Υπηρεσίες Διδασκαλίας - 2 200 · 2018. 7. 19. · Η Στήλη των Μαθηματικών.Τετάρτη 4 Ιανουαρίου 2012 2/4 Δηλαδή: Μαθηματικές

'' ''

,

''

200

0 -4email

kdortsi@gmail com

Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 4 Ιανουαρίου 2012 1/4

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο,

τ. Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων

Ο Αριστοτέλης και τα Μαθηματικά

Οι αναφορές στα παράδοξα του Ζήνωνα

Εύδοξος ο Κνίδιος Το «αξίωμα της συνέχειας» αποτελεί ένα σπουδαίο «εύρημα» του Ευδόξου, το οποίο κατάφερε, όπως αναφέρθηκε (Σ.Μ.293), να δώσει απάντηση στο αδιέξοδο των Πυθαγορείων με την ανακάλυψη των ασύμμετρων αριθμών. Πριν δούμε πώς αυτό το αξίωμα βοήθησε στο ξεπέρασμα των αδιεξόδων στα οποία οδηγούσαν τα παράδοξα του Ζήνωνα, αξίζει να το σχολιάσουμε εκτενέστερα. Στο βιβλίο «Εύδοξος ο Κνίδιος. Ένας μεγάλος άγνωστος» του Ε. Σπανδάγου, εκδόσεις «Αίθρα» σελίδα 29, διαβάζει κανείς για το «αξίωμα της συνέχειας» τα εξής: «Ο τέταρτος ορισμός θεωρείται ο πρόδρομος του περίφημου Αξιώματος του Αρχιμήδους, (το οποίο αρκετοί συγγραφείς το αποκαλούν και ως αξίωμα του Αρχιμήδους – Ευδόξου) σύμφωνα με το οποίο ισχύει: Αν δοθούν δύο ομοειδή μεγέθη ,α β με α β< υπάρχει πάντα ένας θετικός ακέραιος ν , ώστε: να β> » Αν τα ομοειδή μεγέθη τα θεωρήσουμε πως είναι ευθύγραμμα τμήματα τότε το «αξίωμα της συνέχειας» λέει: Έστω ότι μας δίνονται τα ευθύγραμμα τμήματα αΑΒ = και βΓΔ = τέτοια ώστε:

ΑΒ < ΓΔ τότε υπάρχει ένας φυσικός αριθμός ν τέτοιος που όταν πολλαπλασιάζει το μικρό τμήμα, δίνει ως αποτέλεσμα ένα τμήμα μεγαλύτερο του μεγάλου τμήματος. Δηλαδή για το γινόμενο αυτό ισχύει:

νΑΒ > ΓΔ Η πρόταση αυτή σχηματικά ερμηνεύται: Αν έχουμε τα κατωτέρω ευθύγραμμα τμήματα:

τότε υπάρχει φυσικός αριθμός ν που αν πολλαπλασιάσει το μικρό δίνει αποτέλεσμα που ξεπερνά το μεγαλύτερο τμήμα.

No:294


Δηλαδή:

Μαθηματικές προκλήσεις – προσκλήσεις – ασκήσεις

393. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση

[ ] [ ] ( ): , , 1f a b a b→ όπου *,a b R+∈ με a b< . Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστο

[ ],a bθ ∈ τέτοιο ώστε: ( ) ( )2 22f fθ θ θ θ+ =

(Θεώρημα Bolzano: Κ. Γιαννιτσιώτη, Α. Καραγεώργος) Λύση:

Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο:

( ) ( ) ( )2 22g x f x xf x x= + − η οποία έχει το ίδιο πεδίο ορισμού με την f .

Για τη συνάρτηση αυτή ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( )2 22 2g a f a af a a= + − ( ) ( ) ( ) ( )2 22 3g b f b bf b b= + −

Όμως από την (1) κι επειδή , 0a b > ισχύει:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

2 2 2

2 2 2

4 675

a f a b a f a ba f b ba f b b

≤ ≤ ⎫ ≤ ≤⎪⇒⎬ ≤ ≤≤ ≤ ⎪⎭ Επίσης από την (4) και (5) προκύπτει:

( ) ( )( ) ( )

2

2

8

9

a af a ab

ab bf b b

≤ ≤

≤ ≤ Προσθέτοντας τις (6) και (8) κατά μέλη έχουμε:

( ) ( )2 2 2 2a a f a af a b ab+ ≤ + ≤ + από την οποία προκύπτει:

( ) ( ) ( )2 22 0 10f a af a a+ − ≥


Όμοια προσθέτοντας τις (7) και (9) κατά μέλη έχουμε:

( ) ( ) ( )2 22 0 11f b bf b b+ − ≤ από τις (10) και (11) και εφαρμόζοντας το θεώρημα του Bolzano στο διάστημα: [ ],a b προκύπτει ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα [ ],a bθ ∈ τέτοιο ώστε:

( ) ( )2 22 0f fθ θ θ θ+ − = Δηλαδή γι’ αυτό το θ ισχύει:

( ) ( )2 22f fθ θ θ θ+ = δηλαδή η σχέση που ζητούσαμε.

394. Να δειχθεί ότι ο αριθμός

{ }*99

99...9 , 1έφ ορ ς

α αΑ = ∈Ν −

δεν είναι πρώτος. (T. Andreescu-B.Enescu: Olympiade de Matematica)

Λύση: Ο αριθμός Α είναι γραμμένος στο δεκαδικό σύστημα και συνεπώς το τελευταίο ψηφίο του a μπορεί να λάβει τις ακόλουθες τιμές:

2,3, 4,5,6,7,8,9a = Για τον αριθμόa διακρίνουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις:

1η περίπτωση: Έστω πως είναι:

2, 4,6,8a = τότε ο αριθμός Α είναι σύνθετος διότι είναι πάντα άρτιος, δηλαδή διαιρείται με το 2 . 2η περίπτωση: Έστω πως είναι

3,9a = τότε ο αριθμός Α είναι πάλι σύνθετος γιατί το άθροισμα των ψηφίων του είναι πάντα διαιρετό με το 3και συνεπώς ο αριθμός αυτός διαιρείται με το 3 . 3η περίπτωση: Έστω πως είναι:

5a = τότε ο αριθμός Α θα είναι σύνθετος γιατί θα διαιρείται με τον αριθμό 5 . 4η περίπτωση: Απομένει να ελεγχθεί η περίπτωση:

7a = Έστω λοιπόν πως είναι 7a = τότε ο αριθμός Α παίρνει τη μορφή:

99

999...9 10 7έφορ ς

Α = ⋅ + ⇒


( )98 97 969 10 10 10 ... 10 1 10 7Α = + + + + + ⋅ + ⇒ 9Α =

9910 110 1

−⋅

−10 7

⎛ ⎞⋅ + ⇒⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )( ) ( )

( )

( )

99 100 100

50 1002 50

2550 2

25 25

525 5

5 5

10 1 10 7 10 10 7 10 3

10 3 100 3 13 9 3

13 9 3 13 9 3

13 81 3 13 ( 13 3) 3

13 13 3 3 13 3 3

13 243 3 13 ( 13 9) 313 13

πολ

πολ πολ

πολ πολ πολ



πολ πολ

Α = − ⋅ + = − + = − =

= − = − = + − =

= + − = + − =

= + − = + + − =

= + + − = + − =

= + − = + + − =

= + + 5 59 3 13 9 313 59049 3 13 5904613 13 4542 13

13

πολπολ πολπολ πολ

πολ

− = + − == + − = + == + ⋅ = ⇒

⇒Α =

Δηλαδή ο αριθμός αυτός είναι πάντα σύνθετος.

Για την άλλη φορά

428. Δίνεται περιγράψιμο σε κύκλο τετράπλευρο ΑΒΓΔ όπου:

, , ,α β γ δΑΒ = ΒΓ = ΓΔ = ΔΑ = τα μήκη τον πλευρών του.

Να αποδειχθεί ότι:

2 2αδ ημ βγ ημΑ Γ⋅ = ⋅

Παράρτημα της Ε.Μ.Ε. 2ο Εν.Λύκειο Κοζάνης

Κάλβου 50100 Κοζάνη ή ηλεκτρονικά: [email protected]







Εύδοξος ο Κνίδιος Για τη μεγάλη σημασία του έργου που παρουσίασε ο Εύδοξος σχετικά με την προώθηση των μαθηματικών και τη γεφύρωση του χάσματος από την εποχή των Πυθαγορείων που αφορούσε τη θεμελίωση των άρρητων αριθμών, αναφέρθηκαν και οι μεγάλοι μελετητές της Ιστορίας των Μαθηματικών. Ο ιστορικός Gino Loria (1862-1954) στο μεγάλο έργο του «Ιστορία των Μαθηματικών» γράφει: «Οἱ χρόνοι κατά τούς ὁποίους ὁ Πλάτων ἤσκησε τήν πνευματικήν καί διδακτικήν του δράσιν, συμπίπτουν περίπου μέ τούς χρόνους τῆς ἀκμῆς ἑνός ἀπό τούς ἐξοχωτέρους, ἐκπροσώπους τῆς διανοήσεως… Ὁμιλοῦμεν διά τόν Εὐδοξον Αἰσχίνου τόν Κνίδιον(407-354 π.Χ.) (Ιστορία των Μαθηματικών. Τόμ.1. σελ.59) Στον εξοχότατο αυτό μαθηματικό της ελληνικής αρχαιότητας ο Gino Loria αποδίδει και το «αξίωμα της συνέχειας» γράφοντας: «Ἐάν ὡς δεικνύουν τά πράγματα, ὁ Εύδοξος εἶχεν ἀποδείξει τά σημαντικά αὐτά θεωρήματα, πρέπει ν’ ἀποδώσωμεν εἰς αὐτόν καί την δόξαν ὃτι εἶχεν ἤδη διατυπώσει καί ἐφαρμόσει μίαν γενικωτάτην ἀρχήν ἰσοδύναμον πρός τό περίφημον ἀξίωμα του Ἀρχιμήδους:

«δοθέντων δύο ὁμοειδῶν μεγεθῶν ὑπάρχει πάντοτε πολλαπλάσιον τοῦ μικροτέρου ὑπερβαίνον τό μεγαλύτερον»

(Ιστορία των Μαθηματικών. Τόμ.1. σελ.60) Είναι φανερή η πρόθεση του Ιταλού αυτού ιστορικού να δηλώσει το μεγαλείο του πνεύματος καθώς και της προσφοράς στη μαθηματική επιστήμη του Κνίδιου αυτού μαθηματικού. Οι χαρακτηρισμοί: «εξοχότερος εκπρόσωπος της διανόησης» και «πρέπει ν’ αποδώσουμε σ’ αυτόν και τη δόξα» εκφράζουν τη βαθιά πεποίθηση της μεγάλης και αξιόλογης συνεισφοράς του Ευδόξου στην εξέλιξη των μαθηματικών. Ο Gino Loria αποδίδει στον Εύδοξο και σημαντικές τελειοποιήσεις στις μέχρι την εποχή του λύσεις του δηλίου προβλήματος, καθώς και στις μελέτες του στην Αστρονομία. Τέλος το «αξίωμα της συνέχειας» όπως το αναφέρει ο Gino Loria είναι η πρόταση εκείνη που αναφέρθηκε και προηγούμενα με δύο διαφορετικές εκφράσεις. (Σ.Μ.293 και Σ.Μ. 294).

No:295

Gino Loria(1862-1954)


Έτσι μέχρι τώρα το αξίωμα αυτό το είδαμε με τρείς διατυπώσεις: 1η. «Δοθέντων δύο ομοειδών μεγεθών υπάρχει πάντοτε πολλαπλάσιον του μικροτέρου υπερβαίνον τό μεγαλύτερον»(Gino Loria) 2η Αν δοθούν δύο ομοειδή μεγέθη ,α β με α β< υπάρχει πάντα ένας θετικός ακέραιος ν , ώστε: να β> (Σ.Μ.294) 2η Αν δοθούν δύο άνισα μεγέθη, η διαφορά αυτών πολλαπλασιασμένη με κάποιον αριθμό ξεπερνά το μεγάλο μέγεθος. (Σ.Μ. 293)


395. Έστω ο μιγαδικός αριθμός: ( )( )1 1w z iz= − −

Να βρεθεί το σύνολο των εικόνων του μιγαδικού αριθμού z όταν:

1ο) Ο αριθμός w R∈ 2ο) Ο αριθμός w C R∈ −

Λύση: Έστω

, ,z a bi a b R= + ∈ 1η περίπτωση:

Έστω ότι:

( )1w R∈ τότε η (1) ισοδυναμεί:

( ) ( )( ) ( )( )1 1 1 1 1w w z iz z iz⇔ = ⇔ − − = − − ⇔ ( )( ) ( ) ( )1 1 1 1z iz z iz⇔ − − = − ⋅ − ⇔ ( )( ) ( ) ( )1 1 1 1z iz z iz⇔ − − = − ⋅ − ⇔ ( )( ) ( ) ( )1 1 1 1z iz z i z⇔ − − = − ⋅ − ⋅ ⇔ ( )( ) ( ) ( )1 1 1 1z iz z i z⇔ − − = − ⋅ + ⋅ ⇔

1⇔ 2 1iz z iz− − + = ( )2i z z i z+ ⋅ − − ⋅ ⇔ ( )22 0iz z iz i z z i z⇔ − − + − ⋅ + + ⋅ = ⇔

( ) ( ) ( ) ( )22 0 2i z z z z i z z⇔ − + − − + − =


κι επειδή:

2 2 2

2 2 2

2 , 22

2

z z a z z biz a b abi

z a b abi

+ = − =

= − +

= − −

η σχέση (2) ισοδυναμεί:

( )( ) ( ) 2 2

2

2 2 2i a bi i a b abi

⇔

− − + − + 2 2 2a b abi+ − −( ) 0=( ) ( )2 22 2 0i a b i a b⇔ − + + − = ⇔

( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 0 0a b a b a b a b a b⇔ − + + − = ⇔ − + + − + = ⇔( ) ( ) ( )( )1 0 1 0a b a b a b a b⇔ + − + − = ⇔ + − − = ⇔⎡ ⎤⎣ ⎦

( )( ) ( )( )0 3

1 01 1 4

a b b aa b a b

a b b a+ = ⇔ = −⎧⎪⇔ + − − = ⇔ ⎨ − = ⇔ = −⎪⎩

• Έστω ότι είναι:

b a= − τότε:

,z a ai a R= − ∈ Άρα:

,x a x a

y x y x x Ry a y a= =⎫ ⎫

⇒ ⇒ − = ⇔ = − ∈⎬ ⎬= − − =⎭ ⎭ Έτσι στην περίπτωση αυτή οι εικόνες Μ των μιγαδικών αριθμών z ανήκουν στη διχοτόμο 1( )e της δεύτερης γωνίας των αξόνων (Σχ.1)

• Έστω ότι είναι:

1b a= − τότε:

( )1 ,z a a i a R= + − ∈ Άρα:

1 1,1 1

x a x ay x y x x R

y a y a= =⎫ ⎫

⇒ ⇒ + = ⇔ = − ∈⎬ ⎬= − + =⎭ ⎭


Άρα οι εικόνες Μ(z) ανήκουν στην ευθεία 2( )e (Σχ.1) 2η περίπτωση:

Έστω ότι:

( )5w C R∈ − τότε η (5) ισοδυναμεί αντίστοιχα με:

( ) ( )( ) ( )( )5 1 1 1 1w w z iz z iz⇔ = − ⇔ − − = − − − Εκτελώντας τις πράξεις όπως και πριν καταλήγουμε στην ισοδυναμία:

( ) ( )5 2 1 0 6a b ab⇔ + − + = Αν θέσουμε τώρα ,a x b y= = η σχέση (6) γίνεται:

( )1 72 1xyx+

=−

Άρα οι εικόνες των Μ(z) ανήκουν στην υπερβολή ( )c που εκφράζει η (7). (Σχ.1)


429. Αν για τους θετικούς αριθμούς , ,a b c ισχύει 2 2 2 3ab bc ca+ + =

τότε να δειχθεί:

( )4 4 43 3 37 7 7 2a b c a b c+ + + + + ≤ + +



Σχήμα 1







Εύδοξος ο Κνίδιος Κλείνοντας την αναφορά μας στο έργο του Ευδόξου και χωρίς να το έχουμε εξαντλήσει στην όλη του έκταση, θα αναφερθούμε σύντομα σε μερικές ακόμα απόψεις ενός άλλου μεγάλου ιστορικού των Αρχαίων Ελληνικών Μαθηματικών, του Sir Thomas L. Heath(1861-1940). Στο δέκατο κεφάλαιο του πρώτου τόμου της «Ιστορίας των Ελληνικών Μαθηματικών» ο ιστορικός αυτός μιλά για την περίοδο που παρεμβάλλεται από τον Πλάτωνα έως και τον Ευκλείδη. Είναι το χρονικό διάστημα στο οποίο κάνει την εμφάνιση του ο Εύδοξος ο Κνίδιος. Στο κεφάλαιο αυτό ο T. L. Heath γράφει με πολύ αναλυτικό και πειστικό τρόπο για τη ζωή και το έργο του μαθηματικού Ευδόξου. Αναφέρεται κυρίως σε τρία θέματα που ανήκουν στη σκέψη και στην πατρότητα του Κνίδιου αυτού μαθηματικού. Τα θέματα αυτά είναι: (α) Η Θεωρία των αναλογιών (β) Η μέθοδος της εξάντλησης και (γ) Η Θεωρία των ομόκεντρων σφαιρών. Στη θεωρία των αναλογιών του βιβλίου αυτού διαβάζουμε: «Ο ανώνυμος συγγραφέας ενός σχολίου στο Βιβλίο V του Ευκλείδη, ο οποίος είναι πιθανότατα ο Πρόκλος, αναφέρει ότι ΄΄κάποιοι λένε΄΄ πως αυτό το Βιβλίο, που περιέχει τη γενική θεωρία αναλογιών, η οποία είναι εξίσου εφαρμόσιμη στη Γεωμετρία, στην Αριθμητική, στη Μουσική και σε όλες τις μαθηματικές επιστήμες,΄΄είναι επινόηση του Ευδόξου΄΄, του δασκάλου του Πλάτωνα». Για το «Αξίωμα της συνέχειας» ή το «Αξίωμα του Αρχιμήδη» ο T. L. Heath καταλήγει, παρόλο που εκφράζει κάποιες αμφιβολίες, ότι ο Εύδοξος υπήρξε ο πρώτος που διατύπωσε την πρόταση αυτή και μάλιστα ο πρώτος που τη χρησιμοποίησε για να αποδείξει τον όγκο της πυραμίδας. Η πρόταση αυτή(Ορισμός 4, Βιβλίο V) όπως είναι διατυπωμένη οριστικά πλέον στα Στοιχεία του Ευκλείδη λέει: «δ΄. Λόγον ἔχειν πρός ἄλληλα μεγέθη λέγεται, ἃ δύνανται πολλαπλασιαζόμενα ἀλλήλων ὑπερέχειν»

No:296

Εξώφυλλο του 1ου τόμου


Δηλαδή: «Μεγέθη λέγονται, ὃτι ἔχουσι λόγον πρός ἄλληλα, ὃταν πολλαπλασιαζόμενα δύνανται να ὑπερέχωσιν ἀλλήλων» Ο ορισμός αυτός σύμφωνα με τον Ε. Σταμάτη λογίζεται ως το «αξίωμα της συνέχειας του Ευδόξου» και μάλιστα εκείνος που έκανε την πρώτη αναφορά σ’ αυτό είναι ο φιλόσοφος Αναξαγόρας. Επιπλέον, σύμφωνα πάλι με τις απόψεις του έλληνα αυτού ιστορικού, το αξίωμα αυτό είναι εκείνο που οδήγησε αργότερα κατά τον 19ο αιώνα τους Dedekind–Cantor στην ολοκληρωμένη πια μορφή το αξιώματος αυτού.


396. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και οι διχοτόμοι ΑΑ΄,ΒΒ΄, ΓΓ΄ που τέμνονται στο σημείο Ι. Αν ισχύει:

( )' ' ' ' ' ' 1ΑΓ +ΒΑ +ΓΒ = Γ Β +Α Γ +Β Α να δειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.

(Ζανταρίδης Νικόλαος. Μαθηματικός, Έδεσσα) Λύση: Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ (Σχ. 1) οι ', ', 'ΑΑ ΒΒ ΓΓ είναι οι διχοτόμοι των

γωνιών , , ,Α Β Γ αντίστοιχα και , ,α β γΒΓ = ΓΑ = ΑΒ = τότε θα είναι:

( )' ' , ' 2βγ αγ βαα β β γ α γ

ΑΓ = ΒΑ = ΓΒ =+ + +

καθώς επίσης:

( )' , ' , ' 3γα αβ βγα β β γ α γ

Γ Β = Α Γ = Β Α =+ + +

Σύμφωνα με τις (2) και (3) η ζητούμενη σχέση ισοδυναμεί:

( ) ( )1 4βγ αγ αβ αγ αβ βγα β β γ α γ α β β γ α γ

⇔ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅+ + + + + +

Η (4) μετά την απαλοιφή των παρονομαστών και την εκτέλεση των πράξεων ισοδυναμεί με την:

3 3 3 3 3 3αβ βγ γα αγ βα γβ+ + = + +


ή ακόμα: 3 3 3 3 3 3 0αβ βγ γα αγ βα γβ⇔ + + − − − = ⇔

( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3 0αβ βα βγ αγ γα γβ⇔ − + − + − = ⇔ ( ) ( ) ( )2 2 3 3 3 0αβ β α γ β α γ α β⇔ − + − + − = ⇔

( ) ( ) ( )3 2 2 0α β αβ β α γ γ α αβ β⎡ ⎤⇔ − − + − + + + = ⇔⎣ ⎦( ) 2 2 3 2 2 0α β αβ α β γ γα αβγ γβ⎡ ⎤⇔ − − − − + + + = ⇔⎣ ⎦( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 0α β αβ β γ α β γ γ β γ⎡ ⎤⇔ − − − − − + − = ⇔⎣ ⎦

( ) ( ) ( )2 0α β β γ αβ α γ β γ⎡ ⎤⇔ − − − − + + = ⇔⎣ ⎦ ( )( ) 2 2 0α β β γ αβ α βγ γ⎡ ⎤⇔ − − − − + + = ⇔⎣ ⎦

( ) ( ) ( ) ( )2 2 0α β β γ β α γ α γ⎡ ⎤⇔ − − − − − − = ⇔⎣ ⎦ ( )( )( ) ( ) 0α β β γ α γ β α γ⇔ − − − − − + = ⇔⎡ ⎤⎣ ⎦ ( )( )( )( ) 0α β β γ α γ β α γ⇔ − − − − − − = ⇔ ( ) ( ) ( )( ) ( )0 5α β β γ γ α α β γ⇔ − − − + + =

Από την (5) προκύπτει:

ή ήα β β γ γ α= = = που σημαίνει πως το τρίγωνο σε κάθε περίπτωση είναι ισοσκελές.

Παρατήρηση: Προφανώς ισχύει και το αντίστροφο. Δηλαδή αν το τρίγωνο είναι ισοσκελές

τότε θα ισχύει και η σχέση (1).

397. Έστω η συνεχής συνάρτηση f τέτοια ώστε:

( ) [ ) ( )2 63 2 8 4 , 4, 16xx x x f x x xημ+ − + ≤ ⋅ ≤ + ∀ ∈ − +∞

i) Να δείξετε ότι: ( ) 106

f =

ii) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστο ένα ( ]0,1κ ∈ έτσι ώστε:

( ) 66

f κκ ημ κ= +


(Κ. Γιαννιτσιώτης, Α.Καραγεώργος: Θεώρημα Bolzano. Σελ. 44) Λύση:

i) Έστω 0x > . Τότε από την (1) προκύπτει:

( ) ( )6

23

( ) ( )

2 8 4 6 2

F x G x

x xx x f xx x

ημ ++ − +≤ ≤

Άρα:

( )( ) ( )23

0 0

2 8 2 4 2lim limx x

x xF x

x→ + →++ − − + −

• = =

23

0 0

2 8 2 4 2lim limx x

x xx x→+ → ++ − + −

= − =

0

2limx

x→+

=8+ 32−

x ( )2

2 023 3lim

2 8 2 2 8 2 xx

x x → +−

⎡ ⎤+ + + +⎢ ⎥⎣ ⎦

4+ 22−x ( )2 4 2x

=+ +

0 0

2 0 1lim lim4 4 4 2 2 6x x→+ → +

= − =+ + +

Όμοια είναι:

( ) 50 0

1 16lim lim 06 66

6x x

x

G x xx

ημ

→ + →+

⎛ ⎞⎜ ⎟

• = + = + =⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

Άρα:

( ) ( )0 0

lim 1 6 lim 1 6f ή

x xf x f x

συνεχ ς=

→+ →+= ⇒ =

και τελικά:

( ) ( )0

lim 0 1 6x

f x f→

= =


430. Να λυθεί η εξίσωση:

( )( )

3 3

21 16

161x x x

x xημ συν ημσυν ημ

+=

+ −









Επανερχόμενοι στη συλλογιστική του Αριστοτέλη σχετικά με τα δύο πρώτα παράδοξα του Ζήνωνα θα δούμε τον τρόπο με τον οποίο αξιοποιώντας το αξίωμα της συνέχειας του Ευδόξου και χρησιμοποιώντας την «απαγωγή σε άτοπο» ανέτρεψε τη συλλογιστική του Ελεάτη Ζήνωνα (Σ.Μ.290) Στο πρώτο παράδοξο του Αχιλλέα και της χελώνας, το αδιέξοδο που στήνει ο Ζήνωνας είναι πως η απόσταση των 100 μέτρων, και γενικά η πεπερασμένη απόσταση που χωρίζει τον Αχιλλέα από τη χελώνα, διανύεται από τον Αχιλλέα σε άπειρο χρόνο Το ίδιο συμβαίνει και με το δεύτερο παράδοξο της διχοτομίας. Ο Αριστοτέλης θέλοντας να ανατρέψει αυτόν ακριβώς τον ισχυρισμό ξεκινάει με τον εξής υποθετικό συλλογισμό: «Ἔστω γάρ πεπερασμένον μέγεθος ἐφ’ οὗ ΑΒ, χρόνος δέ ἄπειρος ἐφ’ ᾧ Γ, εἰλήφθω δέ τι τοῦ χρόνου πεπερασμένον, ἐφ’ ᾧ ΓΔ. Ἐν τούτῳ

οὖν δίεισί τι τοῦ μεγέθους, και ἔστω διεληλυθός ἐφ’ ᾧ ΒΕ» ( Φυσική ακρόασις Ζ 233a.34-233b.1)

Δηλαδή: «Έστω λοιπόν ένα πεπερασμένο ευθύγραμμο μέγεθος το ΑΒ και Γ ο άπειρος χρόνος. Ας θεωρήσουμε ακόμα ένα μέρος του χρόνου, έστω το ΓΔ το οποίο είναι πεπερασμένο. Κατά τον πεπερασμένο αυτό χρόνο ένα σώμα θα κινηθεί σε ένα μέρος του ΑΒ κι έστω πως αυτό το μέρος είναι το ΒΕ» Για να κατανοήσουμε καλύτερα και σχηματικά τους συμβολισμούς αυτούς σήμερα θα αναπαραστήσουμε, όπως αυτό φαίνεται στο σχήμα 1, τα μεγέθη με τον ακόλουθο τρόπο:

No:297

Το πεπερασμένο διάστημα (ΑΒ)=ΜΝ

(ΒΕ)=ΜΣ=Το διάστημα που θα κινηθεί το σώμα

σε χρόνο t=(ΓΔ)

Σχήμα 1


Δηλαδή: Το πεπερασμένο μέγεθος ΑΒ θα το παραστήσουμε με ένα ευθύγραμμο τμήμα με άκρα τα σημεία Μ και Ν. Το πεπερασμένο μέρος ΓΔ του χρόνου θα το παραστήσουμε με το συμβολισμό t. Τέλος το μέρος του μεγέθους ΑΒ που θα διανυθεί σε πεπερασμένο χρόνο t θα το παραστήσουμε με το διάστημα με άκρα τα σημεία Μ και Σ.


397. Έστω η συνεχής συνάρτηση f τέτοια ώστε:

( ) [ ) ( )2 63 2 8 4 , 4, 16xx x x f x x xημ+ − + ≤ ⋅ ≤ + ∀ ∈ − +∞

i) Να δείξετε ότι: ( ) 106

f =

ii) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστο ένα ( ]0,1κ ∈ έτσι ώστε:

( ) 66

f κκ ημ κ= + (Κ. Γιαννιτσιώτης, Α.Καραγεώργος: Θεώρημα Bolzano. Σελ. 44)

Λύση: i) Αποδείχθηκε στο προηγούμενο φύλλο(Σ.Μ. 296) ii) Αν 1x = τότε από την (1) προκύπτει:

( ) ( )11 1 26

f ημ≤ + Θεωρούμε τη συνάρτηση h με τύπο:

( ) ( ) 66xh x f x xημ= − −

η οποία στο διάστημα [ ]0,1 είναι συνεχής συνάρτηση ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Ακόμα είναι:

( ) ( )( )

( ) ( )60 1 10 0 0 0 0 36 6 6

i

h f hημ= − − = ⇒ = >

( ) ( )( )

( )211 1 1 0 4

6h f ημ= − − ≤

Από τις (3) και (4) προκύπτει:

( ) ( ) ( )0 1 0 5h h⋅ ≤ Διακρίνουμε τώρα δύο περιπτώσεις: 1η περίπτωση:


Αν

( ) ( )0 1 0h h⋅ < τότε η συνάρτηση h ικανοποιεί το θεώρημα του Bolzano στο διάστημα [ ]0,1 , άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ( )0,1k∈ τέτοιο ώστε:

( ) 0h k = δηλαδή για το k αυτό θα είναι:

( ) 06

kkf k xημ− − = και τελικά:

( ) ( ), 0,16

kkf k x kημ= + ∈

2η περίπτωση: Αν

( ) ( )0 1 0h h⋅ = τότε λόγω της (3) θα είναι:

( )1 0h = και ο ζητούμενος k θα είναι 1k = .

398. Δίνεται τρίγωνο ABC με εμβαδόν ίσο με Ε και σημείο Μ στο εσωτερικό του. Οι τρεις διακεκομένες ευθείες που διέρχονται από το σημείο Μ τέμνουν τις πλευρές του τριγώνου αυτού, όπως δείχνει το Σχήμα 1, δημιουργώντας τρία τρίγωνα με εμβαδά Ε1,Ε2,Ε3. Να δειχθεί η σχέση:

( )1 2 3

1 1 1 18 1+ + ≥Ε Ε Ε Ε

(Νίκος Ζανταρίδης, Μαθηματικός Έδεσσα. Από Ρουμάνικο βιβλίο) Λύση:(Μάγκος Θάνος) Τα τρίγωνα 1 2MA A και 2 2MB C έχουν:

1 2 2 2A MA B MC=

ως κατακορυφήν γωνίες. Άρα:

( ) ( )1 1 2

2 2 2 2

2E MA MAB MC MB MC

⋅=

⋅

όμοια είναι:

( ) ( )2 1 2

1 1 1 1

3E MC MCB MA MB MA

⋅=

⋅

Σχήμα 1


( ) ( )3 1 2

2 1 2 1

4E MB MBA MC MA MC

⋅=

⋅ Πολλαπλασιάζοντας τις (2), (3) και (4) κατά μέλη έχουμε:

( ) ( ) ( )31 2

2 2 1 2 2 1

1EE EB MC B MA A MC

⋅ ⋅ =

δηλαδή: ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2 2 1 2 2 1 5E E E B MC B MA A MC= ⋅ ⋅

Με τη βοήθεια τώρα της ανισότητας του Cauchy έχουμε:

( )

( )

( ) ( ) ( )( )

33

1 2 3 1 2 3 1 2 3

5

2 66 1 2 3 2 2 1 2 2 11 2 3

1 1 1 1 1 1 33

3 3 6

E E E E E E E E E

E E E B MC B MA A MCE E E

+ + ≥ ⋅ ⋅ = =

= =⋅ ⋅

Όμως:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2 3 2 2 1 2 2 1

61 2 3 2 2 1 2 2 16

CauchyE E E E B MC B MA A MC

E E E B MC B MA A MC

> + + + + + ≥

≥ ⋅ ⋅

δηλαδή:

( ) ( ) ( )( )

61 2 3 2 2 1 2 2 1

1 6 7EE E E B MC B MA A MC

≥⋅ ⋅

Από τις (6) και (7) προκύπτει:

1 2 3

1 1 1 18E E E E+ + ≥

δηλαδή η (1)


431. Να λυθεί η εκθετική εξίσωση: 2 2 22 1 2 1 225 9 34 15x x x x x x− + − + −+ = ⋅

(από κινέζικο φόρουμ)



Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 1Φεβρουαρίου 2012 1/4






Ερμηνεύοντας το συλλογισμό που αναπτύσσει ο Αριστοτέλης στο βιβλίο του «Φυσική ακρόασις» (Ζ, 233a. 34 -233b15) και χρησιμοποιώντας τη σημερινή γλώσσα

θα αναφερθούμε πάλι στο σχήμα 1 (Σ.Μ. 297). Ζητούμε λοιπόν να αποδείξουμε την πρόταση: Αν ένας δρομέας (Δ) θέλει να διατρέξει μια πεπερασμένη απόσταση(για παράδειγμα την απόσταση ΜΝ), τότε ο χρόνος που θα χρειαστεί είναι κι αυτός πεπερασμένος. Για την «απόδειξη» της πρότασης αυτής θα χρησιμοποιήσουμε την λεγόμενη «απαγωγή σε άτοπο». (André Ross, prof. de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon) Έστω λοιπόν ότι ο χρόνος που θα χρειαστεί ο δρομέας αυτός για να διανύσει το διάστημα ΜΝ είναι άπειρος. Δηλαδή:

ot =∞ Επομένως σε ένα πεπερασμένο τμήμα του χρόνου αυτού, δηλαδή σε χρόνο:

1t έπεπερασμ νο= ο δρομέας αυτός θα διανύσει ένα πεπερασμένο τμήμα της όλης διαδρομής ΜΝ, έστω το τμήμα ΜΣ. Δηλαδή σε χρόνο 1t ο δρομέας θα καλύψει την πεπερασμένη απόσταση ΜΣ. Στο σημείο αυτό ο Αριστοτέλης χρησιμοποιεί το «αξίωμα της συνέχειας»(Σ.Μ.294, 295) για τα πεπερασμένα και ομοειδή μεγέθη, δηλαδή για τα ευθύγραμμα τμήματα ΜΝ και ΜΣ τα οποία συνδέονται με τη σχέση:

ΜΣ ΜΝ Εφόσον για τη διαδρομή ΜΣ ο δρομέας χρειάζεται πεπερασμένο χρόνο ίσο με

No:298

Σχήμα 1 (Δ)


1t , άρα για την πολλαπλάσια διαδρομή ( )ν ΜΣ θα χρειαστεί χρόνο 2t ίσο με ισοπολλαπλάσιο του χρόνου 1t , δηλαδή θα χρειαστεί για τη διαδρομή αυτή χρόνο ίσο με

( )2 1ν ΜΣt t tν= = ο οποίος είναι πεπερασμένος. Άρα από τη σχέση (1) προκύπτει:

2 ot t> =∞ το οποίο είναι άτοπο γιατί ένα πεπερασμένο μέγεθος είναι μεγαλύτερο του απείρου.


399. Να υπολογιστεί ο αριθμός:

2 2 2999 999 999 888 888 888 111111111− − (Gazeta mathematica. Τόμος 4. 2003)

Λύση: Υποθέτουμε ότι:

111111111n = Τότε η ζητούμενη παράσταση γίνεται:

2 2 2999 999 999 888 888 888 111111111Α = − −

( )( ) ( )( )2 2 29 111111111 8 111111111 111111111= − − =

( ) ( )2 2 29 8n n n= − − = 2 2 281 64n n n= − − =

216 4 444 444 444n n= = = Άρα:

444 444 444Α =

400. Αν για μια συνάρτηση f ισχύει:

( ) ( ) ( ) ( )2 , , 1f x f y x y x y R− ≤ − ∀ ∈ τότε η f είναι σταθερή στο R .

Λύση: Θεωρούμε ένα τυχαίο oy R∈ και x R∈ με ox y≠

Από τη σχέση (1) τότε προκύπτει ισοδύναμα:

( ) ( ) ( ) 21 o of x f y x y⇔ − ≤ − ⇔


( ) ( )2 2o o ox y f x f y x y⇔ − − ≤ − ≤ − ⇔ ( ) ( )o

o oo

f x f yx y x y

x y−

⇔ − − ≤ ≤ − ⇔−

( ) ( ) ( )2oo oo

f x f yx y x y

x y−

⇔ − − ≤ ≤ −−

Αν τώρα θεωρήσουμε ότι:

ox y→ τότε από τη (2) προκύπτει:

( ) ( ) ( )lim lim lim 3o o o

oo ox y x y x y

o

f x f yx y x y

x y→ → →−

⇔ − − ≤ ≤ −−

Και επειδή:

( )lim 0 lim 0o o

o ox y x yx y x y

→ →− = ⇔ − =

η (3) δίνει ως αποτέλεσμα:

( ) ( )lim 0o

o

x yo

f x f yx y→−

=−

και τέλος:

( ) ( )lim 0o

o

x yo

f x f yx y→−⎛ ⎞

=⎜ ⎟−⎝ ⎠ δηλαδή:

( ) 0,o of x y R′ = ∀ ∈ επομένως:

( )f x c= δηλαδή η συνάρτηση αυτή είναι σταθερή.

401. Να λυθεί η εξίσωση:

( ) ( ) ( )1log log 14x x x x

x xημ συν ημ συνημ συν⋅ ⋅⋅ = (Ι. Πανάκης. Τριγωνομετρία, 3ος τόμος, σελ.154)

Λύση: Πρέπει:

( )0 1 2x xημ συν< ⋅ ≠


στη συνέχεια θέτουμε:

( )( )

( )log

3log

x x

x x

x y

x wημ συν

ημ συν

ημ

συν

= ⎫⎪⎬

= ⎪⎭

Άρα:

( )( )

( )4y

w

x x x

x x x

ημ ημ συν

συν ημ συν

⎫= ⋅ ⎪⎬

= ⋅ ⎪⎭

Με πολλαπλασιασμό κατά μέλη των δύο τελευταίων σχέσεων προκύπτει:

( ) ( )5y wx x x xημ συν ημ συν +⋅ = ⋅ Η (5) λόγω της (2) δίνει:

( )1 6y w+ = Επίσης η (1) λόγω των μετασχηματισμών (3) γίνεται:

( )1 74

yw = Το σύστημα των (6) και (7) λυόμενο δίνει:

( )1 82

y w= = Άρα η πρώτη από τις (4) δίνει:

( )( )

12

2 0

x x x

x x x x x x

ημ ημ συν

ημ ημ συν ημ ημ συν

= ⋅ ⇔

= ⋅ ⇔ − =

και λόγω της (2) η τελευταία ισοδυναμεί με την:

02

x x x x x xπημ συν ημ συν ημ ημ ⎛ ⎞− = ⇔ = ⇔ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

η τελευταία έχει λύσεις:

2 ,42x k x x kπ ππ π κ= + − ⇔ = + ∈Ζ


432. Αν [ ]0,1a∈ και [ ]0,1b∈ . Να δειχθεί ότι ισχύει: 2 2

11 1

a bb a

+ ≤+ +

(T. Andreescu – B. Enescu: Olimpiadele de Matematica 2000-2001)



Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 8 Φεβρουαρίου 2012 1/4





Οι αναφορές στα παράδοξα του Ζήνωνα Με τη συλλογιστική της «απαγωγής σε άτοπο» και στηριζόμενος στο «αξίωμα της συνέχειας» ο Αριστοτέλης ανασκευάζει το πρώτο και δεύτερο παράδοξο του Ζήνωνα δηλαδή το παράδοξο της «διχοτομίας» και το παράδοξο του «Αχιλλέα και της Χελώνας». (Σ.Μ. 297, 298) Σε ότι αφορά το τρίτο παράδοξο, δηλαδή το «παράδοξο του βέλους» ο Αριστοτέλης απαντά αφού προηγούμενα προσδιορίζει και περιγράφει αναλυτικά την έννοια του χρόνου. Ο χρόνος για το φιλόσοφο αυτό αποτελεί μια ποσότητα που χαρακτηρίζεται ως συνεχής ποσότητα . Ο Αριστοτέλης αφιερώνει ολόκληρο το πέμπτο βιβλίο της Φυσικής Ακρόασης για να μιλήσει για την έννοια της κίνησης και της μεταβολής . Στο βιβλίο αυτό ο μεγάλος φιλόσοφος με πολύ αναλυτικό τρόπο μιλά για όλα τα στοιχεία που διαμορφώνουν το πλαίσιο μιας κίνησης, όπως το πρώτο κινούν, το κινούμενο καθώς και το χρόνο κίνησης. Όπως αναφέρθηκε και προηγούμενα(Σ.Μ. 265-268) ο χρόνος είναι ένα μέγεθος που «απαρτίζεται» από χρονικές στιγμές οι οποίες αυτές καθαυτές δεν εμπεριέχουν χρονική διάρκεια. Αυτό γίνεται αντιληπτό αν συσχετίσει κανείς τις χρονικές στιγμές με τα σημεία μιας ευθείας. Όπως ένα σημείο δεν έχει διαστάσεις, δηλαδή δεν έχει μήκος, πλάτος, ύψος έτσι και η χρονική στιγμή δεν έχει χρονική διάρκεια. Για τη έννοια του χρόνου και τις ιδιότητες που αυτός έχει ο Διονύσιος Αναπολιτάνος γράφει: «Τί εἶναι ὅμως ὁμως ὁ χρόνος; Σύμφωνα μέ τόν Ἀριστοτέλη, εἶναι ὅπως εἴπαμε, τό ἀποτέλεσμα τῆς μέτρησης τῆς ἀλλαγῆς καί γίνεται ἀντιληπτός μέσω τῆς θεμελιώδους διατεταγμένης τριάδας «πριν, τώρα, μετά»

(Εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηματικών. Δ.Α. Αναπολιτάνος. Εκδ. Νεφέλη, σελ.71)

Το μοντέλο του χρόνου, όπως αυτό εμφανίζεται στο παραπάνω σχήμα, δηλώνει πως σε κάθε χρονική στιγμή του τώρα αντιστοιχεί μια αρχή κι ένα πέρας. Αποτελεί την αρχή μιας χρονικής διάρκειας που πρόκειται να διανυθεί μετά το παρόν και ονομάζεται μέλλον, από την άλλη μεριά αποτελεί το πέρας μια άλλης χρονικής περιόδου που διανύθηκε πριν και ονομάζεται παρελθόν. Η χρονική στιγμή του τώρα είναι κάθε φορά αυτό που ονομάζεται παρόν . Για την ανάλυση αυτή της έννοιας του χρόνου ο Δ.Α.Αναπολιτάνος συνεχίζει:

No:299

πριν τώρα μετά Σχήμα 1

παρελθόν μέλλον


«Σύμφωνα μέ τόν Ἀριστοτέλη, τό παρελθόν ἔχει παύσει να ὑπάρχει, τό μέλλον δέν ὑπάρχει ἀκόμη καί τό παρόν – τό «τώρα» μέ ἄλλα λόγια – δέν εἶναι μέρος τοῦ χρόνου, μέ τόν ἴδιο τρόπο πού ἑνα σημεῖο - ὄντας ἀδιάστατο – δέν εἶναι μέρος μιᾶς χωρικά εκτεταμένης γραμμῆς.

(Εισαγωγή στη Φιλοσοφία των Μαθηματικών. Δ.Α. Αναπολιτάνος. Εκδ. Νεφέλη, σελ.71)


402. Στις πλευρές ΑΒ, ΑΔ του παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ παίρνουμε τα σημεία Ε, Κ αντίστοιχα, τέτοια ώστε να ισχύει:

( )2 1ΑΕ ΑΚ⋅ =ΕΒ ΚΔ

Φέρουμε τη διαγώνιο ΒΔ που τέμνεται από τα τμήματα ΓΕ, ΓΚ στα σημεία P, Q αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι:

( )2 2 2 2Q PQΒΡ + Δ = (Αποστολόπουλος Γιώργος, μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου)

Λύση: Από τις παράλληλες πλευρές ΑΒ και ΓΔ(Σχήμα 1) προκύπτει:

y zx

ΑΒ ΓΔ ΡΔ += = =

ΕΒ ΕΒ ΡΒ άρα:

( )3y z y z xx x

ΑΕ +ΕΒ + ΑΕ + −= ⇒ =

ΕΒ ΕΒ Όμοια από τις παράλληλες ΑΔ και ΒΓ προκύπτει:

Q x yQ z

ΑΔ ΒΓ Β += = =

ΚΔ ΚΔ Δ άρα:

( )4x y x y zz z

ΑΚ +ΚΔ + ΑΚ + −= ⇒ =

ΚΔ ΚΔ

Σχήμα 1


Πολλαπλασιάζουμε τις (3) και (4) κατά μέλη προκύπτει:

y z x x y zx z

ΑΕ ΑΚ + − + −⋅ = ⋅

ΕΒ ΚΔ Μετά από πράξεις και λόγω της (1) προκύπτει:

2 2 2x z y+ = δηλαδή:

2 2 2Q QΒΡ + Δ = Ρ η οποία είναι η ζητούμενη (2).

403. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ και τα εσωτερικά σημεία Ε και Ζ των πλευρών ΒΓ και ΓΔ αντίστοιχα, έτσι ώστε:

45οΕΑΖ = Αν Κ και Λ είναι οι προβολές του μέσου Μ του

ευθυγράμμου τμήματος ΕΖ στις πλευρές ΑΒ και ΑΔ αντίστοιχα, τότε: i) Να βρεθεί ο γ. τόπος της προβολής της κορυφής Α πάνω στην ΕΖ. ii) Να δειχθεί ότι:

( ) ( ) ( )12ΑΚΜΛ ΑΒΓΔ

Ε = Ε Ι (Αποστολόπουλος Γιώργος, μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου)

Λύση: i) Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΕ και ΑΔΖ έχουμε:

( )1xεφφα

ΒΕ= =ΑΒ

( ) ( )45 2yοεφ φα

ΔΖ− = =

ΑΔ Άρα από τη (2) και σύμφωνα με την (1) θα είναι:

( ) ( )2145 3

1 45 1

xy y xy x yx

ο

ο

εφ εφφ α α αεφ εφφ α α

α

−−= ⇔ = ⇔ = − +

+ ⋅ +

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΕΓΖ εφαρμόζουμε το πυθαγόρειο θεώρημα. Άρα:

( ) ( )( )

( ) ( )3

2 2 22 ..... 4x y x y x yα αΕΖ = − + − = = + ⇔ ΕΖ = + Στη συνέχεια το εμβαδόν του τριγώνου ΑΕΖ είναι:


( ) ( ) ( ) ( )21 1 1 1...2 2 2 2

x y x y x yα α α α α αΑΕΖΕ = − − − − − = = + Δηλαδή:

( ) ( )( ) ( )1 52ΑΕΖ

Ε = ΑΒ ΕΖ

Η σχέση (5) δηλώνει ότι το ύψος του τριγώνου ΑΕΖ είναι ίσο με την πλευρά του τετραγώνου. Δηλαδή

αΑΡ = που σημαίνει ότι ο ζητούμενος γ.τ. είναι το τόξο ΒΔ του κύκλου Κ(Α,α).

ii) Από τα ορθογώνια τραπέζια ΒΕΖΖ΄ και ΔΖΕΕ΄ προκύπτει:

,2 2 2 2΄ x ΄ yα αΖΖ +ΒΕ + ΕΕ + ΔΖ +

ΜΚ = = ΜΛ = = Άρα:

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( )

23 1...4 2 2

x yα α αΑΚΜΛ ΑΒΓΔ

+ +Ε = ΜΚ ⋅ ΜΛ = = = = Ε


433. Δίνεται ο αριθμός: 25 33 41 ... (8 17),n nΑ = + + + + + ∈Ν

Να βρεθούν οι τιμές του n ώστε ο αριθμός Α να γίνει τέλειο τετράγωνο.

(Student Problems, from the mathematical Gazette)



Σχήμα 2







Ο χρόνος, όπως αναφέρθηκε,(Σ.Μ. 299) γίνεται αντιληπτός, κατά την αριστοτελική αντίληψη, μέσα από τη διατεταγμένη τριάδα «πριν», «τώρα» και «μετά» η οποία καθορίζει τις τρείς μεγάλες χρονικές έννοιες στην ανθρώπινη εμπειρία και νόηση, δηλαδή το παρελθόν, το τώρα και το μέλλον.

Ο Αριστοτέλης συγκεκριμένα για το θέμα αυτό αφιερώνει αρκετά κεφάλαια στο 4ο βιβλίο των Φυσικών του(Φυσική ακρόασις). Στα έξη κεφάλαια (κεφ.14-20) ο μεγάλος φιλόσοφος καταθέτει αναλυτικότατα τις απόψεις του σχετικά με το θέμα του χρόνου. Εκεί αναπτύσσει τη θεωρία του, μιλά για τις προηγούμενες ιδέες που έφθασαν μέχρι την εποχή του, προσπαθεί να ερμηνεύσει τη φύση του χρόνου, συσχετίζει το χρόνο με τους αριθμούς και γενικά παρουσιάζει για πρώτη φορά μια τόσο αναλυτική μελέτη για το θέμα αυτό. Ανατρέχοντας κανείς στα κεφάλαια αυτά συναντά πολύπλοκους συλλογισμούς και συμπεράσματα. Σε γενικές γραμμές καταγράφουμε κάποιες ενδεικτικά: Με ένα ρητορικό ερώτημα ξεκινά τις ιδέες του για το θέμα του χρόνου. «Τί δ’ ἐστίν ὁ χρόνος καί τίς αὐτοῦ ἡ φύσις;» (Φυσική ακρόασις 281α,31)

Δηλαδή: «Τι λοιπόν είναι ο χρόνος και ποια η φύση του;»

Για τη χρονική στιγμή του «τώρα» που χωρίζει το παρελθόν(«πριν») από το μέλλον («μετά») γράφει: «Τό δέ νῦν τόν χρόνον ὁρίζει, ᾗ πρότερον καί ὕστερον» (Φυσική

ακρόασις 219b.11,219b.12) που σημαίνει: «Το «τώρα» προσδιορίζει το χρόνο, δηλαδή το προηγούμενο και το επόμενο». Για το «τώρα», τη χρονική στιγμή του παρόντος ο Αριστοτέλης αναλύει την άποψή του λέγοντας ακόμα:

«Τό δέ νῦν οὐ μέρος· μετρεῖ τε γάρ τό μέρος, καί συγκεῖσθαι δεῖ τό ὅλον ἐκ τῶν μερῶν» (Φυσική ακρόασις 218a.6-7)

δηλαδή: «Ακόμα η στιγμή του «τώρα» δεν αποτελεί μέρος(ποσόν), γιατί το

No:300

πριν τώρα μετά Σχήμα 1

παρελθόν μέλλον


μέρος μπορεί κανείς να το μετρήσει καθώς επίσης το συνολικό μέρος πρέπει να αποτελείται από την ένωση των μερών του» Όταν στη συνέχεια προσπαθεί να συσχετίσει το χρόνο με τους αριθμούς απαντά: «Τοῦτο γάρ έστιν ὁ χρόνος, ἀριθμός κινήσεως κατά τό πρότερον καί

ὕστερον» (Φυσική ακρόασις 219α.33-219b.2) «Αυτό λοιπόν είναι ο χρόνος, ο αριθμός που δηλώνει την κίνηση από το προηγούμενο στο επόμενο(γεγονός)».


404. Αν

( )0 1αβ βγ γα αβγ+ + = ≠ και

( )3 3 3 3 3 3 3 3 3 2α β β γ γ α α β γ+ + = τότε να υπολογιστεί η παράσταση:

( ) ( )( )α β β γ γ αΠ = + + + (Γιώργος Τσαπακίδης, 5ο Θερινό Μαθηματικό Σχολείο ΕΜΕ Λεπτοκαρυάς)

Λύση: Είναι γνωστό ότι:

( ) ( ) ( )( )3 3 3 3 3α β γ α β γ α β β γ γ α+ + = + + + + + +Υψώνοντας και τα δύο μέλη της (1) στον κύβο. Άρα:

( ) ( )3 3 3 31 αβ βγ γα α β γ⇒ + + = ⇔

( )( ) ( ) ( )

3 3 3 3 3 3

3 3 33 3α β β γ γ α

αβ βγ βγ γα γα αβ α β γ

⇔ + + +

+ + + + = Η (3) λόγω της (2) γίνεται:

3 3 3 3 3 3α β β γ γ α⇔ + +

( )( ) ( ) 3 3 33 αβ βγ βγ γα γα αβ α β γ+

+ + + + = άρα:

( )( ) ( ) 0αβ βγ βγ γα γα αβ⇔ + + + = ⇔

( )( )( )0

0αβγ α β γ α β γ≠

⇔ + + + =


Άρα:

( ) ( )( ) 0 0α β γ α β γ+ + + = ⇒Π = 405. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ(Α=90ο) και ΒΔ, ΓΕ εσωτερικές διχοτόμοι που τέμνονται στο Ι. Φέρουμε ΑΡ ⊥ ΒΔ και ΑΤ ⊥ ΓΕ .

Να δειχθεί ότι:

( )1 1ΑΡ ΑΤ+ =ΒΙ ΓΙ

(Αποστολόπουλος Γιώργος, μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου) Λύση: Θα δείξουμε πρώτα τη σχέση:

( )1 1 1 2+ =ΒΕ ΓΔ ΙΗ

Απόδειξη: Είναι (Σχ.1):

,αγ αβα β α γ

ΒΕ = ΓΔ =+ +

άρα: 2 21 1 α β α γ αβ β αγ γ

αγ αβ αβγ+ + + + +

+ = + = =ΒΕ ΓΔ

2 2 1 12

αβ αγ α α β γ ταβγ βγ ρ+ + + +

= = = = =Ε ΙΗ

( )1 1 1 2⇒ + = ⇒ΒΕ ΓΔ ΙΗ

• Τα τρίγωνα (ΑΙΒ) και (ΒΙΕ) είναι όμοια διότι:


90 ,2

ήο κοινΓΑΙΒ = ΒΕΙ = + ΑΒΙ = άρα:

( )3ΑΒ ΙΒ=ΙΒ ΒΕ

• Τα τρίγωνα (ΑΒΡ) και (ΙΒΧ) είναι επίσης όμοια διότι είναι ορθογώνια και έχουν την οξεία γωνία:

ήκοινΑΒΡ = άρα:

( )4ΑΡ ΑΒ=ΙΧ ΙΒ

Από τις (3) και (4) προκύπτει: ΑΡ ΙΒ

=ΙΧ ΒΕ

και τελικά:

( )5ΑΡ ΙΧ=ΒΙ ΒΕ

Με παρόμοιο τρόπο δείχνεται:

( )6ΑΤ ΙΨ=ΓΙ ΓΔ

Όμως:

( )7ΙΧ = ΙΨ = ΙΗ Προσθέτοντας τις (5) και (6) και σύμφωνα με τις (2) και (7) έχουμε:

( ) ( )1 1 1 1ΑΡ ΑΤ ΙΧ ΙΨ ⎛ ⎞+ = + = ΙΗ + = ΙΗ =⎜ ⎟ΒΙ ΓΙ ΒΕ ΓΔ ΒΕ ΓΔ ΙΗ⎝ ⎠ άρα:

1ΑΡ ΑΤ+ =ΒΙ ΓΙ

δηλαδή η ζητούμενη (1).


434. Να λυθεί στο R το σύστημα: 2

4 2 2 2

3 03 5 0

x xy x yx x y x y+ − + =

+ − + = (www.mathvn.com)









Ο προβληματισμός για την έννοια του χρόνου που πραγματεύεται ο Αριστοτέλης στο βιβλίο του «Φυσική ακρόασις» θα συνεχιστεί για αιώνες αργότερα και θα φθάσει ακόμα μέχρι τις μέρες μας. Ερωτήματα όπως, τι είναι ο χρόνος, πως μετριέται, ποια είναι η αρχή από την οποία ξεκινάει η ροή του και όλα τα συναφή, έχουν απασχολήσει την ανθρώπινη λογική ανά τους αιώνες και πολλά φωτεινά μυαλά σκέφτηκαν για να δώσουν μια κατανοητή απάντηση. Από την άλλη μεριά, αν κανείς λάβει υπόψη του και τη μεταφυσική έννοια του χρόνου τότε τα πράγματα δυσκολεύουν. Ο άνθρωπος ως υλικό όν είναι αιχμάλωτος του χρόνου και μέσα σ’ αυτόν υλοποιεί την κάθε του δράση και επέμβαση. Όμως πάντα ο άνθρωπος, ως πνευματική μονάδα, προσπαθεί να ερμηνεύσει αυτή την αιχμαλωσία και συνεχώς αγωνιά να δώσει απαντήσεις στην εξάρτηση αυτή. Με την πνευματική αυτή δύναμη ο άνθρωπος προσπαθεί να απελευθερωθεί απ’ αυτήν την αιχμαλωσία και να δει την όλη του ύπαρξη «αχρονικά». Εκεί, σ’ αυτήν την προσπάθεια ο άνθρωπος συναντά το «θείο» στο οποίο προσδίδει την ελευθερία απέναντι στο χρόνο που ο ίδιος δεν έχει και δεν θα την αποκτήσει ίσως ποτέ! Στη μεταφυσική αυτή αντίληψη του χρόνου ο άνθρωπος προσπαθεί να επισυνάψει στο θείο ιδιότητες αχρονικές. Λέξεις όπως, αιώνιος, αΐδιος, πανταχού παρών κι άλλες πολλές δηλώνουν αυτή την αχρονικότητα που ο ίδιος δε διαθέτει. Δηλώνουν την ύπαρξη ενός υπέρτατου όντος που το θέλει να «υπάρχει έξω από το χρόνο». Επιστρέφοντας στην ορθολογιστική αντίληψη που θεμελίωσε ο Αριστοτέλης μπορούμε να πούμε πως ο χρόνος αποτελεί και σήμερα ένα από τα ζητούμενα του ανθρώπου και της επιστήμης. Αν θελήσουμε να μελετήσουμε το χρόνο κάτω από το πρίσμα της σύγχρονης φυσικής, της φυσικής του εικοστού αιώνα, τότε θα δούμε πως το αριστοτελικό τρίπτυχο: πρίν, τώρα, μετά, παραμένει με αρκετά εξελιγμένη μορφή. Η Γενική Θεωρία της Σχετικότητας η οποία ήρθε να συμπληρώσει τα κενά που είχε αφήσει η Νευτώνεια Μηχανική του 18ου αιώνα, αναδείχνει το χρόνο ως μια από τις κύριες διαστάσεις της ύλης. Είναι πολύ σημαντικό στο σημείο αυτό να θυμηθούμε πως για την Ευκλείδειο Γεωμετρία ο χώρος είναι στατικός και αμετάβλητος. Αν όμως θεωρήσουμε για ένα

No:301

Σχήμα 1


σημείο ( , , )x y zΜ του Ευκλείδειου χώρου και τη χρονική στιγμή κατά την οποία υπάρχει το σημείο αυτό (Σχ.1), τότε το σημείο αυτό έχει αποκτήσει πλέον μια νέα υπόσταση και χαρακτηρίζεται ως ένα «δομικό υλικό» του χώρου RxRxRxTΩ = των τεσσάρων διαστάσεων. Επιπλέον ένα τέτοιο «σημείο» του χώρου αυτού μετονομάζεται από «σημείο» σε «γεγονός» κι ο χώρος αυτός των τεσσάρων διαστάσεων από Ευκλείδειος χώρος σε Χωρόχρονος.


406. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με 45οΒ = και 75οΓ = . Στην πλευρά ΒΓ θεωρούμε εσωτερικό σημείο Δ έτσι ώστε:

( )1 12

ΒΔ=

ΔΓ Να υπολογισθεί η γωνία:

x = ΑΔΓ (Αποστολόπουλος Γιώργος, μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου)

Λύση: Αν φέρουμε την ΓΕ ⊥ ΑΒ (Σχ.1), τότε θα είναι 30οΑΓΕ = και συνεπώς:

( )1 22

ΑΕ = ΑΓ

Το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΕΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές και κατά συνέπεια ισχύει:

( )2 2 2 2 22 3ΒΓ = ΒΕ +ΕΓ ⇒ΒΓ = ΓΕ Εξάλλου από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΓΕ συνεπάγεται:

( )22 2 2 2 2 21 3

4 4ΓΕ = ΑΓ −ΑΕ = ΑΓ − ΑΓ = ΑΓ

30°

Σχήμα 1

75°x45°

Ε

Δ

Α

Β Γ


δηλαδή:

2 243

ΑΓ = ΓΕ Η τελευταία λόγω της (3) συνεπάγεται:

22 4

3 2ΒΓ

ΑΓ = ⋅ δηλαδή:

2 223

ΑΓ = ΒΓ ⇒

( )2 2 43

ΑΓ = ΒΓ⋅ΒΓ Η δοθείσα (1) όμως γίνεται:

( ) ( )1 2 31 52 2

ΒΔ + ΔΓ +⇔ = ⇔ΒΓ = ΔΓ

ΔΓ Η (4) λόγω της (5) γίνεται ακόμα:

( )2 6ΑΓ ΔΓΑΓ = ΒΓ ⋅ΔΓ ⇔ =ΒΓ ΑΓ

Άρα τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΓΔ λόγω της (6) και από το γεγονός ότι έχουν κοινή τη γωνία Γ , θα είναι όμοια. Έτσι συμπεραίνεται ότι:

45οΔΑΓ = Β = και τελικά:

180 45 75 60ο ο ο οΑΔΓ = − − = Δηλαδή:

60οΑΔΓ =

407. Δίνεται το ισοσκελές τρίγωνο ( )ΑΒΓ ΑΒ = ΑΓ με: ( )20 1οΑ =

Στην πλευρά ΑΓ παίρνουμε ένα εσωτερικό σημείο Μ , τέτοιο ώστε

( )2ΑΜ = ΒΓ . Να υπολογιστεί η γωνία: ΒΜΓ .

(Αποστολόπουλος Γιώργος, μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου) Λύση: Θεωρούμε ένα σημείο Ν τέτοιο ώστε τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΝΑΜ να είναι


ίσα (Σχ.2). Παρατηρούμε τότε ότι στο τρίγωνο ΝΑΒ ισχύει:

60οΝΑ = ΑΒ ⎫⎪⇒ ΑΝ = ΑΒ = ΒΝ⎬ΝΑΒ = ⎪⎭

δηλαδή το τρίγωνο ΝΑΒ είναι ισόπλευρο.

Επομένως: 1 40οΝ = και από το ισοσκελές τρίγωνο ΒΝΜ προκύπτει:

2

180 40 702

ο οο−Μ = ΝΒΜ = =

Άρα τελικά η ζητούμενη γωνία είναι:

( ) ( )1 2180 180 80 70 30ox ο ο ο ο= − Μ +Μ = − + = Και τελικά:

30οΒΜΓ =


435. Να λυθεί στο R το σύστημα: 2

2

4 8 4 2( ) :

8 2 (3 4 ) 4 0

x y x

x xy x y x

⎧ − = − +⎪Σ ⎨− + − − =⎪⎩

(Ε.Μ.Ε. Περιοδικό Ευκλείδης Β΄.Τεύχος. 82τ.2/72)



χΣχήμα 2

1 2

80°

120°

60°

80°

20°

ΜΝ

Γ

Α

Β







Η όλη δυναμική της επίδρασης της σκέψης του Ζήνωνα στην ανθρώπινη σκέψη καθώς και η προσπάθεια του Αριστοτέλη να ανασκευάσει τους «παραλογισμούς» του Ελεάτη φιλοσόφου οδήγησαν την όλη ιστορία πολύ μακριά. Συνεχίζοντας το σχολιασμό μας στο ζήτημα του «χρόνου» και της όλης σχέσης που έχει η έννοια αυτή με τον υλικό κόσμο, ή καλύτερα με το λεγόμενο «συμπαντικό κόσμο», είναι ανάγκη να αναφερθούμε για λίγο και στη σημερινή αντίληψη της φυσικής και των μαθηματικών. Το αριστοτελικό τρίπτυχο «πριν», «τώρα» και «μετά» νοείται ως μια διάταξη του ρέοντος χρόνου που γίνεται αντιληπτή από τον καθένα μας(Σ.Μ.299-300). Το τρίπτυχο της διάταξης αυτής του χρόνου σύμφωνα με την αντίληψη της Ειδικής Θωρίας της Σχετικότητας μετασχηματίζεται και διακρίνεται πάλι σε μια τριμερή διάταξη μέσα στο λεγόμενο κώνο του φωτός του χωρόχρονου του Minkowski. Σε μια τέτοια θεώρηση όπου ο χρόνος πλέον θεωρείται ως η τέταρτη διάσταση της ύλης τα πράγματα παίρνουν αλλιώτικη μορφή. Στο παράπλευρο σχήμα εμφανίζεται ένα μοντέλο χωρόχρονου των τριών διαστάσεων ( ), ,x y t . Ένα τέτοιο μοντέλο μπορεί να προκύψει από όλα τα σημεία ( ),M x y ενός επιπέδου τα οποία αποτελούν ένα χώρο δύο διαστάσεων και στα οποία προστέθηκε η χρονική τους διάσταση. Ο νέος αυτός χώρος πλέον είναι ένας χώρος τριών διαστάσεων που περιλαμβάνει όχι σημεία με την ευκλείδεια αντίληψη αλλά «γεγονότα». Όλα τα

No:302

Χωρόχρονος του Minkowski


γεγονότα στη χωροχρονική αυτή συσχέτιση διατηρούν την αριστοτελική διάταξη με διευρυμένη βέβαια αντίληψη. Το «πριν» και το «μετά» μετασχηματίζονται από ευθύγραμμες θεωρήσεις(Σ.Μ. 299-300) σε αντίστοιχες κωνικές. Έτσι το «πριν» περιέχει όλα τα γεγονότα του παρελθόντος και αποτελούν τον «κώνο του παρελθόντος» ενώ το «μετά» περιέχει το σύνολο των γεγονότων του μέλλοντος και αποτελούν τον «κώνο του μέλλοντος» Μαθηματικές προκλήσεις – προσκλήσεις – ασκήσεις

408. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο ( 90 )οΑΒΓ Α = έχει όλες τις πλευρές του φυσικούς αριθμούς.

Να δειχθεί ότι η ακτίνα ρ του εγγεγραμμένου κύκλου του είναι κι αυτός φυσικός αριθμός.

(Αποστολόπουλος Γιώργος, μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου) Λύση: Είναι γνωστό ότι σε ένα τρίγωνο γενικά ισχύει:

( )2

ρ τ α εφ Α= − άρα για το συγκεκριμένο είναι:

( ) 12 2 2

β γ α β γ αρ τ α εφ Α + − + −⎛ ⎞= − = ⋅ =⎜ ⎟⎝ ⎠

δηλαδή:

( )12

β γ αρ + −= Επειδή ακόμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο στην κορυή Α θα ισχύει ακόμα:

( )2 2 2 2α β γ= + Γνωρίζοντας τώρα ότι οι τρεις πλευρές του τριγώνου αυτού είναι φυσικοί αριθμοί(έχουν μήκη φυσικούς αριθμούς), από τη σχέση (2) συμπεραίνονται δύο περιπτώσεις:

• Οι αριθμοί , ,α β γ θα είναι άρτιοι αριθμοί ( Ι ) • Οι αριθμοί , ,α β γ θα είναι δύο περιττοί και ένας άρτιος ( ΙΙ ) Όποια από τις περιπτώσεις ( Ι ) και ( ΙΙ ) και αν ισχύει από την (1) συμπεραίνεται

ότι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου:

2β γ αρ + −=

είναι φυσικός αριθμός.

409. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο oABC(A 90 )= με BC a, CA b= = και AB c= . Να δειχθεί ότι η ελάχιστη τιμή της παράστασης:


( )( )2a bc

a b a c+ +

είναι 2δ , όπου δ η διάμετρος του εγγεγραμμένου κύκλου. (Αποστολόπουλος Γιώργος, μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου)

Λύση(πρώτος τρόπος): Η ζητούμενη πρόταση γράφεται:

( )( )

( )( ) ( )

22

22

a bc (2 )a b a c

a bc 4 1a b a c

ρ

ρ

≥ ⇔+ +

≥+ +

Η σχέση (1) ισοδυναμεί:

( )( ) ( ) ( )2

2a bc 4 a 2a b a c

τ≥ −+ +

όπου:

( )32

a b cτ

+ +=

η ημιπερίμετρος του τριγώνου ABC και aρ τ= − . Σύμφωνα με την (2) και (3) έχουμε τις ισοδυναμίες:

( ) ( )( )

22a bc b c a1 4a b a c 2

+ −⎛ ⎞⇔ ≥ ⇔⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠

( )( ) ( )2

2a bc b c aa b a c

⇔ ≥ + − ⇔+ +

( ) ( ) ( ) ( )22a bc a b a c b c a 4⇔ ≥ + + + − Από το σχήμα 1 εξάλλου προκύπτει:

( )5b ac a

ημσυν

= Β ⎫⎬= Β⎭

Έτσι η σχέση (4) σύμφωνα με τις (5) ισοδυναμεί:

( )( )( )( ) ( )2

4

1 1 1 6

ημ συν

ημ συν ημ συν

⇔ Β Β ≥

+ Β + Β Β + Β−


Η (6) εκτελώντας τις πράξεις στο δεύτερο μέλος συνεχίζει να ισοδυναμεί με τις ακόλουθες:

( )( )

( )

6

2 1

1

ημ συν



⇔ Β Β ≥ ⎫⎪

⋅ + Β+ Β + Β⋅ Β ⋅ ⇔⎬⎪+ Β⋅ Β− Β− Β ⎭

( ) ( )2 22 1ημ συν ημ συν ημ συν⎡ ⎤⇔ Β Β ≥ ⋅ + Β Β − Β + Β ⇔⎣ ⎦2 22ημ συν ημ συν⇔ Β Β ≥ ⋅ Β Β⇔

( )1 2 0ημ συν ημ συν⇔ Β Β − ⋅ Β Β ≥ ⇔ ( )1 2 0ημ συν ημ⇔ Β Β − Β ≥

Η τελευταία σχέση είναι αληθής διότι η γωνία:

0 90ο< Β < Συνεπώς και η ζητούμενη (1) είναι αληθής. (Η ισότητα ισχύει όταν / 4πΒ = )


436. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ στο οποίο ισχύει 2ΒΓ = ⋅ΑΒ . Θεωρούμε Δ το μέσο της πλευράς ΒΓ και Ε το μέσο του τμήματος ΒΔ. Να δειχθεί ότι η ΑΔ είναι διχοτόμος της γωνίας ΓΑΕ.

(M.N. Aref-W. Wernick: Problems and Solutions in Euclidean Geometry)

437. Να βρεθεί το άθροισμα: 1 1 1 1 1 13 15 35 63 99 143

Σ = + + + + + (Xu Jiagu. Vol 6. Mathematic Olympiad Series)

438. Για τους τυχαίους πραγματικούς αριθμούς , ,α β γ να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της παράστασης:

2 2 23 27 5 18 30 237α β γ αβ γΑ = + + − − + (Xu Jiagu. Vol 6. Mathematic Olympiad Series)



Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 7 Μαρτίου 2012 1/4






Ο χρόνος σύμφωνα με τις τελευταίες αντιλήψεις της Φυσικής και των Μαθηματικών είναι, όπως αναφέρθηκε, μια από τις διαστάσεις του τετραδιάστατου χώρου και υπάρχει από τη στιγμή που υπάρχει ο υλικός κόσμος. Είναι η τέταρτη διάσταση της ύλης συμπληρώνοντας τις άλλες τρείς. Το μήκος, το πλάτος και το ύψος. Η αρχή μέτρησης του χρόνου τοποθετείται στην αρχή της «κοσμογέννησης» που σύμφωνα με τις απόψεις που θεμελιώθηκαν κυρίως από τον Στήβεν Χώκινκ και τον Ρότζερ Πενρόουζ τοποθετείται τη «στιγμή» μιας «χωροχρονικής ανωμαλίας» της Μεγάλης Έκρηξης(Big Bang) πριν από δεκαπέντε δισεκατομμύρια χρόνια!. Η θεωρία αυτή που σήμερα έγινε αποδεκτή ξεκίνησε με τις έρευνες των δύο ανωτέρω αστροφυσικών-κοσμολόγων στα μέσα της δεκαετίας του εξήντα και σήμερα η έρευνα και η παρατήρηση του μακρινού σύμπαντος προσθέτει συνεχώς και νέα στοιχεία. Σύμφωνα με την θεωρία της σχετικότητας, όσο πιο μακρινά αστέρια του σύμπαντος παρατηρούν οι αστρονόμοι με τα τηλεσκόπιά τους τόσο πιο μακριά ταξιδεύουν στο παρελθόν του κόσμου. Είναι ένα ταξίδι μέσα στο χρόνο και οι πληροφορίες είναι πολύτιμες. Η επιστήμη, από την προσωκρατική εποχή, τότε που οι φιλόσοφοι εκείνοι άρχισαν να σκέφτονται λογικά αφήνοντας ήσυχους τους θεούς στον Όλυμπο μέχρι και σήμερα στην εποχή των «μεγάλων ταχυτήτων» και της ψηφιακής τεχνολογίας, συνεχίζει την αναζήτηση της αλήθειας και της ερμηνείας του κόσμου. Η συνεχής αυτή προσπάθεια ανεύρεσης του μεγάλου μυστικού της φύσης και της εξιχνίασης του ευρύτερου συμπαντικού περιβάλλοντος μπορεί να χαρακτηριστεί και ως μια προμηθεϊκή διαδρομή αλλά ταυτόχρονα και μια σισύφεια περιπέτεια. Στο σημείο αυτό αξίζει να αναφέρουμε τα λόγια του Βολταίρου, του μεγάλου διαφωτιστή του 18ου αιώνα ο οποίος όταν συλλογίζεται για την αιωνιότητα του κόσμου λέει το Φλεβάρη του 1755 προς τη φίλη του μαρκησία du Deffand:

«Στην κατάσταση όπου βρίσκομαι, συλλογίζομαι για την αιωνιότητα του κόσμου, για την ύλη, το χώρο, το άπειρο» [1]

Κι ακόμα ο φιλόσοφος αυτός όταν μιλά και υπερασπίζεται τις ιδέες του Νεύτωνα και την ορθολογιστική αντίληψη, υιοθετεί τη βιβλική ρήση από την Παλαιά Διαθήκη και συγκεκριμένα από το βιβλίο Ιώβ: (Ιώβ,Κεφ.λη΄,11) «Καί εἶπα, ἕως αὐτοῦ θέλεις ἔρχεσθαι, καί δέν θέλεις ὑπερβεῖ· καί ἐδώ

θέλει συντρίβεσθαι ἡ ὑπερηφανία τῶν κυμάτων σου» Με απλά λόγια:

«Έως εκεί θα φθάσεις και δε θα πας πιο πέρα και στο σημείο αυτό θα συντριβεί η ανθρώπινη περηφάνια σου» [2]

No:303


Ο μεγάλος φιλόσοφος και κύριος εκπρόσωπος του Ευρωπαϊκού Διαφωτισμού φαίνεται να καταθέτει στο έργο του «Ο αδαής φιλόσοφος» την άποψη αυτή με την οποία υποστηρίζει το πεπερασμένο της ανθρώπινης γνώσης και της περιορισμένης ανθρώπινης δυνατότητας να ερμηνεύσει και να γνωρίσει το σύμπαν που τον περιβάλλει.

[1],[2] Βολταίρος: Ο αδαής φιλόσοφος. Μετ/ση: Ρ. Αργυροπούλου, σελ.10, 18


409. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο oABC(A 90 )= με BC a, CA b= = και AB c= . Να δειχθεί ότι η ελάχιστη τιμή της παράστασης:

( )( ) ( )2a bc 1

a b a c+ +

είναι 2δ , όπου δ η διάμετρος του εγγεγραμμένου κύκλου. (Αποστολόπουλος Γιώργος, μαθηματικός 2ου ΓΕΛ Μεσολογγίου)

Λύση(Δεύτερος τρόπος): Η λύση αυτή στηρίζεται σε δύο λήμματα: Λήμμα 1ο:

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ( )90oABC A = (Σχ.1) και ,BE CD οι εσωτερικές διχοτόμοι των γωνιών B και C αντίστοιχα. Αν για τα σημεία ,D E′ ′ των πλευρών ,AB AC αντίστοιχα ισχύει:

( )2caAD BD

a bbaAE CE

a c

⎫′ = = ⎪⎪+⎬⎪′ = =⎪+ ⎭

τότε τα σημεία αυτά ,D E′ ′ καθώς και το έγκεντρο I του τριγώνου αυτού είναι συνευθειακά. Απόδειξη: Αρκεί να δείξουμε ότι για το τρίγωνο ABE και για τα σημεία , ,D I E′ ′ ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος του Μενελάου. Δηλαδή αρκεί να δειχθεί ότι:

( )1 3AD BI EED B IE E A

′ ′⋅ ⋅ =

′ ′ Η σχέση (3) σύμφωνα με τη δοθείσα (2) ισοδυναμεί:

( )1 4BD BI EEAD IE CE

′⋅ ⋅ =

Από το θεώρημα των διχοτόμων η (4) ακόμα εξελίσσεται ισοδύναμα στην:


( )1 5a a EEb CE CE

′⋅ ⋅ =

Υπηρεσίες Διδασκαλίας - 2 200 · 2018. 7. 19. · Η Στήλη των Μαθηματικών.Τετάρτη 4 Ιανουαρίου 2012 2/4 Δηλαδή: Μαθηματικές

Documents