329 Experimentalphysik II (Kip SS 2007) Zusatzvorlesungen: Z-1 Ein- und mehrdimensionale Integration Z-2 Gradient, Divergenz und Rotation Z-3 Gaußscher und Stokesscher Integralsatz Z-4 Kontinuitätsgleichung Z-5 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen Z-6 Berechnung von Magnetfeldern
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Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Zusatzvorlesungen:
Z-1 Ein- und mehrdimensionale IntegrationZ-2 Gradient, Divergenz und RotationZ-3 Gaußscher und Stokesscher IntegralsatzZ-4 KontinuitätsgleichungZ-5 Elektromagnetische Felder an GrenzflächenZ-6 Berechnung von Magnetfeldern
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Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Z-5.1 Elektrisches Feld
Es soll nun das Verhalten des elek-trischen Feldvektors an einer Grenz-fläche zweier Medien mit den Dielek-trizitätskonstanten ε1 und ε2 bestimmt werden.
(i) Tangentiale Komponente
Wir betrachten einen rechteckigen Weg innerhalb der beiden Medien, wobei die beiden senkrechten Weg-stücke infinitesimal klein sein sollen:
Dann gilt im Fall der Elektrostatik für das Integral über diesen ge-schlossenen Weg:
Die Tangentialkomponente des elektri-schen Feldes ist an der Grenzfläche zweier Medien stetig.
Z-5 El.-magn. Felder an Grenzflächen
1E�
r�∆
r�∆−
2E�
1ε
2ε
||,2||,1
||,2||,1
||,2||,1
0)(
0)(
0
EE
rEE
rErE
rdEr
��
���
����
��
�
=�
=∆⋅−�
=∆−⋅+∆⋅�
=⋅�
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Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
(ii) Senkrechte Komponente
Wir betrachten nun die folgende zylinderförmige „Dose“ innerhalb der beiden Medien, wobei die Höhe der Dose infinitesimal klein sein soll.
Dann gilt wegen der 1. Maxwell-Gleichung für das geschlossene Ober-flächenintegral über das Feld der dielektrischen Verschiebung im Fall, dass sich keine freien Ladungen an der Grenzfläche befinden:
( )( )
1, 2,
1, 2,
1, 2,
0
0
0
D dA
D A D A
D D A
D D
⊥ ⊥
⊥ ⊥
⊥ ⊥
⋅ =
� ⋅∆ + ⋅ −∆ =
� − ⋅∆ =
� =
����
� �� �
�� �
� �
��
Wegen
folgt daraus:
Die senkrechte Komponente des elek-trischen Feldes ändert sich an der Grenzfläche zweier Medien unstetig.
A�
∆
A�
∆−
1 1,D E� �
2 2,D E� �
1ε
2ε ED��
0εε=
⊥⊥ = ,22,11 EE��
εε
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Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Für den Übergang des Feldes an einer Grenzfläche gilt dann:
Die Division beider Gleichungen ergibt:
Aus den Stetigkeitsbedingungen erhält man so ein "Brechungsgesetz" für elektrische Feldlinien beim Übergang zwischen zwei Medien.
1E�
2E�
1,E ⊥
�
2,E ⊥
�
2,||E�
1,||E�
1α
2α1ε
2ε
222111|
2211||
coscos:
sinsin:
αεαεαα
EEE
EEE
=
=
⊥
2
1
2
1
22
11
tantan
tan1
tan1
εε
αα
αε
αε
=�
=
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Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
12 εε > 12 εε <
��
Feld einer Punktladung vor einer Grenzfläche, die zwei Medien trennt
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Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Dielektrische Kugel im äußeren elektrischen Feld
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Z-5.2 Magnetisches Feld
Die 2. Maxwell-Gleichung lautet:
Anwenden auf die „infinitesimale Dose“ rechts ergibt:
Die senkrechte Komponente des B-Feldes ist an einer Grenzfläche stetig.
(i) Senkrechte Komponente
1,B ⊥
2,B ⊥
1µ2µ
0=⋅� AdB��
0)(,2,1 =∆−+∆=⋅ ⊥⊥� ABABAdB��
⊥⊥⊥⊥
⊥⊥
==�
∆−=∆
,22,11,2,1
,2,1
,
)(
HHBB
ABAB
µµ
(ii) Tangentiale Komponente
Da an der Grenzfläche keine äußeren Ströme fließen, liefert das Ampèresche Gesetz für den Weg entlang des „infinitesimalen Rechtecks“:
0=⋅� rdH��
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Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Also folgt:
Die tangentiale Komponente des B-Feldes ist an der Grenzfläche unstetig.
1µ2µ
⊥,1H⊥,2H
0)(||,2||,1 =∆−+∆=⋅� rHrHrdH��
2
||,2
1
||,1||,2||,1
||,2||,1
,
)(
µµBB
HH
rHrH
==�
∆−=∆
Merkregel: "BNET"
Die Normalkomponenten des B-Feldes und die Tangentialkomponenten des E-Feldes sind stetig.
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