Expresiones Algebraicas

OPERACIONESALGEBRAICAS

I.Q. IGNACIO ROSALES ORTIZPROFESOR DE MATEMÁTICAS

e-mail: [email protected]

BREVE INTRODUCCIÓN

• Desde nuestros primeros años de estudiantes, nuestros profesores, nos enseñaron a utilizar números y letras; principalmente en GEOMETRÍA.

• De manera que, posiblemente de manera inconsciente, pero lo hicimos; empezamos a utilizar el ÁLGEBRA.

PRINCIPIOS BÁSICOS• El ÁLGEBRA, lo podemos definir en

forma sencilla, como la “generalización de la aritmética”; en ésta vamos a utilizar coeficientes y literales, en lugar de números concretos.

• Antes de abordar nuestros temas, vamos a comenzar nombrando algunos conceptos básicos en álgebra:– Los MONOMIOS– y los POLINOMIOS.

LOS MONOMIOS

• El MONOMIO, es la mínima expresión algebraica, en la cual consta de:

EJEMPLOS:

Donde:

LOS POLINOMIOS• El POLINOMIO, no es otra cosa que la

unión o sucesión de monomios unidos o interrelacionados por medio de un signo o alguna operación aritmética.

• Se pueden dividir de acuerdo al número de términos que consta:– BINOMIO: Polinomio de dos términos,– TRINOMIO: Polinomio de tres términos,– POLINOMIO: Se le da este nombre a los

que ya son mayores de cuatro términos.

EJEMPLOS:

Donde:Si marcamos con una “x”, los nombres de las siguientes expresiones, tenemos:

• Explicando un poco el polinomio.• Tomaremos la siguiente expresión:

• Como son dos términos, entonces se llama: BINOMIO.

• Tendiendo esto como base, entonces trabajaremos en lo siguiente:

PrimerTérmino

Signo que une

SegundoTérmino

SUMA DE

MONOMIOS

SUMA DE MONOMIOS• Nosotros cuando empezamos a aprender

cuestiones matemáticas, nuestros profesores, nos motivaron (posiblemente así lo fue) de la siguiente manera:

• Desde ese momento, nosotros indirectamente empezábamos a utilizar el álgebra, ya que de una imagen o representación lo asimilábamos con un número. Veamos:

• Representemos a cada manzana, por la letra “m”. Así que, nos queda de la siguiente manera:

• Retomando lo último, tenemos:

Sumamos las cuatro

“m”. El valor del

coeficiente de la letra

es 1.

• También lo podemos hacer como, se nos habían enseñado por medio de conjuntos. Tenemos, por ejemplo:

PROBLEMA

Enrique, tenía en su colección 4 carritos, y después adquirió otros 6 carritos. ¿Cuántos carritos tiene ahora?

Nos resta preguntar: ¿Cuántas “m´s” hay? Pues hay 4m.

• Ahora, representamos a los carritos con la letra “c”. Así, pues, tenemos:

• Retomando lo último, lo representamos en forma gráfica y tenemos lo siguiente:

4 Carritos

6 Carritos

10 Carritos

¡Y este es el

resultado!

• También podemos representar una suma de monomios con el cálculo del perímetro de una figura geométrica. Por ejemplo:

PROBLEMA

SUMADE

POLINOMIOS

• Partamos de un problema sencillo.PROBLEMA:

SUMA DE POLINOMIOS

• Comencemos con representarlo gráficamente:

El día de ayer José Antonio, compró 7 aviones y 3 soldados; y el día de hoy, se compró 3 aviones y 5 soldados más.

¿Cuántos aviones y soldados tiene ahora?

• Ahora, representamos a los aviones con “a” y a los soldados con “s”. Así, pues, tenemos:

• Retomando lo último, tenemos:

Para darle solución a este tipo de problemas, lo abordamos

sumando por columnas; es decir, literales que sean iguales; “a” con “a”

y “s” con “s”, en este caso.

Quedándonos de la siguiente forma:

¡Y este es el resultado!

Ahora sabemos que

tiene: 10 aviones y 8 soldados.

• Se puede encontrar de la siguiente forma también:

• A este fenómeno, también se le conoce como: REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES.

