Institut Montjoie Mathématique 6 ème année M. Decamps Page 1 exponentielles et logarithmes A la Renaissance, le développement de l’astronomie, du commerce et de la navigation fait émerger de nouveaux groupes, tels que les celui des astronomes-astrologues, qui génèrent au cours des XVI e et XVII e siècles, une somme considérable d’œuvres, d’idées et de techniques nouvelles sur lesquelles la société va s’appuyer, et la science classique se construire. L’invention des logarithmes découle du besoin qu’ont les astronomes, les commerçants ou encore les navigateurs de disposer de méthodes de calcul simples pour effectuer des multiplications, des divisions, ou extraire des racines. C’est dans ce contexte qu’en 1614, John Neper crée des tables de calcul utilisant les logarithmes (dont la couverture est reproduite à gauche). Il n’imaginait pas créer de nouvelles fonctions, mais seulement une méthode pour calculer des produits en effectuant des sommes. Ce type de tables a été utilisé pendant plus de 300 ans, jusqu’à la deuxième moitié du XX e siècle, quand des calculatrices performantes sont devenues accessibles au grand public. La notion de fonction et le lien entre les exponentielles et les logarithmes n’apparaissent qu’à la fin du XVII e siècle. Les exponentielles et les logarithmes dépasseront largement le cadre des calculs numériques imaginés par Neper pour s’imposer comme des notions fondamentales de l’analyse mathématique. Dans ce chapitre, nous nous intéresserons plus particulièrement à cette nature fonctionnelle et aux utilisations pratiques des exponentielles et des logarithmes.
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exponentielles et
logarithmes
A la Renaissance, le développement de l’astronomie, du commerce et de la navigation fait
émerger de nouveaux groupes, tels que les celui des astronomes-astrologues, qui génèrent au cours
des XVIe et XVIIe siècles, une somme considérable d’œuvres, d’idées et de techniques nouvelles sur
lesquelles la société va s’appuyer, et la science classique se construire.
L’invention des logarithmes découle du besoin
qu’ont les astronomes, les commerçants ou encore les
navigateurs de disposer de méthodes de calcul simples pour
effectuer des multiplications, des divisions, ou extraire des
racines. C’est dans ce contexte qu’en 1614, John Neper crée
des tables de calcul utilisant les logarithmes (dont la
couverture est reproduite à gauche). Il n’imaginait pas
créer de nouvelles fonctions, mais seulement une méthode
pour calculer des produits en effectuant des sommes. Ce
type de tables a été utilisé pendant plus de 300 ans, jusqu’à
la deuxième moitié du XXe siècle, quand des calculatrices
performantes sont devenues accessibles au grand public.
La notion de fonction et le lien entre les
exponentielles et les logarithmes n’apparaissent qu’à la fin
du XVIIe siècle. Les exponentielles et les logarithmes
dépasseront largement le cadre des calculs numériques
imaginés par Neper pour s’imposer comme des notions
fondamentales de l’analyse mathématique.
Dans ce chapitre, nous nous intéresserons plus
particulièrement à cette nature fonctionnelle et aux utilisations pratiques des exponentielles et des
logarithmes.
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1.1 Rappel : les puissances
Pour tout réel 𝑎, et pour tous naturels 𝑛, 𝑝 et 𝑞.
𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ … ∙ 𝑎 𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠
avec 𝑎 > 0, par exemple :
𝑎−𝑛 = 1𝑎𝑛 𝑎
𝑝𝑞 = √𝑎𝑝𝑞
30 = 1
31 = 3 3-1 = 1/3 31/2 = √ 3 ≈ 1,73
32 = 9 3-2 = 1/9 32/3 = √323 ≈ 2,08
33 = 27 3-3 = 1/27 3-1/2 = 1/√ 3 ≈ 0,58
avec 𝑎 < 0, par exemple :
(-3)0 = 1
(-3)1 = -3 (-3)-1 = -1/3 (-3)1/2 = √−3
(-3)2 = 9 (-3)-2 = 1/9 racine carrée d’un nombre négatif : ne fait pas
partie de l’ensemble ℝ
(-3)3 = -27 (-3)-3 = -1/27 (-27)1/3= √−273 = −3
On remarque que si 𝑎 < 0, certaines puissances fractionnaires ne peuvent pas être calculées.
Le résultat est toujours positif si 𝑎 est positif, et le résultat peut être négatif ou positif si 𝑎 est
négatif.
