8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
1/29
Exerccios resolvidos (Lista 4)
1) Traar para a grelha isosttica dada abaixo os diagramas de esforo cortante, momento fletor e
momento torsor. A seguir, calcular o deslocamento vertical do n 1, considerando tanto o efeito do
momento fletor quanto o efeito do momento torsor. Todas as barras tm a mesma rigidez a flexo e
toro, sendo EI=104
kN/m2
e GIt=2EI.
2 kN4
1 kN/m
2 kN
2
1
3
8
76
5
4 kN.m
2 m
2 m
1 m1 m
5
8
76
1
342
Clculo das reaes:
2 kN4
1 kN/m
2 kN
2
1
3
8
76
5
4 kN.m
V5
V3V2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
kN2V0V42242:0V
kN4V02224224V:0M
kN2V022142V4:0M
22
5532
3325
==+++=
===
==+=
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
2/29
Diagrama de esforo cortante:
+
+
+
++
-
-
4 kN
2 m
0.0
2 kN
2 kN
2 kN
2 kN
2 kN
Diagrama de momento fletor:
-
2 kN.m
-
-
-
+
+
+
4 kN.m
4 kN.m
4 kN.m
2 kN.m
4 kN.m
6 kN.m
Diagrama de momento torsor:
4 kN.m
-
-
-
+
4 kN.m
6 kN.m4 kN.m
6 kN.m
0.0
0.0
0.0
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
3/29
Deslocamento do n 1:
Carga e reaes virtuais:
1 kN
0.01/2 kN
1/2 kN
Diagrama de momento fletor virtual:
2 kN.m
+
1/2 kN.m
2 kN.m
1/2 kN.m
+
--0.0
0.0
0.0
Diagrama de momento torsor virtual:
2 kN.m
-
1/2 kN.m
2 kN.m
1/2 kN.m
0.0
0.00.0
0.0
0.0
-
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
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Combinao de diagramas de momentos fletores:
-
+
3.0 kN.m
1.0 kN.m
( )( )EI3
1624*EI2*
31 ==
-
+
3.0 kN.m
3.0 kN.m
( )EI
1
2
14*
EI
1*
2
1=
=
-
+
+
-
+
8.5 kN.m
1.0 kN.m
0.5 kN.m
3.0 kN.m
8.5 kN.m
3.0 kN.m
+=
( )
EI3
2
2
14*
EI
1*
3
1=
=
-
2 kN.m
4 kN.m =4 kN.m 6 kN.m+ 4 kN.m
2 kN.m+
++
( )( ) ( )( )EI3
16
EI
1622*
EI
4*
3
124*
EI
4*
2
1+=+=
somando:
=
++++= 17
3
34
EI
116
3
16
3
21
3
16*
EI
1
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
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Combinao de momentos torsores:
-
-
4 kN.m
2 kN.m
( )( ) EI4
GI824*
GI1
tt===
-
-
1/2 kN.m
6 kN.m
( )EI2
3
GI
3
2
16*
GI
1
tt
==
=
somando:
+=2
34
EI
1; logo, o deslocamento do n 1 ser:
m10*83.332
3417
3
34
EI
1 41
=
+++=
2) Traar para a grelha isosttica os diagramas de momento fletor (DM), esforo cortante (DQ) e
momento torsor (DT), destacando os valores extremos. Perde-se tambm mostrar o equilbrio dos
momentos fletores e torsores nos ns da grelha.
2 kN
2 kN
2 kN/m
2 kN
7
6
5
43
21
1 m
1 m
1 m
4 m
16
75
43
2
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
6/29
Clculo das reaes:
2 kN
2 kN
2 kN/m
2 kN
7
6
5
43
21
V2= 5.5 kN
V7= 5 kN
V4= 3.5 kN
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
kN5.5V0V5.352822:0V
kN5.3V015182V22:0M
kN5V042284V1212:0M
22
4421
7742
==+++=
==++=
==++=
Diagrama de esforo cortante:
-
-
-
+
+
+
+
2 kN
2 kN
3 kN
2 kN
1.5 kN
5 kN
3.5 kN2.5 m
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
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Diagrama de momento fletor:
-
-
-
+
-
+
+
2 kN.m
2.25 kN.m1.5 kN.m
2 kN.m
4 kN.m
3.5 kN.m
2 kN.m
Diagrama de momento torsor:
+
-
+2 kN.m
2 kN.m
2 kN.m 0.0
0.0
0.0
Equilbrio no ns:
2
1.5
24
3.5
2
2
2
N 5
N 2, 4 e 7
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
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3) Traar para a grelha dada abaixo os diagramas de momento fletor (DM), esforo cortante (DQ) e
momento fletor (DT), destacando os valores extremos. Pede-se tambm mostrar o equilbrio dos
momentos fletores e torsores nos ns da grelha.
4 kN
4 kN
2 kN/m
4 kN
7
65
4
3
21
2 m
1 m
2 m
4 m
1
6
7
5
43
2
Clculo das reaes:
4 kN
4 kN
2 kN/m
4 kN
7
65
43
21
V6= 6 kN
V4= 9 kN
V2 = 5 kN
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
kN5V0V964844:0V
kN9V04V26442844:0M
kN6V04V28441414:0M
22
4421
6642
==+++=
==++=
==++=
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
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Diagrama de esforo cortante:
+
+
+
-
-
-
4 kN
2 kN
5 kN
4 kN6 kN
1 kN
4 kN
1 m
Diagrama de momento fletor:
-
+
-
+
-
+
-
4 kN.m
8 kN.m
1 kN.m
8 kN.m
10 kN.m
2 kN.m
4 kN.m
Diagrama de momento torsor:
- 8 kN.m
-
+
4 kN.m
4 kN.m
0.0
0.0
0.0
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
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Equilbrio dos ns:
4 kN.m
4 kN.m
8 kN.m
10 kN.m
4 kN.m
2 kN.m4 kN.m
8 kN.m
4 kN.m
4 kN.m
8 kN.m
8 kN.m
4) Traar para o prtico isosttico dado abaixo os diagramas de esforo cortante (DQ) e momento fletor
(DM) mostrando todos os valores necessrios ao entendimento dos resultados. A seguir, usando o
Princpio dos Trabalhos Virtuais Complementar (PTVC), calcular o deslocamento vertical do n 2 (2).
Todas as barras tm a mesma rigidez a flexo, sendo EI = 104kN/m
2.
2 kN
2 kN/m
3 kN/m
2 m
2 m
2 m
6 m
1 7
6
54
3
2
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
11/29
Clculo das reaes de apoio:
2 kN
2 kN/m
3 kN/m
1 7
6
54
3
2
V1= 11 kN
V7= 9 kN
H7= 6 kNH1= 2 kN
M7= 12 kN.m
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )eM2
1H0M2H:0M
d54MV6H2
0M6V2H3182214:0M
kN2H0142H:0M
c66MV60M6V2221828:0M
b8HH0HH8:0H
a20VV0VV218:0V
7777inf6
777
777sup3
11inf3
77771
71717171
==+=
=++
=+++=
==+=
=+=+++=
=+==
=+=++=
Substituindo-se (e) em (d), (c), (a) e (b); chega-se a:
m.kN12M
kN6H
kN9V
kN2H
kN11V
7
7
7
1
1
=
=
=
=
=
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
12/29
Diagrama de esforo cortante:
-
+
-
+
-
+
2 kN
6 kN
9 kN
6 kN
9 kN
2 kN
3 m
Diagrama de momento fletor:
-
+
--
+
-
+
-
1 kN.m
12 kN.m12 kN.m
4 kN.m
8 kN.m
12 kN.m
1.5 kN.m
12 kN.m
Deslocamento vertical no n 2: A estrutura com a carga virtual e as reaes verticais :
1 kN
1/3 kN4/3 kN
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
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-
-
12
2
+
2
13.5
-
logo, o diagrama de momento fletor virtual ser:
-
0.0 0.0
2 kN.m
Fazendo as combinaes dos diagramas de momentos, tem-se:
( )( ) 44
10*3
1624*
10
2*
3
1 ==
( )( ) 44
10*72212*10
6*
2
1 ==
( )( ) 44
10*5425.13*10
6*
3
1 ==
logo:
2= 23.3*10-4
m
-
- 2
4
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
14/29
5) Traar para o prtico isosttico dado abaixo os diagramas de esforo cortante (DQ) e momento fletor
(DM), mostrando todos os valores necessrios ao entendimento dos resultados. a seguir, usando o
Princpio dos Trabahos virtuais Complementar, calcular o deslocamento vertical do n 2 (v2). Todas as
barras tm a mesma rigidez a flexo, sendo EI = 10-4
kN/m2.
2 kN
2 kN
3 kN/m
1 m
1 m
1 m
4 m
1 6
5
43
2
Clculo das reaes:
2 kN
2 kN
3 kN/m
1 6
5
43
2
V1= 9 kN M6= 2 kN.m
V6= 5 kN
H6= 2 kN
( )
( ) ( ) ( ) ( ) kN9V021252124V:0M
MH0M1H:0M
kN2H0H2:0H14VV0VV212:0V
11sup5
6666inf5
66
6161
==+++=
==+=
====+=++=
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
15/29
logo:
m.kN2M
kN2H
kN5V
kN9V
6
6
6
1
=
=
=
=
Diagrama de esforo cortante:
-
+
+
- -
2 kN
5 kN
7 kN
2 kN
2 kN
Diagrama de momento fletor:
+
-
2 kN.m
--
-
-
+
2 kN.m
2 kN.m
6 kN.m
2 kN.m
4 kN.m
2.17 kN.m
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
16/29
-
-1 kN.m
2 kN.m6 kN.m
Deslocamento vertical do n 2:
A carga virtual, as reaes virtuais e o diagrama de momentos fletores virtuais so:
-
1 kN.m
1/4 kN
3/4 kN
1 kN
Combinando os diagramas reais e virtuais, tem-se:
( ) ( )[ ] 44
10*3
286221*
10
4*
6
1 =+=
( ) ( ) 44
10*861*10
4*
3
1 =+=
( )( ) 44
10*3
212*
10
1*
3
1 ==
-
-1 kN.m
2 kN.m
-
+6 kN.m
1 kN.m
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
17/29
logo:
2= 2*10-4
m
6) Calcular para o prtico isosttico dado abaixo, usando o PTVC e considerando apenas o efeito do
momento fletor, a rotao da tangente elstica no apoio 10. Todas as barras tm a mesma rigidez a
flexo, sendo EI=104kN/m
2.
2 m 2 m 2 m
2 m
2 m
2 m
2 kN.m
3 kN.m
2 kN/m
5
4
6
9
732
101
8
Clculo das reaes:
Dividindo as estrutura da forma:
2 kN.m
3 kN.m
2 kN/m
5
4
6
973
2
101
8
V6= 9.25
H6= 0.5
V10= 3.5
H10= 1.5
V1= 8.5
H1= 1.5
H6= 0.5
V6= 9.25
V2= 2.75
H2= 0.5
V2= 2.75
H2 = 0.5
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
18/29
Parte superior:
( )
( ) ( ) ( ) kN25.9V04V22
1312:0M
kN2
1H04H2:0M
0HH:0H
012VV:0V
66dir4
22esq4
62
62
==+=
==+=
==
=+=
logo:
kN25.9V
kN5.0H
kN75.2V
kN5.0H
6
6
2
2
=
=
=
=
Parte inferior:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) kN5.8V025.14V675.2225.925.03:0M
kN5.1H02H3:0M
0HH:0H
025.975.2VV:0V
11esq9
1010dir9
101
101
==+++=
===
==
=+=
logo:
kN5.3V
kN5.1H
kN5.8V
kN5.1H
10
10
1
1
=
=
=
=
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
19/29
Diagrama de momento fletor:
2.0kN.m
5.5kN.m
3 kN.m
1 kN.m
4 kN.m
5 kN.m
1.8kN.m
1 kN.m
4 kN.m
3 kN.m
8.5kN.m
3 kN.m
3 kN.m
-
-- -
-
--
+
-
-
++-
5 kN.m
1 kN.m
4 kN.m3 kN.m 4 kN.m
1 kN.m
5.5 kN.m
3 kN.m
8.5 kN.m
Rotao no apoio 10:
O momento virtual e as reaes virtuais so:
1 kN.m
5
6
9
732
101
8
0.50.25
0.5
0.25
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
20/29
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
21/29
-
-
+4.0 kN.m
3.0 kN.m
0.5 kN.m
4.0 kN.m
3.0 kN.m
+
-
+=
( ) ( )EI3
4
EI2
1
2
14*
EI
2*
3
13
2
1*
EI
2*
6
1+=
+
=
logo, a rotao no n 10 ser:
rad10*67.1EI3
4
EI2
1
EI
1 510
=+=
7) Classificar a estrutura dada abaixo, mostrando claramente as restries e, usando a numerao dos
ns fornecida, traar os diagramas de normal, cortante e momento fletor, mostrando todos os valores
necessrios ao completo entendimento dos resultados.
2 kN/m
4 kN.m
3 kN
2 m
2 m
2 m 2 m4 m2 m
1
9876
543
2
10
ISOR6
LG6
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
22/29
Clculo das reaes:
2 kN/m
4 kN.m
3 kN
1
9876
543
2
10H1
V1V10
H10
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 0H2V04H2V144:0M
9HV04H4V312:0M
3HH0HH3:0H16VV0VV16:0V
1111esq7
10101010dir7
101101
101101
=+=++=
==+=
==+==+=++=
Resolvendo as equaes, chega-se a:
kN33.4H
kN33.13VkN33.1H
kN67.2V
10
10
1
1
=
==
=
Diagrama de esforo normal:
0.0
0.0
0.0
-4.33 kN
-2.67 kN
-2.67 kN
-3 kN-13.3 kN
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
23/29
Diagrama de esforo cortante:
-
++
+
+
--
3 kN
4 kN
4.33 kN
9.33 kN
2.67 kN
4.33 kN
0.0
1.33 kN
0.0
1.34 m
Diagrama de momento fletor:
+
--
-
+
-
+
-
7.33 kN.m6 kN.m
6 kN.m
2.67 kN.m
4 kN.m
21.32 kN.m
0.44 kN.m
1.34 kN.m
1.34 kN.m
4 kN.m
17.32 kN.m
-
7.33 kN.m
6.0 kN.m
2.67 kN.m
4.0 kN.m
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
24/29
8) Classificar a estrutura dada abaixo e, usando a numerao dos ns fornecida, traar os diagramas de
normal, cortante e momento f;etor, mostrando todos os valores necessrios ao completo entendimento
dos resultados.