RESTADE

MONOMIOS

RESTA DE MONOMIOS

• Este tipo de ejercicio lo podemos abordar de igual manera que la suma, solo que ahora será sustracción de términos.

• Partamos de un problema sencillo.PROBLEMA:

Enriqueta tenía 10 muñecas en su alcoba, el día que llegó su prima, le regaló 3 de las que tenía. ¿Cuántas muñecas le quedan?

• Comencemos con representarlo gráficamente, (como Enriqueta regaló, entonces la operación será una sustracción). Por tanto, tenemos:

• Representamos a las muñecas con “m” y realizamos la operación sustractiva. Quedándonos de la siguiente forma:

• Aquí aplicamos lo que se aprendió, cuando se nos enseñó lo de suma y resta de números con signo. Recordemos:

¡Y este es el

resultado!

Lo podemos

representar de la

siguiente manera:

RESTADE

POLINOMIOS

RESTA DE POLINOMIOS• En este tipo de operaciones, lo que

debemos aplicar, ante todo son las leyes de los signos para la multiplicación.

• Recordemos:

• Y decimos, “signos iguales se suman, signos diferentes se restan”.

• Teniendo esto como base, realicemos un problema sencillo.

PROBLEMA:

Luis Enrique, tenía 9 chocolates y 6 caramelos; si se comió 4 chocolates y 3 caramelos, ¿cuántos chocolates y caramelos le quedan?

• Representamos gráficamente esta situación; ahora, marcaremos a los chocolates con “x” y a los caramelos con “y”, una vez teniendo esto, realizamos la operación sustractiva. Quedándonos de la siguiente forma:

• Colocándolo con las respectivas representaciones, nos queda:

• Retomando lo anterior, tenemos:En este caso, vamos a realizar la sustracción.El signo de la resta solo afecta al polinomio (binomio) que ese encuentra en el sustraendo, la parte del minuendo, se queda igual. Es decir:

El 4x, aunque no tiene signo pero se sobreentiende que es positivo.

Aplicamos las leyes de los signos y de la distribución para la multiplicación, sabemos que “menos por más, es menos”. Quedándonos así:

Realizamos las sumas o restas, por columnas como lo hicimos en la suma. 9x – 4x = 5x y 6y – 3y = 3y. Quedándonos por tanto, así:¡Y este es el

resultado!

SUMA Y RESTA DE

MONOMIOSY

POLINOMIOS

• Pueden presentarse, sumas y restas cuyos monomios llevan signo y exponente. Por ejemplo:

• Pueden presentarse, sumas y restas cuyos monomios y polinomios, llevan signo y exponente y teniendo otra manera de presentarlo. Por ejemplo:

MULTIPLICACIÓNDE

MONOMIOPOR

MONOMIO

MULTPLICACIÓN DE MONOMIO POR MONOMIO

• Para poder resolver este tipo de problemas, tenemos que aplicar las leyes de los signos y de los exponentes, para la multiplicación.

• Las leyes de los signos para la multiplicación, las hemos recordado; solo nos resta recordar la de los exponentes.

NOTA:Solo recordaremos las que son aplicables en forma general, para este tipo de operaciones.

• Veamos por ahora dos leyes de los exponentes, donde se aplica la multiplicación:

¡Es el mismo resultado!

• Ahora hagamos lo siguiente:

¡Es el mismo resultado!

• Una vez hecho el recordatorio, vayamos a realizar un ejercicio, donde apliquemos la multiplicación:

• Hagamos de cuenta que tenemos la siguiente situación:

Comenzamos por los signos: “menos por menos, es

más”

Posteriormente, nos pasamos a los coeficientes, en este

caso: 5 por 10, es 50

Por último nos vamos con las literales, en este caso como tienen exponentes, entonces

aplicamos las leyes de los exponentes.

• Dicho en otras palabras, tenemos: Aunque en la “y”

no tiene exponente, pero

se sabe que tiene el valor de 1.

MULTIPLICACIÓNDE

MONOMIOPOR

BINOMIO

MULTIPLICACIÓN DE MONOMIO POR BINOMIO

• Nuevamente, utilizaremos las leyes de los exponentes, de los signos y de la distribución para la multiplicación.