On peut étendre les définitions du début du paragraphe à tout exposant 𝑛, 𝑝 et 𝑞 réel.
Pour tous réels strictement positifs 𝑥, 𝑦 et pour tous réels 𝑝 et 𝑞, on a les propriétés suivantes:
𝑥𝑝. 𝑥𝑞 = 𝑥𝑝+𝑞
𝑥𝑝𝑥𝑞 = 𝑥𝑝−𝑞
(𝑥. 𝑦)𝑝 = 𝑥𝑝. 𝑦𝑝
(𝑥𝑦)
𝑝= 𝑥𝑝
𝑦𝑝
(𝑥𝑝)𝑞 = 𝑥𝑝.𝑞
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1.3 Synthèse
1.3.1 Fonction exponentielle
1.3.1.1 Définitions
Le réel dont on calcule la puissance est appelé base et est noté 𝑎.
• 𝑎 > 0
• 𝑎 ≠ 0 car 0𝑥 = 0 ∀𝑥 : fonction constante
• 𝑎 ≠ 1 car 1𝑥 = 1 ∀𝑥 : fonction constante
La fonction 𝑎𝑥 : ℝ → ℝ0+ : 𝑥 → 𝑦 = 𝑎𝑥 est appelée fonction exponentielle en base 𝑎
1.3.1.2 Propriétés et graphes
Avec 𝑎 > 1
Par exemple, soit 𝑓(𝑥), la
fonction exponentielle en
base 2:
𝑓: ℝ → ℝ0+: 𝑥 → 𝑦 = 2𝑥
Propriétés :
• 𝐷𝑜𝑚 𝑎𝑥 = ℝ
• 𝐼𝑚 𝑎𝑥 = ℝ0+
• les points (0,1) et
(1, 𝑎)appartiennent au graphe de 𝑎𝑥
• le graphe admet une asymptote horizontale à gauche en 𝑦 = 0, c’est-à-dire lim𝑥→−∞ 𝑎𝑥 = 0
• lim𝑥→+∞ 𝑎𝑥 = +∞
• la fonction est croissante
Avec 0 < 𝑎 < 1
Par exemple, soit 𝑔(𝑥), la
fonction exponentielle en
base 12 :
𝑔: ℝ → ℝ0+: 𝑥 → 𝑦 = (12)
𝑥
Propriétés :
• 𝐷𝑜𝑚 𝑎𝑥 = ℝ
• 𝐼𝑚 𝑎𝑥 = ℝ0+
• les points (0,1) et (1, 𝑎)appartiennent au graphe de 𝑎𝑥
• le graphe admet une asymptote horizontale à droite en 𝑦 = 0, c’est-à-dire lim𝑥→+∞ 𝑎𝑥 = 0
• lim𝑥→−∞ 𝑎𝑥 = +∞
• la fonction est décroissante
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1.3.3 Fonction logarithme
La fonction 𝑎𝑥 : ℝ0+ → ℝ : 𝑥 → 𝑦 = log𝑎 𝑥 est appelée fonction logarithme en base 𝑎.
Elle est définie comme étant la réciproque de la fonction exponentielle en base 𝑎, c’est-à-dire :
𝑦 = log𝑎 𝑥
⇔ 𝑥 = 𝑎𝑦
𝐥𝐨𝐠𝒂𝐱 est donc l’exposant qu’il faut mettre à 𝒂 pour obtenir 𝒙, c’est-à-dire :
𝒂𝐥𝐨𝐠𝒂𝒙 = 𝒙
Avec 𝑎 > 1
Par exemple, soit 𝑓(𝑥), la fonction
logarithme en base 2:
𝑓: ℝ0+ → ℝ: 𝑥 → 𝑦 = log2 𝑥
Application numérique:
• log22 = 𝟏 car 2𝟏 = 2
• log212 = −𝟏 car 2−𝟏 = 1
2
• log28 = 𝟑 car 2𝟑 = 8
• log2 √645 = 𝟔𝟓 car 2𝟔
𝟓 = √265
Avec 0 < 𝑎 < 1 Par exemple, soit 𝑔(𝑥), la fonction
logarithme en base 12 :
𝑔: ℝ0+ → ℝ: 𝑥 → 𝑦 = log12 𝑥
Application numérique :
• log122 = −𝟏 car (1
2)−𝟏 = 2
• log12
1√8 = 𝟑
𝟐 car (12)
𝟑𝟐 = 1
√8
• log1264 = −𝟔 car (1
2)−𝟔 = ((1
2)−1)6
= (2)6 = 64
Propriétés
• 𝐷𝑜𝑚 log𝑎 𝑥 = ℝ0+
• 𝐼𝑚 log𝑎 𝑥 = ℝ
• les points (1,0) et
(𝑎, 1)appartiennent au graphe de
log𝑎 𝑥
• le graphe admet une asymptote
verticale en 𝑥 = 0, c’est-à-dire
lim𝑥→0 log𝑎 𝑥 = ±∞
• lim𝑥→+∞ log𝑎 𝑥 = ±∞
• Pour 𝑎 > 1, la fonction est
croissante. Si 𝑎 > 0 et 𝑎 < 1, la
fonction est décroissante
x y
1/4 2
1/2 1
1 0
2 -1
4 -2
log1/2x
1/2; 1
1; 0
-2
-1
0
1
2
3
0 1 2 3 4 5
x
y
x y
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
log2x
1; 0
2; 1
-2
-1
0
1
2
3
0 1 2 3 4 5
x
y
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Exercice 1
(P1: Connaître) Calcule sans calculatrice et donne l’exponentielle associée (comme dans
l’introduction théorique ci-dessus).
a. log3 1 = car 3…. =
b. log3 9 = car 3…. =
c. log31
27 = car 3…. =
d. log3 √814 = car 3…. =
e. log13
1 = car (13)…
=
f. log13
9 = car (13)…
=
g. log13
19 = car (1
3)…=
h. log13
√2434 = car (13)…
=
Exercice 2
(P1 : Connaître) Calcule les limites suivantes.
a. lim𝑥→∞ 4𝑥
b. lim𝑥→−∞ 2𝑥
c. lim𝑥→−∞ (13)𝑥
d. lim𝑥→−∞ (13)1−𝑥
e. lim𝑥→+∞ 2−𝑥
f. lim𝑥→−∞ 2𝑥2
g. lim𝑥→0 log12
𝑥
h. lim𝑥→0 log2 𝑥
i. lim𝑥→+∞ log12
𝑥 j. lim𝑥→−∞ log12
𝑥
k. lim𝑥→−∞ log0.55(−𝑥) l. lim𝑥→−∞ log0.55(𝑥)
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1.4 Propriétés des logarithmes
1.4.1 Découverte
Complète la deuxième ligne des 3 tableaux et indique les opérations correspondant aux flèches
sous les tableaux en remplissant les pointillés. Trouve une formule générale en réécrivant les
opérations en fonction des réels positifs 𝑥 et 𝑦 et du réel 𝑛.
(P1 : Connaître) Calcule en utilisant la formule de changement de base. Ecris la formule appliquée
à l’exercice, ensuite calcule le résultat avec ta calculatrice.
a. log0.6 12 =
b. log5.2 4.1 =
c. log4 2000 =
d. log1.56 𝜋 =
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1.5 Modélisation
1.5.1 Introduction
Modéliser, c’est traduire une situation réelle dans un langage mathématique dans le but de lui
appliquer des outils mathématiques, pour déduire des indications sur la situation réelle étudiée.
Voici par exemple une situation réelle :
« Un père de famille a un revenu net de 1500€ et a quatre filles. Chaque mois il doit payer les charges
du ménage s’élevant à 1275 €, et il distribue le reste à ses filles. L’aînée reçoit le double de ce que
reçoit la deuxième ou la troisième fille, et la plus petite reçoit la moitié de ce que reçoit la deuxième
ou la troisième. La deuxième fille se demande combien elle recevra. »
L’inconnue de ce problème est le montant que recevra la deuxième fille chaque mois, assignons à
ce montant une valeur inconnue 𝑥.
On modélise ce problème en le traduisant en une équation mathématique, qu’on résoudra avec les
outils qu’on a appris à maîtriser les années précédentes. Voici un exemple de modèle de cette
situation :
1500 = 1275 + 2𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥2
⇔ 225 = 9𝑥2
⇔ 2259 = 𝑥
⇔ 𝑥 = 25
Et on en déduit que la deuxième fille recevra 25€ chaque mois.
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1.5.2 Modélisation par exponentielles et logarithmes
Dans ce paragraphe, nous nous attacherons à modéliser des situations à l’aide des outils que nous
venons de découvrir, les exponentielles et les logarithmes.
Nous utiliserons des équations, qui font apparaître des égalités et des inéquations qui font
apparaître des inégalités (>, <, ≥, ≤) et on utilisera nos nouveaux outils pour trouver la réponse
au problème posé.
Nous avons résolu toutes sortes de problèmes dans la section 1.2, en utilisant nos facultés de
raisonnement mais sans modéliser, c’est-à-dire sans écrire d’équation. Nous allons ici faire
l’exercice de modéliser ces situations.
Reprenons les situations décrites au point 1.2.1 :
« Une équipe de scientifiques étudie l’évolution de la taille de la population d’une espèce de
bactéries. Les scientifiques déposent une bactérie dans le récipient au début de l’expérience.
Les scientifiques constatent qu’après une heure, le nombre de bactéries a doublé »
1. Après combien de temps y aura-t-il 4096 bactéries dans le récipient ?
L’inconnue 𝑥 est le temps. Nous avons remarqué que le nombre de bactéries après 𝑥
heures valait 2𝑥. On modélisera le problème par l’équation suivante :
2𝑥 = 4096
Il s’agit d’une équation exponentielle, la variable 𝑥 apparaît en exposant dans l’équation.
Après l’avoir créée, il convient de la résoudre afin de répondre à la question posée. Pour
résoudre cette équation on utilisera une propriété qui traduit mathématiquement la
réciprocité des exponentielles et logarithmes de même base. Les fonctions étant
réciproques, leurs « effets s’annulent » (voir 1.2.4) :
𝒙 = log𝑎 𝑎𝒙 (propriété 1)
Pour utiliser cette propriété, on appliquera le logarithme de même base que
l’exponentielle aux 2 membres de l’équation :
log2 2𝑥 = log2 4096
Avec la propriété 1
𝑥 = log2 4096
Or puisque 212 = 4096, on a :
𝑥 = log2 212
Avec la propriété 1
𝑥 = 12
Il faudra donc 12 h pour avoir 4096 bactéries dans le récipient
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2. Après combien de temps y aura-t-il plus de 15 bactéries dans le récipient ?
2𝑥 > 15
Il s’agit d’une inéquation exponentielle, appliquons le logarithme en base 2 aux deux
membres de l’équation :
log2 2𝑥 > log2 15
Avec la propriété 1 :
𝑥 > log2 15
On calculera le second membre à la calculatrice car 15 n’est pas une puissance de 2, on a :
log2 15 = log 15log 2 = 3,9
Et on a, finalement :
𝑥 > 3,9
Il aura plus de 15 bactéries dans le récipient après 3,9 heures
3. Combien y a-t-il de bactéries dans le récipient après quatre heures ?
Ici, on ne cherche plus à déterminer un temps, l’inconnue 𝑥 est le nombre de bactéries. On
utilisera donc la fonction réciproque, c’est-à-dire le logarithme. Nous avons remarqué que
le temps à attendre pour obtenir un nombre 𝑥 de bactéries valait log2 𝑥. On modélisera
donc le problème par l’équation suivante :
log2 𝑥 = 4
Il s’agit d’une équation logarithmique, en effet, la variable 𝑥 apparaît dans le logarithme.
Pour résoudre cette équation on utilisera une autre propriété illustrant la réciprocité des
exponentielles et logarithmes de même base (voir 1.2.4) :
𝒙 = 𝑎log𝑎 𝒙 (propriété 2)
On utilisera cette propriété en appliquant l’exponentielle de même base que le logarithme
aux 2 membres de l’équation :
2log2 𝑥 = 24
Avec la propriété 2 :
𝑥 = 24
⇔ 𝑥 = 16
Il y aura 16 bactéries après 4 heures.
4. Combien y a-t-il de bactéries dans le récipient si on attend plus de 24 heures ?
log2 𝑥 > 24
Il s’agit d’une inéquation logarithmique. La variable 𝑥 apparaît dans le logarithme, on
appliquera l’exponentielle de même base que le logarithme aux 2 membres de l’équation :
2log2 𝑥 > 224
Avec la propriété 2 :
𝑥 > 224 c’est-à-dire : 𝑥 > 16 777 216
Il y aura plus de 16,77 millions de bactéries après 24 heures.
