Extremereignisse im Klimasystem Bonn, April 2009 Dr. Christian Sch ¨ olzel Meteorologisches Institut der Universit ¨ at Bonn
Extremereignisse im Klimasystem
Bonn, April 2009
Dr. Christian Scholzel
Meteorologisches Institut der Universitat Bonn
Christian Schölzel Meteorological Institute ▪ University of Bonn
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1 EinleitungMotivation/FragestellungenJahrhundertereignisseBegriff Extremereignis
2 Uberblick KlimaextremeIPCC AR4Stand der Forschung
3 Statistik extremer EreignisseDefinition ExtremereignisAd-hoc AnsatzeExtremwertstatistik (EVT)
4 ForschungsthemenStatistische AnalyseProzessverstandis
5 AbschlussZusammenfassungReferenzen
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1 EinleitungMotivation/FragestellungenJahrhundertereignisseBegriff Extremereignis
2 Uberblick KlimaextremeIPCC AR4Stand der Forschung
3 Statistik extremer EreignisseDefinition ExtremereignisAd-hoc AnsatzeExtremwertstatistik (EVT)
4 ForschungsthemenStatistische AnalyseProzessverstandis
5 AbschlussZusammenfassungReferenzen
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Motivation/FragestellungenEinleitung
Place a picture of your favorite natural disaster here
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Motivation/FragestellungenEinleitung
Frage
”Wird das Klima/Wetter immer extremer?“
Uberlegungen
Extreme als Ausreißer bzw. starke Abweichung vom Erwartungswert
Extreme als Ausbleiben solcher Ereignisse
Vielzahl meteorologischer Parameter
Globale/regionale Klimaanderungen
. . .
AntwortFrage prazisieren . . .
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Motivation/FragestellungenEinleitung
Ereignissklassen
Anderung “extremer Ereignisse” im Klimasystem nach Easterling et al., 2000: Climate extremes: observations,modeling, and impacts, Science, 289
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Motivation/FragestellungenEinleitung
Raumliche Verteilung
Raumliche Verteilung “extremer Ereignisse” nach Easterling et al., 2000: Observed variability and trends in extremeclimate events: A brief review. BAMS 81
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Motivation/FragestellungenEinleitung
Extremales Verhalten
Raumliche Verteilung “extremer Ereignisse” nach Easterling et al., 2000: Observed variability and trends in extremeclimate events: A brief review. BAMS 81
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Motivation/FragestellungenEinleitung
Einfacher Grundgedanke
Globale Klimaanderungen (naturlich und insbesondere anthropogen)=⇒ mehr Energie im System
Hohere Wahrscheinlichkeit extreme Zustande auszubilden=⇒ Beobachtungen/Simulationen (siehe oben/unten)=⇒ Achtung: Nicht-Linearitaten
WahrnehmungWarum ist das mit bloßem Auge nicht be-/widerlegbar?
Zeitlich inhomogene Rahmenbedingungen
Gedachtnis/Zeitgefuhl Extreme Wetter- und Witterungsereignisse im 20. Jahrhundert (DWD)
Begriff Jahrhundertereignis. . .
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JahrhundertereignisseEinleitung
Gedankenspiel JahrhundertereignisFur was lassen sich Ereignisse beobachten?
Regionen: Naturraume, Lander, Kontinente, Stadte, . . .
Großen: Hochst-, Tiefsttemperatur, Sturm, Starkniederschlag, Durre,Sonnenstunden, Schneehohen, Frosttage, Turbulenz,Schwule, . . .
Zeitraume: Jahre, Jahreszeiten, Monate, . . .
Aus der Zahl der Kombinationen (wenn auch nicht unabhangig) sind bereitsmehrere Jahrhundertereignisse pro Jahr wahrscheinlich.
ReprasentativitatDirektes Ablesen des Schwellenwertes aus 100-200 Jahren? . . .
