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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento RetilneoMODULO 3 -
AULA 21
Aula 21 Energia Cinetica e Trabalho noMovimento Retilneo
Objetivos
Aprender a denic ao de energia cinetica de uma partcula em
movimentoretilneo e entender o seu signicado.
Aprender o que e trabalho realizado por uma forca durante um
intervalo detempo do movimento retilneo de uma partcula.
Demonstrar o Teorema da Energia Cinetica no caso particular de
movimen-tos retilneos.
Compreender o conceito de trabalho realizado por uma forca num
desloca-mento de uma partcula cuja trajetoria e retilnea.
Aprender a denic ao de forca conservativa no caso de movimentos
retilneose entender seu signicado.
Introducao
Vamos estudar o movimento de uma partcula de massa m na presenca
decorpos cujos movimentos sao conhecidos. Nesse caso, como ja foi
discutido ante-riormente, a forca total F e uma func ao da posic ao
e velocidade da partcula e doinstante de tempo em que estamos
considerando todas essas grandezas. Como decostume, representaremos
a posic ao e a velocidade da partcula em estudo por r ev,
respectivamente, e a func ao-forca por F . Desse modo, a situac ao
consideradae descrita pela expressao:
F = F(r,v, t) , (21.1)em que t e um instante generico. A Segunda
Lei de Newton determina a acelerac aoa da partcula a partir dessa
forca e, portanto, estabelece uma relac ao entre suaposic ao, sua
velocidade e sua acelerac ao no instante t:
m a = F = F(r,v, t) . (21.2)
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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento Retilneo
Como sempre, nosso problema primordial e determinar os
movimentos quea partcula pode executar sob a ac ao da forca F. A
ciencia da Mecanica procurametodos que auxiliem na soluc ao desse
problema. Veremos, na proxima sec ao,que e possvel utilizar a
Segunda Lei de Newton (21.2) para eliminar a acelerac aoda
partcula, de modo a obtermos uma relac ao importante envolvendo
apenas a suaposic ao e a sua velocidade. Essa relac ao, chamada
teorema da energia cinetica,leva-nos aos conceitos de energia
cinetica e de trabalho realizado por uma forcadurante um movimento.
Esse teorema da informac oes uteis sobre o movimentoem muitos casos
de importancia e, em alguns deles, pode mesmo possibilitar asoluc
ao completa do problema fundamental da Mecanica. Estamos
particular-
As definicoes precisas de energiacinetica e forca conservativa
emmovimentos unidimensionaisserao dadas ao longo desta
aula,enquanto as definicoes de energiapotencial e energia
mecanicaserao fornecidas na proxima aula.
mente interessados no caso em que as forcas sao de um tipo
especial, chamadasforcas conservativas. Nesse caso, somos levados
ao conceito de energia potenciale ao teorema da conservac ao da
chamada energia mecanica da partcula.
Para simplicar, comecaremos nosso estudo da equac ao (21.2), mas
consi-derando apenas movimentos retilneos. Com o eixo OX ao longo
do movimento,a posic ao, a velocidade e a acelerac ao da partcula
sao dadas, respectivamente, porsuas componentes x, vx e ax. Nesse
caso, a forca total F que atua sobre a partculapossui componente
nao-nula apenas ao longo deOX , ou seja, F = Fxux. Nao hamais
necessidade de vetores para estudar o movimento, e a equac ao
(21.2) assumea forma mais simples
max = Fx = Fx(x, vx, t) , (21.3)onde denotamos por Fx a func ao
que da a componente Fx da forca, em termos daposic ao x, da
velocida de vx e do tempo t. A Figura 21.1 ilustra uma partcula
emmovimento retilneo no eixoOX e sob a ac ao de uma forca F que tem
componenteapenas nesse eixo.
Figura 21.1: Uma partcula em movimento retilneo no eixo OX , no
instante emque sua posic ao e r = xux e sua velocidade e v = vxux.
Sobre a partcula agea forca total F = Fxux (por motivos de clareza,
os vetores v e F nao foramdesenhados sobre o eixo OX ).
Os conceitos e problemas tratados nesta aula e na proxima serao
mais pro-fundamente compreendidos nas Aulas 24 e 25, quando
considerarmos movimen-tos nao-retilneos. Reciprocamente, o estudo
dos movimentos espaciais consi-derados na Aulas 24 e 25 sera
facilitado pelo estudo dos movimentos retilneos
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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento RetilneoMODULO 3 -
AULA 21
que faremos agora e na proxima aula. O assunto dessas duas aulas
sera ilustradocom varios exemplos na Aula 23, antes de passarmos
aos movimentos espaciaisconsiderados nas Aulas 24 e 25.
Nesta aula, veremos os conceitos de energia cinetica e de
trabalho e de-monstraremos o teorema da energia cinetica. Na
proxima aula, consideraremosos conceitos de energia potencial e
mecanica e demonstraremos o teorema daconservac ao da energia
mecanica.
Teorema da energia cinetica no movimento retilneo
Podemos eliminar a acelerac ao da equac ao (21.3) simplesmente
integrandono tempo ambos os membros desta equac ao. Contudo, a
relac ao assim obtidanao apresenta vantagens em relac ao a equac ao
original (21.3), exceto nos casosparticularssimos em que a forca
depende apenas do tempo, como ocorreu noexemplo 6, tratado na Aula
19.
Em lugar de integrar a equac ao (21.3) no tempo, eliminaremos a
acele-rac ao desta equac ao usando outro procedimento, de modo a
chegarmos a umarelac ao muito fertil em resultados. Para isso,
levaremos em conta a denic ao deacelerac ao, ax = dvx/dt, e a regra
da cadeia para as derivadas. Temos, entao:
d
dt(v2x) = 2vx
dvxdt
= 2vx ax = ax vx = 12
d
dt(v2x) . (21.4)
Desse modo, multiplicando ambos os membros de (21.3) por vx,
obtemos:
max vx = Fx(x, vx, t)vx = m 12
d
dt(v2x) = Fx(x, vx, t) vx . (21.5)
Levando em conta que as constantesm e 1/2 podem ser comutadas
com a operac aode derivac ao, podemos escrever a relac ao anterior
na forma:
d
dt
(1
2mv2x
)= Fx(x, vx, t) vx (21.6)
ou, em notac ao mais sucinta,d
dt
(1
2mv2x
)= Fx vx . (21.7)
O nome cinetica provem datranscricao latina kinesis para
apalavra grega , quesignifica movimento.
