Φροντιστήριο #1 Λυμένες Ασκήσεις σε Προτασιακό Λογισμό 23/2/2021 Άσκηση Φ1.1 (*) Κατασκευάστε πίνακες αληθείας για τις παρακάτω προτάσεις. ) ( )) ( ( r q q p p ) ) (( )) ( ( r q p r q p ) ( ) ( r q r p Λύση (a) p q r p q ( ) p p q q r ( ) q r ) ( )) ( ( r q q p p F F F T T F T T F F T T T F T T F T F T T T F F F T T T T F T T T F F F T F T T T F T F T F T T T T F T T T F F T T T T T F T T (b) p q r q r ( ) p q r p q ( ) p q r (b) F F F T T F T T F F T T T F T T F T F F T T F F F T T T T T T T T F F T T T F F T F T T T T T T T T F F F T F T T T T T T T T T (c) p q r q r p r ) ( ) ( r q r p F F F T T F F F T T T F F T F F T T F T T T T F T F F T F T T F T T T F T T F F F F T T T T T F Άσκηση Φ1.2
45
Embed
Φροντιστήριο #1 Λυμένες Ασκήσεις σε Προτασιακό ...users.ics.forth.gr/~argyros/cs118_spring21/FRONT_01_Prot...Κατασκευάστε πίνακες
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Φροντιστήριο #1
Λυμένες Ασκήσεις σε Προτασιακό Λογισμό
23/2/2021
Άσκηση Φ1.1 (*)
Κατασκευάστε πίνακες αληθείας για τις παρακάτω προτάσεις.
)())(( rqqpp
))(())(( rqprqp
)()( rqrp
Λύση
(a) p
q
r p q
( )p p q q r
( )q r
)())(( rqqpp F F F T T F T T
F F T T T F T T
F T F T T T F F
F T T T T F T T
T F F F T F T T
T F T F T F T T
T T F T T T F F
T T T T T F T T
(b) p q r q r ( )p q r p q ( )p q r (b)
F F F T T F T T
F F T T T F T T
F T F F T T F F
F T T T T T T T
T F F T T T F F
T F T T T T T T
T T F F F T F T
T T T T T T T T
(c) p q r q r p r )()( rqrp
F F F T T F
F F T T T F
F T F F T T
F T T T T F
T F F T F T
T F T T T F
T T F F F F
T T T T T F
Άσκηση Φ1.2
Έστω p, q και r, ατομικές προτάσεις.
Αποδείξτε ότι οι προτάσεις p(qr) και (pq)(pr) είναι λογικά ισοδύναμες.
Ισχύει η παρακάτω ισοδυναμία;
p(qr) (pq) (pr)
Λύση
Δύο προτάσεις είναι λογικά ισοδύναμες εάν και μόνο εάν έχουν τις ίδιες τιμές αληθείας σε
όλες τις γραμμές των πινάκων αληθείας τους.
Πίνακες αληθείας :
p q r q r ( )p q r
F F F F F
F F T F F
F T F F F
F T T T T
T F F F T
T F T F T
T T F F T
T T T T T
p q r p q p r ( ) ( )p q p r
F F F F F F
F F T F T F
F T F T F F
F T T T T T
T F F T T T
T F T T T T
T T F T T T
T T T T T T
Οι ζητούμενες προτάσεις έχουν τον ίδιο πίνακα αληθείας, άρα είναι λογικά ισοδύναμες.
Όπως, και στο προηγούμενο ερώτημα, έχουμε:
p q r q r p(qr)
F F F F F
F F T T T
F T F T T
F T T T T
T F F F T
T F T T F
T T F T F
T T T T F
p q r p q p r (pq) (pr)
F F F F F F
F F T F T T
F T F T F T
F T T T T T
T F F T T T
T F T T F T
T T F F T T
T T T F F F
Παρατηρούμε ότι οι πίνακες αληθείας δεν είναι ίδιοι, επομένως οι δύο λογικές προτάσεις
δεν είναι ισοδύναμες.
Άσκηση Φ1.3
Έστω p και q, ατομικές προτάσεις.
Αποδείξτε με πίνακες αληθείας ότι η πρόταση (pq)(pq) αποτελεί αντίφαση
Αποδείξτε με χρήση ισοδυναμιών ότι η πρόταση (pq)(pq) αποτελεί ταυτολογία
Αποδείξτε με χρήση ισοδυναμιών ότι η πρόταση (pq)(pq) αποτελεί ταυτολογία
Λύση
(1)
Μια πρόταση αποτελεί αντίφαση όταν κάθε γραμμή του πίνακα αληθείας δίνει F.
Πίνακας αληθείας :
P q p q p q ( )p q ( ) ( )p q p q
F F F F T F
F T F T F F
T F F T F F
T T T T F F
Επομένως η πρόταση αποτελεί αντίφαση.
(2)
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) [ ... ]
( ) ( )
p q p q ή
p q p q ό
p q p q
(3)
( ) ( ) [ ... ]
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) [ ]
( ( )) [ ]
( ( )) [ ]
( ) [ ]
[ ]
p q p q ό
p q p q de Morgan
p q p q ή
p q p q ή
p p q q ί
p p T ό ί
p ό ί
T
Άσκηση Φ1.4
Αποδείξτε το νόμο του συλλογισμού : Αν pq και qr, τότε pr
Λύση
Αρκεί να αποδείξω ότι η πρόταση ((pq)∧( qr))→ (pr) είναι ταυτολογία
p q r pq qr (pq)∧(qr) pr ((pq)∧(qr))→ (pr)
T T T T T T T T
T T F T F F F T
T F T F T F T T
F T T T T T T T
T F F F T F F T
F T F T F F T T
F F T T T T T T
F F F T T T T T
Άσκηση Φ1.5
Αγνοώντας όλες τις ενδεχόμενες συμβάσεις για την προτεραιότητα τελεστών, απαριθμείστε
όλες τις ερμηνείες που θα μπορούσε να έχει η έκφραση p q r . Είναι μεταξύ τους
ισοδύναμες;
Λύση
Οι πιθανές ερμηνείες που έχει η έκφραση ¬p → q ∨ r είναι οι ακόλουθες:
¬� → ∨ ��
¬p → q� ∨ r
¬p → q ∨ ���
¬p → q� ∨ ��
¬p → q� ∨ �
Λύση
p q r ¬� ∨ � ¬� → ∨ ��
F F F T F F
F F T T T T
F T F T T T
F T T T T T
T F F F F T
T F T F T T
T T F F T T
T T T F T T
p q r ¬� ¬� → ¬p → q� ∨ r
F F F T F F
F F T T F T
F T F T T T
F T T T T T
T F F F T T
T F T F T T
T T F F T T
T T T F T T
p q r ∨ � p → q ∨ �� ¬p → q ∨ ���
F F F F T F
F F T T T F
F T F T T F
F T T T T F
T F F F F T
T F T T T F
T T F T T F
T T T T T F
p q r � → p → q� ∨ �
¬p → q� ∨ ��
F F F T T F
F F T T T F
F T F T T F
F T T T T F
T F F F F T
T F T F T F
T T F T T F
T T T T T F
p q r � → ¬p → q�
¬p → q� ∨ �
F F F T F F
F F T T F T
F T F T F F
F T T T F T
T F F F T T
T F T F T T
T T F T F F
T T T T F T
Ισοδυναμία παρατηρείται μεταξύ των προτάσεων ¬� → ∨ �� και ¬p → q� ∨ r. Επίσης
ισοδύναμες είναι και οι προτάσεις ¬ p → q ∨ ��� και ¬ p → q� ∨ �� . Η πέμπτη πρόταση
δεν είναι ισοδύναμη με καμία από τις παραπάνω.
Άσκηση Φ1.6 (*)
Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αποτελούν αντίφαση και ποιές ταυτολογία;
a) ))(()( qppqp
b) )()( qpqp
c) qrqqp ))()((
d) )()( qpqp
Λύση
Μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει πίνακες αληθείας. Ωστόσο, μπορεί να καταλήξει στο
ζητούμενο χρησιμοποιώντας ισοδυναμίες:
(a)
( ) ( ( ))
( ) (( ) ( ))
( ) ( ( ))
( ) ( )
( ) ( )
p q p p q
p q p p p q
p q T p q
p q p q
p q p q T
Άρα είναι ταυτολογία
(b)
"
)()( qpqp
)()( qpqp
F
Άρα είναι αντίφαση
(c)
(( ) ( )))
( ) ( )
( )
p q q r q
p q q r q
q q p q r
F p q r F
Άρα είναι αντίφαση
(d)
( ) ( )
( ) ( )
p q p q
p q p q T
Άρα είναι ταυτολογία
Άσκηση Φ1.7 (*)
(α) Χρησιμοποιώντας ισοδυναμίες, δείξτε ότι η πρόταση ( ) ( ) ( )a c b c c a είναι
ισοδύναμη με την πρόταση ( )b c a .
(β) Χρησιμοποιώντας πίνακες αληθείας, δείξτε ότι η πρόταση ( ) ( ) ( )a c b c c a
δεν είναι ισοδύναμη με την ( ) ( ).a c b c
Λύση
(α)
( ) ( ) ( ) [ ... ]
( ) ( ) ( ) [ ]
( ) ( ) ( ) [ ]
( ) ( ) ( ) [ ]
( ( )) ( ) [ ]
( ) ( ) [ ]
( )
a c b c c a ά ό
a c b c c a ή
a c c a b c ή
a c a c b c ή
a c c b c ί
a F b c έ ί
a b c
(β)
α b c a c b c c a ( ) ( )a c b c ( ) ( ) ( )a c b c c a
F F F F T T F F
F F T T T F T F
F T F F F T F F
F T T T T F T F
T F F T T T T T
T F T T T T T T
T T F T F T F F
T T T T T T T T
Από τον πίνακα αληθείας παρατηρούμε ότι οι δύο στήλες δεν είναι ίδιες άρα ΔΕΝ ισχύει.
Άσκηση Φ1.8
Χρησιμοποιώντας ισοδυναμίες, απλοποιείστε την πρόταση (( ) )a b c b (γράψτε την
χρησιμοποιώντας λιγότερους τελεστές).
Λύση
(( ) ) [ ... ]
(( ) ) [ ]
( ( )) ( ) [ ]
(( ) ( )) ( ) [ ]
(( ) ) ( ) [ ί ]
( ) ( ) [ ]
( )
a b c b ά ό
a b c b ή
b a b b c ή
b a b b b c ί
b a F b c έ
b a b c ή
b a c
Άσκηση Φ1.9 (*)
Χρησιμοποιείστε λογικές ισοδυναμίες για να αποδείξετε ότι η πρόταση
Ήταν νόμιμα εργαζόμενος μέσα στα τελευταία τρία χρόνια”, k: “Αυτή τη στιγμή
εργάζεται στο εξωτερικό”
∨ �� ∧ ¬k� → �
Άσκηση Φ1.14 (*)
Έστω οι ατομικές προτάσεις:
p = “Ο ανελκυστήρας λειτουργεί”
q = “Εγώ βρίσκομαι μέσα στον ανελκυστήρα"
r = “Εσύ βρίσκεσαι μέσα στον ανελκυστήρα"
s = “Εσύ είσαι υπέρβαρος"
t = “Υπάρχει ηλεκτρικό ρεύμα"
Αποδώστε σε φυσική γλώσσα τις παρακάτω προτάσεις:
1. q p
2. p (t r)
3. (r s) p
4. (( t (q r)) p)
5. ( p ((q r) (r s)))
Λύση
ΑΝ εγώ βρίσκομαι μέσα στον ανελκυστήρα ΤΟΤΕ ο ανελκυστήρας ΔΕΝ λειτουργεί.
ΑΝ ο ανελκυστήρας λειτουργεί ΤΟΤΕ υπάρχει ηλεκτρικό ρεύμα ΚΑΙ εσύ ΔΕΝ βρίσκεσαι μέσα
στον ανελκυστήρα.
ΑΝ εσύ βρίσκεσαι μέσα στον ανελκυστήρα ΚΑΙ εσύ είσαι υπέρβαρος ΤΟΤΕ ο ανελκυστήρας
ΔΕΝ λειτουργεί.
ΑΝ ΔΕΝ υπάρχει ηλεκτρικό ρεύμα Ή εγώ βρίσκομαι μέσα στον ανελκυστήρα ΚΑΙ εσύ
βρίσκεσαι μέσα στον ανελκυστήρα ΤΟΤΕ ο ανελκυστήρας ΔΕΝ λειτουργεί.
ΑΝ ο ανελκυστήρας ΔΕΝ λειτουργεί ΤΟΤΕ εγώ βρίσκομαι μέσα στον ανελκυστήρα ΚΑΙ εσύ
Βρίσκεσαι μέσα στον ανελκυστήρα Ή εσύ βρίσκεσαι μέσα στον ανελκυστήρα ΚΑΙ εσύ είσαι
υπέρβαρος.
Άσκηση Φ1.15
Γράψτε τις παρακάτω προτάσεις στον προτασιακό λογισμό. Κατόπιν, χρησιμοποιείστε τους
κανόνες De Morgan για να γράψετε τις αρνήσεις τους και τέλος, διατυπώστε αυτές τις
αρνήσεις σε φυσική γλώσσα.
Ο Κώστας έχει ειδίκευση στα Μαθηματικά και ο αδερφός του Κώστα στην Επιστήμη
Υπολογιστών
Ο Πάνος έχει πορτοκαλί ζώνη και ο Νίκος κόκκινη
Η πρίζα έχει χαλαρώσει ή η μηχανή δεν είναι στην πρίζα
Αυτό το πρόγραμμα υπολογιστή έχει σφάλμα στις πρώτες 10 γραμμές ή το σύνολο
δεδομένων στο οποίο εκτελείται είναι ελλιπές.
Το Ευρώ έχει την ψηλότερη τιμή όλων των εποχών και το χρηματιστήριο έχει καταγράψει την
κατώτατη τιμή.
Το τρένο άργησε ή το ρολόι μου πάει μπροστά.
Λύση
Έστω p=”Ο Κώστας έχει ειδίκευση στα Μαθηματικά” και q= “ο αδερφός του Κώστα έχει
ειδίκευση στην Επιστήμη Υπολογιστών”. Η πρόταση γράφεται p q
Η άρνηση της είναι ( )p q p q που έχει το νόημα ότι “O Κώστας δεν έχει
ειδίκευση στα Μαθηματικά ή ο αδελφός του δεν έχει ειδίκευση στην Επιστήμη
Υπολογιστών”.
Έστω p=” Ο Πάνος έχει πορτοκαλί ζώνη” και q= “ Ο Νίκος έχει κόκκινη ζώνη”. Η πρόταση
γράφεται p q . Η άρνηση της είναι ( )p q p q που έχει το νόημα ότι “O Πάνος
δεν έχει πορτοκαλί ζώνη ή ο Νίκος δεν έχει κόκκινη ζώνη”.
Έστω p=” Η πρίζα έχει χαλαρώσει” και q= “ η μηχανή δεν είναι στην πρίζα”. Η πρόταση
γράφεται p q . Η άρνηση της είναι ( )p q p q που έχει το νόημα ότι “Η πρίζα
δεν έχει χαλαρώσει και η μηχανή είναι στην πρίζα”.
Έστω p= “ Αυτό το πρόγραμμα υπολογιστή έχει σφάλμα στις πρώτες 10 γραμμές” και q= “το
σύνολο δεδομένων στο οποίο εκτελείται το πρόγραμμα είναι ελλιπές”. Η πρόταση γράφεται
p q . Η άρνηση της είναι ( )p q p q που έχει το νόημα ότι “Αυτό το πρόγραμμα
υπολογιστή δεν έχει σφάλμα στις πρώτες 10 γραμμές και το σύνολο δεδομένων στο οποίο
εκτελείται δεν είναι ελλιπές”.
Έστω p= “ Το Ευρώ έχει την ψηλότερη τιμή όλων των εποχών” και q= “ το χρηματιστήριο έχει
καταγράψει την κατώτατη τιμή”. Η πρόταση γράφεται p q Η άρνηση της είναι
( )p q p q που έχει το νόημα ότι “ Το Ευρώ δεν έχει την ψηλότερη τιμή όλων των
εποχών ή το χρηματιστήριο δεν έχει καταγράψει την κατώτατη τιμή”.
Έστω p= “ Το τρένο άργησε” και q= “ το ρολόι μου πάει μπροστά”. Η πρόταση γράφεται p q. Η άρνηση της είναι ( )p q p q που έχει το νόημα ότι “ Το τρένο δεν άργησε και
το ρολόι μου δεν πάει μπροστά”.
Άσκηση Φ1.16
Έστω p, q, και r οι προτάσεις:
p: Θα γράψω 10 στην τελική εξέταση του ΗΥ118
q: Θα λύσω όλες τις ασκήσεις του ΗΥ118
r: Θα περάσω με 10 το ΗΥ118
Γράψτε τις ακόλουθες προτάσεις χρησιμοποιώντας τις p, q, και r και λογικούς τελεστές.
Θα πάρω 10 στο ΗΥ118 αλλά δεν θα λύσω όλες τις ασκήσεις
Για να περάσω με 10 το ΗΥ118 είναι αναγκαίο να γράψω 10 στην τελική εξέταση
Το να γράψω 10 στον τελικό και να λύσω όλες τις ασκήσεις επαρκεί για να το περάσω με 10
το ΗΥ118.
Λύση
r q
r p
( )p q r
Άσκηση Φ1.17 (*)
Για κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις γράψτε την άρνησή της.
Αν το Π είναι τετράγωνο, τότε είναι ορθογώνιο
Αν σήμερα είναι παραμονή Πρωτοχρονιάς, τότε αύριο θα είναι Ιανουάριος
Αν τα δεκαδικά ψηφία του r είναι πεπερασμένα, τότε ο r είναι ρητός
Αν ο n είναι πρώτος, τότε ο n είναι περιττός ή o n είναι το 2.
Αν ο x είναι μη αρνητικός, τότε ο x είναι θετικός ή μηδέν.
Αν ο Νίκος είναι ο πατέρας της Άννας, τότε ο Δημήτρης είναι θείος της και η Μαρία
θεία της
Αν ο n διαιρείται με το 6, τότε ο n διαιρείται με το 2 και με το 3.
Λύση
Το Π είναι τετράγωνο και δεν είναι ορθογώνιο
Σήμερα είναι παραμονή Πρωτοχρονιάς και αύριο δεν είναι Ιανουάριος
Τα δεκαδικά ψηφία του r είναι πεπερασμένα και ο r είναι άρρητος
Ο n είναι πρώτος και ο n είναι άρτιος και διαφορετικός του 2.
Ο x είναι μη αρνητικός, και ο x είναι μη θετικός και διάφορος του μηδενός.
Ο Νίκος είναι ο πατέρας της Άννας, και ο Δημήτρης δεν είναι θείος της ή η Μαρία δεν
είναι θεία της
Ο n διαιρείται με το 6, και ο n δεν διαιρείται με το 2 ή δεν διαιρείται με το 3.
Άσκηση Φ1.18
Για κάθε πρόταση της προηγούμενης άσκησης γράψτε την αντίστροφή της και την αντιθετική
της.
Λύση
Αντίστροφη: Αν το Π είναι ορθογώνιο τότε είναι τετράγωνο.
Αντιθετική: Αν το Π δεν είναι τετράγωνο τότε δεν είναι ορθογώνιο.
Αντίστροφη: Αν αύριο θα είναι Ιανουάριος, σήμερα είναι παραμονή Πρωτοχρονιάς.
Αντιθετική: Αν σήμερα δεν είναι παραμονή Πρωτοχρονιάς, αύριο δεν θα είναι
Ιανουάριος.
Αντίστροφη: Αν ο r είναι ρητός τότε τα δεκαδικά ψηφία του είναι πεπερασμένα.
Αντιθετική: Αν τα δεκαδικά ψηφία του r είναι άπειρα τότε είναι άρρητος.
Αντίστροφη: Αν ο n είναι περιττός ή o n είναι το 2, τότε ο n είναι πρώτος.
Αντιθετική: Αν ο n δεν είναι πρώτος, τότε είναι άρτιος και διάφορος του 2.
Αντίστροφη: Αν ο x είναι θετικός ή μηδέν τότε είναι μη αρνητικός.
Αντιθετική: Αν ο x είναι αρνητικός τότε είναι μη θετικός και διάφορος του μηδενός.
Αντίστροφη: Αν ο Δημήτρης είναι θείος της Άννας και η Μαρία θεία της τότε ο Νίκος
είναι ο πατέρας της.
Αντιθετική: Αν ο ο Νίκος δεν είναι ο πατέρας της Άννας τότε ο Δημήτρης δεν είναι
θείος της ή η Μαρία δεν είναι θεία της.
Αντίστροφη: Αν ο n διαιρείται με το 2 και με το 3 τότε διαιρείται με το 6.
Αντιθετική: Αν ο n δεν διαιρείται με το 6 τότε δεν διαιρείται με το 2 ή με το 3.
Άσκηση Φ1.19
Γνωρίζουμε ότι η εξής ισοδυναμία ισχύει: )()( qpqpqp .
Να βρείτε μία απλούστερη πρόταση που να είναι ισοδύναμη με την πρόταση pp
Να βρείτε μία απλούστερη πρόταση που να είναι ισοδύναμη με την πρόταση ppp )(
Ισχύει η ισοδυναμία );()()( rqrprqp Αιτιολογείστε την απάντησή σας.
Λύση
(a) ( ) ( )p p p p p p p p F
Άρα η πρόταση p p είναι αντίφαση και το “False” είναι η απλούστερη δυνατή έκφρασή
της.
(b) ( )p p p F p p
(c ) Έστω
p q r p q ( )p q r p r q r ( ) ( );p r q r
F F F F F F F F
F F T F F F F F
F T F T F F F F
F T T T T F T T
T F F T F F F F
T F T T T T F T
T T F F F F F F
T T T F F T T F
Όπως προκύπτει από τον παραπάνω πίνακα αληθείας, η εν λόγω ισοδυναμία ισχύει.
Άσκηση Φ1.20 (*)
Αποδείξτε ότι η πρόταση pq μπορεί να γραφεί ισοδύναμα με χρήση μόνο των τελεστών
και
Λύση
Αρκεί να καταλήξω σε μία πρόταση που να είναι ισοδύναμη με την αρχική, στην οποία να
υπάρχουν μόνο αρνήσεις και λογικές διαζεύξεις. Πράγματι,
pq (pq)(qp) [ορισμός της ]
(pq)( qp) [ορισμός της ]
(pq) (qp) [De Morgan]
Άσκηση Φ1.21
Έστω ότι μας δίνουν τα παρακάτω δεδομένα:
Εάν δεν παίρνονται κατάλληλα οικονομικά μέτρα, τότε υπάρχει οικονομική κρίση
Εάν υπάρχει οικονομική κρίση τότε υπάρχει ανεργία
Αν υπάρχει ανεργία, τότε ο κόσμος δεν είναι χαρούμενος
Δείξτε ότι εάν δεν παίρνονται κατάλληλα οικονομικά μέτρα, τότε ο κόσμος δεν είναι
χαρούμενος.
Λύση
Έστω οι προτάσεις:
Μ= “Παίρνονται τα κατάλληλα οικονομικά μέτρα”
O= “Υπάρχει οικονομική κρίση”
A= “Υπάρχει ανεργία”
X= “Ο κόσμος είναι χαρούμενος”
Τότε τα δεδομένα γράφονται ως:
(MO) (OA) (AX)
Ζητείται να αποδείξουμε ότι
MΧ
Αρκεί να αποδείξουμε ότι η πρόταση
((MO) (OA) (AX)) (MΧ)
είναι ταυτολογία.
Πράγματι,
((MO) (OA) (AX)) (MΧ)
((ΜΟ) (ΟΑ) (ΑΧ)) (MΧ)
((ΜΟ) (ΟΑ) (ΑΧ)) (MΧ)
(ΜΟ) (ΟΑ) (ΑΧ) (M Χ)
(ΜΟ) (ΟΑ) (ΑΧ) M Χ
M (ΜΟ) (ΟΑ) (ΑΧ) Χ
((M Μ)(ΜΟ)) (ΟΑ) ((ΑΧ )(Χ Χ))
(Τ(ΜΟ)) (ΟΑ) ((ΑΧ )Τ)
(ΜΟ) (ΟΑ) (ΑΧ )
(ΜΟ) (ΟΑ) Α Χ
Χ (ΜΟ) ((ΟΑ) Α)
Χ (ΜΟ) ((Ο Α )(Α Α))
Χ (ΜΟ) ((Ο Α )Τ)
Χ Μ Ο (Ο Α )
Χ Μ Ο Ο Α
Χ Μ Α (Ο Ο)
Χ Μ Α Τ
(Χ Μ Α) Τ
Τ
Άσκηση Φ1.22
Σε ένα αρχαιολογικό μουσείο υπάρχουν δύο δωμάτια, τα Δ1 και Δ2 που έχουν τις εξής
επιγραφές:
Δ1 – “Σε αυτό το δωμάτιο υπάρχει ένα άγαλμα και στο άλλο δωμάτιο υπάρχει ένας κίονας”.
Δ2 – “Σε κάποιο από τα δωμάτια αυτά υπάρχει ένα άγαλμα και σε κάποιο από αυτά τα
δωμάτια υπάρχει ένας κίονας”.
Μία από τις δύο επιγραφές είναι αληθής και η άλλη ψευδής. Σε ποιο δωμάτιο βρίσκεται ο
κίονας; Υποθέτουμε ότι δεν μπορεί στο ίδιο δωμάτιο να υπάρχει κίονας και άγαλμα
ταυτόχρονα.
Λύση
Έχουμε τις ακόλουθες προτάσεις:
p: υπάρχει ένα άγαλμα στο Δ1
q: υπάρχει ένας κίονας στο Δ1
Με βάση τις δύο επιγραφές προκύπτει ο παρακάτω πίνακας αληθείας:
p q ¬p ¬q ?1: � ∧ ¬q ¬p ∧ q ?2: � ∧ ¬q� ∨ ¬p ∧ q�
F F T T F F F
F T T F F T T
T F F T T F T
T T F F F F F
Από την εκφώνηση έχουμε ότι μόνο μία επιγραφή είναι αληθής. Άρα
p q ?1: � ∧ ¬q ?2: � ∧ ¬q� ∨ ¬p ∧ q�
F F F F
F T F T
T F T T
T T F F
Έτσι, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι ο κίονας βρίσκεται στο Δ1.
Άσκηση Φ1.23
Ο Αντώνης λέει: “O Χάρης λέει ψέματα”
Παναγιώτης λέει: “Ο Αντώνης και ο Χάρης ποτέ δεν ψεύδονται”
Ο Χάρης απαντά “Ο Παναγιώτης λέει την αλήθεια”
Υποθέτοντας ότι όποιος λέει ψέματα λέει πάντα ψέματα κι ότι όποιος λέει την αλήθεια λέει
πάντα την αλήθεια, ποιος λέει την αλήθεια και ποιος ψέματα;
Λύση
Θέτουμε τις παρακάτω προτάσεις:
p = «ο Αντώνης λέει αλήθεια»
q = «ο Παναγιώτης λέει αλήθεια»
r = «ο Χάρης λέει αλήθεια»
και σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα:
p q r : r : ( )p r :q
F F F T F F
F F T F F F
F T F T F T
F T T F F T
T F F T F F
T F T F T F
T T F T F T
T T T F T T
Από τον ορισμό γνωρίζουμε ότι όποιος λέει ψέματα λέει πάντα ψέματα και όποιος λέει
αλήθεια λέει πάντα την αλήθεια. Άρα για να ισχύει αυτό θα πρέπει να έχουμε:
Όταν p = T και το A = T, ενώ όταν p = F και το A = F
Όταν q = T και το Π = T, ενώ όταν q = F και το Π = F
Όταν r = T και το Χ = T, ενώ όταν r = F και το Χ = F
Επομένως, σύμφωνα με τους παραπάνω περιορισμούς καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι
ισχύει p = T , q = F , r = F. Η απόδοση του αποτελέσματος στην φυσική γλώσσα είναι ότι «ο
Αντώνης λέει αλήθεια» ενώ «ο Παναγιώτης και ο Χάρης λένε ψέματα».
Άσκηση Φ1.24
Ορίζουμε τον τελεστή ΟΥΤΕ που τον συμβολίζουμε με ↓ ως εξής: Η πρόταση p OYTE q είναι
αληθής μόνο όταν και οι δύο προτασεις p και q είναι ψευδείς. Σε κάθε άλλη περίπτωση είναι
ψευδής
1. D=Δημιουργείστε τον πίνακα αλήθειας του τελεστή ↓
2. Αποδείξτε οτι η p↓p είναι ισοδύναμη με την ¬p
3. Αποδείξτε ότι η (p↓q) ↓(p↓q) είναι ισοδύναμη με την p∨ q
4. Βρείτε μια πρόταση ισοδύναμη με την pq χρησιμοποιώντας μόνο τον τελεστή ↓
Λύση
1.
p q p q
T T F
T F F
F T F
F F T
2.
p ¬p p p
T F F
F T T
3.
p q p q (p↓q) ↓(p↓q) ≡ ¬ p↓q (από (2)) p∨ q
T T F T T
T F F T T
F T F T T
F F T F F
4.
Αν θυμηθούμε ότι pq≡ ¬p∨ q και με βάση τα (2) και (3) η πρόταση που ζητάμε