Pendugaan Interval - Srava Chrisdes 1 PENDUGAAN INTERVAL A. DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL Distribusi probabilitas normal: = 1 2β β 2 22 dengan = 3,1416.... = 2,7183.... = parameter, yang merupakan rata-rata untuk distribusi = parameter, yang merupakan simpangan baku (deviasi standar) untuk distribusi Karakteristik dari distribusi probabilitas normal: berbentuk bell-shaped, yaitu saat mean aritmetika, median, dan modus bernilai sama dan terletak di tengah kurva distribusi; total luas daerah di bawah kurva adalah 1 mean-nya bersifat simetris, sehingga luas daerah di bawah kurva ke kiri dari mean adalah 0,5 dan luas daerah di bawah kurva ke kanan dari mean adalah 0,5 lokasi dari distribusi normal ditentukan oleh mean (), sedangkan penyebaran data ditentukan oleh simpangan baku () Secara grafik, karakteristik dari distribusi probabilitas normal adalah sebagai berikut. Gambar 1. Karakteristik dari suatu distribusi probabilitas normal Banyaknya distribusi normal tidak terbatas karena setiap sampel dari populasi bisa jadi akan memiliki mean yang berbeda dan simpangan baku yang berbeda pula. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh gambar berikut dengan: a. mean-nya sama dan simpangan bakunya berbeda, b. mean-nya berbeda dan simpangan bakunya sama, c. mean dan simpangan bakunya berbeda.
14
Embed
π π₯= π2π - Gunadarmasrava_chrisdes.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/...Pendugaan interval akan memberikan nilai-nilai statistik dalam suatu interval, atau dengan kata
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Pendugaan Interval - Srava Chrisdes 1
PENDUGAAN INTERVAL
A. DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL
Distribusi probabilitas normal:
π π₯ =1
π 2ππβ
πβπ 2
2π2
dengan
π = 3,1416....
π = 2,7183....
π = parameter, yang merupakan rata-rata untuk distribusi
π = parameter, yang merupakan simpangan baku (deviasi standar) untuk
distribusi
Karakteristik dari distribusi probabilitas normal:
berbentuk bell-shaped, yaitu saat mean aritmetika, median, dan modus bernilai sama
dan terletak di tengah kurva distribusi; total luas daerah di bawah kurva adalah 1 mean-nya bersifat simetris, sehingga luas daerah di bawah kurva ke kiri dari mean
adalah 0,5 dan luas daerah di bawah kurva ke kanan dari mean adalah 0,5 lokasi dari distribusi normal ditentukan oleh mean (π), sedangkan penyebaran data
ditentukan oleh simpangan baku (π)
Secara grafik, karakteristik dari distribusi probabilitas normal adalah sebagai berikut.
Gambar 1. Karakteristik dari suatu distribusi probabilitas normal
Banyaknya distribusi normal tidak terbatas karena setiap sampel dari populasi bisa jadi akan
memiliki mean yang berbeda dan simpangan baku yang berbeda pula.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh gambar berikut dengan:
a. mean-nya sama dan simpangan bakunya berbeda,
b. mean-nya berbeda dan simpangan bakunya sama,
c. mean dan simpangan bakunya berbeda.
Pendugaan Interval - Srava Chrisdes 2
a.
b.
c.
Gambar 2. Contoh suatu distribusi probabilitas normal dengan beragam nilai π dan π
Sembarang distribusi probabilitas normal dapat diubah menjadi distribusi probabilitas
normal standar. Distribusi probabilitas normal standar ini disebut juga distribusi π§, karena
hasil standardisasi dari distribusi probabilitas normal menjadi distribusi probabilitas normal
standar disebut dengan nilai-π§, yaitu:
π =π β π
π β π₯ = π + ππ
dengan π = nilai observasi pada data
π = mean populasi
π = simpangan baku populasi
Pendugaan Interval - Srava Chrisdes 3
Distribusi π§ atau distribusi probabilitas normal standar ini memiliki keunikan, yaitu mean
π = 0 dan simpangan baku π = 1.
Setelah memiliki distribusi probabilitas normal standar yang didapat dari distribusi
probabilitas normal, maka daftar distribusi normal standar (tabel distribusi π§) dapat
digunakan. Dengan daftar ini, bagian-bagian luas dari distribusi normal standar dapat dicari.
Contoh 1
Tentukan π(π β€ 1,63).
Jawab:
π(π β€ 1,63) berarti bahwa probabilitas ini bergantung pada luas area di bawah kurva ke kiri
dengan π mean sampel, πΌ tingkat kepercayaan, ππ derajat kebebasan (ππ = π β 1), π
simpangan baku sampel, π ukuran sampel, π
π sebagai kesalahan baku (SE) dari mean sampel,
dan π‘(1βπΌ)/2π
π sebagai margin error (ME).
Interval kepercayaan untuk proporsi dari populasi yang terbatas adalah:
π Β± π§πΌ/2 π 1 β π
πβ
π β π
π β 1
π β π§πΌ/2 π (1 β π )
πβ
π β π
π β 1β€ π β€ π + π§πΌ/2
π (1 β π )
πβ
π β π
π β 1
dengan π proporsi sampel, πΌ tingkat kepercayaan, π ukuran sampel, π (1βπ )
π sebagai
kesalahan baku (SE) dari proporsi sampel, dan π§πΌ/2 π (1βπ )
π sebagai margin error (ME).
Contoh 6
Ada 250 keluarga di Scandia. Sampel acak berupa 40 keluarga menyatakan rata-rata
sumbangan untuk gereja per tahun adalah $450 dan simpangan bakunya sebesar $75.
a) Tentukan estimasi terbaik untuk rata-rata populasi !
b) Dengan tingkat kepercayaan 90%, tentukan interval kepercayaan untuk rata-rata
populasi !
c) Interpretasikan interval kepercayaan yang diperoleh dari jawaban b !
Jawab:
Diketahui π = 250, π = 40, π = 450, dan π = 75.
a) Rata-rata populasi dalam hal ini tidak diketahui, tapi rata-rata sampel merupakan
estimasi titik untuk mengestimasi nilai rata-rata dari populasi, sehingga estimasi terbaik
tentang rata-rata populasi adalah $450.
b) Dengan tingkat kepercayaan 90%, maka 0,90 sehingga (1 ) / 2 0,05 .
Karena π = 40 dan derajat kebebasannya ππ = π β 1 = 39, maka π‘0,05 (39) = 1,685.
(lihat tabel distribusi π‘)
Pendugaan Interval - Srava Chrisdes 11
π Β± π‘ βπ
πβ
π β π
π β 1= 450 Β± 1,685 Γ
75
40Γ
250 β 40
250 β 1= $450 Β± 18,343
β 450 β 18,343 β€ π β€ 450 + 18,343
β πππ, πππ β€ π β€ πππ,πππ Dengan demikian, dengan tingkat kepercayaan 90%, rata-rata populasi berada di antara
$431,657 dan $468,343.
c) Interpretasi dari jawaban b adalah bahwa kemungkinan rata-rata populasi dari
pengeluaran keluarga untuk kebutuhan rumah tangga di Scandia itu lebih dari $431,657
tetapi kurangdari $468,343.
2. Pendugaan interval selisih dua rata-rata
>> SIMPANGAN BAKU POPULASI ( π1 dan π2 ) DIKETAHUI
Karena ini merupakan βselisih dua rata-rataβ, maka harus ada dua simpangan baku populasi
yang diketahui.
(a) Jika π1 = π2, maka : - Interval kepercayaan dari selisih dua rata-rata dengan populasi tidak terbatas adalah: