F sica I Aula I - Momento Linearromeo.if.usp.br/~vchitta/Ensino/Arquivos/MomentoLinear_4300111.pdf · Colis~oes e conserva˘c~ao do momento linear An alise de uma colis~ao usando

Fısica I

Aula I - Momento Linear

Pagina da disciplina: http://stoa.usp.brNotas de aula: http://romeo.if.usp.br/∼vchitta

Prof. Valmir A. Chitta

e-mail: [email protected]: 3091-7099

Ed. Mario Schenberg, sala 209

5 de Agosto de 2013

Sumario

1 Momento linear

2 Conservacao do momento linear

3 Centro de massa

4 Colisoes

5 Colisoes unidimensionais

6 Casos particulares

7 Colisoes bidimensionais

8 Colisao no referencial do centro de massa

9 Sistemas com massa variavel

10 Exercıcios

V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 2 / 88

Sumario

1 Momento linear


3 Centro de massa

4 Colisoes






10 Exercıcios


Colisoes e conservacao do momento linear

Analise de uma colisao usando leis de NewtonI Complicado determinar as forcas durante a colisaoI Usando conservacao do momento nao e necessario conhecer-se essas

forcas

Leis de NewtonI Validas somente na mecanica classica

Conservacao do momento linearI Valida para mecanica classica, relatividade e mecanica quantica




forcas






forcas




Momento linear

Segunda lei de Newton:

~F = m~a ⇒ ~F = md~v

dt⇒ ~F =

d

dt(m~v)

considerando a massa constante

Momento linear~p = m~v

unidade no SI: [kg m/s]

~F =d~p

dt

I Formulacao de Newton para a segunda leiI Permite tratar sistemas com massas variaveis


Momento linear


~F = m~a ⇒ ~F = md~v

dt⇒ ~F =

d

dt(m~v)




~F =d~p

dt



Momento linear


~F = m~a ⇒ ~F = md~v

dt⇒ ~F =

d

dt(m~v)




~F =d~p

dt



Forca e momento linear

~F =d~p

dt

Se ~p varia rapidamente ⇒ d~p

dtgrande ⇒ ~F grande

Se ~p varia lentamente ⇒ d~p

dtpequeno ⇒ ~F pequena

Carro com velocidade ~v sofrendo colisaoI Variacao do momento linear do passageiro: m~v → 0I Colisao com o painel - variacao rapida de ~p ⇒ ~F grande ⇒

deformacao grandeI Airbag - variacao mais lenta de ~p ⇒ ~F menor ⇒ deformacao menor



~F =d~p

dt









~F =d~p

dt





Carro com velocidade ~v sofrendo colisaoI Variacao do momento linear do passageiro: m~v → 0

I Colisao com o painel - variacao rapida de ~p ⇒ ~F grande ⇒deformacao grande

I Airbag - variacao mais lenta de ~p ⇒ ~F menor ⇒ deformacao menor



~F =d~p

dt






deformacao grande

I Airbag - variacao mais lenta de ~p ⇒ ~F menor ⇒ deformacao menor



~F =d~p

dt








Impulso

Forca constante: ~F

Agindo durante um intervalo de tempo: ∆t = t2 − t1

~J = ~F (t2 − t1) = ~F∆t

Unidade no SI: [N s] = [kg m/s]


Impulso

Forca constante: ~F

Agindo durante um intervalo de tempo: ∆t = t2 − t1

~J = ~F (t2 − t1) = ~F∆t

Unidade no SI: [N s] = [kg m/s]


Impulso e momento linear

Como ~F = constante ⇒ d~p

dt= constante

~F =d~p

dt=~p2 − ~p1

t2 − t1⇒ ~F (t2 − t1) = ~p2 − ~p1

Teorema impulso-momento linear

~J = ~p2 − ~p1

Forca variavel

~J =

∫ t2

t1

~Fdt




dt= constante

~F =d~p

dt=~p2 − ~p1

t2 − t1⇒ ~F (t2 − t1) = ~p2 − ~p1


~J = ~p2 − ~p1

Forca variavel

~J =

∫ t2

t1

~Fdt




dt= constante

~F =d~p

dt=~p2 − ~p1

t2 − t1⇒ ~F (t2 − t1) = ~p2 − ~p1


~J = ~p2 − ~p1

Forca variavel

~J =

∫ t2

t1

~Fdt


Comparacao entre momento linear e energia cinetica

Momento linear: ~p = m~v

Energia cinetica: T = 12mv2

F

t0m m

t1

x0 x1v0 v1

Impulso: ~J = ~p1 − ~p0 ⇒ ~F (t1 − t0) = m~v1 −m~v0

Trabalho: Wtot = T1 − T0 ⇒ |~F |(x1 − x0) = 12mv2

1 − 12mv2

0

Impulso: variacao temporal

Trabalho: variacao espacialI integrais

Lei de Newton: ~F = d~pdt instantaneo - diferencial





F

t0m m

t1

x0 x1v0 v1



1 − 12mv2

0








F

t0m m

t1

x0 x1v0 v1



1 − 12mv2

0








F

t0m m

t1

x0 x1v0 v1



1 − 12mv2

0








F

t0m m

t1

x0 x1v0 v1



1 − 12mv2

0








F

t0m m

t1

x0 x1v0 v1



1 − 12mv2

0





Momento linear e energia cinetica

Bola B de massa 0, 50 kg com velocidade de 4, 0 m/s e bola b de massa 0, 10 kgcom velocidade de 20 m/s. Qual e mais facil parar?

pB = mBvB = 2, 0 kg m/s

pb = mbvb = 2, 0 kg m/s

I Mesmo momento linear ⇒ mesmo impulso para para-las

TB =1

2mBv

2B = 4, 0 J

Tb =1

2mbv

2b = 20 J

I O trabalho para parar b e 5 vezes maior que o necessario para parar BI Para uma dada forca media exercida pela mao, o intervalo de tempo

necessario para parar as bolas e o mesmo, porem o deslocamento damao seria cinco vezes maior para a bola mais leve do que para a maispesada.







TB =1

2mBv

2B = 4, 0 J

Tb =1

2mbv

2b = 20 J









TB =1

2mBv

2B = 4, 0 J

Tb =1

2mbv

2b = 20 J

I O trabalho para parar b e 5 vezes maior que o necessario para parar B

I Para uma dada forca media exercida pela mao, o intervalo de temponecessario para parar as bolas e o mesmo, porem o deslocamento damao seria cinco vezes maior para a bola mais leve do que para a maispesada.







TB =1

2mBv

2B = 4, 0 J

Tb =1

2mbv

2b = 20 J




Sumario

1 Momento linear


3 Centro de massa

4 Colisoes






10 Exercıcios


Partıculas interagindo

Duas partıculas interagindo no espaco

mA mB

FA/BFB/A

Terceira lei de Newton

~FA/B = −~FB/A ⇒ ~FA/B + ~FB/A = 0


Partıculas interagindo

Duas partıculas interagindo no espaco

mA mB

FA/BFB/A

Terceira lei de Newton

~FA/B = −~FB/A ⇒ ~FA/B + ~FB/A = 0


Conservacao do momento linear

mA mB

FA/BFB/A

Segunda lei de Newton

~FA/B =d~pBdt

~FB/A =d~pAdt

~FA/B + ~FB/A =d~pBdt

+d~pAdt

=d

dt(~pB + ~pA) = 0

Momento linear total~P = ~pB + ~pA

~FA/B + ~FB/A =d ~P

dt= 0 ⇒ ~P = constante



mA mB

FA/BFB/A


~FA/B =d~pBdt

~FB/A =d~pAdt


+d~pAdt

=d

dt(~pB + ~pA) = 0


~FA/B + ~FB/A =d ~P




mA mB

FA/BFB/A


~FA/B =d~pBdt

~FB/A =d~pAdt


+d~pAdt

=d

dt(~pB + ~pA) = 0


~FA/B + ~FB/A =d ~P



Forcas

Forca interna: forca que uma partıcula de um sistema exerce sobreoutra.

Forca externa: forca exercida por um corpo no exterior do sistemasobre uma parte interna ou sobre algum corpo no interior do sistema.

Nenhuma forca externa agindo sobre o sistema = sistema isolado.


Forcas





Forcas






Quando a soma vetorial das forcas externas que atuam sobre umsistema e igual a zero, o momento linear total do sistema permanececonstante ∑

~Fe = 0 ⇒∑

~Fi =d ~P

dt= 0

I Nao depende da natureza de ~Fi que podem ser desconhecidas

Se ∑~Fe 6= 0 ⇒

∑~Fe =

d ~P

dt6= 0




~Fe = 0 ⇒∑

~Fi =d ~P

dt= 0


Se ∑~Fe 6= 0 ⇒

∑~Fe =

d ~P

dt6= 0




~Fe = 0 ⇒∑

~Fi =d ~P

dt= 0


Se ∑~Fe 6= 0 ⇒

∑~Fe =

d ~P

dt6= 0


Sistema de N partıculas

Sistema contendo um numero qualquer de partıculas

~P = ~pA + ~pB + ~pC + . . . = mA~vA + mB~vB + mC~vC + . . .