Antes de prosseguirmos em nossa analise, atribuiremos nomes a
duas gran-dezas importantes que surgiram de nossos calculos. Uma e
o semiproduto damassa da partcula pelo quadrado de sua velocidade,
chamada energia cineticada partcula e representada por K:
K =1
2mv2x . (21.8)
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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento Retilneo
Com essa denic ao, o membro esquerdo da equac ao (21.7) e a
derivada emrelac ao ao tempo da energia cinetica da partcula, isto
e, a taxa instantanea devariac ao temporal da energia cinetica.
Vemos, tambem, que a energia cinetica ediferente de zero se, e
somente se, a velocidade da partcula nao for nula, isto e,se houver
movimento da partcula. Alem disso, ela aumenta com o aumento
davelocidade. Por esse motivo, e considerada como uma medida do
movimento dapartcula e e tambem chamada energia de movimento.
A outra grandeza importante e o produto da forca total que age
sobre apartcula pela sua velocidade. Em geral, se uma forca age
sobre uma partcula, oproduto da forca por sua velocidade e chamado
potencia fornecida pela forca a`partcula. Na equac ao (21.7), o
membro direito e a potencia fornecida a partculapela forca total.
Usando essas denic oes, podemos expressar o conteudo daequac ao
(21.7) da seguinte forma:
a taxa instantanea de variacao temporal da energia cinetica de
umapartcula e igual a` potencia fornecida a` partcula pela forca
total queage sobre ela.
Voltemos a equac ao (21.6) para continuarmos a nossa discussao.
O membroesquerdo de (21.6) e a taxa instantanea de variac ao
temporal da energia cineticada partcula. Essa taxa de variac ao
depende do movimento que a partcula estarealizando. Consideremos um
movimento possvel qualquer da partcula, dadopela func ao-movimento
fx. Nesse caso, a cada instante t, a posic ao e a velocidadeda
partcula sao dadas, respectivamente, por:
x = fx(t) e vx =.
fx (t) . (21.9)
Consequentemente, ambos os membros de (21.6) variam com o tempo,
e de ummodo bem especicado pelo movimento em considerac ao, dado
por fx.
Substituindo a expressao da velocidade da partcula em func ao do
tempo,isto e, vx =
.
fx (t), no membro esquerdo da equac ao (21.6), ele se torna
umafunc ao do tempo determinada pelo movimento fx da partcula:
d
dt
(1
2mv2x
)=
d
dt
(1
2m [
.
fx (t)]2
), (21.10)
que podemos integrar em um intervalo de tempo generico, digamos
[t1, t2]: t2t1 (fx)
d
dt
(1
2mv2x
)dt =
t2t1
d
dt
(1
2m [
.
fx (t)]2
)dt . (21.11)
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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento RetilneoMODULO 3 -
AULA 21
O smbolo (fx), escrito junto ao smbolo de integral, signica que
o movimentoconsiderado e dado pela func ao-movimento fx e,
portanto, a maneira como vx de-pende do tempo e dada por vx =
.
fx (t). A integral (21.11) tem resposta imediata,pois a integral
da derivada de uma func ao e dada pela propria func ao.
Temos,entao, t2
t1 (fx)
d
dt
(1
2mv2x
)dt=
t2t1
d
dt
(1
2m [
.
fx (t)]2
)dt
=1
2m [
.
fx (t2)]2 1
2m [
.
fx (t1)]2
=1
2mv2x2
1
2mv2x1 , (21.12)
onde vx1 e a velocidade da partcula no instante t1 e vx2, no
instante t2:
vx1 =.
fx (t1) e vx2 =.
fx (t2) . (21.13)
Passemos, agora, ao membro direito da equac ao (21.6).
Substituindo neleas expressoes da posic ao e da velocidade da
partcula em func ao do tempo, isto e,x = fx(t) e vx =
.
fx (t), ele se torna uma func ao do tempo tambem determinadapelo
movimento fx da partcula:
Fx(x, vx, t) vx = Fx(fx(t),
.
fx (t), t) .fx (t) . (21.14)
Vamos integrar essa func ao do tempo no intervalo [t1, t2].
Escrevemos t2t1 (fx)
Fx(x, vx, t) vx dt = t2t1
Fx(fx(t),
.
fx (t), t) .fx (t) dt , (21.15)
onde o smbolo (fx) foi novamente escrito junto ao smbolo de
integral para indi-car que o movimento considerado e dado pela func
ao-movimento fx e, portanto,os modos como x e vx dependem do tempo
sao dados por (21.9). Denotaremosesse trabalho por W (t1, t2; fx).
Temos, entao,
O smbolo W , para trabalho, temorigem na palavra inglesa
quedesigna esse conceito: work.W (t1, t2; fx) =
t2t1 (fx)
Fx(x, vx, t) vx dt . (21.16)
Note que no smbolo do trabalho esta indicado que ele depende do
movimentoconsiderado e dos instantes de tempo que denem o intervalo
durante o qual otrabalho e calculado.
Agora temos todos os calculos prontos para entender o signicado
da igual-dade obtida integrando os dois membros de (21.6), t2
t1 (fx)
d
dt
(1
2mv2x
)dt =
t2t1 (fx)
Fx(x, vx, t) vx dt , (21.17)
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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento Retilneo
que, em virtude de (21.12), pode ser escrita como:1
2mv2x2
1
2mv2x1 =
t2t1 (fx)
Fx(x, vx, t) vx dt . (21.18)
O membro esquerdo de (21.18) e a variac ao da energia cinetica
da partcula du-rante o intervalo de tempo [t1, t2] do movimento
considerado, isto e, do movi-mento dado por fx. O membro direito e
o trabalho realizado pela forca total sobrea partcula no mesmo
intervalo de tempo [t1, t2] do movimento dado por fx. Aigualdade
escrita em (21.18) e chamada teorema da energia cinetica.
Podemosenuncia-lo, dizendo que
em um movimento retilneo de uma partcula, a variacao de sua
ener-gia cinetica em qualquer intervalo de tempo e igual ao
trabalho rea-lizado pela forca total que age sobre ela nesse mesmo
intervalo, istoe,
K2 K1 = W (t1, t2; fx) , (21.19)onde fx descreve o movimento
seguido pela partcula entre os ins-tantes t1 e t2, K2 e a sua
energia cinetica no instante t2, e K1, a suaenergia cinetica no
instante t1.
Ilustremos os conceitos aprendidos ate o momento com um exemplo
no qualvericaremos, em um caso particular, a validade desse teorema
que acabamos dedemonstrar, isto e, do teorema da energia
cinetica.
Exemplo 21.1
Suponhamos que a forca total sobre uma partcula de massa m seja
dadapela func ao-forca
Fx = Fx(x, vx, t) = m2 xm103 vx , (21.20)
na qual e uma constante positiva conhecida. Essa forca total e a
soma deuma forca elastica e de uma forca de viscosidade
proporcional a velocidade dapartcula. Podemos imaginar que a
partcula e uma pequena esfera presa a umamola e imersa em um uido
viscoso. Normalmente, a forca elastica e escritacomo k x, mas
preferimos escreve-la na forma m2 x, em termos de umaconstante ,
para dar uma forma mais simples aos calculos que realizaremos.Pelo
mesmo motivo, a constante na forca de viscosidade foi escolhida com
o va-lor exato10m/3. Os movimentos possveis da partcula sao
determinados pelaSegunda Lei de Newton:
max = m2 xm103 vx . (21.21)
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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento RetilneoMODULO 3 -
AULA 21
Um movimento possvel da partcula e dado pela func
ao-movimento
x = fx(t) = x0 e3 t , (21.22)
onde, obviamente, x0 e a posic ao da partcula no instante t = 0.
E simples veri-car que (21.22) e um movimento possvel da partcula.
Dessa func ao-movimento,obtemos a func ao-velocidade
vx =.
fx (t) = 3 x0 e3 t (21.23)
e a func ao-acelerac ao
ax =..
fx (t) = 92 x0 e
3 t . (21.24)
Substituindo as expressoes dadas por essas tres func oes na
Segunda Lei de Newton(21.21), voce vericara com facilidade que ela
se torna uma identidade, isto e, que(21.22) e, de fato, um
movimento possvel da partcula.
A variac ao da energia cinetica da partcula em um intervalo de
tempo [t1, t2]e obtida facilmente a partir da func ao-velocidade
(21.23):
1
2mv2x2
1
2mv2x1 =
1
2m [
.
fx (t2)]2 1
2m [
.
fx (t1)]2 =
=1
2m(3 x0 e3 t2)2 1
2m(3 x0 e3 t1)2 =
=9
2m2 x20
(e6 t2 e6 t1) . (21.25)
No entanto, desejamos calcular essa variac ao usando o trabalho
realizado pelaforca (21.20) durante o intervalo de tempo [t1, t2]
do movimento (21.22). Usando(21.20), (21.22) e (21.23) na denic ao
de trabalho dada por (21.15), obtemos: t2t1 (fx)
Fx(x, vx, t) vx dt = t2t1 (fx)
{m2 xm10
3 vx
}vx dt =
=
t2t1
{m2 (x0 e3 t)m10
3(3 x0 e3 t)}(3 x0 e3 t)dt . (21.26)
A integral resultante e calculada facilmente, t2t1 (fx)
Fx(x, vx, t) vx dt = t2t1
(27m3 x20 e6 t) dt= 27m3 x20
t2t1
(e6 t
)dt
=9
2m2 x20
(e6 t2 e6 t1) , (21.27)
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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento Retilneo
resultado que coincide com o obtido em (21.25), de acordo com o
teorema daenergia cinetica (21.18).
Na expressao (21.27), e evidente que o trabalho depende do
instante inicialt1 e do instante nal t2; depende, tambem, do
movimento seguido pela partculaentre esses dois instantes. No
problema proposto 4, voce tera a oportunidadede constatar esse fato
considerando um outro movimento possvel dessa partcula,entre os
mesmos instantes t1 e t2. Seria bom que voce resolvesse agoraesse
problema.
O teorema da energia cinetica se torna uma ferramenta poderosa
para anali-sar movimentos e resolver problemas, no caso em que as
forcas sao as chamadasforcas conservativas. Tal tipo de forca sera
o tema de nossa proxima sec ao.
Forca conservativa no movimento retilneo
Continuemos a considerar a situac ao da sec ao anterior, na qual
o movimentoda partcula e retilneo, ao longo do eixoOX , e a forca
tem somente a componenteao longo desse eixo. No entanto, iremos nos
restringir aos casos em que a forcanao depende da velocidade da
partcula e tampouco do tempo, mas apenas de suaposic ao. Temos,
entao,
Fx = Fx(x) . (21.28)Obviamente, continua sendo valido o teorema
da energia cinetica (21.18) que,nesse caso particular, toma a
forma
1
2mv2x2
1
2mv2x1 =
t2t1 (fx)
Fx(x) vx dt , (21.29)
onde fx e um movimento possvel da partcula. No membro direito da
ultimaequac ao, temos o trabalho realizado pela forca total sobre a
partcula, forca que,agora, depende apenas de sua posic ao. De
acordo com a nossa denic ao de traba-lho durante um movimento dado
por fx, temos para o membro direito de (21.29): t2
t1 (fx)
Fx(x) vx dt = x2x1
Fx(fx(t)
) .fx (t) dt . (21.30)
Nesse caso, em que a forca depende apenas da posic ao, e possvel
usar a propriafunc ao-movimento fx para fazer a mudanca da variavel
de integrac ao t para avariavel de integrac ao x, na integral no
membro direito de (21.30). Fazemos, nointegrando, as substituic
oes
x = fx(t) e dx =dfx(t)
dtdt =
.
