7/27/2019 Exercicios Geometria Analitica Resolvidos
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GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE224
22)(UFRGS-96)Se as retas de equao axy =e bxy += se cortam num ponto decoordenadas estritamente negativas, conclui-seque
(A) 0e0 >> ba (B) 0e0 ba (C) 0e0
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GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE225
24)(UFRGS-96) Considere a circunfernciainscrita no tringulo equiltero, conformemostra a figura abaixo
-1 1
A equao da circunferncia
(A) 1)1( 22 =+ yx
(B) 4
3
2
32
2
=
+ yx
(C)3
4
3
322
2 =
+ yx
(D)16
3
4
32
2 =
+ yx
(E)3
1
3
32
2 =
+ yx
SOLUO
Aptema
-1 1Para determinar a equao de uma circunferncia necessitamos do centro e do raio
Observe que a medida do aptema igual amedida do raio
6
3laptemaraio ==
lado do tringulo equiltero possui 2 unidades
1 1
-1 1
Vamos determinar o raio
6
3lar ==
6
32== ar
3
3== ar
Como determinamos o raio podemosdeterminar as coordenadas do centro
Observe:
3
3
,0
Com o centro e o raio podemos determinar aequao da circunferncia
Centro
3
3,0 raio
3
3
( ) ( ) 222 rbyax =+ (eq. reduzida)
fixo fixo
( )22
2
3
3
3
30
=
+ yx
9
3
3
32
2 =
+ yx
3
1
3
32
2 =
+ yx
ALTERNATIVA E
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GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE226
25)(UFRGS-97) Considere a reta r passandoem P(0, 3). Duas retas qp e , paralelas aoeixo das ordenadas e distantes entre si 2unidades, so interceptadas no 10 quadrante
pela reta r em 2 pontos, cuja distncia 52unidades. A equao da reta r
(A) 23 = xy (B) 32 += xy (C) 033 =+ yx (D) 32 = xy (E) 033 =+ yx
SOLUO
y
p q r52
t3 2
x2
A equao da reta baxy +=
Pelo enunciado do problema j temos ocoeficiente linear b , onde a reta corta o eixo yQue 3
Logo 3+= axy
Vamos determinar o coeficiente angular a que a tag do ngulo
52 t
2
Vamos determinar o valor de t por Pitgoras eaps determinar a tag do ngulo
(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2
( ) 222 252 t+=
2454 t+= 2420 t=
216 t= 162 =t 16=t 4=t
52 4
2
Agora vamos determinar o coeficiente angulara calculando a tag do ngulo
nguloaoadjacentecateto
nguloaoopostocateto== taga
2
4== taga
2== taga
logo a equao da reta r
32 += xy
ALTERNATIVA B
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GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE227
26)(UFRGS-97) O comprimento da corda que areta r definida pela equao 02 = yxdetermina no crculo de centro no pontoC(2, 0) e raio r = 2
(A) 0(B) 2(C) 5
(D)5
10
(E)5
54
SOLUO
Y
corda0 2x
Vamos determinar a equao da circunfernciae aps montar e resolver um sistema paradeterminar os pontos de intercesso da retacom a circunferncia e finalmente calcular adistncia entre estes pontos.
Centro = (2, 0) raio = 2
( ) ( ) 222 rbyax =+
( ) ( ) 222 202 =+ yx
444 22 =++ yxx
444 22 =+ yxx
0422 =+ xyx
Agora podemos montar o sistema
=
=+
02
0422
yx
xyx
02 = yx xy 2= xy 2=
0422 =+ xyx
04)2( 22 =+ xxx
044 22 =+ xxx
045 2 = xx (eq. incompleta do 20grau)
0)45( =xx
0, =x 045 =x 45 x
5
4,, =x
xy 2, = xy 2,, =
02, =y 5
42,, =y
0, =y 5
8,, =y
logo
5
8,
5
4
corda
(0, 0)
Agora vamos determinar o comprimento da
corda usando a frmula da distncia entre doispontos.
(0, 0) corda
5
8,
5
4
2
12
2
12 )()( yyxxd +=
22
05
80
5
4
+
=d
22
5
8
5
4
+
=d
25
64
25
16+=d
25
80=d =
5
80=
5
524
=5
54
ALTERNATIVA E
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GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE228
27)(UFRGS-97)Um ponto P(x, y) descreve umatrajetria no plano cartesiano, tendo suaposio a cada instante t )0( t dada pelas
equaes
=
=
23
2
ty
tx
A distncia percorrida pelo ponto P(x, y) para30 t
(A) 2(B) 3
(C) 13
(D) 133
(E) 61
SOLUO
=
=
23
2
ty
txintervalo 30 t = [ ]3,0
se 0=t temos
==
==
2203
002
yy
xx
logo temos )2,0(
se 3=t temos
==
==
7233
632
yy
xx
logo temos )7,6(
Agora vamos determinar a distncia entre ospontos )2,0( e )7,6(
2
12
2
12 )()( yyxxd +=
22 ))2(7()06( +=d
22 )27()06( ++=d
22 96 +=d
8136 +=d
117=d 1332 =d 133
ALTERNATIVA D
28)(UFRGS-97) A equao
06422 =+++ myxyx representa umcrculo se e somente
(A) 0>m (B) 0m (D) 13>m (E) 13+ tiryx
022 >+ myxr
022 >+ myx
03)2( 22 >+ m
094 >+ m elevar membros ao quadrado
( )22 094 >+ m
094 >+ m
013 > m
1)-(13 > m
13
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GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE229
29)(UFRGS-98)Para ,211
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GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE230
31)(UFRGS-98)Duas retas perpendicularesre s se interceptam no ponto )0,(uP . Se a
reta r intercepta o eixo y no ponto ),,0( v sendovu e diferentes de zero, a reta s interceptar
o eixo y em
(A) ( )uv 2,0 (B) ( )vu 2,0 (C) ( )vu,0 (D) ( )v,0 (E) ( )uv,0
SOLUOy
),0( v
s )0,(uP
x
r),0( y
vamos determinar o coef. angular da reta r),0( v )0,(u
12
12
xxyymr
= 0
0
uv =
uv
Como as retas so perpendiculares o coef.angular da reta s o inverso da retarinvertendo o sinal.
v
ums =
Agora vamos determinar a equao da reta susando o ponto P
)( 11 xxmyy = ( )uxv
uy = 0
v
u
v
uxy
2
=
Como intercepta o eixo y quer dizer que x=0
Logo
v
u
v
uxy
2
= v
u
v
u 20
v
u
v
20
v
u 20
v
u 2logo
v
uy
2
=
ALTERNATIVA B
32)(UFRGS-99) Na figura abaixo, os crculosso tangentes entre si e s semi-retas PA e PB
A
P 600
B
Se o ngulo APB mede 600 o raio do crculomaior 1, o raio do crculo menor
(A)2
3(B)
2
2(C)
3
1
(D) 3
2
(E) 3
3
SOLUO
300
x r r 1
vamos resolver por semelhana de tringulos
observe que na figura acima temos 2 tringulos
1r
300 300x + r x + 2r + 1
121 +++
=rx
rxrtemos duas variveis
observe
hipotenusa
opostocateto30sen 0 =
rx
r
+
=
2
1
rxr +=2 significa que rx = rrr +=2
voltamos na semelhana
121 +++
=rx
rxrcomo rx = temos
121 +++
=rr
rrr
0232)13(13
2
1
2 =+=++
= rrrrrrr
rr
03 2 = rr resolvendo a eq. incompleta do 20 grau
temos 0' =x (no serve) e31'' =x
ALTERNATIVA C
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GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE231
33)(UFRGS-99) Os pontos A=(-a, 0), B=(0, b)e C=(a, 0) so os vrtices de um tringuloretngulo com ngulo reto em B. Ento,
(A) 0= ba (B) 0=+ ba (C) 1= ba (D) 1= ba
(E) 0= ba
SOLUOy
B(0, b)
A(-a, 0) C(a,0) xVamos determinar as distncias entre ospontos e aps aplicar o teorema de Pitgoras.Frmula da distncia entre dois pontos
d = 2122
12 )()( yyxx +
A(-a, 0) B(o, b) C(a, 0)
d(AB)= ( ) ( ) 2222 0)(0 baba +=+
d(AC)= ( ) ( ) ( ) =+=+ 222 00)( aaaa
( ) aa 22 2 =
d(B,C) = ( ) ( ) 2222 00 baba +=+
aplicando Pitgoras
d(A, C)2 = d(A, B)2 + d(B, C)2
( ) ( ) ( )22222222 babaa +++= 22222
4 babaa +++= 222 224 baa += 222 224 baa = 22 22 aa = 22 ba =
qualquer nmero positivo ou negativo elevadoao quadrado sempre positivo, pois oexpoente par e como ba = logo temos
22ba = 022 = ba ou 0= ba
ALTERNATIVA E
34)(UFRGS-99) O observe a figura abaixo.