2 kN/m
2 kN
1 kN
2 m
2 m
2 m 2 m3 m2 m
1
9
76
543
2
11
108
1 m
2 kN.m
Clculo das reaes:
2 kN/m
2 kN
1 kN
1
9
76
543
2
11
108
2 kN.m
V1= 12 kN
H11= 1 kN
V11= 7 kN
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) kN7V0412415V5.210:0M
kN1T0224T:0M
12VV0VV102:0V
kN1H0H1:0H
1111dir6
111111inf6
111111
1111
==+=
===
=+=++=
==+=
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
25/29
logo:
kN1T
kN7V
kN1H
kN5V
111
11
11
1
=
=
=
=
Reaes internas na trelia do prtico:
9
7
108
2 kN.mH8= 1kN
V7= 1kN
V8= 1 kN
H7= 1 kN
( )
( ) ( ) kN1VkN1V0212V:0M
kN1HkN1H02H2:0M
0VV:0H
0HH:0H
877sup9
8778
87
87
===+=
===+=
==
=+=
logo:
2 kN.m
2 kN
1 kN
1 kN
1 kN
1 kN1 kN
1 kN1 kN
7 kN
1 kN1 kN
5 kN
1 kN
1 kN
-1 kN
1 kN
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
26/29
Diagrama de esforo normal:
0.0
-1 kN
-5 kN
0.0-1 kN
-1.41 kN
0.0
-8 kN-3 kN
-2 kN
+1 kN
-7 kN
Diagrama de esforo cortante:
+
2 kN
+
-
-
-
-
-
+
+
1 kN
3 kN
7 kN
3 kN
2 kN
2 kN
1 kN
1 kN
0.0
Diagrama de momento fletor:
4 kN.m
-
-
-
+
-
+
-
+
+
2 kN.m
10 kN.m
10 kN.m
2.25 kN
4 kN.m
4 kN.m
2 kN.m
2 kN.m
2 kN.m
4 kN.m
2 kN.m
4 kN.m
2 kN.m
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
27/29
9) Para a estrutura dada abaixo pede-se identificar as barras que esto submetidas apenas a esforo
normal e as barras que podem ter, alm do normal, cortante e momento fletor. A seguir, traar os
diagramas de momento fletor e esforo cortante, explicitando todos os valores necessrios completa
compreenso dos mesmos, e mostrar a distribuio do esforo normal nas barras da estrutura.
Determinar tambm o nmero de graus de liberdade e o nmero de restries.
1 m 2 m 2 m
2 m
2 m
1 m 2 m
4 kN/m
9
87654
32
110
ISOR27
LG27
Clculo das reaes:
4 kN/m
9
87654
32
1
10
H1
V1 H10
V10
M10
V9
H9
V9
H9
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
28/29
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0VV32:0V
0HH:0H
64HV302H6V432:0M
16HV02H2V216:0M
91
91
99991
9999dir6
=++=
==
=+=++=
==+=
resolvendo resulta em:
kN20V
kN4H
kN12V
kN4H
9
9
1
1
=
=
=
=
Na barra 9 10:
( ) 0M24:0M
0H4:0H0V20:0V
109
10
10
=+=
===+=
logo:
m.kN8M
kN4H
kN20V
10
10
10
=
=
=
Clculo das barras submetidas a fora axial:
9
87654
32
110
12 kN
4 kN4 kN
20 kN
8 kN.m
-4 kN -8.9 kN
0
-4 kN0
-8.9 kN
0 -4.0 kN 0
-20.0 kN
-20.0 kn
-4.0 kN
8/10/2019 Exercicios Resolvidos Lista 4
29/29
Diagrama de esforo cortante:
-
+
+
++
-
4 kN
8 kN
4 kN
4 kN
4 kN
12 kN
Diagrama de momento fletor:
2 kN.m
8 kN.m
8 kN.m
16 kN.m
2 kN.m
8 kN.m+
+
-
-
-
+