Exposición de matemática 11º

LÍNEA R

ECTA

M A R Í A F E R N A N D A M O N T A L V O F

A N A M A R Í A P A L A C I O O R O Z C O

LUGAR GEOMÉTRICO

. Un lugar geométrico se define

con el conjunto de todos los puntos del plano que tienen una característica en común.

Todo lugar geométrico se fundamento en una ecuación.

Y una ecuación geométrica se origina por la relación de proporcionalidad que se establece entre las coordenadas de los puntos del lugar.

Por el teorema de Pitágoras determinamos la relación entre las coordenadas del punto del lugar geométrico, así:

𝑥2+ 𝑦2=82

𝑥2+ 𝑦2=64Esta ecuación corresponde a la ecuación de la circunferencia cuyo radio mide 8 unidades.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

d(P1,p2)=d

d2= (x2-x1)2 + (y2-y1)2

d=

d(P1,P2) =

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

Calcula la distancia entre los puntos P(5,4) y Q(-3,-2)

d(P,Q) = =

=

d(P,Q) = d(P,Q) =10µ

PENDIENTE DE UNA RECTA

Toda recta que corta al eje x forma con ese eje dos ángulos suplementarios . () <= <α (por correspondiente)

Los ángulos correspondientes son los que están situados aun mismo lado de las secantes o transversal el uno interno y el otro externo pero no adyacente.

Si θ es el ángulo de inclinación de la recta l ,y θ ≠ 0, entonces la pendiente m de la recta l se define así:

m=tgθTgθ=

Luego m = =

Ejemplo: Hallar la pendiente de la recta que pasa por los puntos (7,5) y (-2,-4) y determinas el ángulo de inclinación

=

Tgθ=1θ= Tg-1(1)θ= 45º

EJERCICIO DE APLICACIÓN

Hallar la pendiente de la recta que pasa por cada par de puntos:

a) P(-3,-2), Q(-6,2)

= =

b) W(2/3 , 1) , V(1/3 , 1/5)

=

𝑚=−43

𝑚=125

Encuentra el ángulo de inclinación θ con respecto a las horizontal de la recta que pasa por el origen y el punto dado

M=tgθ

Tgθ= = == =0,25

(-8,-2), (0,0)

θ=(0,25)

θ= 14,03º

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA

X=

Y=

EJEMPLO DE APLICACIÓN

Encontrar las coordenadas del punto medio del segmento que une cada par de puntos .

1) 0(2,6), P(-3,-2)

X= = y= = =2

2. Y(-2,), Z(- , 4)

=

2) Y(-2,), Z(- , 4)

=

𝑋=−106𝑋=−

53

𝑌=

12+42

=

1+822

=

9221𝑌=

94

ECUACIÓN CANÓNICA O REDUCIDA DE LA RECTA

Y=mx+b

Pendiente InterceptoDeterminar la pendiente y el punto de corte en eje “y”

Y=m-5 y=3+4x

M=2 P(0,-5) (punto de corte con eje “y”)

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA

AX + BY + C = 0

Dado y=2x-5, expresarlo como ecuación general:

-2x+y+5=0

AX+BY+C

A=-2 B= 1 C=5

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

Determina la pendiente y el intercepto con el eje y, de las recta cuya ecuación es 3x+2y-5=0.

2y=-3x+5

Y= - x +

Pἱ (0.)

𝑚=−32

Grafica la recta que pasa por el punto P y tiene pendiente m, luego escribir su ecuación en forma canónica :

* P(1 , 3) , m=2

Y= mx + b

3= 2(1)+b

3=2+b

3-2=b b=1 Pἱ(0, 1)

POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS EN EL PLANO

1) Rectas coincidentes:

Ax+Bx+c= 0 A’x+B’x+c’=0

Ejemplo:

6x-4y+8=0 y 12x-8y+16=0

= = K

Se puede comprobar que los coeficientes respectivos son múltiplos entre si:

Grafica: 6x-4y+8=0

Corte con eje “y”: x=0 : 6(0)-4y+8=0 -4y= -8

(Pἱ)y = (0,2) y=

Corte con eje “x”: y=0 : 6x-4(0)+8=0 6x= -8

(Pἱ)x= (, 0) x= x=

Grafica: 12x-8y+16=0

Corte con “y”: x=0 : 12(0)-8y+16=0 -8= -16

(Pἱ)y= (0.2) y= y=2

Corte con eje “x”: y=0: 12x-8(0)+16=0 12x=-16 x=

(Pἱ)x= (,0) x=

RECTAS SECANTES

Son aquellas que se cortan en un solo punto

Ejemplo: 3x – 2y = -2 y 5x + 3y = 22

Podemos comprobar que estas dos rectas se cortan en el punto (2,4)

Grafica de: 3x – 2y = -2

Corte con “y”= x=0: 3(0) - 2y = -2 -2y= -2 y= y=1

(Pi)y=(0.1)

Corte con “x”: y=0: 3x – 2(0) = -2 3x= -2 x=

(Pi)x=

Grafica de: 5x + 3y = 22

Corte con “y”: x=0 : 5(0) + 3y =22 y=

(Pi)y=

Corte con “x”: y=0 : 5x + 3(0) = 22 5x= 22 x=

(Pi)x=

SOLUCIÓN GRAFICA( punto de corte de las 2 rectas) . Es la solución del sistema.

ANGULO ENTRE DOS RECTAS SECANTES

θ2= θ2 ( Alternos Internos)

Θ1= θ1 (Por correspondientes )

θ2= θ2 ( Opuesto por el vértice)

Ejemplo:

Encontrar la medida del ángulo de la recta -3x+2y=-1 a la recta 2x-3y=-6

En la recta -3x+2y=-1 la pendiente M1 es :

2y=3x-1

y=x - M1=

θ= 22,6

θ

En la recta 2x -3y = -6 la pendiente m2 es :

-3y= -2x-6

y=x

y=x+2 m2 =

RECTAS PARALELAS

RECTAS PERPENDICULARES

Como tg90º no esta definida entonces, en la expresión

El denominador es igual a cero:Es decir:

EJERCICIO DE APLICACIÓN

Determina la posición…

X + y = 3 x + y = 3

2x – 6 = 2y 2x -2y =6Son coincidentes.