Factores de Pagos nicosEl factor fundamental en la ingeniera
econmica es el que determina la cantidad de dinero que se acumula
despus de aos (o periodos), a partir de un valor nico presente con
inters compuesto una vez por ao (o por periodo). Recuerde que el
inters compuesto se refiere al inters pagado sobre el inters. Por
consiguiente, si una cantidad se invierte en algn momento t=o, la
cantidad de dinero que se habr acumulado en un ao a partir del
momento de la inversin a una tasa de inters de i por ciento anual
ser:
Donde la tasa de inters se expresa en forma decimal. Al final
del segundo ao, la cantidad de dinero acumulada F2 es la cantidad
acumulada despus del ao 1, ms el inters desde el final del ao 1,
hasta el final del ao 2 sobre la cantidad total .
sta es la lgica que se utiliza en el captulo 1 para el inters
compuesto, de manera especfica en los ejemplos anteriores. La
cantidad se expresa como:
En forma similar, la cantidad de dinero acumulada al final del
ao 3, si se utiliza la ecuacin [2.1], ser:
Al sustituir por y simplificar, se obtiene:
De acuerdo con los valores anteriores, por induccin matemtica es
evidente que la frmula puede generalizarse para n aos de la
siguiente manera:
El factor se denomina factor de cantidad compuesta de pago nico
(FCCPU). Pero en general se hace referencia a ste como el factor
FIP. ste es el factor de conversin que, cuando se multiplica por P,
produce la cantidad futura F de una inversin inicial despus de aos,
a la tasa de inters El diagrama de flujo de efectivo se muestra en
la figura 2.1a.Invierta la situacin para calcular el valor P para
una cantidad dada F que ocurre periodos en el futuro. Tan slo
resuelva la ecuacin [2.2] para P.
La expresin entre corchetes se conoce como el factor de valor
presente de pago nico (FVPPU), o el factor PIF. Tal expresin
determina el valor presente P de una cantidad futura dada F, despus
de n aos a una tasa de inters i. El diagrama de flujo de efectivo
se muestra en la figura 2.1b.
Observe que los dos factores derivados aqu son para pago nico;
es decir, se utilizan para encontrar la cantidad presente o futura
cuando se tiene slo un pago o recibo.
Un ingeniero industrial recibi un bono de $12 000 que desea
invertir ahora. Quiere calcular el valor equivalente despus de 24
aos, cuando planea usar todo el dinero resultante como enganche o
pago inicial de una casa de vacaciones en una isla. Suponga una
tasa de retorno de 8% anual para cada uno de los 24 aos. a)
Determine la cantidad que puede pagar inicialmente, usando tanto la
notacin estndar como la frmula de factor. b) Use una computadora
para encontrar la cantidad antes mencionada.
a) Solucin a manoLos smbolos y sus valores son:P= $12000F=? i=
8% anual n = 24 aosEl diagrama de flujo de efectivo es el mismo que
el de la figura 2.1a.Notacin estndar: Determine F usando el factor
FIP para 8% y 24 aos.
F = P(F/P,i,n) = 12 000(FIP,8%,24)
F=12000(6.3412)
F= $76094.40
Frmula de factor: Aplique la ecuacin para calcular el valor
futuro F:
= 12000(1 + 0.08)24
= 12000(6.341181)
=$76094.17
Serie de Pagos Iguales
El valor presente P equivalente de una serie uniforme A de flujo
de efectivo al final del periodo se muestra en la figura. Puede
determinarse una expresin para el valor presente considerando cada
valor de A como un valor futuro F, calculando su valor presente con
el factor PIF para luego sumar los resultados:
...(1)Los trminos entre corchetes representan los factores PIF
durante los aos 1 hasta n, respectivamente. Si se factoriza A,
...(2)
Para simplificar la ecuacin (1) y obtener el factor PIA,
multiplique esta ecuacin por el factor (PIF,i%,l), el cual es 1/(1+
i). Esto da como resultado la ecuacin [2.5] que se presenta ms
abajo. Luego reste la ecuacin [2.4] de la ecuacin [2.5] y
simplifique para obtener la expresin para P cuando i -:f:.
O(ecuacin [2.6]). Esta progresin es como sigue.