Exercícios Resolvidos sobre: I - Conceitos Elementares Grupo I – Análise da Evolução de Séries Temporais Questão 1 a) No quadro temos uma série temporal relativa ao período entre 0 e 4 para a variável X. Comecemos por calcular as taxas de crescimento simples para cada período para em seguida calcular a respectiva média aritmética. t.c. t 1 0 1 0 120 100 .. 100 X X tc X − − = = =0,2 2 1 2 1 132 120 .. 120 X X tc X − − = = =0,1 3 2 3 2 264 132 .. 132 X X tc X − − = = =1 4 3 4 3 277, 2 264 .. 264 X X tc X − − = = =0,05 A média aritmética das taxas de crescimento é dada pela soma de todas as taxas a dividir pelo número total de taxas: 1 2 3 4 .. .. .. .. 0, 2 0,1 1 0, 05 Média aritmética t.c. 0,3375 4 4 tc tc tc tc + + + + + + = = = Em média, a nossa variável cresceu à taxa de 33,75% ao ano. b) A média geométrica das taxas de crescimento somadas à unidade, t.c. g , é dada pela raiz do produto de todas as taxas somadas à unidade sendo o radical igual ao número total de taxas: 4 4 1 2 3 4 1 .. (1 . .) (1 ..)(1 ..)(1 ..) (1 0,2) (1 0,1) (1 1) (1 0, 05) 1, 29 g tc tc x tc x tc x tc x x x + = + + + + = + + + + = Vamos deixar a interpretação deste valor para a alínea seguinte. c) Na alínea c pedem-nos para calcular taxas de crescimento médio e não médias, aritméticas ou geométricas, das taxas de crescimento, como fizemos nas alíneas anteriores.
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Exercícios Resolvidos sobre:
I - Conceitos Elementares
Grupo I – Análise da Evolução de Séries Temporais
Questão 1
a) No quadro temos uma série temporal relativa ao período entre 0 e 4 para a variável
X.
Comecemos por calcular as taxas de crescimento simples para cada período
para em seguida calcular a respectiva média aritmética. t.c.t
1 01
0
120 100. .100
X Xt cX− −
= = =0,2
2 12
1
132 120. .120
X Xt cX− −
= = =0,1
3 23
2
264 132. .132
X Xt cX− −
= = =1
4 34
3
277, 2 264. .264
X Xt cX− −
= = =0,05
A média aritmética das taxas de crescimento é dada pela soma de todas as
8.2. Para calcular a taxa de crescimento do PIB a preços correntes temos apenas
que aplicar a fórmula da taxa de crescimento simples.
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 17
Anos PIB preços correntes
Tx.cresc. PIB a preços correntes
1995 80827 1996 86230 (86230/80827)-1=0,0668 ou 6,68% 1997 93014 (93014/86230)-1=0,0787 ou 7,87% 1998 100962 (100962/93014)-1=0,0854 ou 8,54% 1999 108030 (108030/100962)-1=0,0700 ou 7% 2000 115546 (115546/108030)-1=0,0696 ou 6,96% 2001 122978 (122978/115546)-1=0,0643, ou 6,43%
8.3. Como calcular a taxa de crescimento dos preços, t.c.p.t? Temos dois processos
de resolução desta questão.
Se, para cada ano, compararmos o valor do PIB a preços correntes com o valor do
PIB a preços do ano anterior temos a taxa de crescimento dos preços uma vez que
entre os dois valores apenas se alteram os preços, mantendo-se as quantidades
produzidas:
PIB a preços correntes do ano t-PIB a preços do ano anterior do ano t. . .PIB a preços do ano anterior do ano ttt c p =
Anos PIB preços
correntes PIB preçosano anterior
Tx. Cresc. preços
1995 80827 1996 86230 83692 86230-83692
83692=0,0304 ou 3,04%
1997 93014 89645 93014-8964589645
=0,0376 ou 3,76%
1998 100962 97274 100962-9727497274
=0,0379 ou 3,79%
1999 108030 104800 108030-104800104800
=0,0308 ou 3,08%
2000 115546 - - 2001 122978 - -
Uma vez que nos é dada a taxa de crescimento do PIB a preços constantes ou taxa
de crescimento do PIB real e calculámos já a taxa de crescimento do PIB a preços
correntes ou PIB nominal, podemos também resolver a questão atendendo à relação
entre as taxas de crescimento do PIB nominal, do PIB real e dos preços:
(1+t.c.n.t)=(1+t.c.r.t)x(1+t.c.p.t)
Resolvendo em ordem à taxa de crescimento dos preços:
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 18
tt
t
1+t.c.n.t.c.p. 11+t.c.r.
= −
Anos Tx.cresc. PIB a preços correntes
Tx.cresc. PIB a preços constantes
Tx. Cresc. preços
1995 1996 0,0668 0,0354 1+0,0668 1
1+0,0354− =
0,0304 1997 0,0787 0,0396 1+0,0787 1
1+0,0396− =
0,0376 1998 0,0854 0,0458 1+0,0854 1
1+0,0458− =
0,0379 1999 0,0700 0,0380 1+0,0700 1
1+0,0380− =
0,0308 2000 0,0696 0,0369 1+0,0696 1
1+0,0369− =
0,0315 2001 0,0643 0,0164 1+0,0643 1
1+0,0164− =
0,0471 Obtemos exactamente os mesmos resultados pelos dois processos de cálculo.
Questão 9
O salário pode ser entendido de duas formas:
- salário nominal (SN), ou seja, a quantidade de moeda que o trabalhador
recebe;
- salário real (SR), a quantidade de bens e serviços que o trabalhador pode
adquirir com o salário nominal que recebe.
A um trabalhador interessa que o seu salário real cresça pois isso significa que
pode adquirir mais bens e serviços com o seu salário nominal.
Mas para que o salário real cresça não basta que aumente o salário nominal. Se o
crescimento dos preços for superior ao crescimento do salário nominal o trabalhador
pode receber uma maior quantidade de moeda mas a quantidade de bens e serviços
que consegue adquirir com essa quantidade de moeda diminui.
Para conhecermos a evolução do salário real temos então que descontar à taxa de
crescimento do salário nominal a taxa de crescimento dos preços:
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N tR t
t
1+t.c.St.c.S = -11+t.c.IPC
sendo o Índice de Preços no Consumidor um índice que traduz a evolução do preço
médio de um cabaz de bens e serviços considerado representativo dos hábitos de
consumo dos trabalhadores.
Para analisarmos a evolução do salário real na Indústria Transformadora e na
Construção necessitamos da taxa de crescimento do salário nominal e da taxa de
crescimento dos preços.
Como já conhecemos a taxa de crescimento dos preços (é a variação relativa do
IPC) e temos séries em números índices das remunerações nominais, a primeira coisa
a fazer é, utilizando os índices, calcular as taxas de crescimento do salário nominal.
Em seguida, podemos já utilizar a relação entre taxa de crescimento do salário real,
do salário nominal e dos preços para calcular a primeira.
Passo 1: calcular a taxa de crescimento simples do salário nominal1:
/ 80 1/ 80
1/ 80
t. . N t N t
N t
S SN
S
I It c S
I−
−
−=
t.c.SN t
Indústria Transformadora Construção
78 / 80
78
77 / 80
69,3. . 1 159,5
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,16 78 / 80
78
77 / 80
66,6. . 1 158,1
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,15
79 / 80
79
78 / 80
80, 4. . 1 169,3
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,16 79 / 80
79
78 / 80
79,6. . 1 166,6
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,20
80 / 80
80
79 / 80
100. . 1 180,4
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,24 80 / 80
80
79 / 80
100. . 1 179,6
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,26
81/ 80
81
80 / 80
121,7. . 1 1100
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,22 81/ 80
81
80 / 80
128,1. . 1 1100
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,28
82 / 80
82
81/ 80
143,5. . 1 1121,7
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,18 82 / 80
82
81/ 80
160,1. . 1 1128,1
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,25
83 / 80
83
82 / 80
169,1. . 1 1143,5
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,18 83 / 80
83
82 / 80
196,1. . 1 1160,1
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,22
1 Para calcular uma taxa de crescimento simples é indiferente utilizar os valores absolutos ou os valores em índices (de base fixa) da variável.
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 20
84 / 80
84
83 / 80
199,7. . 1 1169,1
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,18 84 / 80
84
83 / 80
218, 4. . 1 1196,1
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,11
85 / 80
85
84 / 80
240,5. . 1 1199,7
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,20 85 / 80
85
84 / 80
268,9. . 1 1218, 4
N
N
SN
S
It c S
I= − = − =0,23
O salário nominal cresceu em todos os anos quer na Indústria Transformadora
quer na Construção. Mas os preços também cresceram sempre, logo o salário real
pode não ter aumentado.
