Expansin de ondasFlujo Prandtl Meyer
IntroduccinEl debate dados en el captulo 5 y 6 estaban
preocupados con ondas que implicaban un incremento en la presin,i.e
con ondas de choque . en este captulo, la atencin ser dada a los
tipos de onda que son generados cundo hay una disminucin en la
presin . por ejemplo, el tipo de onda que es generada cuando un
flujo supersnico pasa por encima de una esquina convexa y el tipo
de onda que es generada cuando el fin de un ducto conteniendo un
gas en una presin esto es superior que eso en el aire circundante
es repentinamente abierto ser discutido en este captulo. Estas dos
situaciones son ilustradas. los flujos supersnicos estables
alrededor de esquinas convexas primero sern de los que se ocup en
esta voluntad de . atencin de captulo entonces para los flujos
inestables.Flujo PRANDTL MEYEREn el captulo precedente, el flujo
supersnico sobre una esquina cncava,i.e, una esquina involucra un
cambio angular positivo en direccin de flujo, se consider . eso
estaba indicado all tan el flujo sobre tal esquina fue asociado con
una onda de choque oblicua, esta onda de choque se origina de la
esquina cuando es afilada.Considere, ahora, el flujo alrededor de
una esquina convexa como se muestra en Fig 7.2 . para determinar si
una onda de choque oblicua tambin ocurre en este caso, est asumida
que eso ocurre . una esquina afilada considerndose para la
simplicidad como se muestra en la fig.7.2.
Figuras
Considere la velocidad que los componentes indicaron en Fig. 7.2
. para las razones dadas en el captulo previo. L1 =L2 y desde que
V2 debe ser paralelamente para la corriente cada la pared, las
funciones geomtricas de consideraciones que N2 >N1 . pero N2 y
N1 deben estar relacionados por las relaciones normales de la onda
de choque y en ocuparse de ondas de choque normales, fue mostrada
que una sacudida cara no fue posible desde que violara la segunda
ley de termodinmica . que no es, por consiguiente, no posible pues
N2 a ser rallador que N1 y el flujo sobre una esquina convexa, por
consiguiente, no se puede tomar a travs de una sacudida
oblicua.Para entender el flujo real que ocurre cuando un flujo
supersnico pasa acerca de una esquina convexa, considera qu ocurre,
en general, cuando el flujo es puesto a travs de un ngulo
diferencialmente pequeo, d0, este productor diferencialmente la
parte pequea se altera, dp, dp, y dt en la presin, la densidad, y
la temperatura respectivamente . el anlisis presente ejerce ya sea
d0 son positivos o negativos, ya sea la esquina es cncava o
convexa, los cambios a travs de la ola Mach diferencialmente dbil
produjeron ser isentropic (vea ms tarde). Por el razonamiento
previamente dado, el componente de velocidad paralelo para ondear,
L, es igual por la ola . por lo tanto, considerando el rea de la
unidad de la ola, enseado en Fig. 7.3, las ecuaciones de
continuidad y el momento ceden:
(7.1)(7.2)Figura 7.3Substituyendo para dN de eq.(7.2) en eq(7.1)
da(7.3)Ahora, en el caso limitativo de una onda muy dbil siendo
considerado, (dp/ddensidad) ser igual al cuadrado de la aceleracion
del sonido, i.e(7.4)Esto es indicado en Fig. 7.4, desde que la L es
igual por la presencia del disturbio, esto sigue:
Ecuaciones..
Expandindose e ignorando ms altas condiciones de orden entonces
dan:
Por consiguiente (7.5)Adicionalmente, desde que la ecuacin de
energa da:Ecuacin.. Figura 7.4
i.e., ignorando las mas altas condiciones de orden:
se tiene (7.6)
Pero por las suposiciones previamente hechasEcuacin..Asi
eq.(7.6) tenemos: (7.7)
O usando eq.(7.5): (7.8)
Adicionalmente, entonces: ecuacin
Sigue, usando eq.(7.8), asi (7.9)
Del mismo modo (7.10)
Finalmente, entonces: ecuacin
El cambio diferencial en M es dado por:
De modo que
= [-2+M^2-yM^2]Por lo tanto: formula .. (7.11)Por lo tanto un
cambio diferencialmente pequeo en la direccin del flujo isoentrpico
produce una perturbacin tal que: formula formula. formula.. formula
.. formula ..estos cambios tambin se indica en Fig.7.5.
As, si el flujo alrededor de una esquina, que puede considerarse
que consisten en un nmero infinito de cambios angulares
diferencialmente pequeas, como se muestra en la Fig.7.6, se
considera, se deduce de los resultados anteriores que para cambios
angulares positivos, el nmero de Mach disminuye y las ondas
divergentes.As, por cambios negativos en ngulo de la pared de una
regin que consta de Mach ondas se genera y se mantiene el flujo
isoentrpico en todo. Tales flujos se llama Prandtl-Meyer flujos y
su forma es tal como se muestra en la Fig.7.7. Con el fin de
determinar analticamente los cambios producidos por tal flujo, se
observa que eq. (7,11) deben aplicar a nivel local en todos los
puntos dentro de la fan de expansin. Por lo tanto.
FIGURA7.5Los cambios producidos por una onda dbil.(a) Alteracin
de compresin(b) la perturbacin expansivaFIGURA.7.6Mach ondas en
esquina con ngulo finito.
FIGURA.7.7Prandtl-Meyer flujo.(a), sin centrar ventilador.(b) El
ventilador de centrado.
FIGURA.7.8Cambio en la direccin del flujo de Prandtl-Meyer
flujo.
Si esta ecuacin en integrado que dar a la relacin entre las
propiedades de flujo y el cambio de direccin de flujo en cualquier
punto en el flujo como se indica en Fig.7.8.. Integracin de la
ecuacin (7.11) se obtiene:
ECUACION (7.12)El lado derecho de la ec. (7,12) se integra
fcilmente usando tcnicas estndar. Antes de dar el resultado, sin
embargo, hay un par de puntos que se observ. En primer lugar,
puesto que el cambio en la direccin del flujo debe ser negativo
para Prandtl-Meyer flujo de existir, es conveniente colocar el
signo negativo en el lado de mano izquierda. En segundo lugar, para
expresar los resultados en una forma tan conveniente como sea
posible, alguna condicin estndar se utiliza para evaluar la
constante. La condicin lmite inicial es, por lo tanto, toma
arbitrariamente como:
ECUACION
La aplicacin de los resultados a los flujos en los que el nmero
de Mach por delante de la esquina no es que se discutir ms
adelante.Usando la ecuacin. (7,13) en la ec. (7,12) entonces se
obtiene:
ECUACION..
La relacin entre (generalmente expresada en grados en lugar de
radianes como en la ec. (7.14)) y M dado por la ecuacin. (7,14) que
habitualmente se indica en las tablas isoentrpicas y se da en la
tabla de flujo isentrpico en el Apndice B. , por supuesto, no tiene
sentido cuando M menor que 1.
Antes de discutir la aplicacin de la ecuacin. (7,14) vale la
pena considerar el caso lmite de M . En este caso, ya que tan ^
(-1) / 2 como se sigue que cuando M .
ECUACION.Para el caso de y = 1,4 esto da el valor lmite de
como:ECUACION.As, si un flujo en un nmero de Mach de 1 se activa a
travs de un ngulo de 130,5 , un infinito nmero de Mach se genera y
la presin cae a cero. Expansin a travs de un ngulo mayor que, de
acuerdo con la presente teora, conducir a un vaco adyacente a la
pared como se indica en la figura. 7,9. Por supuesto, en realidad,
los supuestos de gas continuo e ideal dejarn de ser vlidas mucho
antes de que esta situacin se lleg.
A continuacin, considere la aplicacin de la ecuacin. (7,14) para
el clculo de los cambios de flujo producidos por un expension
Prandtl-Meyer. Haciendo referencia a la figura. 7,10, el
procedimiento es el follws.
1. A partir de tablas o grficos o de las ecuaciones de encontrar
el valor de correspondiente a M1, es decir, 1. Esto es equivalente
a suponer que el flujo inicial fue generada por una expansin
alrededor de una esquina hipottico de un nmero de Mach de 1, el
nmero de referencia Mach en las tablas, a un nmero de Mach de
M1.
FIGURE.7.9Expansin a cero la presin.
FIGURE.7.10Cambios en el flujo a travs de una onda de
Prandtl-Meyer.
FIGURE.7.11Los ngulos asociados con la onda de expansin
centrado.
2. Calcular el para el flujo descendente de flujo de la esquina.
Esto ser dada por:
ECUACION..
3. Buscar, usar tablas o grficos o ecuaciones, el nmero de Mach
corriente abajo, M2, correspondiente a este valor de 2.
4. Cualquier otra propiedad requerida del flujo corriente abajo
se obtiene observando que la expansin es isentrpico y que las
siguientes relaciones, por lo tanto, se aplican:
ECUACION.Alternativamente, cuando estn disponibles, tablas de
flujo isoentrpico se puede utilizar, tenindose en cuenta que la
presin de estancamiento se mantiene constante a travs de la
onda.
5. Si es necesario calcular los lmites de la onda de expansin,
esto se hace observando que son las lneas de Mach correspondientes
a los nmeros de Mach de aguas arriba y corriente abajo.
Los diversos ngulos definidos en la figura. 7,11 vienen dados
por:
ECUACIONExample.7.1:El aire fluye en un nmero de Mach de 1,8,
con una presin de kPa y una temperatura de 15 C por un canal de
ancho. La pared superior de este canal se convierte a travs de un
ngulo de 5 "lejos del flujo" que conduce a la generacin de una onda
de expansin. Halle la presin, nmero de Mach, y la temperatura detrs
de la ola de expansin.
Para relaciones de flujo isentrpico , o tablas o de software
dan:
Despus la onda de expansin:Para este valor de , las relaciones
de flujo isentrpico o tablas o software dan:
Por lo tanto, debido a que el flujo a travs de la onda de
expansin es isentrpico para que y , se deduce que:Y:
Por lo tanto, la presin, nmero de Mach y temperatura aguas abajo
de la onda de expansin son 68,2 KPa. 1.98, y respectivamente.
7.3 REFLEXIN Y LA INTERACCIN DE LAS ONDAS DE EXPANSINAl igual
que con ondas de choque oblicua, ondas de expansin pueden someterse
a la reflexin y pueden interactuar entre s. Consideremos, en primer
lugar, la reflexin de una onda de expansin de una pared recta como
se muestra en la figura 7.12. Si es el ngulo de Prandtl-Meyer
correspondiente a las condiciones de flujo inicial, es decir, a las
condiciones en la regin 1, entonces ngulo de Prandtl-Meyer para el
flujo en la regin intermedia 2 es, por supuesto, dada por:
Desde el flujo de la final, es decir, el flujo en la regin 3,
debe ser nuevamente paralelo a la pared, la onda reflejada tambin
debe activar para el flujo a travs de un ngulo de :
Figura 7.12
Una vez determinado este ngulo, puede encontrar el nmero de Mach
en regin 3 y puesto que el flujo entero es isentrpico, las
condiciones en la regin 3 pueden el encontrarse en trminos de regin
1 usando relaciones isentrpicas.Dentro de la regin de interaccin de
las ondas incidentes y reflejadas, la relacin entre y previamente
derivado no puede aplicarse directamente. Esta regin es conocida
como una regin no simple. El flujo es. por supuesto, isentrpico en
todo.
EJEMPLO 7.2Aire fluye hacia abajo de un conducto en un nmero de
Mach de 2.0 con una presin de 90 KPa. La pared superior del
conducto se convierte en "lejana" por el flujo a travs de un ngulo
de 10 dando lugar a la formacin de una onda de expansin. Esta onda
es reflejada en la pared plana inferior del canal. Encontrar la
presin despus de la reflexin.
Solucin figura 7.2La ola inicial y la onda reflejada tanto gira
el flujo a travs de 10. Ahora, en el flujo inicial en , relaciones
isentrpicas o tablas o el software que se da:
Por lo tanto:Relaciones isentrpicas o tablas o software, a
continuacin, dan para este valor de .
Pero todo el flujo isentrpico as: y as: Por lo tanto, son la
presin y el nmero de Mach detrs de la onda reflejada y 2.83
respectivamente.
FIGURA 7.13 Interaccin de las ondas de expansin.
FIGURA 7.14 Interaccin de una onda de expansin con una onda de
choque oblicua
FIGURA 7.15 Reflexin de una onda de choque oblicua de el borde
de un flujo de chorro
Cuando interactuan ondas de expansin, el flujo se asemeja a se
muestra en la figura 7.13. Dado que el flujo entero es isentrpico,
regin 4 debe ser una regin de propiedades uniformes, no
incorporadas que se generan cuando las ondas de expansin interactan
como fue el caso cuando interactuaban de ondas de choque.En
corrientes por el cuerpo, ondas de expansin a menudo interactan con
una onda de choque, el choque atenuada (debilitada) por la
interaccin. Un ejemplo de tal interaccin se muestra en la figura
7.14. La interaccin es complicada por la generacin de una serie de
ondas reflejadas.Una ola de expansin tambin puede ser generada por
el "reflejo" de una onda de choque oblicuo de un lmite de presin
constante. Para ver cmo esto puede suceder, consideremos un cuerpo
en forma de cua colocado en un flujo bidimensional jet supersnico
como se muestra en la figura 7.15. Los bordes del jet estn
expuestos al gas circundante estancada y por lo tanto, deben
permanecer en la presin que existe en este ambiente de gas. El
flujo por delante del cuerpo, porque es un flujo paralelo, debe
tambin al estar en la presin ambiente. Las ondas de choque oblicuas
se generan en la vanguardia del cuerpo, estas ondas de choque,
aumentando la presin.
EJEMPLO 7.3 Una cua en forma de cuerpo con un ngulo incluido de
20 se coloca simtricamente en un chorro plano de aire, el nmero de
Mach en el chorro siendo 2.5. La presin del aire ambiente es 100
KPa. Las ondas de choque oblicuas generadas en el borde delantero
de la cua se reflejan fuera de los bordes del chorro. Encontrar el
nmero de Mach y de la presin en la corriente de flujo de las ondas
reflejadas.Solucin fi8gura 7.3Primero considere la onda de choque
oblicua. Para y , relaciones de choque normal o tablas o el
software dar como se describe en el captulo 6:Para este valor de ,
relaciones de choque normal o tablas o software dan:
Mientras que las relaciones isentrpicas o tablas o software para
,
La fuerza de las olas de expansin "reflejada" debe ser tal que ,
es decir, tal que:
es decir, porque el flujo a travs de la onda de expansin es
isentrpico, :
Para este valor de relaciones isoentrpicas o tablas o software
dan . El nmero de Mach aguas abajo de las ondas de expansin
"reflejada" es por lo tanto 2.485. La presin detrs de estas ondas
es, como en los clculos anteriores, la misma que en el fluido
inicial, es decir, 100 KPa.7.4 LA CAPA DIVISORIA EFECTADA SOBRE
ONDAS DE EXTENSIN Para los mismos motivos que la presencia de una
capa divisoria causa "una extensin" del cambio de presin cuando una
onda de choque afecta a una pared, la presencia de una capa
divisoria modifica una onda de extensin en los alrededores de una
pared. Esto es ilustrado en el Fig 7.16 el grado de la interaccin
otra vez depende del grosor y el tipo de capa divisoria.7.5 FLUJO
SOBRE CUERPOS QUE IMPLICAN CHOQUE Y ONDAS DE EXTENSIN. Muchos
cuerpos sobre los cuales una doble eficacia en el flujo dimensional
supersnico ocurre en la prctica pueden ser asumidos para consistir
en una serie de superficies planas. Por ejemplo, el tipo de cuerpo
mostrado en el Fig 7.17 es similar a la cruz - la forma de grupo de
las superficies de control usadas sobre algunos vehculos
supersnicos. El flujo sobre tal cuerpo puede ser calculado por
notando que una serie de ondas de choque oblicuas y ondas de
extensin ocurre que la causa el flujo para ser en la zona paralela
a cada una de las superficies como ilustrado en el Fig 7.17 A
condicin de que esto el cuerpo es "delgado", cualquier onda
secundaria generada como consecuencia de la interaccin de las ondas
de choque y ondas de extensin generadas por el cuerpo no afecte al
cuerpo y su presencia no efectuar el flujo sobre el cuerpo. El
flujo sobre el cuerpo y la presin que acta sobre las superficies
sobre el cuerpo entonces puede ser calculado por separadamente
usando el choque oblicuo y los resultados de onda de extensin. Una
vez que las presiones sobre las superficies del cuerpo son
encontradas, la fuerza neta sobre el cuerpo puede ser encontrada.
Este procedimiento es ilustrado en los ejemplos siguientes.El
ejemplo 7.4 una ala simple puede ser modelado como un 0.25 m el
amplio juego del plato plano en un ngulo de 3 a un flujo de aire en
el nmero de Mach de 2.5, la presin en este flujo que ser 60 kPa. La
a sumisin que el flujo da sobre las dos alas - dimensional, de la
estimacin el levantamiento y la fuerza de rastra por palmo de metro
debido a la formacin de onda sobre el ala. que otras causas de
factor se prolongan el ala?Solucin: La situacin de flujo siendo
considerada es mostrada en el Fig. E7.4 una onda de extensin se
forma sobre la superficie superior en el borde principal. Esta onda
gira la paralela de flujo a la superficie superior del plato.
Asimismo una onda de choque oblicua se forma sobre la superficie
inferior en el borde principal. Esta onda gira la paralela de flujo
a la superficie inferior del plato. Las ondas tambin se forman en
el borde rastreador del plato pero estas ondas no tienen ningn
efecto sobre las presiones sobre las superficies del plato y ellos
no sern considerados aqu.Primero considere la onda de extensin que
gira la paralela de flujo a la superficie superior, la regin
adyacente a la superficie superior siendo designada como 2 como
indicado en la figura E7.4 Ahora, en la corriente libre, i, la e ,
donde el nmero de Mach, M1, isontropico relaciones o mesas o el
software da:
De ah ya que el flujo es girado a 3 por la onda de extensin, se
sigue que:
Utilizacin de este valor de? _2, isontropico relaciones o mesas
o el software d:
Esto por lo tanto sigue esto, ya que el flujo por la onda de
extensin es isontropico que quiere decir esto
Por lo tanto, la presin que acta sobre la superficie superior
del plato es 49 kPa. Despus considere la onda de choque oblicua que
gira la paralela de flujo a la superficie inferior, la regin
adyacente a la superficie inferior siendo designada como 3 como
indicado en la Figura. Ahora, desde M1 es 2.5 y la d de ngulo que
da vuelta producida por la onda de choque oblicua es 3 , relaciones
de choque oblicuas o traza o el software da:
los valores ltimos siendo dados directamente por el software.
Relaciones de choque normales o mesa o software entonces dan para
un nmero de Mach de 1.096:
De esto se sigue que:
Por lo tanto, la presin que acta sobre la superficie inferior
del plato es 74kPa. El levantamiento es la fuerza neta que acta
sobre el plato normal a la direccin de flujo inicial mientras la
rastra es la paralela de fuerza neta a la direccin de flujo
inicial. Por lo tanto, desde el plato el rea por palmo de metro es
0.25 m2, se sigue queLevantamiento por palmo de metro= (74 49) x
0.25 x 0.0523 = 0.33 kN/m palmoRastra por palmo de metro
Por lo tanto, el levantamiento y la rastra por palmo de metro
son 6.23 y 0.33 N respectivamente. Esta rastra es que debido a la
variacin de presin sobre el plato. Es llamado " la rastra de onda.
" La friccin de la piel, yo, e., la fuerza sobre el plato debido a
fuerzas viscosas, tambin contribuir a la rastra.El ejemplo 7.5
Encuentra el levantamiento por palmo de metro para la cua la
superficie sustentadora formada mostrada en el Fig.. E7.5a. tambin
bosqueje el modelo de flujo sobre la superficie sustentadora. El
nmero de Mach y la presin delante de la superficie sustentadora son
2.6 y 40 kPa respectivamente. Solucin: Considere los ngulos
mostrados en la Fig. E7.5b. Ser visto que:
This gives it then follows that
Entonces como muestran el modelo de onda sobre la superficie
sustentadora en la Higo. E7.5c. las ondas que ocurren en el borde
rastreador no efectan la presin en las superficies de la superficie
sustentadora y no sern analizadas aqu. All los ngulos de dar vuelta
producido por las ondas mostradas en la Fig. E7.5c son as:El choque
agita A el angulo de vuelta = 5La onda de extensin la B el angulo
de vuelta = 1 La onda de extensin C el angulo de vuelta = 4.67La
onda de extensin D el angulo de vuelta = 4.67
Primero considere el choque un que separa regiones 1 y 2. Desde
M1 es 2.6 y la d es 5 , relaciones de choque oblicuas o traza o el
software da:
Dan al valor ltimo directamente por el software. Relaciones de
choque normales o mesas o software entonces dan para un nmero de
Mach de 1.16:
De esto se sigue que:Considere la posibilidad de onda prxima
expansin B que separan las regiones 1 y 3. Ahora, en la corriente
libre, es decir, en la regin 1, donde el nmero de Mach, M1, es de
2,6, relaciones isoentrpicas o tablas o software har lo
siguiente:
Por lo tanto puesto que el flujo gira a travs de la 1 por la
onda de expansin, se sigue que:
Con este valor de las relaciones 3, isoentrpicas o tablas o del
software dar:
Por lo tanto, se deduce que, dado que el flujo a travs de la
onda de expansin es isoentrpica que significa que p03= p01:
Consideremos ahora la expansin de la onda C que separa las
regiones 2 y 4. Ahora, por delante de la ola, es decir, en la regin
2, en donde el nmero de Mach, M2, es de 2,37, relaciones o tablas
isoentrpicas o software para dar:
Por lo tanto puesto que el flujo gira a travs de 4,67 por la
onda de expansin, se sigue que:Con este valor de las relaciones 4,
isoentrpicas o tablas o el software dar:
Por lo tanto, se deduce que, dado que el flujo a travs de la
onda de expansin es isoentrpica que significa que p04= p02:
Consideremos ahora la expansin de la onda D que separa las
regiones 3 y 5. Ahora, el frente de onda, es decir, en la regin 3,
donde el nmero de Mach, M3 es 2,64, isoentrpicas relaciones o
tablas o software dar:
Por lo tanto puesto que el flujo gira a travs de 4,67 por la
onda de expansin, se sigue que:
Con este valor de 5, relaciones o tablas isoentrpicas o del
software dar:
Por lo tanto, se deduce que, dado que el flujo a travs de la
onda de expansin es isoentrpica que significa que p05= p03:
Por lo tanto:
y por lo tanto, ya que las reas de las diversas superficies por
tramo en metros son:
la elevacin est dada por:
Por lo tanto, la elevacin por tramo metros es de aproximadamente
12 KN.Las ondas que se forman en el borde posterior de la
superficie de sustentacin no se consideraron en los dos ejemplos
anteriores. Sus puntos fuertes son, sin embargo, encontrar
fcilmente observando que la direccin del flujo y la presin debe ser
el mismo en las aguas abajo regin entera de la superficie de
sustentacin.
7.6ONDAS DE EXPANSIN INESTABLEUn tipo de flujo que est
relacionado con el flujo de Prandtl Meyer discutido anteriormente
es la onda de expansin inestable. Para entender las caractersticas
bsicas de este flujo consideramos un pistn en el extremo de un
conducto largo, como se muestra en la figura. 7.18. Si el pistn
recibe una velocidad de repente dV, en la direccin de retirarlo del
conducto, el gas adyacente al pistn debe tener una velocidad dV, en
la misma direccin como el pistn y una onda dbil (una onda de
sonido) debe propagar en el gas estacionario a la velocidad local
del sonido, a. A travs de esta onda no se disminuye en la velocidad
del sonido y la presin de magnitudes da y dp respectivamente. Si el
pistn da entonces otra aceleracin repentina a una nueva velocidad,
2dV, como se muestra en la figura. 7,19, otra onda dbil ser generar
que se mueva con respecto al fluido en la velocidad (a-da), es
decir, la velocidad local del sonido. Sin embargo, dado que el
fluido delante de esta segunda onda tiene ya la velocidad dV en la
direccin opuesta a la de la propagacin de la onda, la velocidad
real a la que la onda se propaga en relacin con el conducto es
(a-da-dV). Esto se muestra en la figura. 7.19.
Si el pistn, en efecto, haba sido sin problemas acelerado hasta
una velocidad V, entonces la aceleracin puede ser considerado como
formado por una serie de saltos diferencialmente pequeos en la
velocidad de cada uno de los cuales produce una onda de expansin y
se propaga por el conducto a una velocidad ms baja que su
predecesor, lo que conduce a una expansin de la regin cada vez
mayor. El proceso est convenientemente mostrado en un diagrama x-t
donde x es la distancia a lo largo del conducto y t es el tiempo.
Tal diagrama para el proceso que est siendo considerado se muestra
en la figura. 7.20. La ola inicial se propaga a una velocidad a1 en
el lquido, de modo que la posicin de la cabeza de la expansin est
dada por:
La cola de la onda se propaga a la velocidad a2, en relacin con
el fluido en la regin 2 y, por lo tanto, puesto que el fluido en
esta regin tiene velocidad, up, en la direccin de movimiento del
pistn, la velocidad de la cola de la onda relativa a las paredes
del conducto es:
donde xf es la posicin del pistn cuando la velocidad constante
final se obtuvo por primera vez y tf es el tiempo en el que el
pistn alcanza esta posicin.
Si el pistn se aceler al instante, el diagrama x-t toma la forma
mostrada en la figura. 7.21. Aqu, el camino de la cola de la onda
de expansin est dada por:
y la anchura de la regin de expansin en cualquier instante de
tiempo viene dada por:
Las ondas inestables de expansin pueden ser generadas de otras
maneras, en particular por la ruptura de las membranas que separan
las regiones de alta y baja presin. Estos sern discutidos ms
adelante.Con el fin de aplicar las ecuaciones derivadas arriba, a2
tiene que ser conocido. Para encontrar esto consideramos que la
onda se divide, como se ha explicado anteriormente, en una serie de
olitas cada uno producido por un salto diferencialmente pequeo en
la velocidad del pistn y produciendo cada uno un pequeo cambio
diferencialmente en velocidad, presin, etc. Si la velocidad del gas
local en la onda es V, la onda se propaga con la velocidad (a-V)
con respecto a las paredes del tubo, como se muestra en la figura.
7.22. Considere el flujo relativo a la onda como se indica en la
figura. 7.23. Aplicando la ecuacin de momento para el flujo a travs
de la onda da: