1 | Projeto Futuro Militar – www.futuromilitar.com.br Exercícios de Matemática Progressão Geométrica 1) (FUVEST-2010) Os números a 1 , a 2 , a 3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo que a 1 + 3, a 2 – 3, a 3 – 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que a 1 > 0 e a 2 = 2, conclui-se que r é igual a a) 3 3 b) 2 3 3 c) 4 3 3 d) 2 3 3 e) 3 3 2) (VUNESP-2010) Desejo ter, para minha aposentadoria, 1 milhão de reais. Para isso, faço uma aplicação financeira, que rende 1% de juros ao mês, já descontados o imposto de renda e as taxas bancárias recorrentes. Se desejo me aposentar após 30 anos com aplicações mensais fixas e ininterruptas nesse investimento, o valor aproximado, em reais, que devo disponibilizar mensalmente é: Dado: 1,01 361 36 a) 290,00. b) 286,00. c) 282,00. d) 278,00. e) 274,00. 3) (FUVEST-2009) A soma dos cinco primeiros termos de uma PG, de razão negativa, é 2 1 . Além disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3. Nessas condições, determine: a) A razão da PG. b) A soma dos três primeiros termos da PG. 4) (VUNESP-2009) Em uma determinada região de floresta na qual, a princípio, não havia nenhum desmatamento, registrou-se, no período de um ano, uma área desmatada de 3 km 2 e a partir daí, durante um determinado período, a quantidade de área desmatada a cada ano cresceu em progressão geométrica de razão 2. Assim, no segundo ano a área total desmatada era de 3 + 2.3 = 9 km 2 . Se a área total desmatada nessa região atingiu 381 km 2 nos n anos em que ocorreram desmatamentos, determine o valor de n. 5) (Mack-2007) Em uma seqüência de quatro números, o primeiro é igual ao último; os três primeiros, em progressão geométrica, têm soma 6, e os três últimos estão em progressão aritmética. Um possível valor da soma dos quatro termos dessa seqüência é a) 10 b) 18 c) 12 d) 14 e) 20 6) (Mack-2007) cotg ... 12 6 3 é igual a a) 3 b) 3 c) 3 3 d) 3 3 e) 3 3 2 7) (FUVEST-2008) Sabe-se sobre a progressão geométrica a 1 ,a 2 ,a 3 , , , que a 1 > a e a 6 = –9 3 . Além disso, a progressão geométrica a 1 , a 5 , a 9 , ...tem razão igual a 9. Nessas condições, o produto a 2 a 7 vale a) –27 3 b) –3 3 c) – 3 d) 3 3 e) 27 3 8) (UFC-2007) A seqüência (a n ) n1 tem seus termos dados pela fórmula a n = 2 1 n . Calcule a soma dos dez primeiros termos da seqüência (b n ) n1 , onde b n = n a 2 para n 1. 9) (UFC-2007) O último algarismo da soma 1 + 6 + 6 2 + 6 3 + ... + 6 2006 é igual a: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 10) (UNICAMP-2007) Por norma, uma folha de papel A4 deve ter 210mm x 297mm. Considere que uma folha A4 com 0,1mm de espessura é seguidamente dobrada ao meio,
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Exercícios de Matemática Progressão Geométrica
1) (FUVEST-2010) Os números a1, a2, a3 formam uma
progressão aritmética de razão r, de tal modo que a1 + 3, a2
– 3, a3 – 3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda
que a1 > 0 e a2 = 2, conclui-se que r é igual a
a) 33
b) 2
33
c) 4
33
d) 2
33
e) 33
2) (VUNESP-2010) Desejo ter, para minha aposentadoria, 1
milhão de reais. Para isso, faço uma aplicação financeira,
que rende 1% de juros ao mês, já descontados o imposto de
renda e as taxas bancárias recorrentes. Se desejo me
aposentar após 30 anos com aplicações mensais fixas e
ininterruptas nesse investimento, o valor aproximado, em
reais, que devo disponibilizar mensalmente é:
Dado: 1,01361 36
a) 290,00.
b) 286,00.
c) 282,00.
d) 278,00.
e) 274,00.
3) (FUVEST-2009) A soma dos cinco primeiros termos de
uma PG, de razão negativa, é 2
1. Além disso, a diferença
entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3.
Nessas condições, determine:
a) A razão da PG.
b) A soma dos três primeiros termos da PG.
4) (VUNESP-2009) Em uma determinada região de floresta
na qual, a princípio, não havia nenhum desmatamento,
registrou-se, no período de um ano, uma área desmatada de
3 km2 e a partir daí, durante um determinado período, a
quantidade de área desmatada a cada ano cresceu em
progressão geométrica de razão 2. Assim, no segundo ano a
área total desmatada era de 3 + 2.3 = 9 km2. Se a área total
desmatada nessa região atingiu 381 km2 nos n anos em que
ocorreram desmatamentos, determine o valor de n.
5) (Mack-2007) Em uma seqüência de quatro números, o
primeiro é igual ao último; os três primeiros, em progressão
geométrica, têm soma 6, e os três últimos estão em
progressão aritmética. Um possível valor da soma dos
quatro termos dessa seqüência é
a) 10
b) 18
c) 12
d) 14
e) 20
6) (Mack-2007) cotg
...
1263 é igual a
a) 3
b) 3
c) 3
3
d) 3
3
e) 3
32
7) (FUVEST-2008) Sabe-se sobre a progressão geométrica
a1,a2,a3 , , , que a1 > a e a6 = –9 3 . Além disso, a
progressão geométrica a1, a5, a9, ...tem razão igual a 9.
Nessas condições, o produto a2a7 vale
a) –27 3
b) –3 3
c) – 3
d) 3 3
e) 27 3
8) (UFC-2007) A seqüência (an)n1 tem seus termos dados
pela fórmula an = 2
1n . Calcule a soma dos dez primeiros
termos da seqüência (bn)n1, onde bn = na2 para n 1.
9) (UFC-2007) O último algarismo da soma 1 + 6 + 6
2 + 6
3 +
... + 62006
é igual a:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
10) (UNICAMP-2007) Por norma, uma folha de papel A4
deve ter 210mm x 297mm. Considere que uma folha A4
com 0,1mm de espessura é seguidamente dobrada ao meio,
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de forma que a dobra é sempre perpendicular à maior
dimensão resultante até a dobra anterior.
a) Escreva a expressão do termo geral da progressão
geométrica que representa a espessura do papel dobrado em
função do número k de dobras feitas.
b) Considere que, idealmente, o papel dobrado tem o
formato de um paralelepípedo. Nesse caso, após dobrar o
papel seis vezes, quais serão as dimensões do
paralelepípedo?
11) (UFSCar-2007) O conjunto solução da equação sen
...
81
8
27
8
9
8= cos x, com x [0,2[, é
a) 3
4,3
2
b) 6
7,6
5
c) 4
5,4
3
d) 6
11,6
e) 3
5,3
12) (VUNESP-2007) Devido ao aquecimento das águas, a
ocorrência de furacões das categorias 4 e 5 — os mais
intensos da escala Saffir-Simpson — dobrou nos últimos 35
anos (Veja, 21.06.2006). Seja x o número de furacões
dessas categorias, ocorridos no período 1971-2005. Vamos
supor que a quantidade de furacões a cada 35 anos continue
dobrando em relação aos 35 anos anteriores, isto é, de 2006
a 2040 ocorrerão 2x furacões, de 2041 a 2075 ocorrerão 4x
furacões, e assim por diante. Baseado nesta suposição,
determine, em função de x, o número total de furacões que
terão ocorrido no período de 1971 a 2320.
13) (FUVEST-2007) Um biólogo está analisando a
reprodução de uma população de bactérias, que se iniciou
com 100 indivíduos. Admite- se que a taxa de mortalidade
das bactérias é nula. Os resultados obtidos, na primeira
hora, são:
Tempo decorrido (minutos) Número de bactérias
0 100
20 200
40 400
60 800
Supondo-se que as condições de reprodução continuem
válidas nas horas que se seguem, após 4 horas do início do
experimento, a população de bactérias será de
a) 51.200
b) 102.400
c) 409.600
d) 819.200
e) 1.638.400
14) (Mack-2006) Dada a matriz A =
3
10
02
1
, considere a
seqüência formada por todas as potências inteiras e
positivas de A, isto é, A, A2, A3, ... An, ... . Somando-se
todas as matrizes desta seqüência obtemos uma matriz, cujo
determinante é
a) 3
1
b) 4
1
c) 6
1
d) 5
1
e) 2
1
15) (Vunesp-2006) Dado x0 = 1, uma seqüência de números
x1, x2, x3, ... satisfaz a condição xn = axn-1, para todo inteiro
n1, em que a é uma constante não nula.
a) Quando a = 2, obtenha o termo x11 dessa seqüência.
b) Quando a = 3, calcule o valor da soma x1 + x2 + ... + x8.
16) (Mack-2006) Se (1 - senx, 1 - cos x, 1 + sen x), 0 < x <
2
, é uma progressão geométrica, cos2x vale
a) 2
1
b) 2
3
c) - 2
1
d) - 2
3
e) - 2
2
17) (UFPB-2006) Socorro, apaixonada por Matemática,
propôs para seu filho, João: “Você ganhará uma viagem de
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presente, no final do ano, se suas notas, em todas as
disciplinas, forem maiores ou iguais à quantidade de termos
comuns nas progressões geométricas (1,2,4, ... ,4096) e
(1,4,16, ... ,4096)”. De acordo com a proposta, João
ganhará a viagem se não tiver nota inferior a:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
18) (UNIFESP-2004) Um objeto parte do ponto A, no
instante t = 0, em direção ao ponto B, percorrendo, a cada
minuto, a metade da distância que o separa do ponto B,
conforme figura. Considere como sendo de 800 metros a
distância entre A e B. Deste modo, ao final do primeiro
minuto (1º período) ele deverá se encontrar no ponto A1; ao
final do segundo minuto (2º período), no ponto A2; ao final
do terceiro minuto (3º período), no ponto A3, e, assim,
sucessivamente. Suponhamos que a velocidade se reduza
linearmente em cada período considerado.
a) Calcule a distância percorrida pelo objeto ao final dos 10
primeiros minutos. Constate que, nesse instante, sua
distância ao ponto B é inferior a 1 metro.
b) Construa o gráfico da função definida por “f(t) =
distância percorrida pelo objeto em t minutos”, a partir do
instante t = 0.
19) (UFV-2005) O interior de uma jarra é um cilindro
circular reto e contém V litros de água. Se fosse retirado 1
litro desta água, o raio, o diâmetro e a altura da água, nesta
ordem, formariam uma progressão aritmética. Se, ao
contrário, fosse adicionado 1 litro de água na jarra, essas
grandezas, na mesma ordem, formariam uma progressão
geométrica. O valor de V é:
a) 6
b) 4
c) 9
d) 7
e) 5
20) (UFSCar-2006) Selecionando alguns termos da PA (0, 2,
4, 6, 8, ..., n), formamos a PG (2, 8, 32, 128, ..., p). Se a PG
formada possui 100 termos, o número mínimo de termos da
PA é
a) 2197
.
b) 2198
- 1.
c) 2198
.
d) 2198
+ 1.
e) 2199
.
21) (Vunesp-2006) No início de janeiro de 2004, Fábio
montou uma página na internet sobre questões de vestibulares. No ano de 2004, houve 756 visitas à página.
Supondo que o número de visitas à página, durante o ano,
dobrou a cada bimestre, o número de visitas à página de
Fábio no primeiro bimestre de 2004 foi
a) 36.
b) 24.
c) 18.
d) 16.
e) 12.
22) (FUVEST-2006) Três números positivos, cuja soma é 30,
estão em progressão aritmética. Somando-se,
respectivamente, 4, -4 e -9 aos primeiro, segundo e terceiro
termos dessa progressão aritmética, obtemos três números
em progressão geométrica. Então, um dos termos da
progressão aritmética é
a) 9
b) 11
c) 12
d) 13
e) 15
23) (IBMEC-2005) O departamento de arqueologia da
Universidade de Oxford mantém em sua biblioteca uma
coleção de aproximadamente 500.000 papiros, todos com
mais de 1000 anos de idade, cujo conteúdo começou a ser
desvendado a partir de 2002, utilizando-se uma técnica
chamada de imagem multiespectral, desenvolvida pela
Nasa. Se um computador, munido de um sistema de
inteligência artificial, conseguir decifrar o contéudo de cada
um destes papiros, sempre gastando a metade do tempo que
precisou para decifrar o papiro anterior e, considerando que
o primeiro papiro seja decifrado por este computador em 10
anos, então toda a coleção de papiros citada será decifrada
em
a) aproximadamente 20 anos.
b) aproximadamente 40 anos.
c) aproximadamente 50 anos.
d) aproximadamente 80 anos.
e) aproximadamente 100 anos.
24) (Vunesp-2005) Considere um triângulo eqüilátero T1 de
área 16 3 cm2 Unindo-se os pontos médios dos lados
desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo eqüilátero
T2, que tem os pontos médios dos lados de T1 como
vértices. Unindo-se os pontos médios dos lados desse novo
triângulo obtém-se um terceiro triângulo eqüilátero T3, e
assim por diante, indefinidamente. Determine:
a) as medidas do lado e da altura do triângulo T1, em
centímetros;
b) as áreas dos triângulos T2 e T7, em cm2.
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25) (Vunesp-2005) Considere um triângulo eqüilátero cuja
medida do lado é 4cm. Um segundo triângulo eqüilátero é
construído, unindo-se os pontos médios dos lados do
triângulo original. Novamente, unindo-se os pontos médios
dos lados do segundo triângulo, obtém-se um terceiro
triângulo eqüilátero, e assim por diante, infinitas vezes. A
soma dos perímetros da infinidade de triângulos formados
na seqüência, incluindo o triângulo original, é igual a
a) 16cm.
b) 18cm.
c) 20cm.
d) 24cm.
e) 32cm.
26) (FMTM-2005) A soma dos infinitos termos de uma
progressão geométrica crescente é igual a 13,5 e a soma dos
dois primeiros termos é igual a 12. Nessas condições, o
termo numericamente igual à razão da seqüência é o
a) quarto.
b) quinto.
c) sexto.
d) sétimo.
e) oitavo.
27) (Fuvest-2005) Uma seqüência de números reais a1, a2,
a3, … satisfaz à lei de formação
an + 1 = 6an, se n é ímpar,
an + 1 = 3
1 an, se n é par.
Sabendo-se que a1 = 2
a) escreva os oito primeiros termos da seqüência.
b) determine a37 e a38.
28) (Mack-2005) Um programa computacional, cada vez
que é executado, reduz à metade o número de linhas
verticais e de linhas horizontais que formam uma imagem
digital. Uma imagem com 2048 linhas verticais e 1024
linhas horizontais sofreu uma redução para 256 linhas
verticais e 128 linhas horizontais. Para que essa redução
ocorresse, o programa foi executado k vezes. O valor de k
é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
29) (FGV-2005) A figura indica infinitos triângulos