Extr´ emy Vyˇ sˇ s´ ı matematika, Inˇ zen´ yrsk´ a matematika LDF MENDELU Podpoˇ reno projektem Pr˚ uˇ rezov´ a inovace studijn´ ıch program˚ u Lesnick´ e a dˇ revaˇ rsk´ e fakulty MENDELU v Brnˇ e (LDF) s ohledem na discipl´ ıny spoleˇ cn´ eho z´ akladu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. ˇ c. CZ.1.07/2.2.00/28.0021) za pˇ rispˇ en´ ı finanˇ cn´ ıch prostˇ redk˚ u EU a st´ atn´ ıho rozpoˇ ctu ˇ Cesk´ e republiky. Simona Fiˇ snarov´ a (MENDELU) Extr´ emy VMAT, IMT 1 / 35
55
Embed
Extr emy - MENDELUuser.mendelu.cz/fisnarov/imt/prednasky/extremy.pdf · P r klad z= xe x2 y2 z= x2 Funkce z= xe x2 y2 m a dva ostr e lok aln extr emy { jedno ostr e lok aln maximum
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Extremy
Vyssı matematika Inzenyrska matematika
LDF MENDELU
Podporeno projektem Prurezova inovace studijnıch programu Lesnicke a drevarske fakulty MENDELUv Brne (LDF) s ohledem na disciplıny spolecneho zakladu httpakademieldfmendeluczcz (reg
c CZ1072200280021) za prispenı financnıch prostredku EU a statnıho rozpoctu Ceske republiky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 1 35
Lokalnı extremy
Definice (Lokalnı extremy)
Rekneme ze funkce f R2 rarr R ma v bode (x0 y0)
lokalnı maximum jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) takove ze pro vsechnybody (x y) z tohoto okolı platı f(x y) le f(x0 y0)lokalnı minimum jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) takove ze pro vsechnybody (x y) z tohoto okolı platı f(x y) ge f(x0 y0)ostre lokalnı maximum jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) takove zepro vsechny body (x y) z tohoto okolı platı f(x y) lt f(x0 y0)
ostre lokalnı minimum jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) takove ze provsechny body (x y) z tohoto okolı platı f(x y) gt f(x0 y0)
Pro lokalnı maxima a minima pouzıvame spolecny nazev lokalnı extremy Proostra lokalnı maxima a minima pouzıvame spolecny nazev ostre lokalnı extremy
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 2 35
Prıklad
z = xeminusx2minusy2
z = x2
Funkce z = xeminusx2minusy2
ma dva ostre lokalnı extremy ndash jedno ostre lokalnımaximum a jedno ostre lokalnı minimum
Funkce z = x2 ma neostra lokalnı minima ve vsech bodech na ose y
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 3 35
Nutna podmınka pro existenci lokalnıho extremu
Veta
Nechtrsquo funkce f R2 rarr R ma v bode (x0 y0) isin D(f) lokalnı extrem a nechtrsquo vtomto bode existujı obe parcialnı derivace Pak
f primex(x0 y0) = 0 a f primey(x0 y0) = 0
Definice (Stacionarnı bod)
Bod (x0 y0) pro ktery platı f primex(x0 y0) = 0 a f primey(x0 y0) = 0 se nazyvastacionarnı bod funkce f
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 4 35
Funkce muze mıt tedy lokalnı extremy pouze
ve stacionarnıch bodech
nebo v bodech kde alespon jedna z parcialnıch derivacı neexistuje
(f primex neexistuje na cele ose y) (v bode (0 0) neexistuje f primex ani f primey)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 5 35
Obracenı poslednı vety neplatı Stacionarnı bod nemusı byt bodem lokalnıhoextremu
1 Naprıklad funkce z = x3 + y3 ma v bode (0 0) obe parcialnı derivace nuloveale nema zde lokalnı extrem (viz obrazek)
2 Stejne tak funkce z = x2 minus y2 ma v bode (0 0) obe parcialnı derivace nuloveale nema zde lokalnı extrem (ma zde tzv sedlo viz obrazek)
z = x3 + y3 z = x2 minus y2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 6 35
Postacujıcı podmınka pro existenci lokalnıho extremu
Veta
Nechtrsquo funkce f R2 rarr R ma v bode (x0 y0) a nejakem jeho okolı spojite parcialnıderivace druheho radu a nechtrsquo (x0 y0) je stacionarnı bod teto funkce Oznacme
H(x0 y0) =
∣∣∣∣f primeprimexx(x0 y0) f primeprimexy(x0 y0)f primeprimexy(x0 y0) f primeprimeyy(x0 y0)
∣∣∣∣ Je-li H(x0 y0) gt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0) ostry lokalnı extrem ato
ostre lokalnı minimum pokud f primeprimexx(x0 y0) gt 0
ostre lokalnı maximum pokud f primeprimexx(x0 y0) lt 0
Je-li H(x0 y0) lt 0 pak funkce f v bode (x0 y0) nema lokalnı extrem
Je-li H(x0 y0) = 0 pak nelze o existenci lokalnıho extremu v bode (x0 y0)na zaklade druhych derivacı rozhodnout
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 7 35
Poznamka
1 Matice druhych derivacı z predchozı vety se nazyva Hessova matice adeterminant H se nazyva Hessian
2 Je-li H(x0 y0) gt 0 pak zrejme f primeprimexx(x0 y0) middot f primeprimeyy(x0 y0) gt 0 a tedyf primeprimexx(x0 y0) a f primeprimeyy(x0 y0) majı stejne znamenkoTo znamena ze podmınka f primeprimexx(x0 y0) gt 0 (f primeprimexx(x0 y0) lt 0) muze byt vevete nahrazena ekvivalentnı podmınkou f primeprimeyy(x0 y0) gt 0 (f primeprimeyy(x0 y0) lt 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 8 35
Poznamka
Jsou-li splneny predpoklady predchozı vety pak ma funkce f ve stacionarnım bode(x0 y0) tecnou rovinu ktera je vodorovna (rovnobezna s rovinou xy)
Je-li H(x0 y0) gt 0 a f primeprimexx(x0 y0) gt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0)lokalnı minimum a tedy graf funkce f lezı v okolı bodu (x0 y0) nad tecnourovinou sestrojenou v tomto bode To je v souladu s tım ze funkce jekonvexnı ve smeru osy x i y (nebotrsquo f primeprimexx(x0 y0) gt 0 a tedy i f primeprimeyy(x0 y0) gt 0)
Je-li H(x0 y0) gt 0 a f primeprimexx(x0 y0) lt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0)lokalnı maximum a tedy graf funkce f lezı v okolı bodu (x0 y0) pod tecnourovinou sestrojenou v tomto bode To je v souladu s tım ze funkce jekonkavnı ve smeru osy x i y (nebotrsquo f primeprimexx(x0 y0) lt 0 a tedy i f primeprimeyy(x0 y0) lt 0)
Vsimneme si jeste prıpadu kdy f primeprimexx(x0 y0) middot f primeprimeyy(x0 y0) lt 0 V tom prıpadeje funkce konvexnı ve smeru osy x a konkavnı ve smeru osy y (nebo opacne)tj ve smeru osy x ma funkce v bode (x0 y0) lokalnı maximum a ve smeruosy y ma funkce v bode (x0 y0) lokalnı minimum (nebo naopak) Prıklademje jiz vyse zmınena funkce z = x2 minus y2 a jejı stacionarnı bod (0 0) ndash sedlo
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 9 35
Postup pri vysetrovanı lokalnıch extremu funkce
1 Najdeme parcialnı derivace a polozıme je rovny nule
2 Vyresenım zıskane soustavy rovnic najdeme stacionarnı body
3 Najdeme druhe parcialnı derivace
4 Pomocı Hessianu ve stacionarnıch bodech rozhodneme o existenci a druhulokalnıch extremu
5 Existenci lokalnıch extremu ve stacionarnıch bodech v nichz je hodnotaHessianu nulova a v bodech v nichz nektera z parcialnıch derivacı neexistujevysetrujeme na zaklade chovanı funkce v okolı techto bodu (casto velmiobtızne)
∣∣∣∣ = minus4 lt 0 rArr v bode (0 0) nenı lokalnı extrem
2 H(minus23minus23) =∣∣∣∣minus4 2
2 minus4
∣∣∣∣ = 12 gt 0 rArr v bode(minus 2
3minus 2
3
)je lokalnı extrem a protoze zprimeprimexx = minus4 lt 0 jedna se o lokalnı maximum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 12 35
Prıklad (Metoda nejmensıch ctvercu ndash 1 cast)
Predpokladejme ze je dan soubor n bodu (x1 y1) (x2 y2) (xn yn)Tyto body mohou byt zıskany naprıklad jako vysledek merenı velicin x a y kdypro hodnoty x1 x2 xn veliciny x byly namereny odpovıdajıcı hodnotyy1 y2 yn veliciny yPredpokladejme ze mezi velicinami x a y existuje vzajemny vztah Projednoduchost predpokladejme ze tento vztah je linearnı tj existujı koeficientya b tak ze platı
y = ax+ b
Teoreticky by tedy mely vsechny body lezet na jedne prımce To vsak neplatınebotrsquo namerene hodnoty jsou zatızeny chybami merenıNasım ukolem je aproximovat (vyrovnat) dany soubor bodu prımkou (tj najıtkoeficienty a b) jejız graf prochazı ldquoco nejblızerdquo danych bodu ldquoCo nejblızerdquoznamena pri metode nejmensıch ctvercu ze soucet ctvercu (druhych mocnin)rozdılu namerenych hodnot yi a hodnot na prımce axi + b je co nejmensıK nalezenı koeficientu a b je tedy potreba najıt minimum funkce
z(a b) = (ax1+bminusy1)2+(ax2+bminusy2)2+middot middot middot+(axn+bminusyn)2 =
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
lokalnı maximum jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) takove ze pro vsechnybody (x y) z tohoto okolı platı f(x y) le f(x0 y0)lokalnı minimum jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) takove ze pro vsechnybody (x y) z tohoto okolı platı f(x y) ge f(x0 y0)ostre lokalnı maximum jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) takove zepro vsechny body (x y) z tohoto okolı platı f(x y) lt f(x0 y0)
ostre lokalnı minimum jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) takove ze provsechny body (x y) z tohoto okolı platı f(x y) gt f(x0 y0)
Pro lokalnı maxima a minima pouzıvame spolecny nazev lokalnı extremy Proostra lokalnı maxima a minima pouzıvame spolecny nazev ostre lokalnı extremy
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 2 35
Prıklad
z = xeminusx2minusy2
z = x2
Funkce z = xeminusx2minusy2
ma dva ostre lokalnı extremy ndash jedno ostre lokalnımaximum a jedno ostre lokalnı minimum
Funkce z = x2 ma neostra lokalnı minima ve vsech bodech na ose y
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 3 35
Nutna podmınka pro existenci lokalnıho extremu
Veta
Nechtrsquo funkce f R2 rarr R ma v bode (x0 y0) isin D(f) lokalnı extrem a nechtrsquo vtomto bode existujı obe parcialnı derivace Pak
