Page 85: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

������ '> 8�� � ���� ?/@ ����������� � ��� %��� �/ � �#�-��(� �/ �

����� � ������ �#��-� ��� ��������� �� ��� � ����4�� � .$&� ���� #(�����

����%��� ������� �/ � ���#���

��� ��� ����� �� ������� (" ������� ��

�� �

������������

� � �

' ' ''''

� � � � � �

��� �� � � � ���

������������

?(:5@

2�� �> ���� �� ����� �� ������� (, ��� ����%����� 2�� ��� �� ����%� ���� ����' E��

������� ( �� , �������> ��*� ����� 2��� �%��%� ���� ���9��� ���� ��� � �����

�� ������� 2���� � ��� �� ����������' E�� �� ���� ���� �� �� ����%����� �� �� ��� ��

����%�> ��*� ����� ���� ���� �� ����� ����� � � �� ������� ���� ������ � ��

�����'

��������� ���<�� � ���<�� ����� E �3�� ���<����� ��� ������� ����� ��

������ ������ �� ����� �� ��� �� �� �> � ������> ��� �� ��� ��� �' ���������

2� 2��� � �������� �� �� ������� ������� �� �� ����� ��� �� � ������'

������ '? *��(� � ����� � ��� � ��� �� �#�-��( "�� � ��� �� %����-

��� %��� *��� ���(� �� � � � �� ������ � � ������ �������� � � � �� .$&�

�������#� %��-��� ����� ����%��� ���-�#�� � � ���#���

��� ���� ����� �� ��� ������ �����2� ���� �� ������ �������� (, �� (/' E� ���

������ ��� ��� ��� ������ �� �� ����8 ��> ����� �� � ����� ������� �' ����������>

3,

Page 86: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

������� " ������� �� �� ���� �8��� ���� ����� �� � �� ��*� ����� ��� � � � ���

���' ���������> �� ����� �� �� ���� ������� ���� �����'

������> .$&� ��� &����

��� ��� ���� ������� ��� �������� ��%���� ������ �� �4� ����%��� �� � ���������

7)�� ����' ����� ������ � ���� �� ����� � �� �0��� ����������� ����> �����������

��������> ����> �� ������� �%���� �' ����� �������� � ��> ����%� �

�� ����� �� ��������> �� �� �� ��� � ���� � ������ �� ��4������ �������' ����

?(3/@ 2� ��� �� �� ���� ���� ���� �� ����� ������ �4� � �� ����%���� ��� ��� ��

�> ������ �� ��� �� ��� � ���� � �' )4 �� �> 2�� � � ���� �� � � ���� �� ��������

�� �� ������ ���� � ������ ������> 2� ������� �� �� ��� ��� �� ����� ��

��� ��� ��� � �4� ����� �� ��4���' ��� �� 7)�� ���� ����������> ������� �

������ ��� ������ ���� ��������> 2� 2��� �%������ �� ��� � ��� ��������� �� ��

��������� �������� ����� ?"/@ �� ��������� ����� ?:3@' � �� �����2��> 2� ���%�

�� �� 7)�� ����� �� �������� ���4 � �G ��� ����2� �� ����� �� ������� �

��� ��� ����� �� � �� ��*� ����� ��� ���� ��4 �������� �� ��� ��� �'

���� ?(3/@> ������ ���� �� �� ����� ������ ����2� �� ����� �� ������� � ��� ���

����� ����%����� � �> ������� ��4���' �� � 7���� ( �� ������� (" �� ���

2���� �� ������ � ����� ��� ��� � ��4��� � � ��� � ����2��� ���4 �����'

����������> �� ����� �� �� � ��������� �������� � ������ ����� �� ��������

��� � ���� �� �� ����� ?"/@<?"3@'

��� � ���

?(5#@

� ��� � ��� �

3/

Page 87: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

2����

� �

��������

���� � ?(5(@

��4��� ��������� � �� �4 � ��� �� 7)�� ���������� ��� �� �%�������'

���� ���� �3��� �1����� � ��� �5��3���6 �����3�

������ '@ ������� � �%%������� �/ � .$&� ������ �������#� � ?(5#@ "����

������� � ������ %����-� %�(������ %����� �� &�2��� ������������ �� � ��

���%��� �/ � ��#��(� �/ ��

��� E�� �� ��� ��%� �� ?(5#@ 2� ��%�

�-� � � ���

����

� � ���

������ �

��

������

� � ���

�������

��

���� ��� �� � ?(5"@

1�2

� �� �-�

���

��

���?(5,@

��

�� ��

��

���

���

��� �

��

���

���

���

��

���

����������

�����

����� ��� �� ?(5/@

36

Page 88: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

2�� � ������

�� �� � ����

����������

���

����� ��� �� � ?(56@

�� .��� � � � ��� � ��� ��� ������ �� � ������ ������ ������� �� � �' ���������

�� ��������� �� ������� ���� � ��� �� ���� ������

� � ����

����������

���

����� ��� �� ?(5$@

2�� � ������� ��

� � ��

���

��������������

���� ��� ?(53@

�������� �� ?(53@ �� ?(5#@ ������ �

��� � ���

� ��� � ��

���

��������������

��� ?(5:@

��

��� � ���

��� � ����

��������������

���� ?(55@

��� ������� �� �� ������� ��������� �������� � ���� � �4� ��� � ���� ��� ��

7)�� �������� � �� ������� �'

� ������ � ���%�� �� ��4��� � � �� ������� �� �> 2� ��� ���� ?(55@ ��

����� ��� � ���� � � ��� ���� �� �K�� �� �� �� ������� �� ��������' ��� ��� ��

3$

Page 89: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

����� ����� � ��*�� ���� � ��������� �������� �> �� � ��� 2�� ���� �� �������

2��� ���� ���������'

+�'�* ���6� ������� �� ���� �11���� � ������ �����

��� �����2�� ����� ���� �� ������ �������� ��� ��9���� � ��� �� ����� � ��� 9

�� ��� �� � ���������� ��� � �� �� ����&

(@ ���� �������� � �G ��� �����2� ���� �� ������� �����%� ����� ���� �� ����'

"@ ���� ����������� �G ��� �������� �� ��*� ����� �� � �%���� � �0���

����������� ���� � ������ �� ��� ����'

,@ �� �� ����� �� ���������> ��������� �� � ���� � ��� � ����������� ��������

� ������ �� ��� ����'

/@ �� � � �� �������> � ��9��������� ����������� ������� �8��� ��� ��� �� 2��

�� � � � � � ��� � �' �� ����� �� � ���� � ��� ��� �������> ��� � �����

� ������ ����> ����

���������

� �

6@ ���� � ��� ��������� � � ��� ������� �� �� ������� �� �� ������� �����9

���� �������� �G ��� ��� �������� �������� �� �� ��� ��� �� �����'

��� (������ � �!�� "�� ��� .�����!�

� ��� �� �� 2� ������ �� ���� ������ ������ �� ������� ?/3@<?6(@ 2�� � � ����

���� �� ����8 �� �������� �� �� ��� ������� ��� ����� �� �� ������' ��

��� �������� �� ��������> �� ���� �� �� � ���������� 7�����% �� �� ���

� ������ ������ ����� �� �8 ������� ��= ��' ��� ���� �� ��� ��� ��� ��������

33

Page 90: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

���� �������%� ������� ��� �� � � ���� ���� ������� �� ���� �� ��������' � ���

�� �� � ������ � �� ����� ������%� �� �������%� ������� �� ������� ��� �

7�����% ���9������ ������ �� � ������> ������ ��> ������ ���� �������' ���

��*� �%� �� � �8�� �� ����� ��� �� 7�����% �����0�� ���� ������ � ������

�������� 2���� � �2� ��� ����� � �8��� �� ������� ���� �� ��������' ���� �� �� �

���������� ��� � �� �� �� � ���%�� �� �������� ������ ���� � ������ ������

� �� �2� ��� ������� �� � �� ����' � ��� � �� �� ��� �� ������ ������

���� ������� 2��� �� ����� �� - ��� �� ������� � ����> 2�� �> �� ������> �� �

������� �� ��'

����� �� �� � ���������� ��� � �� �� - ��� �� � ��������� � ���� ����9

���� ����'

���1 ���D �������� ��� �� ������ ���� �������G ������ �� �� ����� ���

��������

(@ # ������� � �� ��>�� � ��� ��>��

"@ �� ��#

���

,@ ��� �

��#

���

/@ ���

� ��#

��

6@ � ��& �

��

��

���1 �5D ��� ��� � ��� � �� �� - ���'

(@ ������� �� ���� ��2 �� �������� �� ��� � 2�� � �� � ������� ��

��� � �2���� �� ����> �� �� ���� �-� ����� � �� ��>�� � ��-���� � ��>�� �

3:

Page 91: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

"@ ���� � ��� � �� �� � �� ����' ��� ���� ��������� � �� ����> ��

��� � �� ��- ��� ��� �� ������ �� �������� ��4�������� ������ ��

���� �� �� � �� ������� �� �� ���� ��' ������ �� ������ �� - ��� ,

��� ���� �� �� ���� �� ����� � �� �� ���� ������' �� �� ���� �� ��

������> �� ��� �� ������ - ��� ,' ��� �� 2� ������� - ��� � � �� ������

�- ��� � �'

,@ �� ������� ���� �� ����2��> 2� ���%� ��� �� %��

�� � � ?"##@

��� � �� ?"#(@

���1 �����D ������� ����� �� ������� �� ����� �� ��� �� �� ���������

��� �� � � ���� ���� �������' ���� 2��� �� ��������� � �� �����2�� �8�����'

E� 2��� ��� �� !���� ������� �����0��� ����� ����3� ��� ��� ����� ��

���' �������� %����� ���� 2��� �����0� �� �� �� ���� �%�� � ��� ���� ������ �

��*� ���'

��� 7)�� ������ � �� ��������� ������ �� �����2�� �8������'

�=��1�� > $�%�!�! /���� 0����� ? ������� � %����� �/ ���-���# 4�� /��� �

��0 �-� � 4�� �� %���� 3 � �� �(�� �� � � �� �/ � �� %���� � �����(�

���(� �/ 4�� ��� �� ���-��� 8�� � �����# � ���(� �/ ���-���# 2��� "

"��� � ������� 9������� ��� ���-�;

� �� �

������ ?"#"@

35

Page 92: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

"�� �� � � ���� � 4�� %�%(������ '/ " � �� � � " ��� �� � ��� ��� ��

1(����� ��

��� � ����

��� � �� ��� ���� ��� ?"#,@

��� � ��

�� ���-���# 2�� �� ��(��� �"� � � � 9�� ���-�; ��� � � ���� � � 9�����(��

2�� ���-�;� �� ������ � � �� �4�� ��

�� � � � � ?"#/@

�� � ���� � � � �� ?"#6@

��� � ������ � �� #�-� ��

� ��� � 3 � �� �� � � �� ?"#$@

��� � 3 � ��� 8 ������ � # /(�����

# � ���� � $� ��� ��� ���� ���� � $�� ?"#3@

� �"�����# /(����� � � �#���

� � ��� �� � $�� � ?"#:@

:#

Page 93: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��� �� ���-��-

�� � � ���

�� � �$�

�� ?"#5@

� �� ��� 1(�����

�$� � �� $� ��� �� � �� ?"(#@

�$� � �� ?"((@

��� � ����-������ ���������

$� �3 � � � ?"("@

$� �3 � � %� ?"(,@

"�� % �� � ������ C(> ��' /#/9/#5D� !��� � �����(� %�����%�� ���#(��� ������ ��

����"� �� ��� ���%��

) �� ������� ������� � ?"#:@9?"(#@ ����� �� �� �� ���G ������ ?"#:@ �������

�� $� � ��' ���� ?"("@ 2� ��� �� �� ������� ���� � ������ � � ������� �� ' E�

���� �� ��*� ����� �� �����2 �� ������� ������� ������� ��� ��� ����� ����9

����> ��= ���� ��� ���� �� ������ �������' � ���� ��� � ���> ���� ��*� �����

��� ���%� � �� �2� � � ��8���� ����� �4�� �� �� ���� ?������ ���@ ���2�

���' �� ���� � ��� ������ ���� ����%��� �� �������� �� ������ �� �������

��� ��� ��%��� ��� ���� �� ������ ������� 2�� ���9��� ����� �4�� �����9

���� ��� ��� �������' ����%��� 2� ����� �� ��� ���� �� ������ ������� ����

:(

Page 94: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��������� ���� �4�� �� ����� � � ���%� � � ������ ���%�� 2���� �8������

�� ��� ��������'

������� �� �����2�� ��� � �� ��

- ��� ����������� � �

��� ��� � �� ?"(/@

2���� � �� � ��� �����%� ����' ��� ���� �.� � ������� - 2��� �� �������

������> ��� 2� ��� �� �����2�� �������&

�-

����

��������� � �

�� � �?"(6@

�-

���� ��

���������� ��� � �� � ?"($@

�- ��� �� ��-

���� �

���������� � �

�� � �

���� ��� ���� ���� ?"(3@

� ����������

�� ��� � �� �

��> 2�� -� � �� �- ���

�-� ��� �� � ���� �

���������� � �

�� � �

���� ��� ���� ���� ?"(:@

� ����������

�� ��� � �� �

:"

Page 95: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��� �2� ��� �� �� ��

� � ���

�� �

�-

���

� ���

�� �

��������� � �

�� � �

�� ?"(5@

2��

��

����

� � ��� � �� � ��� � ����������

��� � ���?""#@

��

���� �����

��������

�� � �� ?""(@

��

�� ���

����

�� � ��� � �� � ��� � ����������

��� � ���

���� ��� ���� ���� ?"""@

������

��������

�� � �

��

������� ���� �� ��� ���� �� �������� �� � � �� � � ��� � �0��� ��� ���%��'

���� ?"(5@ � 0��� ������ �� ������� ������� �

� �

'���� ��� � �

��������� � �

�� � �� �

(� ?"",@

:,

Page 96: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

���� ?"""@ ����� � 0��� ������ �� ���� � �� 2��� ����� � ��*� ��� � �

� � �� �� �� �� � ��� �

��������

� � ��� � �� � ��� � ����������� ?""/@

��� ������ ��� ������ - ��� �� � ?"(/@ ��� �� �����2�' ��� ��������� � ��

� ���%��� �� ����� ���� �%�� �� �������%� ����� �� �� ������� �������' ���

�������� � ����� �� ��� � 2�� � � ����� � �� �� � � �8��' ��� �������� �

�� ��� �� ���9��� �������� %���� �� ������� ������� ������ ���' E� ��%� ����

?"",@

�� � �� ��������� � � ?""6@

2�� � ������� ��

�����������

���� � �� �� ?""$@

������� ?"#:@ �� ?"#5@ ��� ������� �� ?"(5@ �� ?"""@ ����� �%���'

E�� - ��� ��� ���� 2� ��� ��� �� ���� ��2 �� �����0�� ?"(:@' ������ ��

7������� �� �� �� ���� �� ������ 2�� ����� � � 2� ��%�

� � �-� � ���� � ���� ?""3@

��

��� � � �� � ��� ?"":@

:/

Page 97: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�� � � �> ����� � � �������� � � ����' �� � � �> ����� � � �������� � � ����> ��������

� �

� � �

���� �� � � �

� �� � � � �� ���� � ����

���� �� ���� �� � � ��

?""5@

������ 6 �������� �� ��� ��� � ��*� ����� ��� �� 7)�� ������ ��*� ����� �������

�� ?""5@ 2�� ���� � �' ��� �� ������ ���> ������� ���� ��� � �� ��� �� ��

������> �%� �� � �� ����2�� �� �������B� !����� ��� ����' ������ $ ��������� ���

�� G �� ���� ����� ��%� ��� ����� � � � ���� � ���� � ����' ��� ��*� �����

� ��� $ 2��� ������� 2�� � � ���� � ����' ��� �������� %����� � � ���� ��

� � ��� ��� ����' 6 �� $ 2��� �������� �� �����0�� ?"#"@ �%�� � ��� �� ��*� ���>

��� �� ���� �� ��*� ��� �� ��� � � �� �� ��� � 3 � ��' ����� ���9������ ������ ����

�� � ��� ������ ���� ������ C(> ��' /#/9/#5D � � ���� ������ �� 2���� ��%�� �

���%� 2�9��� �������9%���� �������� �� ��%�� � ������ �� ��*�� �������'

��6��� ?D 7)�� )����� ���*� ����� ��� �8����� /> � � ����> � � ���'

:6

Page 98: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��6��� @D 7)�� )����� ���*� ����� ��� �8����� /> � � ����> � � ���� ���� � ����'

:$

Page 99: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��� ��! �(

�!�,����!& �����$��� !����!��

� ��� �� ��> �� 7)�� ����� �� ������ 2�� ��*� ���9�����2�� �����0���' )�

���� ���� ����� �� �� ����� � �� �������� ��� � ����G � ������� ����� �� ���9

������� ������� ��� �8�� � 2� ��� � ���� ��� � ����� ����� ����> �� ��� � �

��������� �������� � � ��� ������' ���������> 2� ����K� ���%�� �8���� �������

��������� ������������ ������ ������� ��� ������ �'

)�� � � � �* � +� �� �������� .�� ���� ��� $� ���

� ���� ���� �� ������ � ��� ��� ��%��� � �� ������� �� ��� � ���� ����� � ������

�� ��4������ �������' � ��*�� ����� ��� ��� � �%�� �� ��� � �� ��� ������ ��

�� ����� �� ������ �� ����� ��� � ���� ��� � ����' ����� ��� �� �������� ��

���2 �� ��� ����� ��� ���%���G ���� ��.� ��%� ��� �� ���*� �� ��� ����� ����'

� C"3D � ����9��������� ��� ��� ���9���� �����8����� �� �������� �� � �2 ���

%������� �� ����' � C":D �� ��������� ������� ��������� ����� �� ��� �����'

���� ����� �� ����� 2�� ��������� ��%������ � ���� �����8 ���� �� ��� ���G �

���%���� �������� �������� ����� ����%��� �� ��� � ��� ������� ����� �� �����

�� �� ������' ��� ������� � ��� � �� ��� ����� � � ���� �� .��� ���� ��

������ � C"5D'

) � �� ��������� ���2 �� ��� ����� ��� �������> ����� ���� ��� ����� �� ��

����� ����� � ����� ���� ��2� �� ����� ���2 �� ��� ����� �������' �

C,#D> � ������ . ���� ��2 �� ������� ��� ����9��������� ������9��� ��� ����

:3

Page 100: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�� �8��� ��� ����� ���2 �� ��� %��������' � C,(> �' 6,(D �� C,"D ��%������ �� #�

������ ����� ��� ��������� �������� ������ ��� ��������' � �� ��� �� ��� �9

� ��� �� �� � � ���� ��4��� ������ ���� �� ��������� �������� �������� �������'

1���9������ ��������� ��� ��������� �������� ������ ��� ��%������ � C"D' �

)�� �������

������ . ������� �� ����� �� ������ ������ ���� �������� ��� �� ���� �����G

2����� ����� ���� �������� �� � �� �� �� ��������' H�2�%��> �� ��� ��� �� 2�� �

�� ����� ��� ���� �� � ������� �� ���%���' !���� ������ ���� ����� ���%����

� ������ ������ ��� �� ��������� �� �� � �������� �� � ���� ���� � ����

� ��� ��� ���� ��������' F��������> ����� �� ������� ��� � �8�� �� ����� ��

������ ������ � �� ��= �� � ������� � � �= ��> ��� � �� ����' E� �������

�� ����� �� ���������� �� �����> ���9������ ���� �������� �� ���%��� �

��� �%� ������%� 2�� ������ ������� �� �� ���� � � ��������� ��'

����> ��4������9������9����� ���9������ ���� �������� ��� ����%�� �� ��� ��9

��� ���� � ����� �� ������ ��������' ���� ����%��� 2��� ���� ���%��� ��� ��*� ���9

�����2�� �����0��� ?��@ �� 7�����% �����0�� ���� ?7)�@ � ������' ����9

��� �� � ��� ���� ���� 2�� �� ��� �� ��� ���������� 2��� �� ��������� ����� ��

����� ��� ���' ��� ����� 2��� �8��� ��� ������ �� ����� �� ������� ��� � ���� ��

��4 ������ �� ��4������ ������� ���� 2�� ����%� �%���� � �� ��������� ������'

E�� ������ �� � ������ �� ���9������ ��4������ ������ ����� ���� �������� 2�� �

��� ��� � �� �� ���� � ������� � ���� ���'

�� ����> �� ��%����� �� ���� �������� ��� ��������� ������ � ����� �� ����'

�8����� �������� 2��� �������� �� ���� �� ���������� �� �������� �� �� ��������

2�� �� �� 2�� ��� � ����> �2� ��� ����� ��> �� ���� ��= �����' ����� ���� ����� �

::

Page 101: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

����2 �� ���� ������ � �� ��%������ �9���G �� ���� �� ��� ��4������ �������

2��� ���� � ������� �� �� ��� �������' ���� ����2� �� ���� ������ � ��

������� ���� 2�� �� ���> ����� �� � ���� �� ����� � ���� ��� � �� ���

�� ���� � ������� �� ���� ��� �� �� ����� ����� �� ��� ���' F�� �� �� �� �����

��.�� �� ������ �� ?��������@ ������ �����0��� �������� � �� � ��� ���� ��

��� ��*� ��� �� ������' �� � ��*� ���9�����2�� �������� ��� �= ��> �� 2� �

���� � �� ������� ����� �� ��4���'

>�*�' ������ ����� E %������F���� �1����� �����

������� �� ������9��� ������ ���� ������� �� �� �� ,'(> 2�� � ������ � ����

���� �' � �2 �������� �� ��%������ �� ������ �� 7)�� ���� ����� 2��

��*� ���9�����2�� �����0���' ��%���� .�� ������ ��� �� ���� ���� � �� ��������

�� ����%��� �� � ��4������ ������ ����� ��' �� � � ����� ��� �� ���� � ������

?5(@G 2� ������ �� ��������� ��� ��%������ � � ������� ���' ��� ���> ����%�� ����

�� ������ ���� � ������ ������> ��� �� �������� � %������� ��� ��� ��*� ���9

�����2�� ����' ��� ��4������ ������ ��� �� �� ��� ������ � ���� � �2� ��� ����� �

� 2�� ������� � �� ����� �� ��2�� ����� �� �' ��� �� �� ���� �� ��������� ��

2� ��%���� ����� � ����� �� �� ������� � �� ����� �� ��2�� ����� �> �� �� �9

����� � ���� �� �2� ��� ����� �' ���� ���� �� ���� ����� ��������G �� ���� ����

����������� � �������� ��� ����' ���������� �� � ���� � %�� � ��4������ ����9

�� ��� �� �������� ����� �� ����G ��2�%��> ��� ��� ���%�� �2� ��� ���� C(> �'

"5/D ��� �� �����%��' �������� ��� ��%������ �� ������� ��� �����' E� 2��� � ��� ���

�� �� � �� �� ������� ������� �� �� ?��� ���� ����@ ��4������ ������� ��� �

��4' ���� ��. �� � ��%���G ���� ���� � �� ��� �� ����� �� � ���� � � �������

����� �� �� ����� ��� ��� �� � ��4 �� �� ��4������ �������' ���2 �� ��� �����

:5

Page 102: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�� �� ������� �� �� ��4������ ������� ��� ��� ��� � ������ �� �8�� � � �����

��� � ��� �� ��� ��� ��� � ������ �� ��� ��������� �������� 2��� �� �%�������'

����%��� �� ���������� ��*� ���9�����2�� ����������� �� �� 7)�� �������� ���9

��2� ���� �� ���������� �� � � ���� �� � � ���� �4 � �� �� � � �� � �� � � � �'

��� � �� ���������� �� �� ��2 �� � 2� ��%��� ���� ������ �� �� �� ������G

�� � ���������� 2��� �� ��� �� 2� ��� ���'

6������ �%��� -�� ������� ���������

������� ����� �������� ����%�� ���� �� ���� �� ������ ���� � ������ ������

2�� � ����� �� ?5(@ ��� �� ��������� ��� ��� �9�����' �� ��� ���� ?(#(@ ��

�� ��� �� � �����

������� ���

���

������ ��� ?",#@

2�� ��� ����%��%�

�� ��� �� � ��

�� ��

�����

� ��

����

���

��� ���� ��� �

��

��� ��� ?",(@

5#

Page 103: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��� ��������� ���� � � �� � �� � �G ��� �������> ���� ?",(@> ��

�� � ��������� ���� ���

��������� ?","@

� ������ � �������� � ������ ������ � �> �� ���� ��� �%���� � �����

�� ��2�� ����� �� ����������' �� ��� ��> ������ �� �����2�� %������� ��� ���

��*� ���9�����2�� ���� 2���� ���� � �� � �����> �����%�> ���

�� �

� � �

��

���� ����� �� � ��� � �

�� �� � ��� � �

��

���� ����� �� � ��� � �

?",,@

1�� �� �� ��� �2� � ��� �������� �� � 2��� �� ������ ���� �� ���� ��2

?",,@' 1�2> ������ �� ����� ��� �� ?",,@ � �8����� ( �� � ���� �������� ���

��� ���%�� �2� ��� ���� 2� ��%� ���� � ��� � �� � ���' ��� �����> ������ ��

��� �� ��*� ���' 7� �� ��� � � �� �� ��� � ���G �� � � � � ��� ���� ����� ������>

�� � ��� � ��' ������� �� �� ����� ��� �� ���� ��4������ ������� ����� ��

���' 3' � � ������ �8����� %��2 ��� �� �����> ���' : ��������� �� ����� � �� ���

��� ���%�� �2� ��� ����> 2�� � ��������� � �� ����� �� ������� ��� ��0�' �

�����9����� ����9M�� ������� ����� 2�� ����> 2�� �8�� ��� ��0� �� � �����'

��� �� ��� �� �� �� ���� �� � � ���� ��%� ���� ���� ���2�� .�' � �� �����2��

�� ��> � �2 ���� ������ ��� �� ������9��� ������� �� �� �� ,'( �� ��%������'

��%���� �� ��� � ������ �� ��%������ �� ��� ���� ��2' ������� �� ���� ��2 ?",,@

����%�� ���� �� ������ ���� � ������ ������' � � ��*� ���9�����2�� ����>

�� � � ��2 ��� � �� ��� � ��' ��� ������ �� ��8���� ���� ��� � �� ������

5(

Page 104: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

x

y

��6��� .D ���� �� ��*� ��� ��� �8����� ( ���� ���� ��2 ?",,@'

�8� ��' ����������> ����� �� ����� �� ������� ��� � �8� ��> ��������� ����

�� 2��� �%�� �� �����0��' ������� 2� ������� �� � ���� ����������� �� � 2�� � � �'

��� ����� 2��� ���� � .��� �� �� �� 0���G �������� ��*� ����� ��� ������� ����

������ � � ��� �� �� � �� �����' ���� �� ���� ����� ������ 2�� ��*� ���9

�����2�� �����0��� � ������ ��� ��������' E�� ���� ��*� ���> ���� ���� ��2

?",,@ ��� ��� � �� I����� �����J ��� �� 2��� ����� �� � ��� � � �� � ��� � ��G

��� ����� ����� �� � ��.��� � �� ����� � �� %���� �� � ���� �� ���� �� �

�' ���������> �� ��*� ��� 2��� � ��� �8� �� � �G �� 2��� ���� ��� � �������

�%���� � � � ��� ���� �� �� �����' E� ������ � ������ �� ��������� ��� �����G

����������> �8��� � ��������� �� ��%� � ��� � ���� �� ���9���9���%�� �2� ���

����' ��%���� ���� ����� � �� �� ������� ������ ��� ������� � ���� �� ��������

��� ����' ��� ����� �� � ���� ������ �� �� � ����� � �� ���� ��2 ?5(@'

5"

Page 105: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

2.02 2.04 2.06 2.08 2.1 2.12 2.14

x 10 -3

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1x 10 -4

x

y

��6��� -D ���� ��� ������ �2� ��� ���� ��� �8����� ( ���� ���� ��2 ?",,@'

6������ )'5 ������

��2��� ������ �� �� ?5(@ ��

� ��� � �� ��� ?",/@

�� � C""D' E�� � � � ���������� �����> ?",/@ 2��� ��� � �� ���� � ������ � ��

���������� ����� �� ��2�� ����� � �' E��

� � ��� � � ��� � �� ��� ?",6@

�� � ����� �������> 2� ��� ��. �� ?",/@ �� ��������� ������ ����' ������� ��

������ ?",/@> ������� � �8����� (' E�� � � ����� � �> �� ��� � ���> �� �� ��� � ���

2� �� � ��� � ��' ��� ������� ��������� �������� �� �.� � �� � � �����

���� ���� �� ��� ����G � ���' 5 2� ��� �� �� ��*� ���> �K�� �� �� ��

������� ��������� � ?�� ��� ���@> �� ������ ���� �� ����' ��� ����� � �� ���9

���9���%�� �2� ��� ���� �� �%���G 2� ��� �������� ���� � �� �� �����

5,

Page 106: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

x1

x2

��6��� CD ������ ��*� ��� �����2�� ���� ������� � �8����� ('

�� ������ �� ������� �%���� � � �� ����' �� ����� � ������ �� �� �����

������ ����%��%� ���� ����� �� �� ����

� ��� � �� � ���� ?",$@

���� ?",(@ 2� ��%�

� ��� � ���

��� ���� ���� ��

��� ��� ?",3@

2�� � ������ � ���

��

��

��� � ���

��� ���� ��� ?",:@

��

��� � ��������� ���� ���

�� ������ ?",5@

5/

Page 107: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

���� ����� ������ �� ��������' ��������� �� �� ����

�����

�������� ���� ���

�� ������

�������� ���� ���

�����?"/#@

2�� ?","@ ���2� �� ?",5@ �%����� � �� ���� �� ��� �� �� ������ ���� � 9

������ ������> �� �� ��� ��� �� � ������' ����> �� �� ��� ��� �� ����� ���

� �� � ������ �4� � ����� ��� � ���� �� ���� � ��� ���������� � � �������

��������� �'

�� � ������ ?",/@ �� ?",5@ ��� ���� ��%����� �� �����%�����' ��.� �9

�����> ��� ����� � � �8 ���� ������ ������ �� ����%��%� ������

�� � ��� � ���

�� � ��

�� � �������� ���� ���

�� ������ ?"/(@

�� � � � �� ��� ��� � ?"/(@ �� ��= ���� ����� �� �� �� ���� �� ��� �� � ������

� �� ��8���� �� ������ %���� 2�� �� ��*� ��� �� � � �' E�� �� ��*� ���

�� � �� �2� ��� ����� � �> �� ��� ��� ����� �� ������ 2���� ���%���� �� ����

����� � ������ �� � ������ ������ ��� ������� ����' ������� �� ������ ?"/(@>

������� � �8����� ( 2�� � � �� � ��' ��%���� ��� �� ��*� ����� ��� ���2 � ���' (#G

�� ����� ����� � �� ���� 2�� � � �� � � ������' ��� � �� ���4 ����

�� �� 7)�� ��������> ��� ��*� ����� � ���' (# 2��� ������� ���� � �8��9���9��0�

�����9����� ����9M�� ������� � ���� 2�� �� � �����'

56

Page 108: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

x1

x2

������ �� ���� �� 7)�� ��*� ����� ��� �8����� ( ���� ��*� ��� �����2�� �� ����'

>�*�* �������� �����

6������ &��*(#��� ������ 5��� &��#� 5-��%��

������ �� �� �����0��� ������� ?/3@<?6(@ ��� � ����� ����� �� ������G �� ��

� ��� �� ��> 2� ����2 ?/3@<?6(@ � �� � ������> �������� ������> �� �� �� �� ���

�� ���� %��������' 1����� �� �����0��� � ������ ��� �� �� ����G ��� ��� ��

��= �� � �� � � �9��� ����' E� 2��� ����%� � ������ �� ������ ������ ������ ��

�����8������ �����0� ?/3@ �� �� � ������� �� ������ �� �� �����0��� �������>

-� � � ������ %��� �/ � �� ����' ���� ������� 2��� ����� 2�� 2� ��� �� ���9

������� ����� ��� � �������� ?����@' �� � �� 7)�� ����� 2� 2��� ��� ���

���9������ ���� ������ �� ������ � ��� � �� �� - ���> ���������� � �

�����8���� ������ ���� �� �� -� � �� � - ���> �� �� �����0�� �� �� ��

�-� 2�� ����� � �' ) � ����> �� ��� � �� �� ��� �� ������ ������ ����

5$

Page 109: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

������� �� ����� �� - ���' ������� ����

�-� ��� 2�� � � � ������ ����� ��

�� �-�

��

��

� � ?"/"@

� �� � ��� ���� �� ��� ��*� ���> �� � �� ������ � � ' �� �9����������� �������

���� ��*� ���9�����2�� ���� ������ ������ ������ ?"/"@' ��� ���� ������> ��

�������� �-�> ��� ��� � ��� �� � �� �� ��� �� ���%� � �� ���� ��G ���

�������� �� 2� ���%� ���� ������� �� �� ���� � � �� ���� � 0���> �'�'

- ���� � �� �� ' ?"/,@

� ������ �-� �2 2��� ��� � �������� ������ �� ��� ��'

��1���������� � ��5��7 %���� � %��2 �� ?"/"@ �� ?"/,@> 2� 2��� � ���%�

�� �� ��

� �

�� �-�

��

��

?"//@

� 0��� �� �� ' E� 2��� ����%� � ������ ������ ����� �� �� ������� 1�2�B� �����

� ?"//@ �� �� �������� ���� ���� �� � ����� ����������> ������� �� ����

��������'

1�2�B� ����� �������� �� 2� ��

�� � �� ?"/6@

�������

� ��� � � ��� ���� ?"/$@

53

Page 110: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

E� ��%�

�� ���

�����

��

���� ?"/3@

2���� 2� ��

��

���

�� �-�

����?"/:@

�� ���

���

�� �-�

���� ?"/5@

���� �� � �� �� ������� �� ������

�� � �����

�� � ��� ' ?"6#@

�� ����>�� �� �������� ���� �� ��� ��*� ��� �� ��� ����������� 2��� � �� 2��

��� � ������ ����� ?"//@ �� �������> �'�' 2�� � � �'

����6������� � ����� %����3� E� ������ � ������� �� �� ����� �9

�� �� 1�2� ? �1@ �����0��� ����� �� C3D' ��� �1 ����� ���%���� ������

������� ������� � �� ������ ��� ��� ������ �� ��� �� ��%� � ����� ������

������ �� ������ � 7�����% ���2� �����' E��

�� ��� ��� ���� � �����

�� ���� �� �� �1 ����� ��

�� � ��� ��� �� � � �� ���� � �����

��� ?"6(@

5:

Page 111: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

2���� �� �� �� ������ �� �� �� �� ��> �� �� �� H����� �� �� �� �� ��> �� �

�� � �����%� ���' � �� ���2 � C3D �� ��� ��= ���� ����� � �� ����8 �� ������

�����%� ����� ��� ��� �G ��� ������ �� �� ��� ����������� �� ?"6(@ � ��� 2�� �� � �'

E� 2��� ���� ��� �������� ��� ��� � ?"6#@> ������ �� �� ����8���������� �����%�

����� ��� ��� � �� �' �� ���2 � C3D �� �1 �����0��� ����� �� �������� ���4G

2� 2��� �8���� ��� ������ � ����� � � ���� ��4������ ������ �� �8��� ���������

� �� ���� ��� � ��� �� �� ���'

���� �1�3�;3���� ��� ���9������� ����� ��� � �������� �.�� �� ����

�� � � �� ����� � ���� ������ �� � ��� � ?"6"@

2�� � � �����%� ���' 7�

� � � ����� � ���� ���� ?"6,@

2�� 0�> � � �� � � � ��> �� ����%����� �� ��' ��� ����%����� �� � ��� �� �0� � 0� �

� ����� � ����> � � �� � � � ��' ��� ���� � � ��> � ��= �� ����� ��� ������� �������

�� �� ��� �� � � 2�� � � � �� �� �� ����8 � ���>�� �� �����%� ����� ��� ��� �'

������ '. '/ � ����������� %����� ����

�-� �� ���-� � ��� %��� �/ � �� ���

����� ������# � ���� � �� ���� � ���� �� �� � �(��1(� �� �� ���� #���� ��

� &*�5 ��#����� �� 1(�-��� � �� /�(�� �� �������# �( � ����������� � ���

%��� ����# � �� �� ���� /�� � � ���

��� -����� � ���� ��� �� ���� ��� ����> 2���� � ��� ��� ���� ������ �� �8�

7)�� �����0��� ����

�-� 2� ��� � ���2 �� �� ���� ���� ��4������ ������

55

Page 112: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

���� �� � �� 7)��9������ ��4������ ������> ��� �� ���� ���� ��� � �� - ���> ����

�� �� �����0��� 9GG;' ��� � 7)��9������ ��*� ���> 2�� � ���� � 2� ��%�

�� �-�

��

��

� � � � � ��� ?"6/@

���� �������� ��

�� �-�

��

��

��

��

�� �-�

��

��

����

��

�� �-�

��

��

�� � �> ?"66@

2�� � ������� ��

������ � ���� �-�

���

����� �-�

������' ?"6$@

������� �� ���� �������� ?"6"@ � �� ���� ��� ���� 2��

�� �-� ��

�����

��

��

� � � �' ?"63@

E� �2 ��%�

������� � �� �� ���� �������� ?"6:@

�� �� � � � �� ���� �������� ���� �� �

������ � ������� � �

)�� �-�

���

*��)�� �-�

������

*� ?"65@

2�� � �� ���� �� � ?"66@ �� ������� �� �����'

B��������"� ����"�� � ���� E� ��� � ���� 2�� �� �%����� �= �� � �� ��

�������� �� �� ��%������' ��� ���� �������� ?"6"@ 2�� ������� 2�� ��� � ���G

(##

Page 113: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�� ������ ������ ��4������ ������ �� � �� ���� ��� � ��� �� �� ���' ��������� ��

������� ��� ��� � ����� �� �� �������� ��4��� � �� �������' ���� �������

��� �� ���� � ������� �� ������� �� ������ ������ �9���'

�1�3��� ��� � ��� ���� ������ � ��6�����

(@ ��� � ��%� ��� � � ��� ��� �> � ��� �� �������� ��� �� ��� � ��>��� �� ��>��

� ���� ������ 0��� � � ��� 2���� �� �� ������� � ?"6#@' �� .��� �� �������

���� ����.�� ��2 ����� ����> � �� ��� ���� �� � ?"6"@> ����� ��

� � � �� � ��� ��� �� � � � ��� ����

"@ ��� � ���� ���� ��� � �� - ���> �� ����� �� ������� (3 ����2� �� � �����2 ��

7)��9������ ��*� ��� �� �� �� �� ��%� ��� ���� � ���� ��� �'

,@ ��� ����� � �� � ���> �� ���� �������� ����%�� ��.� 1�2�B� ����� � ?"/"@'

/@ ��� ����� ��> �� 2���� � �� ���> ���� ����%�� ��.� �� ����� ��� ��

1�2� ����� �� C3> ��' (/,9(/6D'

6@ 1��� � �-���� � ��> � ��� �������> ������ �� �4�� �� �� ���� ��� ��%�� ��

��� �2��� �� ���� �� ����� �� ������ ���� �� �2� ��� ����� � �����'

������3�� ����� ��� �4� �%���� �� �� ���� �������� �� ��������� �� �9

������� �� �����2�� ������ �8������'

(#(

Page 114: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�=��1�� ? ������� � �������� ��-�� %��(�(� C(> ��' 6,#96,"D� "�� � ��

�� � � ��� �� � ����� �

���� � �

� �

�������� ��

��

�����

���� �

����� ?"$#@

-��-� (��� � ������ �/ �� ��%( -��� � � �� "�� � � �� �� ������ ������ �

��� ����� � �������

�� ���� � �

� ��

���� � ��� � ��

�� ?"$(@

�� �����(� ��� ���� ��#����� �� /�(�� �� 4�� ��������# �� �%%��%��� ����

/(������ . � ���� /(����� � � ��# � �0� ��

- ��� ��

��

���� �

����� �

���� � ���� � ���

� ?"$"@

"�� " �� ��-

�-� � ��� ��- ���

��� �����

��

���� � ��� � ��

� �

��

�� � ��

� ��

��� �

��

� ?"$,@

�� �� -������ �� �� � ��#(��� ���%����� �/ � %��(�(� /��� � -�����7 �

������ � �� � ��1(� �� ��# �� #�-� �� 1(���� ��������� �� � ��� "���� /��

(#"

Page 115: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��� ���%� ��

�� � �

�� � �� ?"$/@

�� ��%��� � &*�5 ������ ���#� ����(��

� �

�� �-�

��

��

��

�� � �� � �

�� ���

�����

��

���� �

��� �

��������

����� ��

��

�� � �� ��

���

���� �

���

��

���� �

�� ��(���# &*�5 ������ ���#�� "�� � � �� ��

�� � �����

�� � ���

� ���

�� �

�� � �� ��

"���� �����

�� � ���

��� �

��� � �

� ?"$6@

(#,

Page 116: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x1

x2

1����� ��2 &� ��� ����� /�� ����%� >�

8 ��" ��- � �(#��� ��������� ����

��������

���

���

��

���������

��������

� � �

� � �

��� �

� ��

��������

��������

��

��

��������

?"$$@

"�� �#�-��(� 0� � ���� 0� � ���� � ������ ��� 0 � ���� � �

����� 8 �� ��

��� �� � �����2 ���� �/ ��2����� 1(����� ��� � ���#�� �� #������� ����%�������

����� !�#(� �� ���(���� �� �� ����� #���� �� � �(#��� �� ?"$$@� ��

�� ������ ��������� /�� � "� %��0� ����������� �� �� " ��� �� ���- � �����������

%����� ����

�-� � ��� %��� �/ � �� �� �����

�=��1�� @ ������� @����A� %����� C""D "�� � �"���� ��%� � ���� ���

%��� �� � ��-� �� �����(� ��� �� �"���� ��-�#�� � ��-� � � -����� �� �"���

���# �#���� � �(��� �/ -����� �� �� �"���� ������� ��� �������� #�-� �� �

(#/

Page 117: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��#� �� �� ��������� ���� ��

��� � � ���

��� � ���� ?"$3@

��� � �� ��- �� � ���� � ����(��� �(�� ���� � � ���#�� "��� ���������# �

���(�(��� ��� #�-� ��

�� ���� �� ��

��� ?"$:@

8 ����� � ���� /(�����

- ��� � ��� � ���� ?"$5@

"���� ����� �� �(#��� �������� /(����� -�� "�� �� �/ ����#

�-� ��� �� � � � �� �� ��� � � �� ������ � ?"3#@

8�� �-� #�-� �� ?"3#@ " ����(��

� �� �-�

��� �� � ��� �� ���� ?"3(@

�� ��� �-�

���� ��� � ��� �� ���� ?"3"@

��

���

�� �-�

�����

�� ���� � ��

(#6

Page 118: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-3

-2

-1

0

1

2

3

x1

x2

1����� ��2 &� ��� ����� /�� @����A� %������ ����%� +�

�� ���

�����

��

����

� � ���� �� ��� � � � �� ����� ��� ����� �� � ��� �� ?"3,@

&(���(��� �/ � 1(����� �� ?"3#@ ��� ?"6"@ ����� � &*�5 ������ ���#� (%��

��2����� 1(���� ��� !�#(� �� ���"� � �� �� ����� /�� � -���� �/ ������ ������

���� � ��� � ��� ��� �� ������ "�� " � � � �� �� ����������� %����� ���

�-� "��

�� ���-� � ��� %��� ����# � �� �� ����� �� ��2����� 1(���� /�� �� ��

�� � �����

�� � ��� ?"3/@

"�� ?"3(@B?"3,@ ��� � � � ���%� � �%��4����� �/ ?"3,@�

(#$

Page 119: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

6������ 5��#� &% &(����� ��� �����(����

)����� ���� ������� �� � ��%� ������� ������� �� ����� � ���� � 2�9���

�������9%���� ������� ���� ���� 2�� �� ��*�� %� �� ���� 2�� ?��������@ ���9

��� �����0��� �������� � �� � ��� ���� �� ��� ��*� ���' E� ��%� ���� 7��9

���% �����0�� ���� � ������ � ������� �� 2�9��� �������9%���� �������

�� ��*� ���9�����2�� �����0��� ������ � �%��� ���%�� �� �����0��� �������

� �� � ��� ���� �� ��� ��*� ���' ���� ������ � ���9������ ����� �� ��� ����

� ������� � � �9��� ����' ��� �����> ������9��� ������ ���� ��������>

2� ��%� ������ �� 7)�� ��������' ��� �� ������ ������ ���� ��������> 2� ��%�

���� � ������� �� �� ����� ��� �� 1�2� �����0��� ����� � ����� �

�������� �� �� �������� ���4 �� ����� �� � ����������� ��� 2�� � ����������

� ������ ����� �� �������'

(#3

Page 120: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��� ��! (

�/������� �� �����!������ ��%��

� ����� �8���� �� ��� ������ � �� � ��9��8 ��4������ �����' ���� �� �� ������

���� ��� � �� ������ �� ������ �� �������� �� �� ����� ����� ����������

�� � ��*� ���9�����2�� ���� �������� � � ��9��8 ��4������ ���� ����' E�

��� ���� ������ ������� � �� ��4 ������ �� ��4������ ������� �� ����� ��� �

��������� ����'

) � ����> �� � ���� � �����> �����%�> ������� ��������� ��������' � ���

� �� �� �� � � ��������� �> �� � ��� ���> ����� � ���� ����� ������ ����� ��'

��� ��> 2� ��%� �� �����2�� ������� ����� �� ��4������ �������

�� � � �������

� �� � � ������� �

?"36@

2���� � � ��� � � � ��� � � � � ��� ����� ?"36@ ��������� � 2�9���9� ���

������� 2�� � ���2 ����� �� � ��� ����� C"> �' 6,(D' ������� ?"36@ ������� � ��4

����� �� ��4������ �������> 2�� � � ��.� ����� �� ������� ��= ��' �������

��������� ������ ���������� 2��� �� ���� � �����%� �� ����� �� ��4��� �� ���9

�� � � ���> �= �� ��*� ���9�����2�� ��������' ��4 ��4������ ������ ���%��� �

����� ?"36@> �� 2� 2��� ������� ��� ����� �� ��� �� ��%� �� ����� ��29��%�� ����

�%�� �� ��� ���'

(#:

Page 121: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

������� ��������� ����� ���%���� � ���� �� 2�� � �� ����� ?"36@ ��� �� �9

%���� �� ���2 �� ��� ��������� C"> �' 6,(D' �� � �������� ��� �� �8����� � �

����� ��� � ��� � ������� �������� ���� �� ������� �����' � ��� ���������

2� 2��� �8�� �� � �������� ���� �� ���2 �� ��� ��������� � ��%���� � ��*� ���9

�����2�� ����� �� �� � �� �= ���� ������ 2�� � ���4 ����� �� ������� ���

��4������ �������' ����� � �� ����%��� �� � �������� ���4 �������� 2� ������

�� �����2�� �����9������� ��4������ ����'

�=��1�� . ������� � "��%���� ������1(������ ��2����� #�� "�� � ��� #�-�

��� ��

�� � � ��� �� �� � ��������

���� � �

� �

�������� ��

��

�����

���� �

������

���� �

���� �� ?"3$@

-��-� (��� � ������ �/ "� ��%(� � � � ��� � � �� "�� � � �� �� � ��� �

%����� �0 � ������� ��� �������� ��%��-��� � 1(������ ��� /(�������

�� ��� � � ���� � �

� ��

������ �� �� %����

��

� ��

���� � ��� � �� � %���

�� ?"33@

�(� � � ��� ���� � ��� ��� ���� � �� 8 ������� � �� � "������� ���(�����

��%(� . � ���� /(����� � � ��# 9� ���#��7 ��� %������� � ����� ����(� �/

(#5

Page 122: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

� ���#��; � #�-� ��

- ��� ��

��

�����

����� �

���� � ���� � ���

� ?"3:@

��� " ��" ��-

�-� ��

���� � ��� � �� � %���

�- ���

��� ������� � ?"35@

8 � � %����� %� � ��� ��� �/� � ���� � C(> ��' 6,#<6,(D /�� /(��� ��/���

������ ���� ���� �����%���� � � �������� ��-�� %��(�(�� "�� � #��-�������

�� ��� �� �%���� �� � (������ ��%( � C,$> �' 6,(D� �� �� -������ �� �� �

��#(��� ���%����� �/ � %��(�(� /��� � -������ �� �� � ��#(��� -������ ��� �

������ � �� � �%%��� ���#��-������� ��1(� )���� �� ���������# �� ����� � �������

?"33@ "��� ���-��# � ���� � � ��#� �� ��# �� #�-� �� 1(���� ��������� ��

� ��� "���� /�� ��� ���%� ��

���� � ��� � ��� � 4� � �� ?":#@

"�� 4 �� � �%��4� ����� ����(� /��� � ���#�� 9" �0 4 � ����;� )���� � ���������#

� (������ ��%( �� ����� � ������� ?"33@ "��� ���-��# � ���� �"�� /��� �

��# ?":#@�

3�� $���!�! "�� &����� +����� !

E� ���� �� !����� ��� ��� � ?!��@ ��*� ���9�����2�� �������� �� ���� ��

�� ������ ����� ��� ������ � ����� � �� ����%� �� �� ������ �� �-� 2�� ����� �

((#

Page 123: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�' ��� ��>

�� � ��� �-�

��

��

� ?":(@

��� �8����� 3 ��� ������

�� � �� �-�

��� �

��

�� � �� � �

� ?":"@

2�� � �� ��������� �� � ��� � ��� �� � �-����� �' E� ��� � I�������J %����� �� ?":(@G

�� � �� � �� �����9 �� ��2��9���� �� �� ���� ?":(@ 2���� ���� � � �8 ��� �� �����

�� ����� 2� �� �� � �'

������� �� �� �����0�� ������ %������� � ��� � ������� �� ������ ��

� ���� ��� � ��� �� ����> 2� ��� �8���� �� ����%����� �� �� ������� �����

����� ?"3$@' E� ��%�

��������

���

���

��

���������

��������

� � �

� � �

��� �� ��

��������

��������

��

��

��������

?":,@

2�� ����%����� 0� � �����!� � ���"!��> 0� � �����!�� ��� "!��> �� 0 � ���!��"' ���

!�� �������� �� � ��4'

3�� �� �� &����� +����� !

������� � ��*� ���9�����2�� ����� ��� �� �����0�� ������ %������� �� �����0��

�-� 2�� ����� � �' ���� �� � ������ ������ ��� � ������ ������ 2� ��%�

�� � � �-����' )� � ����� 2���� �� � �� �� ��� ����%��%� �� ��� ����� � 0���'

(((

Page 124: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

���� ������� �� 2� ����� � � ����� �

� ��

��

�� �-�

��

��

����

��

�� �-�

��

��

��� ?":/@

��� ��> 2� ��

�� � ���� �-�

���

����� �-�

������> ?":6@

������� � �� ���� ��� � ?��@ ��������' ��������� ��� ������ ��� �8����� 3>

2�� � � �> ������ �

�� � ���

�� � �

?":$@

�� � � ����> 2� ��� � ������� %����� �� ?":$@' ������� �� �� �����0�� ������

%������� � ��� � ������� �� ������ �� � ���� ��� �> 2� ��� �8���� ��

����%����� �� �� ������� ����� ����� ?"3$@' E� ��%�

��������

���

���

��

���������

��������

� � �

� � �

� ��� ��

��������

��������

��

��

��������

?":3@

2�� ����%����� 0� � ��� � ��� > 0� � ��

� � ��� > �� 0 � �' ���� �� �� �������� �� �

��4'

7� �� ����� ������ ��� �8����� 3 �� ��%� �� ����� � �> ����� � �> ���� � ����

�� ��� �� ���� �� � � �' ���*� ����� �%��%�� ���� ���� ����� ������ ��� ��

!�� �� �� ��*� ���9�����2�� ��������� ��� ���2 � ���' (,' ��� ������ ���

?"33@ ��� �� !�� �� �� ��������� 2��� ��� �� ��> ����� �%���> �� �� � ��������

���%� �� ��� � �� ����' ��� �� �������� ��� ���%� �� ��� � �� ���� �� ���

(("

Page 125: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

MCD

TD

x 1

x 2

��6��� '+D �� �� !�� ��� ��*� ����� ��� �8����� 3 C���� � ����D

�� � � ��2�� �� �� �� !�� ��������'

1�2 �� �� ����� ������ �� ��%� �� ����� � �> ����� � �> �� ���� � � 2����

���� 2� �� � ��� � �' ���*� ����� �%��%�� ���� ���� ����� ������ ��� �� !��

�� �� ��*� ���9�����2�� ��������� ��� ���2 � ���' (/' ��� !�� �������� ���%�

�� ����� � �� ���� 2�� � ������ �� �� !�!G �� �� �������� ������ � ���%�

�� ����� � �� ����' E� �8�� �� ��� ���� ����� �� �� ����%���� �� ?":3@ �� 0���G

���%���� �%���� � � �� ���� 2�� � ����� �� �� ��� � �� ����� ������' �%�

����� � � �� ����� � �> �����-���� �� ��

�� ����� � ����'

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

MCD

TD

x 1

x 2

��6��� '>D �� �� !�� ��� ��*� ����� ��� �8����� 3 C���� � �D

((,

Page 126: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��� ������ �� �8����� 3> ���� 2�� ����' (, �� (/> �������� �� ����%��� �� ��

!�� �� �� ���������' � ���� ���� 2� �� �� �� �� �������� ���� ��� ���%�

�� ����� � �� ���� ��� %��� ��� �� ����� ������> -� �� � ����� �/ �

���(�����O

E� �2 �� � �� �9��� ����� �� C(> �' 6#/D � ���%��� � �������%� ���� �� 2�� �

2� ��� ������ �� �4� �%���� �� �� ������ � ������ ���� � �� ����� � �� ��

������� � �'

��;����� ' * #�-� %��� �� �� �%�� �� ���������� /��� � ���#�� �/ �� ���� ��

��������� ������ ��" /�� � �(�� ��� (��� � #�-� ��������� ������ ��" /�� ����� �

���� ��� � ���-� /��� � ���#�� � � %��� �� 4�� ���

��;����� * �� ���������� �� �� � � �/ ��� ��������� %���� (��� � �%��4�

������ ��" �����

��� �9��� ����� �� ���%���� � �������%� ������� �� �� ���������� �� �� ������� �

� ���%� �� ����� � ���� ���� �� �� ����� ?����@ �� �� ���� ������ 2��� �����

��� 2�9��������� ��������' F��� � ��� ���� ���� ��2 ����> �� �9��� ����� �� ��

�������� �� ���� �� ��� ����� �� C(> �' ,(6D ���� �� ����� ��� �� � ������' ��� ��>

��� ��� ��� ���� �� � � I������� ������ ����J ������� ��� �� � ������' 1� ������

������ ��� ��*� ����� ���� � �� ������� �� �� �9��� ����� �� ��� ��%� �� ��

��� ������� ��8���� ��� ���� C(> �' ,/"D' ��� �9��� ����� �� �� ���� �� �������

�� ����� ��� ������� ���2��� � ���> ����� ��� �� �����> ���*� � �� ��� �

������ ���� �� ��� ������� ��8���� ��� ���� C(> �' 6#3D' ��� �8����� 3> ��� ��� ��

� � ���� �������'

