Adaptado por Profa. Caroline Rodriguez Departamento de Matemáticas Universidad de Puerto Rico en Arecibo Factorización de polinomios: Trinomios cuadráticos
Adaptado por Profa. Caroline Rodriguez
Departamento de Matemáticas
Universidad de Puerto Rico en Arecibo
Factorización de polinomios: Trinomios cuadráticos
Introducción
• Factorizar un polinomio es hallar factores de éste. Ejemplo: Como 2x (x + 3) = 2x2 + 6x decimos que
2x y x + 3 son factores de 2x2 + 6x.
• Cuando un polinomio sólo tiene como factores a 1 y a él mismo, decimos que es un polinomio irreducible o primo.
• Factorizar completamente un polinomio es hallar
los factores que sean irreducibles o primos.
Multiplicación de binomios
Repasemos la multiplicación de dos binomios, que resulta en un trinomio.
(x + n)(x + m)
= x2 + mx + nx + nm
= x2 + (m + n)x + nm
=x(x + m) + n (x + m)
La factorización invierte este proceso de multiplicación.
Factorización de trinomios de la forma x2 + bx + c
Tenemos que la factorización de
Esto implica que existen polinomios cuadráticos de la forma x2 + bx + c, donde b y c son racionales,
que se pueden expresar como el producto de dos binomios de la forma (x + n)(x + m)
donde n y m son factores de c y la suma, m + n, es igual a b.
x2 + (m + n)x + nm = (x + n)(x + m)
Factorización de trinomios
Ejemplos: Factorice
a) x2 + 5x + 6
buscamos dos números cuyo producto sea 6 y cuya suma sea 5.
x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)
= (x )(x )
Esos números son 2 & 3, por lo que
Factorización de trinomios b) y2 – 10y + 24 =
buscamos dos números cuyo producto sea 24
y cuya suma sea -10
y2 – 10y + 24 = (y + -6)(y + -4)
(y )(y )
Esos números son -6 & -4, por lo que
= (y – 6)(y – 4)
c) a2 – a – 30 = buscamos dos números cuyo producto sea -30
y cuya suma sea -1
a2 – a – 30 = (a + -6)(a + 5)
Esos números son -6 & 5, por lo que
= (a – 6)(a + 5)
(a )(a )
Factorización de trinomios d) x2 + x – 5 = (x )(x )
buscamos dos números cuyo producto sea -5
y cuya suma sea 1
Estos números NO EXISTEN.
Note que este trinomio cuadrático NO
factoriza.
e) a2 + 5a – 36 = (a )(a ) buscamos dos números cuyo producto sea -36
y cuya suma sea 5
a2 + 5a – 36 = (a + 9)(a + -4)
Esos números son 9 & -4, por lo que
= (a + 9)(a – 4)
Factorización de trinomios
f) 28 – 26y – 2y2 = – 2y2 – 26y + 28
= -2(y2 + 13y – 14)
buscamos dos números cuyo producto sea -14
y cuya suma sea 13
-2(y2 + 13y – 14) = -2(y + 14)(y + -1)
Esos números son 14 & -1, por lo que
= -2(y + 14)(y – 1)
Forma general de los trinomios cuadráticos • Los trinomios cuadráticos, en general,
tienen la forma
ax2 + bx + c , donde a, b,c son reales; a≠0
• Ejemplos:
22 25 12x x 24 6 2z z
32 − 12𝑥 − 8𝑥2
Factorización de trinomios con la forma ax2 + bx + c
• Factorización invierte el proceso de buscar
el producto de dos binomios.
• Cuando el término principal, a, es diferente
de 1, existen casos para los cuales usar
agrupación para invertir el proceso de
multiplicación es más eficiente que el
tanteo.
• El método se conoce como el método AC
Ejemplo con tanteo
Factorice completamente:
factores de 9:
factores de 4:
Las posibles combinaciones son:
Por lo tanto,
4159 2 xx
1(9) 3(3)
1(4) 2(2)
(9 4)( 1)x x
(9 1)( 4)x x
(9 2)( 2)x x
(3 2)(3 2)x x
(3 1)(3 4)x x
4159 2 xx (3 1)(3 4).x x
29 13 4x x
29 37 4x x 29 20 4x x
29 12 4x x 29 15 4x x
=
Factorizar trinomios con la forma ax2 + bx + c , a≠1 – método AC
Ejemplo: Factorizar 6𝑥2+𝑥 − 15
= (2𝑥 − 3)(3𝑥 + 5)
= 2𝑥 3𝑥 + 5 − 3(3𝑥 + 5)
6𝑥2 + 𝑥 − 15 =
En este trinomio a= 6, b = 1, c= -15 y ac = -90
Buscamos dos números cuyo producto sea -90 y cuya suma sea 1
Esos números son 10 & -9, por lo que
6𝑥2 + 𝑥 − 15 = 6𝑥2 + 10𝑥 − 9𝑥 − 15
Factorización de trinomios
Ejemplo: Factorice 10x2 + 31x + 15
En esta expresión a=10, b=31, c=15, ac=150
Buscamos factores de 150 que sumen 31.
Los factores son: 25 y 6
= 10x2 + 25x + 6x + 15
= 5x(2x + 5) + 3(2x + 5)
= (5x + 3)(2x + 5)
Factorización de trinomios
Ejemplo: Factorice 12w2 – 11w + 2
• a=12, b= -11, c = 2, ac=24
• Buscamos factores de 24 que sumen -11
• Los factores son: -8 y -3
= 12w2 – 8w – 3w + 2
= 4w(3w – 2) – (3w – 2)
= (3w – 2)(4w – 1)
Ejemplo: Factorice 25a2 + 3a – 2
a=25, b= 3, c = – 2, ac= -50
Buscamos factores de -50 que sumen 3
Estos factores NO existen, el polinomio no factoriza.
Ejemplo: Factorice: 6y2 + 23y + 20 a=6, b= 23, c = 20, ac= 120 Buscamos factores de 120 que sumen 23 Los factores son: 15 y 8 = 6y2 + 15y +8y + 20 = 3y(2y + 5) + 4(2y + 5) = (2y + 5)(3y + 4)
Factorización de trinomios