doc.Ing. Zlata Sojková, C Sc. 1 „Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)
Jan 31, 2016
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 1
„Exkurzia” do teórie pravdepodobností (TP)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 2
Často sa hovorí, že štatistika je “aplikovaný počet pravdepodobností”
Štatistika popisná - vyčerpávajúce skúmanie (veda o
štáte, popisná aritmetika) induktívna - výberové skúmanie (štatistické
analýzy, výberové vzorky) Most medzi oboma druhmi štatistiky tvorí teória pravdepodobnosti• tvorí teoretický základ pre posudzovanie spoľahlivosti a presnosti výberových postupov
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 3
Náhodná veličina je premenná, ktorá môže nadobúdať rôzne hodnoty, alebo hodnoty z rôznych intervalov v závislosti na náhode. Náhodné veličiny budeme označovať X, a ich konkrétne hodnoty: xj, j=1,2…n
Na štatistické znaky môžme pozerať ako na náhodné veličiny……….
členenie NV:diskrétne (DNV) -nadobúdajú izolované, väčšinou
celočíselné hodnoty, napr. počet narodených chlapcov z 1000 narodených detí, počet chybných výrobkov….
spojité (SNV) -môžu nadobúdať ľubovoľné hodnoty z ohraničeného, alebo neohraničeného intervalu,napr.: hmotnosť, výška človeka, chyby merania, príjem...
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 4
Výberové skúmanieKaždá skúška je výberovou analýzou. Z “debny” mozgu sú ťahané “guličky” vedomostí a nevedomostí a z nich sa usudzuje na celkový stav vedomostí v mozgu
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 5
Náhodná veličina je plne popísaná zákonom rozdelenia NV
Zákon rozdelenia NV je pravidlo, ktorékaždej hodnote náhodnej veličiny
priradí pravdepodobnosť nadobudnutia danej hodnoty (DNV),
alebo množine hodnôt z každého intervalu priradí pravdepodobnosť nadobudnutia hodnôt z intervalov (SNV)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 6
Rozlišujeme 3 zákony rozdelenia NV:
pravdepodobnostná tabuľka xj , pj=P(X= xj )len pre DNV
distribučná funkcia F(x) = P(X x ) pre DNV, SNV
funkcia hustoty f(x) len pre SNV
Poznámka: NV môžme tiež popísať pomocou číselných charakteristík. Najčastejšími sú:E(X) stredná hodnota a D(X) rozptyl
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 7
Pravdepodobnostná tabuľka- rad rozdelenia pravdepodobností - popisuje len diskrétnu náhodnú veličinu (DNV)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
pj
výnos v %
Výnos akcie
výnos akciev % (xj)
pravdepo-dobnosť ( pj)
-2 0,2
5 0,515 0,3
Spolu 1
pj = P(X=xj)… analógia relatívnych početností
pj = 1
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 8
Distribučná funkcia F(x) = P(X x)slúži k popisu diskrétnej (DNV) aj spojitej (SNV) náhodnej veličiny
• Pre DNV platí F(x) = P(X x) = pj
pre všetky xj x výnosakciev % (xj)
pravdepo-dobnosť ( pj)
F(x)
-2 0,2 F(-2)=P(X -2) = 0.2
5 0,5 F(5)=P(X 5)=0.2+0.5=0.715 0,3 F(15)=P(X 15)=1
Spolu 1 x
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 9
Spojitá náhodná veličina (SNV)
Spojitou náhodnou veličinou nazveme X, pre ktorú existuje funkcia f(x) taká, že distribučná funkcia F(x) je rovná
);(-x pre ,x
dx)x(f)x(F
Ak má distribučná funkcia F(x) pre všetky x spojitú deriváciu f(x) = F’(x) budeme veličinu Xnazývať spojitá NV a funkciu f(x) hustotapravdepodobnosti náhodnej veličiny X v bode x
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 10
funkcia hustoty
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)
x
F(x)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 11
distribučná funkcia
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
F(x)
x
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 12
F(x) pre spojitú náhodnú veličinu
);(-x pre ,x
dx)x(f)x(F
x
Dokresli F(0),F(6)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 13
6
0
dx)x(f)0(F)6(F)6X0(P
Dokresli do grafu !
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 14
2x
1x
1221 dx)x(f)x(F)x(F)xXx(P
1)X(P)(F
0)X(P)(F
1;0)x(F
)xX(P)xX(P)x(FVlastnosti distribučnej funkcie SNV:
Pre SNV existuje “paradox nulovej
pravdepodobnosti”P(X= x) = 0
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 15
Zhrnutie o F(x)
Každá distribučná funkcia je funkciou
neklesajúcou, spojitou zľava a vyhovujúcou
podmienkam F(-) = 0 a F() = 1.
Každú funkciu,ktorá spĺňa uvedené
podmienky možno pokladať za distribučnú
funkciu
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 16
Vlastnosti funkcie hustoty f(x)
f(x) je nezáporná, t.j. f(x) 0, pretože je
deriváciou neklesajúcej funkcie
(nie je však pravdepodobnosť)
1)F( f(x)dx-
f(x)dx)xXx(P2x
1x
21
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 17
Základné modely rozdelení NV používané v Štatistike
Normálne rozdelenieŠpeciálne rozdelenia:
Studentovo rozdelenie ( t)
CHÍ- kvadrát rozdelenie ( 2 )
Fisherovo - Snedecorovo rozdelenie (F)
Zaslúžisi pozor-nosť
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 18
Normálne rozdelenie“Gaussovo - Laplaceovo”
Riadia sa ním spojité NV, ktoré vznikajú ako dôsledok pôsobenia väčšieho počtu nezávislých, resp. slebo závislých vplyvov,
možno ním aproximovať mnohé rozdelenia, aj rozdelenia DNV
príklady: úrody plodín, chyby merania,
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 19
Gaussovo Normálne rozdelenie
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 20
Quetélet meral obvod hrude 5738 škótskych
vojakov
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 21
Funkcia hustoty normálneho rozdelenia
2
2
2
)-(x -
2.
1 )(
exf
Parametre Normálneho rozdelenia: - stredná hodnota určuje polohu rozdelenia - smerodajná odchýlka, určuje variabilitu
tvaru rozdelenia
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 22
Funkcia hustoty a distribučná funkcia normálneho rozdelenia
funkcia hustoty
0
0.1
0.2
0.3
0.4
-3 -2 -1 0 1 2 30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Distribučná funkcia
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 23
Porovnanie normálnych rozdelení
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
fun
kcia
hu
sto
ty
N(0,1)
N(0,1.5)
N(1,1)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 24
pravidlo 3 - sigma
-0.05
0.05
0.15
0.25
0.35
0.45
-3 -2 -1 0 1 2 3
- ++2-2
-3 +3
68,26%
95,45%
99,73%
Zamyslite sa dôsledne čo
hovorí!!!
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 25
Normované normálne rozdelenie( štandardizované )
• X….N(µ,2) N(0,1)
Normálne rozdelenie Normované (existuje nekonečne mnoho normálne normálnych rozdelení) rozdelenie
je tabelované!
-X
U
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 26
Tabelované hodnoty F(u) a f(u) pre N(0,1)
F(- u) = 1 - F(u)f(- u) = f(u)
-u u
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 27
Využitie rozdelenia N(0,1)• Každé normálne rozdelenie vieme takto
transformovať na normované normálne rozdelenie a využívať tabuľkové hodnoty F(u) a f(u).
• Príklad: priemerný mesačný nominálny príjem občana SR predstavuje 11tis. Sk a má približne normálne rozdelenie so smerodajnou odchýlkou 6tis. Sk. Koľko percent občanov je pod hranicou priemerného príjmu 5 tis. Sk a koľko nad 17 tis.Sk? Odhadnite koľko percent občanov zarába v priemere viac ako 23tis. Sk.
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 28
CHÍ - kvadrát rozdelenie
0 20 40 60 80 100
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
2(10)
2(40)40
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 29
2 (s.v. = 12) 2 (s.v. = 40)
CHÍ - kvadrát rozdelenie
P(2 > 2 ) =
2
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 30
t(s.v.= 12) t(s.v.= 40)
Studentovo rozdelenie (t)
P(|t| > t (s.v.)) =
t(s.v.)
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 31
Fisherovo F - rozdelenie
0 1 2 3 4 5
0
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
F(10,10) F(40,40)
P(F > F(s.v.1;s.v.2)) =
F(s.v.1;s.v.2 )
doc.Ing. Zlata Sojková, CSc. 32
Koniec “exkurzie” do teórie pravdepodobnosti