��� �9��� ����� �� ��� �� !�� ��������> 2�� � �� � ���2> �� �������' ���

((/

Page 127: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

I�.�2J ������� � �� ���� � ���%� �� ����� ���� �� ����� � �� ��� � ���

��� �' !���� ��� �� ?":"@ �� ����� � ���� �� �4� �� �� ������� �> ������� �

� ������ �9��� ����� ��' E� ��� � � ���� �� �� �������� � ��� �������> �� � ��

I��� %�������J � ��� � ��� ����� ��� ' ���� 2���� ��.� �� ��������� �� ��

������� �� �� �9��� ����� �� %��� ��= �� C,3D' � ��� �� �� > ���� � � ���� �������

�� ������� ?":3@ ���2��� � ��� ������ � � ��*� ��� �� ������ ��� ���� �� ���

������ ��� ����' �� �� �9��� ����� �� ��� �� �� �������� �� ���� �������'

3�� �������� .�� ���� ��� $���!�! "�� &����� +����� !

� ������� ��������� 2��� �� � �������� �� �� !�� �������� � ���� �� �4�

�� �� ������� � ���' E� �� ��%� �� ������� ��������� !����� ��� ��� �

�������� ?��!��@

� �� � �� �-�

��� �

��

�� � �� � �

> ?"::@

2�� �������' ������� �� �� �����0�� ������ %������� ��� � ������� ��

������ �� � ���� ���> 2� ��� �8���� �� ����%����� �� �� ������� �����

�����> ��������

���

���

� ��

���������

��������

� � �

� � �

��� �� ��

��������

��������

��

��

��������� ?":5@

��� ��!�� �������� �� ��4> 2�� ����%����� 0� � ���� � ����> 0� � ���� � ����> ��

0 � �#### ��� � � ������'

7� �� ����� ������ ��� �8����� 3 �� ��%� �� ����� � �> ����� � �> ���� � ���>

2�� � � �' ������ (6 �������� �� ��� ��*� ����� ��� ��� ���� ��*� ���9�����2��

��������� 2� ��%� �������� � ��� ���' �� ������> �� !�� �������� ���%� �� ���

((6

Page 128: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

� �� ���� 2���� �� �� �������� ��� �' ��� ��!�� �������� ���%� �� ��� �

�� ���� 2�� � ������ �� �� ���'

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

MCD

TD

SPMCD

x 1

x 2

��6��� '?D ��� ��*� ����� ��� �8����� 3 C���� � �D

E� �8���� �� �9��� ����� �� ��� ��!��G ���' ($ �������� �� ������� ���� � ��

������� �� �� �9��� ����� ��' ��� ��!�� �������� ������ � ������ �9��� ����� ��G

�� �������� �� �� � ���� ����� � ������� � �� �.�2 ������� � �� �� !��

�� �� ���������'

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x 1

x 2

��6��� '@D ��� �9��� ����� �� ��� �� ��!�� ��������> �8����� 3

��� ������ �� �8����� 3 �������� �� ������ �� 2��.����� �� �� � �� �� ����

��������� !��> ��> �� ��!��' ��� !�� �������� ���%� �� ����� � �� ����

(($

Page 129: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�� ��� � �� ���� � �� �� ��� ������� �' ��� �� �������� ��� ���%� �� �����

� �� ���� ��� %��� ��� �� ����� ������G 2�� � ��� 2��. �� ������ �� 2��

���� ��2' -�� �� !�� �� �� ��������� ������� � � ����� ��� � ��� ?���4@ ��

���2 �� ���� ����%�����' � �� ���� � �� � ������� � �� ��!�� �%����� � ��

���� �� �� ������ �� 2�� �� �������' ��� ����%����� �� ?":5@ ������ ���2 ��

�� ��!�� �������� ������ � ��4 ����� �� ��4������ �������'

� �� ����� � �� � ������ ������� � �> �� �9��� ����� �� ��� �8����� 3 �� ��� �� �

��� �� !�� ��������> �� �� � ���� ������� ��� �� �� ��������> �� �� � ������

�� ��� �� ��!�� ��������' E� �2 ������ � ������� ��������� ������� � ������

� ����%� � ��*� ���9�����2�� �������� ��� ������ � �� �� ��4������ ���� �� ���%��

�� ����� � �� ���� � �� ���� � �� �� ������� � ���' ���� �������� ������ ��

�������� ���4 �� �������� ������ ��������� ����� ����' ������> 2� ������ �� ��

�9��� ����� �� �� � ������ �� �� �� �� ��!�� ��������'

� �8����� 3> � �� ���� � �� � ������� � �> �� ��!�� �������� ���%� �� �����

� �� ���� �� �� ������ �� 2�� ��2�� �� �� �� �� !�� �� �� ���������'

E�� � ������� � �� �9��� ����� �� 2�� ������� ��� �� !�� �� �� ���������>

�� 2�� ������ ��� �� ��!�� ��������> �������� �� �� ������� ���� ���� ��

�� ��!�� ����� �� ��4���> 2�� � ��.�� ����� �� �� ������ ��= ��' ��� �= ��

��� ��� � �������� �� 2� ��%���� ���� �� ����%�� ���� �� ��� � ��� �� ��������

�� �� ��!�� ��������' ������� ��������� ����� C"> �' 6,(D ���� �� �� �� ���

����� �� � ��%� ����� �� ��4������ ������� ��� ������ ��� ����� � ���� �����

������G � �� � ����� �� ��� ������ �� ���2 ����� ������� �� ����%��� �� �� �����'

���� ������� �� �� �4� �� �� ��������� � � ?":5@ ��� ��� �� ��� ����� � ����

����� ��� ���%��' 7����� �� ��� �� �� ��������� 2���� ���������� �����%� ��

((3

Page 130: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��4��� �� �� ����� �� ��4������ �������' 1���� �� � �������� �������� �� �%�����

�������� � �� �� ��������> �� ��� �� ������� �� ������ ��� �� �9��� ����� ���

�� !�� �� ��!�� � �8����� 3'

?�+�' ��5 ��<����

E� ����%� �� ��������� ���2 �������� �� ?":5@ �� ������� �� ��� ����� ��� ������

���' ��� ��> 2� �� � � �' E� ��%�

��������

����

����

���������

��������

� � �

� � �

��� �� ��

��������

��������

���

���

��

��������� ?"5#@

2���� � ���� ��� I�J �������� � ���2 %�������' � ?":5@ 2� ��%� �� � �� � �� �-����G ��

� ����� �� �� ��� � 2� ��� �� �� ���2 ����� ���� �� ������� ����� � ��

�� � ������ ����� ��� ���� �-� ��� ��� �������' ���� ������� �� �� ���. �� ��

�������� ����� � ���%� ��� ����� ���� �� ��!�� ��*� ��� �� ����� � ��

���2 �����> � � ����� ��� � ���'

?�+�* ��� ��<����

����� �� ����%��� �� �� ��������� ��� ��������> 2� ������ �� �� ���2 %�������� ���

���' � �� ��� �� �8����� 3 2� �� ��%� ���� � ���� � ��� � �' E�� �� �� �� ��%�

�� ���2 %��������> �� ���� ������ � ?":5@ ��� �� ��2��� �� � �� � ������������' E�

��� ������� �� ���� ?":5@ �� ?"5#@ �� ��� �� ��� � � 2� ��%�> � � ��� ���� � ����'

�� 2� �� �� � �� �� 2� ��%� � ��� � ��� > 2�� � ��� � ������ �� � �� ��� ����' E� �����%�

�� � � ��*� ���9�����2�� ����> 2���� 2� ��%� ����� �� � ������� ��������� �

�� ������ ������> �� ��� ����� ��� �8����� 3 ������ ��� ��� �� ������ %�������

((:

Page 131: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�����' ��� ��� ���� ���� ��� �� �8�����> 2���� �� ������ ��4������ ������ �� �����

� �> �� ��� ����� %������� �� �� ��%� �� � ������� �� ���� �8������ �� ��' ����

������� �� �� ��!�� �������� ?":5@ ��� �� ������� 2�� � �8������ �� ��

� ���� � �� �4� �� � �� ���� ����� � �� ������� ������'

3�) 45���� "�� &����� +����� !

��� ��� �������� �� ����� ��� ������� ��������� � ������ ������� � �� ��!��

��������' � ����� �� ���� ������ �.� ���� �� ���� �����> �� ���2 ��������>

�� �� ��� ��������' ��.� ������> ���� ������ ���� � ��� ��*� ��� ��

�����8����� �� �� �� ��!�� ��������> �� �� �������� ���4 �� �������� �� �

���� �= ��'

?�>�' ��5 ��<���� ��1����

������� ������> �������� ������> �������� ������� ���� �� ���� � � � � � ���9

���� ����� �� ��4������ �������' ������ � ��� �� ����> �� ������� �������

��� �� �� ���� � ����� � � C�� ��� �� � � �-���� � � ����� �� ��� ��!�� � �8����� 3D>

2�� � �� � �� ���� ��� � ��� �� �� ��� %��������' � ����� ������ ��� � ��� ��

���� �� ��4������� �� ����� � ����� 2�� ����� � ��� C,> �' /3D>

� ��� �����

�����

�� �����

����� ?"5(@

�������

�� � ���� �����

��

��� �� �������

��� ?"5"@

((5

Page 132: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

���� ����� ?"5"@ �� ��� ����G �� �� ����� ��� �� ������� �� �� ��������> ����

?"5(@> ���� ���� �%���� � � � ����������� ��� �� �� � ����� � �� ����

��> 2�� � �� ����������' ��� ��!�� ������ ����� �������� �� ��4 � �8����� 3> ��

� ��� ����� �� � ����������� ��� 2�� � ����� � �'

?�>�* ��� ��<���� ��1����

��� ������ � � �������� ������ ����� �� ��4������ ������� � ��� � �� ���� 2��� �

� ������ ���� � � � ������ �8������ �� ��' H�2�%�� ������� ��������� �����

���� �� �� ��� �������� �� ��� ������ ����� � ���� ����� ������' ��� ���

����� 2� 2��� ����� �� ��� �������� � ��� � ��� �� �� ����

�� � ��

������� ?"5,@

2�� � �� � � �� ���� ��� � ��� �� �� ��� %��������' ���� �� �� ��� � ��� ��� .��

�� ��� 2�� �� �8������ ���'

?�>�+ ���� ��<���� ��1����

�� �� ����� ��� �� � ������� ���� � ��*� ��� ������� �� �� ������� ��� ����9

���> �� ������ ?"5"@ �� ?"5,@ ���� � ���%� �� ����� � �� ���� 2�� ���

� %��� ���� ����� ������ �� ��4���' �� �� ����� ��� �� ������� ���� �� ��*� ��� 2�

��� � ���� ����� � ��� �������� � ����� �� �������� �2��� �� ���� �� ����'

�� ��� �� 2� �� �� ��� �������� ��� �� �����2�� ���

�� � �� ��� �' ?"5/@

��� ����� ���� �� �� ��� �������� �� ����� �� �� ���� ������ ?"5"@<?"5/@

("#

Page 133: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�������

�� � ���

����� � � ���

�� �

���

��

��� ������� ?"56@

2�� �������' ��� ��� �������� �� �������� ���4 �� �������� �= ��' ����

����%��� �� ������� ���� �� ���2 �������� �� �������� �� ��!�� ��������� ��

��� ���� ��� � ?"56@' � �� ���� 2���� ��� �� �����> �� �������� ����%�� ��.� ��

�� ��������' ��� ��� �������� ���� � ������� �� ������ �� � ?��������@ ������

�����0��� �������> �%� � �� ����� ��� �� �� ��*� ���' ��� ��� �������� �9

������� ����� � �� �8������ ��� �� ?"56@ ���%�� �� ��� ��� � ��� 2����

�� � ������ ������ � �-���� � �� ��� ������� ������ � ���� ��� � ��� � ���' ���

�����%� ���� � �� � ��� �� ���� � ������ ���� �� ����� �� �� ����9

���� �� � �%��� ���� 2���� �� ����� ��� �� �������' ��� �8����� 3 2� �� ��

�� ����� ��� � �� �-����� � � �� ��������'

?�>�> �������3� ��1���� E ��� ��� � %��

������ (3 ��������� �� ��*� ��� ������� �� �� ��� �������� ��� �8����� 3G ��

��!�� ��*� ��� 2�� � � ����� �� � ��� .�� �%����� � �� ��� ��*� ���' ���

����� ������ ��� �� � ������> 2�� � � ����> 2��� ����� � �> ����� � �> ���� � ���>

� � �' E� ��%� ���� � � ��� �� � � �' ��� ������ ��� ��� �� ��!�� ��

��� ��������� 2��� ��� ���' ��� �9��� ����� �� ��� �� ��� ��������> ���� ��

����� �� �� � ���� ���> �� ���2 � ���' (:' ��� ��� �������� ����� �� � �9

��� ����� �� ���� �� � �� �� �� ��!�� �������� �� � � ���4 ?�= ��@ ����'

��� ��F ��� � ���� �� �� ������� 2�� ���� ���� !����B� ���� � ���2� �

���� ������ ���> ��� ��� �� ��� �� ��!�� ���������' E� ������� ��� ��9

����� 2�� �� ���� � � �� ���� ?�����@ ���� ����2 4 � ����' E�� � � ����> �����

("(

Page 134: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x 1

x 2

��6��� '.D ��� ��*� ��� ��� �� ��� ��������> �8����� 3 C���� � �D

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

x 1

x 2

��6��� '-D ��� �9��� ����� �� ��� �� ��� �������� � �8����� 3

������ ����� � �> ����� � �> ���� � ���> � � �> �� ���� !����B� ����� �������

2� ���� �� ��F ��� ��� �� ��� �� ��!�� ��������� � �� ����� �� ��� �� �#�

�� ���> ����� �%���' ��� ��� ����� 2�� �����8������ ���� ���� �� ��� �� ��!��'

��� �= �� � �� �� ��� �������� � �� ������ � �� �������� ���4 ����%���' E�

� ���� �� ��4��� �� �� ��� �������� �� �8����� �� 7�����% �8��� ���

�������� C(> ��' "#6<"#3D' � ���' (5 2� ��� 2����� �������� 7�����% �8���� ���

� ���� ����� ������> �����2�� �� ������ ������� �8���� ��� �� %�� ��*���� �� ��

�������' ���� ����%��� �� � ���. ���� � �� �� �� ��!�� �������� 2�� 2�����

�������� ����%�����'

(""

Page 135: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��6��� 'CD 7�����% �8���� ��� �� ��� �������� ������� � �8����� 3

>�6�6�� )�/������ ���%������ B ��5 ��� �������

��� ��� �������� ������� �9���> �����9����> �����0��9������ ��������' �����

�������� ��� ����%�� ���� �-�> � �� �� �� �8����� �� ������ ��� ��� �� ��

H�����9+� ���9-����� ������ C,:> �' """D

� � ����

��� ������� �

�&

��� �������

�� ?"5$@

2���� & ��� �� �� ��9 ����� %���� �� ��' �� 2� ���� - ��� � & ���> 2� � �� �%�� ��

������ ������ ��� �� ���� ���� �������G ��� ��. ��� �� ���� ��= �� �� 2� ��� ���%�

� ������ ��4������ ������ � ���� & ���' �����> 2� ��%� ���� �� � ��� � �� �� �

�� ���� �� ���� ��*� ����� �� ����� ��� �� �� �%�� ���' ����� ���� ���%�� ?"5$@>

�� ���� �� �� � ���������� ��� � �� �� �� �������%� � ����G ���� ������%�

��������� ��� �������� �� � � �� �� ��� ������� � ������ ���' H�2�%��> ��� �

��%� ��� � �� �� 2� � ���2 �� ��� ����� ����� �� ������ ��������� � �

����9������ �������' E� 2��� � ������� ��� ��. �� �������� �� ��� ��������

�� ������� �� ������ �� ���� �9��� ����� ��� 2�� ���� �� ����� ���� �� ��� ��

(",

Page 136: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

� ��9��8 ���� �������� C(> ��' 6,#<6,(D'

?�>�? ��� %��;3����

H�%�� ��� ���� � �����8����� � �� %���� �� ��> �� ��� �������� 2�� ��%������

�� ��������� ���� �� �� ������� � �' E� � �����%� �������� � �� ����� � ���

� �� ��� �������� �� ����� �� �4� �� �� ������� �'

) � -� � �� �- ��� �� ��� ����> 2� ��%�

�-� � �� ������� ��- ���

��� �������

� ��

������ �� �� %����

�- ���

������������ � ?"53@

������ (> ������� �> �8�� � ������ "> ������� �> � ��8���0� ?"53@' ��� � ������

������ ��� � ������� ��8���0��� �� �-� 2�� ����� � � � � ��� ��%� ��

� �-�

��� �%��� �

�- ���

��� � ��� ?"5:@

2�� � ������

� ��

%�

��- ���

���

��

� ?"55@

������� �� ��� ��� �� ���� �� - ��� � �8����� 3>

�- ��� ��- ���

����

� ����� �

����

� �

��� �

����

� �

��� �

����

� ?,##@

("/

Page 137: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

���� ?"55@> 2�� %� � ���> 2� ��%�

� ��

���

����� � ��

� ?,#(@

������ ( ��� ���� �� � ����� � �- ����� �� �� ������� � ������ �� ������ ��

�� ���

�� ������

��

�� � ��

��

��� ������

��� ��� � ���

� ?,#"@

��� ��� ���� �� �� ��� �������� �� �2

�� � ���

����� � � ���

�� �

���

��

��� ������� ���� ?,#,@

������ "# ��������� �� ����� I�J �� ��� I�J �9��� ����� ��� ��� �� ��� ��������>

����� ��� ������� ?"56@ �� ?,#,@ ����� �%���> ���� 2�� �� I J �9��� ����� �� ��

�� ��9��8 ������� �� C(> �' 6,(D' ��� ������ �� �� ��� ��� ��� ������ ���� �� ��

��0� �� �� �9��� ����� �� ��� �� ��� ��������' E� �����%� �� �� ��� ���� �� ��

��� �������� ����� �� � �9��� ����� �� �� �� ������ �� �� ��%� �� �� ��9��8

��������G ������ �� ��� �� � ������' H�2�%��> 2� ��%� ��� ���� � �����9����> �9

��� ������� �� ���� � ������� �� � ���%� ������ ��4������ ������� �� 2�9���

�������9%���� ��������'

("6

Page 138: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��6��� *0D ��� �9��� ����� ��� ���& �@ ����� ���> �@ ��� ���> �� @ !�9!�8'

3�3 &����� ��!!��# ��� "���������

� ��� ����� 2� ��%� ��� ���� �����0�� ������ �������� ��� ��9��8 ����� ������

��*� ���9�����2�� ������' ����� ��4������ ������ �������� 2��� ����%�� ���� �

�� �� �� �������� � ����9�4 ��2�� �� ���� ��� �� �� � ������� �� ��

������� ��� ��� �� �����0�� ������B� ��� � �� ��> �� �������� �� ��� �

���%� ��9��8 �������� �� 2�9��� �������9%���� �������� � �� � ���' !�����

��� ��� � ?!��@ �� ���� ��� � ?��@ ��*� ���9�����2�� ��������� 2��� �������

� � ����� ������� ��4������ ����' E� �����%�� �� � ���� ����� ������ 2��

����� � �� � ����> �� ��8���0�� ������B�> ��� ���� �� ������ �� ����� ��

� ������� ��������� �� �� �����0�� ������B� ������' ���� ������� �� �������

��������� !����� ��� ��� � ?��!��@ ��������> 2�� � 2� ���� � �� %��� ��4'

������� �� �� ��!�� �������� ���� 2���9.�2 ������� ��������� � ������ ��� �

�� �= �� ��� ��� � ?���@ ��������' ��� 2�� �������� ���4 �� ���%���� ��

���� ��������� �������� � ���� ����� � �� �� ��!�� ��������' ��� ��� ��������

("$

Page 139: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

�� ���9������> �� �� �������� � �� ��������� 2�� ���� ������ ��������> �%�

2�� �� �.�2 ������� � � ��������� � ���� ������ ������> �� ��� � ���'

"#'

("3

Page 140: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

��� ��! (�

����� �����

6�� #������ � �!�,��� "�� ���

��� �� ������9��� ������ ���� �������> ����� � �� ��� �� �� � ���� ����>

� ���9������ ������ . ���� �������� 2�� ����%�� �� �8��� ��� �������� �������

�� ���������> �� �������> ����' ��%������ �� ��� ��������> ����� 7�����%

)����0�� �2� ��� ����� ?7)��@> 2�� ������ �� �� ������� � �����%� ����� ��9

���8����� � �� ������ ���� �� ��' �� ��� � ��� ��%������> ��%���� ���� ��

����� ����%��� 2��� ��������' ������� 2��� ���������� �� ������� �� ��*� 9

����� �� � �%���� � �0��� ����������� ���� �� ��������' ��� ����� � �� ����

���� �� �2� ��� ����� � � 2�� ��������� �%�������G 2� ������� ������ ��������

������� 2���� �� 7)�� ���� ���������� ��� �� ����' ������> �� ����� � ��

��� � ���� 2��� �� ��� ��� � ������� 2�� ��������' � 2�� ���%� �� � �������

��������� �������� ��������� �� ������ ��� ����%��%� ��� � �4� ��4��� �

�� ������� ������� �G �� ���� ���� ���� �� ���� ����' ��� �� ���� ������ ���9

��� ���� �������> � �������%� ������ � 2�� �������� �� ����� �� �8 ���� ������'

���� ������ � ������ ���%��� ��� ������ �� �� �� ������ ���� � ������ ������

� �� ������� �� ������ �������� ���� 2�� ����� �� ��� ���� ��� �� ������ �

��*� �����'

(":

Page 141: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

6�� ������ ��# 1����7��� � �!�,� ���

����%��� �� � ��*� ���9�����2�� �������� ����� ���� � �����> ������9��� ������

��� ��� ��%������' ���� ������� �.�� � � �������� ��� ��� ��� �� ������ � �

������ ���� �' ����> ��� � �� ������ ���%���� �������� ��� �� � �� �� �����'

��� ��� ��� ��� 2�� ��%������ � ����� �������� � �� �2� ��� ������� �� �� ��9

��> �� ����� � �� ���9���9���%�� �2� ��� ���� 2�� ��� ����� �� 2���' ����� �� ���

2��� �������� ����� �� �� .���� �� ��� � ���� �� �������� �� �������' ��� ��

����� �� �� ������� �� � ������9��� ���� �� �� ���� ����� �������� � � �9���

����' ��� �� ���� ������ ������ ������ ���� �������> � ���9������� ��9

��� ��� � �������� 2�� ��%������' ��� ���� �������� 2�� ������� �� �� �����

��� �� 1�2� �����0��� �������� �� C3D' ������� �� �1 �� �� 7�����%

�����0�� ���� ���� ����2� �� ����� � ������ � �= �� ��*� ���9�����2��

������ � ������ �������� �� �%���� �0��� ����������� ���� �� ��������' �

������> �� ���� �������� �� ����� � �� � ���� � ������� �� � �����0���

������� �� ���%�� ��� � � �� ��� ���� �� ��� ��*� ���' ���� ���� ����� ����

�� �������� ���4 ���� ����� � �� �1'

6�� &�'���� ��� (�!��

� ��������> ����� �= �� ��� ��� �> 2�� ��%������ ��� ����� ��� � ��9��8

��4������ �����' � �������� �� ��� �� �� ��%������ �� �� ���� ���0���

�� ���������� ������ �� ����� 2�� ��������� 7�����% �����0�� ���� ��

��*� ���9�����2�� �����0��� � �� � � ����� ���' ����� 2��. 2��� �� �� ��� ��9

��� ��� �� �� 7)�� ���������� � � ���� ���� � ���� �����%� �� ��� � �� � ������

��� � �� ��'

("5

Page 142: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

!���!�����

C(D L� �> �' 7' �� �����> E' +'> �������� ��� $%���� ������ &����> E����>

1�2 P��.> (553'

C"D ���2> +' H' �� M�.��%� > �' L'> I� �� �������� �� 1��� )����� ��������� ���

������ 2�� ���2 �� ��� !����>J '������� ������ �� *(����� ������> L��' "(>

1�' 6> (53$> ��' 3#(<3#6'

C,D )B!�����> �' �'> '����(���� � &��#(��� )�(�������> � ����� �����> 1�2 P��.>

(53/'

C/D 7��������> �' �'> ����� *���%��� ��%�������> �������9L�����> 1�2 P��.> (5::'

C6D )B!�����> �' �'> &��#(��� )�(������ ����� /�� $������� 5�2����� �1(�����>

�������9L�����> 1�2 P��.> (55('

C$D ����> M' E' �� H�2��> �' �'> �������� &��#(��� )�(������ )������? �����

��� *%%�������> �������9L�����> 1�2 P��.> (5:/'

C3D �����> E' +' I���*� ��� �����2�� )����0��� �� ����� �����������

��4������ �������>J )���� 6��� '������� ���/� �� 5������ ��� ������� !���>

H�> �� ����� "##,> ��' 6/5$<66#('

C:D �����> E' +' �� 7��> -' �'> I� ����� 7��� �� �� ������8>J ����� � ��

�����> L��' ,> 1�' "> ����� (55,> ��' (65<(3,'

C5D F.�> L'> �'> IL������� ��� ��� ������ 2�� ������ !����>J ���� ����� ��� �

������ �����> L��' ��9""> 1�' "> ����� (533> ��' "("<"""'

(,#

Page 143: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

C(#D Q���> P'> 7��> +'> ���> M'> �� A���> E'> I) �� !������ �� )����0��� ��

��� ������ 1�2��. ������� ����� ������>J )���� ���� ���/��� �/ �

'������� ����(�������� &����> H�� M��> !�� � 3<(( "##/> L��' /> ��' ":"(<

":,"'

C((D A���%�> �' IL������� ��� ��� ����� ����� ��� � ����� �� 1������ F ����

��� �����>J �::+ '������� 8��0���% �� ,������ &�(�(� &����> ��.��> �� �����

6<$ (55$> ��' $(<$$'

C("D M2��> H' '> ������> �'> �� !�� �> !'> IL������� ��� ��� ����� �� ������

2�� 1������ ��� ��>J )���� �=� '������� ���/� �� 5������ ��� ������� �����8>

���0��> �� �����> (555> %��' 6> ��' 6($/<6($5'

C(,D -������> '> �������> �'> �� F���> �'> I������� �%���� � �� �� ��9)���� ����9

�� !��� �����>J '��� ����������� �� *(����� ������> L��' /,> 1�' "> ��������

(55:> ��' "/(<"/$'

C(/D ������97�0> �������> 5�������(�(� ��� $%���� ������> ! ��29H���> 1�2 P��.>

(5$:'

C(6D � �.���> �' )' !' �� !���> �'> ;'> I!�9!�8 ������ . !���� ����� �%� �����

��� �������� 7���� ������>J '��� ����������� �� *(����� ������> L��' /,>

1�' :> ����� (55:> ��' ((,$<((/"'

C($D � �.���> �' )' !'> !���> �'> ;'> �� ��2����> +' -'> I��������� !���� ����� �%�

����� ?���������� ������� �������@>J '��� ����������� �� *(����� ������> L��'

//> 1�' ,> !�� � (555> ��' $/:<$6/'

(,(

Page 144: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

C(3D �����> E' +' �� L� �> �' 7'> ����� ������ &���� 5��#� ��� *�������>

E����> 1�2 P��.> (55,'

C(:D E�.��> �' �'> !(�������� �/ ����� ���%(�����> E����> 1�2 P��.> (55('

C(5D -��2> �' �' �� -��������29-����> !' �'> I���� �4� �%� !����� ��� F �9

������ )����0��� -���� � �� ������ �� ������ �� )������ �������>J C�(��

��� �/ $%�������� ����� ��� *%%��������> L��' $"> 1�' "> ��' "((<""/'

C"#D ����.�> +'> I�����.� � -���B� !���� ��� ���%�� 1������ �������>J � ���

"���� D����� $%��������> ��8�> 7' �' E' �� �0���> ' �'> ���'> 1���9H�����>

��������> (53"> ��' 5$<(#$'

C"(D ����.�> +'> I�2� ����������� �� -���B� !����& 1����� �� �8����� �>J �

��"���� D����� $%�������� �> ��8�> 7' �' E' �� �0���> ' �'> ���'> 1���9H�����>

��������> (53:> ��' (6(<($/'

C""D L� �> �' 7' �� �����> E'+'> I���*� ��� �����2�� !����� � ����� �����

�����>J C� �/ D����� $%��������> L��' ",> "##"> ��' "$3<":"'

C",D �����> E' +'> I ����� ����������� ���*� ��� �����2�� ��������� ��� ��9

������ ������� !�9!�8 ������ ����>J )���� �/ � ��� '�A� &��%���(� ��

5������ D��� ��� *%%��������> �� ��> �A> �� ����� "##/> ��' ,"#<,,:'

C"/D L� �> �' 7'> ��> -' �'> �� ���> M' 7'> I���*� ��� �����2�� ��������� ��� !�9

!�8 )����0��� ��������>J C� �/ $%�������� ����� ��� *%%��������> L��' 36>

1�' ,> (55"> ��' 6#(<6(5'

C"6D ��> -' �'> I��������� ��� F ������� )����0��� %�� ����� ������>J C� �/

$%�������� ����� ��� *%%��������> L��' 5"> 1�' ,> (553> ��' 6:(<$#/'

(,"

Page 145: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

C"$D �������> �' �' �� ��0��.> �' !' I����9H��2�0 �������'J R(6'3(6 � ������ ��

�������> ������> �� ����� �> $� ��'> �� �����> ��& � ����� �����> �' (#3$> "###'

C"3D ������> !' �' �� ��*�> 1'> I���2 �� ��� ��� L�������� ��� �����9���������

����� ����� �>J C� �/ D(������ ������� ��� 5�������> L��' :> 1�' /> (5:6> ��'

6,"<6,6'

C":D ������> !' �'> I���������� ������� ��������� !���� ��� ����� ������>J

C� �/ D(������ ������� ��� 5�������> L��' (/> 1�' ,> (55(> ��' $$(<$$6'

C"5D A������> �'> M����> H' '> �� M����> �' +'> I������� �� �� ���������� �������

��������� ���� �� !���� ��� ����� �� M��� �>J C� �/ �������� &����> L��'

(/> "##/> ��' 65<5('

C,#D ����> �'> L��> 1' Q'> �� H�2�> �' !'> I����� ��� �� ������� ��������� !��9

��� ��� �����9��������� !�����9���� ��� ����>J C� �/ D(������ ������� ���

5�������> L��' (/> 1�' "> (55(> ��' ,$#<,$3'

C,(D ��> A' �� -����> �'> IH9���� )����� ����� ��� ��������� �������� ������'

��� �& ����� ��� !���������>J *(������> L��' "5> 1�' "> !�� � (55,> ��'

/#(</",'

C,"D ��> A' �� -����> �'> IH9���� )����� ����� ��� ��������� �������� ������'

��� ��& ������� ��� !���������>J '������� ������ �� *(����� ������> L��'

,5> 1�' "> (55/> ��' ":#<"5:'

C,,D ������> �' �� M�����> H'> I;������ 9���� 7�����% �� ��� ��� ��������� ���9

����� ������>J '������� ����������� �� *(����� ������> L��' ��9"5> 1�' $> ��'

6/"<66#'

(,,

Page 146: FEEDBACK CONTROL ALGORITHMS THROUGH LYAPUNOV FOLLOWING

C,/D L� �> �' 7' �� �����> E' +'> $%������ �� )������� &����> E����> 1�2

P��.> (5:('

C,6D 7��������> �' '> *� '����(���� � 5������ &����> E����> 1�2 P��.> (535'

C,$D L� �> �' 7' �� 7�> P' �'> I���� �������� � !������� F����� � �� ����� ��

��������� ��� �2�9��������� ����� �� ������ ���*� � F ���� ����>J

5������� ��� ������> L��' 6> (556> ��' $5<5:'

C,3D �����> E' +'> * ������������� �����(� )�����%�> ��'�' ���������> ������� �

�� !� ��� �� ��������> F�%����� �� ���0��> �� ��> �A> (53,'

C,:D -����> �' �� )�����> ' +'> 5������ ������%���- D�� �����> � ����� �����>

7���> (5:"'

(,/