• Recordemos, cómo es la ley distributiva para la multiplicación:

Esta es la ley distributiva para la multiplicación y es

ésta la que vamos a ocupar en nuestra

operación.

• Partamos de un ejercicio para aplicar esta situación:

PROBLEMACalcular el área del siguiente rectángulo:


MULTIPLICACIÓNDE

POLINOMIOPOR

POLINOMIO

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIO POR POLINOMIO

• De igual manera, vamos a utilizar las leyes de los signos y de los exponentes.

PROBLEMACalcular el área del siguiente cuadrado:

Podemos abordar su cálculo, mediante el

desglose de cada una de las figuras, como está

compuesto por un cuadro grande, un pequeño y dos

rectángulos, podemos calcular el área de cada

una de ellas y luego sumarlas. Veamos:

• Si lo resolvemos dividiendo el cuadrado en partes, quedaría de la siguiente manera:

Como el área de un cuadrado es:

Sustituimos y nos queda:

Y como el área de un rectángulo es:

Sustituimos y nos queda:

Pero como son dos rectángulos iguales los sumamos y entonces tenemos lo siguiente:

• Retomando lo anterior (juntamos todas las áreas y las sumamos) tenemos:

Como tenemos términos

semejantes, entonces

reducimos:

Nos queda, por tanto, como:

¡Y este es el

resultado!

• También lo podemos resolver de la siguiente forma:

Como sabemos, cada lado mide (x + 2), entonces, aplicamos la fórmula para calcular el área de un cuadrado:

• Retomando lo anterior, tenemos:

Como tenemos términos

semejantes, entonces

reducimos:


Multiplicamos los términos para poder

encontrar el valor:

• Lo podemos resolver, también de la siguiente manera:

Multiplicamos cada uno de los términos del binomio de abajo por cada uno de los términos

del binomio de arriba.

Se va a colocar de tal forma que queden términos

semejantes para poder hacer la suma o resta

correspondiente.


DIVISIÓNDE

MONOMIOENTRE

MONOMIO

DIVISIÓN DE MONOMIO ENTRE MONOMIO

• De igual manera, vamos a utilizar las leyes de los signos y de los exponentes.

• Pero ahora, vamos a ocupar otra ley, que es aplicable a la división. Veamos:

PROBLEMARealizar la siguiente operación:

Calcular la altura del siguiente rectángulo, cuya área es:Y de base es:

• A lo que llegamos de conclusión:

• Aplicando este criterio realicemos el siguiente problema.

PROBLEMA

En la división de dos números de la misma base y elevados a un exponente cada

uno de ellos, va ser igual a la base elevado a la sustracción de sus

exponentes.

Sustituimos en esta fórmula despejada,

los valores tanto del área como de la

base.

• Retomando lo anterior, tenemos:Aquí comenzamos realizando las

operaciones: primero se inicia con los signos (“más entre más, es más”, en este caso como son

positivos ambos términos de la fracción, se sobreentiende la operación), posteriormente se

hace la operación de los coeficientes y por último las

literales, como tienen exponente aplicamos la ley del exponente

para la división (en caso la ley del exponente que se aplica, es:

Quedándonos de la siguiente forma:


DIVISIÓN DE

POLINOMIOENTRE

MONOMIO

DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE MONOMIO

• De igual manera, vamos a utilizar las leyes de los signos y de los exponentes, para la división.

• Partamos de un ejercicio.PROBLEMA

Calcular la Base del rectángulo, si de área tiene:

Y de altura:

• Sustituyendo los valores, tenemos:


Primero dividimos la fracción de dos partes (como

entonces la convertimos en una suma de monomio entre

monomio (éste tipo de operaciones las

realizamos en el tema anterior). Y

aplicamos las leyes de los signos.

DIVISIÓN DE

POLINOMIOENTRE

POLINOMIO

DIVISIÓN DE POLINOMIO ENTRE POLINOMIO

• En este tipo de problemas, lo podemos resolver por medio de dos métodos:– Por “algoritmo” de la división y– Por división sintética.• Para resolver estos problemas,

necesitaremos aplicar las leyes de los signos y de los exponentes para la división.

• Veamos, comenzaremos con el primer método:

NOTA:Sólo trataremos estos dos métodos, para darle solución a una división entre polinomios.

a) “ALGORITMO” DE LA DIVISIÓN

• Antes de abordar la solución a este tipo de problemas, pongamos unas reglas:– Se ordenan ambos polinomios en orden

decreciente respecto al grado de la variable.

– Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor, con lo que se obtiene el primer término del cociente.

– Al dividendo se le resta el producto del divisor por el primer término del cociente y se obtiene un primer residuo.

– Se divide el primer término de este residuo entre el primer término del divisor, con lo que se obtiene el segundo término del cociente.

– Se procede de manera similar hasta obtener un residuo cero o de grado menor que el divisor.

– Se comprueba el resultado verificando que:(cociente) (divisor) + residuo = dividendo.

• Comencemos con un ejercicio:


Este término lo vamos a colocar en la parte superior de nuestra división, en la segunda posición donde van los términos que tienen solo una “x” (como sabemos el exponente

es 1, no se pone porque se sobreentiende). Quedándonos así:


Una vez realizada la multiplicación de 2x (3x -2); los colocamos en

la parte inferior de nuestra división. Pero aquí hay una

característica, como estamos dividiendo vamos a cambiar los signos, es decir, 2x (-2) = - 4x, pero como estamos dividiendo el resultado lo ponemos como + 4x; al igual que, 2x (3x) = 6x ,

como estamos dividiendo, lo ponemos como - 6x .

Realizamos las sumas y restas correspondientes, quedándonos así:

Ahora, bajamos el último término, que en este caso es: + 4.


De igual manera, éste número lo colocamos en la parte superior

de nuestra de división (cociente) y multiplicamos el

número por el divisor.


Nuevamente, multiplicamos -2(3x -2); poniendo el resultado en la parte

inferior de la división. Recordando sólo que,

como estamos dividiendo hay que cambiar el signo

(en -2(3x) = - 6x, pero como estamos en la división

queda: + 6x; de igual forma -2(-2) = + 4, pero como

estamos dividiendo queda: - 4). Así, pues, tenemos:

Realizamos las sumas y restas correspondientes, nos queda

cero en ambos términos, dándonos a entender que es

exacta la división

• Retomando lo anterior, concluimos:


¡FELICIDADES!

b) DIVISIÓN SINTÉTICA• Este método lo único que tenemos que

hacer es lo siguiente:– En primer lugar, dejamos de escribir las

potencias de “x” y únicamente escribimos los coeficientes;

– En segundo lugar, sólo escribimos las operaciones relevantes.

• Partimos de una situación, el término del divisor es:

• (x – a)

• (x – a), es el término del divisor. Por ejemplo:• Si tuviéramos: (x – 3), el valor de a = 3; en el

caso de tener: (x + 3), ahora el valor de a = - 3.


PROBLEMAResolver la siguiente operación:

Primero, tomamos el valor de “a” y lo colocamos en un casillero, éste nos va a servir de

multiplicador. Posteriormente, colocamos en línea los valores de los coeficientes en forma descendente (el 2 corresponde al valor del x al cuadrado, el 8 del término en x y el – 10 el término independiente). Finalmente, bajamos

el primer término (en este caso es, 2).

• Una vez, teniendo esto, nos vamos a las operaciones:

El valor de “a” que es – 5, lo vamos a multiplicar por 2 y el resultado lo colocamos en la parte intermedia debajo del segundo

término, luego sumamos las dos cantidades: 8 – 10 = - 2. Quedándonos así:

Descrito gráficamente lo anterior, así es lo que

tenemos. Una vez teniendo esto, pasamos al paso

siguiente que es:


Multiplicar el valor de “a” que es – 5, por el número

encontrado en la última suma que es, - 2;

quedándonos así: (- 5)(- 2) = + 10. Y luego realizamos la

suma, dándonos como resultado: cero (0). Esto significa que es exacta

nuestra división.

• Retomando lo anterior, concluimos:

Estos dos números son los que vamos a tomar, pero los

vamos a tomar de la siguiente manera: El primer 2 corresponderá al primer término: “2x” y el segundo,

será el otro término así como está, sin incógnita: -

2. El último número corresponderá al residuo,

en este caso, no hay residuo.

• El resultado es:

(2x – 2)


¡FELICIDADES!

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