f primex(x0 y0) = 0 a f primey(x0 y0) = 0
Definice (Stacionarnı bod)
Bod (x0 y0) pro ktery platı f primex(x0 y0) = 0 a f primey(x0 y0) = 0 se nazyvastacionarnı bod funkce f
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 4 35
Funkce muze mıt tedy lokalnı extremy pouze
ve stacionarnıch bodech
nebo v bodech kde alespon jedna z parcialnıch derivacı neexistuje
(f primex neexistuje na cele ose y) (v bode (0 0) neexistuje f primex ani f primey)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 5 35
Obracenı poslednı vety neplatı Stacionarnı bod nemusı byt bodem lokalnıhoextremu
1 Naprıklad funkce z = x3 + y3 ma v bode (0 0) obe parcialnı derivace nuloveale nema zde lokalnı extrem (viz obrazek)
2 Stejne tak funkce z = x2 minus y2 ma v bode (0 0) obe parcialnı derivace nuloveale nema zde lokalnı extrem (ma zde tzv sedlo viz obrazek)
z = x3 + y3 z = x2 minus y2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 6 35
Postacujıcı podmınka pro existenci lokalnıho extremu
Veta
Nechtrsquo funkce f R2 rarr R ma v bode (x0 y0) a nejakem jeho okolı spojite parcialnıderivace druheho radu a nechtrsquo (x0 y0) je stacionarnı bod teto funkce Oznacme
H(x0 y0) =
∣∣∣∣f primeprimexx(x0 y0) f primeprimexy(x0 y0)f primeprimexy(x0 y0) f primeprimeyy(x0 y0)
∣∣∣∣ Je-li H(x0 y0) gt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0) ostry lokalnı extrem ato
ostre lokalnı minimum pokud f primeprimexx(x0 y0) gt 0
ostre lokalnı maximum pokud f primeprimexx(x0 y0) lt 0
Je-li H(x0 y0) lt 0 pak funkce f v bode (x0 y0) nema lokalnı extrem
Je-li H(x0 y0) = 0 pak nelze o existenci lokalnıho extremu v bode (x0 y0)na zaklade druhych derivacı rozhodnout
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 7 35
Poznamka
1 Matice druhych derivacı z predchozı vety se nazyva Hessova matice adeterminant H se nazyva Hessian
2 Je-li H(x0 y0) gt 0 pak zrejme f primeprimexx(x0 y0) middot f primeprimeyy(x0 y0) gt 0 a tedyf primeprimexx(x0 y0) a f primeprimeyy(x0 y0) majı stejne znamenkoTo znamena ze podmınka f primeprimexx(x0 y0) gt 0 (f primeprimexx(x0 y0) lt 0) muze byt vevete nahrazena ekvivalentnı podmınkou f primeprimeyy(x0 y0) gt 0 (f primeprimeyy(x0 y0) lt 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 8 35
Poznamka
Jsou-li splneny predpoklady predchozı vety pak ma funkce f ve stacionarnım bode(x0 y0) tecnou rovinu ktera je vodorovna (rovnobezna s rovinou xy)
Je-li H(x0 y0) gt 0 a f primeprimexx(x0 y0) gt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0)lokalnı minimum a tedy graf funkce f lezı v okolı bodu (x0 y0) nad tecnourovinou sestrojenou v tomto bode To je v souladu s tım ze funkce jekonvexnı ve smeru osy x i y (nebotrsquo f primeprimexx(x0 y0) gt 0 a tedy i f primeprimeyy(x0 y0) gt 0)
Je-li H(x0 y0) gt 0 a f primeprimexx(x0 y0) lt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0)lokalnı maximum a tedy graf funkce f lezı v okolı bodu (x0 y0) pod tecnourovinou sestrojenou v tomto bode To je v souladu s tım ze funkce jekonkavnı ve smeru osy x i y (nebotrsquo f primeprimexx(x0 y0) lt 0 a tedy i f primeprimeyy(x0 y0) lt 0)
Vsimneme si jeste prıpadu kdy f primeprimexx(x0 y0) middot f primeprimeyy(x0 y0) lt 0 V tom prıpadeje funkce konvexnı ve smeru osy x a konkavnı ve smeru osy y (nebo opacne)tj ve smeru osy x ma funkce v bode (x0 y0) lokalnı maximum a ve smeruosy y ma funkce v bode (x0 y0) lokalnı minimum (nebo naopak) Prıklademje jiz vyse zmınena funkce z = x2 minus y2 a jejı stacionarnı bod (0 0) ndash sedlo
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 9 35
Postup pri vysetrovanı lokalnıch extremu funkce
1 Najdeme parcialnı derivace a polozıme je rovny nule
2 Vyresenım zıskane soustavy rovnic najdeme stacionarnı body
3 Najdeme druhe parcialnı derivace
4 Pomocı Hessianu ve stacionarnıch bodech rozhodneme o existenci a druhulokalnıch extremu
5 Existenci lokalnıch extremu ve stacionarnıch bodech v nichz je hodnotaHessianu nulova a v bodech v nichz nektera z parcialnıch derivacı neexistujevysetrujeme na zaklade chovanı funkce v okolı techto bodu (casto velmiobtızne)
∣∣∣∣ = minus4 lt 0 rArr v bode (0 0) nenı lokalnı extrem
2 H(minus23minus23) =∣∣∣∣minus4 2
2 minus4
∣∣∣∣ = 12 gt 0 rArr v bode(minus 2
3minus 2
3
)je lokalnı extrem a protoze zprimeprimexx = minus4 lt 0 jedna se o lokalnı maximum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 12 35
Prıklad (Metoda nejmensıch ctvercu ndash 1 cast)
Predpokladejme ze je dan soubor n bodu (x1 y1) (x2 y2) (xn yn)Tyto body mohou byt zıskany naprıklad jako vysledek merenı velicin x a y kdypro hodnoty x1 x2 xn veliciny x byly namereny odpovıdajıcı hodnotyy1 y2 yn veliciny yPredpokladejme ze mezi velicinami x a y existuje vzajemny vztah Projednoduchost predpokladejme ze tento vztah je linearnı tj existujı koeficientya b tak ze platı
y = ax+ b
Teoreticky by tedy mely vsechny body lezet na jedne prımce To vsak neplatınebotrsquo namerene hodnoty jsou zatızeny chybami merenıNasım ukolem je aproximovat (vyrovnat) dany soubor bodu prımkou (tj najıtkoeficienty a b) jejız graf prochazı ldquoco nejblızerdquo danych bodu ldquoCo nejblızerdquoznamena pri metode nejmensıch ctvercu ze soucet ctvercu (druhych mocnin)rozdılu namerenych hodnot yi a hodnot na prımce axi + b je co nejmensıK nalezenı koeficientu a b je tedy potreba najıt minimum funkce
z(a b) = (ax1+bminusy1)2+(ax2+bminusy2)2+middot middot middot+(axn+bminusyn)2 =
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
ma dva ostre lokalnı extremy ndash jedno ostre lokalnımaximum a jedno ostre lokalnı minimum
Funkce z = x2 ma neostra lokalnı minima ve vsech bodech na ose y
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 3 35
Nutna podmınka pro existenci lokalnıho extremu
Veta
Nechtrsquo funkce f R2 rarr R ma v bode (x0 y0) isin D(f) lokalnı extrem a nechtrsquo vtomto bode existujı obe parcialnı derivace Pak
f primex(x0 y0) = 0 a f primey(x0 y0) = 0
Definice (Stacionarnı bod)
Bod (x0 y0) pro ktery platı f primex(x0 y0) = 0 a f primey(x0 y0) = 0 se nazyvastacionarnı bod funkce f
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 4 35
Funkce muze mıt tedy lokalnı extremy pouze
ve stacionarnıch bodech
nebo v bodech kde alespon jedna z parcialnıch derivacı neexistuje
(f primex neexistuje na cele ose y) (v bode (0 0) neexistuje f primex ani f primey)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 5 35
Obracenı poslednı vety neplatı Stacionarnı bod nemusı byt bodem lokalnıhoextremu
1 Naprıklad funkce z = x3 + y3 ma v bode (0 0) obe parcialnı derivace nuloveale nema zde lokalnı extrem (viz obrazek)
2 Stejne tak funkce z = x2 minus y2 ma v bode (0 0) obe parcialnı derivace nuloveale nema zde lokalnı extrem (ma zde tzv sedlo viz obrazek)
z = x3 + y3 z = x2 minus y2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 6 35
Postacujıcı podmınka pro existenci lokalnıho extremu
Veta
Nechtrsquo funkce f R2 rarr R ma v bode (x0 y0) a nejakem jeho okolı spojite parcialnıderivace druheho radu a nechtrsquo (x0 y0) je stacionarnı bod teto funkce Oznacme
H(x0 y0) =
∣∣∣∣f primeprimexx(x0 y0) f primeprimexy(x0 y0)f primeprimexy(x0 y0) f primeprimeyy(x0 y0)
∣∣∣∣ Je-li H(x0 y0) gt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0) ostry lokalnı extrem ato
ostre lokalnı minimum pokud f primeprimexx(x0 y0) gt 0
ostre lokalnı maximum pokud f primeprimexx(x0 y0) lt 0
Je-li H(x0 y0) lt 0 pak funkce f v bode (x0 y0) nema lokalnı extrem
Je-li H(x0 y0) = 0 pak nelze o existenci lokalnıho extremu v bode (x0 y0)na zaklade druhych derivacı rozhodnout
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 7 35
Poznamka
1 Matice druhych derivacı z predchozı vety se nazyva Hessova matice adeterminant H se nazyva Hessian
2 Je-li H(x0 y0) gt 0 pak zrejme f primeprimexx(x0 y0) middot f primeprimeyy(x0 y0) gt 0 a tedyf primeprimexx(x0 y0) a f primeprimeyy(x0 y0) majı stejne znamenkoTo znamena ze podmınka f primeprimexx(x0 y0) gt 0 (f primeprimexx(x0 y0) lt 0) muze byt vevete nahrazena ekvivalentnı podmınkou f primeprimeyy(x0 y0) gt 0 (f primeprimeyy(x0 y0) lt 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 8 35
Poznamka
Jsou-li splneny predpoklady predchozı vety pak ma funkce f ve stacionarnım bode(x0 y0) tecnou rovinu ktera je vodorovna (rovnobezna s rovinou xy)
Je-li H(x0 y0) gt 0 a f primeprimexx(x0 y0) gt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0)lokalnı minimum a tedy graf funkce f lezı v okolı bodu (x0 y0) nad tecnourovinou sestrojenou v tomto bode To je v souladu s tım ze funkce jekonvexnı ve smeru osy x i y (nebotrsquo f primeprimexx(x0 y0) gt 0 a tedy i f primeprimeyy(x0 y0) gt 0)
Je-li H(x0 y0) gt 0 a f primeprimexx(x0 y0) lt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0)lokalnı maximum a tedy graf funkce f lezı v okolı bodu (x0 y0) pod tecnourovinou sestrojenou v tomto bode To je v souladu s tım ze funkce jekonkavnı ve smeru osy x i y (nebotrsquo f primeprimexx(x0 y0) lt 0 a tedy i f primeprimeyy(x0 y0) lt 0)
Vsimneme si jeste prıpadu kdy f primeprimexx(x0 y0) middot f primeprimeyy(x0 y0) lt 0 V tom prıpadeje funkce konvexnı ve smeru osy x a konkavnı ve smeru osy y (nebo opacne)tj ve smeru osy x ma funkce v bode (x0 y0) lokalnı maximum a ve smeruosy y ma funkce v bode (x0 y0) lokalnı minimum (nebo naopak) Prıklademje jiz vyse zmınena funkce z = x2 minus y2 a jejı stacionarnı bod (0 0) ndash sedlo
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 9 35
Postup pri vysetrovanı lokalnıch extremu funkce
1 Najdeme parcialnı derivace a polozıme je rovny nule
2 Vyresenım zıskane soustavy rovnic najdeme stacionarnı body
3 Najdeme druhe parcialnı derivace
4 Pomocı Hessianu ve stacionarnıch bodech rozhodneme o existenci a druhulokalnıch extremu
5 Existenci lokalnıch extremu ve stacionarnıch bodech v nichz je hodnotaHessianu nulova a v bodech v nichz nektera z parcialnıch derivacı neexistujevysetrujeme na zaklade chovanı funkce v okolı techto bodu (casto velmiobtızne)
∣∣∣∣ = minus4 lt 0 rArr v bode (0 0) nenı lokalnı extrem
2 H(minus23minus23) =∣∣∣∣minus4 2
2 minus4
∣∣∣∣ = 12 gt 0 rArr v bode(minus 2
3minus 2
3
)je lokalnı extrem a protoze zprimeprimexx = minus4 lt 0 jedna se o lokalnı maximum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 12 35
Prıklad (Metoda nejmensıch ctvercu ndash 1 cast)
Predpokladejme ze je dan soubor n bodu (x1 y1) (x2 y2) (xn yn)Tyto body mohou byt zıskany naprıklad jako vysledek merenı velicin x a y kdypro hodnoty x1 x2 xn veliciny x byly namereny odpovıdajıcı hodnotyy1 y2 yn veliciny yPredpokladejme ze mezi velicinami x a y existuje vzajemny vztah Projednoduchost predpokladejme ze tento vztah je linearnı tj existujı koeficientya b tak ze platı
y = ax+ b
Teoreticky by tedy mely vsechny body lezet na jedne prımce To vsak neplatınebotrsquo namerene hodnoty jsou zatızeny chybami merenıNasım ukolem je aproximovat (vyrovnat) dany soubor bodu prımkou (tj najıtkoeficienty a b) jejız graf prochazı ldquoco nejblızerdquo danych bodu ldquoCo nejblızerdquoznamena pri metode nejmensıch ctvercu ze soucet ctvercu (druhych mocnin)rozdılu namerenych hodnot yi a hodnot na prımce axi + b je co nejmensıK nalezenı koeficientu a b je tedy potreba najıt minimum funkce
z(a b) = (ax1+bminusy1)2+(ax2+bminusy2)2+middot middot middot+(axn+bminusyn)2 =
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
Nechtrsquo funkce f R2 rarr R ma v bode (x0 y0) isin D(f) lokalnı extrem a nechtrsquo vtomto bode existujı obe parcialnı derivace Pak
f primex(x0 y0) = 0 a f primey(x0 y0) = 0
Definice (Stacionarnı bod)
Bod (x0 y0) pro ktery platı f primex(x0 y0) = 0 a f primey(x0 y0) = 0 se nazyvastacionarnı bod funkce f
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 4 35
Funkce muze mıt tedy lokalnı extremy pouze
ve stacionarnıch bodech
nebo v bodech kde alespon jedna z parcialnıch derivacı neexistuje
(f primex neexistuje na cele ose y) (v bode (0 0) neexistuje f primex ani f primey)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 5 35
Obracenı poslednı vety neplatı Stacionarnı bod nemusı byt bodem lokalnıhoextremu
1 Naprıklad funkce z = x3 + y3 ma v bode (0 0) obe parcialnı derivace nuloveale nema zde lokalnı extrem (viz obrazek)
2 Stejne tak funkce z = x2 minus y2 ma v bode (0 0) obe parcialnı derivace nuloveale nema zde lokalnı extrem (ma zde tzv sedlo viz obrazek)
z = x3 + y3 z = x2 minus y2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 6 35
Postacujıcı podmınka pro existenci lokalnıho extremu
Veta
Nechtrsquo funkce f R2 rarr R ma v bode (x0 y0) a nejakem jeho okolı spojite parcialnıderivace druheho radu a nechtrsquo (x0 y0) je stacionarnı bod teto funkce Oznacme
H(x0 y0) =
∣∣∣∣f primeprimexx(x0 y0) f primeprimexy(x0 y0)f primeprimexy(x0 y0) f primeprimeyy(x0 y0)
∣∣∣∣ Je-li H(x0 y0) gt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0) ostry lokalnı extrem ato
ostre lokalnı minimum pokud f primeprimexx(x0 y0) gt 0
ostre lokalnı maximum pokud f primeprimexx(x0 y0) lt 0
Je-li H(x0 y0) lt 0 pak funkce f v bode (x0 y0) nema lokalnı extrem
Je-li H(x0 y0) = 0 pak nelze o existenci lokalnıho extremu v bode (x0 y0)na zaklade druhych derivacı rozhodnout
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 7 35
Poznamka
1 Matice druhych derivacı z predchozı vety se nazyva Hessova matice adeterminant H se nazyva Hessian
2 Je-li H(x0 y0) gt 0 pak zrejme f primeprimexx(x0 y0) middot f primeprimeyy(x0 y0) gt 0 a tedyf primeprimexx(x0 y0) a f primeprimeyy(x0 y0) majı stejne znamenkoTo znamena ze podmınka f primeprimexx(x0 y0) gt 0 (f primeprimexx(x0 y0) lt 0) muze byt vevete nahrazena ekvivalentnı podmınkou f primeprimeyy(x0 y0) gt 0 (f primeprimeyy(x0 y0) lt 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 8 35
Poznamka
Jsou-li splneny predpoklady predchozı vety pak ma funkce f ve stacionarnım bode(x0 y0) tecnou rovinu ktera je vodorovna (rovnobezna s rovinou xy)
Je-li H(x0 y0) gt 0 a f primeprimexx(x0 y0) gt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0)lokalnı minimum a tedy graf funkce f lezı v okolı bodu (x0 y0) nad tecnourovinou sestrojenou v tomto bode To je v souladu s tım ze funkce jekonvexnı ve smeru osy x i y (nebotrsquo f primeprimexx(x0 y0) gt 0 a tedy i f primeprimeyy(x0 y0) gt 0)
Je-li H(x0 y0) gt 0 a f primeprimexx(x0 y0) lt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0)lokalnı maximum a tedy graf funkce f lezı v okolı bodu (x0 y0) pod tecnourovinou sestrojenou v tomto bode To je v souladu s tım ze funkce jekonkavnı ve smeru osy x i y (nebotrsquo f primeprimexx(x0 y0) lt 0 a tedy i f primeprimeyy(x0 y0) lt 0)
Vsimneme si jeste prıpadu kdy f primeprimexx(x0 y0) middot f primeprimeyy(x0 y0) lt 0 V tom prıpadeje funkce konvexnı ve smeru osy x a konkavnı ve smeru osy y (nebo opacne)tj ve smeru osy x ma funkce v bode (x0 y0) lokalnı maximum a ve smeruosy y ma funkce v bode (x0 y0) lokalnı minimum (nebo naopak) Prıklademje jiz vyse zmınena funkce z = x2 minus y2 a jejı stacionarnı bod (0 0) ndash sedlo
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 9 35
Postup pri vysetrovanı lokalnıch extremu funkce
1 Najdeme parcialnı derivace a polozıme je rovny nule
2 Vyresenım zıskane soustavy rovnic najdeme stacionarnı body
3 Najdeme druhe parcialnı derivace
4 Pomocı Hessianu ve stacionarnıch bodech rozhodneme o existenci a druhulokalnıch extremu
5 Existenci lokalnıch extremu ve stacionarnıch bodech v nichz je hodnotaHessianu nulova a v bodech v nichz nektera z parcialnıch derivacı neexistujevysetrujeme na zaklade chovanı funkce v okolı techto bodu (casto velmiobtızne)
∣∣∣∣ = minus4 lt 0 rArr v bode (0 0) nenı lokalnı extrem
2 H(minus23minus23) =∣∣∣∣minus4 2
2 minus4
∣∣∣∣ = 12 gt 0 rArr v bode(minus 2
3minus 2
3
)je lokalnı extrem a protoze zprimeprimexx = minus4 lt 0 jedna se o lokalnı maximum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 12 35
Prıklad (Metoda nejmensıch ctvercu ndash 1 cast)
Predpokladejme ze je dan soubor n bodu (x1 y1) (x2 y2) (xn yn)Tyto body mohou byt zıskany naprıklad jako vysledek merenı velicin x a y kdypro hodnoty x1 x2 xn veliciny x byly namereny odpovıdajıcı hodnotyy1 y2 yn veliciny yPredpokladejme ze mezi velicinami x a y existuje vzajemny vztah Projednoduchost predpokladejme ze tento vztah je linearnı tj existujı koeficientya b tak ze platı
y = ax+ b
Teoreticky by tedy mely vsechny body lezet na jedne prımce To vsak neplatınebotrsquo namerene hodnoty jsou zatızeny chybami merenıNasım ukolem je aproximovat (vyrovnat) dany soubor bodu prımkou (tj najıtkoeficienty a b) jejız graf prochazı ldquoco nejblızerdquo danych bodu ldquoCo nejblızerdquoznamena pri metode nejmensıch ctvercu ze soucet ctvercu (druhych mocnin)rozdılu namerenych hodnot yi a hodnot na prımce axi + b je co nejmensıK nalezenı koeficientu a b je tedy potreba najıt minimum funkce
z(a b) = (ax1+bminusy1)2+(ax2+bminusy2)2+middot middot middot+(axn+bminusyn)2 =
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
nebo v bodech kde alespon jedna z parcialnıch derivacı neexistuje
(f primex neexistuje na cele ose y) (v bode (0 0) neexistuje f primex ani f primey)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 5 35
Obracenı poslednı vety neplatı Stacionarnı bod nemusı byt bodem lokalnıhoextremu
1 Naprıklad funkce z = x3 + y3 ma v bode (0 0) obe parcialnı derivace nuloveale nema zde lokalnı extrem (viz obrazek)
2 Stejne tak funkce z = x2 minus y2 ma v bode (0 0) obe parcialnı derivace nuloveale nema zde lokalnı extrem (ma zde tzv sedlo viz obrazek)
z = x3 + y3 z = x2 minus y2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 6 35
Postacujıcı podmınka pro existenci lokalnıho extremu
Veta
Nechtrsquo funkce f R2 rarr R ma v bode (x0 y0) a nejakem jeho okolı spojite parcialnıderivace druheho radu a nechtrsquo (x0 y0) je stacionarnı bod teto funkce Oznacme
H(x0 y0) =
∣∣∣∣f primeprimexx(x0 y0) f primeprimexy(x0 y0)f primeprimexy(x0 y0) f primeprimeyy(x0 y0)
∣∣∣∣ Je-li H(x0 y0) gt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0) ostry lokalnı extrem ato
ostre lokalnı minimum pokud f primeprimexx(x0 y0) gt 0
ostre lokalnı maximum pokud f primeprimexx(x0 y0) lt 0
Je-li H(x0 y0) lt 0 pak funkce f v bode (x0 y0) nema lokalnı extrem
Je-li H(x0 y0) = 0 pak nelze o existenci lokalnıho extremu v bode (x0 y0)na zaklade druhych derivacı rozhodnout