y
2
x1
Os lados do tringulo retngulo hachurado sosegmentos das retas dadas pelas equaes
(A) ,2=y 22
1+= xy 22 += xy
(B) 1=x , 2+= xy 2+= xy
(C) 1=x , 22 += xy 22
1+= xy
(D) ,2=y 2+= xy 2+= xy (E) 1=x , 1+= xy 2+= xy
SOLUOy s t
r(0, 2)
x(1, 0)
reta r : como temos 2 pontos vamos montarum determinante
001
20=
yx
yx
multiplica troca sinal multiplica no troca o sinal022 =++ yx forma reduzida 22 += xy
reta t : temos um ponto (0, 2) e temos seucoeficiente angular (metade de 900 isto 450)
)0(2
12)(45 1
0
1 == xyxxtgyy
422
42
22 +=
== xy
xyxy
2
2
2
4
2
+=+=x
yx
y
reta s : reta vertical a tangente de 900 no definida, neste caso x = 1
ALTERNATIVA C
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GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE232
35)(UFRGS-00) Considere a figura abaixo.
y
300
1 xr
Uma equao cartesiana da reta r
(A) x3
3y =
(B) )x1(3
3y =
(C) x31y =
(D) ( )x13y =
(E) ( )1x3y =
SOLUOCuidado 300 no o coeficiente angular, ocoeficiente angular 1500
1500
1
Vamos usar a frmula da equao da reta quepassa por um ponto.
)xx(myy 11 = o ponto (1 , 0)
Agora vamos determinar o coeficiente angularm que a tan 1500
vamos reduzir ao primeiro quadrante
1800 - 1500 = 300 =3
3
negativa pois 1500
do segundo quadrante ea tangente negativa no segundo quadrante
vamos aplicar a frmula)xx(myy 11 =
ponto (1 ; 0) e m =3
3
( )1x3
30y = ( )1x
3
3y =
multiplica apenas o sinal
( )1x33y +== ( )x133y =
ALTERNATIVA B
36)(UFRGS-00) No sistema de coordenadascartesianas retangulares, a reta de equao
bxy += intercepta a curva de equao
8yx 22 =+ . Ento
(A) 2b
(B) 22b
(C) 4b22 (D) 22b2 (E) 4b
SOLUO
08yx 22 =+ uma equao decircunferncia de centro (0,0) e raio
800 22 ++ 228 =
e temos a equao reduzida da reta bxy += ,onde o coeficiente angular 1.
22
(0 ,0)
O problema diz que a reta intercepta a curva,podemos concluir que a distncia do centro ata reta(distncia entre ponto e reta) deve ser (menor ou igual ) ao raio.
Rd Frmula da distncia entre ponto e reta
22 ba
cbyax
+
++logo temos R
ba
cbyax22
+
++
reta na forma geral centro(ponto)
0by1x1 =+ ( 0 , 0 )
a b c x ysubstituindo e resolvendo temos
Rba
cbyax22
+
++ 22
11
b01(0122
+
++
222
b 222b
2
22b 22b 4b
ALTERNATIVA E
7/27/2019 Exercicios Geometria Analitica Resolvidos
10/18
GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE233
37)(UFRGS-01) Considere o retngulo de baseb e altura h inscrito no tringulo OPQ
Se d = OP b, uma equao cartesiana dareta que passa porP e Q
(A) xb
hy =
(B) xd
hy =
(C) )xd(bhy =
(D) )xd(d
hy =
(E) )xdb(d
hy +=
SOLUO
um problema da equao da reta que passa
por dois pontos
Vamos determinar o ponto P que um pontode abcissa (x , 0)
Pelo enunciado d = OP b OP = d + b
O b d P x
Logo o ponto P (d + b; 0) ponto de abcissa
Vamos determinar outro ponto da reta QP
Mh
b
Logo o ponto M (b ; h)
Agora podemos aplicar a frmula da equaoda reta que passa por dois pontos
M (b ; h) P (d + b; 0)
yx
0bd
hb
yx
+= 0
multiplica multiplica etroca de sinal no troca de sinal
-by h(d + b) + hx + y(d + b) = 0
-by hd hb + hx + dy + by = 0
O problema quer a equao reduzida. Vamosisolar o y.
dy = hd + hb hx
colocar h em evidncia
dy = h ( d + b x)
)xbd(d
hy +=
ALTERNATIVA E
7/27/2019 Exercicios Geometria Analitica Resolvidos
11/18
GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE234
38)(UFRGS-01) No sistema de coordenadaspolares, considere os pontos O=(0 , 0), A=(1, 0)
),(P = e ),1
(Q
= , onde2
2=
ALTERNATIVA C
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12/18
GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE235
39)(UFRGS-01) Considere a regio planalimitada pelos grficos das inequaes
1xy e 1yx 22 + , no sistema decoordenadas cartesianas. A rea dessa regio
(A) 214 (B) 314 (C) 12
(D) 12
+
(E) 12
3
SOLUO
Para solucionar este problema vamos construiros grficos.
1xy 1xy =
se dermos zero para o x termos y = -1 ( 0 , -1)se dermos zero para o y termos x = -1 ( -1 , 0)
1yx 22 + 1yx 22 =+ uma circunferncia de centro (0 , 0) e de raioigual a 1.
Construindo1
-1 1
rea -1procurada
A rea procurada esta no terceiro quadrante.Para determinar esta rea vamos determinar area do terceiro quadrante e subtrair da reado tringulo
Clculo da rea do terceiro quadrante
rea do crculo = 2R 21
A rea do crculo como temos 4
quadrantes a rea do terceiro quadrante 4
A rea do tringulo =2
alturabase=
2
11=
2
1
Subtraindo temos 4
- 2
1
ALTERNATIVA A
40)(UFRGS-02) Dois carros partem de umacidade, deslocando-se pela mesma estrada. Ogrfico abaixo apresenta as distnciaspercorridas pelos carros, em funo do tempo.
Analisando o grfico, verifica-se que o carroque partiu primeiro foi alcanado pelo outro aoTer percorrido exatamente
(A) 60 quilmetros(B) 85 quilmetros(C) 88 quilmetros(D) 90 quilmetros(E) 91 quilmetros
SOLUO
Observe que um carro alcana o outro quandoas retas se interceptam, logo vamos determinaras equaes das retas e montar um sistemaque vai fornecer alem da distncia percorrida otempo
Reta 1 ponto ( 0,5 ; 0) e (2,5 ; 180)
0
yx
1805,2
05,0
yx
=
multiplica e troca de sinal multiplica e no troca de sinal
0y5,290x180y5,0 =++
090x180y2 =+ )2(
045x90y =+
45x90y =
7/27/2019 Exercicios Geometria Analitica Resolvidos
13/18
GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE236
CONTINUAO DA 40
Reta 2 ponto (0 ; 0 ) e 0,5 ; 30)
0
yx305,0
00
yx
=
0y5,0x30 =+ x30y5,0 = 5,0
x30y =
x60y =
vamos montar o sistema
=
=
45x90y
x60ysubstituindo 60x em y temos
45x90x60 = 45x90x60 =
45x30 = (x-1)45x30 =
30
45x = 5,1x = horas
vamos determinar o valor de y
x60y =
5,160y =
90y = quilmetros
ALTERNATIVA D
41)(UFRGS-02) As retas P, Q, R, S e T tmrespectivamente, equaes y = x , y = 2x,y = 2x + 1, y = 3x e y = 3x + 2.Dentre as opes abaixo, aquela na qual asretas determinam um tringulo
(A) P, Q e R
(B) P, Q e S(C) P, Q e T(D) Q, R e S(E) Q, R e T
SOLUO
As retas Q e R so paralelas, pois tem omesmo coeficiente angular com uma terceirareta no forma tringuloLogo as alternativas onde aparecer Q e Rso falsas
As retas S e T so paralelas, pois tem omesmo coeficiente angular com uma terceirareta no forma tringuloLogo as alternativas onde aparecer S e Tso falsas
Com isso eliminamos as alternativas A, D e E
Podemos tambm eliminar a alternativa B, poisas trs retas se interceptam na origem noformando tringulo.
ALTERNATIVA C
OUTRA MANEIRA DE RESOLVER ESBOAR AS RETAS NO PLANOCARTESIANO
7/27/2019 Exercicios Geometria Analitica Resolvidos
14/18
GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE237
42)(UFRGS-03) Considere o grfico de y =f(x)abaixo
Ento o grfico de y = x.f(x)
SOLUO
Pontos do Grfico(0 , 1) e (3 , 0)
1
3
Vamos determinar a equao reduzida da retaque passa por dois pontos, aps multiplicar porx
Para determinar a equao da reta que passapor dois pontos vamos proceder da seguinteforma
0
x y
ponto
ponto
yx
= 0
yx
03
10
yx
=
multiplicamos e multiplicamosenotrocamos o sinal trocamos o sinal
logo temos
retadageralequao03xy3
0y3x3
=+
=++
+=+==+ 333x-y3-x3y03xy3
13
xy +
= equao reduzida da reta
Agora vamos multiplicar por x a equaoreduzida
x3
x-)1
3
x.(xy
2
++
=
Como a< 0 temos a concavidade voltada para
baixo, nesta situao eliminamos asalternativas A, B, D
Vamos determinar as razes ou zeros daequao (onde o grfico corta o eixo do x)
=+=+
=+
0xx-3
0x3x-0x
3
x 222
3xe0x03)-x(x0x3x ,,,2 ====
ALTERNATIVA E
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15/18
GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE238
43(UFRGS-03) Sendo A = (0 , 0) e B = (2 , 0),o grfico que pode representar o conjunto dospontos P do plano xy, tais que (PA)2 + (PB)2 =4, o da alternativa
Vamos considerar o ponto P=(x , y)
Logo temos os pontos
A=(0 , 0) B=(2 , 0) e P=(x , Y)
Vamos calcular a distancia entre os pontos
d(PA) e d(PB) pela frmula2
122
12 )yy()xx( +
Clculo da distancia entre o ponto P e o pontoA
(x , y) (0 , 0)
PA = 2222 yx)0y()0x( +=+
Clculo da distancia entre o ponto P e o9 pontoB
(x , y) (2 , 0)
PB = 2222 y)2x()0y()2x( +=+
Voltando ao problema
( ) ( ) 4PBPA 22 =+
4y)2x(yx2
222
22 =
++
+
4y)2x(yx 2222 =+++
04y4x4xyx 2222 =++++
0x4y2x2 22 =+ (dividir por 2)
0x2yx 22 =+ A equao acima representa a equao deuma circunferncia de:
Centro (1 ; 0) e Raio = 1
ALTERNATIVA D
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16/18
GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE239
44)(UERGS-03) Um crculo contido no 10
quadrante tangencia o eixo das ordenadas e a
reta de equao .x4
3y = O centro desse
crculo pertence a reta de equao
(A) 0yx = (B) 0yx2 = (C) 0yx2 =+ (D) 0y2x3 = (E) 0y2x =
SOLUO
RETA PROCURADA
raioy (x,Y)
raio
x4
3y =
raio x
Podemos observar pelo desenho acima, que adistancia do centro (ponto x,y) at a reta
x4
3y = igual ao raio que vamos chamar de x.
Logo podemos concluir que a distancia entre o
ponto (x,y) at a reta x4
3y = igual ao raio x
Vamos determinar a distancia entre ponto e
reta pela frmula22
ba
cbyaxd
+
++=
Ento temos ponto (x , y) e a reta x4
3y = na
forma geral 0y4x3 = e a distancia x
22 ba
cbyaxx
+
++= x
)4(3
0)y4(x3
23=
+
++
x169
y4x3=
+
x5
y4x3 = x5y4x3 = equao
modular
logo temos x5y4x3 =
x5y4x3 = e x5y4x3 = y4x5x3 = y4x5x3 =+
y4x2 = )2( 4)(y4x8 =
y2x
y2x
=
= 0yx2
yx2
=
=
no serve, pois o servecrculo est no 10quadrante, logo o ydeve ser maior que zero
ALTERNATIVA B
45)(UFRGS-03) Na figura abaixo,
y
5
0 1 4 5 x
a regio sombreada do plano xy descrita
pelas desigualdades da alternativa(A) 4x0 e x5y0 (B) x5y0e5x0 + (C) x5y0e4x1 (D) 5y0e4x1 (E) x5y0e4x1 +
SOLUOA regio sombreada no eixo x vai de 1 at 4,logo esta delimitada entre 4x1 A regio sombreada tambm est delimitada
pela reta que passa pelos pontos (0 , 5) e (5 ,0) vamos determinar a equao desta reta
0
x y
ponto
ponto
yx
= 0
yx
05
50
yx
=
multiplica multiplica e noe troca sinal o sinal
0y5x525 =++ (dividir por 5)x-5y05xy ==+
logo x5y0
ALTERNATIVA C
7/27/2019 Exercicios Geometria Analitica Resolvidos
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GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE240
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