Conservacao do momento linear → mais geral do que a conservacaoda energia mecanica

I Conservacao de E ⇒ forcas internas conservativasI Conservacao de ~P ⇒ mesmo quando as forcas internas nao sao

conservativas







conservativas






I Conservacao de E ⇒ forcas internas conservativas

I Conservacao de ~P ⇒ mesmo quando as forcas internas nao saoconservativas







conservativas


Sumario

1 Momento linear


3 Centro de massa

4 Colisoes






10 Exercıcios


Sistema de partıculas

x

y

m1m2

m3

m4

m5

m6


Coordenadas do centro de massa

xCM =m1x1 + m2x2 + m3x3 + · · ·

m1 + m2 + m3 + · · ·=

∑i mixi∑i mi

=

∑i mixiM

M =∑

i mi - massa total do sistema

yCM =m1y1 + m2y2 + m3y3 + · · ·

m1 + m2 + m3 + · · ·=

∑i miyi∑i mi

=

∑i miyiM

Em termos vetoriais

~rCM =m1~r1 + m2~r2 + m3~r3 + · · ·

m1 + m2 + m3 + · · ·=

∑i mi~ri∑i mi

=

∑i mi~riM



xCM =m1x1 + m2x2 + m3x3 + · · ·

m1 + m2 + m3 + · · ·=

∑i mixi∑i mi

=

∑i mixiM

M =∑


yCM =m1y1 + m2y2 + m3y3 + · · ·

m1 + m2 + m3 + · · ·=

∑i miyi∑i mi

=

∑i miyiM

Em termos vetoriais

~rCM =m1~r1 + m2~r2 + m3~r3 + · · ·

m1 + m2 + m3 + · · ·=

∑i mi~ri∑i mi

=

∑i mi~riM



xCM =m1x1 + m2x2 + m3x3 + · · ·

m1 + m2 + m3 + · · ·=

∑i mixi∑i mi

=

∑i mixiM

M =∑


yCM =m1y1 + m2y2 + m3y3 + · · ·

m1 + m2 + m3 + · · ·=

∑i miyi∑i mi

=

∑i miyiM

Em termos vetoriais

~rCM =m1~r1 + m2~r2 + m3~r3 + · · ·

m1 + m2 + m3 + · · ·=

∑i mi~ri∑i mi

=

∑i mi~riM


Corpo solido

x

y

r→ Δm

~rCM ≈∑

i ~ri∆m∑i ∆m

~rCM = lim∆m→0

∑i ~ri∆m∑i ∆m

=

∫~rdm∫dm

=1

M

∫~rdm


Corpo solido

x

y

r→ Δm

~rCM ≈∑

i ~ri∆m∑i ∆m

~rCM = lim∆m→0

∑i ~ri∆m∑i ∆m

=

∫~rdm∫dm

=1

M

∫~rdm


Velocidade do centro de massa

Sistema de partıculas se movendo


vxCM =dxCMdt

=d

dt

(m1x1 + m2x2 + m3x3 + · · ·

m1 + m2 + m3 + · · ·

)vxCM =

m1v1x + m2v2x + m3v3x + · · ·m1 + m2 + m3 + · · ·

vyCM =dyCMdt

=m1v1y + m2v2y + m3v3y + · · ·

m1 + m2 + m3 + · · ·

~vCM =d~rCMdt

=m1~v1 + m2~v2 + m3~v3 + · · ·

m1 + m2 + m3 + · · · =

∑i mi~vi∑i mi

=

∑i mi~vi

M





vxCM =dxCMdt

=d

dt

(m1x1 + m2x2 + m3x3 + · · ·

m1 + m2 + m3 + · · ·

)vxCM =

m1v1x + m2v2x + m3v3x + · · ·m1 + m2 + m3 + · · ·

vyCM =dyCMdt

=m1v1y + m2v2y + m3v3y + · · ·

m1 + m2 + m3 + · · ·

~vCM =d~rCMdt

=m1~v1 + m2~v2 + m3~v3 + · · ·

m1 + m2 + m3 + · · · =

∑i mi~vi∑i mi

=

∑i mi~vi

M





vxCM =dxCMdt

=d

dt

(m1x1 + m2x2 + m3x3 + · · ·

m1 + m2 + m3 + · · ·

)vxCM =

m1v1x + m2v2x + m3v3x + · · ·m1 + m2 + m3 + · · ·

vyCM =dyCMdt

=m1v1y + m2v2y + m3v3y + · · ·

m1 + m2 + m3 + · · ·

~vCM =d~rCMdt

=m1~v1 + m2~v2 + m3~v3 + · · ·

m1 + m2 + m3 + · · · =

∑i mi~vi∑i mi

=

∑i mi~vi

M


Momento linear do centro de massa

~vCM =

∑i mi~viM

M~vCM = m1~v1 + m2~v2 + m3~v3 + · · · = ~P

~P - momento linear total do sistema

Se ∑~Fext = 0 ⇒ ~P = constante ⇒ ~vCM = constante

Se ∑~Fext 6= 0 ⇒ ~P = varia ⇒ ~vCM = varia



~vCM =

∑i mi~viM

M~vCM = m1~v1 + m2~v2 + m3~v3 + · · · = ~P






~vCM =

∑i mi~viM

M~vCM = m1~v1 + m2~v2 + m3~v3 + · · · = ~P





Aceleracao do centro de massa

~aCM =d~vCMdt

=m1~a1 + m2~a2 + m3~a3 + · · ·

m1 + m2 + m3 + · · ·

~aCM =

∑i mi~ai∑i mi

=

∑i mi~aiM

M~aCM = m1~a1 + m2~a2 + m3~a3 + · · ·


Aceleracao do centro de massa

~aCM =d~vCMdt

=m1~a1 + m2~a2 + m3~a3 + · · ·

m1 + m2 + m3 + · · ·

~aCM =

∑i mi~ai∑i mi

=

∑i mi~aiM

M~aCM = m1~a1 + m2~a2 + m3~a3 + · · ·


Forcas e aceleracao

M~aCM = m1~a1 + m2~a2 + m3~a3 + · · ·

m1~a1 =(∑

~F)

1=(∑

~Fext +∑

~Fint

)1

M~aCM =∑

~Fext +∑

~Fint


Forcas e aceleracao

M~aCM = m1~a1 + m2~a2 + m3~a3 + · · ·

m1~a1 =(∑

~F)

1=(∑

~Fext +∑

~Fint

)1

M~aCM =∑

~Fext +∑

~Fint


Forcas e aceleracao

M~aCM = m1~a1 + m2~a2 + m3~a3 + · · ·

m1~a1 =(∑

~F)

1=(∑

~Fext +∑

~Fint

)1

M~aCM =∑

~Fext +∑

~Fint


Aceleracao e forcas externas

M~aCM =∑

~Fext +∑

~Fint

~Fint sempre aos pares: ~F12 = −~F21 ⇒∑ ~Fint = 0

M~aCM =∑

~Fext



M~aCM =∑

~Fext +∑

~Fint


M~aCM =∑

~Fext



M~aCM =∑

~Fext +∑

~Fint


M~aCM =∑

~Fext


Translacao

Quando forcas externas atuam sobre um corpo ou sobre um conjuntode partıculas, o centro de massa se move exatamente como se toda amassa estivesse concentrada nesse ponto e estivesse submetida a umaforca igual a resultante de todas as forcas que atuam sobre o sistema

∑~Fext = M~aCM = M

d~vCMdt

=d

dt(M~vCM) =

d ~P

dtmassa constante


O referencial do centro de massa

No referencial do centro de massa:

~v ′CM = 0

~P ′ = M~v ′CM = 0

O referencial do centro de massa e um referencial de momento linearNULO!

Velocidade das partıculas no referencial do centro de massa:

~u′i = ~vi − ~vCM

I ~u′i = velocidade da i-esima partıcula no referencial do centro de massaI ~vi = velocidade da i-esima partıcula no referencial do laboratorioI ~vCM = velocidade do centro de massa no referencial do laboratorio




~v ′CM = 0

~P ′ = M~v ′CM = 0








~v ′CM = 0

~P ′ = M~v ′CM = 0






Energia cinetica de um sistema de partıculas

T =∑i

1

2miv

2i =

∑i

1

2mi (~vi · ~vi )

Usando o referencial do centro de massa:

~u′i = ~vi − ~vCM ⇒ ~vi = ~u′i + ~vCM

T =∑i

1

2mi

[(~u′i + ~vCM

)·(~u′i + ~vCM

)]

T =∑i

1

2miu

′2i +

∑i

1

2miv

2CM + 2

∑i

1

2mi

(~u′i · ~vCM

)



T =∑i

1

2miv

2i =

∑i

1

2mi (~vi · ~vi )


~u′i = ~vi − ~vCM ⇒ ~vi = ~u′i + ~vCM

T =∑i

1

2mi

[(~u′i + ~vCM

)·(~u′i + ~vCM

)]

T =∑i

1

2miu

′2i +

∑i

1

2miv

2CM + 2

∑i

1

2mi

(~u′i · ~vCM

)



T =∑i

1

2miv

2i =

∑i

1

2mi (~vi · ~vi )


~u′i = ~vi − ~vCM ⇒ ~vi = ~u′i + ~vCM

T =∑i

1

2mi

[(~u′i + ~vCM

)·(~u′i + ~vCM

)]

T =∑i

1

2miu

′2i +

∑i

1

2miv

2CM + 2

∑i

1

2mi

(~u′i · ~vCM

)



T =∑i

1

2miu

′2i +

∑i

1

2miv

2CM + 2

∑i

1

2mi

(~u′i · ~vCM

)

T =1

2

∑i

miu′2i +

1

2v2CM

∑i

mi + ~vCM ·∑i

mi ~u′i

∑i mi = M e

∑i mi ~u

′i = M~v ′CM = 0

T =1

2

∑i

miu′2i +

1

2Mv2

CM



T =∑i

1

2miu

′2i +

∑i

1

2miv

2CM + 2

∑i

1

2mi

(~u′i · ~vCM

)

T =1

2

∑i

miu′2i +

1

2v2CM

∑i

mi + ~vCM ·∑i

mi ~u′i

∑i mi = M e

∑i mi ~u

′i = M~v ′CM = 0

T =1

2

∑i

miu′2i +

1

2Mv2

CM



T =∑i

1

2miu

′2i +

∑i

1

2miv

2CM + 2

∑i

1

2mi

(~u′i · ~vCM

)

T =1

2

∑i

miu′2i +

1

2v2CM

∑i

mi + ~vCM ·∑i

mi ~u′i

∑i mi = M e

∑i mi ~u

′i = M~v ′CM = 0

T =1

2

∑i

miu′2i +

1

2Mv2

CM



T =1

2

∑i

miu′2i +

1

2Mv2

CM

12

∑i miu

′2i energia cinetica das partıculas em relacao ao centro de

massa (energia do movimento relativo). E a mesma em qualquerreferencial, pois so depende das velocidades das partıculas em relacaoao centro de massa.12Mv2

CM energia cinetica do centro de massa. Depende do referencial.


Sumario

1 Momento linear


3 Centro de massa

4 Colisoes






10 Exercıcios


Colisao

Colisao: interacao entre dois corpos com uma duracao relativamente curta

Quando as forcas entre os corpos forem muito maiores do que as forcas externas,como em geral ocorre na maior parte das colisoes, podemos desprezarcompletamente as forcas externas e considerar os corpos como um sistema isolado⇒ conservacao do momento linear

Quando as forcas entre os corpos tambem forem conservativas, de modo quenenhuma energia mecanica e ganha ou perdida durante a colisao, a energiacinetica total do sistema e a mesma antes e depois da colisao ⇒ colisao elastica

Uma colisao na qual a energia cinetica total do sistema depois da colisao ediferente do que antes da colisao denomina-se colisao inelastica

Chama-se colisao completamente inelastica a que ocorre quando os corpospermanecem unidos e se movem como um unico corpo depois da colisao

E um erro comum pensar que uma colisao inelastica ocorre somente quando oscorpos permanecem colados.


Colisao








Colisao








Colisao








Colisao








Colisao








Sumario

1 Momento linear


3 Centro de massa

4 Colisoes






10 Exercıcios


Colisoes elasticas unidimensionais

Corpos de massa m1 e m2

Velocidades iniciais: v1A e v2A

Quais as velocidades finais v1D e v2D ?


Conservacao do momento linear total

PA = m1v1A + m2v2A = m1v1D + m2v2D = PD

m2v2D −m2v2A = m1v1A −m1v1D

m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )





m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )





m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )


Conservacao da energia cinetica

TA =1

2m1v

21A

+1

2m2v

22A

=1

2m1v

21D

+1

2m2v

22D

= TD

1

2m2v

22D− 1

2m2v

22A

=1

2m1v

21A− 1

2m1v

21D

m2

(v2

2D− v2

2A

)= m1

(v2

1A− v2

1D

)

m2 (v2D − v2A) (v2D + v2A) = m1 (v1A − v1D ) (v1A + v1D )



TA =1

2m1v

21A

+1

2m2v

22A

=1

2m1v

21D

+1

2m2v

22D

= TD

1

2m2v

22D− 1

2m2v

22A

=1

2m1v

21A− 1

2m1v

21D

m2

(v2

2D− v2

2A

)= m1

(v2

1A− v2

1D

)




TA =1

2m1v

21A

+1

2m2v

22A

=1

2m1v

21D

+1

2m2v

22D

= TD

1

2m2v

22D− 1

2m2v

22A

=1

2m1v

21A− 1

2m1v

21D

m2

(v2

2D− v2

2A

)= m1

(v2

1A− v2

1D

)




TA =1

2m1v

21A

+1

2m2v

22A

=1

2m1v

21D

+1

2m2v

22D

= TD

1

2m2v

22D− 1

2m2v

22A

=1

2m1v

21A− 1

2m1v

21D

m2

(v2

2D− v2

2A

)= m1

(v2

1A− v2

1D

)



Juntando as duas

m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )


(v2D + v2A) = (v1A + v1D )

v2D − v1D = − (v2A − v1A)

Velocidade relativa depois e igual ao inverso da velocidade relativaantes


Juntando as duas

m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )


(v2D + v2A) = (v1A + v1D )

v2D − v1D = − (v2A − v1A)



Juntando as duas

m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )


(v2D + v2A) = (v1A + v1D )

v2D − v1D = − (v2A − v1A)



Velocidades apos o choque

m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )

(v2D + v2A) = (v1A + v1D )

Velocidade da partıcula 1

v1D =m1 −m2

m1 + m2v1A +

2m2

m1 + m2v2A


v2D =2m1

m1 + m2v1A −

m1 −m2

m1 + m2v2A



m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )

(v2D + v2A) = (v1A + v1D )


v1D =m1 −m2

m1 + m2v1A +

2m2

m1 + m2v2A


v2D =2m1

m1 + m2v1A −

m1 −m2

m1 + m2v2A



m2 (v2D − v2A) = m1 (v1A − v1D )

(v2D + v2A) = (v1A + v1D )


v1D =m1 −m2

m1 + m2v1A +

2m2

m1 + m2v2A


v2D =2m1

m1 + m2v1A −

m1 −m2

m1 + m2v2A


Configuracao final


v1D =m1 −m2

m1 + m2v1A +

2m2

m1 + m2v2A


v2D =2m1

m1 + m2v1A −

m1 −m2

m1 + m2v2A

Configuracao final (v1D e v2D ) inteiramente determinada pelaconfiguracao inicial (v1A e v2A) e pela conservacao do momento e daenergia cinetica, nao dependendo da natureza das forcas de interacao(desde que correspondam a um processo elastico).


Sumario

1 Momento linear


3 Centro de massa

4 Colisoes






10 Exercıcios


m1 = m2


v1D =m1 −m2

m1 + m2v1A +

2m2

m1 + m2v2A


v2D =2m1

m1 + m2v1A −

m1 −m2

m1 + m2v2A

m1 = m2

v1D = v2A

v2D = v1A

partıculas trocam entre si as velocidades


m1 = m2


v1D =m1 −m2

m1 + m2v1A +

2m2

m1 + m2v2A


v2D =2m1

m1 + m2v1A −

m1 −m2

m1 + m2v2A

m1 = m2

v1D = v2A

v2D = v1A

partıculas trocam entre si as velocidades


Partıcula 2 inicialmente em repouso: v2A= 0


v1D=

m1 −m2

m1 + m2v1A

+2m2

m1 + m2v2A


v2D=

2m1

m1 + m2v1A− m1 −m2

m1 + m2v2A


v1D=

m1 −m2

m1 + m2v1A

v2D=

2m1

m1 + m2v1A




v1D=

m1 −m2

m1 + m2v1A

+2m2

m1 + m2v2A


v2D=

2m1

m1 + m2v1A− m1 −m2

m1 + m2v2A


v1D=

m1 −m2

m1 + m2v1A

v2D=

2m1

m1 + m2v1A


v2A= 0 e m1 � m2

v1D =m1 −m2

m1 + m2v1A e v2D =

2m1

m1 + m2v1A

m1 � m2 ⇒m1

m2' 0

v1D =m1m2− 1

m1m2

+ 1v1A = −v1A

v2D =2m1m2

m1m2

+ 1v1A = 2

m1

m2v1A = 0

Partıcula de massa menor e praticamente refletida


v2A= 0 e m1 � m2

v1D =m1 −m2

m1 + m2v1A e v2D =

2m1

m1 + m2v1A

m1 � m2 ⇒m1

m2' 0

v1D =m1m2− 1

m1m2

+ 1v1A = −v1A

v2D =2m1m2

m1m2

+ 1v1A = 2

m1

m2v1A = 0

Partıcula de massa menor e praticamente refletida


v2A= 0 e m1 � m2

v1D =m1 −m2

m1 + m2v1A e v2D =

2m1

m1 + m2v1A

m1 � m2 ⇒m2

m1' 0

v1D =1− m2

m1

1 + m2m1

v1A = v1A

v2D =2

1 + m2m1

v1A = 2v1A

Velocidade de m1 praticamente nao se altera. m2 e lancada parafrente com aproximadamente o dobro da velocidade de m1.


v2A= 0 e m1 � m2

v1D =m1 −m2

m1 + m2v1A e v2D =

2m1

m1 + m2v1A

m1 � m2 ⇒m2

m1' 0

v1D =1− m2

m1

1 + m2m1

v1A = v1A

v2D =2

1 + m2m1

v1A = 2v1A

Velocidade de m1 praticamente nao se altera. m2 e lancada parafrente com aproximadamente o dobro da velocidade de m1.


Colisoes unidimensionais totalmente inelasticas

2 partıculas de massas m1 e m2 com velocidades iniciais v1i e v2i ,respectivamente, que passam a mover-se juntas apos a colisao,formando uma unica partıcula de massa m1 +m2 e velocidade final vf .


m1v1i + m2v2i = (m1 + m2)vf

Velocidade final

vf =m1v1i + m2v2i

m1 + m2





m1v1i + m2v2i = (m1 + m2)vf

Velocidade final

vf =m1v1i + m2v2i

m1 + m2





m1v1i + m2v2i = (m1 + m2)vf

Velocidade final

vf =m1v1i + m2v2i

m1 + m2


Sumario

1 Momento linear


3 Centro de massa

4 Colisoes






10 Exercıcios


Colisao elastica bidimensional

m1

m1

m2

m2

v1i

v1f

v2i=0

v2f

b θ1

θ2

y

x

Parametro de choque: bI b = 0 ⇒ choque unidimensionalI b > r1 + r2 ⇒ nao ha choque



Momento linear inicial: ~Pi = m1~v1i

Momento linear final: ~Pf = m1~v1f + m2~v2f

Conservacao do momento linear: m1~v1i = m1~v1f + m2~v2fI ~v1i , ~v1f

e ~v2fno mesmo plano ⇒ plano de colisao

θ1 θ2m 1

v 1fm

2 v2f

m1v1i







θ1 θ2m 1

v 1fm

2 v2f

m1v1i





Conservacao do momento linear: m1~v1i = m1~v1f + m2~v2f

I ~v1i , ~v1fe ~v2f

no mesmo plano ⇒ plano de colisao

θ1 θ2m 1

v 1fm

2 v2f

m1v1i







θ1 θ2m 1

v 1fm

2 v2f

m1v1i


Equacoes

θ1 θ2m 1

v 1fm

2 v2f

m1v1iCoordenadas

m1v1fcos(θ1) + m2v2f

cos(θ2) = m1v1i

m1v1fsen(θ1)−m2v2f

sen(θ2) = 0

Colisao elastica ⇒ Tf = Ti

1

2m1v

21f

+1

2m2v

22f

=1

2m1v

21i

I 3 equacoes e 4 incognitas: ~v1f, ~v2f

, θ1 e θ2

I Conhecer pelo menos um dos parametros, por exemplo: θ1 ou b


Equacoes

θ1 θ2m 1

v 1fm

2 v2f

m1v1iCoordenadas


cos(θ2) = m1v1i


sen(θ2) = 0


1

2m1v

21f

+1

2m2v

22f

=1

2m1v

21i


, θ1 e θ2



Equacoes

θ1 θ2m 1

v 1fm

2 v2f

m1v1iCoordenadas


cos(θ2) = m1v1i


sen(θ2) = 0


1

2m1v

21f

+1

2m2v

22f

=1

2m1v

21i


, θ1 e θ2



Equacoes

θ1 θ2m 1

v 1fm

2 v2f

m1v1iCoordenadas


cos(θ2) = m1v1i


sen(θ2) = 0


1

2m1v

21f

+1

2m2v

22f

=1

2m1v

21i


, θ1 e θ2



Caso particular - Massas iguais: m1 = m2 = m

Energia cineticav2

1f+ v2

2f= v2

1i

Momento linear~v1i = ~v1f + ~v2f

Quadrando a equacao do momento linear

(~v1f + ~v2f ) · (~v1f + ~v2f ) = ~v1i · ~v1i

v21f

+ v22f

+ 2(~v1f · ~v2f ) = v21i

2(~v1f · ~v2f ) = 0



Energia cineticav2

1f+ v2

2f= v2

1i



(~v1f + ~v2f ) · (~v1f + ~v2f ) = ~v1i · ~v1i

v21f

+ v22f

+ 2(~v1f · ~v2f ) = v21i

2(~v1f · ~v2f ) = 0



Energia cineticav2

1f+ v2

2f= v2

1i



(~v1f + ~v2f ) · (~v1f + ~v2f ) = ~v1i · ~v1i

v21f

+ v22f

+ 2(~v1f · ~v2f ) = v21i

2(~v1f · ~v2f ) = 0



Energia cineticav2

1f+ v2

2f= v2

1i



(~v1f + ~v2f ) · (~v1f + ~v2f ) = ~v1i · ~v1i

v21f

+ v22f

+ 2(~v1f · ~v2f ) = v21i

2(~v1f · ~v2f ) = 0


Velocidades finais

m1

m1

m2

m2

v1i

v1f

v2i=0

v2f

b θ1

θ2

y

x

θ1 θ2

v1fv2f

v1i

2(~v1f · ~v2f ) = 0

2v1f v2f cos(θ1 + θ2) = 0

θ1 + θ2 =π

2

v1f = v1i cos(θ1)

v2f = v1i sen(θ1)


Velocidades finais

m1

m1

m2

m2

v1i

v1f

v2i=0

v2f

b θ1

θ2

y

x

θ1 θ2

v1fv2f

v1i

2(~v1f · ~v2f ) = 0

2v1f v2f cos(θ1 + θ2) = 0

θ1 + θ2 =π

2

v1f = v1i cos(θ1)

v2f = v1i sen(θ1)


Velocidades finais

m1

m1

m2

m2

v1i

v1f

v2i=0

v2f

b θ1

θ2

y

x

θ1 θ2

v1fv2f

v1i

2(~v1f · ~v2f ) = 0

2v1f v2f cos(θ1 + θ2) = 0

θ1 + θ2 =π

2

v1f = v1i cos(θ1)

v2f = v1i sen(θ1)


Velocidades finais

m1

m1

m2

m2

v1i

v1f

v2i=0

v2f

b θ1

θ2

y

x

θ1 θ2

v1fv2f

v1i

2(~v1f · ~v2f ) = 0

2v1f v2f cos(θ1 + θ2) = 0

θ1 + θ2 =π

2

v1f = v1i cos(θ1)

v2f = v1i sen(θ1)


Caso geral

Energia cinetica

1

2m1v

21f

+1

2m2v

22f

=1

2m1v

21i

⇒ m1v21f

+ m2v22f

= m1v21i

v22f

=m1

m2

(v2

1i− v2

1f

)Momento linear

m1~v1i = m1~v1f + m2~v2f ⇒ ~v2f =m1

m2(~v1i − ~v1f )

v22f

=

(m1

m2

)2 (v2

1i+ v2

1f− 2~v1i · ~v1f

)v2

2f=

(m1

m2

)2 (v2

1i+ v2

1f− 2v1i v1f cosθ1

)


Caso geral

Energia cinetica

1

2m1v

21f

+1

2m2v

22f

=1

2m1v

21i

⇒ m1v21f

+ m2v22f

= m1v21i

v22f

=m1

m2

(v2

1i− v2

1f

)

Momento linear

m1~v1i = m1~v1f + m2~v2f ⇒ ~v2f =m1

m2(~v1i − ~v1f )

v22f

=

(m1

m2

)2 (v2

1i+ v2

1f− 2~v1i · ~v1f

)v2

2f=

(m1

m2

)2 (v2

1i+ v2


)


Caso geral

Energia cinetica

1

2m1v

21f

+1

2m2v

22f

=1

2m1v

21i

⇒ m1v21f

+ m2v22f

= m1v21i

v22f

=m1

m2

(v2

1i− v2

1f

)Momento linear

m1~v1i = m1~v1f + m2~v2f ⇒ ~v2f =m1

m2(~v1i − ~v1f )

v22f

=

(m1

m2

)2 (v2

1i+ v2

1f− 2~v1i · ~v1f

)v2

2f=

(m1

m2

)2 (v2

1i+ v2


)


Caso geral

Energia cinetica

1

2m1v

21f

+1

2m2v

22f

=1

2m1v

21i

⇒ m1v21f

+ m2v22f

= m1v21i

v22f

=m1

m2

(v2

1i− v2

1f

)Momento linear

m1~v1i = m1~v1f + m2~v2f ⇒ ~v2f =m1

m2(~v1i − ~v1f )

v22f

=

(m1

m2

)2 (v2

1i+ v2

1f− 2~v1i · ~v1f

)v2

2f=

(m1

m2

)2 (v2

1i+ v2


)V. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 52 / 88

Caso geral

v22f

=m1

m2

(v2

1i− v2

1f

)v2

2f=

(m1

m2

)2 (v2

1i+ v2


)

m1

m2

(v2

1i− v2

1f

)=

(m1

m2

)2 (v2

1i+ v2


)(m1

m2− 1

)v2

1i+

(m1

m2+ 1

)v2

1f− 2

m1

m2v1i v1f cosθ1 = 0

(m1

m2+ 1

)v2

1f− 2

m1

m2v1i cosθ1v1f +

(m1

m2− 1

)v2

1i= 0


Caso geral

v22f

=m1

m2

(v2

1i− v2

1f

)v2

2f=

(m1

m2

)2 (v2

1i+ v2


)m1

m2

(v2

1i− v2

1f

)=

(m1

m2

)2 (v2

1i+ v2


)

(m1

m2− 1

)v2

1i+

(m1

m2+ 1

)v2

1f− 2

m1


(m1

m2+ 1

)v2

1f− 2

m1

m2v1i cosθ1v1f +

(m1

m2− 1

)v2

1i= 0


Caso geral

v22f

=m1

m2

(v2

1i− v2

1f

)v2

2f=

(m1

m2

)2 (v2

1i+ v2


)m1

m2

(v2

1i− v2

1f

)=

(m1

m2

)2 (v2

1i+ v2


)(m1

m2− 1

)v2

1i+

(m1

m2+ 1

)v2

1f− 2

m1


(m1

m2+ 1

)v2

1f− 2

m1

m2v1i cosθ1v1f +

(m1

m2− 1

)v2

1i= 0


Caso geral

v22f

=m1

m2

(v2

1i− v2

1f

)v2

2f=

(m1

m2

)2 (v2

1i+ v2


)m1

m2

(v2

1i− v2

1f

)=

(m1

m2

)2 (v2

1i+ v2


)(m1

m2− 1

)v2

1i+

(m1

m2+ 1

)v2

1f− 2

m1


(m1

m2+ 1

)v2

1f− 2

m1

m2v1i cosθ1v1f +

(m1

m2− 1

)v2

1i= 0


Caso geral

(m1

m2+ 1

)v2

1f− 2

m1

m2v1i cosθ1v1f +

(m1

m2− 1

)v2

1i= 0

Modulo de v1f - so raızes reais e > 0

4

(m1

m2

)2

v21icos2θ1 − 4

[(m1

m2

)2

− 1

]v2

1i≥ 0

4v21i

[(m1

m2

)2

cos2θ1 −(m1

m2

)2

+ 1

]≥ 0


Caso geral

(m1

m2+ 1

)v2

1f− 2

m1

m2v1i cosθ1v1f +

(m1

m2− 1

)v2

1i= 0


4

(m1

m2

)2

v21icos2θ1 − 4

[(m1

m2

)2

− 1

]v2

1i≥ 0

4v21i

[(m1

m2

)2

cos2θ1 −(m1

m2

)2

+ 1

]≥ 0


Caso geral

(m1

m2+ 1

)v2

1f− 2

m1

m2v1i cosθ1v1f +

(m1

m2− 1

)v2

1i= 0


4

(m1

m2

)2

v21icos2θ1 − 4

[(m1

m2

)2

− 1

]v2

1i≥ 0

4v21i

[(m1

m2

)2

cos2θ1 −(m1

m2

)2

+ 1

]≥ 0


Caso geral

(m1

m2+ 1

)v2

1f− 2

m1

m2v1i cosθ1v1f +

(m1

m2− 1

)v2

1i= 0


4

(m1

m2

)2

v21icos2θ1 − 4

[(m1

m2

)2

− 1

]v2

1i≥ 0

4v21i

[(m1

m2

)2

cos2θ1 −(m1

m2

)2

+ 1

]≥ 0


Caso geral

4v21i

[(m1

m2

)2

cos2θ1 −(m1

m2

)2

+ 1

]≥ 0

(m1

m2

)2 (cos2θ1 − 1

)+ 1 ≥ 0

1−(m1

m2

)2

(sen)2θ1 ≥ 0


Caso geral

4v21i

[(m1

m2

)2

cos2θ1 −(m1

m2

)2

+ 1

]≥ 0

(m1

m2

)2 (cos2θ1 − 1

)+ 1 ≥ 0

1−(m1

m2

)2

(sen)2θ1 ≥ 0


Caso geral

4v21i

[(m1

m2

)2

cos2θ1 −(m1

m2

)2

+ 1

]≥ 0

(m1

m2

)2 (cos2θ1 − 1

)+ 1 ≥ 0

1−(m1

m2

)2

(sen)2θ1 ≥ 0


Caso geral

(m1

m2+ 1

)v2

1f− 2

m1

m2v1i cosθ1v1f +

(m1

m2− 1

)v2

1i= 0

v1f =m1m2

v1i cosθ1

m1m2

+ 1±

v1i

√(m1m2

)2cos2θ1 −

(m1m2

)2+ 1

m1m2

+ 1

v1f =m1v1i

m1 + m2

cosθ1 ±m2

m1

√(m1

m2

)2

cos2θ1 −(m1

m2

)2

+ 1


Caso geral

(m1

m2+ 1

)v2

1f− 2

m1

m2v1i cosθ1v1f +

(m1

m2− 1

)v2

1i= 0

v1f =m1m2

v1i cosθ1

m1m2

+ 1±

v1i

√(m1m2

)2cos2θ1 −

(m1m2

)2+ 1

m1m2

+ 1

v1f =m1v1i

m1 + m2

cosθ1 ±m2

m1

√(m1

m2

)2

cos2θ1 −(m1

m2

)2

+ 1


Caso geral

(m1

m2+ 1

)v2

1f− 2

m1

m2v1i cosθ1v1f +

(m1

m2− 1

)v2

1i= 0

v1f =m1m2

v1i cosθ1

m1m2

+ 1±

v1i

√(m1m2

)2cos2θ1 −

(m1m2

)2+ 1

m1m2

+ 1

v1f =m1v1i

m1 + m2

cosθ1 ±m2

m1

√(m1

m2

)2

cos2θ1 −(m1

m2

)2

+ 1


Caso geral

v1f =m1v1i

m1 + m2

cosθ1 ±m2

m1

√(m1

m2

)2

cos2θ1 −(m1

m2

)2

+ 1

1−

(m1

m2

)2

(sen)2θ1 ≥ 0

m2 > m1: condicao satisfeita para 0 ≤ θ1 ≤ πI√

> cosθ1 ⇒ so +

m1 > m2: m1m2

senθ1 ≤ 1 ⇒ senθ1 ≤ m2m1

I√

< cosθ1 ⇒ 2 raızesI Se m1 � m2 senθ1 ' 0 ⇒ θ1 = 0 m1 quase nao se desvia


Caso geral

v1f =m1v1i

m1 + m2

cosθ1 ±m2

m1

√(m1

m2

)2

cos2θ1 −(m1

m2

)2

+ 1

1−

(m1

m2

)2

(sen)2θ1 ≥ 0


> cosθ1 ⇒ so +

m1 > m2: m1m2


I√



Caso geral

v1f =m1v1i

m1 + m2

cosθ1 ±m2

m1

√(m1

m2

)2

cos2θ1 −(m1

m2

)2

+ 1

1−

(m1

m2

)2

(sen)2θ1 ≥ 0


> cosθ1 ⇒ so +

m1 > m2: m1m2


I√

< cosθ1 ⇒ 2 raızes

I Se m1 � m2 senθ1 ' 0 ⇒ θ1 = 0 m1 quase nao se desvia


Caso geral

v1f =m1v1i

m1 + m2

cosθ1 ±m2

m1

√(m1

m2

)2

cos2θ1 −(m1

m2

)2

+ 1

1−

(m1

m2

)2

(sen)2θ1 ≥ 0


> cosθ1 ⇒ so +

m1 > m2: m1m2


I√



Colisoes inelasticas bidimensionais

m1

m3

m2

m4

v1

v3

v2=0

v4

θ3

θ4

y

x

Condicoes iniciais: m1 → m1~v1 e m2 → v2 = 0

Condicoes finais: m3 → m3~v3 e m4 → m4~v4


Equacoes

m1

m3

m2

m4

v1

v3

v2=0

v4

θ3

θ4

y

x


~p1 = ~p3 + ~p4

m1~v1 = m3~v3 + m4~v4

Energia cinetica

Q = Tf − Ti = T3 + T4 − T1 6= 0

I Q < 0 ⇒ perda de energia (exoergico)I Q > 0 ⇒ ganho de energia (endoergico)

