Factor A B- B+ + Factor A

Diseños Experimentales

Prof. Enit Huamán Cotrina

EXPERIMENTAR VS. ANALIZAR DATOS EXISTENTES

¿Es realmente necesario

hacer experimentos?

¿No se podría llegar a las mismas conclusiones

analizando convenientemente los

datos disponibles?

PRINCIPIOS BÁSICOS

Cualquier problema experimentalinvolucra dos aspectos:

El diseño del experimento y

el análisis estadístico de los datos.

Estos dos temas están estrechamenteligados , ya que el método de análisisdepende del diseño empleado

Prof. Enit Huamán Cotrina

EXPERIMENTOS FACTORIALES

Definiciones.

Usualmente en los experimentos se deseaestudiar el efecto de dos o más factores.

Por diseño factorial se entiende que en cadaensayo o réplica completa del experimento seinvestigan todas las combinaciones posiblesde los niveles de los factores.

Por ejemplo.

Factor A: “a” niveles

Factor B: “b” niveles

Entonces cada réplica puede contiener todas la abcombinaciones de los tratamientos.

MODELOS

Modelo de efectos fijos

Modelo de efectos aleatorios

Modelo mixto

Efectos fijos

Cuando el investigador sólo estáinteresado en estudiar ciertos

niveles de los factores involucrados y

por lo tanto la selección no es

aleatoria. Los resultados sólo serán

útiles para los niveles consideradosen el estudio.

Efectos aleatorios

Cuando el investigador está interesado en ungran número de posibles niveles, y no esposible estudiarlos todos, la mejor manera deestudiarlos, es seleccionar aleatoriamente una

cantidad de niveles de la población de niveles de

cada factor en estudio. Los resultados podrán

generalizarse para toda población de niveles.

Efectos mixtos

Cuando los niveles de algunos de los

factores son elegidos aleatoriamente y

mientras que otros niveles de los otros

factores, también considerados en el

estudio, son fijados por el investigador.

Efecto de un factor o efecto principal

Es el cambio en la respuesta mediaproducido por un cambio en el nivel delfactor.

Por ejmplo. Consideremos el diseño factorial22.

Es decir el diseño tiene dos factores y cadafactor tiene dos niveles: bajo (-) y alto(+)

-(Bajo)

+(Alto)

-(Bajo)

+(Alto)

4020

30 52

Factor A

Experimento factorial de dos factores con la respuesta (y) indicada en los vértices

Factor A

- +

B-

B-

B+

B+

Cálculo del Efecto Principal A

Cuando el factor A se incrementa delnivel bajo al alto se produce unincremento de la respuesta promediode 21 unidades.

212

3020

2

5240A

Cálculo del Efecto Principal B

Cuando el factor B se incrementa delnivel bajo al alto se produce unincremento de la respuesta promediode 11 unidades.

112

4020

2

5230B

-(Bajo)

+(Alto)

-(Bajo)

+(Alto)

5020

40 12

Factor A

Experimento factorial de dos factores con interacción

Factor A

- +

B-

B-

B+

B+

Con el nivel bajo del factor B (o B-), el efectode A es:

Con el nivel alto del factor B (o B+), el efectode A es:

El efecto de A depende de los niveles de B,por lo tanto existe una interacción entre A yB.

302050A

284012A

292

)3028(AB

DISEÑO FACTORIAL DE DOS FACTORES

En la práctica se suele trabajar con diseños de dos factores, A y B, donde cada factor tiene dos o más niveles.

Hay “a” niveles del factor A y “b” niveles del factor B y cada una de las “n” réplicas del experimento contiene ab combinaciones de los tratamientos

Ejemplo. Un ingeniero está diseñando una

batería que se usará en un dispositivo el cuál se

someterá a variaciones de temperatura extrema.

El único parámetro de diseño que puede

seleccionar en este punto es el material de la

placa o ánodo de la batería y tiene tres elecciones

posibles. Cuando el dispositivo esté fabricado y se

envíe al campo, el ingeniero no tendrá control

sobre las temperaturas extremas en las que

operará el dispositivo, pero sabe por experiencia

que la temperatura probablemente afectará la

vida efectiva de la batería.

El ingeniero decide probar probar los tres

materiales de la placa con tres niveles de

temeparatura, 15, 70 y 125°F, ya que estos

niveles de temperatura son consistentes con el

medio ambiente donde se usará finalmente el

producto. Se prueban cuatro baterías con cada

combinación del material de la placa y la

temperatura, y las 36 pruebas se corren de

manera aleatoria. La tabla siguiente muestra los

resultados obtenidos.

Datos de la vida (en horas) de las baterías

130 155 34 40 20 70

74 180 80 75 82 58

150 188 136 122 25 70

159 126 106 115 58 45

138 110 174 120 96 104

168 160 150 139 82 60

15 °F 70 °F 125 °F

TemperaturaTipo

de

M1

M2

M3

¿Qué efectos tienen el tipo de material y la temperatura sobre la vida de la batería?

Modelo de los efectosLas observaciones de un experimento factorial pueden describirse con el siguiente modelo.

n,...,2,1k

b,...,2,1j

a,...,2,1i

:donde

)(y ijkijjiijk

Donde es el efecto promedio global, i es elefecto del nivel i-ésimo del factor A de las filas, j

es el efecto del nivel j-ésimo del factor B de lascolumnas, ()ij es el efecto de la interacción entrei y j, y ijk es un componente del error aleatorio.Se supone que los errores tienen distribuciónnormal con media cero y varianza constante

Ambos factores son fijos.

Los efectos de los tratamientos se definen como lasdesviaciones de la media global, por lo que:

0)()(00b

1j

ij

a

1i

ij

b

1j

j

a

1i

i

Pruebas de Hipótesis

0unmenosal:H

0...:H

i1

a210

0unmenosal:H

0...:H

i1

a210

0)(unmenosal:H

j,i0)(:H

ij1

ij0

Efecto de los tratamientos de las filas

Efecto de los tratamientos de las columnas

Efecto de la interacción fila columna

0unmenosal:H

0...:H

j1

b210

Análisis estadístico del modelo con efectos fijos

Algunas notaciones

abn

yy

n

yy

yyyy

an

yy

bn

yy

yyyy

......

..ij

..ij

a

1i

b

1j

n

1k

ijk...

n

1k

ijk..ij

.j.

.j...i

..i

a

1i

n

1k

ijk.j.

b

1j

n

1k

ijk..i

Suma de cuadrados total corregida

a

1i

b

1j

n

k

2

.ij

a

1i

b

1j

2

b

1j

2a

1i

2

2

a

1i

b

1j

n

k

.ij

a

1i

b

1j

n

k

2

)yy(

)yyyy(n

)yy(an)yy(bn

)yy(

)yyyy(

)yy()yy(

)yy(

ijk

....j...i.ij

....j......i

ijk

....j...i.ij

....j......i

...ijk

La suma de cuadrados anterior puede simbolizarse de la siguiente forma

SSESSABSSBSSASST

Suma de cuadrados

debida a las filas

Suma de cuadrados

total

Suma de cuadrados debida a las

columnas

Suma de cuadrados debida a la

interacción A y B

Suma de cuadrados

debida al error

Fórmulas prácticas para el cálculo de la suma de cuadrados

abn

yy

an

1SSB

abn

yy

bn

1SSA

abn

yySST

2

...b

1j

2

2

...a

1i

2

a

1i

b

1j

n

1k

2

...2

.j.

..i

ijk

La suma de cuadrados de la interacción se obtiene de la siguiente forma:

SSBSSASSSSAB

abn

yy

n

1SS

subtotales

2

...a

1i

b

1j

2

.ijsubtotales

Y la suma de cuadrados del error se obtiene por diferencia.

subtotalesSSSST

SSBSSASSABSSTSSE

Cuadrado medio

Los valores esperados de los cuadrados medios son:

1b

an

1b

SSBE)MSB(E

1a

bn

1a

SSAE)MSA(E

a

1i

2

j2

a

1i

2

i2

Cuadrado medio

Los valores esperados de los cuadrados medios son:

2

a

1i

2

ij2

)1n(ab

SSEE)MSE(E

)1b)(1a(

)(n

)1b)(1a(

SSABE)MSAB(E

Respuesta promedio para cada combinación de los tratamientos

Gráfica tipo de material-temperatura

0.0

25.0

50.0

75.0

100.0

125.0

150.0

175.0

15 °F 70 °F 125 °F

Temperatura

Vid

a p

rom

ed

io

M1

M2

M3

Tabla de ANOVA para la vida de la batería

F.V gl SS MS Fc valor p

Material 2 10683.72 5341.86 7.911 0.0020

Temperatura 2 39118.72 19559.36 28.968 0.0000

Interacción 4 9613.78 2403.44 3.560 0.0186

Error 27 18230.75 675.21

Total 35 77646.97

¡La interacción es significativa!

Como la interacción es significativa, lascomparaciones entre las medias de uno delos factores (por ej. A) pueden serempañadas por la interacción AB. Unamanera útil es fijar el factor B en un nivelespecífico y aplicar alguna prueba decomparación (ej. Tukey) a las medias delfactor A con ese nivel.