This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Ο περιορισμός (1) αφορά τις ώρες λειτουργίας των Dobbie αργαλειών, ο (2) αφορά
τις ώρες λειτουργίας των Regular αργαλειών, και οι (3)-(7) αφορούν την ζήτηση του
κάθε υφάσματος(1,2,3,4 και 5) αντίστοιχα.
Παρακάτω δίνεται η βέλτιστη λύση και οι τιμές που πρέπει να πάρουν οι μεταβλητές
που ορίσαμε, ώστε να επιτύχουμε την μεγιστοποίηση του κέρδους της εταιρείας,
καθώς και η ανάλυση ευαισθησίας με τη βοήθεια του προγράμματος LINDO.
8
Ύφασμ
α
Αργαλειoί RegularΑργαλειοί
DobbieΑγοράστηκαν από αλλού
1 4666 11833
2 22000
3 27683 34316
4 7500
5 62000
Έτσι προκύπτει ότι το προβλεπόμενο κέρδος είναι: $62528,49.
Παρατηρώ ότι και επτά περιορισμοί είναι δεσμευτικοί αφού οι περιθώριες τιμές τους
είναι μηδενικές. Συνεπώς θα χρησιμοποιηθούν όλες οι ώρες εργασίας των
αργαλειών. Ένας επιπρόσθετος αργαλειός Dobbie θα επιφέρει στην επιχείρηση
κέρδος. Αυτό το αντιλαμβανόμαστε από την δυική τιμή του πρώτου περιορισμού που
είναι $0,648148 ανά ώρα λειτουργίας. Δηλαδή σε ένα μήνα η εταιρεία θα έχει κέρδος
$466,66. Όμως για να είμαστε σίγουροι ότι η βέλτιστη λύση παραμένει βέλτιστη θα
πρέπει να δούμε το εύρος εφικτότητας του περιορισμού μας. Αυτό είναι το διάστημα
[4752,8316]. Οι ώρες λειτουργίας των Dobbie αργαλειών θα ανέρχονται στις:
6480=30(μέρες μήνα)*24(ώρες ημέρας)*9(αργαλειοί Dobbie), που αυτή η τιμή
περιέχεται στο πιο πάνω διάστημα. Άρα η βέλτιστη μας λύση παραμένει βέλτιστη.
Όσο αφορά τους αντικειμενικούς συντελεστές τις συνάρτησης μας έχουμε τα εξής:
C1=0.33 και το εύρος αριστότητας του είναι [0.314 , 0.34]
C2=0.31 και το εύρος αριστότητας του είναι [0.3 , + ∞]
C3=0.61 και το εύρος αριστότητας του είναι [- ∞ , 0.624]
C4=0.61 και το εύρος αριστότητας του είναι [0.5 , 0.624]
C5=0.73 και το εύρος αριστότητας του είναι [- ∞ , 0.7438]
C6=0.73 και το εύρος αριστότητας του είναι [0.7126 , + ∞]
C7=0.20 και το εύρος αριστότητας του είναι [- ∞ , 0.217]
C8=0.20 και το εύρος αριστότητας του είναι [0.1826 , + ∞]
C9=0.19 και το εύρος αριστότητας του είναι [0.18 , 0.2056]
C10=0.16 και το εύρος αριστότητας του είναι [- ∞ , 0.17]
C11=0.50 και το εύρος αριστότητας του είναι [0.4862 , 0.61]
C12=0.54 και το εύρος αριστότητας του είναι [- ∞ , 0.62]
C13=0.0 και το εύρος αριστότητας του είναι [- ∞ , 0.06178]
9
Δηλαδή όσο η τιμή για κάθε ένα αντικειμενικό συντελεστή βρίσκεται εντός των ορίων του εύρους αριστότητας, η υπάρχουσα βέλτιστη λύση παραμένει η ίδια. Τιμές των αντικειμενικών συντελεστών, διαφορετικές από τις καταγραφόμενες αλλά μέσα στο εύρος αριστότητάς τους, μεταβάλλλουν μόνο την τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης.