Parametros finais: ~v3, ~v4, θ3, θ4 e Q


Equacoes

m1

m3

m2

m4

v1

v3

v2=0

v4

θ3

θ4

y

x


~p1 = ~p3 + ~p4

m1~v1 = m3~v3 + m4~v4

Energia cinetica

Q = Tf − Ti = T3 + T4 − T1 6= 0




Equacoes

m1

m3

m2

m4

v1

v3

v2=0

v4

θ3

θ4

y

x


~p1 = ~p3 + ~p4

m1~v1 = m3~v3 + m4~v4

Energia cinetica

Q = Tf − Ti = T3 + T4 − T1 6= 0




Equacoes

m1

m3

m2

m4

v1

v3

v2=0

v4

θ3

θ4

y

x


~p1 = ~p3 + ~p4

m1~v1 = m3~v3 + m4~v4

Energia cinetica

Q = Tf − Ti = T3 + T4 − T1 6= 0




Equacoes

~p4 = ~p1 − ~p3

p24 = p2

1 + p23 − 2p1p3 cosθ3

Relacao energia cinetica - momento linear

T =1

2mv2 =

p2

2m⇒ p =

√2mT

2m4T4 = 2m1T1 + 2m3T3 − 2√

2m1T1

√2m3T3 cosθ3

T4 =m1

m4T1 +

m3

m4T3 − 2

√m1

m4T1

√m3

m4T3 cosθ3


Equacoes

~p4 = ~p1 − ~p3

p24 = p2

1 + p23 − 2p1p3 cosθ3


T =1

2mv2 =

p2

2m⇒ p =

√2mT

2m4T4 = 2m1T1 + 2m3T3 − 2√

2m1T1

√2m3T3 cosθ3

T4 =m1

m4T1 +

m3

m4T3 − 2

√m1

m4T1

√m3

m4T3 cosθ3


Equacoes

~p4 = ~p1 − ~p3

p24 = p2

1 + p23 − 2p1p3 cosθ3


T =1

2mv2 =

p2

2m⇒ p =

√2mT

2m4T4 = 2m1T1 + 2m3T3 − 2√

2m1T1

√2m3T3 cosθ3

T4 =m1

m4T1 +

m3

m4T3 − 2

√m1

m4T1

√m3

m4T3 cosθ3


Equacoes

~p4 = ~p1 − ~p3

p24 = p2

1 + p23 − 2p1p3 cosθ3


T =1

2mv2 =

p2

2m⇒ p =

√2mT

2m4T4 = 2m1T1 + 2m3T3 − 2√

2m1T1

√2m3T3 cosθ3

T4 =m1

m4T1 +

m3

m4T3 − 2

√m1

m4T1

√m3

m4T3 cosθ3


Equacoes

T4 =m1

m4T1 +

m3

m4T3 − 2

√m1

m4T1

√m3

m4T3 cosθ3

Q = T3 + T4 − T1

Q = T3 +m1

m4T1 +

m3

m4T3 − 2

√m1

m4T1

√m3

m4T3 cosθ3 − T1

Q =

(1 +

m3

m4

)T3 −

(1− m1

m4

)T1 − 2

√m1

m4

m3

m4T1T3 cosθ3


Equacoes

T4 =m1

m4T1 +

m3

m4T3 − 2

√m1

m4T1

√m3

m4T3 cosθ3

Q = T3 + T4 − T1

Q = T3 +m1

m4T1 +

m3

m4T3 − 2

√m1

m4T1

√m3

m4T3 cosθ3 − T1

Q =

(1 +

m3

m4

)T3 −

(1− m1

m4

)T1 − 2

√m1

m4

m3

m4T1T3 cosθ3


Equacoes

T4 =m1

m4T1 +

m3

m4T3 − 2

√m1

m4T1

√m3

m4T3 cosθ3

Q = T3 + T4 − T1

Q = T3 +m1

m4T1 +

m3

m4T3 − 2

√m1

m4T1

√m3

m4T3 cosθ3 − T1

Q =

(1 +

m3

m4

)T3 −

(1− m1

m4

)T1 − 2

√m1

m4

m3

m4T1T3 cosθ3


Sumario

1 Momento linear


3 Centro de massa

4 Colisoes






10 Exercıcios


Posicao do centro de massa

m1

m2

y

xr1

r2rCM

r1'

r2'

Vetor posicao do centro de massa

~rCM =m1~r1 + m2~r2m1 + m2


Posicoes relativas

m1

m2

y

xr1

r2rCM

r1'

r2'

Vetor posicao relativa ao centro de massa do corpo de massa m1

~r ′1 = ~r1 − ~rCM = ~r1 −m1~r1

m1 + m2− m2~r2

m1 + m2=

m2~r1 −m2~r2

m1 + m2=

m2 (~r1 − ~r2)

m1 + m2


~r ′2 = ~r2 − ~rCM =m1~r2 −m1~r1m1 + m2

= −m1 (~r1 − ~r2)

m1 + m2= −m1

m2

~r ′1


Posicoes relativas

m1

m2

y

xr1

r2rCM

r1'

r2'


~r ′1 = ~r1 − ~rCM = ~r1 −m1~r1

m1 + m2− m2~r2

m1 + m2=

m2~r1 −m2~r2

m1 + m2=

m2 (~r1 − ~r2)

m1 + m2


~r ′2 = ~r2 − ~rCM =m1~r2 −m1~r1m1 + m2

= −m1 (~r1 − ~r2)

m1 + m2= −m1

m2

~r ′1


Centro do movimento

Combinando~r ′2 = −m1

m2

~r ′1

m1~r ′1 + m2

~r ′2 = 0

m1d~r ′1dt

+ m2d~r ′2dt

= ~p′1 + ~p′2 = 0

I O CM e o centro do movimento


Centro do movimento


m2

~r ′1

m1~r ′1 + m2

~r ′2 = 0

m1d~r ′1dt

+ m2d~r ′2dt

= ~p′1 + ~p′2 = 0



Centro do movimento


m2

~r ′1

m1~r ′1 + m2

~r ′2 = 0

m1d~r ′1dt

+ m2d~r ′2dt

= ~p′1 + ~p′2 = 0



Colisao bidimensional no referencial do CM

p’1i

p’2i

p’1f

p’2f

θ’1

θ’2

Momento linear inicial

~p′1i+ ~p′2i

= 0

Conservacao do momento linear ⇒momento linear final

~p′1f+ ~p′2f

= 0

~p′1f= −~p′2f

I Mesma direcao, mas sentidos inversos

θ′1 + θ′2 = π



p’1i

p’2i

p’1f

p’2f

θ’1

θ’2


~p′1i+ ~p′2i

= 0


~p′1f+ ~p′2f

= 0

~p′1f= −~p′2f


θ′1 + θ′2 = π



p’1i

p’2i

p’1f

p’2f

θ’1

θ’2


~p′1i+ ~p′2i

= 0


~p′1f+ ~p′2f

= 0

~p′1f= −~p′2f


θ′1 + θ′2 = π


Sumario

1 Momento linear


3 Centro de massa

4 Colisoes






10 Exercıcios


Foguete

Propulsao de um foguete

I Foguete se deslocando no espaco:∑ ~Fext = 0

v

mt

x

y

v + dv

m + dm

t + dt

vc

-dm

I vc - velocidade de escape do combustıvel com relacao ao fogueteI dm < 0 - massa perdida pelo foguete devido a queima do combustıvelI Velocidade do combustıvel com relacao ao referencial

vcr = v + dv + (−vc) = v + dv − vc


Foguete



v

mt

x

y

v + dv

m + dm

t + dt

vc

-dm

I vc - velocidade de escape do combustıvel com relacao ao foguete

I dm < 0 - massa perdida pelo foguete devido a queima do combustıvelI Velocidade do combustıvel com relacao ao referencial

vcr = v + dv + (−vc) = v + dv − vc


Foguete



v

mt

x

y

v + dv

m + dm

t + dt

vc

-dm

I vc - velocidade de escape do combustıvel com relacao ao fogueteI dm < 0 - massa perdida pelo foguete devido a queima do combustıvel

I Velocidade do combustıvel com relacao ao referencial

vcr = v + dv + (−vc) = v + dv − vc


Foguete



v

mt

x

y

v + dv

m + dm

t + dt

vc

-dm

I vc - velocidade de escape do combustıvel com relacao ao fogueteI dm < 0 - massa perdida pelo foguete devido a queima do combustıvelI Velocidade do combustıvel com relacao ao referencial

vcr = v + dv + (−vc) = v + dv − vc


Aceleracao


mv = (m + dm)(v + dv) + (−dm)(v + dv − vc)

mv = mv + mdv + vdm + dmdv − vdm − dmdv + vcdm

mdv = −vcdm

mdv

dt= F = −vc

dm

dt

I F - forca de propulsao

a = −vcm

dm

dt

a > 0, vc > 0 e dmdt < 0


Aceleracao




mdv = −vcdm

mdv

dt= F = −vc

dm

dt


a = −vcm

dm

dt

a > 0, vc > 0 e dmdt < 0


Aceleracao




mdv = −vcdm

mdv

dt= F = −vc

dm

dt


a = −vcm

dm

dt

a > 0, vc > 0 e dmdt < 0


Aceleracao




mdv = −vcdm

mdv

dt= F = −vc

dm

dt


a = −vcm

dm

dt

a > 0, vc > 0 e dmdt < 0


Aceleracao




mdv = −vcdm

mdv

dt= F = −vc

dm

dt


a = −vcm

dm

dt

a > 0, vc > 0 e dmdt < 0


Aceleracao




mdv = −vcdm

mdv

dt= F = −vc

dm

dt


a = −vcm

dm

dt

a > 0, vc > 0 e dmdt < 0


Velocidade final

Considerar vc constante, vi velocidade inicial, mi massa inicial e mf massafinal. Qual a velocidade final vf ?

dv = −vcdm

m

∫ vf

vi

dv = −vc∫ mf

mi

dm

m

vf − vi = −vc ln

(mf

mi

)

vf = vi + vc ln

(mi

mf

)

I mi

mf= 3 ⇒ vf − vi ≈ vc

I mi

mf= 7 ⇒ vf − vi ≈ 2vc


Velocidade final


dv = −vcdm

m∫ vf

vi

dv = −vc∫ mf

mi

dm

m


(mf

mi

)

vf = vi + vc ln

(mi

mf

)

I mi


I mi

mf= 7 ⇒ vf − vi ≈ 2vc


Velocidade final


dv = −vcdm

m∫ vf

vi

dv = −vc∫ mf

mi

dm

m


(mf

mi

)

vf = vi + vc ln

(mi

mf

)

I mi


I mi

mf= 7 ⇒ vf − vi ≈ 2vc


Velocidade final


dv = −vcdm

m∫ vf

vi

dv = −vc∫ mf

mi

dm

m


(mf

mi

)

vf = vi + vc ln

(mi

mf

)

I mi


I mi

mf= 7 ⇒ vf − vi ≈ 2vc


Velocidade final


dv = −vcdm

m∫ vf

vi

dv = −vc∫ mf

mi

dm

m


(mf

mi

)

vf = vi + vc ln

(mi

mf

)

I mi


I mi

mf= 7 ⇒ vf − vi ≈ 2vc


Sumario

1 Momento linear


3 Centro de massa

4 Colisoes






10 Exercıcios


Exercıcio 1

Suponha que voce jogue uma bola de massa igual a 0,40 kg contra umaparede. Ela colide com a parede quando esta se movendo horizontalmenteda direita para a esquerda a 30 m/s, retornando horizontalmente daesquerda para a direita a 20 m/s. (a) Calcule o impulso da forcaresultante sobre a bola durante sua colisao com a parede. (b) Sabendoque a bola permanece em contato com a parede durante 0,010 s, ache aforca horizontal media que a parede exerce sobre a bola durante a colisao.

R: ~J = 20ı kg m/s. Fmed = 2000 N.


Exercıcio 1

Suponha que voce jogue uma bola de massa igual a 0,40 kg contra umaparede. Ela colide com a parede quando esta se movendo horizontalmenteda direita para a esquerda a 30 m/s, retornando horizontalmente daesquerda para a direita a 20 m/s. (a) Calcule o impulso da forcaresultante sobre a bola durante sua colisao com a parede. (b) Sabendoque a bola permanece em contato com a parede durante 0,010 s, ache aforca horizontal media que a parede exerce sobre a bola durante a colisao.

R: ~J = 20ı kg m/s. Fmed = 2000 N.


Exercıcio 2

A massa de uma bola de futebol e igual a 0, 40 kg . Inicialmente, ela sedesloca da direita para a esquerda a 20 m/s, a seguir e chutadadeslocando-se com uma velocidade a 45◦ para cima e para a direita, commodulo igual a 30 m/s. Calcule o impulso da forca resultante e a forcaresultante media, supondo um intervalo de tempo da colisao∆t = 0, 010 s.

R: Jx = 16, 5 kg m/s, Jy = 8, 5 kg m/s. Fmed = 1, 9× 103 N com θ = 27◦.


Exercıcio 2

A massa de uma bola de futebol e igual a 0, 40 kg . Inicialmente, ela sedesloca da direita para a esquerda a 20 m/s, a seguir e chutadadeslocando-se com uma velocidade a 45◦ para cima e para a direita, commodulo igual a 30 m/s. Calcule o impulso da forca resultante e a forcaresultante media, supondo um intervalo de tempo da colisao∆t = 0, 010 s.

R: Jx = 16, 5 kg m/s, Jy = 8, 5 kg m/s. Fmed = 1, 9× 103 N com θ = 27◦.


Exercıcio 3

Um canhao de massa M = 1300 kg dispara uma bala de massa m = 72 kgna horizontal com uma velocidade v = 55 m/s em relacao ao canhao, querecua (sem atrito) com uma velocidade V em relacao a Terra. (a) Qual ovalor de V ? (b) Qual o valor da velocidade da bala com relacao a TerravT ?

R: (a) V = −2, 89 m/s e (b) vT = 52, 11 m/s.


Exercıcio 3

Um canhao de massa M = 1300 kg dispara uma bala de massa m = 72 kgna horizontal com uma velocidade v = 55 m/s em relacao ao canhao, querecua (sem atrito) com uma velocidade V em relacao a Terra. (a) Qual ovalor de V ? (b) Qual o valor da velocidade da bala com relacao a TerravT ?

R: (a) V = −2, 89 m/s e (b) vT = 52, 11 m/s.


Exercıcio 4

Considere dois blocos ligados por uma mola e apoiados em uma superfıciehorizontal sem atrito. Os blocos, de massas m1 e m2, sao afastados edepois liberados sem velocidade inicial. Qual e a fracao da energia cineticatotal em cada bloco depois que eles sao liberados?

m1 m2

R: f1 =m2

m1 + m2e f2 =

m1

m1 + m2


Exercıcio 4

Considere dois blocos ligados por uma mola e apoiados em uma superfıciehorizontal sem atrito. Os blocos, de massas m1 e m2, sao afastados edepois liberados sem velocidade inicial. Qual e a fracao da energia cineticatotal em cada bloco depois que eles sao liberados?

m1 m2

R: f1 =m2

m1 + m2e f2 =

m1

m1 + m2


Exercıcio 5

Uma bomba explode no interior de um coco de massa M, inicialmente emrepouso em um piso sem atrito, quebrando-se em tres pedacos, que saoarremessados horizontalmente. A figura mostra os pedacos vistos de cima.O pedaco C , com massa 0, 3M, tem velocidade vC = 5 m/s. Qual avelocidade do fragmento B, de massa 0, 2M? Qual a velocidade dofragmento A?

AB

C vCvA

vB

100o

130o

R: vB = 9, 6 m/s e vA = 14, 9 m/s


Exercıcio 5

Uma bomba explode no interior de um coco de massa M, inicialmente emrepouso em um piso sem atrito, quebrando-se em tres pedacos, que saoarremessados horizontalmente. A figura mostra os pedacos vistos de cima.O pedaco C , com massa 0, 3M, tem velocidade vC = 5 m/s. Qual avelocidade do fragmento B, de massa 0, 2M? Qual a velocidade dofragmento A?

AB

C vCvA

vB

100o

130o

R: vB = 9, 6 m/s e vA = 14, 9 m/sV. A. Chitta (IFUSP) 4300111 - Fısica I (2013) 5 de Agosto de 2013 76 / 88

Exercıcio 6

Tres partıculas de massas m1 = 1, 2 kg, m2 = 2, 5 kg e m3 = 3, 4 kgsituadas nos vertices de um triangulo equilatero de lado a = 140 cm. Quala localizacao do centro de massa do sistema?

R: xCM = 82, 8 cm e yCM = 58, 1 cm


Exercıcio 6

Tres partıculas de massas m1 = 1, 2 kg, m2 = 2, 5 kg e m3 = 3, 4 kgsituadas nos vertices de um triangulo equilatero de lado a = 140 cm. Quala localizacao do centro de massa do sistema?

R: xCM = 82, 8 cm e yCM = 58, 1 cm


Exercıcio 7

A figura mostra uma placa metalica circular de raio 2R da qual foiremovido um disco de raio R. Qual a posicao do centro de massa dosistema?

y

x2RR

R: xCM = R3 e yCM = 0


Exercıcio 7

A figura mostra uma placa metalica circular de raio 2R da qual foiremovido um disco de raio R. Qual a posicao do centro de massa dosistema?

y

x2RR

R: xCM = R3 e yCM = 0


Exercıcio 8

Voce precisa pendurar uma placa homogenea de massa M por um unicofio vertical. A placa tem o formato mostrado na figura. O lado dedimensao a deve ficar paralelo ao solo. A que distancia da extremidadeesquerda da placa voce deve fixar o fio?

a

b

R: xCM = 23a


Exercıcio 8

Voce precisa pendurar uma placa homogenea de massa M por um unicofio vertical. A placa tem o formato mostrado na figura. O lado dedimensao a deve ficar paralelo ao solo. A que distancia da extremidadeesquerda da placa voce deve fixar o fio?

a

b

R: xCM = 23a


Exercıcio 9

Uma bola de massa m e raio R e colocada no interior de uma cascaesferica com a mesma massa m e raio interno 2R. O sistema esta emrepouso sobre uma mesa na posicao indicada na figura. A bola e liberada,balanca varias vezes para um lado e para o outro e finalmente se imobilizana parte inferior da casca esferica. Qual o deslocamento d da cascaesferica durante o processo?

y

x2RR

R: d = −R2


Exercıcio 9

Uma bola de massa m e raio R e colocada no interior de uma cascaesferica com a mesma massa m e raio interno 2R. O sistema esta emrepouso sobre uma mesa na posicao indicada na figura. A bola e liberada,balanca varias vezes para um lado e para o outro e finalmente se imobilizana parte inferior da casca esferica. Qual o deslocamento d da cascaesferica durante o processo?

y

x2RR

R: d = −R2


Exercıcio 10

Uma molecula de um gas, com velocidade de 300 m/s, colideelasticamente com outra molecula de mesma massa que esta inicialmenteem repouso. Depois do choque, a primeira molecula desloca-se em umadirecao que forma um angulo de 30◦ com a direcao do movimento inicialda partıcula. Determinar a velocidade de cada molecula apos o choque e oangulo que a molecula-alvo, ao avancar, faz com a direcao de incidencia.

R: v1f = 260 m/s, v2f = 150 m/s e θ2 = 60◦.


Exercıcio 10

Uma molecula de um gas, com velocidade de 300 m/s, colideelasticamente com outra molecula de mesma massa que esta inicialmenteem repouso. Depois do choque, a primeira molecula desloca-se em umadirecao que forma um angulo de 30◦ com a direcao do movimento inicialda partıcula. Determinar a velocidade de cada molecula apos o choque e oangulo que a molecula-alvo, ao avancar, faz com a direcao de incidencia.

R: v1f = 260 m/s, v2f = 150 m/s e θ2 = 60◦.


Exercıcio 11

Um atomo de hidrogenio, movendo-se com velocidade v , colideelasticamente com uma molecula de hidrogenio em repouso, sofrendo umadeflexao de 45◦. Calcule: (a) a magnitude da velocidade do atomo apos acolisao; (b) a direcao de movimento da molecula (com respeito a direcaoinicial de movimento do atomo) e a magnitude de sua velocidade.

R: (a) v1f = 0, 859 v ; (b) v2f = 0, 362 v e θ2 = 57◦


Exercıcio 11

Um atomo de hidrogenio, movendo-se com velocidade v , colideelasticamente com uma molecula de hidrogenio em repouso, sofrendo umadeflexao de 45◦. Calcule: (a) a magnitude da velocidade do atomo apos acolisao; (b) a direcao de movimento da molecula (com respeito a direcaoinicial de movimento do atomo) e a magnitude de sua velocidade.

R: (a) v1f = 0, 859 v ; (b) v2f = 0, 362 v e θ2 = 57◦


Exercıcio 12

Um caminhao carregado, de massa total 3 toneladas, viajando para o nortea 60 km/h, colide com um carro de massa total 1 tonelada, trafegandopara leste a 90 km/h, em um cruzamento. Calcule em que direcao e deque distancia o carro e arrastado pelo caminhao, sabendo que o coeficientede atrito cinetico no local do acidente e 0,5.

R: θ = 63, 43◦ e d = 19, 53 m


Exercıcio 12

Um caminhao carregado, de massa total 3 toneladas, viajando para o nortea 60 km/h, colide com um carro de massa total 1 tonelada, trafegandopara leste a 90 km/h, em um cruzamento. Calcule em que direcao e deque distancia o carro e arrastado pelo caminhao, sabendo que o coeficientede atrito cinetico no local do acidente e 0,5.

R: θ = 63, 43◦ e d = 19, 53 m


Exercıcio 13

Uma reacao nuclear de grande importancia para a geracao de energia por fusaonuclear e a assim chamada reacao d-d para a qual um das formas e:

d + d → t + p

As partıculas representadas por tais letras sao todas isotopos do hidrogenio, comas seguintes propriedades:

p 1H proton mp = 1,00783 ud 2H deuteron md = 2,01410 ut 3H trıton mt = 3,01605 u

(a) Quanta energia cinetica aparece devido a variacao ∆m que ocorre nestareacao? (b) Um deuteron de energia cinetica Td = 1,50 MeV atinge um deuteronem repouso, iniciando a reacao. Observa-se que um proton se afasta a um angulode 90◦ com a direcao de incidencia, com uma energia cinetica de 3,39 MeV. Quale a energia cinetica do trıton? (c) A que angulo φ com a direcao de incidenciaemerge o trıton?

R: (a) ∆E = −4, 025 MeV; (b) Tt = 2, 14 MeV; (c) φ = 46, 83◦


Exercıcio 13

Uma reacao nuclear de grande importancia para a geracao de energia por fusaonuclear e a assim chamada reacao d-d para a qual um das formas e:

d + d → t + p

As partıculas representadas por tais letras sao todas isotopos do hidrogenio, comas seguintes propriedades:

p 1H proton mp = 1,00783 ud 2H deuteron md = 2,01410 ut 3H trıton mt = 3,01605 u

(a) Quanta energia cinetica aparece devido a variacao ∆m que ocorre nestareacao? (b) Um deuteron de energia cinetica Td = 1,50 MeV atinge um deuteronem repouso, iniciando a reacao. Observa-se que um proton se afasta a um angulode 90◦ com a direcao de incidencia, com uma energia cinetica de 3,39 MeV. Quale a energia cinetica do trıton? (c) A que angulo φ com a direcao de incidenciaemerge o trıton?

R: (a) ∆E = −4, 025 MeV; (b) Tt = 2, 14 MeV; (c) φ = 46, 83◦


Exercıcio 14

Um disco circular de raio a, que se desloca sobre um colchao de ar comvelocidade v e atrito desprezıvel, colide com um disco identico em repouso.O parametro de choque e b. (a) Considere a colisao no referencial docentro de massa. Levando em conta que a forca de contato entre os discosno instante da colisao esta dirigida segundo a linha que une os dois centrosO e O ′, determine o angulo de que se desviam os momentos dos doisdiscos neste referencial. (b) Determine as direcoes e magnitudes dasvelocidades dos dois discos apos a colisao, no referencial do laboratorio.

R: (a) θ′2 = 2 arcsen(

b2a

)e θ′1 = π − θ′2; (b) v1f = v cosθ1 e v2f = v senθ1

com θ1 =θ′12


Exercıcio 14

Um disco circular de raio a, que se desloca sobre um colchao de ar comvelocidade v e atrito desprezıvel, colide com um disco identico em repouso.O parametro de choque e b. (a) Considere a colisao no referencial docentro de massa. Levando em conta que a forca de contato entre os discosno instante da colisao esta dirigida segundo a linha que une os dois centrosO e O ′, determine o angulo de que se desviam os momentos dos doisdiscos neste referencial. (b) Determine as direcoes e magnitudes dasvelocidades dos dois discos apos a colisao, no referencial do laboratorio.

R: (a) θ′2 = 2 arcsen(

b2a

)e θ′1 = π − θ′2; (b) v1f = v cosθ1 e v2f = v senθ1

com θ1 =θ′12


Exercıcio 15

Um rojao, lancado segundo um angulo de 45◦ com a horizontal, explodeem dois fragmentos ao atingir a sua altura maxima, de 25 m; osfragmentos sao lancados horizontalmente. Um deles, de massa igual a100 g , cai no mesmo plano vertical da trajetoria inicial, a 90 m dedistancia do ponto de lancamento. O outro fragmento tem massa igual a50 g . (a) A que distancia do ponto de lancamento cai o fragmento maisleve? (b) Quais sao as velocidades comunicadas aos dois fragmentos emconsequencia da explosao? (c) Qual e a energia mecanica liberada pelaexplosao?

R: (a) 120 m; (b) v1 = 8√

5 m/s e v2 = 14√

5 m/s; (c) Q = 3 J


Exercıcio 15

Um rojao, lancado segundo um angulo de 45◦ com a horizontal, explodeem dois fragmentos ao atingir a sua altura maxima, de 25 m; osfragmentos sao lancados horizontalmente. Um deles, de massa igual a100 g , cai no mesmo plano vertical da trajetoria inicial, a 90 m dedistancia do ponto de lancamento. O outro fragmento tem massa igual a50 g . (a) A que distancia do ponto de lancamento cai o fragmento maisleve? (b) Quais sao as velocidades comunicadas aos dois fragmentos emconsequencia da explosao? (c) Qual e a energia mecanica liberada pelaexplosao?

R: (a) 120 m; (b) v1 = 8√

5 m/s e v2 = 14√

5 m/s; (c) Q = 3 J


Exercıcio 16

O motor de um foguete tem uma taxa de queima de combustıvel∣∣dmdt

∣∣ = 3, 8 kg/s e a velocidade dos gases de exaustao evc = 2, 3× 103 m/s. Determine: (a) o modulo do empuxo do motor; (b) amassa maxima que o foguete pode ter ao decolar da superfıcie da Terra.(c) Se a massa do foguete e de 900 kg no instante em que o motor atingepotencia plena, quanto tempo levara ate que o foguete comece a decolar?

R: (a) F = 8740 N; (b) M < 874 kg; (c) ∆t = 6, 8 s


Exercıcio 16

O motor de um foguete tem uma taxa de queima de combustıvel∣∣dmdt

∣∣ = 3, 8 kg/s e a velocidade dos gases de exaustao evc = 2, 3× 103 m/s. Determine: (a) o modulo do empuxo do motor; (b) amassa maxima que o foguete pode ter ao decolar da superfıcie da Terra.(c) Se a massa do foguete e de 900 kg no instante em que o motor atingepotencia plena, quanto tempo levara ate que o foguete comece a decolar?

R: (a) F = 8740 N; (b) M < 874 kg; (c) ∆t = 6, 8 s


Exercıcio 17

Um foguete tem massa igual a 15000 kg quando esta completamentecheio de combustıvel, em uma plataforma de lancamento. Ele e lancadoverticalmente e quando o seu combustıvel for totalmente queimado suamassa passara a ser 5000 kg. Os gases sao ejetados a taxa de 150 kg/scom a velocidade de 2000 m/s em relacao ao foguete (velocidade deescape), valores estes, ambos, supostos constantes, enquanto ocombustıvel e queimado. (a) Qual e o empuxo que age sobre o foguete?(b) Se pudessemos desprezar todas as forcas externas, incluindo a forca dagravidade e a resistencia do ar, qual seria a velocidade do foguete apostodo o combustıvel ter sido queimado?

R: (a) F = 3× 105 N; (b) vf = 2197, 2 m/s


Exercıcio 17

Um foguete tem massa igual a 15000 kg quando esta completamentecheio de combustıvel, em uma plataforma de lancamento. Ele e lancadoverticalmente e quando o seu combustıvel for totalmente queimado suamassa passara a ser 5000 kg. Os gases sao ejetados a taxa de 150 kg/scom a velocidade de 2000 m/s em relacao ao foguete (velocidade deescape), valores estes, ambos, supostos constantes, enquanto ocombustıvel e queimado. (a) Qual e o empuxo que age sobre o foguete?(b) Se pudessemos desprezar todas as forcas externas, incluindo a forca dagravidade e a resistencia do ar, qual seria a velocidade do foguete apostodo o combustıvel ter sido queimado?

R: (a) F = 3× 105 N; (b) vf = 2197, 2 m/s


F sica I Aula I - Momento Linearromeo.if.usp.br/~vchitta/Ensino/Arquivos/MomentoLinear_4300111.pdf · Colis~oes e conserva˘c~ao do momento linear An alise de uma colis~ao usando

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