Teoria das Eleições Fundamentos e Ensino da Álgebra 1 FACUL FACUL FACUL FACULDADE DE CIÊ DADE DE CIÊ DADE DE CIÊ DADE DE CIÊNCIAS E NCIAS E NCIAS E NCIAS E TECN TECN TECN TECNOLOGIA DA OLOGIA DA OLOGIA DA OLOGIA DA UNIVERSID NIVERSID NIVERSID NIVERSIDADE DE COIM ADE DE COIM ADE DE COIM ADE DE COIMBRA BRA BRA BRA DEPARTAMENT DEPARTAMENT DEPARTAMENT DEPARTAMENTO DE DE DE DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA MATEMÁTICA MATEMÁTICA Fundamentos e Ensino da Álgebra Teoria das Eleições Trabalho realizado por: Ana Margarida Tavares Gonçalves, n.º 985012361 Emília Sofia Martins Tavares Lopes, n.º 985012389 Rita Duarte Pimentel, n.º 985012431 Sofia Isabel da Fonseca Miranda, n.º 995011946 Coimbra, 31 de Outubro de 2002
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FACULFACULDADE DE CIÊDADE DE CIÊDADE DE CIÊNCIAS …mcag/FEA2003/Trabalho Completo.pdf · de candidatura para o certame agendado para o ano de 2004, apesar de ser quase consensual
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Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 1
FACULFACULFACULFACULDADE DE CIÊDADE DE CIÊDADE DE CIÊDADE DE CIÊNCIAS E NCIAS E NCIAS E NCIAS E
TECNTECNTECNTECNOLOGIA DAOLOGIA DAOLOGIA DAOLOGIA DA
UUUUNIVERSIDNIVERSIDNIVERSIDNIVERSIDADE DE COIMADE DE COIMADE DE COIMADE DE COIMBRABRABRABRA
Votar é expressar a nossa opinião! Num país democrático votamos em eleições
governamentais e presidenciais; numa universidade reivindicativa votamos em
assembleias magnas organizadas pela associação de estudantes; numa escola organizada
votamos no delegado de turma; e em família votamos no destino das próximas férias.
Como podemos verificar, são muitas as situações em que temos que votar. Isso acontece
porque não temos todos a mesma opinião.
Mas votar é a parte simples de uma eleição, a parte com a qual estamos mais
familiarizados. Como sugere Tom Stoppard, é a parte seguinte – a contagem – o
verdadeiro cerne do processo democrático. A verdadeira dificuldade está em através da
voz de votos individuais descobrir a voz colectiva do grupo. A teoria das eleições
pretende mostrar como fazer esse trabalho.
A maioria das pessoas ficará intrigada com a necessidade de existência de uma
teoria das eleições. Pensará que basta fazer a eleição, contar os votos e baseado nessa
contagem, decidir o resultado da eleição de uma maneira consistente e justa, crentes de
que existe um processo razoável de efectuar tudo isto. Mas surpreendentemente, não há!
O veredicto vai depender, tanto do procedimento de votação dos Senadores como do género de informação que estes têm e das estratégias e argumentos de votação.
Existem vários tipos de boletim de voto. Aqueles em que é pedido ao eleitor para
ordenar todos os candidatos pela sua preferência são chamados boletins de voto por
ordem de preferência. Neste capítulo iremos ilustrar todos os nossos exemplos usando
este formato de boletim. Embora o boletim de voto por ordem de preferência não seja a
forma mais comum, na realidade, é uma das melhores formas utilizadas visto que
permite ao eleitor expressar a sua opinião acerca do mérito de todos os candidatos.
Após a fase final do Campeonato da Europa que decorreu em Inglaterra
(EURO’96), Portugal sentiu que tinha competência para submeter à UEFA um processo
de candidatura para o certame agendado para o ano de 2004, apesar de ser quase
consensual que somente os tradicionais “Cinco Grandes” países europeus (Alemanha,
Espanha, França, Inglaterra e Itália) teriam capacidade para fornecer as infra-estruturas
necessárias para o evento. Junto com Portugal,
foram a Genebra (Suíça) depositar na UEFA o
“dossiê” de candidatura, a Espanha, a coligação
Hungria-Áustria e a Suíça. Passado pouco tempo
a Suíça desistiu da corrida, reduzindo para dois
os concorrentes da candidatura portuguesa.
Eram 16 as federações com assento e direito de voto nos órgãos da UEFA, as
quais tomariam a decisão. Suponhamos que os boletins de voto eram por ordem de
Exemplo 1.1
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 12
preferência, ou seja, tinham os três espaços para cada federação colocar, por ordem da
sua preferência, os países candidatos. Admitamos que a votação tinha sido a seguinte:
Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: Portugal
2º opção: Espanha
3º opção: Hungria-Áustria
1º opção: Hungria-Áustria
2º opção: Portugal
3º opção: Espanha
1º opção: Espanha
2º opção: Portugal
3º opção: Hungria-Áustria
Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: Espanha
2º opção: Hungria-Áustria
3º opção: Portugal
1º opção: Portugal
2º opção: Hungria-Áustria
3º opção: Espanha
1º opção: Hungria-Áustria
2º opção: Espanha
3º opção: Portugal
Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: Portugal
2º opção: Espanha
3º opção: Hungria-Áustria
1º opção: Espanha
2º opção: Portugal
3º opção: Hungria-Áustria
1º opção: Portugal
2º opção: Hungria-Áustria
3º opção: Espanha
Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: Espanha
2º opção: Portugal
3º opção: Hungria-Áustria
1º opção: Portugal
2º opção: Espanha
3º opção: Hungria-Áustria
1º opção: Portugal
2º opção: Espanha
3º opção: Hungria-Áustria
Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: Portugal
2º opção: Espanha
3º opção: Hungria-Áustria
1º opção: Portugal
2º opção: Espanha
3º opção: Hungria-Áustria
1º opção: Portugal
2º opção: Hungria-Áustria
3º opção: Espanha
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 13
Boletim de Voto
1º opção: Portugal
2º opção: Espanha
3º opção: Hungria-Áustria
Figura 1.1 – Os 16 boletins de voto por ordem de preferência para a eleição do país que organizará o EURO 2004
Analisando a Figura 1.1 verificamos que há muitas repetições entre os boletins
de voto preenchidos, ou seja, diferentes federações colocaram os candidatos
exactamente da mesma forma (Figura 1.2). Assim, uma forma lógica de organizar os
boletins é agrupar os que são iguais, e isso conduz-nos obviamente à tabela 1.2, que é
denominada lista de preferências. Esta é a forma mais simples e compacta de sumariar
as votações numa eleição baseada em boletins de voto por ordem de preferência.
0
2
4
6
8
Boletim tipo 1
Boletim tipo 2
Boletim tipo 3
Boletim tipo 4
Boletim tipo 5
Boletim tipo 6
Boletim tipo 1: Boletim tipo 2: Boletim tipo 3:
Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: Hungria-Áustria
2º opção: Portugal
3º opção: Espanha
1º opção: Hungria-Áustria
2º opção: Espanha
3º opção: Portugal
1º opção: Espanha
2º opção: Hungra-Áustria
3º opção: Portugal
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 14
Boletim tipo 4: Boletim tipo 5: Boletim tipo 6:
Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto
1º opção: Espanha
2º opção: Portugal
3º opção: Hungria-Áustria
1º opção: Portugal
2º opção: Hungria-Áustria
3º opção: Espanha
1º opção: Portugal
2º opção: Espanha
3º opção: Hungria-Áustria
Figura 1.2 – Boletins de voto da eleição do organizador oficial do EURO 2004 organizados num gráfico
Número de votos 6 4 3 1 1 1
1º opção Portugal Portugal Espanha Espanha Hungria
Áustria
Hungria
Áustria
2º opção Espanha Hungria
Áustria Portugal
Hungria
Áustria Portugal Espanha
3º opção Hungria
Áustria Espanha
Hungria
Áustria Portugal Espanha Espanha
Tabela 1.2
Existe um formato alternativo para os boletins de voto por ordem de preferência,
no qual o nome dos candidatos aparece no boletim por uma ordem aleatória e o eleitor
põe a seguir ao nome de cada candidato a sua preferência (1, 2,...).
Figura 1.3 – Exemplo de um boletim de voto da eleição do organizador oficial do EURO
2004 no formato habitual
Boletim de Voto
1º opção: __________
2º opção: __________
3º opção: __________
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 15
Figura 1.4 – Exemplo de um boletim de voto da eleição do organizador oficial do EURO
2004 no formato alternativo
Obviamente a lista de preferências terá outro aspecto. Por exemplo, a lista de
preferências apresentada na Tabela 1.2 toma o seguinte aspecto:
Número de votos 6 4 3 1 1 1
Espanha 2 3 1 1 3 2
Coligação Hungria-Áustria 3 2 3 2 1 1
Portugal 1 1 2 3 2 3
Tabela 1.3
22222222........22222222 TTTTTTTTRRRRRRRRAAAAAAAANNNNNNNNSSSSSSSSIIIIIIIITTTTTTTTIIIIIIIIVVVVVVVVIIIIIIIIDDDDDDDDAAAAAAAADDDDDDDDEEEEEEEE EEEEEEEE EEEEEEEELLLLLLLLIIIIIIIIMMMMMMMMIIIIIIIINNNNNNNNAAAAAAAAÇÇÇÇÇÇÇÇÃÃÃÃÃÃÃÃOOOOOOOO DDDDDDDDEEEEEEEE CCCCCCCCAAAAAAAANNNNNNNNDDDDDDDDIIIIIIIIDDDDDDDDAAAAAAAATTTTTTTTOOOOOOOOSSSSSSSS Há dois factos importantes que precisamos de reter quando trabalhamos com
boletins de voto por ordem de preferência. O primeiro é a transitividade da preferência
individual, isto é, se um eleitor prefere A a B e B a C, então segue-se automaticamente
que este eleitor prefere A a C. Uma consequência útil desta observação é: se quisermos
saber qual o candidato em que um eleitor quer votar, se decair a escolha entre apenas
dois candidatos, tudo o que temos que fazer é olhar e ver qual o candidato que está
situado mais acima no voto desse eleitor. Ilustramos este facto nas duas figuras
seguintes.
Boletim de Voto
Espanha: ___________
Hungria-Áustria: _____
Portugal: ___________
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 16
Figura 1.5 – Exemplo de um boletim de voto para a eleição do organizador oficial do
EURO 2004, supondo que a Suíça ainda não tinha desistido quando decorreu a votação
Suponhamos que depois dos boletins de voto estarem preenchidos a Suíça
desiste da competição. O boletim de voto anterior tomaria o seguinte aspecto:
Figura 1.6 – Transformação do boletim de voto da Figura 1.5 quando a Suíça desistiu da
candidatura
Verificamos assim que a posição relativa dos restantes candidatos não é
afectada: Portugal permanece na primeira opção, a Espanha move-se para a segunda, e a
coligação Hungria-Áustria move-se para a terceira. Ou seja, a preferência relativa de
um eleitor não é afectada pela eliminação de um ou mais candidatos.
Enquanto que uma pluralidade não implica uma maioria, uma maioria implica
uma pluralidade: Um candidato que tem mais de metade dos votos em primeiro lugar,
tem automaticamente mais votos em primeiro lugar do que qualquer outro candidato.
Assim, um candidato que tem a maioria dos votos em primeiro lugar é o vencedor no
método da pluralidade.
A noção de que ter a maioria dos votos em primeiro lugar garante a vitória numa
eleição faz sentido e é um importante requisito para uma eleição justa e democrática. De
facto, é suficientemente importante para ter um nome: o critério da maioria.
Critério da Maioria: Se numa eleição existe uma opção que tem a maioria dos votos em primeiro lugar, então essa opção deverá ser considerada a vencedora da eleição.
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 20
Como já verificamos, um candidato que tenha a maioria dos votos em primeiro
lugar será garantidamente o vencedor pelo método da pluralidade. Isto significa que o
método da pluralidade satisfaz o critério da maioria.
Em democracia continuamos a pensar no critério da maioria como uma dádiva.
Veremos brevemente que pode não ser o caso. Existem métodos importantes, e muito
utilizados, da teoria das eleições em que um candidato pode ter a maioria dos votos em
O método da pluralidade tem muitas falhas e é usualmente um método “pobre”
para escolher o vencedor de uma eleição, quando existem mais do que dois candidatos.
A sua principal fraqueza é não tomar em consideração as escolhas dos eleitores além da
primeira, o que pode conduzir a resultados eleitorais muito incorrectos.
Para entender este ponto consideremos o seguinte exemplo:
Os 150 alunos do 12º ano da Escola
Secundária Geral e Básica das
Laranjeiras decidiram organizar uma
viagem de finalistas. Foram
propostos para votação cinco destinos
distintos: Algarve, Benidorm, Lorett
del Mar, Madeira e Torremolinos. A
lista de preferências que fornece o
resultado da votação está exposta na
tabela seguinte:
Exemplo 1.3
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 21
Número de votos 72 70 8
1º opção Benidorm Torremolinos Lorett del Mar
2º opção Torremolinos Algarve Torremolinos
3º opção Lorett del Mar Madeira Algarve
4º opção Madeira Lorett del Mar Madeira
5º opção Algarve Benidorm Benidorm
Tabela 1.5
Se fosse utilizado o método da pluralidade o destino da viagem de finalistas seria
Benidorm, com 72 votos em primeiro lugar. Mas notemos que Torremolinos tem 70
votos em primeiro lugar e 80 em segundo. O senso comum diz-nos que Torremolinos é
uma melhor escolha para representar o desejo de todos os alunos. De facto, comparando
Torremolinos, par a par, com os outros destinos, ele é sempre a escolha favorita.
Vejamos, comparando Torremolinos com Benidorm temos 78 votos para Torremolinos
(70 da segunda coluna e 8 da terceira) contra 72 votos para Benidorm. Do mesmo
modo, comparando Torremolinos com Lorett del Mar resulta 142 votos para
Torremolinos (72 da primeira coluna e 70 da segunda) e 8 para Loreto del Mar.
Finalmente quando Torremolinos é comparado com qualquer um dos restantes destinos
obtém 150 votos.
Podemos agora sumariar o problema do Exemplo 1.3. Embora Torremolinos
vença na disputa par a par com qualquer outra opção, o método da pluralidade não o
escolhe para vencedor. Na linguagem de teoria das eleições, dizemos que o método da
pluralidade viola uma exigência básica de justiça designada por Critério de Condorcet.
Um candidato que vence todos os confrontos quando comparado par a par com
os outros é chamado um candidato Condorcet. O critério de Condorcet diz,
Critério de Condorcet: Se houver uma opção, a qual quando comparada par a par é sempre preferida pelos eleitores, então essa opção deverá ser considerada a vencedora da eleição.
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 22
simplesmente, que quando há um candidato Condorcet esse deverá ser o vencedor da
eleição. É claro que pode não haver um candidato Condorcet na eleição, nesse caso o
critério de Condorcet não se aplica.
Antes de continuarmos, vamos esclarecer o significado de algumas das
terminologias que acabamos de introduzir. Quando dizemos que o método da
pluralidade viola o critério de Condorcet, significa que é possível encontrar exemplos de
eleições em que um candidato vence todos os confrontos par a par, e pelo método da
pluralidade perde a eleição. A eleição da viagem de finalistas é um exemplo. Não
devemos concluir, todavia, que o problema ocorre em todas as eleições.
Condorcet também descreveu outro critério que ficou conhecido pelo Critério
Perdedor de Condorcet. Nesse critério ele afirmava que, se existe uma alternativa que
perde no confronto par a par com qualquer outra, então essa alternativa não deve ser a
vencedora da eleição.
Ainda neste contexto, existe outro critério não tão conhecido, o qual se
denomina Critério de Pareto e afirma que: se todos os eleitores preferirem uma
alternativa X a uma alternativa Y, então um método de votação não deve escolher Y
para vencedor.
Vamos concluir esta secção examinando outra fraqueza do método da
pluralidade: a facilidade com que uma votação estratégica pode afectar os resultados
de uma eleição. Uma votação é chamada estratégica quando um eleitor muda a
verdadeira ordem das suas preferências no boletim de voto, com o objectivo de
influenciar o resultado da eleição contra um certo candidato (este voto é chamado um
voto estratégico). No mundo real o voto estratégico pode ter consequências sérias e
inesperadas.
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 23
No ano de 2000 verificava-se uma situação muito particular no parlamento: 115
deputados pertenciam ao partido do Governo e os outros 115 à oposição.
Nesse mesmo ano, José Daniel Rosas
Campelo da Rocha era deputado nas listas do
CDS/PP (partido da oposição), pelo círculo de
Viana do Castelo.
Daniel Campelo é um defensor dos
interesses do seu conselho, como prova disso fez
greve de fome durante duas semana – nos próprios corredores da Assembleia da
República – em protesto contra a decisão do Governo de transferir a fábrica de queijo
Limiano para Vale de Cambra.
Em Novembro decorreu a votação para o Orçamento de Estado
de 2001. Habitualmente neste género de votações os deputados estão
obrigatoriamente sujeitos à disciplina partidária. E se assim
acontecesse, como a oposição pretendia votar contra, o Orçamento não passaria. Mas
Daniel Campelo acordou com o Governo que se absteria se fossem concedidos alguns
benefícios para a sua região (tais como, a construção de várias estradas e vias rápidas,
investimentos nos portos e no sector da saúde, apoios à construção de uma nova fábrica
de queijo Limiano). Deste modo o Governo teria a maioria e o Orçamento de Estado
passaria. Assim foi. Em troca de alguns benefícios regionais foi aprovado um
Orçamento que diz respeito ao país inteiro!
Como Daniel Campelo pertencia ao CDS/PP deduzimos que concordava com os
princípios desse mesmo partido, ou seja, seguindo as suas crenças votaria contra o
Orçamento de Estado. Isto significa que ele alterou o seu voto para influenciar o
resultado da eleição, ou seja, fez uma votação estratégica.
Vamos ilustrar no exemplo que se segue o principal problema do método da
pluralidade com eliminação.
Bastante tempo antes de se realizarem os Jogos
Olímpicos é necessário escolher qual a cidade onde
decorrerão. Essa é uma eleição que levanta muitas
controvérsias pois provoca grandes alterações no
desenvolvimento da cidade, quer a nível económico
quer a nível político. Os eleitores são os membros do Comité Olímpico Internacional e o
método actualmente utilizado é o método da pluralidade com eliminação com uma
pequena alteração. Essa alteração diz respeito ao facto de que cada eleitor apresenta as
suas preferências em cada ronda em vez de as mostrar ordenadas, todas de uma vez.
Para os Jogos Olímpicos de Verão 2000 concorreram cinco cidades: Beijing
(China), Berlim (Alemanha), Istambul (Turquia), Manchester (Inglaterra) e Sydney
(Austrália); e eram 89 os membros do Comité Internacional Olímpico. Neste exemplo,
para simplificar, vamos supor que concorreram apenas três cidades: Beijing, Manchester
e Sydney, as quais representaremos por B, M e S, respectivamente; e que os membros
do Comité eram apenas 29. Além disso, vamos utilizar o método da pluralidade com
eliminação sem a pequena alteração utilizada na realidade.
Suponhamos que dois dias antes da eleição efectuou-se uma eleição teste apenas
para analisar as tendências da votação. Os resultados dessa eleição são apresentados na
tabela seguinte:
Exemplo 1.12
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 38
Tabela 1.24
Utilizando o método da pluralidade com eliminação verificaremos quem será o
vencedor desta eleição teste.
1º passo
Tabela 1.25
Sydney é a cidade com menos votos em primeiro lugar, ou seja, será eliminada.
2º passo
Como Sydney foi eliminada os 8 votos que no primeiro passo lhe pertenciam
passam para Beijing. Temos então,
Tabela 1.26
Encontramos um candidato com a maioria dos votos em primeiro lugar: Beijing
é a cidade vencedora desta eleição teste.
Os resultados deste tipo de votação são secretos mas, infelizmente na maioria
dos casos, acabam por se tornar públicos. Admitamos que foi esse o caso. Isso
Número de votos 7 8 10 4
1º opção M S B M
2º opção S B M B
3º opção B M S S
Candidatos B M S
Número de votos em primeiro lugar 10 11 8
Candidatos B M S
Número de votos em primeiro lugar 18 11
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 39
influenciará alguns eleitores a alterar a sua tendência de voto. Suponhamos que os 4
eleitores da última coluna da tabela 1.24 decidem alterar os seus votos, pondo em
primeiro lugar Beijing em vez de Manchester.
No dia 23 de Setembro de 1993, em Monte Carlo, decorreu a votação oficial
para escolher a cidade que organizará os Jogos Olímpicos de Verão 2000.
Os resultados da eleição são os apresentados na tabela seguinte:
Tabela 1.27
Vamos aplicar o método da pluralidade com eliminação aos resultados
apresentados nesta tabela:
1º passo
Tabela 1.28
Manchester é a cidade com menos votos em primeiro lugar logo será eliminada.
2º passo
Sendo Manchester eliminada, os 7 votos que lhe pertenciam passam para
Sydney. Originando uma nova tabela.
Tabela 1.29
Número de votos 7 8 14
1º opção M S B
2º opção S B M
3º opção B M S
Candidatos B M S
Número de votos em primeiro lugar 14 7 8
Candidatos B M S
Número de votos em primeiro lugar 14 15
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 40
Sydney é a cidade vencedora da eleição pois é a que tem mais votos em primeiro
lugar.
É um facto bastante estranho não ser Beijing a
vencedora. Se repararmos a única alteração que ocorreu
da eleição teste para esta foi alguns eleitores alterarem
Beijing de segunda para primeira preferência. Em
princípio isso deveria favorecer Beijing. Obviamente os
habitantes de Beijing revoltaram-se, pensando ser uma
falcatrua de Sydney.
Mas o que acontece é que esta é uma falha deste método. O método da
pluralidade com eliminação viola o critério da monotonia.
Além disso o método da pluralidade com eliminação também viola o critério de
Condorcet como podemos conferir no seguinte exemplo:
A Federação Portuguesa de Voleibol
(FPV) fez eleições para escolher a sua futura
direcção. Concorreram ao cargo cinco listas:
A, B, C, D e E, as quais eram lideradas por
Manuela Brandão, Vicente Araújo, Carlos
Ribeiro, Pedro Amaral e Rui Valadas,
respectivamente. Representaremos cada lista
Critério da Monotonia: Se a opção X vence uma eleição e numa reeleição as únicas alterações, nas preferências dos eleitores, são a favor de X, então X deve permanecer o vencedor da eleição.
Exemplo 1.13
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 41
pela letra que lhe corresponde. Os eleitores foram as 30 associações de cada região. O
resultado da eleição é apresentado na tabela que se segue:
Tabela 1.30
Verifiquemos quem é o vencedor da eleição utilizando o método da pluralidade
com eliminação.
1º passo
Tabela 1.31
A lista E tem menos votos em primeiro lugar que qualquer outra, logo será
eliminada.
2º passo
Como a lista E foi eliminada, os 3 votos que lhe foram atribuídos passam para a
lista A.
Tabela 1.32
Número de votos 10 8 5 4 3
1º opção A D B C E
2º opção C C C B A
3º opção B B D D C
4º opção D E A E B
5º opção E A E A D
Candidatos A B C D E
Número de votos em primeiro lugar 10 5 4 8 3
Candidatos A B C D E
Número de votos em primeiro lugar 13 5 4 8
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 42
A lista C é que será eliminada neste passo.
3º passo
Como a lista C foi eliminada os 4 votos que lhe pertenciam passam para a
lista B.
Tabela 1.33
Agora a lista D será eliminada.
4º passo
Como a lista D foi eliminada os seus votos passam para a lista B.
Tabela 1.34
Finalmente concluímos que a vencedora da eleição é a lista B liderada por
Vicente Araújo.
Verifiquemos, por outro lado, que a lista C é um candidato de Condorcet.
Realmente, temos que C comparada com A tem 17 votos contra 13; comparado com B
tem 25 contra 5; comparado com D tem 22 contra 8; e comparado com E tem 27 contra
3. Então a lista C é um candidato de Condorcet e não é o vencedor da eleição. Isto
significa que o método da pluralidade com eliminação viola o critério de Condorcet.
À parte dessas falhas, o método da pluralidade com eliminação é usado em
muitas situações do mundo real, principalmente em eleições com um número reduzido
de candidatos (geralmente três ou quatro, raramente mais do que seis).
Candidatos A B C D E
Número de votos em primeiro lugar 13 9 8
Candidatos A B C D E
Número de votos em primeiro lugar 13 17
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 43
Existem algumas variações do método da pluralidade com eliminação, por
exemplo, o método da pluralidade com runoff e o método de Coombs.
O método da pluralidade com runoff funciona como o método da pluralidade
com eliminação, distinguindo-se apenas no facto de que todos os candidatos, excepto os
dois que têm o maior número de votos em primeiro lugar, são eliminados no primeiro
passo.
Vamos utilizar o exemplo do Big Brother Famosos para
mostrar como funciona o método da pluralidade com runoff.
1º passo
Relembremos a lista de preferências:
Tabela 1.35
Como nenhum candidato tem uma maioria, vamos eliminar os três candidatos
com menos votos em primeiro lugar, porque pretendemos permanecer, apenas, com os
dois candidatos com mais votos em primeiro lugar. Ou seja, vamos eliminar os
candidatos C, R e S. Obtemos a tabela seguinte:
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção F J C R S S
2º opção R S J C J C
3º opção S R S S R R
4º opção C C R J C J
5º opção J F F F F F
Exemplo 1.14
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 44
2º passo
Número de votos 18000 37000
1º opção F J
2º opção J F
Tabela 1.36
Agora o João tem a maioria dos votos em primeiro lugar,
logo é ele que será afastado do concurso.
Quanto ao método de Coombs também se aplica como o método da pluralidade
com eliminação, mas em vez de em cada etapa eliminar o candidato com menos votos
em primeiro lugar, elimina aquele que está em último lugar o maior número de vezes.
Vamos, novamente, utilizar o exemplo do Big Brother Famosos
para mostrar como funciona o método de Coombs.
1º Passo
Relembremos a lista de preferências:
Tabela 1.37
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção F J C R S S
2º opção R S J C J C
3º opção S R S S R R
4º opção C C R J C J
5º opção J F F F F F
Exemplo 1.15
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 45
Como nenhum candidato tem mais que metade dos votos em primeiro lugar,
vamos averiguar o número de votos em último lugar de cada concorrente.
Verificámos que o Francisco é quem aparece mais vezes em último lugar (em
37000 boletins contra o João que aparece nos restantes), então será eliminado.
2º Passo
A lista de preferências é, obviamente, modificada.
Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000
1º opção R J C R S S
2º opção S S J C J C
3º opção C R S S R R
4º opção J C R J C J
Tabela 1.38
Novamente, nenhum candidato tem a maioria dos votos em primeiro lugar,
vamos ter que recontar os votos.
O João tem 13000 votos em último lugar, o Carlos tem 16000, o Ricky tem
10000 e a Sónia não tem votos em último lugar. O que significa que o Carlos é que será
eliminado.
3º Passo
Obtemos a seguinte lista de preferências:
Número de votos 27000 22000 4000 2000
1º opção R J S S
2º opção S S J R
3º opção J R R J
Tabela 1.39
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 46
Como anteriormente, nenhum candidato tem uma maioria de votos em primeiro
lugar, por isso vamos proceder como nos outros passos.
O João tem 29000 votos em último lugar e o Ricky 26000. A Sónia continua a
não ter nenhum. Então o João é que será eliminado.
4º Passo
Obtemos uma nova lista de preferências:
Número de votos 27000 28000
1º opção R S
2º opção S R
Tabela 1.40
Finalmente, a Sónia tem 28000 votos em primeiro lugar, ou
seja, uma maioria (mais que 27500). Isso significa que ela é que
será o próximo famoso a abandonar a casa Big Brother.
Infelizmente, apesar de obedecer aos critérios mencionados anteriormente, este
método não está livre de falhas.
O próximo exemplo ilustra a mais grave.
Os membros de uma turma de 22 alunos
pretendem eleger o delegado de turma. Há cinco
alunos dessa turma que se candidataram ao lugar: a
Ana (A), o Bruno (B), a Carolina (C), o Daniel (D) e
o Ernesto (E). A professora acordou com os alunos
que o método de eleição a ser usado seria o método
das comparações par a par.
A tabela seguinte apresenta a lista das preferências:
Número de
votos 2 6 4 1 1 4 4
1ª opção A B B C C D E
2º opção D A A B D A C
3ª opção C C D A A E D
4ª opção B D E D B C B
5ª opção E E C E E B A
Tabela 1.44
Exemplo 1.17
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 52
As comparações par a par são:
A versus B: (2+1+4) = 7 votos para (6+4+1+4) = 15
B vence e obtém 1 ponto.
A versus C: (2+6+4+4) = 16 votos para (1+1+4) = 6
A vence e obtém 1 ponto.
A versus D: (2+6+4+1) = 13 votos para (1+4+4) = 9
A vence e obtém 1 ponto.
A versus E: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4
A vence e obtém 1 ponto.
B versus C: (6+4) = 10 votos para (2+1+1+4+4) = 12
C vence e obtém 1 ponto.
B versus D: (6+4+1) = 11 votos para (2+1+4+4) = 11
B e D empatam. B obtém ½ ponto e D obtém ½ ponto.
B versus E: (2+6+4+1+1) = 14 votos para (4+4) = 8
B vence e obtém 1 ponto.
C versus D: (6+1+1+4) = 12 votos para (2+4+4) =10
C vence e obtém 1 ponto.
C versus E: (2+6+1+1) = 10 votos para (4+4+4) = 12
E vence e obtém 1 ponto.
D versus E: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4
D vence e ganha 1 ponto.
Resultados obtidos após a contagem dos pontos:
Ana 3 pontos
Bruno 2 + ½ pontos
Carolina 2 pontos
Daniel 1+ ½ pontos
Ernesto 1 ponto
Tabela 1.45
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 53
Conclusão: o vencedor é a Ana!
Mas, entretanto, a Carolina anunciou que já não se queria candidatar porque ia
mudar de residência e pedir transferência para outra escola.
Será que este facto afectará de algum modo o resultado da eleição?
Suponhamos que o candidato C é eliminado da eleição original e que o método
de comparação par a par volta a ser aplicado. Então, os resultados obtidos são os que a
tabela seguinte apresenta:
Número de
Votos 2 6 4 1 1 4 4
1ª escolha A B B B D D E
2º escolha D A A A A A D
3ª escolha B D D D B E B
4ª escolha E E E E E B A
Tabela 1.46
As comparações par a par são:
A versus B: (2+1+4) = 7 votos para (6+4+1+4) = 15
B vence e obtém 1 ponto.
A versus D: (2+6+4+1) = 13 votos para (1+4+4) = 9
A vence e obtém 1 ponto.
A versus E: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4
A vence e obtém 1 ponto.
B versus D: (6+4+1) = 11 votos para (2+1+4+4) = 11
B e D empatam. B obtém ½ ponto e D obtém ½ ponto.
B versus E: (2+6+4+1+1) = 14 votos para (4+4) = 8
B vence e obtém 1 ponto.
D versus E: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4
D vence e ganha 1 ponto.
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 54
Resultados obtidos na nova eleição:
Ana 2 pontos
Bruno 2 + ½ pontos
Daniel 1+ ½ pontos
Ernesto 0 pontos
Tabela 1.47
Conclusão: O vencedor é o Bruno e não a Ana!
Assim, este exemplo demonstra que, apesar de satisfazer os Critérios de Justiça
já referidos, o Método da Comparação Par a Par viola um requisito básico de justiça,
conhecido como Critério da Independência de Alternativas Irrelevantes.
Outra falha deste método é o facto de poder conduzir a resultados em que todos
os candidatos são vencedores, isto é, há um empate generalizado.
Um grupo de 11 professores de matemática de uma escola
reuniu-se para decidir qual o manual escolar que iria ser utilizado nas
aulas de matemática do 10º ano, no ano lectivo que estava a começar. As
preferências dos professores dividiam-se entre 3 manuais distintos:
Infinito (I)
A solução (S)
Xeq Mat (X)
Critério da Independência de Alternativas Irrelevantes: Se um candidato X é o vencedor de uma eleição e um ou mais dos outros candidatos é removido da eleição e os boletins de voto são contados de novo, então X deve continuar a ser o vencedor da eleição.
Exemplo 1.18
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 55
Portanto, para tomarem uma decisão, os professores decidiram fazer uma
votação e eleger o manual, utilizando o método da comparação par a par.
A tabela seguinte mostra os resultados obtidos e a ordem de preferências:
Número de Votos 4 2 5
1ª opção manual I manual S manual X
2ª opção manual S manual X manual I
3ª opção manual X manual I manual S
Tabela 1.48
Comparações par a par:
I versus S: (4 + 5) = 9 votos para 2
I vence e obtém 1 ponto.
I versus X: 4 votos para (2 + 5) = 7
X vence e obtém 1 ponto.
S versus X: (4 + 2) = 6 votos para 5
S vence e obtém 1 ponto.
Resultados após a contagem dos votos:
manual I 1 ponto
manual S 1 ponto
manual X 1 ponto
Tabela 1.49
Conclusão: Os candidatos estão todos empatados!!!
Como é óbvio, neste caso não é possível nem razoável considerar os 3
candidatos vencedores. Geralmente não existe um procedimento fixo para desempatar
mas na prática é importante preestabelecer regras para desempatar, caso seja necessário.
Vamos então introduzir a primeira interpretação matemática de poder nos
sistemas de votação ponderada. Esta definição de poder foi sugerida por John Banzahf
em 1965.
Analisemos o exemplo 3.8 com mais pormenor de modo a introduzir conceitos
importantes. Que conjuntos de jogadores podem reunir forças e, votando juntos,
conseguir a aprovação de uma moção? Olhando para os números, verificamos que
existem quatro conjuntos nestas condições:
P1 e P2 (197 votos);
P1 e P3 (102 votos);
P2 e P3 (101 votos);
P1, P2 e P3 (200 votos, a totalidade dos votos)
A partir deste momento vamos aderir à linguagem standard da teoria de eleições
e chamar, a todo o conjunto de jogadores que unam forças, para votar em conjunto, uma
coligação (usamos também a expressão ‘coligação‘ para conjuntos de um só elemento).
Ao número total de votos controlados por uma coligação chamamos peso da coligação.
Claro está que algumas coligações têm votos suficientes para ganhar outras não.
Naturalmente, chamamos às primeiras coligações vencedoras e às últimas coligações
perdedoras. Uma coligação formada por todos os jogadores chama-se a grande
coligação.
A melhor maneira de descrever as coligações matematicamente é usando
notação de conjuntos. Por exemplo, a coligação formada pelos jogadores P1 e P2 pode
ser escrita como o conjunto {P1, P2}.
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 83
Continuemos a analisar o exemplo 3.8:
Coligação Peso da coligação Vence ou perde
{P1} 99 Perde
{P2} 98 Perde
{P3} 3 Perde
{P1, P2} 197 Ganha
{P1, P3} 102 Ganha
{P2, P3} 101 Ganha
{P1, P2, P3} 200 Ganha
Tabela 3.2
Observando as coligações vencedoras na tabela acima, concluímos que nas
coligações {P1, P2}, {P1, P3}, {P2, P3} os dois jogadores são necessários para a
coligação ter votos suficientes para ganhar. Isto já não se verifica na coligação {P1, P2,
P3}, em que qualquer jogador pode abandonar a coligação sem que esta deixe de ser
vencedora.
Chamamos então, aos jogadores cuja deserção de uma coligação vencedora a
transformam em perdedora, jogadores críticos. Note-se que uma coligação vencedora
pode ter mais do que um jogador crítico enquanto que uma coligação perdedora não tem
um único jogador crítico. O conceito do jogador crítico é a base da definição do Índice
de Poder Banzhaf. A ideia chave é que o poder de um jogador é proporcional ao número
de coligações em que esse jogador é crítico. Quanto mais vezes um jogador é crítico
maior poder detém.
No exemplo 3.8 cada jogador é crítico duas vezes, assim todos têm o mesmo
poder. Cada jogador tem um terço de poder.
Podemos agora formalizar a nossa abordagem para encontrar o índice de poder
Banzhaf de qualquer jogador, num sistema de votação ponderada genérico com N
jogadores.
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 84
DETERMINAÇÃO DO INDÍCE DE PODER BANZHAF DE UM JOGADOR P:
Passo 1: Fazer uma lista de todas as coligações possíveis.
Passo 2: Determinar quais as coligações vencedoras.
Passo3: Em cada coligação vencedora identificar os jogadores críticos.
Passo 4: Contar o número de vezes que o jogador P é crítico (chamemos a este
número B)
Passo 5: Contar o número total de vezes que todos os jogadores são críticos. (Seja
este número T)
O Índice de poder de Banzhaf do jogador P é dado pela fracção T
B!
Tabela 3.3
Dias e filhos é uma empresa familiar. Três gerações de Dias (Afonso I, Afonso
II, Afonso III) estão envolvidas na sua gerência. No que toca a decisões, o Afonso I tem
três votos, o Afonso II tem dois votos e o Afonso III um voto. Uma maioria de quatro
votos é necessária para aprovar uma moção. Como está distribuído o poder pelas três
gerações?
Estamos na presença de um sistema votação ponderada
[4: 3, 2, 1]. Vamos seguir os passos acima referidos para determinar
o Índice de Poder Banzahf dos três jogadores (usamos P1, P2 e P3
para denotar respectivamente o Afonso I, o Afonso II e o
Afonso III).
Empresa Dias & Filhos
Exemplo 3.9
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 85
Passo 1 – Existem 7 coligações possíveis:
{P1}, {P2}, {P3}, {P1, P2},
{P1, P3}, {P2, P3}, {P1, P2, P3}.
Passo 2 – As coligações vencedoras são: {P1, P2}; {P1, P3} e {P1, P2, P3}.
Passo 3
Coligação Vencedora Jogadores críticos
{P1, P2} P1 e P2
{P1, P3} P1 e P3
{P1, P2, P3} P1
Tabela 3.4
Passo 4
P1 é crítico 3 vezes.
P2 e P3 são críticos 1 vez.
O índice de poder Banzhaf de cada jogador é:
P1: 5
3;
P2: 5
1 ;
P3: 5
1 .
Vamos referir a lista completa dos índices de poder como a distribuição de poder
Banzhaf de um sistema de votação ponderada. É comum escrever índices de poder
como percentagens.
Em percentagem a distribuição de poder do exemplo 3.9 é:
P1: 60%;
P2: 20%;
P3: 20%.
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 86
Uma das decisões mais importantes de uma equipa de hóquei
é escolher os seus jogadores. Em muitos casos a decisão é tomada
através de um sistema de votação ponderada. Tomemos, como
exemplo, a equipa do hóquei de Barcelos. No seu sistema, o treinador (T) tem quatro
votos, o presidente do clube (P) três votos, o treinador adjunto (TA) dois votos e a
equipa médica (EM) um voto. Dos dez votos, é necessária uma maioria de seis para
requisitar um jogador. Basicamente estamos perante um sistema de votação ponderada
[6: 4, 3, 2, 1]. Vamos então encontrar a distribuição de poder Banzhaf neste sistema de
votação ponderada. Na tabela estão as quinze coligações possíveis, e em cada coligação
vencedora estão sublinhados os jogadores críticos.
Coligação Peso da coligação Vence ou perde
{T} 4 Perde
{P} 3 Perde
{TA} 2 Perde
{EM} 1 Perde
{T, P} 7 Ganha
{T, TA} 6 Ganha
{T, EM} 5 Perde
{P, TA} 5 Perde
{P, EM} 4 Perde
{TA, EM} 3 Perde
{T, P, TA} 9 Ganha
{T, P, EM} 8 Ganha
{T, TA, EM} 7 Ganha
{P, TA, EM} 6 Ganha
{T, P, TA, EM} 10 Ganha
Tabela 3.5
Exemplo 3.10
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 87
Só temos agora que contar o número de vezes que cada jogador está sublinhado
e dividi-lo pelo número total de jogadores sublinhados. A distribuição de poder Banzhaf
é:
T: 12
5 ⇒ 42%;
P: 12
3 ⇒ 25%;
TA: 12
3 ⇒ 25%;
EM: 12
1 ⇒ 8%.
Note-se que a soma dos índices de poder é sempre igual a um. Este facto é útil
para confirmar os cálculos.
Para N jogadores quantas coligações podem ser formadas?
Com excepção do conjunto vazio, todo o subconjunto do conjunto dos jogadores
pode ser identificado como uma coligação. Isto significa que podemos saber o número
total de coligações, subtraindo ao número de subconjuntos do conjunto dos jogadores
uma unidade. Em termos matemáticos:
N
N
+
−
N
N 1
+ … +
N
1
+
N
0
- 1 = 2 N -1
Número total de subconjuntos de um conjunto com N elementos
Conjunto Vazio
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 88
O conselho executivo de uma escola tem cinco membros:
presidente, vice-presidente e três secretários. No que toca a votar
qualquer acção disciplinar, o presidente (P) tem três votos, o vice-
presidente (VC) 2 votos e os três secretários têm um voto cada (S1,
S2, S3). São necessários cinco votos para aprovar uma moção. Descrevemos então do
seguinte modo este sistema de votação ponderada: [5: 3, 2,1, 1, 1, 1].
Sabemos agora que o número total de coligações será,
25 – 1 = 31.
Na tabela seguinte apresentam-se apenas as coligações vencedoras e em cada
uma encontram-se sublinhados os jogadores críticos:
Coligação vencedora
{P, VP}
{P, VP, S1}
{P, VP, S2}
{P, VP, S3}
{P, S1, S2}
{P, S1, S3}
{P, S2, S3}
{P, VP, S1, S2}
{P, VP, S1, S3}
{P, VP, S2, S3}
{P, S1, S2, S3}
{VP, S1, S2, S3}
{P, VP, S1, S2, S3}
Tabela 3.6
Exemplo 3.11
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 89
A distribuição de poder Banzhaf neste sistema de votação ponderada é:
P: 25
11 ⇒ 44%
VP: 25
5 ⇒ 20%
S1, S2, S3: 25
3 ⇒ 12%
3.13.13.13.1 AAAAPLICAÇÕES DO PLICAÇÕES DO PLICAÇÕES DO PLICAÇÕES DO ÍÍÍÍNDICE DE NDICE DE NDICE DE NDICE DE PPPPODER DE ODER DE ODER DE ODER DE BBBBANZHAFANZHAFANZHAFANZHAF
Jonh Banzhaf introduziu primeiramente o índice de poder em 1965, numa
análise sobre como o poder estava distribuído na Comissão de Supervisores do
Concelho de Nassau, em Nova York. Apesar de ser advogado, foi a sua análise
matemática que providenciou uma base legal para uma série de casos de tribunal,
envolvendo as matemáticas dos processos de voto.
O Concelho de Nassau estava dividido em seis distritos diferentes e, com dados
populacionais recolhidos no ano de 1964, havia 115 votos no total dos distritos. A
tabela que se segue mostra os votos distribuídos pelos distritos:
Distrito Votos em 1964
Hempstead #1 31
Hempstead #2 31
Oyster Bay 28
North Hempstead 21
Long Beach 2
Glen Cove 2
Tabela 3.7 - Votos por Distrito no Concelho de Nassau
Observa-se que são necessários 58 votos para passar a moção.
Com efeito, a Comissão de Supervisores do Concelho de Nassau, funcionou com
o sistema de voto ponderado [58: 31, 31, 28, 21, 2, 2]. Desta forma todo o poder estava
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 90
concentrado nas mãos dos três primeiros distritos. De facto, não era possível nenhuma
coligação vencedora sem dois dos três primeiros, e desde que quaisquer dois dos três
primeiros formassem uma coligação vencedora, nenhum dos últimos três poderia
alguma vez ser jogador crítico.
Nesta Comissão de Concelho havia três membros (Hempstead #1, Hempstead
#2, Oyster Bay) cada um com um terço do poder e, outros três (North Hempstead, Long
Beach, Glen Cove) sem nenhum poder.
O CONCELHO DE SEGURANÇA DAS NAÇÕES UNIDAS é
um exemplo de voto ponderado. Ele consiste em 15 nações
votantes – 5 delas são membros permanentes – Reino Unido,
China, França, Rússia e E.U.A; as outras 10 nações são
membros não permanentes eleitos por um período de dois
anos numa base rotativa. Para passar uma moção no concelho de segurança é requerido
um voto positivo de cada um dos membros permanentes (dando efectivamente a cada
membro permanente o poder de veto) mais um voto positivo de pelo menos quatro dos
dez membros não permanentes. Desta forma a coligação vencedora consiste nos cinco
membros permanentes e quatro ou mais membros não permanentes. Temos:
4
10= 210
coligações com 5 membros permanentes e exactamente 4 membros não permanentes, e
5
10+
6
10+
7
10+
8
10+
9
10+
10
10= 638
coligações com 5 membros permanentes e mais de 4 membros não permanentes.
Há um total de
4
10 +
5
10+
6
10+
7
10+
8
10+
9
10+
10
10= 210+ 638= 848
coligações com 5 membros permanentes e 4 ou mais membros não permanentes.
Exemplos
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 91
Qual o índice de poder de um membro permanente nestas coligações?
Ora, em cada uma destas coligações cada membro permanente é crítico, pois tem
poder de veto.
Numa coligação com 9 elementos um membro não permanente é critico em
3
9= 84
coligações, pois neste caso fixamos os 5 permanentes e o não permanente é
considerado como crítico. Nas coligações com 10 ou mais elementos um membro não
permanente nunca é crítico.
Sendo assim o poder de cada membro permanente é
84108485
848
×+× =
5080
848 = 0,167.
O poder de um membro não permanente é
84108485
84
×+× =
5080
84 = 0,0167.
Repare-se na discrepância de poder entre membros permanentes e não
permanentes: aproximadamente 16,7% e 1,65%, respectivamente. Um membro
permanente tem cerca de dez vezes mais poder do que um membro não permanente.
Seria intenção do decreto das Nações Unidas ou talvez um erro de cálculo baseado na
falta de conhecimento da matemática dos votos ponderados?
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 92
O COLÉGIO ELEITORAL.
O Presidente dos E.U.A é escolhido usando uma instituição chamada de Colégio
Eleitoral. Na escolha do presidente é permitido a cada estado ganhar um certo número
de votos, igual ao total de membros do congresso (Senadores e Representantes) desse
estado. Os votos são distribuídos por indivíduos chamados eleitores, que são escolhidos
para representantes dos cidadãos dos respectivos estados. A regra geral é de que todos
os eleitores de um estado particular votem no candidato presidencial que tem a
pluralidade dos votos nesse estado. Esta regra é conhecida pela regra da Unidade ou
pela regra “O vencedor ganha tudo”.
Outro ponto importante é o facto de sob o sistema de dois partidos mais fortes
americanos muitas eleições presidenciais culminam na escolha entre apenas dois
candidatos viáveis. Sob esta regra da unidade e numa eleição entre apenas dois
candidatos viáveis, o colégio eleitoral representa um dos mais importantes exemplos de
um sistema de voto ponderado, bem como um único sistema – os E.U.A são o único
Neste ponto vamos discutir uma aproximação diferente ao poder de medida,
proposto em conjunto por Lloyd Shapley e Martin Shubik em 1954. A principal
diferença entre a interpretação do poder de Shapley-Shubik e de Banzhaf centra-se no
conceito de coligação sequencial. No método Shapley-Shubik as coligações assumem-
se de forma sequencial: cada coligação começa com um primeiro jogador, que se pode
aliar a um segundo, seguidamente a um terceiro, e por ai adiante. Desta maneira
adicionamos mais um vinco a uma situação já complicada: a questão da ordem pela qual
os jogadores entraram na coligação. Será que a ordem interessa? Vamos ver que sim
com a ajuda de um exemplo. Ora, de acordo com o índice de poder de Banzhaf, uma
coligação como {P1, P2, P3} significa que P1, P2 e P3 juntaram-se e vão votar juntos.
Não interessa quem entrou primeiro na coligação. Em contrapartida, de acordo com o
índice de poder de Shapley-Shubik os mesmos três jogadores podem formar seis
coligações sequências diferentes: ⟨P1, P2, P3⟩ (significa que P1 iniciou a coligação à qual
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 93
se juntou a seguir P2 e por ultimo P3); ⟨P1, P3, P2⟩; ⟨P2, P1, P3⟩; ⟨P2, P3, P1⟩; ⟨P3, P1, P2⟩; ⟨P3, P2, P1⟩. A notação ⟨ ⟩ indicará a partir de agora que estamos perante uma coligação
sequencial, ou seja interessa a ordem pela qual os jogadores entram na coligação.
Com N jogadores quantas coligações sequenciais existem?
Acabamos de ver que com 3 jogadores há 6 coligações sequenciais diferentes. O
que acontecerá se tivermos 4 jogadores? Podíamos tentar escrever todas as coligações
sequenciais possíveis, tarefa essa fastidiosa! Em vez disso, argumentamos o seguinte:
para preencher o primeiro lugar da coligação sequencial temos 4 hipóteses de escolha
(qualquer um dos 4 jogadores), para preencher o segundo temos 3 hipóteses (qualquer
um, excepto o que ocupou o primeiro lugar), para preencher o terceiro há 2
possibilidades (um dos que não foi escolhido para primeiro e segundo lugar), finalmente
para preencher o último lugar temos apenas uma hipótese. Para combinar as escolhas
multiplicamo-las. Desta forma, o número total de coligações sequenciais possíveis com
4 jogadores será
4×3×2×1 = 4! = 24.
Suponhamos agora que temos um sistema de voto ponderado com N jogadores.
Sabemos da discussão precedente que há um total de N! coligações sequenciais
diferentes contendo todos os jogadores.
Em todas estas coligações há um jogador que inicia a escala – o momento em
que o jogador entra para a coligação, a coligação muda de uma coligação perdedora
para uma coligação vencedora (ver figura 3.1).
Chama-se a esse jogador o jogador pivotal da coligação sequencial. O princípio
subjacente à teoria de Shapley-Shubik é o de que o jogador pivotal merece um
reconhecimento especial, pois os jogadores que surgem antes do jogador pivotal não
têm votos suficientes para aprovar uma moção.
De acordo com Shapley e Shubik o poder de um jogador depende do número de
vezes em que é jogador pivotal relativamente aos outros jogadores.
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 94
COLIGAÇÃO SEQUENCIAL
Ganha
Perde
…
Primeiro
Jogador
Segundo
Jogador …
Jogador
Pivotal
Restantes
Jogadores
Figura 3.1 O Jogador Pivotal
A descrição formal do procedimento para encontrar o índice de poder de
Shapley-Shubik para qualquer jogador num sistema de voto ponderado genérico com N
jogadores é a seguinte:
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 95
CÁLCULO DO ÍNDICE DE PODER DE SHAPLEY-SHUBIK PARA O JOGADOR P
Passo 1: Fazer uma lista de todas as coligações sequenciais contendo N
jogadores. Há N! destas coligações.
Passo 2: Em cada coligação sequencial determinar o jogador pivotal. Há um
em cada coligação sequencial.
Passo3: Contar o número total de vezes em que P é jogador pivotal e
denominar esse número por S.
O Índice de Poder de Shapley-Shubik do Jogador P é dado pela fracção !N
S.
Tabela 3.8
A listagem dos Índices de Poder de Shapley-Shubik para todos os jogadores dá
origem à distribuição de poder de Shapley-Shubik para o sistema de voto ponderado.
Neste exemplo vamos retomar o exemplo 3.9 e usar o método de
A distribuição de poder de Shapley-Shubik é a seguinte:
P1: 6
4 = 0,6(6) ⇒ 66,7 %
P2: 6
1 = 0,1(6) ⇒ 16,7%
P3: 6
1 = 0,1(6) ⇒ 16,7%
Observe-se que a distribuição de poder é diferente da distribuição de poder de
Banzhaf obtida no exemplo 3.9. De acordo com a interpretação de poder de Shapley-
Shubik Afonso I tem ainda mais poder e o filho e o neto têm ainda menos poder. Um
facto que não muda é de que Afonso II tem o mesmo poder que Afonso III.
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra 97
Vamos considerar o exemplo 3.10. De acordo com Banzhaf a
distribuição é [6: 4, 3, 2, 1] e agora vamos encontrar a distribuição de
poder de Shapley-Shubik.
Há 24 coligações diferentes envolvendo 4 jogadores. Lista-se na
tabela 3.10 as coligações e os jogadores pivotal estão sublinhados.
⟨T, P, TA, EM⟩ ⟨P, T, TA, EM⟩ ⟨TA, T, P, EM⟩ ⟨EM, T, P, TA⟩ ⟨T, P, EM, TA⟩ ⟨P, T, EM, TA⟩ ⟨TA, T, EM, P⟩ ⟨EM, T, TA, P⟩ ⟨T, TA, P, EM⟩ ⟨P, TA, T, EM⟩ ⟨TA, P, T, EM⟩ ⟨EM, P, T, TA⟩ ⟨T, TA, EM, P⟩ ⟨P, TA, EM, T⟩ ⟨TA, P, EM, T⟩ ⟨EM, P, TA, T⟩ ⟨T, EM, P, TA⟩ ⟨P, EM, T, TA⟩ ⟨TA, EM, T, P⟩ ⟨EM, TA, T, P⟩ ⟨T, EM, TA, P⟩ ⟨P, EM, TA, T⟩ ⟨TA, EM, P, T⟩ ⟨EM, TA, P, T⟩
Tabela 3.10
A distribuição de poder de Shapley-Shubik é:
T: 24
10 = 0,42 ⇒ 42%
P: 24
6 = 0.25 ⇒ 25%
TA: 24
6 = 0,25 ⇒ 25%
EM: 24
2 = 0,08 ⇒ 8%
Vale a pena mencionar que a distribuição de poder de Shapley-Shubik é
exactamente igual à distribuição de poder de Banzhaf. Isto mostra como é impossível
que estas distribuições de poder estejam de acordo. Contudo, de modo geral, escolhendo
aleatoriamente situações reais é muito pouco provável que os métodos de Banzahf e de
Shapley-Shubik nos dêem a mesma resposta.
Exemplo 3.13
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra
98
Na Câmara Municipal de Bragança há 5
membros: o presidente e 4 membros ordinários de
concelho. Uma moção só passa se o presidente e pelo
menos 2 membros do concelho votarem a favor, ou em
alternativa, se todos os 4 membros ordinários votarem a
favor. (Isto significa que o presidente tem poder de veto, mas um voto não unânime dos
outros 4 membros do concelho pode sobrepor-se ao veto do presidente.) O senso
comum diz-nos que de acordo com estas regras, os 4 membros ordinários do concelho
têm o mesmo poder, mas o presidente tem mais. Vamos usar a interpretação de poder de
Shapley-Shubik para determinar exactamente quanto mais poder tem o presidente. Uma
vez que há 5 jogadores neste sistema de voto, há 5! = 120 coligações sequenciais a
considerar. Vamos em primeiro lugar tentar encontrar o índice de poder de Shapley-
Shubik para o presidente. Qual a ordem de posição em que o presidente deve estar numa
coligação sequencial para ser jogador pivotal? Terá de estar em primeiro lugar? De
modo algum! Nenhum jogador que esteja na primeira posição pode ser pivotal, a não ser
que seja um ditador. Em segundo? Não.
Ganha
Perde
Ganha
Perde
Ganha
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
(a) (b)
(c)
Figura 3.2
Exemplo 3.14
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra
99
Um membro ordinário e o presidente não são suficientes para passar uma moção.
Em terceiro lugar? Sim. Se o presidente está na terceira posição ele é o jogador pivotal
nessa coligação sequencial. (Ver figura 3.2(a)). Igualmente se o presidente estiver na
quarta posição ele é o jogador pivotal nessa coligação sequencial porque os três
membros ordinários precedentes não são suficientes para passar uma moção. (Ver figura
3.2(b)). Finalmente, quando o presidente está na quinta posição não é o jogador pivotal,
pois os 4 membros ordinários precedentes são suficientes para passar a moção. (Ver
figura 3.2(c))
Surge agora uma questão pertinente: em quantas coligações sequenciais está o
presidente em primeiro lugar? Em segundo? … Em quinto? A simetria das posições
indica-nos que haverá tantas coligações sequenciais em que o presidente está em
primeiro lugar como em qualquer outra posição. As 120 coligações sequenciais podem
ser divididas em cinco grupos de vinte e quatro – 24 com o presidente em primeiro
lugar, 24 com o presidente em segundo, etc. Finalmente, o presidente é jogador pivotal
em todas as coligações que esteja em terceiro ou quarto lugar, havendo 24 de cada.
Assim o índice de poder do presidente é 120
48 = 40%. Dado que os 4 membros
ordinários do concelho têm que repartir igualmente os restantes 60% de poder, cada um
terá um índice de poder de Shapley-Shubik de 15%.
4444.1.1.1.1 AAAAPLICAÇÕES DO ÍNDICE PLICAÇÕES DO ÍNDICE PLICAÇÕES DO ÍNDICE PLICAÇÕES DO ÍNDICE DE PODER DE DE PODER DE DE PODER DE DE PODER DE SSSSHAPLEYHAPLEYHAPLEYHAPLEY----SSSSHUBIK HUBIK HUBIK HUBIK
O REGRESSO AO COLÉGIO ELEITORAL. Calcular o índice de poder de Shapley-
Shubik dos diferentes estados não é tarefa fácil. Temos 51 estados, o que dá um total de
51! Coligações sequenciais, um número muito grande (com 67 dígitos!). Fazer a análise
de todas as coligações possíveis é um processo que requer muito tempo, podendo até
estar envolvidas centenas de anos! Desta maneira uma análise directa fica fora de
questão. Contudo, existem sofisticados atalhos matemáticos que acompanhados de um
computador e do software adequado permite eficiência nos cálculos.
Exemplos
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra
100
O REGRESSO AO CONCELHO DE SEGURANÇA DAS NAÇÕES
UNIDAS.
Vamos agora ilustrar o método de Shapley-Shubik no
Concelho de Segurança das Nações Unidas por passos. Seguindo o
esquema apresentado anteriormente temos:
Passo 1
Há 15! Coligações sequenciais envolvendo os 15 membros, isto é cerca
de 1,3 triliões de coligações sequenciais diferentes.
Passo 2
Um membro não permanente pode ser pivotal numa destas coligações
apenas se for o nono jogador na coligação sequencial, precedido pelos 5
membros permanentes e por três não permanentes (estes últimos podem
ser escolhidos de
3
9 maneiras diferentes). Os oito elementos que o
precedem podem ser ordenados de 8! maneiras diferentes. Os seis que o
seguem podem ser ordenados de 6! maneiras diferentes. Deste modo cada
membro não permanente será pivotal em
3
9 × 8!× 6!, isto é, !6!3
!6!8!9,
aproximadamente 2,44 biliões de coligações sequenciais.
Passo 3
Desta forma cada membro não permanente tem um índice de poder de
Shapley-Shubik de
!15!3
!8!9
= 0,001865
ou seja, aproximadamente 0,19% (triliões
biliões
3,1
44,2).
Assim, o índice de poder dos 10 membros não permanentes é inferior a 2%, os
restantes 98% ficam distribuídos pelos 5 membros permanentes, dando a cada um cerca
Teoria das Eleições
Fundamentos e Ensino da Álgebra
101
de 5
%98= 19,6% do poder. Consequentemente cada membro permanente tem cerca de
cem vezes mais poder do que um membro não permanente.
A desproporção entre membros permanentes e não permanentes é ainda mais