This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
B-1a Eigenschap C is ook een definitie van een rechthoek. b A: Als de diagonalen wel even lang zijn maar elkaar niet middendoor delen, is de
vierhoek geen rechthoek. Denk bijvoorbeeld aan een vlieger waarbij de diagonalen even lang zijn.
B: Bij een ruit delen de diagonalen ook elkaar middendoor, en een ruit is geen rechthoek.
D: Bij een parallellogram zijn de tegenover elkaar liggende zijden ook even lang, maar een parallellogram is geen rechthoek.
B-2a Noem het snijpunt van de diagonalen M. Omdat de driehoeken gelijkzijdig zijn geldt AM = BM = AB en MB = CM = BC enzovoorts. Omdat de zeshoek regelmatig is geldt ook AB = BC = CD enzovoorts. Dus geldt MA = MB = MC = MD = ME = MF. De zes hoekpunten liggen op gelijke afstanden van M dus op een cirkel met straal AM.
b ∠MAF = 60° (want AMF is gelijkzijdig). ∠CAM = 30° (want ∠BAM = 60° en lijn AC is een diagonaal in de ruit ABCM en deelt daarom de hoek BAM middendoor). Dus ∠CAF = 90°. Zo zijn ook de hoeken ∠AFD, ∠FDC en ∠DCA gelijk aan 90°. Dus is vierhoek ACDF een rechthoek.
b Als de getekende deellijn evenwijdig is aan AB, dan is ∠C1 = ∠A en ∠C2 = ∠B. Omdat echter ook geldt ∠C1 = ∠C2, is ∠A = ∠B oftewel α β= .
B-4a ∠B = 180° – 20° – 70° = 90°, dus er gaat een cirkel met middellijn AC door de punten A, B en C (Stelling van Thales). ∠D = 180° – 50° – 40° = 90°, dus de cirkel met middellijn AC gaat ook door de punten A, D en C. Er gaat dus een cirkel door alle vier de punten.
b De straal van die cirkel is de helft van middellijn AC en dat is 3 cm.
B-5a Boog AF = 512 deel van de cirkel dus ∠ = × = °AMF 5
12 360 150 . b Driehoek AMF is gelijkbenig, dus ∠ = − = °MAF 1
b De grafiek heeft een horizontale asymptoot als –2x + 3 = 0. De vergelijking van de asymptoot is x = 1 1
2 .
c 4 12 3
0xx+
− += als 4x + 1 = 0
4x = –1
x = − 14
Het snijpunt met de x-as is ( − 14 , 0).
G-7a De oppervlakte van het zwembad is lengte keer breedte. De breedte is x en de lengte is y.
b De breedte van het terras plus zwembad is x + 10 De lengte van het terras plus zwembad is y + 20. De formule voor de oppervlakte A wordt dus A x y= + +( )( )10 20 .
c A x y x y= ⋅ + + +20 10 200
x y yx
⋅ = =1800 1800; invullen geeft A xx
xx
= ⋅ + + ⋅ +1800 20 10 1800 200
A xx
= + + +1800 2018 000
200 herleid je tot A xx
= + +20 18000 2000
d x 10 15 20 25 30 35 40
A 4000 3500 3300 3220 3200 3214 3250
e
1000
2000
3000
4000
5000
6000
5 0 0
10 20 25 30 35 40 15
oppe
rvla
kte
x
f Bij x = 30 is de oppervlakte het kleinst. Het zwembad is dan 30 meter breed en 1800 : 30 = 60 meter lang.
C-1 AD = BD dus ∠DAB = ∠ABD ∠ADB = 180° – ∠DAB – ∠ABD = 180° – 2 × ∠B ∠ADC = 180° – (180° – 2 × ∠B) = 2 × ∠B AC = AD dus ∠ACD = ∠ADC = 2 × ∠B AB = BC dus ∠BAC = ∠ACD = 2 × ∠B dus ∠ADC = ∠BAC
Voor de hoeken van driehoek ABC samen geldt ∠A + ∠B + ∠C = 2 × ∠B + ∠B + 2× ∠B = 5 × ∠B 5 × ∠B = 180°, dus ∠B = 36°
C-2 aantal stukjes s 2 3 4 5
aantal driehoekjes d 6 8 10 12
aantal vierhoekjes v 3 8 15 24
Voor het aantal driehoekjes d in de figuur met s stukjes geldt de formule d = 2s + 2. De vier lijnen bij s = 2 zorgen voor 1 vierhoekje middenin de figuur dat niet tegen de rand van de rechthoek ligt. Bij s = 3 zijn dat er 4, bij s = 4 zijn er dat er 9, bij s = 5 zijn dat er 16, enzovoort. In de figuur met s stukjes liggen er ( )s − 1 2 vierhoekjes niet tegen de rand van de rechthoek. Tegen de linker zijkant van de liggen s – 1 vierhoekjes. Hetzelfde geldt voor de rechter zijkant. Samen zijn dat 2 1( )s − vierhoekjes die tegen de rand van de rechthoek liggen. Formule: v s s= − + −( ) ( )1 2 12 v s s s= − + + −2 2 1 2 2 ; v s= −2 1 t = d + v; d = 2s + 2 t = 2s + 2 + s2 – 1 t = s2 + 2s + 1
C-3 ∠AMB = α, dus ∠ =ACB 12 α
Omdat AC = BC is de figuur symmetrisch en geldt ∠ = ∠ = ∠ = × =ACM BCM ACB1
( )( )x x− − =1 2 0 x – 1 = 0 of x – 2 = 0 x = 1 of x = 2 y = g(1) = 1 en y = g(2) = 2 De snijpunten zijn (1, 1) en (2, 2). 2 6 2
32
2x xx
x− +−
=
2 6 2 2 32x x x x− + = −( )
2 6 2 2 62 2x x x x− + = − 2 0= geen oplossingen De grafieken van f en h hebben geen snijpunten.
C-7 Bij een windsnelheid van v km per uur is de benodigde tijd gelijk aan
550300
550300−
++v v
uur.
550300
550300
4−
++
=v v
Eerst vermenigvuldigen met 300 – v en dan met 300 + v geeft de volgende vergelijking. 550 300 550 300 4 300 300( ) ( ) ( )( )+ + − = + −v v v v 165 000 550 165 000 550 4 90 000 2+ + − = −v v v( ) 330 000 = 360 000 – 4v2 4v2 = 30 000 v2= 7500 v ≈ 86,6 Bij windsnelheden van maximaal 86,6 km per uur is een veilige tocht mogelijk.
T-4a x + ≥4 0 dus domein is x ≥ −4 b 36 02− ≥x ofwel x2 ≤ 36 dus domein is − ≤ ≤6 6x c x ≠ 3 dus domein is x < 3 en x > 3 d x ≠ 0 dus domein is x < 0 en x > 0 e 5 2 0− ≥x dus domein is x ≤ 2 1
2
f x2 + 1 > 0 voor elke waarde van x, dus het domein is alle getallen
T-5a x2 + 2x = 2x + 9 x2 = 9 x = –3 of x = 3 y = g(–3) = 3 en y = g(3) = 15 De snijpunten zijn (–3, 3) en (3, 15).
b x2 – 7x + 10 = x – 2 x2 – 8x + 12 = 0 (x – 6)(x – 2) = 0 x – 6 = 0 of x – 2 = 0 x = 6 of x = 2 y = g(6) = 4 en y = g(2) = 0 De snijpunten zijn (6, 4) en (2, 0).
d De straal van de grondcirkel is 5 keer zo groot. De inhoud is dus 53 keer zo groot. De inhoud is 5 621 91 77 7393 × ≈, cm3.
D-6a Zie de grafieken hiernaast. b Voor x = 2 1
2 geldt f p( )2 0 012 = ⋅ =
Elke grafiek gaat door ( , )2 012 .
c p x x( )− = −2 212
12
2 px p x− = −2 21
212
2 12
2 122 2 0x px p+ − − =
D p p= − ⋅ ⋅ − −2 12
124 2 2( )
D p p= + +2 5 4 d De grafieken raken elkaar als D = 0 .
p p2 5 4 0+ + = ( )( )p p+ + =4 1 0 p + 4 = 0 of p + 1 = 0 p = –4 of p = –1
D-7 Als n > 1 dan geldt n n2 21 1+ > − en n n2 1 2+ > De langste zijde is dus AC, hoek B is de rechte hoek. Als de driehoek rechthoekig is moet gelden AC AB BC2 2 2= + ( ) ( ) ( )n n n2 2 2 2 21 1 2+ = − + ( )n n n2 2 4 21 2 1+ = + + ( )n n n2 2 4 21 2 1− = − + ( )2 42 2n n= n n n n n4 2 4 2 22 1 2 1 4+ + = − + + Dit klopt, de driehoek is rechthoekig.
D-8 zijde kwadraat
PQ = 16
QR = 8
PR = …
256
64 +
320
PR = 320
P T
V R
M
In de ruit PTRV staan de diagonalen loodrecht op elkaar en delen elkaar middendoor. De driehoeken PMT en PQR zijn gelijkvormig, want ze hebben dezelfde hoek bij punt P en een hoek van 90°. Hieruit volgt
PMPT
PQPR
= dus 12 320 16
320PT=
12 320 320 16
160 16
⋅ ⋅ = ⋅=
PT
PT
PT = 10 , de zijden van de ruit zijn dus 10 cm lang.