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JahrhundertereignisseEinleitung
(Simulation: Block-Maxima, Standard-GEV, 100a-Return-level,. . . siehe unten)
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Begriff ExtremereignisEinleitung
Munsterlander SchneechaosStromausfall durch Schneefalle EndeNovember 2005
Relativ nasser, haftender Schnee
Eisbildung > Leitungsdurchmesser
Windboen =⇒ Schwingungen
Aspekte
Tatsachlicher Ereignisraum
Vulnerabilitat/Versicherungsschaden
”An extreme weather event becomes a disaster when society and/orecosystems are unable to cope with it effectively.“ (IPCC-AR4)
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1 EinleitungMotivation/FragestellungenJahrhundertereignisseBegriff Extremereignis
2 Uberblick KlimaextremeIPCC AR4Stand der Forschung
3 Statistik extremer EreignisseDefinition ExtremereignisAd-hoc AnsatzeExtremwertstatistik (EVT)
4 ForschungsthemenStatistische AnalyseProzessverstandis
5 AbschlussZusammenfassungReferenzen
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IPCC AR4Uberblick Klimaextreme
Extreme im IPCC AR4
”There is increasing concern that extreme events may be changing infrequency and intensity as a result of human influences on climate. Climatechange may be perceived most through the impacts of extremes, althoughthese are to a large degree dependent on the system under consideration,including its vulnerability, resiliency and capacity for adaptation andmitigation“ (IPCC AR4)
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IPCC AR4Uberblick Klimaextreme
Temperaturanomalien
Figure: Annual probability distribution functions for temperature indices for 202 global stations withat least 80% complete data between 1901 and 2003 for three time periods: 1901 to 1950 (black),1951 to 1978 (blue) and 1979 to 2003 (red). The x-axis represents the percentage of time duringthe year when the indicators were below the 10th percentile for cold nights (left) or above the 90thpercentile for warm nights (right). From Alexander et al. (2006).
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IPCC AR4Uberblick Klimaextreme
Trend starker Niederschlage
Figure: (Top) Observed trends (% per decade) for 1951 to 2003 in the contribution to total annualprecipitation from very wet days (95th percentile). Trends were only calculated for grid boxes whereboth the total and the 95th percentile had at least 40 years of data during this period and had datauntil at least 1999.
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IPCC AR4Uberblick Klimaextreme
ACE-Index
Figure: Seasonal values of the ACE index for the North Indian, South Indian, West North Pacific, East North Pacific, North Atlantic andcombined Australian-South Pacific regions. The vertical scale in the West North Pacific is twice as large as that of other basins. The SHvalues are those for the season from July the year before to June of the year plotted. The timeline runs from 1948 or 1970 through 2005 inthe NH and through June 2006 in the SH. The ACE index accounts for the combined strength and duration of tropical storms andhurricanes during a given season by computing the sum of squares of the six-hour maximum sustained surface winds in knots while thestorm is above tropical storm intensity. Adapted and updated from Levinson (2005).
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IPCC AR4Uberblick Klimaextreme
Sturm-Index, Britische Inseln
Figure: Storm index for the British Isles, North Sea and Norwegian Sea, 1881 to 2004. Blue circlesare 95th percentiles and red crosses 99th percentiles of standardised geostrophic winds averagedover 10 sets of triangles of stations. The smoothed curves are a decadal filter (updated fromAlexandersson et al., 2000).
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Stand der ForschungUberblick Klimaextreme
Stand der Forschung
Bedeutung der Zufallskomponente offensichtlich
Deutlich komplexer als im AR4 festgehalten
Extremwertstatistik
Beschreibung/Verstandnis extremer Ereignisse
Prognosen/Projektionen
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1 EinleitungMotivation/FragestellungenJahrhundertereignisseBegriff Extremereignis
2 Uberblick KlimaextremeIPCC AR4Stand der Forschung
3 Statistik extremer EreignisseDefinition ExtremereignisAd-hoc AnsatzeExtremwertstatistik (EVT)
4 ForschungsthemenStatistische AnalyseProzessverstandis
5 AbschlussZusammenfassungReferenzen
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Definition ExtremereignisStatistik extremer Ereignisse
Stochastisches Verhalten
Das Klimasystem ist ein hoch-dimensionales, nicht-lineares System
Die betrachteten Großen werden als Zufallsvariablen beschrieben
Definition ZufallsvariableSei der Stichprobenraum (Wertebereich) [a, b] ∈ R. Dann ist
X = {(x , FX (x)) : x ∈ [a, b]}
eine kontinuierliche Zufallsvariable (univariat, reell-wertig)
Verteilungsfunktion (CDF)Eine Funktion FX : [a, b] → [0, 1] heißt Verteilungsfunktion mit
FX (x) = P (X ≤ x)
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Definition ExtremereignisStatistik extremer Ereignisse
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF)Sei FX differenzierbar, so lautet dieWahrscheinlichkeitsdichtefunktion von X
fX (x) = F ′X (x)
Klassische Verteilungen (CDF/PDF)
Gauß-/Normalverteilung
Gammaverteilung
. . .
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Ad-hoc AnsatzeStatistik extremer Ereignisse
Extreme EreignisseEreignisse, die selten auftreten und damit in den Auslaufern derWahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Zufallsvariable liegen.
Naiver Ansatz
ProblemIm Allgemeinen reprasentieren die oben genannten Verteilung dieExtremwerte, also solche, die in den Auslaufern der Verteilungsfunktionenliegen, relativ schlecht!
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Extremwertstatistik (EVT)Statistik extremer Ereignisse
ExtremwertstatistikZwei Ansatze zur statistische Beschreibung extremer Ereignisse (EVT,extreme value theory):
Block-maxima
Extremes Ereignis als das Maximum einer Stichprobe mit einerbestimmten Lange
Beschrieben durch die Generalisierte Extremwertverteilung (GEV,generalized extrem value distribution)
Peaks-over-threshold
Extremes Ereignis als Uberschreiten eines gewissen Schwellenwert(threshold)
Beschrieben durch die Generalisierten Paretoverteilung (GPD,generalized Pareto distribution).
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Extremwertstatistik (EVT)Statistik extremer Ereignisse
Fisher-Tippett-Theorem (1928)Es existieren nur drei Klassen von Grenzverteilungen fur Extreme in großenZufallsstichproben. . .
1 Gumbel-Klasse
2 Frechet-Klasse
3 Weibull-Klasse
. . . wurden spater zur GEV zusammengefasst
Generalisierte Extremwertverteilung (GEV)Maximum einer Stichprobe, ZVA X mit Werten x ∈ R
FX (x) = exp(−(1 + ξx − µ
β)1/ξ), bzw. FX (x)
(ξ→0)−→ exp(−exp(−x − µ
β))
µ: Ortsparameter (location)
β: Skalenparameter (scale)
ξ: Formparameter (shape) o.g. Klassen
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Extremwertstatistik (EVT)Statistik extremer Ereignisse
Gumbel-Klasse (ξ = 0)
Unbeschrankt, durchschnittliches Verhaltender Auslaufer (light-tailed)
Normalverteilung, Gammaverteilung, . . .
Frechet-Klasse (ξ > 0)
Beliebig große Werte haben endliche, nichtverschwindend kleine Wahrscheinlichkeiten(heavy-tailed)
Unwetterschaden, Einkommen,. . .
Weibull-Klasse (ξ < 0)
Sehr enge Auslaufer, Verteilungsfunktion mitendlichen Endpunkt (bounded)
Insbesondere fur Großen mit (naturlicher)Begrenzung
gev(..., shape=0.0)
PD
F
−2 0 2 4 6
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
gev(..., shape=0.6)
PD
F
−2 0 2 4 6
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
gev(..., shape=−0.3)
PD
F
−2 0 2 4 6
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
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Extremwertstatistik (EVT)Statistik extremer Ereignisse
Generalisierten Paretoverteilung (GPD)Analog zur GEV, aber fur Peaks-over-threshold(POT). . .
FX (x) = 1−“
1 + ξx − u
σ
”− 1ξ
. . .(ξ→0)−→ 1−e−
x−uσ
u: Schwellenwert (threshold/location)
σ: Skalenparameter (scale)
ξ: Formparameter (shape)
GPD-KlassenEnts Gleichung...
1 Exponential-Verteilung (entspr. Gumbel) . . .
2 Pareto-Auslaufer (entspr. Frechet) . . .
3 Beta (entspr. Weibull) . . .
dgpd(..., shape=0.0)
PD
F
1 2 3 4 5
0.0
0.1
0.2
0.3
dgpd(..., shape=0.6)
PD
F
1 2 3 4 5
0.0
0.1
0.2
0.3
dgpd(..., shape=−0.3)
PD
F
1 2 3 4 5
0.0
0.1
0.2
0.3
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Extremwertstatistik (EVT)Statistik extremer Ereignisse
Pro
babi
lity
dens
ity
Return level x(p)
p1-p
Typische Darstellung
Wiederkewert (return level)
Wiederkehrzeit (return period)
Return level/Return periodSei die Wiederkehrzeit T = 1/p Jahre, dann ist das Wiederkehrwert x(p) derSchwellenwert mit Uberschreitungswahrscheinlichkeit p, zum Beispielp = 0.01 =⇒ T = 100 Jahre ( Jahrhundertereignis)
InterpretationenWiederkehrwert und Wiederkehrzeit von T Jahren:
Wartezeit: Durchschnittliche Wartezeit bis zum nachsten Ereignis ist T
Anzahl: Durchschnittliche Anzahl der Ereignisse in T Jahren ist 1
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1 EinleitungMotivation/FragestellungenJahrhundertereignisseBegriff Extremereignis
2 Uberblick KlimaextremeIPCC AR4Stand der Forschung
3 Statistik extremer EreignisseDefinition ExtremereignisAd-hoc AnsatzeExtremwertstatistik (EVT)
4 ForschungsthemenStatistische AnalyseProzessverstandis
5 AbschlussZusammenfassungReferenzen
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State-of-the-artForschungsthemen
Statistische Analyse
Analyse von Beobachtungsreihen, GCM/RCM-Simulationen,. . .
Erkennen der geeigneten, ggf. charakteristischen Verteilungsklassenmeteorologischer Großen
Nicht-stationares Verhalten der Parameter der Extremwertverteilungen
Prognose/Projektion
Raumliche Strukturen/multivariate Extreme
. . .
Prozessverstandnis
Simulation/Physikalische Modellierung
Weather Generators
Ableiten bestimmter Verteilungsklassen
. . .
Beispiele aus Forschungsarbeiten. . .
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Statistische AnalyseForschungsthemen
Auszug aus. . .. . . “Spatial modeling of peak wind speed. . . ” (P. Friederichs, C. Scholzel):
6 8 10 12 14
48
50
52
54
Longitude
Latit
ude
6 8 10 12 14
48
50
52
54
0
2
4
6
8
10
12LOC
6 8 10 12 14
48
50
52
54
Longitude
Latit
ude
6 8 10 12 14
48
50
52
54
0
1
2
3
4
5SCALE
6 8 10 12 14
48
50
52
54
Longitude
Latit
ude
6 8 10 12 14
48
50
52
54
−0.2
−0.1
0.0
0.1
0.2SHAPE
Figure: The GEV distribution with location and scale conditioned on the ECMWF wind velocity. Thefigures below show the spatial distribution of the location, scale and shape parameter.
AimSpatial statistical model for peak wind speed observations that provides anarea-wide analysis of the occurrence probability of extreme peak wind speed
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Statistische AnalyseForschungsthemen
Auszug aus. . .. . . “Modeling the full range of rainfall events” (M. Vrac, P. Naveau,C. Scholzel):
The problem at hand
Classical distributions (Gamma, Weibull,. . . )not satisfying for extremes
EVT not adequate low and mediumprecipitation
Questions
How to model the full spectrum of events intoone statistical model?
How to go beyond the univariate site-per-sitemodeling and to take into account the spatialpairwise dependence among sites?
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Statistische AnalyseForschungsthemen
Classical DistributionsWide range of distribution families
Gamma distribution for most of theprecipitation variability
Tail of these distributions often too light
ExampleDaily precipitation patterns for Sparta, USA
Small and medium precipitation well fittedby the Gamma density
Heavy rainfalls mostly under-estimated(top) and sometimes over-estimated(bottom).
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Statistische AnalyseForschungsthemen
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0MixtureWeibullGPD
0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.01e-08
1e-06
0.0001
0.01
1.0
MixtureWeibullGPD
Univariate Nonhomogeneous Mixture ModelGPD and Gamma (Weibull after Frigessi et al. (2002))
fmix(r) =1Z
“`1− wµ,τ (r)| {z }Gamma weight
´· fΓ(α,β)(r)| {z }
Gamma pdf
+ wµ,τ (r)| {z }GPD weight
· fG(σ,ξ)(r , u = 0)| {z }GPD
”
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Statistische AnalyseForschungsthemen
Precipitation [cm]
Wei
ght f
unct
ion
[1]
0 1 2 3 4 5 6
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
GAMMA GPD
Weight FunctionDynamic mixture model for unsupervised tail estimation without thresholdselection (Frigessi et al., 2002)
wm,τ (r) =12
+1π
arctan“ r − µ
τ
”
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Statistische AnalyseForschungsthemen
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ProzessverstandisForschungsthemen
Auszug aus. . .. . . “On the Derivation of Fundamental Probability Distributions for ExtremePrecipitation” (C. Scholzel, P. Naveau, M. Vrac):
Precipitation TotalsState of the art in estimating thedistribution
Empirical selection of the kind ofdistribution
Analogously for extreme events
No physical understanding of thestatistics of heavy precipitation
QuestionHow to introduce physics into extremevalue theory?
3
6
9km
C WBA
W
CB
A
dry Cu
AsNs
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ProzessverstandisForschungsthemen
First ApproachWilson and Tuomi (2005), A Fundamental Probability Distribution for HeavyRainfall : Two layer with low level convergence (Stevens and Lindzen, 1978)
R ≈ κ
Z zm
z0
~∇H(qρ~v)dz = κ
Z zm
z0
∂qρw∂z
dz = κ(qρw)zm
R precipitation rateq specific humidityρ density
~v , w wind velocityzm hight of the moist layerκ precipitation efficiency
zm
z0
IndependenceAssumption of independence w.r.t. temporal averaging
R ≈ κ (q)zm (ρw)zm
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ProzessverstandisForschungsthemen
Distributional assumption
1 The random variables κ, q, and ρw are independent
2 These random variables are light-tailed
Central limit theorem
3 R can be expressed as product of three Gaussian random variables
Derived probability distributionafter Frisch & Sornette (1997) normalising the variables leads to
P(R > r) = exp
−„
rR0
«c!
with scale parameter R0 and shape parameter c = 2/3 (stretchedexponential, c < 1)
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ZusammenfassungAbschluss
Klimasystem
Vielseitigkeit des Begriffs Klimaextrem
Erfassung extremer Ereignisse nicht trivial
Methodik
Klassische, statistische Methoden am Limit
Extremwertstatistik
Charakteristische Verteilungsklassen
Forschungsaktivitaten
Verlagerung in Richtung Extremwertstatistik
Besseres Verstandnis des extremalen Verhaltens
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ReferenzenAbschluss
Materialien
Folien, Abbildungen, Literatur,. . .http://www.meteo.uni-bonn.de/mitarbeiter/CSchoelzel/ → Presentations
Allgemeine Weblinks
Extreme Events, Causes and Consequences (E2C2)http://e2c2.ipsl.jussieu.fr
Statistics of Weather and Climate Extremes (NCAR/UCAR)http://www.isse.ucar.edu/extremevalues/extreme.html
Intergovernmental Panel on Climate Change (IPCC)http://www.ipcc.ch → Fourth Assessment Report
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