1 EXERCÍCIOS LMI CONTROL TOOLBOX MATLAB Manuel Ricardo Vargas Ávila [email protected]Universidade Federal do Rio Grande do Sul Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica Controle Multivariável RESUMO: O presente documento consiste em um desenvolvimento dos exercícios propostos (Inequações Matriciais Lineares- LMI) na aula de controle multivariavel. Para a solução de LMIs, será usado o pacote de LMI CONTROL TOOLBOX de Matlab. PALAVRAS-CHAVE: Traço, Feasp, minCX, ganho estabilizante. 1 EXERCÍCIO 1 Determine uma condição LMI que possibilite a síntese de uma realimentação de estados de forma a garantir o posicionamento dos polos do sistema em malha fechada, nas seguintes regiões: 1.1 BASE TEÓRICA Considere o seguinte sistema controlável, observável, linear e invariante no tempo: () ̇ = () + () (1) () = () Sendo ∈ , ∈ , ∈ , () é o vetor de estados, () a saída de interesse e () a entrada de controle. O objetivo do problema é projetar uma condição LMI que possibilite a síntese de uma realimentação de estados tal que os pólos de malha fechada fiquem em uma determinada região especifica. Considerando: Teorema 1: (Estabilidade de Lyapunov) Dado o sistema: ̇ = Existe uma solução >0 simétrica de modo que ′ + + < 0, onde N > 0 (simétrica) é uma matriz arbitrária ao ponto de operação [1]. Definição 1: A Região LMI é uma região convexa no plano complexo, denotada por simétrica com respeito ao eixo real (GAHINET et al., 1995), definida por: ≜ { ℂ| + + ̅ ′ < 0} (2) Sendo = ′ e M matrizes reais. Corolário 1: Seja o modelo simplificado com base em (2) (GAHINET et al., 1995), de modo que: () = + + ̅ ′ (3) As regiões mais utilizadas em projetos de sistemas de controle com otimizacao LMI são mostradas de acordo o Colorario 1 e nas figuras 1 e 2. Semiplano esquerdo, () < 1 () = −2 1 + + ̅ (4) Figura 1 - ℜ{} ≤ 1 Semiplano direito, () > 2 : () = −2 2 − − ̅ (5) Figura 2 - ℜ{} ≥ 2
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Universidade Federal do Rio Grande do Sul Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
Controle Multivariável
RESUMO: O presente documento consiste em um
desenvolvimento dos exercícios propostos (Inequações Matriciais Lineares- LMI) na aula de controle multivariavel. Para a solução de LMIs, será usado o pacote de LMI CONTROL TOOLBOX de Matlab.
PALAVRAS-CHAVE: Traço, Feasp, minCX, ganho
estabilizante.
1 EXERCÍCIO 1
Determine uma condição LMI que possibilite a síntese de uma realimentação de estados de forma a
garantir o posicionamento dos polos do sistema em malha fechada, nas seguintes regiões:
1.1 BASE TEÓRICA
Considere o seguinte sistema controlável,
observável, linear e invariante no tempo:
𝒙(𝒕)̇ = 𝑨𝑥(𝑡) + 𝑩𝑢(𝑡) (1)
𝒛(𝒕) = 𝑪𝑥(𝑡)
Sendo 𝑨 ∈ 𝓡𝒏𝒙𝒏, 𝑩 ∈ 𝓡𝒏𝒙𝒑, 𝑪 ∈ 𝓡𝒎𝒙𝒏 , 𝑥(𝑡) é o
vetor de estados, 𝒛(𝒕) a saída de interesse e 𝑢(𝑡) a
entrada de controle. O objetivo do problema é projetar uma condição LMI
que possibilite a síntese de uma realimentação de estados tal que os pólos de malha fechada fiquem em uma determinada região especifica.
Considerando: Teorema 1: (Estabilidade de Lyapunov) Dado o
sistema:
�̇� = 𝐴𝑥 Existe uma solução 𝑷 > 0 simétrica de modo que 𝑨′𝑷 + 𝑷𝑨 +𝑵 < 0, onde N > 0 (simétrica) é uma matriz
arbitrária ao ponto de operação [1]. Definição 1: A Região LMI é uma região convexa
no plano complexo, denotada por 𝒟 simétrica com
respeito ao eixo real (GAHINET et al., 1995), definida por:
𝕯 ≜ {𝑧 𝜖 ℂ|𝐿 + 𝑧𝑴+ 𝑧̅𝑴′ < 0} (2)
Sendo 𝑳 = 𝑳′ e M matrizes reais.
Corolário 1: Seja o modelo simplificado com base em (2) (GAHINET et al., 1995), de modo que:
𝒇𝕯(𝒛) = 𝐿 + 𝑧𝑴+ 𝑧̅𝑴′ (3)
As regiões mais utilizadas em projetos de sistemas
de controle com otimizacao LMI são mostradas de acordo o Colorario 1 e nas figuras 1 e 2.
O objetivo do exercício é calcular 𝑨𝒌, 𝑩𝒌, 𝑪𝒌, 𝑫𝒌 do compensador dinâmico (25), de forma garantir que 𝜎(𝑨𝒄𝒍) tenham parte real negativa. Nós vamos definir agora as seguintes matrizes:
𝝅𝟏 = [𝑋 𝐼𝑀′ 0
] (28)
𝝅𝟐 = [𝐼 𝑌0 𝑁′
] (29)
Agora multiplicando ao lado esquerdo de (26) por
𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝅𝟏′ , 𝑰) e o lado direito por 𝒅𝒊𝒂𝒈(𝝅𝟏, 𝑰).
[𝝅𝟏′ 00 𝐼
] [𝐴′𝑷+ 𝑷𝐴 𝑷𝐵𝑤𝐵𝑤′𝑷 −𝐼
] [𝝅𝟏 00 𝐼
] < 0
[𝝅𝟏′ 𝑨′𝑷+𝝅𝟏
′ 𝑷𝐴 𝝅𝟏′ 𝑷𝐵𝑤
𝐵𝑤′𝑷 −𝐼] [𝝅𝟏 00 𝐼
] < 0
[𝝅𝟏′ 𝑨′𝑷𝝅𝟏 +𝝅𝟏
′ 𝑷𝐴𝝅𝟏 𝝅𝟏′ 𝑷𝐵𝑤
𝐵𝑤′𝑷𝝅𝟏 −𝐼] < 0 (30)
Agora considerando:
𝝅𝟏′ 𝑷 = 𝝅𝟐′
(31)
𝑷𝝅𝟏 = 𝝅𝟐
Fazendo substituição em (30)
[𝝅𝟏′ 𝑨′𝝅𝟐 + 𝝅𝟐′𝐴𝝅𝟏 𝝅𝟐′𝐵𝑤
𝐵𝑤 ′𝝅𝟐 −𝐼] < 0 (32)
Considerando:
𝐴 = 𝑨𝒄𝒍 Agora fazendo substituição de (28) e (29) em (32):
𝝅𝟐′ 𝐴𝝅𝟏 = [
𝐴𝑋 + 𝐵�̂� 𝐴 + 𝐵�̂�𝐶�̂� 𝑌𝐴 + �̂�𝐶
] (33)
𝝅𝟏′ 𝑨′𝝅𝟐 = [
𝑋𝐴′ + �̂�𝐵′ �̂�′(𝐴 + 𝐵�̂�𝐶)′ 𝐴′𝑌 + 𝐶′�̂�
] (34)
𝝅𝟐′𝐵𝑤 = [𝐵𝑤 + 𝐵�̂�𝐷𝑤𝑌𝐵𝑤 + �̂�𝐷𝑤
] (35)
Onde:
�̂� = 𝑌𝐴𝑋 + 𝑌𝐵𝐷𝑘𝐶𝑋 + 𝑁𝐵𝑘𝐶𝑋 + 𝑌𝐵𝐶𝑘𝑀′ + 𝑁𝐴𝑘𝑀
�̂� = 𝑌𝐵𝐷𝑘 + 𝑁𝐵𝑘 (36)
�̂� = 𝐷𝑘𝐶𝑋 + 𝐶𝑘𝑀′
�̂� = 𝐷𝑘
Agora fazendo substituição de (33), (34) e (35) em (32), nós podemos definir a primeira LMI que garante a
minimização da norma H2 considerando uma realimentação dinâmica de saída:
6 EXERCÍCIO 6 Determine uma condição LMI que permita a síntese de uma realimentação dinâmica de saída estabilizante para o caso discreto no tempo.
Considere o sistema discreto dado por:
𝑥𝑐𝑙[𝑘 + 1] = 𝐴𝑑𝑥𝑐𝑙[𝑘] (47)
O sistema (47) é assintoticamente estável se ∃𝑃 =𝑃′ > 0 tal que:
𝑃 − 𝐴𝑑′ 𝑷𝐴𝑑 > 0 (48)
Nós podemos observar que (48) não é uma LMI.
Então seja:
𝑉(𝑥𝑐𝑙[𝑘]) = 𝑥𝑐𝑙[𝑘]′𝑷𝑥𝑐𝑙[𝑘] (49)
O teorema de Lyapunov discreto é definido por: Se:
𝚫𝑽(𝒙𝒄𝒍[𝒌]) = 𝑉(𝑥𝑐𝑙[𝑘 + 1]) − 𝑉(𝑥𝑐𝑙[𝑘]) < 0 (50)
Então o sistema é A.E. Agora reescrevendo (50) a partir de (49).
𝑥𝑐𝑙[𝑘 + 1]′𝑷𝑥𝑐𝑙[𝑘 + 1] − 𝑥𝑐𝑙[𝑘]
′𝑷𝑥𝑐𝑙[𝑘] < 0
Agora a partir de (47):
((𝐴𝑑𝑥𝑐𝑙[𝑘])′𝑷(𝐴𝑑𝑥𝑐𝑙[𝑘]) − 𝑥𝑐𝑙[𝑘]′𝑷𝑥𝑐𝑙[𝑘] < 0
𝑥𝑐𝑙[𝑘]′(𝐴𝑑′𝑷𝐴𝑑 − 𝑷)𝑥𝑐𝑙[𝑘] < 0 Se:
𝑷 − 𝐴𝑑′ 𝑷𝐴𝑑 > 𝟎 (51)
Então 𝚫𝑽(𝒙) < 0
Agora aplicando complemento de Schur em (51),
o qual está definido da seguinte maneira:
[𝑸 𝑺
𝑺′ 𝑹] > 0
Considerando:
𝑹 > 0
𝑸 − 𝑺𝑹−𝟏𝑺′ > 0 Obtém-se:
[𝑷 𝐴𝑑′𝑷𝑷𝐴𝑑 𝑷
] > 0 (52)
Agora considerando as seguintes matrizes:
𝝅𝟏 = [𝑋 𝐼𝑀′ 0
] (53)
𝝅𝟐 = [𝐼 𝑌0 𝑁′
] (54)
Agora pré e pós multiplicando todos os elementos por 𝝅𝟏′ e 𝝅𝟏, obtém-se que:
[𝜋′1 0
0 𝜋′1] [
𝑷 𝐴𝑑′𝑷𝑷𝐴𝑑 𝑷
] [𝜋1 00 𝜋1
] > 0
[𝜋′1𝑷 𝜋′1𝐴𝑑′𝑷
𝜋′1𝑷𝐴𝑑 𝜋′1𝑷] [𝜋1 00 𝜋1
] > 0
[𝜋′1𝑷𝜋1 𝜋′1𝐴𝑑′𝑷𝜋1𝜋′1𝑷𝐴𝑑𝜋1 𝜋′1𝑷𝜋1
] > 0 (55)
Agora considerando:
𝝅𝟏′ 𝑷 = 𝝅𝟐′
𝑷𝝅𝟏 = 𝝅𝟐 Então (55) fica:
[𝜋′1𝜋2 𝜋′1𝐴𝑑′𝜋2𝜋′2𝐴𝑑𝜋1 𝜋′1𝜋2
] > 0 (56)
Agora fazendo substituição de (53) e (54) em (56):
𝝅𝟏′ 𝝅𝟐 = [
𝑋 𝐼𝐼 𝑌
] (57)
𝝅𝟐′ 𝐴𝑑𝝅𝟏 = [
𝐴𝑋 + 𝐵�̂� 𝐴 + 𝐵�̂�𝐶�̂� 𝑌𝐴 + �̂�𝐶
] (58)
𝝅𝟏′ 𝐴𝑑
′𝝅𝟐 = [𝑋𝐴′ + �̂�𝐵′ �̂�′(𝐴 + 𝐵�̂�𝐶)′ 𝐴′𝑌 + 𝐶′�̂�
] (59)
Onde �̂�, �̂�, �̂� 𝑒 �̂� são definidas em (36).
Agora fazendo substituição de (57), (58) e (59) em (56), nós podemos definir a LMI que permite a síntese de
uma realimentação dinâmica de saída estabilizante para o caso discreto no tempo.
[
𝑋 𝐼 𝑋𝐴′ + �̂�𝐵′ �̂�′𝐼 𝑌 (𝐴 + 𝐵�̂�𝐶)′ 𝐴′𝑌 + 𝐶′�̂�
𝐴𝑋 + 𝐵�̂� 𝐴 + 𝐵�̂�𝐶 𝑋 𝐼�̂� 𝑌𝐴 + �̂�𝐶 𝐼 𝑌 ]
> 0
É uma LMI em 𝑿, 𝒀, �̂�, �̂�, �̂� e �̂�.
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7 REFERÊNCIAS
[1] LMI CONTROL TOOLBOX, For use with MATLAB [2] Controle robusto, professor Alexandre Trofino [3] Linear Quadratic Control, Peter Dorato and Chaouki Abdallah