Το αντίστοιχο μοντέλο ελαχιστοποίησης του συνολικού κόστους θα είναιΜINIMIZE 0.66Χ11 + 0.55Χ21 + 0.49(Χ31+Χ32) + 0.51(Χ41+Χ42) +
Επιλύοντας αυτό το μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού με αυτά τα νέα κόστοι,
συμπεραίνουμε ότι η εταιρεία πρέπει να προσλάβει μόνο προσωρινούς υπαλλήλους
με μηνιαία σύμβαση ειδικά για να καλύψει τις μηνιαίες ανάγκες των υπαλλήλων.
Έτσι, το μηνιαίο χρονοδιάγραμμα προσωρινής πρόσληψης θα είναι το ακόλουθο: 10 – Γενάρη ,23 – Φλεβάρη,19 – Μάρτιο,26 – Απρίλιο,20 – Μάιο και 14 - ΙούνιοΤο συνολικό κόστος για αυτή την στρατηγική είναι $302.400.Και εδώ καταλήγουμε πως όσο μειώνεται το κόστος εκπαίδευσης, αυτή θα παραμένει ως η βέλτιστη στρατηγική πρόσληψης για την εταιρεία.
Προσλαμβάνοντας 10 υπαλλήλους πλήρους απασχόλησης από τις αρχές Ιανουαρίου, θα μειώσει τον αριθμό των προσωρινών υπαλλήλων που χρειάζονται κάθε μήνα κατά 10. Χρησιμοποιώντας το ίδιο γραμμικό μοντέλο με τα νέα δεξιά μέλη μειωμένα κατά 10, έχουμε τα ακόλουθα:
Οπότε προσλαμβάνοντας 10 υπαλλήλους πλήρους απασχόλησης είναι
$321,095 - $313,525 = $7,570 πιο ακριβό από το να χρησιμοποιηθούν προσωρινοί
υπάλληλοι. Έτσι η δική μου σύσταση με βάση τα αποτελέσματα για την εταιρεία θα
ήταν να μην προσλάβει αυτούς τους υπαλλήλους πλήρους απασχόλησης. Η εταιρεία
Davis πρέπει να συνεχίσει τις συμβάσεις με την εταιρεία WorkForce.
15
ΑΣΚΗΣΗ 5: ΑΕΡΟΠΟΡΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΧΨΖΑς είναι:
Χi = χιλιάδες λίτρα καυσίμων που αγοράζονται από την i πόλη, όπου i=1,2,3,4
(Αθήνα, Λονδίνο, Παρίσι, Ρώμη αντίστοιχα) και
Yi = χιλιάδες λίτρα καυσίμων που απομένουν στις δεξαμενές από την i πόλη,
i=1,2,3,4
Η εταιρεία επιδιώκει να ελαχιστοποιήσει το κόστος αγοράς των καυσίμων για τον
συγκεκριμένο κύκλο πτήσεων. Για να βρούμε τους περιορισμούς (9) – (12) κάναμε
τους ακόλουθους υπολογισμούς:
(1) 12 + 0.05(Χ1-24) = Χ1-Υ1
12 + 0.05Χ1 – 1.2 = Χ1-Υ1
-0.95Χ1 + Υ1 = - 10.8
(2) 7 + 0.05(Χ2-Υ1-15) = Χ2+Υ1-Υ2
7 + 0.05Χ2 + 0.05Υ1 – 0.75 = Χ2+Υ1-Υ2
-0.95Χ2 -0.95Υ1 + Υ2 = - 6.25
(3) 3 + 0.05(Χ3+Υ2-9) = Χ3+Υ2-Υ3
3 + 0.05Χ3 + 0.05Υ2 – 0.45 = Χ3+Υ2-Υ3
-0.95Χ3 - 0.95Υ2 + Υ3 = - 2.55
(4) 5 + 0.05(Χ4+Υ3-11) = Χ4+Υ3+Υ4
5 + 0.05Χ4 + 0.05Υ3 – 0.55 = Χ4+Υ3+Υ4
-0.95Χ4 – 0.95Υ3 + Υ4 = - 4.45
Οπότε το μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού που προκύπτει είναι το εξής:
MINIMIZE 1.15Χ1 + 1.25Χ2 + 1.10Χ3 + 1.18Χ4
SUBJECT TO
(1) X1 >= 24
(2) X2 + Y1 >= 15
(3) X3 + Y2 >= 9
(4) X4 + Y3 >= 11
(5) X1 <= 36
(6) X2 + Y1 <= 23
(7) X3 + Y2 <= 17
(8) X4 + Y3 <= 20
(9) -0.95X1 + Y1 = -10.8
(10) -0.95X2 - 0.95Y1 + Y2 = -6.25
16
(11) -0.95X3 - 0.95Y2 + Y3 = -2.55
(12) -0.95X4 - 0.95Y3 + Y4 = -4.45
Xi >= 0 , i=1,2,3,4
Yi >= 0 , i=1,2,3,4
END
Οι περιορισμοί (1) – (4) αναφέρονται στην ελάχιστη απαιτούμενη ποσότητα
καυσίμων, οι περιορισμοί (5) – (8) αναφέρονται στην μέγιστη επιτρεπόμενη
ποσότητα καυσίμων και οι περιορισμοί (9) – (12) αναφέρονται στην ποσότητα των
καυσίμων που θα καταναλώσει σε κάθε διαδρομή.
Παρακάτω δίνεται η βέλτιστη λύση, οι τιμές που πρέπει να πάρουν οι μεταβλητές
που ορίσαμε, ώστε να επιτύχουμε την ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους της
εταιρείας, καθώς και η ανάλυση ευαισθησίας με τη βοήθεια του προγράμματος
LINDO.
Σύμφωνα με τα διπλανά
αποτελέσματα το συνολικό
κόστος αγοράς των καυσίμων
για την εταιρεία είναι €38.121.
Η βέλτιστη λύση είναι:
Χ1=27.158 χιλιάδες λίτρα θα
αγοράσει από την Αθήνα
Χ3=6.263 χιλιάδες λίτρα θα
αγοράσει από το Λονδίνο
Υ1=15 χιλιάδες λίτρα απόθεμα
στις δεξαμενές από διαδρομή
Αθήνα-Λονδίνο
Υ2=8 χιλιάδες λίτρα απόθεμα
στις δεξαμενές από διαδρομή
Λονδίνο-Παρίσι
Υ3=11 χιλιάδες λίτρα απόθεμα στις δεξαμενές από διαδρομή Παρίσι-Ρώμη
Υ4=6 χιλιάδες λίτρα απόθεμα στις δεξαμενές από διαδρομή Ρώμη-Αθήνα
Έτσι ολοκληρώνεται ο κύκλος πτήσεων.
Όταν το αεροπλάνο φτάσει στην Αθήνα ένας νέος κύκλος πτήσεων ολοκληρώνεται
και ξεκινάει ένας νέος. Στην Αθήνα θα αγοραστούν Χ1 χιλιάδες λίτρα καυσίμων αλλά
17
θα έχουν απομείνει από το προηγούμενο δρομολόγιο Ρώμη-Αθήνα Υ4=6. Στην
περίπτωση αυτή οι μεταβλητές και η αντικειμενική συνάρτηση παραμένουν ίδια.
Υπάρχουν όμως διαφοροποιήσεις στους περιορισμούς. Οπότε το γραμμικό μας
μοντέλο τροποποιείται ως ακολούθως:
MINIMIZE 1.15Χ1 + 1.25Χ2 + 1.10Χ3 + 1.18Χ4
SUBJECT TO
(1) X1 >= 18
(2) X2 + Y1 >= 15
(3) X3 + Y2 >= 9
(4) X4 + Y3 >= 11
(5) X1 <= 30
(6) X2 + Y1 <= 23
(7) X3 + Y2 <= 17
(8) X4 + Y3 <= 20
(9) -0.95X1 + Y1 = -5.1
(10) -0.95X2 - 0.95Y1 + Y2 = -6.25
(11) -0.95X3 - 0.95Y2 + Y3 = -2.55
(12) -0.95X4 - 0.95Y3 + Y4 = -4.45
Xi >= 0 , i=1,2,3,4
Yi >= 0 , i=1,2,3,4
END
Σύμφωνα με τα διπλανά
αποτελέσματα, τα καύσιμα που
θα αγοραστούν από την Αθήνα
θα είναι Χ1=21.158 χιλιάδες
λίτρα και είναι φυσικά μικρότερη
από αυτή που θα αγόραζε αν οι
δεξαμενές ήταν άδειες. Οι
υπόλοιπες τιμές παραμένουν
ίδιες. Η βέλτιστη αυτή λύση
οδηγεί σε συνολικό ελάχιστο
κόστος των 31.221€.
18
Όσο αφόρα τον περιορισμό Χ1<=30 είναι χαλαρός με περιθώρια τιμή 8.842. Το εύρος εφικτότητας αυτού του περιορισμού είναι [22.16 , + ∞). Όσο αυτή η τιμή κυμαίνεται σ’ αυτό το διάστημα, θα έχουμε την ίδια άριστη λύση. Η δυική τιμή που αφορά αυτό τον περιορισμό είναι 0. Άρα δεν συνεισφέρει στο συνολικό κόστος
19
ΑΣΚΗΣΗ 6: WALLASIDIS JUICE COMPANY
Έχουμε ένα πρόβλημα μεταφοράς ακατέργαστου συμπυκνωμένου χυμού ο οποίος
πρέπει να μεταφερθεί από τους αμπελώνες στα εργοστάσια σε διάφορες πόλεις
όπου θα επεξεργαστεί ώστε να παρασκευαστούν νέα προϊόντα. Το κόστος
μεταφοράς του χυμού από τους αμπελώνες προς τις πόλεις καθώς και το κόστος
επεξεργασίας του χυμού από τα εργοστάσια για την παραγωγή νέων προϊόντων
ποικίλει. Συνεπώς καλούμαστε να βρούμε το ελάχιστο κόστος μεταφοράς και
επεξεργασίας και ταυτόχρονα να ικανοποιήσουμε τη ζήτηση αλλά και τους
περιορισμούς. Ας είναι:
Χ1, Χ2, Χ3, Χ4 οι ποσότητες χυμού (σε τόνους) που στέλνονται από τον αμπελώνα
Α σε Κρήτη, Ηλεία, Αττική και Μακεδονία αντίστοιχα.
Χ5, Χ6, Χ7, Χ8 οι ποσότητες που στέλνονται από τον αμπελώνα Β σε Κρήτη, Ηλεία,
Αττική και Μακεδονία αντίστοιχα.
Χ9, Χ10, Χ11, Χ12 οι ποσότητες που στέλνονται από τον αμπελώνα Γ σε Κρήτη,
Ηλεία, Αττική και Μακεδονία αντίστοιχα.
Επίσης ας είναι:
Χ13, Χ14, 15, Χ16 οι ποσότητες εμφιαλωμένου χυμού που θα παραχθούν σε Κρήτη,
Ηλεία, Αττική και Μακεδονία αντίστοιχα.
Χ17, Χ18, Χ19, Χ20 οι ποσότητες κατεψυγμένου χυμού που θα παραχθούν σε
Κρήτη, Ηλεία, Αττική και Μακεδονία αντίστοιχα.
Χ21, Χ22, Χ23, Χ24 οι ποσότητες ζελέ που θα παραχθούν σε Κρήτη, Ηλεία, Αττική
και Μακεδονία αντίστοιχα.
Έτσι, η αντικειμενική μας συνάρτηση και οι περιορισμοί έχουν ως ακολούθως: