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Überblick / VorverarbeitungEinleitungBildpunktoperationen
LUT, Dehnung GW-Skala, Histogrammebnung, Hintergrundkompensation, ...Geometrische Transformationen
Lokale Graubildoperationen
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EinleitungGrauwertbilder: Diskretisierung, Quantisierung ganze, positive Zahlen (nach oben begrenzt)Bildpunktoperationen:
Dehnung GrauwertskalaModifikation von HistogrammenEntzerrung von Bildern
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EinleitungBildpunktoperationen
Betrachtung von einzelnen BildpunktenE(x,y) -> A(i,j)Untergruppe von lokalen OperationenGW oder Position (E(x,y)) ohne Berücksichtigung der Umgebung neuer GW oder neue Position (A(i,j)) zu berechnenUnterste Komplexitätsstufe der BV-OperatorenLinear und nicht-linear(Meist) homogener „Natur“
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BildpunktoperationenLUT
Auch BildpunktübertragungsfunktionAuf vordefinierte Weise wird A(i,j) bestimmtHomogene OperationGrauwertskala (GWS) von E(x,y) wird in GWS von A(x,y) umgeformtSpeicher: unter Adresse x ist Inhalt y
y = LUT(x)
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Bildpunktoperationen
0,8225502
5795255
,0,1,0
255255
2
2
2)(
0
2
==≤≤
−=
⎪⎩
⎪⎨
⎧
><<
<=
=
=
−==
−−
mx
ee
y
xxxxx
xxy
xy
xy
xyxy
mx
ou
u
σπ
σ
und für
Gauß
Binär
Wurzel
hquadratisc
linear negativelinear
Darstellung von LUT in Diagrammform
GW von E auf der Abszisse GW von A auf der Ordinate
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Bildpunktoperationen
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BildpunktoperationenLUT
Berechnung erfolgt nur einmal... auch stückweise linear oder explizite WerteangabeSehr schnellAuch Hardware-Unterstützung
A(x,y) = LUT(E(x,y))
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Bildpunktoperationen
[Abmayr 94], S. 156
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Bildpunktoperationen
[Abmayr 94], S. 156
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Bildpunktoperationen
[Abmayr 94], S. 156
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BildpunktoperationenDehnung GW-Skala
Allgemeine Transformationsgleichung
A(x,y) = u · E(x,y) + v
Konstante u entspricht dem Kontrast
Konstante v entspricht der Helligkeit
TV-Monitor
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BildpunktoperationenGrauwerte GA (Bild A)
64
64
128
128
192
192
Grauwerte GE (Bild E)
1212
GEGEGAGAu
−−
=GE1,GA1
GE2,GA2
v
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BildpunktoperationenDehnung GW-Skala
Diskreter Fall (mit 8Bit)
nicht linear
⎪⎩
⎪⎨
⎧
+⋅<+⋅>+⋅
=sonst,wenn,wenn,
vyxEuvyxEuvyxEu
yxA),(
0),(0255),(255
),(
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BildpunktoperationenLineare Dehnung GW-Skala
E(x,y) mit Emin und Emax
A(x,y) mit A1 und Ak
kAyxAAEyxEE
≤≤≤≤
),(),(
1
maxmin
und mit
GW Eingangsbild E
A1
Ak
Emin Emax
GW Ausgangsbild A
0/0 255
255
( ) 1min
minmax
1
),(
),(
AEyxEEEAAyxA k
+−
⋅−−
=
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Bildpunktoperationen[Abmayr 94], S. 159
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BildpunktoperationenLineare Dehnung GW-Skala mit Clipping
Abschneiden der Extremwerte + Dehnung
Man wählt Intervall, sodass
Nur 1% - 5% der (Extrem-)Werte sollten jeweils in den
Intervallen liegen
max'max
'minmin EEEE ≤≤≤
bzw. 'maxmax
'minmin EEEE −−
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BildpunktoperationenHistogrammebnung (Grauwertäqualisation)
Histogramm: Häufigkeit des Auftretens von GW
Gleichverteilung der GW über die (diskrete) GW-
Skala
Verstärkt den Kontrast um das Maximum und
verringert den Kontrast um das Minimum
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Bildpunktoperationen
[ ] EzzzEzzh
E
k
E
Bild bzgl. in alle fürvorkommt in der mit Häufigkeit
Bild Gegeben
,),(
1
haben Bereich diesem in GW ihren die , Bild vom Punkte der Anteilden
berechnet alle für
E
dzzhzbazb
aEk ∫≤≤≤ )(1
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Bildpunktoperationen
.
;
1
1
NMp
pz,...,zzkNME
k
i i
iik
⋅=
−⋅
∑ = und
Punkte habe BereicheGW und Pixel mit Bild :Gegeben
∑=⋅=
k
i i
ii
NMq
zq
1 und
GW mit Punkte der Anzahldie sei Histogramm nerzielende zu Im
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Bildpunktoperationen
∑∑=
−
=
≤≤
−
11
11
1
1
k
ii
k
ii pqp
qp:Histogramm- nach
Histogramm von tionTransforma
# der Punkte in E mit GW z1,...,zk1-1 werden dem Bereichq1 zugewiesen. In A erhalten alle Punkte aus q1 den GW z1
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BildpunktoperationenSind weniger Punkte in vorhanden als in q1
sein müssten, so wird aus nächsthöherem Bereich aufgefüllt.
∑∑∑==
−
=
≤≤
−
hh k
ii
h
ii
k
ii ppp
qp
11
1
1
:Histogramm- nach Histogramm von tionTransforma allgemeine
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BildpunktoperationenEin Beispiel:
161616161616161617213535217187654321
8
i
i
qpi
qpk und für gen Verteilunfolgende und Gegeben =
Die ersten Verarbeitungsschritte...
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BildpunktoperationenSchritt 1
.zugeweisen ldAusgangsbi im Bereich ersten demwerden Bereich dem
aus 21folgenden den von Punkte weitere8 sowie , und Bereichen den in Bild aus Punkte Alle
13
21
Az z
zzE
329168
1
321121
==++<=<=+
kpppqpp
ist somit
161616161616161617213535217187654321
i
i
qpi
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BildpunktoperationenSchritt 2
.zugeweisen ild Ausgangsbim Bereich zweiten dem werden Bereich dem
aus folgenden den von Punkte weitere sowie , Bild Bereich dem aus Punkte benenübrigeblie Die
Az z
Ez
24
3
353
4643229
2
432121321
==+++<=+<=++
kppppqqppp
ist somit
161616161616161617213535217187654321
i
i
qpi
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Bildpunktoperationen
161616161616161617213535217187654321
i
i
qpi
Schritt 3
usw. ,zugeweisen ild Ausgangsbim Bereich dritten dem werdenPunkte 16 ersten"" die
werden...unterteilt weitermuss Es
Az3
4644829
23
4321321321
===+++<=++<=++
kkppppqqqppp
ist somit
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Bildpunktoperationen(normierte) Relative Summenhäufigkeit
( ) ( )),(1),(
1,...,2,1,0,)()(
)(
0
yxEhMAXGWyxA
MAXGWgkpgh
Egp
E
g
kEE
E
⋅−=
−==∑=
durch Skalierungigkeit.Summenhäuf relative die
und Bild von Histogramm s)(normierte sei
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Vorbemerkung:
WICHTIG:
Hier auf den Folien wird zur Vereinfachung nur mit 16 Graustufen gerechnet.
Die Aufgaben sollen aber selbstverständlich für 256 Graustufen gelöst werden!
Beispiel(e)
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Das Testbild• Einfaches Rechenbeispiel mit 16 Graustufen:
• Testbild10*20 Pixel
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 15140 19
0
9
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Das original Histogramm
• Histogramm mit absoluten und relativen Zahlen:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 1514
17 P
ixel
(rel
. 0,0
85)
13 P
ixel
(rel
. 0,0
65)
10 P
ixel
(rel
. 0,0
50)
160
Pix
el (r
el. 0
,800
)
0 P
ixel
(rel
. 0,0
00)
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Lineare Histogrammskalierung
• Die Grauwerte werden auf den gesamten Bereich skaliert:
( ) ( ) ( )( )min
minmax
minminmax ,*, AEE
EyxEAAyxA +−
−−=
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Lineare Histogrammskalierung( ) ( ) ( )( ) 0
7107,*015, +
−−−
=yxEyxA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 1514
17 P
ixel
(rel
. 0,0
85)
13 P
ixel
(rel
. 0,0
65)
10 P
ixel
(rel
. 0,0
50)
160
Pix
el (r
el. 0
,800
)
0 P
ixel
(rel
. 0,0
00)
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Lineare Histogrammskalierung0 19
0
9
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Histogrammskalierung mit SummenhäufigkeitNormiertes Histogramm (relative Werte)
pE(0) = 0,000pE(1) = 0,000pE(2) = 0,000pE(3) = 0,000pE(4) = 0,000pE(5) = 0,000pE(6) = 0,000pE(7) = 0,085pE(8) = 0,065pE(9) = 0,050pE(10) = 0,800pE(11) = 0,000pE(12) = 0,000pE(13) = 0,000pE(14) = 0,000pE(15) = 0,000
Summen HistogrammhE(0) = 0,000hE(1) = 0,000hE(2) = 0,000hE(3) = 0,000hE(4) = 0,000hE(5) = 0,000hE(6) = 0,000hE(7) = 0,085hE(8) = 0,150hE(9) = 0,200hE(10) = 1,000hE(11) = 1,000hE(12) = 1,000hE(13) = 1,000hE(14) = 1,000hE(15) = 1,000
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Histogrammskalierung mit Summenhäufigkeit
Summen HistogrammhE(0) = 0,000hE(1) = 0,000hE(2) = 0,000hE(3) = 0,000hE(4) = 0,000hE(5) = 0,000hE(6) = 0,000hE(7) = 0,085hE(8) = 0,150hE(9) = 0,200hE(10) = 1,000hE(11) = 1,000hE(12) = 1,000hE(13) = 1,000hE(14) = 1,000hE(15) = 1,000
( ) ( )( )( ) 127,1,
085,0*15,7*15,
≈===
yxAyxA
hyxA s
Alter Grauwert = 7
( ) ( )( )yxEhNgyxA s ,*)1(, −=
Alter Grauwert = 10( ) ( )( ) 15,
10*15,==
yxAhyxA s
Ng=Anzahl der Grauwerte, hier 16 (für die Implemen-tierung 256)
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Histogrammskalierung mit Summenhäufigkeit
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 1514
17 P
ixel
(rel
. 0,0
85)
13 P
ixel
(rel
. 0,0
65)
10 P
ixel
(rel
. 0,0
50)
160
Pix
el (r
el. 0
,800
)
0 P
ixel
(rel
. 0,0
00)
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Histogrammskalierung mit Summenhäufigkeit
0 190
9
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Histogrammebnung
• Original-histogramm
• Ziel-histogramm
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 1514
17 P
ixel
(rel
. 0,0
85)
13 P
ixel
(rel
. 0,0
65)
10 P
ixel
(rel
. 0,0
50)
160
Pix
el (r
el. 0
,800
)
0 P
ixel
(rel
. 0,0
00)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 1514
12 P
ixel
(rel
. 0,0
60)
13 P
ixel
(rel
. 0,0
65)
13 P
ixel
(rel
. 0,0
65)
13 P
ixel
(rel
. 0,0
65)
13 P
ixel
(rel
. 0,0
65)
13 P
ixel
(rel
. 0,0
65)
13 P
ixel
(rel
. 0,0
65)
13 P
ixel
(rel
. 0,0
65)
13 P
ixel
(rel
. 0,0
65)
12 P
ixel
(rel
. 0,0
60)
12 P
ixel
(rel
. 0,0
60)
12 P
ixel
(rel
. 0,0
60)
12 P
ixel
(rel
. 0,0
60)
12 P
ixel
(rel
. 0,0
60)
12 P
ixel
(rel
. 0,0
60)
12 P
ixel
(rel
. 0,0
60)
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Histogrammebnung• 1) Wie viele Pixel pro Graustufe?
5,1216
20*10
*
==
=
h
Graustufenheightwidthh
Also einige Graustufen 12 Pixel, Rest 13 Pixel
• 2) Berechnung des original Histogramms
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Histogrammebnung
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 1514
17 P
ixel
(rel
. 0,0
85)
13 P
ixel
(rel
. 0,0
65)
10 P
ixel
(rel
. 0,0
50)
160
Pix
el (r
el. 0
,800
)
0 P
ixel
(rel
. 0,0
00)
• 3) Auffüllen des neuen Histogramms
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 1514
Wenn mehr Pixel zur Verfügung stehen als gebraucht werden, müssen geeignete Pixel ausgewählt werden.
Ich brauche 13Pixel für meinen neuen Grauwert „0“
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Histogrammebnung
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 1514
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 1514
4 P
ixel
13 P
ixel
160
Pix
el
10 P
ixel
Wenn weniger Pixel zur Verfügung stehen als gebraucht werden, können alle benutzt werden!
• 3) Auffüllen des neuen Histogramms
Ich brauche 13Pixel für meinen neuen Grauwert „1“
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Histogrammebnung
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 1514
13 P
ixel
160
Pix
el
10 P
ixel
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 1514
• 3) Auffüllen des neuen Histogramms
Jetzt müssen wieder geeignete Pixel und auswählt werden!
Es fehlen mir noch 9 Pixel für meinen neuen Grauwert „1“
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Histogrammebnung• 3) Auffüllen
des neuen Histogramms
Solange weitermachen bis das neue Histogramm vollständig aufgefüllt ist.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 1514
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111213 1514
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HistogrammebnungAngenommen, im Originalhistogramm gibt es n=25 Pixel mit dem Grauwert
6, davon müssen k=12 auf den neuen GW 5 gesetzt werden. Wie findet man k geeignete Pixel?
1.) Suche alle Pixel mit dem aktuellen Grauwert 6 im Bild (Schleife über das Bild)Merke zu jedem gefundenen Pixel Position (x, y) und mittleren Grauwert in einer 3x3 Nachbarschaft
2.) Sortiere die gefundenen Punkte nachdem mittleren Grauwert und verwendedie ersten k Pixel. Setze an den entsprechenden Positionen im Ausgabebild den neuen Wert (hier 5)
6 5 75 7 56 5 7
m = 53 / 9 = 5,89
x= 19;y= 5;m= 5,89
x= 2;y= 25;m= 5,93
x= 51;y= 55;m= 5,97
x= 44;y= 63;m= 6,01
x= 3;y= 27;m= 6,05
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Histogrammebnung
• Das fertige Bild:0 190
9
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Vergleich der Bilder0 19
0
9
0 190
9
Original Lineare Skalierung0 19
0
9
0 190
9
Relative Summenhäufigkeit Histogrammebnung
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BildpunktoperationenHintergrundkompensation
Bildaufnahme: Bild + überlagertes Hintergrundsignal durchInhomogenität der Beleuchtung
A/D-Wandler
Inhomogenität der Vorlage
Z.B. Mikroskopie: große Apertur -> kugelförmige Ausleuchtung der Szene
ShadingkorrekturAdditive oder multiplikative Verknüpfung von Bildmatrix und Shadingmatrix
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BildpunktoperationenShadingmatrix:
Aufnahme eines Weißbildes W(x,y), mitVollständigem Öffnen der Aperturblende und
Vollständigen „Hochregeln“ des Lichts
Berechnung aus W(x,y) des mittleren Weißwerts
Sowie Aufnahme Schwarzbild S(x,y), mit
Geschlossener Aperturblende
Ohne Licht
Berechnung aus S(x,y) des mittlere Schwarzwerts
W
S
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BildpunktoperationenMultiplikative Shadingkorrektur
Additive Shadingkorrektur
SyxW
WyxEyxAM −=),(
),(),(
SWyxWyxEyxAA −+−= ),(),(),(
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Bildpunktoperationen(globale) Berücksichtigung aller Hintergrundfehler der Bilderfassung
Ausgleichen von Beleuchtungsunterschieden
Inhomogenitäten bei der Bilderfassung
Evtl. Shadingmatrix „vorher“ glätten wg. Schmutzpartikel
[Abmayr 94], S. 166
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Bildpunktoperationen / Geometrische Transformationen
Ortskoordinatentransformation notwendig bei
Vergleich von unterschiedlich großen Bildern
Abbildungsfehlern
Bildverzerrungen
Operationen
Translation (Verschiebung von Bildern)
Skalierung (Vergrößerung/-kleinerung von Bildern)
Rotation (Drehung von Bildern)
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Bildpunktoperationen /Geometrische Transformationen
Interpolationsverfahren
Rundung auf nächsten Wert (nearest-neighbor-resampling)
Bilineare Interpolation: Neuer GW A(x‘,y‘) als gewichteter Mittelwert von vier benachbarten Bildpunkten
Durch g1 bis g4 Berücksichtigung der Lage des neuen Punktes bzgl. der Nachbarpunkte
)1,1(),1()1,(),()','(
43
21
+++++++=
yxEgyxEgyxEgyxEgyxA
Exkurs
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Bildpunktoperationen / Geometrische Transformationen
Transformation in 2D
Versetzung des Ursprungs
Skalenänderung und
Rotation der Achsen
Weitere Transformationen als Kombination der drei obigen
Affine Transformationen (lineare Algebra)
Bildpunktoperationen
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Bildpunktoperationen / Geometrische Transformationen
3x3 Matrizen für 2D-Transformation
Ein Bildpunkt E(x,y) hat (x,y) bzgl. eines Koordinatensystems
und (x‘,y‘) bzgl. eines neuen Koordinatensystems
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
3
2
1
333231
232221
131211
sss
SPPPPPPPPP
P und
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Bildpunktoperationen / Geometrische Transformationen
Als homogene Koordinaten (in Spaltenvektorschreibweise)
Neue Koordinatenwerte durch lineare Kombinationen der alten Werte mit den Koeffizienten der Transformationsmatrix
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
1''
'1
yx
Eyx
E und
333231
232221
131211
1''
PyPxPPyPxPyPyPxPx
+⋅+⋅=+⋅+⋅=+⋅+⋅=
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Bildpunktoperationen / Geometrische Transformationen
Transformiertes Koordinatenpaar (x‘,y‘) (in Spaltenform) durch Multiplikation eine Matrix mit einem Spaltenvektor (alte Koordinaten)
TranslationVerlegung des Ursprungs um/auf -tx,-tyAchsenverlauf bleibt erhaltenKeine Skalierung
EPE ⋅='
y
x
tyxytyxx
−⋅+⋅=−⋅+⋅=
10'01'
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
=100
1001
y
x
tt
T
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Bildpunktoperationen / Geometrische Transformationen
SkalierungAchsenverlauf und Ursprung bleiben erhaltenSkalierung der Achsen mit Sx bzw. Sy
00'00'
+⋅+⋅=+⋅+⋅=
ySxyyxSx
y
x⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
1000000
y
x
SS
S
RotationSkalierung und Ursprung bleiben erhaltenVeränderung der Achsenrichtung um Winkel
0cossin'0sincos'+⋅Φ+⋅Φ−=+⋅Φ+⋅Φ=
yxyyxx
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ΦΦ−ΦΦ
=1000cossin0sincos
R
Φ
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Bildpunktoperationen / Geometrische Transformationen
KombinationTranslation und Rotation durch Matrizenmultiplikation
Inverse Transformation
umgekehrte Reihenfolge der Einzeltransformationen
TRM RT ⋅=
111 −−− ×= RTMTR
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Lokale Graubildoperationen Faltung zweier Signale (physikalisches Konzept)
Faltungsintegral f(x) definiert durch folgende Beziehung
f(x) ist das Faltungsprodukt der Funktionen b(x) und h(x)
)()()()()( xhxbdxhbxf ∫∞
−∞=
∗=−=ξ
ξξξ
Exkurs
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Lokale Graubildoperationen Exkurs
[Abmayr 94], S. 70
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Lokale Graubildoperationen 1D Fall: Faltung zweier Rechtechtsignale
ToDo
- Spiegelung der Funktion an der Ordinatenachse ->
- Verschieben von um x ->
- Multiplikation der verschobenen FKT mit b(x)
- Integration der Flächen unter dem Produkt b(x)
Ergebnis ist der Wert des Faltungsintegrals am Ort x
Exkurs
)(ξh
)(ξh
)( ξ−h
)( ξ−xh
)( ξ−xh
)( ξ−xh
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Lokale Graubildoperationen Exkurs
[Abmayr 94], S. 71
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Lokale Graubildoperationen Exkurs
[Abmayr 94], S. 72
∫
∫
∞
−∞=
∞
−∞=
=−∂=
∂∗=
=∂
∞∂
ξ
ξ
ξξξ
ξξ
)()()(
)()()(
1)(
0),(
xbdxb
xxbxf
d
x
:gilt es
sonst gleich elleAuftreffst mit ionDiracfunkt
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Lokale Graubildoperationen 2D Fall (diskret):
Berechnung eines neuen Ausgangsbildes A(x,y) unter
Einbeziehung einer (bestimmten) lokalen Umgebung des
Eingangsbildes E(x,y)
Berechnung wird alle Punkte in gleicher Weise angewendet
(homogene Verknüpfungsoperation)
Ist Operation auch noch linear, dann lineare, homogene
Operation => Faltung
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Lokale Graubildoperationen Ein Beispiel:
[Abmayr 94], S. 182
Zelle A22
Bild E Bild AMatrix C
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Lokale Graubildoperationen
4771315151515141518122
333332323131
232322222121
13131212111122
=×+×+×
+×+×+×+×+×+×=
++++++++=
:Zahlen In
A
ECECECECECEC
ECECECA
ECA ∗∗=:Faltung-2D einer
seSchreibwei Übliche
∑∑−= −=
+−−=k
ki
l
ljcjyixEjiCcyxA 01 ),(),(),(
:(diskret) Faltung-2Deiner Gleichung allg.
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Lokale Graubildoperationen Randproblem
Weglassen der Randpunkte. Bei Filtergröße (2k+1)x(2k+1) entsteht k-breiter Rand
Rand des alten Bildes in das neue kopieren
„Spiegeln“ der „neuen“ Randwerte
Periodische Fortsetzung des Bildes -> periodisches Bildsignal
...
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Lokale Graubildoperationen Glättungsfilter
Unterdrücken von hohen Frequenzen oder
Unterdrücken von Bildunebenheiten
[Abmayr 94], S. 184
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Lokale Graubildoperationen
[Abmayr 94], S. 184
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Lokale Graubildoperationen Glättungsfilter
Median-Filter (nicht-linear)
Rangfolge der GW bestimmt GW des Bezugspunktes
I.d.R. der jeweils mittlere Wert (nach Sortierung)
„kantenerhaltend“
Gut geeignet um z.B. Salz/Pfeffer-Rauschen zu eliminieren
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Lokale Graubildoperationen Vergleich: Gauß vs. Median
[Abmayr 94], S. 186