fx (t)dt , (21.31)
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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento RetilneoMODULO 3 -
AULA 21
e a troca de limites de integrac ao
x1 = fx(t1) e x2 = fx(t2) . (21.32)
Com isso, temos para (21.30): t2t1 (fx)
Fx(x) vx dt = x2x1
Fx(x) dx . (21.33)
O trabalho no membro esquerdo da equac ao (21.33), denotado
anteriormente porW (t1, t2; fx) na equac ao (21.16), e uma integral
no tempo, isto e, uma integralcuja variavel de integrac ao e o
tempo. Para usar essa variavel na integrac ao, enecessario que o
integrando Fx(x) vx seja escrito como func ao do tempo. Paraisso,
devemos usar a func ao-movimento, x = fx(t), que expressa a posic
ao emfunc ao do tempo, e a func ao velocidade, vx =
.
fx (t), que expressa a velocidadeem func ao do tempo. Fazendo
isso, temos o integrando Fx(fx(t))
.
fx (t) e a
integral no membro esquerdo de (21.33) pode ser realizada.Ja no
membro direito, o trabalho e dado por uma integral cuja
variavel
de integrac ao e a posic ao, de modo que nao se faz necessario o
uso da func ao-movimento. Na verdade, a func ao-movimento foi
eliminada do calculo do traba-lho por uma mudanca da variavel de
integrac ao. Portanto, a integral no membrodireito de (21.30) e uma
integral simples na variavel x, do limite de integrac aoinferior x1
ate o limite de integrac ao superior x2. Para uma dada forca, ela
de-pende apenas dos limites de integrac ao, de acordo com a propria
denic ao deintergral simples. Sendo assim, o trabalho (21.33)
depende, de fato, apenas dos li-mites de integrac ao x1 e x2.
Vamos, entao, representar esse trabalho pelo smboloW (x1, x2), de
modo que possamos escrever para o membro direito de (21.16):
W (x1, x2) =
x2x1
Fx(x) dx . (21.34)
Como nessa expressao nao se faz menc ao a um intervalo de tempo
durante o quala forca realiza o trabalho, mas sim as duas posic oes
x1 e x2 que denem umdeslocamento da partcula, o trabalho W (x1,
x2), que foi denido em (21.34), echamado trabalho realizado pela
forca no deslocamento [x1, x2].
Note que no integrando da equac ao (21.34) temos o valor da
forca na posic aox, dado por Fx = Fx(x), multiplicado por um
deslocamento innitesimal dx, aolongo da trajetoria retilnea do
movimento. Essa quantidade e chamada trabalhono deslocamento
infinitesimal dx, ou,equivalentemente, trabalho infinitesimal,e e
representado por
dW = Fx dx . (21.35)
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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento Retilneo
Obviamente, o trabalho no deslocamento [x1, x2] e a integral do
trabalhoinnitesimal, desde x1 ate x2, de modo que temos a seguinte
notac ao simplicadapara o trabalho no deslocamento [x1, x2]:
W (x1, x2) =
x2x1
Fx dx , (21.36)
na qual ca subentendido que o valor Fx da forca e dado em func
ao da variavelde integrac ao x. Quando for importante explicitar
que o valor da forca dependeapenas de x, escreveremos Fx(x) no
lugar de Fx.
Pelas propriedades das integrais simples, sabemos que o trabalho
(21.36) ea area algebrica sob a curva da func ao-forca Fx, de x =
x1 ate x = x2, tal comoexemplicado na Figura 21.2
Fx
F =x Fx(x)Fx
O x1 x x2
x
F dx xx1
x2
Figura 21.2: O trabalho realizado por uma forca no deslocamento
da partcula e aarea algebrica sob o graco da func ao-forca, desde o
incio ate o m do desloca-mento, como ilustrado nesta gura.
Quando a forca depende tambem da velocidade ou do tempo, o
trabalhoe calculado como uma integral no tempo, durante algum
movimento fx, comodenido em (21.16). No integrando dessa denic ao,
temos o produto vx dt, quetem o signicado de um deslocamento
innitesimal dx. Nesse caso, temos nointegrando de (21.16) Fx(x, vx,
t), que e o valor Fx da forca no instante t. Aindaassim, evitamos
escrever o integrando na forma Fx dx. Essa forma poderia dar
aimpressao de que podemos sempre obter o trabalho como uma integral
em x, oque e falso, ja que, em geral, nao dispomos das variaveis vx
e t em Fx(x, vx, t)como func oes da variavel x. De fato, essas func
oes nem mesmo existem no caso
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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento RetilneoMODULO 3 -
AULA 21
geral, como ca evidente nos casos em que a partcula passa mais
de uma vez pelomesmo ponto.
As equac oes (21.35) e (21.36) dao origem a expressao: trabalho
e forcavezes deslocamento. Note que, no caso em que a func ao-forca
Fx e a func aoconstante, isto e, Fx = Fx(x) e uma constante para
qualquer valor da posic ao x,a equac ao (21.36) se reduz a
W (x1, x2) = Fx (x2 x1) , (21.37)
ou seja, o trabalho e igual ao valor (constante) da forca vezes
o deslocamento total.Observe que esse trabalho pode ser positivo ou
negativo, conforme a componenteFx tenha ou nao o mesmo sinal que o
deslocamento x2 x1.
Quando a forca depende apenas da posic ao da partcula em um
movimentoretilneo, podemos usar a equac ao (21.33) para substituir,
no teorema da ener-gia cinetica (21.29), o trabalho que esta
expresso como uma integral no tempopelo trabalho expresso como uma
integral na coordenada. Seguindo esse procedi-mento, obtemos:
1
2mv2x2
1
2mv2x1 =
x2x1
Fx(x) dx . (21.38)
Se usarmos as denic oes (21.34) e (21.8), podemos escrever esse
mesmo teoremana forma abreviada
K2 K1 = W (x1, x2) , (21.39)onde K1 e K2 sao as energias
cineticas da partcula nos instantes em que ela seencontra nas posic
oes x1 e x2, respectivamente. Resumindo, temos:
em um movimento retilneo de uma partcula que esta sob a acao
deuma forca total dependente apenas de sua posicao, a variacao
desua energia cinetica em qualquer deslocamento e igual ao
trabalhorealizado pela forca total nesse deslocamento.
Para uma dada forca, o trabalho escrito em (21.34) depende
apenas dasposic oes inicial e nal da partcula. Isso tem
consequencias importantes. Nomembro esquerdo da equac ao (21.33), o
trabalho e calculado usando uma func ao-movimento da partcula, mas
o membro direito da equac ao mostra que nao enecessario usar uma
func ao-movimento para calcular o trabalho, e que ele, defato, nao
depende do movimento realizado pela partcula desde a posic ao x1
ate aposic ao x2. O trabalho depende apenas dessas duas posic oes.
Isso signica que,ao calcularmos o trabalho usando a integral no
tempo no membro esquerdo daequac ao (21.33), obtemos o mesmo valor
para qualquer func ao-movimento que
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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento Retilneo
usarmos, desde que seja um movimento de x1 ate x2. Podemos mesmo
usar umafunc ao fx que nem sequer represente um movimento possvel
da partcula. Emoutras palavras: se fx representa um movimento
imaginario que a partcula naopode realizar sob a ac ao da forca
total Fx, ainda assim o trabalho calculado pelomembro esquerdo de
(21.33) continuara dando o mesmo valor que o obtido, nocaso de um
movimento real da partcula, desde que o movimento imaginario
seja,como o movimento real, de x1 a x2. O proximo exemplo ilustra
esses fatos.
Exemplo 21.2
Consideremos que a forca total sobre a partcula seja a forca
elastica
Fx = k x . (21.40)
Os movimentos possveis da partcula satisfazem a Segunda Lei de
Newton:
max = k x . (21.41)
Consideremos dois movimentos, cujas func oes-movimento serao
denotadaspor fx e fx. O primeiro e dado por
x = fx(t) = A sen( t) , (21.42)
onde =k/m. O segundo e o MRU
x = fx(t) = v t , (21.43)
no qual a velocidade v e diferente de zero. O movimento dado por
fx e osci-latorio e e um dos movimentos possveis da partcula, como
voce pode vericarfacilmente usando as equac oes (21.42) e (21.41).
Em contrapartida, substituindo(21.43) em (21.41), obtemos 0 = k v
t, que e uma igualdade falsa para todoinstante diferente de zero.
Isso signica que a func ao-movimento fx nao satis-faz a Segunda Lei
de Newton e, portanto, nao e um dos movimentos possveisda partcula.
Certamente, voce ja sabia que uma partcula sujeita a forca
totalexercida por uma mola jamais se move em MRU.
Calculemos, por exemplo, o trabalho exercido pela forca elastica
(21.40)quando a partcula vai da origem ate atingir, pela primeira
vez, a posic ao dada porA, que representa a amplitude do movimento
oscilat orio (21.42). Primeiramente,calculemos o trabalho usando
esse movimento oscilat orio, descrito pela func ao-movimento fx e
realizando uma integral no tempo. Nesse movimento, a partculaesta
na origem em t1 = 0 s e atinge a posic ao x = A pela primeira vez
no instante
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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento RetilneoMODULO 3 -
AULA 21
t2 = pi/(2). Sendo assim, o trabalho e dado pelo membro esquerdo
de (21.33),de modo que, no presente caso, obtemos: t2
t1 (fx)
Fx(x) vx dt = pi/(2)
0 (fx)
k x vx dt
=
pi/(2)0
k [A sen( t)] [A cos( t)] dt
= k A2 pi/(2)
0
sen( t) cos( t) dt
= 12k A2
pi/(2)0
sen(2 t) dt
= +1
2k A2
cos(2 t)
2
pi/(2)0
= 12k A2 , (21.44)
onde usamos a identidade trigonometrica sen(2) = 2 sen
cos.Calculemos, agora, o trabalho da mesma forca, no mesmo
deslocamento
(isto e, de x1 = 0 ate x2 = A), porem usando fx(t) dada em
(21.43) para realizara integral no tempo, de acordo com a formula
no membro esquerdo de (21.33).Sabemos que esse e um movimento que
estamos imaginando para a partcula, masque ela nao pode realizar,
se estiver sob a ac ao apenas da forca elastica dada por(21.40).
Nesse movimento imaginario, a partcula sai de x1 = 0 no intante t1
= 0e chega a x2 = A no instante t2 = A/v. Temos, entao, com fx(t) =
v t: t2
t1 (fx)
Fx(x) vx dt = A/v
0 (fx)
k x vx dt = A/v
0
k (v t) v dt
= k v2 A/v
0
t dt = k v2 t2
2
A/v0
= 12k A2 , (21.45)
resultado que coincide com o anterior, como ja havamos
antecipado. Nesse exem-plo, vemos, inclusive, que o calculo do
trabalho, utilizando um movimento im-possvel, e ate mais simples do
que o calculo utilizando um movimento oscilatoriopossvel. Na
verdade, sabemos que para calcular o trabalho em um
movimentoretilneo, realizado por uma forca que depende apenas da
posic ao x da partcula,nao ha necessidade alguma de especicar o
movimento da partcula. Nesse caso,de acordo com nosso resultado
(21.33), o trabalho realizado pela forca de umaposic ao inicial ate
uma posic ao nal depende apenas dessas posic oes, e nao domovimento
seguido pela partcula entre essas posic oes, desde que, como ja
enfa-tizamos, a forca dependa apenas da posic ao x da partcula.
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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento Retilneo
Usando, entao, o membro direito de (21.33), podemos calcular o
trabalhorealizado de x1 = 0 ate x2 = A, diretamente, como uma
integral na posic ao, sema necessidade de considerar o movimento
descrito pela partcula entre as posic oesinicial e nal. Dessa
forma, obtemos: x2
x1
Fx(x) dx = A
0
k x dx = k x2
2
A0
= 12k A2 . (21.46)
Como uma observac ao nal neste exemplo, note que, mesmo sendo
desne-cessario considerar um movimento entre as posic oes inicial e
nal para calcularo trabalho, pode ser util, dependendo das
circunstancias, considerar algum movi-mento imaginario bem simples
para se analisar o trabalho realizado pela forca.
Em contraste com o que ocorreem movimentos retilneos,
veremos, na Aula 25, que no casogeral nao basta a forca
depender
apenas da posicao da partculapara que seja conservativa. Uma
forca cujo trabalho, em qualquer deslocamento, depende apenas dos
pontos
inicial e nal do deslocamento e chamada forca conservativa (a
razao desse nomecara clara logo adiante). Portanto, de acordo com a
discussao que acabamos defazer, podemos escrever:
se uma forca tem componente apenas ao longo de um dado eixo,ela
sera uma forca conservativa se depender apenas da coordenadadesse
eixo.
No exemplo anterior, vimos que a forca elastica Fx = k x e
conservativa,pois, como e evidente, depende apenas da posic ao ao
longo do eixoOX . O traba-lho realizado por tal forca em um
deslocamento de uma posic ao qualquer x1 ateuma posic ao qualquer
x2 e dado por x2
x1
k x dx = 12k x22 +
1
2k x21 , (21.47)
que, obviamente, depende apenas da posic ao inicial x1 e da
posic ao nal x2.Anteriormente, vimos o mais simples exemplo de
forca conservativa: a
forca constante. Nesse caso, a func ao-forca Fx e a func ao
constante, isto e,Fx = Fx(x) e uma constante para qualquer valor da
posic ao x, e o trabalho re-alizado por essa forca em qualquer
deslocamento [x1, x2] e dado pela expressao(21.37) que,
evidentemente, depende apenas da posic ao inicial x1 e da posic
aonal x2.
Exemplo 21.3
Apresentaremos, nesse exemplo, uma outra forca conservativa
muito im-portante em Fsica. Considere uma partcula de massa M xa na
origem do eixo
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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento RetilneoMODULO 3 -
AULA 21
OX e uma partcula de massa m que pode ocupar qualquer posic ao
no semi-eixopositivo, com excec ao da propria origem. A forca
gravitacional exercida sobre elapela partcula de massa M e dada
por
O caso em que a partcula demassa m pode ocupar qualquer
posicao do semi-eixo negativo etotalmente analogo, havendoapenas
uma troca de nvel naexpressao de Fx em (21.48).
Fx = GMmx2
. (21.48)O trabalho realizado por essa forca no deslocamento
[x1, x2] e dado por x2
x1
Fx dx = x2x1
GMm
x2dx =
(GMm
x
)x2x1
= GMm
(1
x2 1x1
). (21.49)
Note que, se x2 > x1, o trabalho realizado pela forca
gravitacional sobre apartcula de massa m e negativo. Ja para x2
< x1, esse trabalho e positivo.Poderamos ter antecipado o sinal
do trabalho simplesmente analisando a areaalgebrica no graco de
Fx(x) versus x, como indica a Figura 21.3. Por ser a
forcagravitacional um exemplo muito importante de forca
conservativa, nao deixe defazer o problema proposto 7, para se
certicar de que realmente compreendeu oscalculos anteriores.
x
O
x1x2
Fx
(a)
x
O
x2x1
Fx
(b)
W(x1, 2)0x x
Figura 21.3: A parte (a) ilustra o caso em que x2 > x1, no
qual a area algebricasob a graco e negativa; a parte (b) ilustra o
caso em que x2 < x1, no qual a areaalgebrica sob o graco e
positiva.
Vamos encerrar esta sec ao listanto tres propriedades do
trabalho de umaforca conservativa. Usando a denic ao (21.36), e
facil mostrar que
W (x1, x2) +W (x2, x3) = W (x1, x3) , (21.50)
W (x1, x1) = 0 (21.51)e
W (x1, x2) = W (x2, x1) . (21.52)
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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento Retilneo
As forcas que nao sao conservativas violam essas propriedades,
como vocepode vericar no caso particular apresentado no problema
proposto 10, no qualse tem um trabalho nao-nulo para uma partcula
que sai de uma certa posic ao evolta a ela num instante posterior.
Se a forca fosse conservativa, o trabalho serianulo, como
estabelecido em (21.51). A denic ao e as propriedades das
forcasconservativas nos levarao aos conceitos de energia potencial
e energia mecanica,assuntos a serem tratados na proxima aula.
Denominamos forca nao-conservativa a forca que nao e
conservativa e di-zemos que ela e dissipativa no caso em que e
negativo o trabalho que realiza emcaminhos fechados ou em qualquer
caminho relevante no movimento em tela.
Para evitar demasiadas repetic oes, convencionemos que so
estaremos consi-derando movimentos retilneos no resumo, no
questionario e nos problemas pro-postos desta aula, que vem a
seguir.
Resumo
Energia cinetica de uma partcula e o semi-produto de sua massa
pelo qua-drado de sua velocidade. O produto de uma forca sobre uma
partcula pela ve-locidade da partcula e chamado potencia fornecida
pela forca a partcula. Emconsequencia da Segunda Lei de Newton, a
taxa instantanea de variac ao tempo-ral da energia cinetica de uma
partcula e igual a potencia fornecida a partculapela forca total
que age sobre ela. Esse resultado pode ser considerado como
umaversao preliminar do teorema da energia cinetica.
O trabalho realizado por uma forca que age sobre uma partcula
durante umintervalo de tempo de seu movimento e a integral no tempo
do produto da forcapela velocidade, desde o incio ate o nal do
intervalo. A partir da Segunda Lei deNewton, pode-se mostrar que a
variac ao da energia cinetica de uma partcula du-rante um intervalo
de tempo de seu movimento e igual ao trabalho realizado pelaforca
total sobre a partcula nesse intervalo. Esse e o chamado teorema da
ener-gia cinetica. No caso de uma forca que dependa apenas da posic
ao da partculaem movimento retilneo, o trabalho realizado pela
forca em um certo intervalo detempo do movimento da partcula
depende apenas do deslocamento da partculanesse intervalo; dizemos,
entao, que ele e o trabalho realizado pela forca no des-locamento
da partcula. Portanto esse trabalho e, dado pela integral da forca
naposic ao da partcula, isto e, uma integral cuja variavel de
integrac ao e a coorde-nada da partcula na reta de seu movimento.
No caso de um deslocamento innite-simal da partcula, o trabalho da
forca e o produto da forca por esse deslocamento
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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento RetilneoMODULO 3 -
AULA 21
innitesimal. Esse e o chamado trabalho innitesimal. Integrando a
expressaodo trabalho innitesimal, podemos obter o trabalho em um
deslocamento nitoqualquer. No caso de forca dependente apenas da
posic ao da partcula, podemosenunciar o teorema da energia cinetica
dizendo que a variac ao da energia cinetica,de uma partcula durante
um deslocamento e igual ao trabalho realizado pela forcatotal sobre
a partcula nesse deslocamento.
No caso de uma forca que dependa apenas da posic ao da partcula
em mo-vimento retilneo, o trabalho no deslocamento da partcula
depende, na verdade,apenas das posic oes inicial e nal do
deslocamento em considerac ao. Uma forcacujo trabalho em qualquer
deslocamento dependa apenas das posic oes inicial enal do
deslocamento e chamada forca conservativa. Portanto, no caso de
umapartcula em movimento retilneo, e conservativa qualquer forca
que dependa ape-nas da posic ao da partcula.
Questionario
1. Dena energia cinetica de uma partcula.
2. Em que sentido deve-se entender o adjetivo usado na expressao
energiacinetica?
3. O que e potencia fornecida por uma forca a uma partcula?
4. Dena trabalho realizado por uma forca sobre uma partcula
durante umintervalo de tempo de seu movimento.
5. O trabalho realizado sobre uma partcula por uma certa forca
Fx(x, vx, t)no intervalo [t1, t2] depende apenas dos instantes t1 e
t2?
6. Sob que condic ao e possvel denir trabalho de uma forca em um
desloca-mento da partcula? Suponha que esta condic ao seja
satisfeita e de, nessecaso, a denic ao de trabalho num deslocamento
de x1 ate x2.
7. Enuncie o teorema da energia cinetica em sua versao mais
geral.
8. Enuncie o teorema da energia cinetica no caso particular em
que a forcatotal depende apenas da posic ao da partcula.
9. Dena forca conservativa no caso de um movimento retilneo.
10. Toda forca constante e conservativa?
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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento Retilneo
11. Considere um pequeno bloco em movimento unidimensional sobre
uma su-perfcie. Suponha que exista atrito entre o bloco e a
superfcie e, ainda, quea reac ao normal sobre o bloco permaneca
constante durante o seu movi-mento. A forca de atrito cinetico
exercida pela superfcie sobre o bloco econservativa?
12. Ao considerarmos uma partcula sob a forca gravitacional
(21.48), zemosa hipotese de que a partcula jamais ocupasse a posic
ao x = 0. Qual omotivo dessa hipotese?
Problemas propostos
1. Considere os movimentos retilneos de uma partcula de massa m
sob aac ao da forca constante Fx(x, vx, t) = F0, F0 > 0. Como
voce ja sabe, osmovimentos possveis dessa partcula sao dados
por
fx(t) = A+Bt+F02m
t2 ,
onde A e B sao constantes arbitrarias. Considere dois instantes
de tempo,t1 e t2 > t1.
(a) Utilizando a func ao-movimento escrita anteriormente,
calcule a variac aoda energia cinetica da partcula sofrida no
intervalo [t1, t2].
(b) Calcule, utilizando a mesma func ao-movimento, o trabalho
realizadosobre a partcula no mesmo intervalo de tempo, isto e,
calculeW (t1, t2; fx) =
t2t1(fx)
Fx(x, vx, t)vxdt e verique a validade do te-orema da energia
cinetica.Obs.: a soluc ao do item (b) deste problema torna evidente
o fatode que o trabalho realizado por Fx no intervalo [t1, t2]
depende domovimento seguido pela partcula, pois a resposta depende
explicita-mente de B e diferentes valores de B signicam diferentes
func oes-movimento da partcula.
2. A func ao-movimento de uma partcula que se move ao longo do
eixoOX edada por fx(t) = A sen(t), onde A e uma constante
positiva.
(a) Determine a variac ao da energia cinetica da partcula
sofrida no inter-valo [t1, t2].
(b) Calcule, utilizando essa mesma func ao-movimento, o trabalho
reali-zado pela forca total sobre a partcula no mesmo intervalo de
tempo,
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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento RetilneoMODULO 3 -
AULA 21
isto e, calcule W (t1, t2; fx) e verique a validade do teorema
da ener-gia cinetica.
3. Uma partcula e lancada verticalmente de uma certa altura do
solo com ve-locidade de modulo igual a v0. Ha, obviamente, duas
possibilidades: numadelas, a partcula e lancada para cima e, na
outra, para baixo. Demonstre queo trabalho realizado sobre a
partcula pelo peso no intervalo de tempo [0, t],quando ela e
lancada para cima, nunca e igual ao trabalho realizado pelopeso,
nesse mesmo intervalo, quando ela e lancada para baixo, qualquerque
seja o valor de v0 (novamente, aqui, vemos que o trabalho realizado
poruma forca num certo intervalo depende da func ao-movimento da
partculanesse intervalo).
4. Reconsidere o problema discutido no exemplo 21.1.
(a) Verique que x = x0e(/3)t tambem e um movimento possvel
dapartcula sob a ac ao da forca total dada por (21.20).
(b) Considere, agora, a combinac ao linear dos movimentos
possveis apre-sentados no exemplo 1 e no item anterior, isto e,
x = ae3t + be(/3)t ,
onde a e b sao constantes arbitrarias. Sem fazer conta alguma,
isto e,sem substituir essa expressao na equac ao diferencial dada
por (21.21),voce saberia dizer se ela tambem e um movimento possvel
da partcula?
(c) Substitua, agora, a expressao escrita no item anterior em
(21.21) everique que ela e, de fato, um movimento possvel da
partcula.
(d) Escolhendo a func ao-movimento escrita no item (a), calcule
a variac aoda energia cinetica da partcula e o trabalho realizado
sobre ela nointervalo de tempo [t1, t2] e verique a validade do
teorema da energiacinetica. Observe que os valores encontrados
nesse item sao diferentesdaqueles obtidos no exemplo 21.1, o que
ilustra, mais uma vez, o fatode que o trabalho realizado por uma
forca entre dois instantes depende,em geral, do movimento seguido
pela partcula entre esses instantes.
5. Uma partcula que se move ao longo do eixo OX esta sujeita a
ac ao deuma forca total elastica, dada por Fx(x) = kx, onde k e uma
constantepositiva. O graco desta forca versus a posic ao x da
partcula esta mostradona Figura 21.4. Nele, estao marcadas as posic
oes x1, x2, x3 e x4.
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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento Retilneo
x
Ox1
x4
Fx
x3
x2
Figura 21.4: Forca elastica sobre uma partcula em func ao de sua
posic ao.
(a) Determine, a partir das areas algebricas correspondentes do
graco, otrabalho dessa forca nos deslocamentos [x1, x2] e [x3,
x4].
(b) Calcule, novamente, esses mesmos trabalhos por meio de
integrac oesda forca na posic ao e conra os resultados.
6. Uma partcula se move ao longo do eixo OX sob a ac ao de uma
forca totaldependente apenas da posic ao e cujo graco esta mostrado
na Figura 21.5.
x
O
Fx
l 3l
FO
Figura 21.5: Graco da forca total que atua sobre a partcula do
problema 6, emfunc ao da posic ao.
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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento RetilneoMODULO 3 -
AULA 21
Em t0 = 0, a partcula tem velocidade vx0 > 0 e, ao atingir a
posic aox = 3`, ela tem velocidade nula. Determine vx0 em termos de
F0 e `.
7. Considere a Terra como uma esfera de raio R e suponha que a
sua massa Mesteja distribuda uniformemente. Nesse caso, a forca
gravitacional exercidapela Terra sobre uma partcula de massa m e a
mesma que essa partculasofreria caso toda a massa da Terra
estivesse concentrada em seu centro.Considere, agora, movimentos
retilneos desta partcula ao longo de umeixo OX que, por hipotese,
tem sua origem no centro da Terra. A Figura21.6 mostra o graco
dessa forca para x R.
x
O
m
R
Figura 21.6: Partcula de massa m sob a ac ao da forca
gravitacional da Terra.
(a) Calcule o trabalho da forca gravitacional sobre a partcula
quando elase desloca de x1 = R ate x2 = 2R.
(b) Usando apenas argumentos qualitativos, responda se o modulo
do tra-balho da forca gravitacional sobre a partcula, quando esta
se deslocade x2 = 2R ate x3 = 3R, e maior, menor ou igual ao modulo
dotrabalho encontrado no item anterior.
(c) Calcule, explicitamente, o trabalho da forca gravitacional
sobre a part-cula no deslocamento [2R, 3R] e verique se o resultado
encontradoesta compatvel com a sua resposta ao item anterior.
(d) Calcule o trabalho da forca gravitacional sobre a partcula
quando elase desloca da superfcie da Terra ate o innito, isto e, no
deslocamento[R,). Utilizando o teorema da energia cinetica,
relacione esse re-sultado com a velocidade de escape da Terra.
8. Uma partcula e abandonada em repouso a uma distancia do
centro da Terraigual a dez vezes o raio terrestre. Determine o
modulo da velocidade comque esta partcula atinge a superfcie da
Terra.
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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento Retilneo
9. Demonstre os resultados escritos nas equac oes (21.50),
(21.51) e (21.52).
10. Considere um pequeno bloco de massa m em movimento
unidimensionalsobre uma superfcie plana. Seja c o coeciente de
atrito cinetico entreo bloco e a superfcie e suponha que, nos
movimentos a ser, consideradosa reac ao normal exercida pela
superfcie sobre o bloco mantenha sempreo mesmo modulo. Escolha os
eixos de modo que o movimento do blocoocorra ao longo do eixo OX
.
(a) Mostre, inicialmente, que, se nao houver inversao de sentido
no mo-vimento do bloco, o trabalho realizado pelo atrito entre os
instantest1 e t2, nos quais o bloco ocupa as posic oes x1 e x2, e
dado porW (t1, t2; fx) = cmg|x2 x1|.
(b) Utilizando o resultado do item anterior, mostre que o
trabalho reali-zado pelo atrito cinetico sobre o bloco entre um
instante t e um instanteposterior t , no qual o bloco esteja na
mesma posic ao que ocupava emt, nunca e nulo. Dessa forma, ca
evidente que a propriedade (21.51)nao e satisfeita por essa forca.
Portanto, ja podemos armar que aforca de atrito cinetico e uma
forca nao-conservativa.
(c) Utilizando, novamente, o resultado do item (a), de um
exemplo demovimento do bloco no qual a condic ao (21.50) e
satisfeita e um outrono qual ela nao e satisfeita.
Auto-avaliacao
Como de costume, voce deve ser capaz de responder ao
questionario in-teiro, pois ele abrange todos os conceitos
fundamentais introduzidos nesta aula.Voce tambem nao deve ter
diculdade para resolver os problemas propostos,excetuando-se,
talvez, os itens dos problemas que exigirem integrac oes
matematicascomo por exemplo, itens dos problemas 2 e 4. Pode ser
que voce ainda nao tenhaadquirido toda a habilidade necessaria para
fazer esses calculos matematicos coma rapidez que gostaria. Nesse
caso, continue exercitando e encarando os proble-mas que lhe
parecem mais difceis, pois e dessa forma que voce se tornara
cadavez mais familiarizado com eles. Os problemas 1, 2, 3, 4 e 8
exigem a compre-ensao do Teorema da Energia Cinetica. Tente
resolver, pelo menos, tres deles. Osproblemas 5, 6 e 7 envolvem o
calculo do trabalho de uma forca conservativa, in-cluindo uma
analise desse trabalho a partir do graco da forca. Resolva todos
eles.Finalmente, os problemas 9 e 10 envolvem pequenas demonstrac
oes a respeito deforcas nao-conservativas. Embora as contas sejam
extremamente simples, esses
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Energia Cin etica e Trabalho no Movimento RetilneoMODULO 3 -
AULA 21
problemas devem ser resolvidos, pois, certamente, irao ajuda-lo
a compreendermelhor os conceitos de forcas conservativas e
nao-conservativas.
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