Passo 2: Calcular a taxa de crescimento do salário real2:
N tR t
t
1+t.c.St.c.S = -11+t.c.IPC
t.c.SRt Indústria Transformadora Construção
N 78R 78
78
1+t.c.S 1 0,16t.c.S = -1 11+t.c.IPBC 1 0, 221
+= −
+=-0,05 N 78
R 7878
1+t.c.S 1 0,15t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,221
+= −
+=-0,06
N 79R 79
79
1+t.c.S 1 0,16t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,242
+= −
+=-0,07 N 79
R 7979
1+t.c.S 1 0, 20t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0, 242
+= −
+=-0,04
N 80R 80
80
1+t.c.S 1 0, 24t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,166
+= −
+=0,07 N 80
R 8080
1+t.c.S 1 0, 26t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,166
+= −
+=0,08
N 81R 81
81
1+t.c.S 1 0,22t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,20
+= −
+=0,01 N 81
R 8181
1+t.c.S 1 0, 28t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,20
+= −
+=0,07
N 82R 82
82
1+t.c.S 1 0,18t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0, 224
+= −
+=-0,04 N 82
R 8282
1+t.c.S 1 0,25t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0, 224
+= −
+=0,02
N 83R 83
83
1+t.c.S 1 0,18t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0, 255
+= −
+=-0,06 N 83
R 8383
1+t.c.S 1 0, 22t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,255
+= −
+=-0,02
N 84R 84
84
1+t.c.S 1 0,18t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0, 293
+= −
+=-0,09 N 84
R 8484
1+t.c.S 1 0,11t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,293
+= −
+=-0,14
N 85R 85
85
1+t.c.S 1 0, 20t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,193
+= −
+=0,01 N 85
R 8585
1+t.c.S 1 0, 23t.c.S = -1 11+t.c.IPC 1 0,193
+= −
+=0,03
Apesar do salário nominal ter crescido sempre foram mais os anos de
diminuição do salário real do que de aumento. Isto aconteceu devido ao forte
crescimento dos preços em qualquer dos anos.
Na indústria transformadora, o salário nominal cresceu sempre mas só em
1981, 82 e 85 se traduziu num crescimento do salário real. Nos outros anos o
2 Para calcular a taxa de crescimento do salário real temos que dividir a taxa de crescimento dos preços por 100 pois o valor que nos é dado está em percentagem.
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 21
crescimento dos preços foi superior ao crescimento do salário nominal do que resultou
uma diminuição do salário real.
Na construção, o salário nominal cresceu sempre mas só em 1980, 81, 82 e 85
se traduziu num crescimento do salário real. Nos outros anos o crescimento dos
preços foi superior ao crescimento do salário nominal do que resultou uma diminuição
do salário real.
Questão 10
Vamos designar por VN0 o capital inicial de que dispomos para emprestar e por iN
a taxa de juro que cobramos pelo empréstimo, ou seja, a taxa de juro nominal:
VN0=25 euros iN=0,06
a) Vamos emprestar os nossos 25 euros durante um ano e, no final desse ano, vamos
receber um montante superior, o montante inicial mais os juros:
VN0=25 euros VN1=?
0 1 VN1= VN0 (1+iN)=25x1,06=26,5
No final do ano recebemos 26,5 euros, um montante superior ao que tínhamos
inicialmente. Mas será que estes 26,5 euros nos permitem adquirir mais bens e
serviços do que os que adquiríamos no período 0 com os nosso 25 euros?
b) A inflação durante este ano foi de 15%. Isto significa que o preço dos bens em
geral cresceu 15%, ou seja, cresceram mais do que o nosso capital que só cresceu à
taxa de 6%. Assim, apesar de termos mais dinheiro no ano 1 o montante de bens e
serviços que conseguimos comprar é inferior ao que conseguíamos comprar com os
25 euros que tínhamos no ano 0.
Para verificar o que dissemos atrás acerca do poder de compra do estudante
podemos então calcular a taxa de juro real do seu empréstimo, que nos dá a evolução
da quantidade de bens e serviços que pode adquirir com o seu dinheiro:
111
−++
=P
NR i
ii = 115,0106,01
−++ =-0,08
A taxa de juro real é negativa logo esta aplicação não foi uma boa opção.
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 22
Assim, apesar de dispormos de um capital superior o nosso poder de compra
diminuiu pelo que não realizámos o objectivo da nossa aplicação que era aumentar a
quantidade de bens e serviços adquirida.
Este problema é conhecido por ilusão monetária: os agentes económicos
interpretam as variações nominais como equivalentes a variações reais não tendo em
atenção as variações dos preços e acabando por perder poder de compra quando os
preços aumentam a um ritmo superior ao dos valores nominais.
c) O estudante ao aplicar o seu dinheiro deve estipular um valor objectivo para a
evolução do seu poder de compra, ou seja, deve escolher a aplicação em função da
taxa de juro real pretendida e não da taxa de juro nominal.
Se ele tivesse fixado como objectivo aumentar o seu poder de compra em 3%
então a taxa de juro a que devia ter emprestado o dinheiro seria, partindo da expressão
da taxa de juro real:
111
−++
=P
NR i
ii , iP=0,15 e iR=0,03.
iN=(1+iR)x(1+iP)-1=1,03x1,15-1=0,1845
Para poder aumentar o seu poder de compra em 3%, a taxa de juro do
empréstimo teria de ser de 18,45%, face ao aumento registado nos preços.
Actualmente, caso o estudante realize poupança, deve escolher uma aplicação
com uma taxa de juro igual ou superior a 2% se não quiser ver o seu poder de compra
diminuir.
Questão 11
a)Este problema é semelhante ao anterior mas agora o prazo do empréstimo é
superior.
Fez-se um contrato de empréstimo por três anos, novamente com o objectivo
de, ao fim dos três anos, vermos o nosso poder de compra aumentado.
Conhecendo nós o problema da ilusão monetária sabemos que, para termos um
ganho real, a taxa de juro a ter em conta não é a taxa de juro nominal (8%) mas a taxa
de juro real.
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 23
No início do período do nosso empréstimo, ou seja, quando realizamos o
contrato, apenas dispomos de uma estimativa da taxa de juro real face à inflação
anunciada pela Governo.
Temos então que começar por calcular a taxa de juro real prevista para cada
um dos três anos e em seguida calcular a taxa de juro real prevista para o período,
problema semelhante ao do cálculo de uma taxa de crescimento médio.
8% 8% 8% iN 8% 6% 4% iP esperada
0 1 2 3
Passo 1
108,0108,011
11
1
1
1−
++
=−+
+=
P
NR i
ii =0
106,0108,011
11
2
2
2−
++
=−+
+=
P
NR i
ii =0,019
104,0108,011
11
3
3
3−
++
=−+
+=
P
NR i
ii =0,038
No primeiro ano o ganho real esperado com o empréstimo é nulo, nos
seguintes já é positivo. Mas o que interessa é a taxa de juro real média para o conjunto
dos três anos.
Passo 2
019,01019,11057722,1
1)038,01()019,01()01(1)1()1()1(3
33321
=−=−=
=−+++=−+++= xxixixii RRRR
A taxa de juro real prevista à data da realização do empréstimo é de 1,9% ano.
b-i) Ao fim dos três anos já podemos calcular qual foi efectivamente o nosso ganho
real face à inflação que na realidade se verificou.
Os passos para a resolução desta alínea são os mesmos da alínea anterior.
8% 8% 8% iN 10% 13% 15% iP efectiva
0 1 2 3
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 24
Passo 1
11,0108,011
11
1
1
1−
++
=−+
+=
P
NR i
ii =-0,018
113,0108,011
11
2
2
2−
++
=−+
+=
P
NR i
ii =-0,04
115,0108,011
11
3
3
3−
++
=−+
+=
P
NR i
ii =-0,06
Efectivamente, ao contrário do esperado, em todos os anos houve uma perda
real e não um ganho. Novamente o que interessa é a taxa de juro real média para o
conjunto dos três anos.
Passo 2
04,019605,018861568,0
1)06,01()04,01()018,01(1)1()1()1(
3
33321
−=−=−=
=−−−−=−+++= xxixixii RRRR
A taxa de juro real efectiva foi de -4% ano, ou seja, as nossas expectativas no
início do período da realização do empréstimo foram totalmente frustradas.
b-ii) À medida que vão passando os anos do nosso empréstimo podemos ir revendo as
nossas expectativas iniciais, ou seja, podemos rever os nosso cálculos da taxa de juro
real média com base na inflação já verificada.
No final do segundo ano já conhecemos a inflação verificada nos dois
primeiros anos, respectivamente, 10% e 13%. Para o terceiro ano a inflação esperada
é de 4%.
8% 8% 8% iN iP efectiva: 10% iP efectiva: 13% iP esperada: 4%
0 1 2 3 Utilizando os resultados das alíneas anteriores sabemos que a taxa de juro real
efectiva para os dois primeiros anos foi de, respectivamente, -4,% e –6%, e a taxa de
juro real esperada para o terceiro ano foi de 3,8%.
Assim, a taxa de juro real média prevista no final do segundo ano é dada por:
007,01992796,0197854336,0
1)038,01()06,01()04,01(3
3
−=−=−=
=−+−−== xxiR
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Exercícios Resolvidos – Marta Simões 25
Ao fim do segundo ano e face à inflação prevista para o terceiro ano já se
prevê uma perda real de 0,7%.
c) Em situações deste género, em que a inflação efectiva se desvia muito da inflação
anunciada pelo Governo, os agentes económicos que dispõem de capital para aplicar
deixam de o fazer pois não conseguem fazer uma previsão fiável dos ganhos reais da
sua aplicação. Ora estas aplicações servem para financiar o investimento na economia
pelo que situações deste género podem pôr em causa a sua capacidade de crescimento.