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 7 35
Poznamka
1 Matice druhych derivacı z predchozı vety se nazyva Hessova matice adeterminant H se nazyva Hessian
2 Je-li H(x0 y0) gt 0 pak zrejme f primeprimexx(x0 y0) middot f primeprimeyy(x0 y0) gt 0 a tedyf primeprimexx(x0 y0) a f primeprimeyy(x0 y0) majı stejne znamenkoTo znamena ze podmınka f primeprimexx(x0 y0) gt 0 (f primeprimexx(x0 y0) lt 0) muze byt vevete nahrazena ekvivalentnı podmınkou f primeprimeyy(x0 y0) gt 0 (f primeprimeyy(x0 y0) lt 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 8 35
Poznamka
Jsou-li splneny predpoklady predchozı vety pak ma funkce f ve stacionarnım bode(x0 y0) tecnou rovinu ktera je vodorovna (rovnobezna s rovinou xy)
Je-li H(x0 y0) gt 0 a f primeprimexx(x0 y0) gt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0)lokalnı minimum a tedy graf funkce f lezı v okolı bodu (x0 y0) nad tecnourovinou sestrojenou v tomto bode To je v souladu s tım ze funkce jekonvexnı ve smeru osy x i y (nebotrsquo f primeprimexx(x0 y0) gt 0 a tedy i f primeprimeyy(x0 y0) gt 0)
Je-li H(x0 y0) gt 0 a f primeprimexx(x0 y0) lt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0)lokalnı maximum a tedy graf funkce f lezı v okolı bodu (x0 y0) pod tecnourovinou sestrojenou v tomto bode To je v souladu s tım ze funkce jekonkavnı ve smeru osy x i y (nebotrsquo f primeprimexx(x0 y0) lt 0 a tedy i f primeprimeyy(x0 y0) lt 0)
Vsimneme si jeste prıpadu kdy f primeprimexx(x0 y0) middot f primeprimeyy(x0 y0) lt 0 V tom prıpadeje funkce konvexnı ve smeru osy x a konkavnı ve smeru osy y (nebo opacne)tj ve smeru osy x ma funkce v bode (x0 y0) lokalnı maximum a ve smeruosy y ma funkce v bode (x0 y0) lokalnı minimum (nebo naopak) Prıklademje jiz vyse zmınena funkce z = x2 minus y2 a jejı stacionarnı bod (0 0) ndash sedlo
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 9 35
Postup pri vysetrovanı lokalnıch extremu funkce
1 Najdeme parcialnı derivace a polozıme je rovny nule
2 Vyresenım zıskane soustavy rovnic najdeme stacionarnı body
3 Najdeme druhe parcialnı derivace
4 Pomocı Hessianu ve stacionarnıch bodech rozhodneme o existenci a druhulokalnıch extremu
5 Existenci lokalnıch extremu ve stacionarnıch bodech v nichz je hodnotaHessianu nulova a v bodech v nichz nektera z parcialnıch derivacı neexistujevysetrujeme na zaklade chovanı funkce v okolı techto bodu (casto velmiobtızne)
∣∣∣∣ = minus4 lt 0 rArr v bode (0 0) nenı lokalnı extrem
2 H(minus23minus23) =∣∣∣∣minus4 2
2 minus4
∣∣∣∣ = 12 gt 0 rArr v bode(minus 2
3minus 2
3
)je lokalnı extrem a protoze zprimeprimexx = minus4 lt 0 jedna se o lokalnı maximum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 12 35
Prıklad (Metoda nejmensıch ctvercu ndash 1 cast)
Predpokladejme ze je dan soubor n bodu (x1 y1) (x2 y2) (xn yn)Tyto body mohou byt zıskany naprıklad jako vysledek merenı velicin x a y kdypro hodnoty x1 x2 xn veliciny x byly namereny odpovıdajıcı hodnotyy1 y2 yn veliciny yPredpokladejme ze mezi velicinami x a y existuje vzajemny vztah Projednoduchost predpokladejme ze tento vztah je linearnı tj existujı koeficientya b tak ze platı
y = ax+ b
Teoreticky by tedy mely vsechny body lezet na jedne prımce To vsak neplatınebotrsquo namerene hodnoty jsou zatızeny chybami merenıNasım ukolem je aproximovat (vyrovnat) dany soubor bodu prımkou (tj najıtkoeficienty a b) jejız graf prochazı ldquoco nejblızerdquo danych bodu ldquoCo nejblızerdquoznamena pri metode nejmensıch ctvercu ze soucet ctvercu (druhych mocnin)rozdılu namerenych hodnot yi a hodnot na prımce axi + b je co nejmensıK nalezenı koeficientu a b je tedy potreba najıt minimum funkce
z(a b) = (ax1+bminusy1)2+(ax2+bminusy2)2+middot middot middot+(axn+bminusyn)2 =
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
Obracenı poslednı vety neplatı Stacionarnı bod nemusı byt bodem lokalnıhoextremu
1 Naprıklad funkce z = x3 + y3 ma v bode (0 0) obe parcialnı derivace nuloveale nema zde lokalnı extrem (viz obrazek)
2 Stejne tak funkce z = x2 minus y2 ma v bode (0 0) obe parcialnı derivace nuloveale nema zde lokalnı extrem (ma zde tzv sedlo viz obrazek)
z = x3 + y3 z = x2 minus y2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 6 35
Postacujıcı podmınka pro existenci lokalnıho extremu
Veta
Nechtrsquo funkce f R2 rarr R ma v bode (x0 y0) a nejakem jeho okolı spojite parcialnıderivace druheho radu a nechtrsquo (x0 y0) je stacionarnı bod teto funkce Oznacme
H(x0 y0) =
∣∣∣∣f primeprimexx(x0 y0) f primeprimexy(x0 y0)f primeprimexy(x0 y0) f primeprimeyy(x0 y0)
∣∣∣∣ Je-li H(x0 y0) gt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0) ostry lokalnı extrem ato
ostre lokalnı minimum pokud f primeprimexx(x0 y0) gt 0
ostre lokalnı maximum pokud f primeprimexx(x0 y0) lt 0
Je-li H(x0 y0) lt 0 pak funkce f v bode (x0 y0) nema lokalnı extrem
Je-li H(x0 y0) = 0 pak nelze o existenci lokalnıho extremu v bode (x0 y0)na zaklade druhych derivacı rozhodnout
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 7 35
Poznamka
1 Matice druhych derivacı z predchozı vety se nazyva Hessova matice adeterminant H se nazyva Hessian
2 Je-li H(x0 y0) gt 0 pak zrejme f primeprimexx(x0 y0) middot f primeprimeyy(x0 y0) gt 0 a tedyf primeprimexx(x0 y0) a f primeprimeyy(x0 y0) majı stejne znamenkoTo znamena ze podmınka f primeprimexx(x0 y0) gt 0 (f primeprimexx(x0 y0) lt 0) muze byt vevete nahrazena ekvivalentnı podmınkou f primeprimeyy(x0 y0) gt 0 (f primeprimeyy(x0 y0) lt 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 8 35
Poznamka
Jsou-li splneny predpoklady predchozı vety pak ma funkce f ve stacionarnım bode(x0 y0) tecnou rovinu ktera je vodorovna (rovnobezna s rovinou xy)
Je-li H(x0 y0) gt 0 a f primeprimexx(x0 y0) gt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0)lokalnı minimum a tedy graf funkce f lezı v okolı bodu (x0 y0) nad tecnourovinou sestrojenou v tomto bode To je v souladu s tım ze funkce jekonvexnı ve smeru osy x i y (nebotrsquo f primeprimexx(x0 y0) gt 0 a tedy i f primeprimeyy(x0 y0) gt 0)
Je-li H(x0 y0) gt 0 a f primeprimexx(x0 y0) lt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0)lokalnı maximum a tedy graf funkce f lezı v okolı bodu (x0 y0) pod tecnourovinou sestrojenou v tomto bode To je v souladu s tım ze funkce jekonkavnı ve smeru osy x i y (nebotrsquo f primeprimexx(x0 y0) lt 0 a tedy i f primeprimeyy(x0 y0) lt 0)
Vsimneme si jeste prıpadu kdy f primeprimexx(x0 y0) middot f primeprimeyy(x0 y0) lt 0 V tom prıpadeje funkce konvexnı ve smeru osy x a konkavnı ve smeru osy y (nebo opacne)tj ve smeru osy x ma funkce v bode (x0 y0) lokalnı maximum a ve smeruosy y ma funkce v bode (x0 y0) lokalnı minimum (nebo naopak) Prıklademje jiz vyse zmınena funkce z = x2 minus y2 a jejı stacionarnı bod (0 0) ndash sedlo
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 9 35
Postup pri vysetrovanı lokalnıch extremu funkce
1 Najdeme parcialnı derivace a polozıme je rovny nule
2 Vyresenım zıskane soustavy rovnic najdeme stacionarnı body
3 Najdeme druhe parcialnı derivace
4 Pomocı Hessianu ve stacionarnıch bodech rozhodneme o existenci a druhulokalnıch extremu
5 Existenci lokalnıch extremu ve stacionarnıch bodech v nichz je hodnotaHessianu nulova a v bodech v nichz nektera z parcialnıch derivacı neexistujevysetrujeme na zaklade chovanı funkce v okolı techto bodu (casto velmiobtızne)
∣∣∣∣ = minus4 lt 0 rArr v bode (0 0) nenı lokalnı extrem
2 H(minus23minus23) =∣∣∣∣minus4 2
2 minus4
∣∣∣∣ = 12 gt 0 rArr v bode(minus 2
3minus 2
3
)je lokalnı extrem a protoze zprimeprimexx = minus4 lt 0 jedna se o lokalnı maximum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 12 35
Prıklad (Metoda nejmensıch ctvercu ndash 1 cast)
Predpokladejme ze je dan soubor n bodu (x1 y1) (x2 y2) (xn yn)Tyto body mohou byt zıskany naprıklad jako vysledek merenı velicin x a y kdypro hodnoty x1 x2 xn veliciny x byly namereny odpovıdajıcı hodnotyy1 y2 yn veliciny yPredpokladejme ze mezi velicinami x a y existuje vzajemny vztah Projednoduchost predpokladejme ze tento vztah je linearnı tj existujı koeficientya b tak ze platı
y = ax+ b
Teoreticky by tedy mely vsechny body lezet na jedne prımce To vsak neplatınebotrsquo namerene hodnoty jsou zatızeny chybami merenıNasım ukolem je aproximovat (vyrovnat) dany soubor bodu prımkou (tj najıtkoeficienty a b) jejız graf prochazı ldquoco nejblızerdquo danych bodu ldquoCo nejblızerdquoznamena pri metode nejmensıch ctvercu ze soucet ctvercu (druhych mocnin)rozdılu namerenych hodnot yi a hodnot na prımce axi + b je co nejmensıK nalezenı koeficientu a b je tedy potreba najıt minimum funkce
z(a b) = (ax1+bminusy1)2+(ax2+bminusy2)2+middot middot middot+(axn+bminusyn)2 =
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
Postacujıcı podmınka pro existenci lokalnıho extremu
Veta
Nechtrsquo funkce f R2 rarr R ma v bode (x0 y0) a nejakem jeho okolı spojite parcialnıderivace druheho radu a nechtrsquo (x0 y0) je stacionarnı bod teto funkce Oznacme
H(x0 y0) =
∣∣∣∣f primeprimexx(x0 y0) f primeprimexy(x0 y0)f primeprimexy(x0 y0) f primeprimeyy(x0 y0)
∣∣∣∣ Je-li H(x0 y0) gt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0) ostry lokalnı extrem ato
ostre lokalnı minimum pokud f primeprimexx(x0 y0) gt 0
ostre lokalnı maximum pokud f primeprimexx(x0 y0) lt 0
Je-li H(x0 y0) lt 0 pak funkce f v bode (x0 y0) nema lokalnı extrem
Je-li H(x0 y0) = 0 pak nelze o existenci lokalnıho extremu v bode (x0 y0)na zaklade druhych derivacı rozhodnout
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 7 35
Poznamka
1 Matice druhych derivacı z predchozı vety se nazyva Hessova matice adeterminant H se nazyva Hessian
2 Je-li H(x0 y0) gt 0 pak zrejme f primeprimexx(x0 y0) middot f primeprimeyy(x0 y0) gt 0 a tedyf primeprimexx(x0 y0) a f primeprimeyy(x0 y0) majı stejne znamenkoTo znamena ze podmınka f primeprimexx(x0 y0) gt 0 (f primeprimexx(x0 y0) lt 0) muze byt vevete nahrazena ekvivalentnı podmınkou f primeprimeyy(x0 y0) gt 0 (f primeprimeyy(x0 y0) lt 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 8 35
Poznamka
Jsou-li splneny predpoklady predchozı vety pak ma funkce f ve stacionarnım bode(x0 y0) tecnou rovinu ktera je vodorovna (rovnobezna s rovinou xy)
Je-li H(x0 y0) gt 0 a f primeprimexx(x0 y0) gt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0)lokalnı minimum a tedy graf funkce f lezı v okolı bodu (x0 y0) nad tecnourovinou sestrojenou v tomto bode To je v souladu s tım ze funkce jekonvexnı ve smeru osy x i y (nebotrsquo f primeprimexx(x0 y0) gt 0 a tedy i f primeprimeyy(x0 y0) gt 0)
Je-li H(x0 y0) gt 0 a f primeprimexx(x0 y0) lt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0)lokalnı maximum a tedy graf funkce f lezı v okolı bodu (x0 y0) pod tecnourovinou sestrojenou v tomto bode To je v souladu s tım ze funkce jekonkavnı ve smeru osy x i y (nebotrsquo f primeprimexx(x0 y0) lt 0 a tedy i f primeprimeyy(x0 y0) lt 0)
Vsimneme si jeste prıpadu kdy f primeprimexx(x0 y0) middot f primeprimeyy(x0 y0) lt 0 V tom prıpadeje funkce konvexnı ve smeru osy x a konkavnı ve smeru osy y (nebo opacne)tj ve smeru osy x ma funkce v bode (x0 y0) lokalnı maximum a ve smeruosy y ma funkce v bode (x0 y0) lokalnı minimum (nebo naopak) Prıklademje jiz vyse zmınena funkce z = x2 minus y2 a jejı stacionarnı bod (0 0) ndash sedlo
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 9 35
Postup pri vysetrovanı lokalnıch extremu funkce
1 Najdeme parcialnı derivace a polozıme je rovny nule
2 Vyresenım zıskane soustavy rovnic najdeme stacionarnı body
3 Najdeme druhe parcialnı derivace
4 Pomocı Hessianu ve stacionarnıch bodech rozhodneme o existenci a druhulokalnıch extremu
5 Existenci lokalnıch extremu ve stacionarnıch bodech v nichz je hodnotaHessianu nulova a v bodech v nichz nektera z parcialnıch derivacı neexistujevysetrujeme na zaklade chovanı funkce v okolı techto bodu (casto velmiobtızne)
∣∣∣∣ = minus4 lt 0 rArr v bode (0 0) nenı lokalnı extrem
2 H(minus23minus23) =∣∣∣∣minus4 2
2 minus4
∣∣∣∣ = 12 gt 0 rArr v bode(minus 2
3minus 2
3
)je lokalnı extrem a protoze zprimeprimexx = minus4 lt 0 jedna se o lokalnı maximum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 12 35
Prıklad (Metoda nejmensıch ctvercu ndash 1 cast)
Predpokladejme ze je dan soubor n bodu (x1 y1) (x2 y2) (xn yn)Tyto body mohou byt zıskany naprıklad jako vysledek merenı velicin x a y kdypro hodnoty x1 x2 xn veliciny x byly namereny odpovıdajıcı hodnotyy1 y2 yn veliciny yPredpokladejme ze mezi velicinami x a y existuje vzajemny vztah Projednoduchost predpokladejme ze tento vztah je linearnı tj existujı koeficientya b tak ze platı
y = ax+ b
Teoreticky by tedy mely vsechny body lezet na jedne prımce To vsak neplatınebotrsquo namerene hodnoty jsou zatızeny chybami merenıNasım ukolem je aproximovat (vyrovnat) dany soubor bodu prımkou (tj najıtkoeficienty a b) jejız graf prochazı ldquoco nejblızerdquo danych bodu ldquoCo nejblızerdquoznamena pri metode nejmensıch ctvercu ze soucet ctvercu (druhych mocnin)rozdılu namerenych hodnot yi a hodnot na prımce axi + b je co nejmensıK nalezenı koeficientu a b je tedy potreba najıt minimum funkce
z(a b) = (ax1+bminusy1)2+(ax2+bminusy2)2+middot middot middot+(axn+bminusyn)2 =
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
1 Matice druhych derivacı z predchozı vety se nazyva Hessova matice adeterminant H se nazyva Hessian
2 Je-li H(x0 y0) gt 0 pak zrejme f primeprimexx(x0 y0) middot f primeprimeyy(x0 y0) gt 0 a tedyf primeprimexx(x0 y0) a f primeprimeyy(x0 y0) majı stejne znamenkoTo znamena ze podmınka f primeprimexx(x0 y0) gt 0 (f primeprimexx(x0 y0) lt 0) muze byt vevete nahrazena ekvivalentnı podmınkou f primeprimeyy(x0 y0) gt 0 (f primeprimeyy(x0 y0) lt 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 8 35
Poznamka
Jsou-li splneny predpoklady predchozı vety pak ma funkce f ve stacionarnım bode(x0 y0) tecnou rovinu ktera je vodorovna (rovnobezna s rovinou xy)
Je-li H(x0 y0) gt 0 a f primeprimexx(x0 y0) gt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0)lokalnı minimum a tedy graf funkce f lezı v okolı bodu (x0 y0) nad tecnourovinou sestrojenou v tomto bode To je v souladu s tım ze funkce jekonvexnı ve smeru osy x i y (nebotrsquo f primeprimexx(x0 y0) gt 0 a tedy i f primeprimeyy(x0 y0) gt 0)
Je-li H(x0 y0) gt 0 a f primeprimexx(x0 y0) lt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0)lokalnı maximum a tedy graf funkce f lezı v okolı bodu (x0 y0) pod tecnourovinou sestrojenou v tomto bode To je v souladu s tım ze funkce jekonkavnı ve smeru osy x i y (nebotrsquo f primeprimexx(x0 y0) lt 0 a tedy i f primeprimeyy(x0 y0) lt 0)
Vsimneme si jeste prıpadu kdy f primeprimexx(x0 y0) middot f primeprimeyy(x0 y0) lt 0 V tom prıpadeje funkce konvexnı ve smeru osy x a konkavnı ve smeru osy y (nebo opacne)tj ve smeru osy x ma funkce v bode (x0 y0) lokalnı maximum a ve smeruosy y ma funkce v bode (x0 y0) lokalnı minimum (nebo naopak) Prıklademje jiz vyse zmınena funkce z = x2 minus y2 a jejı stacionarnı bod (0 0) ndash sedlo
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 9 35
Postup pri vysetrovanı lokalnıch extremu funkce
1 Najdeme parcialnı derivace a polozıme je rovny nule
2 Vyresenım zıskane soustavy rovnic najdeme stacionarnı body
3 Najdeme druhe parcialnı derivace
4 Pomocı Hessianu ve stacionarnıch bodech rozhodneme o existenci a druhulokalnıch extremu
5 Existenci lokalnıch extremu ve stacionarnıch bodech v nichz je hodnotaHessianu nulova a v bodech v nichz nektera z parcialnıch derivacı neexistujevysetrujeme na zaklade chovanı funkce v okolı techto bodu (casto velmiobtızne)
∣∣∣∣ = minus4 lt 0 rArr v bode (0 0) nenı lokalnı extrem
2 H(minus23minus23) =∣∣∣∣minus4 2
2 minus4
∣∣∣∣ = 12 gt 0 rArr v bode(minus 2
3minus 2
3
)je lokalnı extrem a protoze zprimeprimexx = minus4 lt 0 jedna se o lokalnı maximum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 12 35
Prıklad (Metoda nejmensıch ctvercu ndash 1 cast)
Predpokladejme ze je dan soubor n bodu (x1 y1) (x2 y2) (xn yn)Tyto body mohou byt zıskany naprıklad jako vysledek merenı velicin x a y kdypro hodnoty x1 x2 xn veliciny x byly namereny odpovıdajıcı hodnotyy1 y2 yn veliciny yPredpokladejme ze mezi velicinami x a y existuje vzajemny vztah Projednoduchost predpokladejme ze tento vztah je linearnı tj existujı koeficientya b tak ze platı
y = ax+ b
Teoreticky by tedy mely vsechny body lezet na jedne prımce To vsak neplatınebotrsquo namerene hodnoty jsou zatızeny chybami merenıNasım ukolem je aproximovat (vyrovnat) dany soubor bodu prımkou (tj najıtkoeficienty a b) jejız graf prochazı ldquoco nejblızerdquo danych bodu ldquoCo nejblızerdquoznamena pri metode nejmensıch ctvercu ze soucet ctvercu (druhych mocnin)rozdılu namerenych hodnot yi a hodnot na prımce axi + b je co nejmensıK nalezenı koeficientu a b je tedy potreba najıt minimum funkce
z(a b) = (ax1+bminusy1)2+(ax2+bminusy2)2+middot middot middot+(axn+bminusyn)2 =
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
Jsou-li splneny predpoklady predchozı vety pak ma funkce f ve stacionarnım bode(x0 y0) tecnou rovinu ktera je vodorovna (rovnobezna s rovinou xy)
Je-li H(x0 y0) gt 0 a f primeprimexx(x0 y0) gt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0)lokalnı minimum a tedy graf funkce f lezı v okolı bodu (x0 y0) nad tecnourovinou sestrojenou v tomto bode To je v souladu s tım ze funkce jekonvexnı ve smeru osy x i y (nebotrsquo f primeprimexx(x0 y0) gt 0 a tedy i f primeprimeyy(x0 y0) gt 0)
Je-li H(x0 y0) gt 0 a f primeprimexx(x0 y0) lt 0 pak ma funkce f v bode (x0 y0)lokalnı maximum a tedy graf funkce f lezı v okolı bodu (x0 y0) pod tecnourovinou sestrojenou v tomto bode To je v souladu s tım ze funkce jekonkavnı ve smeru osy x i y (nebotrsquo f primeprimexx(x0 y0) lt 0 a tedy i f primeprimeyy(x0 y0) lt 0)
Vsimneme si jeste prıpadu kdy f primeprimexx(x0 y0) middot f primeprimeyy(x0 y0) lt 0 V tom prıpadeje funkce konvexnı ve smeru osy x a konkavnı ve smeru osy y (nebo opacne)tj ve smeru osy x ma funkce v bode (x0 y0) lokalnı maximum a ve smeruosy y ma funkce v bode (x0 y0) lokalnı minimum (nebo naopak) Prıklademje jiz vyse zmınena funkce z = x2 minus y2 a jejı stacionarnı bod (0 0) ndash sedlo
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 9 35
Postup pri vysetrovanı lokalnıch extremu funkce
1 Najdeme parcialnı derivace a polozıme je rovny nule
2 Vyresenım zıskane soustavy rovnic najdeme stacionarnı body
3 Najdeme druhe parcialnı derivace
4 Pomocı Hessianu ve stacionarnıch bodech rozhodneme o existenci a druhulokalnıch extremu
5 Existenci lokalnıch extremu ve stacionarnıch bodech v nichz je hodnotaHessianu nulova a v bodech v nichz nektera z parcialnıch derivacı neexistujevysetrujeme na zaklade chovanı funkce v okolı techto bodu (casto velmiobtızne)
∣∣∣∣ = minus4 lt 0 rArr v bode (0 0) nenı lokalnı extrem
2 H(minus23minus23) =∣∣∣∣minus4 2
2 minus4
∣∣∣∣ = 12 gt 0 rArr v bode(minus 2
3minus 2
3
)je lokalnı extrem a protoze zprimeprimexx = minus4 lt 0 jedna se o lokalnı maximum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 12 35
Prıklad (Metoda nejmensıch ctvercu ndash 1 cast)
Predpokladejme ze je dan soubor n bodu (x1 y1) (x2 y2) (xn yn)Tyto body mohou byt zıskany naprıklad jako vysledek merenı velicin x a y kdypro hodnoty x1 x2 xn veliciny x byly namereny odpovıdajıcı hodnotyy1 y2 yn veliciny yPredpokladejme ze mezi velicinami x a y existuje vzajemny vztah Projednoduchost predpokladejme ze tento vztah je linearnı tj existujı koeficientya b tak ze platı
y = ax+ b
Teoreticky by tedy mely vsechny body lezet na jedne prımce To vsak neplatınebotrsquo namerene hodnoty jsou zatızeny chybami merenıNasım ukolem je aproximovat (vyrovnat) dany soubor bodu prımkou (tj najıtkoeficienty a b) jejız graf prochazı ldquoco nejblızerdquo danych bodu ldquoCo nejblızerdquoznamena pri metode nejmensıch ctvercu ze soucet ctvercu (druhych mocnin)rozdılu namerenych hodnot yi a hodnot na prımce axi + b je co nejmensıK nalezenı koeficientu a b je tedy potreba najıt minimum funkce
z(a b) = (ax1+bminusy1)2+(ax2+bminusy2)2+middot middot middot+(axn+bminusyn)2 =
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
1 Najdeme parcialnı derivace a polozıme je rovny nule
2 Vyresenım zıskane soustavy rovnic najdeme stacionarnı body
3 Najdeme druhe parcialnı derivace
4 Pomocı Hessianu ve stacionarnıch bodech rozhodneme o existenci a druhulokalnıch extremu
5 Existenci lokalnıch extremu ve stacionarnıch bodech v nichz je hodnotaHessianu nulova a v bodech v nichz nektera z parcialnıch derivacı neexistujevysetrujeme na zaklade chovanı funkce v okolı techto bodu (casto velmiobtızne)
∣∣∣∣ = minus4 lt 0 rArr v bode (0 0) nenı lokalnı extrem
2 H(minus23minus23) =∣∣∣∣minus4 2
2 minus4
∣∣∣∣ = 12 gt 0 rArr v bode(minus 2
3minus 2
3
)je lokalnı extrem a protoze zprimeprimexx = minus4 lt 0 jedna se o lokalnı maximum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 12 35
Prıklad (Metoda nejmensıch ctvercu ndash 1 cast)
Predpokladejme ze je dan soubor n bodu (x1 y1) (x2 y2) (xn yn)Tyto body mohou byt zıskany naprıklad jako vysledek merenı velicin x a y kdypro hodnoty x1 x2 xn veliciny x byly namereny odpovıdajıcı hodnotyy1 y2 yn veliciny yPredpokladejme ze mezi velicinami x a y existuje vzajemny vztah Projednoduchost predpokladejme ze tento vztah je linearnı tj existujı koeficientya b tak ze platı
y = ax+ b
Teoreticky by tedy mely vsechny body lezet na jedne prımce To vsak neplatınebotrsquo namerene hodnoty jsou zatızeny chybami merenıNasım ukolem je aproximovat (vyrovnat) dany soubor bodu prımkou (tj najıtkoeficienty a b) jejız graf prochazı ldquoco nejblızerdquo danych bodu ldquoCo nejblızerdquoznamena pri metode nejmensıch ctvercu ze soucet ctvercu (druhych mocnin)rozdılu namerenych hodnot yi a hodnot na prımce axi + b je co nejmensıK nalezenı koeficientu a b je tedy potreba najıt minimum funkce
z(a b) = (ax1+bminusy1)2+(ax2+bminusy2)2+middot middot middot+(axn+bminusyn)2 =
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
∣∣∣∣ = minus4 lt 0 rArr v bode (0 0) nenı lokalnı extrem
2 H(minus23minus23) =∣∣∣∣minus4 2
2 minus4
∣∣∣∣ = 12 gt 0 rArr v bode(minus 2
3minus 2
3
)je lokalnı extrem a protoze zprimeprimexx = minus4 lt 0 jedna se o lokalnı maximum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 12 35
Prıklad (Metoda nejmensıch ctvercu ndash 1 cast)
Predpokladejme ze je dan soubor n bodu (x1 y1) (x2 y2) (xn yn)Tyto body mohou byt zıskany naprıklad jako vysledek merenı velicin x a y kdypro hodnoty x1 x2 xn veliciny x byly namereny odpovıdajıcı hodnotyy1 y2 yn veliciny yPredpokladejme ze mezi velicinami x a y existuje vzajemny vztah Projednoduchost predpokladejme ze tento vztah je linearnı tj existujı koeficientya b tak ze platı
y = ax+ b
Teoreticky by tedy mely vsechny body lezet na jedne prımce To vsak neplatınebotrsquo namerene hodnoty jsou zatızeny chybami merenıNasım ukolem je aproximovat (vyrovnat) dany soubor bodu prımkou (tj najıtkoeficienty a b) jejız graf prochazı ldquoco nejblızerdquo danych bodu ldquoCo nejblızerdquoznamena pri metode nejmensıch ctvercu ze soucet ctvercu (druhych mocnin)rozdılu namerenych hodnot yi a hodnot na prımce axi + b je co nejmensıK nalezenı koeficientu a b je tedy potreba najıt minimum funkce
z(a b) = (ax1+bminusy1)2+(ax2+bminusy2)2+middot middot middot+(axn+bminusyn)2 =
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
∣∣∣∣ = minus4 lt 0 rArr v bode (0 0) nenı lokalnı extrem
2 H(minus23minus23) =∣∣∣∣minus4 2
2 minus4
∣∣∣∣ = 12 gt 0 rArr v bode(minus 2
3minus 2
3
)je lokalnı extrem a protoze zprimeprimexx = minus4 lt 0 jedna se o lokalnı maximum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 12 35
Prıklad (Metoda nejmensıch ctvercu ndash 1 cast)
Predpokladejme ze je dan soubor n bodu (x1 y1) (x2 y2) (xn yn)Tyto body mohou byt zıskany naprıklad jako vysledek merenı velicin x a y kdypro hodnoty x1 x2 xn veliciny x byly namereny odpovıdajıcı hodnotyy1 y2 yn veliciny yPredpokladejme ze mezi velicinami x a y existuje vzajemny vztah Projednoduchost predpokladejme ze tento vztah je linearnı tj existujı koeficientya b tak ze platı
y = ax+ b
Teoreticky by tedy mely vsechny body lezet na jedne prımce To vsak neplatınebotrsquo namerene hodnoty jsou zatızeny chybami merenıNasım ukolem je aproximovat (vyrovnat) dany soubor bodu prımkou (tj najıtkoeficienty a b) jejız graf prochazı ldquoco nejblızerdquo danych bodu ldquoCo nejblızerdquoznamena pri metode nejmensıch ctvercu ze soucet ctvercu (druhych mocnin)rozdılu namerenych hodnot yi a hodnot na prımce axi + b je co nejmensıK nalezenı koeficientu a b je tedy potreba najıt minimum funkce
z(a b) = (ax1+bminusy1)2+(ax2+bminusy2)2+middot middot middot+(axn+bminusyn)2 =
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
∣∣∣∣ = minus4 lt 0 rArr v bode (0 0) nenı lokalnı extrem
2 H(minus23minus23) =∣∣∣∣minus4 2
2 minus4
∣∣∣∣ = 12 gt 0 rArr v bode(minus 2
3minus 2
3
)je lokalnı extrem a protoze zprimeprimexx = minus4 lt 0 jedna se o lokalnı maximum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 12 35
Prıklad (Metoda nejmensıch ctvercu ndash 1 cast)
Predpokladejme ze je dan soubor n bodu (x1 y1) (x2 y2) (xn yn)Tyto body mohou byt zıskany naprıklad jako vysledek merenı velicin x a y kdypro hodnoty x1 x2 xn veliciny x byly namereny odpovıdajıcı hodnotyy1 y2 yn veliciny yPredpokladejme ze mezi velicinami x a y existuje vzajemny vztah Projednoduchost predpokladejme ze tento vztah je linearnı tj existujı koeficientya b tak ze platı
y = ax+ b
Teoreticky by tedy mely vsechny body lezet na jedne prımce To vsak neplatınebotrsquo namerene hodnoty jsou zatızeny chybami merenıNasım ukolem je aproximovat (vyrovnat) dany soubor bodu prımkou (tj najıtkoeficienty a b) jejız graf prochazı ldquoco nejblızerdquo danych bodu ldquoCo nejblızerdquoznamena pri metode nejmensıch ctvercu ze soucet ctvercu (druhych mocnin)rozdılu namerenych hodnot yi a hodnot na prımce axi + b je co nejmensıK nalezenı koeficientu a b je tedy potreba najıt minimum funkce
z(a b) = (ax1+bminusy1)2+(ax2+bminusy2)2+middot middot middot+(axn+bminusyn)2 =
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
∣∣∣∣ = minus4 lt 0 rArr v bode (0 0) nenı lokalnı extrem
2 H(minus23minus23) =∣∣∣∣minus4 2
2 minus4
∣∣∣∣ = 12 gt 0 rArr v bode(minus 2
3minus 2
3
)je lokalnı extrem a protoze zprimeprimexx = minus4 lt 0 jedna se o lokalnı maximum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 12 35
Prıklad (Metoda nejmensıch ctvercu ndash 1 cast)
Predpokladejme ze je dan soubor n bodu (x1 y1) (x2 y2) (xn yn)Tyto body mohou byt zıskany naprıklad jako vysledek merenı velicin x a y kdypro hodnoty x1 x2 xn veliciny x byly namereny odpovıdajıcı hodnotyy1 y2 yn veliciny yPredpokladejme ze mezi velicinami x a y existuje vzajemny vztah Projednoduchost predpokladejme ze tento vztah je linearnı tj existujı koeficientya b tak ze platı
y = ax+ b
Teoreticky by tedy mely vsechny body lezet na jedne prımce To vsak neplatınebotrsquo namerene hodnoty jsou zatızeny chybami merenıNasım ukolem je aproximovat (vyrovnat) dany soubor bodu prımkou (tj najıtkoeficienty a b) jejız graf prochazı ldquoco nejblızerdquo danych bodu ldquoCo nejblızerdquoznamena pri metode nejmensıch ctvercu ze soucet ctvercu (druhych mocnin)rozdılu namerenych hodnot yi a hodnot na prımce axi + b je co nejmensıK nalezenı koeficientu a b je tedy potreba najıt minimum funkce
z(a b) = (ax1+bminusy1)2+(ax2+bminusy2)2+middot middot middot+(axn+bminusyn)2 =
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
∣∣∣∣ = minus4 lt 0 rArr v bode (0 0) nenı lokalnı extrem
2 H(minus23minus23) =∣∣∣∣minus4 2
2 minus4
∣∣∣∣ = 12 gt 0 rArr v bode(minus 2
3minus 2
3
)je lokalnı extrem a protoze zprimeprimexx = minus4 lt 0 jedna se o lokalnı maximum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 12 35
Prıklad (Metoda nejmensıch ctvercu ndash 1 cast)
Predpokladejme ze je dan soubor n bodu (x1 y1) (x2 y2) (xn yn)Tyto body mohou byt zıskany naprıklad jako vysledek merenı velicin x a y kdypro hodnoty x1 x2 xn veliciny x byly namereny odpovıdajıcı hodnotyy1 y2 yn veliciny yPredpokladejme ze mezi velicinami x a y existuje vzajemny vztah Projednoduchost predpokladejme ze tento vztah je linearnı tj existujı koeficientya b tak ze platı
y = ax+ b
Teoreticky by tedy mely vsechny body lezet na jedne prımce To vsak neplatınebotrsquo namerene hodnoty jsou zatızeny chybami merenıNasım ukolem je aproximovat (vyrovnat) dany soubor bodu prımkou (tj najıtkoeficienty a b) jejız graf prochazı ldquoco nejblızerdquo danych bodu ldquoCo nejblızerdquoznamena pri metode nejmensıch ctvercu ze soucet ctvercu (druhych mocnin)rozdılu namerenych hodnot yi a hodnot na prımce axi + b je co nejmensıK nalezenı koeficientu a b je tedy potreba najıt minimum funkce
z(a b) = (ax1+bminusy1)2+(ax2+bminusy2)2+middot middot middot+(axn+bminusyn)2 =
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
∣∣∣∣ = minus4 lt 0 rArr v bode (0 0) nenı lokalnı extrem
2 H(minus23minus23) =∣∣∣∣minus4 2
2 minus4
∣∣∣∣ = 12 gt 0 rArr v bode(minus 2
3minus 2
3
)je lokalnı extrem a protoze zprimeprimexx = minus4 lt 0 jedna se o lokalnı maximum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 12 35
Prıklad (Metoda nejmensıch ctvercu ndash 1 cast)
Predpokladejme ze je dan soubor n bodu (x1 y1) (x2 y2) (xn yn)Tyto body mohou byt zıskany naprıklad jako vysledek merenı velicin x a y kdypro hodnoty x1 x2 xn veliciny x byly namereny odpovıdajıcı hodnotyy1 y2 yn veliciny yPredpokladejme ze mezi velicinami x a y existuje vzajemny vztah Projednoduchost predpokladejme ze tento vztah je linearnı tj existujı koeficientya b tak ze platı
y = ax+ b
Teoreticky by tedy mely vsechny body lezet na jedne prımce To vsak neplatınebotrsquo namerene hodnoty jsou zatızeny chybami merenıNasım ukolem je aproximovat (vyrovnat) dany soubor bodu prımkou (tj najıtkoeficienty a b) jejız graf prochazı ldquoco nejblızerdquo danych bodu ldquoCo nejblızerdquoznamena pri metode nejmensıch ctvercu ze soucet ctvercu (druhych mocnin)rozdılu namerenych hodnot yi a hodnot na prımce axi + b je co nejmensıK nalezenı koeficientu a b je tedy potreba najıt minimum funkce
z(a b) = (ax1+bminusy1)2+(ax2+bminusy2)2+middot middot middot+(axn+bminusyn)2 =
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
∣∣∣∣ = minus4 lt 0 rArr v bode (0 0) nenı lokalnı extrem
2 H(minus23minus23) =∣∣∣∣minus4 2
2 minus4
∣∣∣∣ = 12 gt 0 rArr v bode(minus 2
3minus 2
3
)je lokalnı extrem a protoze zprimeprimexx = minus4 lt 0 jedna se o lokalnı maximum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 12 35
Prıklad (Metoda nejmensıch ctvercu ndash 1 cast)
Predpokladejme ze je dan soubor n bodu (x1 y1) (x2 y2) (xn yn)Tyto body mohou byt zıskany naprıklad jako vysledek merenı velicin x a y kdypro hodnoty x1 x2 xn veliciny x byly namereny odpovıdajıcı hodnotyy1 y2 yn veliciny yPredpokladejme ze mezi velicinami x a y existuje vzajemny vztah Projednoduchost predpokladejme ze tento vztah je linearnı tj existujı koeficientya b tak ze platı
y = ax+ b
Teoreticky by tedy mely vsechny body lezet na jedne prımce To vsak neplatınebotrsquo namerene hodnoty jsou zatızeny chybami merenıNasım ukolem je aproximovat (vyrovnat) dany soubor bodu prımkou (tj najıtkoeficienty a b) jejız graf prochazı ldquoco nejblızerdquo danych bodu ldquoCo nejblızerdquoznamena pri metode nejmensıch ctvercu ze soucet ctvercu (druhych mocnin)rozdılu namerenych hodnot yi a hodnot na prımce axi + b je co nejmensıK nalezenı koeficientu a b je tedy potreba najıt minimum funkce
z(a b) = (ax1+bminusy1)2+(ax2+bminusy2)2+middot middot middot+(axn+bminusyn)2 =
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
∣∣∣∣ = minus4 lt 0 rArr v bode (0 0) nenı lokalnı extrem
2 H(minus23minus23) =∣∣∣∣minus4 2
2 minus4
∣∣∣∣ = 12 gt 0 rArr v bode(minus 2
3minus 2
3
)je lokalnı extrem a protoze zprimeprimexx = minus4 lt 0 jedna se o lokalnı maximum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 12 35
Prıklad (Metoda nejmensıch ctvercu ndash 1 cast)
Predpokladejme ze je dan soubor n bodu (x1 y1) (x2 y2) (xn yn)Tyto body mohou byt zıskany naprıklad jako vysledek merenı velicin x a y kdypro hodnoty x1 x2 xn veliciny x byly namereny odpovıdajıcı hodnotyy1 y2 yn veliciny yPredpokladejme ze mezi velicinami x a y existuje vzajemny vztah Projednoduchost predpokladejme ze tento vztah je linearnı tj existujı koeficientya b tak ze platı
y = ax+ b
Teoreticky by tedy mely vsechny body lezet na jedne prımce To vsak neplatınebotrsquo namerene hodnoty jsou zatızeny chybami merenıNasım ukolem je aproximovat (vyrovnat) dany soubor bodu prımkou (tj najıtkoeficienty a b) jejız graf prochazı ldquoco nejblızerdquo danych bodu ldquoCo nejblızerdquoznamena pri metode nejmensıch ctvercu ze soucet ctvercu (druhych mocnin)rozdılu namerenych hodnot yi a hodnot na prımce axi + b je co nejmensıK nalezenı koeficientu a b je tedy potreba najıt minimum funkce
z(a b) = (ax1+bminusy1)2+(ax2+bminusy2)2+middot middot middot+(axn+bminusyn)2 =
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
∣∣∣∣ = minus4 lt 0 rArr v bode (0 0) nenı lokalnı extrem
2 H(minus23minus23) =∣∣∣∣minus4 2
2 minus4
∣∣∣∣ = 12 gt 0 rArr v bode(minus 2
3minus 2
3
)je lokalnı extrem a protoze zprimeprimexx = minus4 lt 0 jedna se o lokalnı maximum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 12 35
Prıklad (Metoda nejmensıch ctvercu ndash 1 cast)
Predpokladejme ze je dan soubor n bodu (x1 y1) (x2 y2) (xn yn)Tyto body mohou byt zıskany naprıklad jako vysledek merenı velicin x a y kdypro hodnoty x1 x2 xn veliciny x byly namereny odpovıdajıcı hodnotyy1 y2 yn veliciny yPredpokladejme ze mezi velicinami x a y existuje vzajemny vztah Projednoduchost predpokladejme ze tento vztah je linearnı tj existujı koeficientya b tak ze platı
y = ax+ b
Teoreticky by tedy mely vsechny body lezet na jedne prımce To vsak neplatınebotrsquo namerene hodnoty jsou zatızeny chybami merenıNasım ukolem je aproximovat (vyrovnat) dany soubor bodu prımkou (tj najıtkoeficienty a b) jejız graf prochazı ldquoco nejblızerdquo danych bodu ldquoCo nejblızerdquoznamena pri metode nejmensıch ctvercu ze soucet ctvercu (druhych mocnin)rozdılu namerenych hodnot yi a hodnot na prımce axi + b je co nejmensıK nalezenı koeficientu a b je tedy potreba najıt minimum funkce
z(a b) = (ax1+bminusy1)2+(ax2+bminusy2)2+middot middot middot+(axn+bminusyn)2 =
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
∣∣∣∣ = minus4 lt 0 rArr v bode (0 0) nenı lokalnı extrem
2 H(minus23minus23) =∣∣∣∣minus4 2
2 minus4
∣∣∣∣ = 12 gt 0 rArr v bode(minus 2
3minus 2
3
)je lokalnı extrem a protoze zprimeprimexx = minus4 lt 0 jedna se o lokalnı maximum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 12 35
Prıklad (Metoda nejmensıch ctvercu ndash 1 cast)
Predpokladejme ze je dan soubor n bodu (x1 y1) (x2 y2) (xn yn)Tyto body mohou byt zıskany naprıklad jako vysledek merenı velicin x a y kdypro hodnoty x1 x2 xn veliciny x byly namereny odpovıdajıcı hodnotyy1 y2 yn veliciny yPredpokladejme ze mezi velicinami x a y existuje vzajemny vztah Projednoduchost predpokladejme ze tento vztah je linearnı tj existujı koeficientya b tak ze platı
y = ax+ b
Teoreticky by tedy mely vsechny body lezet na jedne prımce To vsak neplatınebotrsquo namerene hodnoty jsou zatızeny chybami merenıNasım ukolem je aproximovat (vyrovnat) dany soubor bodu prımkou (tj najıtkoeficienty a b) jejız graf prochazı ldquoco nejblızerdquo danych bodu ldquoCo nejblızerdquoznamena pri metode nejmensıch ctvercu ze soucet ctvercu (druhych mocnin)rozdılu namerenych hodnot yi a hodnot na prımce axi + b je co nejmensıK nalezenı koeficientu a b je tedy potreba najıt minimum funkce
z(a b) = (ax1+bminusy1)2+(ax2+bminusy2)2+middot middot middot+(axn+bminusyn)2 =
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
Predpokladejme ze je dan soubor n bodu (x1 y1) (x2 y2) (xn yn)Tyto body mohou byt zıskany naprıklad jako vysledek merenı velicin x a y kdypro hodnoty x1 x2 xn veliciny x byly namereny odpovıdajıcı hodnotyy1 y2 yn veliciny yPredpokladejme ze mezi velicinami x a y existuje vzajemny vztah Projednoduchost predpokladejme ze tento vztah je linearnı tj existujı koeficientya b tak ze platı
y = ax+ b
Teoreticky by tedy mely vsechny body lezet na jedne prımce To vsak neplatınebotrsquo namerene hodnoty jsou zatızeny chybami merenıNasım ukolem je aproximovat (vyrovnat) dany soubor bodu prımkou (tj najıtkoeficienty a b) jejız graf prochazı ldquoco nejblızerdquo danych bodu ldquoCo nejblızerdquoznamena pri metode nejmensıch ctvercu ze soucet ctvercu (druhych mocnin)rozdılu namerenych hodnot yi a hodnot na prımce axi + b je co nejmensıK nalezenı koeficientu a b je tedy potreba najıt minimum funkce
z(a b) = (ax1+bminusy1)2+(ax2+bminusy2)2+middot middot middot+(axn+bminusyn)2 =
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
Zıskanou soustavu dvou linearnıch rovnic o dvou neznamych a b lze psat v tomtotvaru
a
nsumi=1
x2i + b
nsumi=1
xi =
nsumi=1
xiyi
a
nsumi=1
xi + bn =
nsumi=1
yi
Resenım teto soustavy dostaneme stacionarnı bod minimalizovane funkce Da seukazat ze tento bod existuje jediny (za predpokladu ze x-ove souradnice vsechbodu nejsou stejne) a jedna se o minimum Resenım soustavy jsou tedy hledanekoeficienty prımky
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 16 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Prıklad (Nejlevnejsı bazen)
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
Urcete rozmery zahradnıho bazenu daneho objemu V s obdelnıkovym dnem takaby se na jeho vyzdenı spotrebovalo co nejmene materialu
S = xy + 2xz + 2yz V = xyz rArr z =V
xy
rArr S = xy +2V
y+
2V
xrarr min
partS
partx= y minus 2V
x2= 0rArr y =
2V
x2 dosadıme do druhe rovnice
partS
party= xminus 2V
y2= 0
xminus2Vx4
4V 2= 0rArr x
(1minus x3
2V
)= 0rArr
x = 0rArr nulovy objem
x = 3radic2V rArr y = 3
radic2V rArr z = 3
radicV4
Overenı ze se jedna o minimum - determinant z matice druhych derivacı∣∣∣∣ 4Vx3 11 4V
y3
∣∣∣∣ x=y=3radic2V
=
∣∣∣∣2 11 2
∣∣∣∣ = 3 gt 0 2 gt 0 rArr minimum
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 17 35
Vazane lokalnı extremy
Definice (Vazane lokalnı extremy)
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
Nechtrsquo f a g jsou funkce dvou promennych a (x0 y0) isin D(f) je bod ktery splnujepodmınku g(x0 y0) = 0 Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0)
vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) le f(x0 y0) (f(x y) ge f(x0 y0))
ostre vazane lokalnı maximum (minimum) vzhledem k vazebnı podmınceg(x y) = 0 jestlize existuje ryzı okolı bodu (x0 y0) tak ze pro vsechny body(x y) z tohoto okolı ktere splnujı podmınku g(x y) = 0 platıf(x y) lt f(x0 y0) (f(x y) gt f(x0 y0))
Poznamka
Vazebnı podmınka g(x y) = 0 vyjadruje vrstevnici funkce g na urovni 0 je to tedymnozina bodu (krivka) v rovine xy Najıt vazane etremy funkce f znamena najıtlokalnı extremy teto funkce pokud zuzıme definicnı obor funkce f na body lezıcına krivce g(x y) = 0
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 18 35
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 19 35
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
Postup pri vysetrovanı vazanych lokalnıch extremufunkce
Pokud lze z vazebnı podmınky vyjadrit y = ϕ(x) nebo x = ψ(y) prevede se ulohaurcenı vazanych lokalnıch extremu na ulohu urcenı lokalnıch extremu funkce jednepromennePredpokladejme naprıklad ze z vazebnı podmınky g(x y) = 0 je vyjadrenoy = ϕ(x)
Vztah y = ϕ(x) dosadıme do funkce f(x y) a hledame lokalnı extremyfunkce f(x ϕ(x)) jedne promenne x
Ma-li funkce f(x ϕ(x)) lokalnı extrem v x0 pak ma funkce f(x y) v bode(x0 ϕ(x0)) vazany lokalnı extrem stejneho typu vzhledem k zadane vazebnıpodmınce
Zcela analogicky postupujeme v prıpade ze z vazebnı podmınky mame vyjadrenox = ψ(y)Pokud nelze zadnou z promennych z vazebnı podmınky vyjadrit je mozne pouzıttzv metodu Lagrangeovych multiplikatoru (zajemci viz skripta)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 20 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Prıklad (vazane lokalnı extremy)
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
Najdete vazane lokalnı extremy funkce z = x2 + y2 pri vazebnı podmınce2x+ y = 1
Z vazebnı podmınky si vyjadrıme y = 1minus 2x a dosadıme do funkce
z = x2 + (1minus 2x)2 = 5x2 minus 4x+ 1
Vysetrıme lokalnı extremy zıskane funkce jedne promenne
zprime = 10xminus 4 = 0 =rArr x =2
5
Pomocı druhe derivace zprimeprime = 10 gt 0 nebo vysetrenım znamenka prvnı derivace vokolı stacionarnıho bodu x = 2
5 zjistıme ze funkce z = 5x2 minus 4x+ 1 ma v bodex = 2
5 lokalnı minimum
To znamena ze funkce z = x2 + y2 ma v bode (25 15) vazane lokalnıminimum (Druhou souradnici bodu dopocıtame dosazenım x = 25 doy = 1minus 2x)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 21 35
Absolutnı extremy
Definice (Absolutnı extremy)
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
Nechtrsquo f R2 rarr R M sube D(f) Rekneme ze funkce f ma v bode (x0 y0) isinMabsolutnı maximum (minimum) na mnozine M jestlize f(x y) le f(x0 y0)(f(x y) ge f(x0 y0)) pro kazde (x y) isinM Jsou-li nerovnosti pro(x y) 6= (x0 y0) ostre mluvıme o ostrych absolutnıch extremech
Z Weierstrassovy vety vyplyva
Veta
Nechtrsquo f R2 rarr R je spojita na uzavrene a ohranicene mnozine M sube D(f) Pakf nabyva svych absolutnıch extremu budrsquo v bodech lokalnıch extremu lezıcıchuvnitr M nebo v nekterem hranicnım bode
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 22 35
Postup pri vysetrovanı absolutnıch extremu funkce
1 Najdeme lokalnı extremy lezıcı uvnitr mnoziny M
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
2 Vysetrıme body na hranici mnoziny M Je-li hranice tvorena nekolika ruznymikrivkami rozdelıme ji na nekolik castı Vysetrıme vazane lokalnı extremy nakazde z techto castı hranice tj dosadıme rovnice krivek tvorıcı jednotlivecasti hranice do zadane funkce a vysetrujeme lokalnı extremy funkce jednepromenne
3 Pokud jsme hranici rozdelili na vıce castı urcıme body kde se jednotlive castispojujı (Prusecıky krivek tvorıcı hranici)
4 Ve vsech zıskanych bodech urcıme funkcnı hodnotu a vybereme ty body proktere je funkcnı hodnota nejvetsı (absolutnı maximum) a nejmensı (absolutnıminimum)
Poznamka
Vzhledem k tomu ze na zaver uvedeneho postupu porovnavame funkcnı hodnotyve vsech ldquopodezrelychrdquo bodech nenı nutne urcovat druh lokalnıch extremu uvnitrmnoziny ani druh vazanych lokalnıch extremu na hranici mnoziny Stacı tedy najıtstacionarnı body
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 23 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
2
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 1 cast)
Najdete absolutnı extremy funkce z = x2 minus 2x+ y2 minus 2y + 3 na trojuhelnıku s
vrcholy (0 0) (0 1) (1 0)
1 Stacionarnı body
zprimex = 2xminus 2 = 0 rArr x = 1
zprimey = 2y minus 2 = 0 rArr y = 1
=rArr stacionarnı bod (1 1) ndash nelezı v 4
x
y
0 1
1 6isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 24 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 2 cast)
2 Hranice
I y = 1minus x x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ (1minus x)2 minus 2(1minus x) + 3
= 2x2 minus 2x+ 2
zprime = 4xminus 2 = 0rArr x =1
2
=rArr bod
(1
21
2
)isin 4
II y = 0 x isin [0 1]
z = x2 minus 2x+ 3
zprime = 2xminus 2 = 0rArr x = 1
=rArr bod (1 0) isin 4
III x = 0 y isin [0 1]
z = y2 minus 2y + 3
zprime = 2y minus 2 = 0rArr y = 1
=rArr bod (0 1) isin 4
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 25 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 26 35
Prıklad (Absolutnı extremy ndash 3 cast)
3 Vrcholy (0 0) (0 1) (1 0) ndash dva z techto vrcholu jsme zıskali jiz vpredchozım vypoctu
Ve vsech zıskanych bodech(12
12
) (1 0) (0 1) (0 0) vypocteme funkcnı hodnotu
z(12 12) = 32
z(1 0) = 2
z(0 1) = 2
z(0 0) = 3x
y
0 1
1
12
12
min
max
Absolutnıho minima nabyva funkce v bode ( 12 12 ) jeho hodnota je 3
2
Absolutnıho maxima nabyva funkce v bode (0 0) jeho hodnota je 3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
V prıpade ze umıme dobre nakreslit vrstevnice funkce f a za predpokladu zemnozina M na nız hledame absolutnı extremy funkce f nenı prılis slozitamuzeme absolutnı extremy najıt graficky
1 V rovine xy zakreslıme mnozinu M a vrstevnice funkce f
2 Ze vsech vrstevnic ktere mnozinou M prochazejı nebo se jı dotykajıvybereme vrstevnici na nejnizsı urovni a vrstevnici na nejvyssı urovni
3 Absolutnı minimum (maximum) nastava v bodech pruniku vybranychvrstevnic s mnozinou M
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
Z obrazku je videt ze minimum se nachazı v bode kde se nejmensı kruznice(=vrstevnice s nejmensı hodnotou) dotkne mnoziny ndash bod ( 12
12 ) Maximum se
naopak nachazı v bode kde se nejvetsı kruznice (=vrstevnice s nejvetsı hodnotou)dotkne mnoziny ndash bod (0 0)
Simona Fisnarova (MENDELU) Extremy VMAT IMT 29 35
Prıklad (slovnı uloha ndash 1 cast)
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3
Na pile je mozne porezat za jednu smenu maximalne 100 m3 jehlicnate kulatiny a70 m3 listnate kulatiny Urcete kolik jehlicnate a listnate kulatiny se ma na pileporezat za jeden tyden (10 smen) aby mela pila co nejvetsı zisk Pritom
Jehlicnata kulatina stojı 1700 Kcm3 ma vyreznost 60 realizacnı cena je3500 Kcm3 Zbyvajıcıch 40 tvorı
odrezky 20 realizacnı cena 400 Kcm3
stepy 15 realizacnı cena 200 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Listnata kulatina stojı 1900 Kcm3 ma vyreznost 55 realizacnı cena je4000 Kcm3 Zbyvajıcıch 45 tvorı
odrezky 10 realizacnı cena 500 Kcm3
palivo 30 realizacnı cena 400 Kcm3
piliny 5 realizacnı cena 0 Kcm3 (zdarma)
Pila ma smlouvu na dodavku nejmene 30 m3 paliva tydne
Provoznı naklady na porezanı 1 m3 dreva cinı 300 Kc
Plocha skladu omezuje tydennı objem dreva na nejvyse 1200 m3