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Exercice 6
(P3 : Transférer) Modélise les situations suivantes, décrites au point 1.2.1, avec des équations ou
des inéquations, et résous-les pour trouver la solution au problème posé :
« Tu décides d’aller placer 1€ à la banque. A la condition que tu ne prélèves rien sur ton compte
pendant 50 ans, Paul le banquier te propose un taux d’intérêt de 5 %, c’est-à-dire qu’à la fin de
chaque année, la banque ajoutera sur ton compte 5 % de ce qui s’y trouve. »
a. Après combien d’années auras-tu plus de 2€ sur ton compte ?
b. A combien s’élève ton capital après 10 ans ?
c. Quelle somme auras-tu si tu attends plus de 50 ans ?
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1.5.3 Résolution
Les méthodes de résolution s’appuient sur les différentes définitions et propriétés des logarithmes énoncées dans les paragraphes 1.3 et 1.4. Dans les tableaux suivants, des résolutions
sont données pour les différents types d’équations ou d’inéquations rencontrées.
• ni de bien percevoir l’évolution de la population avant -2000 car l’évolution est trop lente (et donc le graphe est quasiment plat),
• ni de bien percevoir l’évolution de la population après l’an 1800 car l’évolution est trop rapide (et donc la pente du graphe est presque verticale).
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On peut donc imaginer représenter en ordonnée non pas directement la population, mais
l’exposant en base 10 de la population, c’est-à-dire le logarithme en base 10 de la population. A
log de la population 9.40 9.44 9.48 9.52 9.57 9.61 9.65 9.69 9.73 9.76 9.79 9.81 9.84 9.87
On peut désormais se rendre compte de l’évolution de la population à toutes les époques.
Néanmoins, avec cette méthode, la valeur de la population ne peut pas directement être retrouvée
sur le graphique, en effet, on ne retrouve que le logarithme.
Il serait plus facile d’utiliser un graphique dont l’axe des ordonnées présente la valeur de population et non son logarithme, en gardant l’allure du graphe précédent pour encore percevoir
l’évolution de la population.
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Pour ce faire, on utilise un graphique à échelle semi-logarithmique. Il s’agit d’un graphique où
l’allure de la courbe est identique à celle du graphe précédent, mais où on a uniquement changé la
numérotation d’un des axes. Au lieu de donner la valeur du logarithme de la population sur l’axe vertical, on donne ici la valeur de la population, mais en conservant la graduation du graphe
précédent. On dira donc que l’axe des ordonnées, n’est plus gradué linéairement
(proportionnellement à l’unité) mais logarithmiquement (proportionnellement à une puissance d’un nombre, ici 10).
Les lignes horizontales représentent les unités entre 1 et 10, les dizaines entre 10 et 100, les
centaines entre 100 et 1000, …, c’est-à-dire :
2
3
4
5
6 7 8 9
20
30
40
50
60
On remarque qu’il est impossible de représenter les nombres inférieurs à 1 avec
cette graduation. En effet, l’échelle logarithmique commence avec le nombre
pour lequel le logarithme vaut 0. Or, log(1)=0,
donc le premier nombre représenté sur l’axe y est égal à 1 (voir aussi propriétés des
logarithmes au point 1.4.)
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Exercice 13
(P1 : Connaître) Lire un axe logarithmique
On étudie l’augmentation du nombre N de bactéries dans un bouillon de culture. Au lieu de représenter directement le nombre de bactéries, le graphe ci-dessous donne le logarithme en base
10 du nombre de bactéries.
Complète le tableau ci-dessous en déduisant le nombre de bactéries (N) du logarithme du nombre
de bactéries (log N) représenté sur le graphe :
x (h) 0 1 2 3 4 5 6
log N
N
Estime graphiquement le nombre de bactéries après 7 h :
log N après 7h = ……………………………………………………………………………………………
N après 7h = ……………………………………………………………………………………………
Estime graphiquement après combien de temps il y aura 100 bactéries dans le bouillon de culture,
représente la construction graphique utilisée sur le graphique ci-dessus :
N=100, donc log N = ……………………………………………………………………………………………
Pour obtenir 100 bactéries, il faut attendre …………………heures.
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Exercice 14
(P2 : Appliquer) Représenter des données avec une échelle semi-logarithmique
On étudie l’augmentation du nombre de véhicules en Belgique depuis 1930. Les données sont fournies sous la forme d’un graphique.
Complète le tableau ci-dessous en tirant les données du graphe. Ensuite, calcule les logarithmes
en base 10 de ces données et place-les sur le graphe ci-dessous: