Публикацию подготовил Всероссийский ...4ipho.ru/data/documents/IPhO2009T.pdf · 2018. 8. 29. · ращения Луны вокруг Земли 1

На фотографии слева направо: Старков Григорий, Дорошенко Андрей,

Кудряшова Нина, Козел Станислав Миронович, Маша – гид команды России, Землянов Владислав, Трегубов Дмитрий

XL Международная олимпиада школьников по физике

(Мексика, г. Мерида). 2009 год В этом году Международная олимпиада по физике проходила в Мексике в

городе Мерида. В Мериду прибыло только 316 школьников из 69 стран. (Для сравнения заметим, что в прошлом году во Вьетнаме было 376 участников из 76 государств).

В сборную команду России вошли: 1. Трегубов Дмитрий − выпускник Кировского фи ческого

лицея. Учител наставники физики Канин Павел Евгеньевич (учитель физики) и Гырдымов Михаил Владимирович (методист Центра дополнительного образования).

2. Землянов Владислав − выпускник гимназии г. Урай Хант нсийского автономного округа. Учитель аставник по физике Козловская Зоя Георгиевна.

3. Кудряшова Нина − выпускница Бийского лицея Алтайского края. Учительнаставник по физике Аполонский Александр Николаевич, к. т. н., профессор.

4. Дорошенко Андрей − выпускник лицея № 92 г. Омска. Учител наставник по физике Афанасьева Юлика Александровна, к. ф. . н., учитель физики.

5. Старков Григорий − выпускник школы № 7 г. Ноябрьска Яма ецкого автономного округа. Учитель аставник Ткачук Игорь Викторович.

Команду России возглавляли профессор Московского физи нического института Станислав Миронович Козел и доцент МФТИ Валерий Павлович

Публикацию подготовил Всероссийский образовательный журнал “Потенциал” www.potential.org.ru

Слободянин. В составе российской делегации в качестве наблюдателя работал доцент МФТИ Михаил Николаевич Осин.

Как и в прошлые годы, 8 «сборников», имеющих наивысший рейтинг, были приглашены на последние трёхнедельные летние сборы, на которых отрабатывались навыки экспериментальной работы на сложном современном оборудовании и дополнительно изучались элементы специальной теории относительности, волновой оптики, ядерной физики и ряд других тем, входящих в программу МФО.

Во время сборов с командой работали преподаватели кафедры общей физики МФТИ, СУНЦ МГУ, научные сотрудники институтов Российской Академии Наук, а также студенты Физтеха − победители Международных физических олимпиад прошлых лет.

В связи с длительным перелётом и заметной разницей во времени, которая составляет с Москвой 9 часов, сборная России прилетела в Мериду за день до официального начала олимпиады. Это позволило ребятам успешно пройти акклиматизацию и более комфортно перейти на новый режим.

Оба тура, как и в прошлом году, оказались крайне трудоёмкими. Ниже в таблице приведён список из 11 лидирующих стран (согласно их

рейтингу). Медаль ¹ Страна

Золото Серебро Бронза Суммабаллов

1 Китай 5 216 2 Корея 4 1 186 3 Индия 4 1 180 4 Тайвань 3 2 179 5 США 4 1 176 6 Россия 3 2 165 7 Румыния 3 2 161 8 Сингапур 2 3 154 9 Таиланд 1 4 152

10 Индонезия 1 3 1 148 11 Япония 2 1 2 144

Как и в прошлые годы, на олимпиаде лидерство захватили страны из ЮгоJ

Восточной Азии. Команды этих стран устойчиво добиваются высоких результатов в Международных олимпиадах и по другим предметам.

На олимпиаде участникам было предложено три теоретических задачи и два экспериментальных задания. Каждая задача и задание оценивались из 10 баллов. Таким образом, максимальное количество баллов, которое мог набрать каждый из участников олимпиады, равнялось 50.

Ниже мы приводим несколько сокращённую версию задач теоретичесJкого тура. В следующем номере будут опубликованы экспериментальные задания.

Теоретическая задача 1. Эволюция системы Земля&Луна

Учёные научились определять расстояние от Луны до Земли с

большой точностью с помощью лаJзерного луча, отражающегося от спеJ


циальных зеркал, установленных на поверхности Луны.

В ходе таких измерений учёные непосредственно определили, что Луна медленно удаляется от Земли. Это происходит потому, что за образовния приливных волн момент импульса Земли передаётся Луне.

1. Сохранение момента импульса

Пусть 1L − полный момент им

пульса системы на. Сделаем следующие предположения.

1) 1L определяется только вра

щением Земли вокруг собственной оси и вращением Луны вокруг Земли.

2) Орбита Луны круговая, и Луна считается материальной точкой.

У пирамиды Майя

3) Ось вращения Земли и ось вращения Луны совпадают.

4) Для упрощения расчётов будем считать, что эти оси проходят через центр Земли. Во всех пунктах данной задачи моменты инерции, моменты сил и моменты импульса рассчитываются относительно этой оси.

5) Влиянием Солнца на движение рассматриваемой системы можно пренебречь.

1 а. Запишите для настоящего времени выражение для полного мента импульса системы Луна. Выразите его через момент инерции Земли З,I угловую ско

рость вращения Земли 1З ,ω момент

инерции Луны 1ЛI относительно зе

ной оси и угловую скорость орбитального движения Луны

1Л .ω

Процесс передачи момента импульса от Земли к Луне прекратится, когда земные сутки и период обрщения Луны будут иметь одинаковую продолжительность. К этому времени приливные подъёмы воды, которые Луна вызывает на Земле, будут ориентированы вдоль прямой, соединяющей центры Земли и Луны, и поэтому момент силы исчезнет.

1 b. Запишите выражение для нечного значения полного момента импульса системы Земля Луна 2L .

Используйте те же предположения, что и в пункте 1 а. Выразите его рез момент инерции Земли З,I

нечную угловую скорость вращения Земли и обращения Луны 2ω и к

нечный момент инерции Луны 2Л .I

1 с. Пренебрегая вкладом вращения Земли в конечную величину полного момента импульса, напишите уравнение, выражающее закон сохранения момента импульса.

2. Конечные расстояние и угловая скорость движения системы

Земля уна Будем считать, что орбита дви

жения Луны вокруг Земли всё время остаётся круговой. Для конечного состояния:

2 а. Запишите уравнение, опредляющее закон движения Луны по кругвой орбите вокруг Земли. Выразите даное уравнение через расстояние 2D

между центрами Земли и Луны, массу Земли З,M угловую скорость 2ω и гравитационную постоянную G.

2 b. Запишите выражения для расстояния между Землёй и Луной 2D и


для угловой скорости Земли 2ω как

функцию полного момента импульса системы 1,L масс Земли и Луны ЗM

и ЛM соответственно и гравитационJной постоянной .G

2 с. Запишите выражение для угJловой скорости 2ω системы ЗемляJ

Луна через известные параметры 1,L

З,M ЛM и .G

Найдите численные значения 2D

и 2.ω Для этого вычислите момент

инерции Земли. 2 d. Запишите выражение для

момента инерции Земли З,I предпоJ

лагая, что она является шаром с плотностью 1ρ от центра до расстояJ

ния 1r и шаровым слоем с плотноJ

стью 0ρ от расстояния 1r до расстояJ

ния до поверхности 0r (рис. 1).

Рис. 1. Земля как шар и шаровой слой с двумя плотностями 1ρ и 0ρ

2 e. Рассчитайте момент инерции

Земли З,I используя следующие чисJ

ленные значения: 4 3

1 1,3 10 кг м ,ρ −= ⋅ ⋅ 61 3,5 10r = ⋅ м,

3 30 4,0 10 кг м ,ρ −= ⋅ ⋅ 6

0 6,4 10 м.r = ⋅

2 f. Оцените численное значение полного момента импульса рассматJриваемой системы 1.L

Массы Земли и Луны равны

24З 6,0 10 кгM = ⋅ и 22

Л 7,3 10 кгM = ⋅

соответственно. В настоящее время расстояние между Землёй и Луной

равно 81 3,8 10 м.D = ⋅ Угловая скоJ

рость вращения Земли вокруг собJственной оси составляет

1зω =

5 17,3 10 c .− −= ⋅ Угловая скорость обJ

ращения Луны вокруг Земли

16 1

Л 2,7 10 с .ω − −= ⋅ Гравитационная

постоянная 11 3 1 26,7 10 м кг .G с− − −= ⋅ ⋅ ⋅

2 g. Найдите конечное расJстояние 2D в метрах и в единицах

расстояния от Земли до Луны в наJстоящее время 1.D

2 h. Найдите конечную угловую

скорость 2ω в 1с− и конечную проJ

должительность суток в единицах нынешних суток.

Найдите отношение конечного момента импульса Земли к моменту импульса Луны. Это должна быть малая величина.

2 i. Найдите отношение конечного углового момента Земли к конечному угловому моменту Луны.

3. Насколько Луна удаляется за год? Теперь найдите, насколько Луна

удаляется от Земли каждый год. Для этого определите момент силы, дейстJвующей на Луну в настоящее время. Предположите, что приливные волны можно заменить двумя материальныJми точками массами ,m расположенJными на поверхности Земли (рис. 2). Пусть θ − угол между линией, соедиJняющей места наибольшего подъёма, и линией, соединяющей центры Земли и Луны.

3 a. Найдите модуль силы ,cF

действующей на Луну со стороны ближайшей к ней точечной массы.

3 b. Найдите модуль силы ,fF

действующей на Луну со стороны


Рис. 2. Схема для определения моментов сил, которые действуют на Луну и вызываются подъёмом воды на Земле

отдалённой от неё точечной массы.

3 c. Найдите модуль cτ момента

силы, действующего на Луну со стороJны ближайшей к ней точечной массы.

3 d. Найдите модуль fτ момента

силы, действующего на Луну со стоJроны отдалённой от неё точечной массы.

3 e. Найдите полный момент силы τ от двух масс. Так как 0 1,r D� выJ

пишите выражение до первого знаJчимого порядка по 0 1/ .r D Считайте,

что (1 ) 1ax ax+ ≈ + при 1.x�

3 f. Вычислите численное значение полного момента силы, принимая во

внимание, что 3θ = � и 163,6 10 кгm = ⋅

(заметьте, что эта масса составляет

примерно 810− от массы Земли). Найдите, насколько в настоящее

время расстояние от Земли до Луны изменяется за год. Для этого выразиJте момент импульса Луны через Л,M

З,M 1D и .G

3 g. Найдите численное значение увеличения расстояния между ЗемJлёй и Луной за год в настоящее время.

3 h. Найдите численное значение уменьшения угловой скорости вращеJния Земли

1Eω и увеличение продолJ

жительности земных суток за год. 4. Куда уходит энергия?

В противоположность моменту импульса, который сохраняется,

полная энергия системы не сохраJняется.

4 a. Запишите выражение для полной (кинетической и гравитаJционной) энергии E системы ЗемJляJЛуна в настоящее время. ВыJразите его через З,I

1З ,ω Л,M З,M

1D и .G

4 b. Запишите выражение для изменения EΔ этой энергии E как

функцию изменения параметров 1D и

1З .ω Оцените численное значение

величины EΔ за год, используя

величины изменения 1D и 1З ,ω

найденные в пунктах 3 g и 3 h. Проверьте, что эти потери

энергии связаны с переходом меJханической энергии в тепловую в процессе подъёма и опускания воJды в каждой приливной волне. Считайте, что изменение потенциJальной энергии при подъёме одноJго горба приливной волны эквиваJлентно подъёму слоя воды толщиJной 0,5 м,h = покрывающего всю

поверхность Земли (для упрощеJния можно считать, что вся Земля покрыта водой) в среднем на высоJту 0,5 м. Это случается дважды в

день. Далее считайте, что 10% этой гравитационной энергии переходит в теплоту благодаря наличию вязкости при опускании воды. Считайте плотность воды равной

3 3в 1,0 10 кг м ,ρ −= ⋅ ⋅ ускорение своJ

бодного падения на поверхности

Земли 29,8 м с .g −= ⋅

4 c. Чему равна масса этого поJверхностного слоя воды?

4 d. Вычислите виличину потери этой энергии за год. Сравните поJлученное значение с потерями энерJгии, рассчитаными ранее (в п. 4 b).


Теоретическая задача 2. Лазерное охлаждение атомов и «оптическая патока»

Термины «лазерное охлаждение» и «оптическая патока» относятся к охлаждению (замедлению) пучка нейтральных атомов с помощью распространяющихся в противоположных направлениях лазерных пучков одной и той же частоты.

Область захвата, называемая «оптической патокой», лежит на пересечении трёх взаимно перпендикулярных пар противоположно направленных лазерных пучков. Оптическая диссипативная сила (трение) напоминает силу вязкости, действующую на тело, которое движется сквозь патоку.

Часть 1. Основы лазерного охлаждения

Для простоты рассмотрим одноJмерную задачу, то есть не будем принимать во внимание оси y и .z Пусть атом с массой m движется в направлении x+ со скоростью v и

обладает двумя внутренними энергеJтическими состояниями с разницей энергий 0,ω� где /2h� π= (рис. 3).

Первоначально он находится в нижнем энергетическом состоянии, и его энергию можно принять равной нулю. Луч лазера с частотой Lω

распространяется в направлении x− и

взаимодействует с атомом. Пучок лазера состоит из большого числа фотонов, каждый из которых обладает энергией L�ω и импульсом q−�

(рис. 3). Атом может поглотить фотон и после этого излучить другой фотон за счёт спонтанного излучения. ВеJроятность спонтанного излучения в направлении x+ и x− одна и та же.

Атомы движутся с нерелятиJвистскими скоростями v с� (где c – скорость света). Также имейте в виду, что / 1,q mv� � то есть импульс

атома значительно больше импульса одиJночного фотона. При написании ответов приводите лишь результаты, линейные по отношению к указанным величинам (т. е. сохраняйте в ответах лишь величины первого порядка

Рис. 3

малости). Пусть частота лазера Lω такова,

что для движущегося атома она находится в резонансе с частотой внутренего перехода. Ответьте на следующие вопросы.

1. Поглощение 1 a. Запишите условие резонанJ

сного поглощения фотона. 1 b. Запишите выражение для

импульса атома атp после поглощения

фотона в лабораторной системе отсчёта. 1 c. Запишите выражение для

полной энергии атома атε после

поглощения фотона в лабораторной системе отсчёта.

2. Спонтанное излучение фотона в направлении x−−

Через некоторое время после


поглощения фотона атом может излучить другой фотон в направJлении .x−

2 a. Запишите выражение для энергии фотона ф,ε излучённого в

направлении x− в лабораторной системе отсчёта.

2 b. Запишите выражение для импульса фотона ф,p излучённого в

направлении x− в лабораторной системе отсчёта.

2 c. Запишите выражение для импульса атома атp после процесса излучения фотона в направлении x− в лабораторной системе отсчёта.

2 d. Запишите выражение для полной энергии атома атε после

процесса излучения фотона в направлении x− в лабораторной системе отсчёта.

3. Спонтанное излучение фотона в направлении x+

Через некоторое время после поглощения фотона другой атом может излучить фотон в направлении .x+

3 a. Запишите выражение для энергии фотона ф,ε излучённого в

направлении x+ в лабораторной системе отсчёта.

3 b. Запишите выражение для импульса фотона ф,p излучённого в

направлении x+ в лабораторной системе отсчёта.

3 c. Запишите выражение для импульса атома атp после процесса излучения фотона в направлении x+ в лабораторной системе отсчета.

3 d. Запишите выражение для полной энергии атома атε после проJ

цесса излучения фотона в направлеJнии x+ в лабораторной системе отсчёта.

4. Усреднённое излучение после поглощения

Имейте в виду, что спонтанное

излучение фотона происходит с одинаковой вероятностью в направJлениях x− или .x+

4 a. Запишите выражение для средJней энергии излучённого фотона ф .ε

4 b. Запишите выражение для среднего значения импульса излуJчённого фотона ф .p

4 c. Запишите выражение для средней энергии атома атε после

процесса излучения фотона. 4 d. Запишите выражение для

среднего значения импульса атома атp

после процесса излучения фотона. 5. Передача энергии и импульса Если принять, что процесс

поглощения и излучения одного фотона происходит так, как он описан выше, в среднем существует пеJредача энергии и импульса от лаJзерного излучения к атому.

5 a. Запишите выражение для среднего изменения энергии атома εΔ в результате полного процесса поглощения и излучения фотона.

5 b. Запишите выражение для среднего изменения импульса атома

pΔ в результате полного процесса

поглощения и излучения фотона. 6. Передача энергии и импульса

лазерным пучком, распространяю&щимся в направлении x+

Пусть лазерный луч с частотой

Lω′ рапространяется в направлении x+ , в то время как атом движется в

направлении x+ со скоростью v . Предполагая наличие резонансных условий между внутренним пеJреходом атома и лазерным изJлучением, ответьте на следующие вопросы.

6 a. Запишите выражение для среднего изменения энергии атома

εΔ в результате полного процесса поглощения и излучения фотона.


6 b. Запишите выражение для среднего изменения импульса атома

pΔ в результате полного процесса

поглощения и излучения фотона.

Часть 2. Диссипация энергии и явление «оптической патоки»

Квантовые процессы в природе имеют внутренне присущую им неJопределённость. Поэтому изJза того, что время между поглощением и изJлучением фотона конечно, резоJнансное условие не должно выполJняться точно, как мы предполагали до сих пор. То есть частоты лазерных пучков Lω и Lω′ могут быть произJ

вольными, но поглощение и излучеJние всё равно будут происходить, правда, с различными (квантовыми) вероятностями, и наибольшая вероJятность будет соответствовать точJному резонансу. Среднее время между поглощением и излучением одного фоJтона называется временем жизни возJ

буждённого уровня и обозначается 1.Г − Рассмотрим коллектив из N атоJ

мов, покоящихся в лабораторной системе отсчета, и луч лазера с часJтотой ,Lω который с ними взаимоJ

действует. Атомы поглощают и излуJчают непрерывно, так что в среднем имеется возN атомов в возбуждённом

состоянии (и возN N− в основном).

КвантовоJмеханическое рассмотрение приводит к следующему результату:

( )

2

воз 22 2

0

,

24

R

L R

N = NГω ω

Ω

− + + Ω

где 0ω − резонансная частота атомноJ

го перехода, а RΩ − так называемая

частота Раби; 2RΩ пропорциональна

интенсивности лазерного пучка. Как уже было сказано, эта величина отличJна от нуля, даже если резонансная частота 0ω отличается от частоты

лазерного пучка .Lω Другой способ

выражения того же результата

состоит в том, что количество проJцессов поглощенияJизлучения в единицу времени равно возN Г.

Рассмотрим физическую ситуаJцию (рис. 4), где два распространяюJщихся в противоположных направлеJниях лазерных пучка имеют одина�

ковую, но произвольную частоту ,Lω и взаимодействуют с газом из N

атомов, которые движутся в направJлении x+ со скоростью .v

Рис. 4

7. Сила, действующая на атомный пучок со стороны лазеров

7 a. Используя предыдущую информацию, найдите силу, с котоJрой лазерные пучки действуют на атомы. Считайте, что .mv q��

8. Предел малой скорости Предполагая, что скорость атомов

достаточно мала, можно получить выражение для силы в первом поJрядке малости по .v

8 a. Найдите выражение для сиJ лы, полученной в вопросе 7 а для этого приближения.

Используя этот результат, вы моJжете получить условия для ускорения или замедления атомов излучением, или для отсутствия эффекта.

8 b. Запишите условие для поJлучения положительной силы (усJкорение атомов).

8 c. Запишите условие получения нулевой силы.

8 d. Запишите условие получения


отрицательной силы (замедление атомов).

8 e. Теперь предположим, что атомы движутся со скоростью v− (в направлении x− ). Запишите условие получения отрицательной силы (заJмедления атомов).

9. «Оптическая патока» В случае отрицательной силы

возникает диссипация (трение). ПредJположим, что первоначально при 0t =

газ из атомов имеет скорость 0.v

9 a. В пределе малых скоростей найдите скорость атомов через вреJмя τ после включения лазера.

9 b. Теперь предположите, что газ из атомов находится в тепловом равJновесии при температуре 0T . НайдиJ

те температуру T после того, как пучJки были выключены через время .τ

Примечание. Это приближение нельзя использовать для достиJжения произвольно низкой темJпературы.

Теоретическая задача 3. Почему звёзды такие большие?

Большинство обычных звёзд светит, потому что в их центральной части происходят реакции термоJядерного синтеза, в результате которых водород превращается в гелий.

В этой задаче вам предстоит показать, что звёзды должны быть достаточно большими, чтобы в них могли протекать реакции синтеза на основе водорода, и получить миниJмально необходимые для этого массу и радиус звезды. 1. Классическая оценка температуры

в центре звёзд Предположим, что звезда состоит

из ионизированного водорода (колиJчество электронов равно количеству протонов), который ведёт себя как идеальный газ. С классической точки зрения для осуществления реакции синтеза два протона должны сблиJ

зиться на расстояние 1510 м,− чтобы

сильное ядерное взаимодействие, обеспечивающее их притяжение, стаJло доминировать.

2. Оценка температуры в центре звёзд на основе классической

физики Для того чтобы ядра сблизить, неJ

обходимо преодолеть кулоновское

отталкивание. Примем, что два проJтона (точечных заряда) движутся навстречу друг другу со среднеквадJратичной скоростью теплового двиJжения ср.кв .v

2 a. Какой должна быть темпераJтура газа ,cT чтобы расстояние макJ

симального сближения cd равняJ

лось 1510 м?−

3. Почему предыдущая оценка температуры неверна

Выполним независимые оценки температуры в центре звезды. Звёзды находятся в равновесии, так как сила тяжести уравновешивается направленной наружу силой давлеJния. Для слоя газа на расстоянии r от центра звезды условие гидроJстатического равновесия имеет вид:

2,r rP GM

r r

ρΔ= −

Δ

где PΔ − разность давлений газа на слое толщиной rΔ на расстоянии r от центра, G − постоянная всеJмирного тяготения, rM − масса

звёздного вещества внутри сферы радиуса ,r rρ − плотность газа в

слое на расстоянии r от центра звезды.


Разность давлений cP в центре

звезды и 0P на её поверхности,

равная 0 ,cP P PΔ ≈ − может быть

оценена как ,cP PΔ ≈ − поскольку

0 .cP P� В том же приближении

,r RΔ ≈ где R − полный радиус

звезды, и ,r RM M M≈ = где M −

полная масса звезды. Плотность звёздного вещества на расстоянии r от центра звезды можно оценить её значением в центре, т. е. .r cρ ρ≈

Полагая, что давление можно определить как давление идеального газа, выполните следующее.

3 a. Запишите выражение для температуры cT в центре звезды,

выразив её через радиус звезды, её массу и физические константы. Теперь проверим справедливость этой оценки.

3 b. Используя выражение из 2 a, выразите отношение M/R для звезJды только через cT и физические

константы. 3 c. Используйте значение cT из

пункта 1 a и найдите численное значение /M R для звезды.

3 d. Вычислите отношение ( )/M S / ( )R S для Солнца и убедитесь, что оно значительно меньше величины, полученной в пункте 2 c.

4. Оценка температуры в центре звезды на основе квантовой физики

Значительное несоответствие, обJнаруженное в пункте 3 d, указываJет, что классическая оценка для ,cT

полученная в пункте 2 a, неправильJна. Это несоответствие удаётся устJранить, если учесть квантовые эфJфекты. Они состоят в том, что протоJны ведут себя как волны, и отдельJный протон локализуется на расстояJнии порядка длины волны де Бройля

.pλ Поэтому если расстояние максиJ

мального сближения протонов cd

оказывается близким к ,pλ протоны

в квантовом смысле перекрываются и могут сливаться.

4 a. Полагая, что условие cd =

/ 2pλ= обеспечивает возможность

синтеза, для протонов со скоростью

ср.кв.v запишите выражение для ,cT

используя только физические постоJянные.

4 b. Получите численное значеJние температуры ,cT найденной в

пункте 4 a. 4 c. Используя значение ,cT поJ

лученное в пункте 4 b, и формулу, полученную в пункте 3 b, численно определите значение отношения M/R для звезды. Убедитесь, что это знаJчение достаточно близко к опредеJлённому для Солнца отношению M(S)/R(S).

Звёзды главной последовательJности удовлетворяют этому отноJшению в широком интервале масс. Следовательно, квантовая оценка температуры в центре Солнца правильна.

5. Отношение массы к радиусу для звёзд

5 a. Покажите, что для любой звезды, в которой происходит синтез на основе водорода, отношение её массы M к радиусу R − величина постоянная, определяемая лишь фиJзическими константами. Запишите выражение M/R для звёзд, в котоJрых происходит синтез на основе водорода. 6. Масса и радиус самых маленьких

звёзд Результат, полученный в пункте

5 a, предполагает, что если для звёзд выполнено найденное соотJношение, то они могут иметь любую массу. Это неверно.


Газ внутри обычных звёзд, в которых происходит синтез на основе водорода, ведёт себя как идеальный. Это означает, что характерное расстояние между электронами

ed в среднем должно быть больше,

чем длина волны де Бройля для электронов .eλ Если электроны

находятся ближе друг к другу, они оказываются в так называемом вырожденном состоянии, что прводит к иному поведению звёзд. Заметьте, что электроны и протоны внутри звезды рассматриваются празному. Для протонов волны де Бройля должны перекрываться, чтобы начался синтез, а для электронов перекрытия не должно быть, чтобы их можно было считать идеальным газом.

Абсерватория Майя

Плотность звёздного вещества возрастает с уменьшением расстояния до центра звезды. Тем не менее, для оценки по порядку величины считайте, что его плотность постоянна. Можно также воспользоваться тем, что p em m .

6 a. Запишите уравнение для en −

средней концентрации электронов в звезде.

6 b. Запишите уравнение для ed −

характерного расстояния между электронами внутри звезды.

6 c. Используя условие ,2e

edλ

≥

запишите выражение для наименшего возможного радиуса обычной звезды. Считайте, что температура звезды равна температуре в её центре.

6 d. Вычислите значение радиуса наименьшей обычной звезды, вырженное как в метрах, так и номированное на радиус Солнца.

6 e. Вычислите массу наименьшей обычной звезды как в килограммах, так и в массах Солнца.

7. Синтез на основе ядер гелия в старых звёздах

Когда звёзды стареют, они сжигают почти весь водород, превращая его в гелий (He). Чтобы свечение продолжалось, в них должен осуществляться синтез более тяжёлых ментов из гелия. В ядре гелия два протона и два нейтрона, поэтому его заряд равен двум зарядам протона, а масса примерно в 4 раза больше, чем у протона. Мы уже виделивие слияния двух протонов имеет вид

.2

pcd

λ=

7 a. Записав аналогичное условие для ядер гелия, найдите среднеквадратичную скорость ядер гелия ср.кв. (He)υ

и температуру (He),T необходимую для синтеза на основе гелия.

Материал предоставили В.П. Слободянин, С.М. Козел.


XL Ìåæäóíàðîäíàÿ îëèìïèàäà

øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå

(Ìåêñèêà, ã. Ìåðèäà). 2009 ãîä.

Òåîðåòè÷åñêèé òóð.

Ðåøåíèÿ è îòâåòû

Òåîðåòè÷åñêàÿ çàäà÷à 1.

Ýâîëþöèÿ ñèñòåìû Çåìëÿ-Ëóíà

1. Ñîõðàíåíèå ìîìåíòà èìïóëüñà

1 a. 1 1 11 З З Л Л .L I Iω ω= +

1 b. 2 2 22 З З Л Л .L I Iω ω= +

1 c. 1 1 1 2 2З З Л Л 1 .Л ЛI I L Iω ω ω+ = ≈

2. Êîíå÷íûå ðàññòîÿíèå è óãëîâàÿ

ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ñèñòåìû

Çåìëÿ-Ëóíà

2 a. 2 32 2 З .D GMω =

2 b. 21

2 2З Л

.L

DGM M

=

2 c. 2 2 3

З Л2 3

1

.G M M

Lω =

2 d. Â íàøåé ìîäåëè ìîìåíò èíåð-öèè Çåìëè áóäåò ýêâèâàëåíòåí ìî-

ìåíòó èíåðöèè øàðà ñ ðàäèóñîì 0r

è ïëîòíîñòüþ 0ρ è øàðà ðàäèó-

ñîì 1r è ïëîòíîñòüþ 1 0 :ρ ρ−

5 5З 0 0 1 1 0

2 4( ) .

5 3I r r

π ρ ρ ρ⎡ ⎤= + −⎣ ⎦

2 e. 5 50 0 1 1 0

2 4( )

5 3r r

π ρ ρ ρ⎡ ⎤⋅ + − =⎣ ⎦

378,0 10 .= ⋅ ⋅ 2êã ì

2 f. 1 1 11 З З Л ЛL I Iω ω= + =

34 2 13,4 10 с .−= ⋅ ⋅êã ì

2 g. 8

2 5,4 10 м,D = ⋅ ïîëó÷àåòñÿ

2 11,4 .D D=

2 h. 6 1

2 1,6 10 ,сω − −= ⋅ ýòî ñîîòâåò-

ñòâóåò ïåðèîäó â 46 ñóòîê. 2 i. Ñðàâíèì

32 2 1З 2 1,3 10 кг м сI ω −= ⋅ ⋅

234 2 1

2и 3,4 10 кг м с .ЛI ω −= ⋅ ⋅

Ïðèáëèæåíèå îïðàâäàíî, ò. ê. îêîí-÷àòåëüíûé ìîìåíò èìïóëüñà Çåìëè íàìíîãî ìåíüøå îêîí÷àòåëüíîãî ìî-ìåíòà èìïóëüñà Ëóíû, à òî÷íåå, îò-íîñèòñÿ ê íåìó êàê 1 ê 260. 3. Íàñêîëüêî Ëóíà óäàëÿåòñÿ çà ãîä?

3 a. Èñïîëüçóÿ òåîðåìó êîñèíóñîâ, ïîëó÷èì, ÷òî áëèæíèé îáúåêò ìàññîé m ïðèòÿãèâàåòñÿ ê Ëóíå ñ ñèëîé:

Л2 21 0 1 0

.2 cos

сGM m

FD r D r θ

⋅=

+ −

3 b. Èñïîëüçóÿ òåîðåìó êîñèíóñîâ, ïîëó÷èì, ÷òî äàëüíèé îáúåêò ìàññîé m ïðèòÿãèâàåòñÿ ê Ëóíå ñ ñèëîé:

Л2 21 0 1 0

.2 cos

fGM m

FD r D r θ

⋅=

+ +

3 c. Èñïîëüçóÿ òåîðåìó ñèíóñîâ, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ìîìåíòà ñèëû, äåéñòâóþùåãî ñî ñòîðîíû áëèæíåãî îáúåêòà íà Ëóíó:


Л 0 12 2 3/21 0 1 0

sin.

[ 2 cos ]c

GmM r D

D r D r

θτθ

=+ −

3 d. Èñïîëüçóÿ òåîðåìó ñèíóñîâ, ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ìîìåíòà ñèëû, äåéñòâóþùåãî ñî ñòîðîíû äàëüíåãî îáúåêòà íà Ëóíó:

Л 0 12 2 3/21 0 1 0

sin.

[ 2 cos ]f

GmM r D

D r D r

θτθ

=+ +

3 e. 2

Л 0 1 sinc f GmM r Dτ τ θ−− ≈ ×

2 20 0 0 02 2

1 11 1

3 3 cos 3 3 cos1 1

2 2

r r r r

D DD D

θ θ⎛ ⎞

× − + − + + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

2

Л 021

6 sin cos.

GmM r

D

θ θ=

3 f. 2

Л 031

6 sin cosGmM r

D

θ θτ = =

164,1 10 Н м.= ⋅ ⋅

3 g. Èç çàêîíà âñåìèðíîãî òÿãî-

òåíèÿ èìååì 1

2 3Л 1 З .D GMω = Èç ýòîãî

ñëåäóåò, ÷òî ìîìåíò èìïóëüñà Ëóíû

1 1

1/22 З

Л Л Л 1 31

GMI M D

Dω

⎡ ⎤

= =⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]1/2Л 1 З .M D GM=

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî

[ ] ( )

[ ][ ]

1/2 1/2Л З 1

1/2Л З 1

1/21

.2

M GM D

t

M GM D

D t

τΔ

= =Δ

Δ=

Δ

Èñïîëüçóÿ äâå ïðåäûäóùèå ôîðìó-ëû, ìû ïîëó÷àåì, ÷òî

1/21

1Л З

2.

Dr tD

M GM

⎛ ⎞ΔΔ = = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Äëÿ 71 год 3,1 10 с.tΔ = = ⋅ ïîëó÷àåì

1 0,034 м.DΔ = Íà ñòîëüêî óâåëè÷è-

âàåòñÿ åæåãîäíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó Çåìë¸é è Ëóíîé.

3 h. Ñåé÷àñ èñïîëüçóåì τ =

1З З

З,

I

I

ωΔ= − îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî

1ЗЗ

.I

τ τω ΔΔ = −

Èñïîëüçóåì 71 год 3,1 10 c,tΔ = = ⋅ ïîëó-

÷àåì 1

14 1З 1,6 10 с .ω − −Δ = − ⋅ Åñëè ЗT –

ïåðèîä, òî З З1

З З1

T

T

ωω

Δ Δ= − çà 1 äåíü

5

З 1,9 10 с.T −Δ = ⋅

4. Êóäà óõîäèò ýíåðãèÿ?

4 a. Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû Çåì-ëÿ-Ëóíà

1 12 2 З Л

З З Л Л1

1 1.

2 2

GM ME I I

Dω ω= + −

Èñïîëüçóÿ, ÷òî 1

2 3Л 1 З,D GMω = ïîëó-

÷àåì:

1

2 З ЛЗ З

1

1 1.

2 2

GM ME I

Dω= −

4 b. 1 1З З ЗE I ω ωΔ = Δ +

10Л З12

1

19,0 10 Дж.

2

GM MD

D+ Δ = − ⋅

4 ñ. 2

вода 0 вода4M r hπ ρ= =

172,6 10 кг.= ⋅

4 d. 1

вода вода 2дняE gM h −Δ = − ⋅ ×

19365 дней 0,1 9,3 10 Дж.× ⋅ = − ⋅ Êàê âè-

äèì, ýòîò ðåçóëüòàò õîðîøî ñîãëà-ñóåòñÿ ñ ïðåäûäóùèì.


Ëàçåðíîå îõëàæäåíèå àòîìîâ è «îïòè÷åñêàÿ ïàòîêà»

Êëþ÷îì ê ðåøåíèþ äàííîé ïðî-áëåìû ÿâëÿåòñÿ ýôôåêò Äîïëåðà (òî÷íåå, ïðîäîëüíûé ýôôåêò Äîïëå-ðà). ×àñòîòà ìîíîõðîìàòè÷åñêîãî

ñâåòà, ôèêñèðóåìàÿ íàáëþäàòåëåì, çàâèñèò îò ñêîðîñòè èñòî÷íèêà v

îòíîñèòåëüíî íàáëþäàòåëÿ, äëÿ êî- òîðîãî ÷àñòîòà:


11 ,

1

vvc

v c

c

ω ω ω±

⎛ ⎞′ = ≈ ±⎜ ⎟

⎝ ⎠∓

ãäå ω – ÷àñòîòà èñòî÷íèêà. Âåðõíèå è

íèæíèå çíàêè â ôîðìóëå îáîçíà÷àþò, ñîîòâåòñòâåííî, äâèæåíèå èñòî÷íèêà è íàáëþäàòåëÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó è íàîáîðîò. Âòîðîå ðàâåíñòâî ñïðàâåäëè-âî â ïðèáëèæåíèè ìàëûõ ñêîðîñòåé

(íåðåëÿòèâèñòñêîå ïðèáëèæåíèå). ×àñòîòà ëàçåðà â ëàáîðàòîðíîé

ñèñòåìå îòñ÷¸òà ;Lω 0ω – ðåçîíàíñ-

íàÿ ÷àñòîòà àòîìíîãî ïåðåõîäà; àòîì äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v íàâñòðå÷ó ëàçåðíîìó ïó÷êó.

Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ðåçóëüòàò äîëæåí áûòü ïðèâåä¸í ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðâîãî ïîðÿäêà âåëè÷èí v/ñ

èëè

/ ,q mv� ãäå .Lqc

ω=

×àñòü 1. Îñíîâû ëàçåðíîãî îõëàæäåíèÿ

1. Ïîãëîùåíèå 1 a. Çàïèøåì óñëîâèå ðåçîíàíñ-

íîãî ïîãëîùåíèÿ ôîòîíà:

0 1 .v

cω ω ⎛ ⎞≈ ±⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 b. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ

èìïóëüñà àòîìà атp ïîñëå ïîãëîùå-

íèÿ ôîòîíà â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷¸òà:

ат .Lp p q mvc

ω= − ≈ − ��

1 c. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ

ïîëíîé ýíåðãèè àòîìà атε ïîñëå ïî-

ãëîùåíèÿ ôîòîíà â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷¸òà:

2 2ат

ат 0 .2 2 Lp mv

mε ω ω= + ≈ +� �

2. Ñïîíòàííîå èçëó÷åíèå ôîòîíà â

íàïðàâëåíèè –x

Ïðåæäå ìû âû÷èñëèëè ýíåðãèþ èñïóùåííîãî ôîòîíà â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷¸òà. Òðåáóåòñÿ ñîõðà-íÿòü íóæíûé ïîðÿäîê ìàëîñòè, ïî-òîìó ÷òî ñêîðîñòü àòîìà ìåíÿåòñÿ â ðåçóëüòàòå ïîãëîùåíèÿ, îäíàêî ýòî èçìåíåíèå ÷àñòîòû âî âòîðîì ïî-ðÿäêå ìàëîñòè:

ф 0 1 ,v

cω ω

′⎛ ⎞≈ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

ãäå .q

v vm

′ ≈ − � Òàêèì îáðàçîì:

ф 0 1v q

c mcω ω ⎛ ⎞≈ − + ≈⎜ ⎟

⎝ ⎠

�

1 1 1L Lv v q q

c c mc mcω ω⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ + − + ≈ + ≈⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

� �

1 .L Lq v

mc cω ω⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞≈ + ≈⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠

�

2 a. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ýíåð-

ãèè ôîòîíà ф,ε èçëó÷¸ííîãî â íà-

ïðàâëåíèè x− â ëàáîðàòîðíîé ñèñ-

òåìå îòñ÷¸òà:

ф .Lε ω≈ �

2 b. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ èì-

ïóëüñà ôîòîíà ф,p èçëó÷¸ííîãî â

íàïðàâëåíèè x− â ëàáîðàòîðíîé

ñèñòåìå îòñ÷¸òà:

ф / .Lp сω≈ −�

Èñïîëüçóåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà (ñì. 1 b):

ат ф .p p p q+ ≈ − �

2 c. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ èì-

ïóëüñà àòîìà атp ïîñëå ïðîöåññà

èçëó÷åíèÿ ôîòîíà â íàïðàâëå-íèè x− â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå

îòñ÷¸òà:

ат .p p mv≈ =

2 d. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ýíåð-

ãèè àòîìà атε ïîñëå ïðîöåññà

èçëó÷åíèÿ ôîòîíà â íàïðàâëå-íèè –x â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå

îòñ÷¸òà: 2 2

ат .2 2

p mv

mε ≈ =


3. Ñïîíòàííîå èçëó÷åíèå ôîòîíà â

íàïðàâëåíèè +x Âñ¸ òî æå, ÷òî è â ïðîøëîì âî-

ïðîñå, ñîõðàíÿåì ïðàâèëüíûé ïîðÿ-äîê ìàëîñòè:

3 a. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ýíåð-

ãèè ôîòîíà ф,ε èçëó÷¸ííîãî â íà-

ïðàâëåíèè x+ â ëàáîðàòîðíîé ñèñ-

òåìå îòñ÷¸òà:

2

ф 0 1 1

21 .

L

L

v v

c c

v

c

ε ω ω

ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞≈ + ≈ + ≈⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞≈ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

� �

�

3 b. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ èì-

ïóëüñà ôîòîíà ф,p èçëó÷¸ííîãî â

íàïðàâëåíèè x+ â ëàáîðàòîðíîé

ñèñòåìå îòñ÷¸òà:

ф2

1 .L vp

c c

ω ⎛ ⎞≈ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

�

3 c. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ èì-

ïóëüñà àòîìà атp ïîñëå ïðîöåññà èç-

ëó÷åíèÿ ôîòîíà â íàïðàâëåíèè x+ â

ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷¸òà:

ат фp p q p p q= − − ≈ − −� �

21 2 .L Lv

mvc c c

ω ω⎛ ⎞− + ≈ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

� �

3 d. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ èì-

ïóëüñà ôîòîíà атε ïîñëå ïðîöåññà

èçëó÷åíèÿ ôîòîíà â íàïðàâëåíèè x+

â ëàáîðàòîðíîé ñèñòåìå îòñ÷¸òà: 2 2ат

ат 1 2 .2 2

p mv q

m mvε ⎛ ⎞= ≈ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

�

4. Óñðåäí¸ííîå èçëó÷åíèå ïîñëå

ïîãëîùåíèÿ

Ïðîöåññ ñïîíòàííîãî èçëó÷åíèÿ ïðîèñõîäèò ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ â îáîèõ íàïðàâëåíèÿõ.

4 a. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ñðåä-

íåé ýíåðãèè èçëó÷¸ííîãî ôîòîíà ф :ε

ф ф ф1 1

1 .2 2 L

v

cε ε ε ω+ − ⎛ ⎞= + ≈ +⎜ ⎟

⎝ ⎠

�

4 b. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ñðåä-íåãî çíà÷åíèÿ èìïóëüñà èçëó÷åííîãî

ôîòîíà ф :p

ф Ф Ф1 1

2 2

0

L vp p p

c c

q vmv

mv c

ω+ −= + ≈ =

⎛ ⎞= ≈⎜ ⎟

⎝ ⎠

�

�

(âòîðîé ïîðÿäîê ìàëîñòè). 4 c. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ñðåä-

íåé ýíåðãèè àòîìà атε ïîñëå ïðî-

öåññà èçëó÷åíèÿ ôîòîíà: 2

ат ат ат1 1

1 .2 2 2

mv q

mvε ε ε+ − ⎛ ⎞= + ≈ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

�

4 d. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ñðåä-

íåãî çíà÷åíèÿ èìïóëüñà àòîìà атp

ïîñëå ïðîöåññà èçëó÷åíèÿ ôîòîíà:

ат ат ат1 1

.2 2

Lp p p pc

ω+ −= + ≈ − �

5. Ïåðåäà÷à ýíåðãèè è èìïóëüñà

Åñëè ïðèíÿòü, ÷òî ïðîöåññ ïî-ãëîùåíèÿ è èçëó÷åíèÿ îäíîãî ôîòî-íà ïðîèñõîäèò òàê, êàê îí îïèñàí âûøå, â ñðåäíåì ñóùåñòâóåò ïåðå-íîñ ýíåðãèè è èìïóëüñà îò ëàçåðà ê àòîìó.

5 a. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ñðåä-

íåãî èçìåíåíèÿ ýíåðãèè àòîìà εΔ â

ðåçóëüòàòå ïîëíîãî ïðîöåññà ïîãëî-ùåíèÿ è èçëó÷åíèÿ ôîòîíà:

после доат ат

1 1.

2 2 Lv

qvc

ε ε ε ωΔ = − ≈ − = −� �

5 b. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ñðåä-

íåãî èçìåíåíèÿ èìïóëüñà àòîìà pΔ â

ðåçóëüòàòå ïîëíîãî ïðîöåññà ïîãëîùå-íèÿ è èçëó÷åíèÿ ôîòîíà:

после доат ат .Lp p p q

c

ωΔ = − ≈ − = − ��

6. Ïåðåäà÷à ýíåðãèè èìïóëüñà

ëàçåðíûì ïó÷êîì, ðàñïðîñòðàíÿþ-

ùèìñÿ â íàïðàâëåíèè +x 6 a. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ñðåä-

íåãî èçìåíåíèÿ ýíåðãèè àòîìà εΔ â

ðåçóëüòàòå ïîëíîãî ïðîöåññà ïîãëîùå-íèÿ è èçëó÷åíèÿ ôîòîíà:

после доат ат

1 1.

2 2 Lv

qvc

ε ε ε ω′Δ = − ≈ + = +� �

6 b. Çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ


ñðåäíåãî èçìåíåíèÿ èìïóëüñà àòîìà

pΔ â ðåçóëüòàòå ïîëíîãî ïðîöåññà

ïîãëîùåíèÿ è èçëó÷åíèÿ ôîòîíà:

после доат ат .Lp p p q

c

ωΔ = − ≈ + = + ��

×àñòü 2. Äèññèïàöèÿ ýíåðãèè è ÿâëåíèå «îïòè÷åñêîé ïàòîêè»

Äâà ðàñïðîñòðàíÿþùèõñÿ â ïðî-òèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ ëàçåð-

íûõ ïó÷êà èìåþò îäèíàêîâóþ, íî

ïðîèçâîëüíóþ ÷àñòîòó ,Lω è âçàè-

ìîäåéñòâóþò ñ ãàçîì èç N àòîìîâ, êîòîðûå äâèæóòñÿ â íàïðàâëåíèè x+

ñî (ñðåäíåé) ñêîðîñòüþ v.

7. Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà àòîìíûé

ïó÷îê ñî ñòîðîíû ëàçåðîâ

Â ñðåäíåì äîëÿ àòîìîâ, íàõîäÿ-ùèõñÿ â âîçáóæä¸ííîì ñîñòîÿíèè, âûðàæàåòñÿ êàê:

( )

2возб

возб 22 2

0

,Г

24

R

L R

NP

Nω ω

Ω= =− + + Ω

ãäå 0ω – ðåçîíàíñíàÿ ÷àñòîòà àòîì-

íîãî ïåðåõîäà, à RΩ – òàê íàçûâàå-

ìàÿ ÷àñòîòà Ðàáè; 2RΩ ïðîïîðöèî-

íàëüíà èíòåíñèâíîñòè ëàçåðíîãî

ïó÷êà. Âðåìÿ íàõîæäåíèÿ àòîìà â

âîçáóæäåííîì ñîñòîÿíèè 1Г .−

Ñèëà âû÷èñëÿåòñÿ êàê êîëè÷å-

ñòâî öèêëîâ ïîãëîùåíèÿ-èñïóñ-êàíèÿ, óìíîæåííîå íà èçìåíåíèå èìïóëüñà, äåë¸ííîå íà âðåìÿ ýòîãî ñîáûòèÿ.

Âíèìàíèå! Ïðèìèòå âî âíèìà-íèå äîïëåðîâñêèé ñäâèã ÷àñòîòû ëàçåðà â ñèñòåìå îòñ÷¸òà àòîìîâ.

7 a. Èñïîëüçóÿ ïðåäûäóùóþ èí-ôîðìàöèþ, íàéäèòå ñèëó, ñ êîòîðîé ëàçåðíûå ïó÷êè äåéñòâóþò íà àòî-

ìû. Ñ÷èòàéòå, ÷òî .mv q��

возб возбГ ГF N p p N p p− − + += Δ + Δ =

2

2 22

0Г

24

R

L L Rv

cω ω ω

⎛

⎜ Ω⎜= −⎜⎛ ⎞

⎜ − + + + Ω⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝

2

2 22

0

Г .Г

24

R

L L R

N qv

cω ω ω

⎞

⎟Ω⎟−⎟

⎛ ⎞⎟− − + + Ω⎜ ⎟ ⎟

⎝ ⎠ ⎠

�

8. Ïðåäåë ìàëîé ñêîðîñòè

Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ñêîðîñòü àòî-ìîâ äîñòàòî÷íî ìàëà, ìîæíî ïîëó-÷èòü âûðàæåíèå äëÿ ñèëû â ïåðâîì ïîðÿäêå ìàëîñòè ïî v.

8 a. Íàéä¸ì âûðàæåíèå äëÿ ñè-ëû, ïîëó÷åííîé â âîïðîñå 7 a äëÿ ýòîãî ïðèáëèæåíèÿ:

( )

( )

2 20

222 2

0

4 Г.

Г2

4

R L

L R

N q vF

ω ω

ω ω

Ω −≈ −

⎛ ⎞

− + + Ω⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

�

8 b. Çàïèøåì óñëîâèå äëÿ ïîëó-÷åíèÿ ïîëîæèòåëüíîé ñèëû (óñêîðå-íèå àòîìîâ):

0 .Lω ω<

8 c. Çàïèøåì óñëîâèå äëÿ ïîëó-÷åíèÿ íóëåâîé ñèëû:

0 .Lω ω=

8 d. Çàïèøåì óñëîâèå äëÿ ïîëó-÷åíèÿ îòðèöàòåëüíîé ñèëû (çàìåä-ëåíèå àòîìîâ):

0 .Lω ω>

Ýòî èçâåñòíîå ïðàâèëî «íàñòðàèâàé óñòàíîâêó äî ðåçîíàíñà, ÷òîáû îõ-ëàäèòü».

8 e. Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî àòîìû äâèæóòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v− (â

íàïðàâëåíèè ).x− Çàïèøåì óñëîâèå

ïîëó÷åíèÿ îòðèöàòåëüíîé ñèëû (çà-ìåäëåíèå àòîìîâ):

0 ,Lω ω>

ò. å. ýòî íå çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ àòîìà.

9. «Îïòè÷åñêàÿ ïàòîêà»

Â ñëó÷àå îòðèöàòåëüíîé ñèëû âîç-íèêàåò äèññèïàöèÿ (òðåíèå). Ïðåäïî-


ëîæèì, ÷òî ïåðâîíà÷àëüíî ïðè 0t =

ãàç èç àòîìîâ èìååò ñêîðîñòü 0 .v

9 a. Â ïðåäåëàõ ìàëûõ ñêîðîñòåé íàéäèòå ñêîðîñòü àòîìîâ ÷åðåç âðå-ìÿ τ ïîñëå âêëþ÷åíèÿ ëàçåðà;

/0

t mdvF v m v v v e

dt

ββ β −= − ⇒ ≈ − ⇒ =

(β ìîæåò áûòü íàéäåí èç 8 a).

9 b. Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãàç èç àòîìîâ íàõîäèòñÿ â òåïëîâîì

ðàâíîâåñèè ïðè òåìïåðàòóðå 0.T

Íàéä¸ì òåìïåðàòóðó Ò ïîñëå òîãî, êàê ïó÷êè áûëè âûêëþ÷åíû ÷åðåç âðåìÿ .τ

Íàïîìíèì, ÷òî 21 1

2 2xmv kT= â

ïåðâîì ïðèáëèæåíèè, è èñïîëüçóÿ â êà÷åñòâå v â âûðàæåíèè 9 a ñðåä-íþþ òåïëîâóþ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ àòîìîâ, çàïèøåì:

2 /0 .t mT T e β−=


Ïî÷åìó çâ¸çäû òàêèå áîëüøèå?

1. Êëàññè÷åñêàÿ îöåíêà

òåìïåðàòóðû â öåíòðå çâ¸çä 1 à. Ïðèðàâíèâàåì íà÷àëüíóþ

êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ äâóõ ïðîòî-íîâ ê ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè èõ ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ íà ðàññòîÿíèè ìàêñèìàëüíîãî ñáëè-æåíèÿ:

22ср.кв.

0

12 ;

2 4pc

qm v

dπ ε⎛ ⎞ =⎜ ⎟

⎝ ⎠

çàòåì 2ср.кв.

3 1,

2 2c pkT m v= âû÷èñëÿåì

29

05,5 10 .

12cc

qT

d kπ ε= = ⋅ Κ

2. Ïî÷åìó ïðåäûäóùàÿ îöåíêà

òåìïåðàòóðû íåâåðíà

2 à. Ìû ïîëó÷àåì:

2,r rG MP

r r

ρΔ = −Δ

èñïîëüçóÿ äàííîå äîïóùåíèå, ïîëó÷àåì:

.cc

G MP

R

ρ=

Çíà÷èò, äàâëåíèå èäåàëüíîãî ãàçà ðàâíî

2,c c

cp

kTP

m

ρ=

ãäå k – ýòî ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà,

cT – ýòî òåìïåðàòóðà â öåíòðå

çâåçäû è pm – ìàññà ïðîòîíà. Êî-

ýôôèöèåíò «2» ïîÿâëÿåòñÿ èç-çà òîãî, ÷òî ìû èìååì äâå ÷àñòèöû

íà îäíó ïðîòîííóþ ìàññó, êîòî-ðûå äàþò îäèíàêîâûé âêëàä â äàâëåíèå. Ïðèðàâíèâàÿ äâà ïî-ñëåäíèõ âûðàæåíèÿ, ìû îêîí÷à-òåëüíî âûâîäèì:

.2

pc

GM mT

kR=

2 b. Èç ïóíêòà (2 à) ìû ïîëó÷à-åì:

2.c

p

kTM

R G m=

2 ñ. Èç ïóíêòà (2 b) ìû âû÷èñ-

ëÿåì, ÷òî ïðè 95,5 10 :cT = ⋅ Κ

кг

м

2421,4 10 .c

p

kTM

R G m= = ⋅

2 d. Äëÿ Ñîëíöà ìû ïîëó÷àåì:

кг

м

21c

c2,9 10 .

M

R= ⋅

Êàê âèäèì, ýòîò ðåçóëüòàò íà òðè ïîðÿäêà ìåíüøå.

3. Îöåíêà òåìïåðàòóðû

â öåíòðå çâåçäû íà îñíîâå

êâàíòîâîé ôèçèêè 3 à. Ìû èìååì ñëåäóþùåå:

ср.кв.,p

p

h

m vλ =

Çàòåì 2ср.кв.

3 1,

2 2c pkT m v=

2

0,

12cc

qT

d kπ ε=


ìû ïîëó÷àåì: 4

2 2 20

.24

pc

q mT

khπ ε=

3 b.

46

2 2 20

9,7 10 .24

pc

q mT

khπ ε= = ⋅ Κ

3 ñ. Èç ïóíêòà (2 b) ìû âû÷èñëÿ-

åì, ÷òî äëÿ 69,7 10 :cT = ⋅ Κ

21 122,4 10 кг м ;c

p

kTM

R G m

−= = ⋅ ⋅

â òî æå âðåìÿ äëÿ Ñîëíöà ìû ïîëó-÷àåì:

21 1

c2,9 10 кг м .cM

R

−= × ⋅

4. Îòíîøåíèå ìàññû ê ðàäèóñó

äëÿ çâ¸çä 4 à. Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî

2 c

p

kTM

R Gm=

è ÷òî 4

2 2 20

,24

pc

q mT

khπ ε=

ìû ïîëó÷àåì 4

2 2 20

.12

M q

R Ghπ ε=

5. Ìàññà è ðàäèóñ ñàìûõ

ìàëåíüêèõ çâ¸çä

5 à. 3

.(4/3)

ep

Mn

R mπ=

5 b.

1/3

1/33(4/ 3)

e ep

Md n

R mπ

−−

⎛ ⎞

⎜ ⎟= =⎜ ⎟

⎝ ⎠

5 ñ. Ïðåäïîëàãàåì, ÷òî

1/2.

2e

edλ

≥

Äàëåå

ср.кв.эл.,e

e

h

m vλ =

2ср.кв.эл.

3 1,

2 2c ekT m v=4

2 2 20

,24

pc

q mT

khπ ε=

4

2 2 20

,12

M q

R Ghπ ε= è

1/3

3,

(4/3)e

p

Md

R mπ

−⎛ ⎞

⎜ ⎟=⎜ ⎟

⎝ ⎠

Îòêóäà ïîëó÷àåì, ÷òî

1/2 20

1/4 3/4 5/4 1/2.

4 e p

hR

q m m G

ε≥

5 d.

1/2 20

1/4 3/4 5/4 1/2

7С

4

6,9 10 м 0,10 .

e p

hR

q m m G

R

ε≥ =

= ⋅ =

5 å. Îòíîøåíèå ìàññû ê ðàäèóñó ðàâíî

кг

м

421

2 2 20

2,4 10 ,12

M q

R Ghπ ε= = ⋅

îòêóäà ìû âû÷èñëÿåì, ÷òî:

кг

291,7 10 0,09 .cM M≥ ⋅ =

6. Ñèíòåç íà îñíîâå ÿäåð ãåëèÿ

â ñòàðûõ çâ¸çäàõ

6 à. Äëÿ ãåëèÿ ìû èìååì:


2

20 ср.кв.

1/2ср.кв.

4

4 ( )

,2 ( )

He

He

q

m v He

h

m v He

π ε=

=

îòêóäà ïîëó÷àåì:

м с

1/2 26 1

ср.кв.0

2( ) 2,0 10 .

qv He

hπ ε−= = ⋅ ⋅

Îòñþäà âûâîäèì: 2ср.кв. ( )

( )3

Hev He mT He

k= =

86,5 10 К.= ⋅

Ýòî çíà÷åíèå èìååò äðóãîé ïî-ðÿäîê ïî ñðàâíåíèþ ñî çíà÷åíèÿ-ìè èç îöåíîê â ðàìêàõ çâ¸çäíûõ ìîäåëåé.

Новости Новости Новости Новости НовостиФильтры из «трековых» мембран

В лечебных учреждениях, в некоторых исследовательскихлабораториях, на высокотехнологичных промышленных и фар-мацевтических производствах и во многих других случаях −рабочие помещения должны быть абсолютно чистыми − не толь-ко без грязи и пыли, но и без посторонних микрочастиц в возду-хе. Так что воздух в них приходится тщательно фильтровать, адля этого максимально уменьшать поры фильтра.

Российские учёные Исследовательского центра прикладнойядерной физики в г. Дубне Московской обл. разработали уни-кальную технологию создания мембран для фильтров с отвер-стиями наноразмеров. Эти мембраны называют «трековыми»(иногда «ядерными»), так как получают их следующим образом.Тяжёлые ионы или осколки ядер, получаемые в результатереакции деления урана-235 при облучении его нейтронами,ускоряют и направляют на непористую полимерную плёнку,например лавсановую. Проходя сквозь неё, частицы оставляют влавсане треки, которые затем протравливают − образуется мно-жество (до 100 млн на 1 см2 ) цилиндрических отверстий.

По сравнению с обычными «трековые» мембраны обладают важ-ными преимуществами: они гораздо тоньше (их толщина ~ 10 мкм),все их поры имеют практически одинаковые размеры, причём ихдиаметр (зависящий от используемых для облучения частиц)может быть заранее задан в диапазоне от 30 до 1000 нм. Оченьценно то, что «трековые» мембраны позволили создать индиви-дуальные респираторы для защиты человека от токсичных бак-терий и вирусов, что позволяет обеспечить безопасность контак-тов с инфицированными больными, с источниками патогенныхвирусов. Аналогов этим респираторам в мире нет, а необходимыони большому числу специалистов: сотрудникам санитарно-эпи-демиологической службы, министерства чрезвычайных ситуа-ций, инфекционных медицинских учреждений, и т. д.

Материал предоставили В.П. Слободянин, С.М. Козел.


Публикацию подготовил Всероссийский ...4ipho.ru/data/documents/IPhO2009T.pdf · 2018. 8. 29. · ращения Луны вокруг Земли 1

Documents