Faraday

Ley de Inducción de Faraday

EE-521 Propagación y Radiación Electromagnética I

Miguel Delgado León

MSc. Ing. Miguel Delgado León

Introducción


Hasta ahora conocemos para los campos electromagnéticos estáticos las siguientes ecuaciones:

0

( )( ) ( ) 0rE r E r

Electrostática

Magnetoestática

0( ) 0 ( ) ( )B r B r J r

Se observa que la electrostática y la magnetostática no tienen relación. Además conocemos también la fuerza electromagnética sobre una carga puntual q:

F q E v B

Faraday sospechaba que los campos E y B tenían alguna relación directa. Luego de muchas vicisitudes y muchos experimentos, en 1831 encontró una relación aunque no en situación estática. El siguiente experimento puede probar la ley de Faraday.

El circuito C1 y C están aislados eléctricamente más no magnéticamente

Ley de Faraday


Cuando se cierra el interruptor S del circuito 1, el amperímetro A1 registra una corriente I1 y cuando se abre S registra una corriente cero. El amperímetro del circuito C registra una corriente inducida cuando se abre S y cuando se cierra S.

Cuando se cierra S hay un cambio de flujo magnético de cero a un valor establecido. Cuando se abre S también hay un cambio de flujo de un valor establecido a cero.

Del experimento se observa que:

Cuando hay un cambio de flujo magnético aparece una corriente inducida en el circuito C. Matemáticamente expresamos:

0dd t

Aparece una corriente (inducida) en el circuito C

0dd t

No aparece corriente (inducida) en el circuito C

La corriente es producido por una tensión (inducida) . La ley de Faraday establece que:

.indI I

.ind

. (1)inddd t

Ley de Lenz y Ley de Faraday para circuitos estacionarios


El signo menos se explica con la ley de Lenz que dice “Cuando se produce un cambio en un sistema, el sistema responde oponiéndose”. Supongamos que el flujo magnético es creciente sobre una espira conductora del circuito C

ˆS

B n dS

0 0indd dd t d t

Si el flujo magnético crece, entonces:

Si la tensión inducida es negativa entonces (al igual que la corriente) es contrario al recorrido C

Los circuitos estacionarios son circuitos que no se mueven. Sabemos que el flujo magnético es:

ˆ( , )S

B r t n dS

y la tensión en un conductor filamental

( , )indC

E r t d r

Reemplazando en (1) tenemos:

ˆ( , ) ( , ) (2)C S

dE r t d r B r t n d Sd t

Es la ley de Faraday en función de los campo E y B en su forma integral. Para obtener está ley en su forma diferencial manipulamos (2) de la siguiente manera:

Forma diferencial de la ley de Faraday para circuitos estacionarios


( , ) ˆ( , )C S

B r tE r t d r n dSt

Aplicamos el teorema de Stokes al primer lado:

( , )ˆ ˆ( , )S S

B r tE r t n d S n dSt

El integrando del lado izquierdo debe ser igual al del lado derecho

( , )( , ) (3)B r tE r tt

Es la ley de Faraday puntual o en su forma diferencial.Una propiedad interesante es que el campo E depende de un potencial escalar y de un potencial vectorial

En efecto, como sabemosque reemplazando en (3) queda:

B A

( , ) ( , )( , ) A r t A r tE r tt t

o( , )( , ) 0A r tE r tt

Como ya sabemos “El rotacional de un gradiente es cero”, entonces, el término entre corchetes es un gradiente

( , )( , ) ( , )A r tE r t V r tt

Despejando el valor de E

( , )( , ) ( , ) (4)A r tE r t V r tt

Ley de inducción de Faraday para circuitos en movimiento


Podemos deducir la expresión mediante un ejemplo simple.

Ejemplo: Una varilla conductora de longitud l se desplaza con una velocidad constante v como se muestra en la figura, en medio de un campo uniforme (espacial y temporal) B. Determine la tensión inducida.

En el estado transitorio (cuando se inicia el movimiento) no hay campo eléctrico como se observa de la figura.

F q E v B qv B

La fuerza magnética sobre las cargas del conductor es:

La fuerza es hacia abajo, empuja las cargas positivas hacia abajo y a las cargas negativas hacia arriba. Este proceso continua hasta el estado estacionario.

En el estado estacionario no hay más desplazamiento de cargas eléctricas: El campo eléctrico producido por las cargas polarizadas produce una fuerza eléctrica sobre cada carga que compensa a la fuerza magnética

0 (5)F q E v B E v B

Ley de Faraday para circuitos en movimiento


El campo eléctrico es conservativo. En efecto, de (3) tenemos:

( , ) 0BE r tt

La diferencia de potencial entre los extremos de la varilla (punto 1 y 2) es:

2

2 11

V V E d r

2

2 11

V V v B d r

Reemplazando (5)

La diferencia de potencial entre los puntos 1 y 2 es la tensión inducida:

2

1

(6)ind v B d r

Este resultado puede generalizarse para cualquier circuito. En particular, el resultado para el problema es:

2 0

1

ˆ ˆˆindl

v B d r v x B z dy y vBl

Supongamos que la varilla conductora (que se desplaza con una velocidad) es cerrada y el campo magnético varia con el tiempo.

( , )indC

d v B r t d rd t

Entonces la tensión inducida será debido a la variación del flujo magnético y devido al movimiento del circuito. Así:

Sistema de referencia de Laboratorio y sistema de referencia móvil


( , ) ˆ ( , ) (7)indS C

B r t ndS v B r t d rt

El análisis hasta el momento es para el sistema de referencia de laboratorio, es decir, para el observador (sin prima) que mira como el circuito se mueve.

El observador (con prima) del sistema móvil es aquel que se mueve paralelo al circuito. Para el observador prima el circuito está estático (no se mueve), tiene velocidad cero. El observador del sistema móvil mide un campo eléctrico E’ mientras que el observador del sistema de laboratorio mide un campo E

La tensión inducida por el observador del sistema móvil es:

.' '( , ) ' (8)indC

E r t d r

Debe ser igual a (7). Es decir:

( , ) ˆ'( , ) '

( , )C S

C

B r tE r t d r n dSt

v B r t d r

La relación del campo eléctrico medido por el observador del sistema móvil y el observador de laboratorio es:

'( , ) ( , ) ( , ) (9)E r t E r t v B r t

Problemas


Problema 1 Generador de Faraday. Un disco metálico de radio a gira a una velocidad angular en medio de un campo magnético uniforme Bo como se muestra en la figura. Determine la tensión inducida entre los puntos a y b.

Problema 2 Una espira rectangular conductora se desplaza con una velocidad constante Vo de una corriente recta I (alejandose). Determine la tensión inducida en la espira.

Problema 3 Un anillo conductor delgado de radio medio a, conductividad g y sección transversal S es afectado por un campo magnético perpendicular al plano del anillo dado por B=Bo(1+kt). Calcular la corriente inducida y la tensión inducida.


Aplicación de la ley de Faraday en la mitigación de Campos magnéticos cerca de líneas de potencia

El autor ha desarrollado en estos días un trabajo de investigación que consiste en aplicar la ley de Faraday para mitigar campos magnéticos en una línea de transmisión de potencia.Referencias:

A.R. Memari and W. Janischewskyj, Mitigation of Magnetic Field near Power Lines IEEE Trans PWD July 1996K. Yamazaki T Kawamoto and H Fujinami Requirements for Power Line Magnetic Field Mitigation Usin a Passive Loop Conductor IEEE Trans PWD April 2000

Campos electromagnéticos casi estáticos (CECE)


Cuando la variación temporal de los campos electromagnéticos es lenta, se puede aproximar a la electrostática y magnetostática.

Ecuaciones Diferenciales de los CECE

(10) ( , ) ( , ) .

(11) ( , ) 0 .

( , )(12) ( , )

(13) ( , ) ( , )

D r t r t L Gauss

B r t Gauss Magn

B r tE r t Faradayt

H r t J r t Ampere

Todos los materiales están caracterizados por su permeabilidad , permitividad y conductividad . Por ejemplo tenemos: g

70 0

:

, 5.8 10 . / .

cobre

y g S m

0 0

:, 80 4 . / .

agua de mary g S m

Las ecuaciones constitutivas son:

, , (14)D E B H J g E

Donde J no es fuente. En el curso vamos a considerar , y constantes. Las cuatro primeras ecuaciones se reducen a una sola ecuación diferencial. Así, aplicando rotacional a (13)

g

H J



Al primer lado se aplica la conocida identidad vectorial y al segundo lado la ley de Ohm (5), tenemos:

2H H gE g E

o 2 BH g

t

Llegamos a la E.D. para el campo H:

2 ( , )( , ) (15)H r tH r t gt

No es difícil demostrar que también se cumple para los campos E, B, D y J. Por ejemplo:

2 ( , )( , ) (16)E r tE r t gt

¿Cuándo se puede aplicar los campos electromagnéticos casi estáticos para los campos de variación temporal armónica?Si los campos varían con una frecuencia angular la dimensión máxima del circuito debe ser mucho menor que la longitud de onda

(17)máxd

Donde: f c c es la velocidad de la luz

f es la frecuencia en Hz 2 f

Ejemplo:Para una frecuencia de 10 kHz estimar la dimensión máxima de un circuito para aplicar los campos electromagnéticos cuasi estáticos



Solución: Calculamos primero la longitud de onda con f=c

3 810 10 3 10 30000 .m

La dimensión máxima del circuito debe ser mucho menor que 30 km

Ejemplo:Un campo eléctrico variable con el tiempo existe en el semiespacio z<0, es decir:

En el semiespacio z>0 se tiene un material no magnético de conductividad g. Si la frecuencia es baja, determine:

0ˆ cos 0( , )

0 0

x E t zE r t

z

a) La densidad de corriente J en el material

b) La profundidad de penetración

Solución a):

Solución b):

00.50 0ˆ( , ) cos 0.5g zJ z t x gE e t g z

0

1 .0.5

mg

EjemploCalcular la profundidad de penetración para el cobre a una frecuencia de 1 kHz

Inductancia


Se basa en los campos electromagnéticos casi estáticos (aproximación a la magnetostática).

En un circuito aislado que conduce una corriente, produce un flujo magnético, la ley de inducción de Faraday puede expresarse como:

. (18)indd d d Idt d I dt

Para un circuito estacionario el flujo magnético varia linealmente con la corriente

En efecto, supongamos que =kI, entonces d/dI=k. Se define la inductancia L o auto inductancia como:

(19)dL Henryd I I

Es decir, la inductancia propia o auto inductancia es el flujo que produce la corriente del circuito sobre el mismo circuito entre la corriente.

La inductancia mutua del circuito j sobre el circuito k Mjk se define como el flujo magnético debido a la corriente del circuito j sobre el circuito k jk entre la corriente del circuito j. Así:

(20)j kjk

j

M HenryI

Problemas de inductancia


Problema 01Encontrar la inductancia interna y externa de una línea de transmisión coaxial formada por dos conductores. El conductor interno tiene un radio a y el conductor externo es una cascara de radio b (b>a).

Problema 02Encontrar la inductancia interna y externa de una línea de transmisión bifilar (hilos paralelos).

Problema 03 (UC, Berkeley)Un circuito eléctrico (bobinado) rodea uniformemente a un toroide de 20 cm de radio, 5 cm2 de sección transversal y 10000 vueltas. El toroide es un material de r=1000. El circuito tiene una resistencia de 10 Encontrar el tiempo para que la corriente decae a un valor 1/e de su valor inicial cuando el circuito es cortocircuitado abruptamente.

Formula de Neumman


Ejemplo.Encontrar la inductancia mutua entre un hilo recto y una circunferencia como se muestra en la figura.

Como sabemos:

j kjk

j

M HenryI

El flujo magnético debido a la corriente del circuito j sobre la superficie del circuito k puede expresarse como:

ˆk

j k j k k kS

B n dS

El flujo magnético también puede expresarse como:

k

j k j k kC

A dr

El potencial vectorial magnético es:

0

4j

j jj k

jkC

I d rA

R

Combinando las dos últimas ecuaciones y la primera llegamos a la fórmula de Neumman

0 (21)4

j k

j kjk

jkC C

dr drM Henry

R

Faraday

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