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EXERCÍCIOS DE VESTIBULAR
TRIGONOMETRIA
Ângela Mª Pires Lucas .
1(G1) Determine x no caso a seguir:
5
6
Note que o triangulo BDC é retângulo , vale então o teorema de Pitágoras:
222
2116y
D
2 244 6 y 244 36 y
8y
2 9 9 3x x x
y
2 2y DBA também é retângulo, vale o teorema de Pitágoras:
2 1 21 (2 2)x
2 1 4.2x
2(G1) Num triângulo isósceles ABC, cada ângulo da base mede 74° e cada lado congruente 8 cm. Nessas condições determine: (use a tabela trigonométrica)a) a medida da altura h.b) a medida x da base do triângulo.
7
8
8h
) 74º8ha sen
8.0,961h
7,688.. 7,69h cm
2 2 2
)
8 (7,6)
b TP
x
2 264 7,69 x
264 39,1 x 2 4,9x
4,9x
4,42x cm
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3(Uerj2002) A extremidade A de uma planta aquática encontra-se 10 cm acima da superfície da água de um lago (fig.1). Quando a brisa a faz balançar, essa extremidade toca a superfície da água no ponto B, situado a 10Ë3 cm do local em que sua projeção ortogonal C, sobre a água, se encontrava inicialmente (fig. 2). Considere OA, OB e BC segmentos de retas e o arco AB uma trajetória do movimento da planta.
• Determine:• a) a profundidade do lago no
ponto O em que se encontra a raiz da planta;
• b) o comprimento, em cm, do arco AB.
10
22 2
( )
10 10 3
A profundidade
x x
2 2100 20 (100.3)x x x
2 2100 20 300x xx
20 200x
10x
11
ˆ
ˆ3 60º
60º
OA OB Raio
ABO isósceles  B
tg  BLogo
Ô ABO equilátero
O arco AB está contido em uma circunferência de centro O raio r = AO=OB=20; logo,
1 26
med AB r
1 2 206
med AB
1 203
med AB
203
med AB
4(G1 - cftmg 2005) Duas pessoas A e B, numa rua plana, avistam o topo de um prédio sob ângulos de 60° e 30°, respectivamente, com a horizontal, conforme mostra a figura. Se a distância entre os observadores é de 40 m, então, a altura do prédio, em metros, é aproximadamente igual a
• a) 34• b) 32• c) 30• d) 28
12
13
120º
30º 30ºc b
sen sen
401 12 2
y
402 2y
402 2y
40y m
14
h
60º40hsen
32 40
h
2 40 3h 40 32
h
20 3 20.1,73205 34,64h m
5(Puccamp 96) Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um prédio, conforme mostra a figura adiante.• Se ela caminhar 90 metros em
linha reta, chegará a um ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um ângulo de 60°. Quantos metros ela deverá se afastar do ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B, para que possa enxergar o topo do prédio sob um ângulo de 30°?
• a) 150• b) 180• c) 270• d) 300• e) 310
15
16
C
ABD
. .60º
. .c otgc a
39090 3
h
h
x30º
. .htgc a
3 90 33 x
3 3.90 3x
270x m
6(Uerj 2000) Observe a bicicleta e a tabela
trigonométrica.• Os centros das rodas estão a uma distância PQ igual a 120
cm e os raios PA e QB medem, respectivamente, 25 cm e 52 cm.
• De acordo com a tabela, o ângulo AÔP tem o seguinte valor:• a) 10°• b) 12°• c) 13°• d) 14°
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o A
P Q
O
B
y
y+120
52
25
25120 52y
y
52 25 3000y y 27 3000y
3000 100027 9
y
2510009
senx
925.1000
senx
2251000
senx
0,225senx
Logo x=13º
7(Ufsm 2005) Na instalação das lâmpadas de uma praça de alimentação, a equipe necessitou calcular corretamente a distância entre duas delas, colocadas nos vértices B e C do triângulo, segundo a figura. Assim, a distância "d" é
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a) 50Ë 2 m b) 50 (Ë 6)/3 m c) 50Ë 3 m d) 25Ë 6 m e) 50 Ë 6 m
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O triângulo ABC não é retângulo, temos que usar a lei dos senos , pois temos dois ângulos e uma medida:5030º (180º 135º )
dsen sen
5030º 45º
dsen sen
501 22 2
d
50 22 2
d
50 2d m
8(Pucsp 2008) Leia com atenção o problema proposto a Calvin na tira
seguinte.
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Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo cujo ângulo do vértice A mede 60°, então a resposta correta que Calvin deveria encontrar para o problema é, em centímetros, a) (5Ë 3)/3 b) (8Ë 3)/3 c) (10Ë 3)/3 d) 5Ë 3 e)10Ë 3
Não há como saber se o triângulo é retângulo , melhor usar a lei dos
cossenos
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c
2 2 25 2 2.2 . .cos60ºx x x x
A
60º
x
2x
5cmB
2 2 225 4 4 .cos60ºx x x
2 2 2 125 4 4 .2
x x x
23 25x
2 253
x
253
x
33
5 5 333
x
2 2 225 4 2x x x
A distância AC é o dobro de x, logo:
5 3 10 323 3
x
9(Faap 97) A figura a seguir mostra uma antena retransmissora de rádio de 72 m de altura. Ela é sustentada por 3 cabos de aços que ligam o topo da antena ao solo, em pontos que estão a 30 m do pé da antena. A quantidade (em metros) aproximada de cabo que será gasta para sustentar a antena é:a) 234b) 78c) 156d) 102e) 306
24
25
2 2 230 .72a
2 900.5184a 2 6084a
6084a
78a
A quantidade aproximada de cabo que será gasta , nos três cabos:
3.78 234total m
(G1) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30°. Depois de percorrer 8 km, o avião se encontra a uma altura de:
a) 2 kmb) 3 kmc) 4 kmd) 5 kme) 6 km
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30º8xsen
12 8
x
2 8x 82
x
4x Km
.30º COsenhip
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO10 (Puccamp 2005) Nas principais concentrações urbanas do país, trabalhadores de baixa renda percorrem grandes distâncias a pé. Outros pedalam muitos quilômetros para usar uma condução a menos, deixando a bicicleta em estacionamentos próprios. -Considere que, na figura abaixo, tem-se a planificação do quadro de uma bicicleta e as medidas indicadas estão em centímetros O perímetro do triângulo BCD, em centímetros, é igual aa) 148b) 152c) 155d) 160e) 172
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2 2 240 48 2.40.48.cos53ºx
2 21600 2304 3840.0,60x
2 1600 2304 2304x
1600x
40x
Perímetro:40+43+62=155
Ufla 2006) Um aparelho é construído para medir alturas e consiste de um esquadro com uma régua
de 10 cm e outra régua deslizante que permite medir tangentes do ângulo de visada ‘, conforme o
esquema da figura 1.Uma pessoa, utilizando o aparelho a 1,5 m do solo, toma duas medidas, com distância entre elas de 10
metros, conforme esquema da figura 2.Sendo l1 = 30 cm e l2 = 20 cm, calcule a altura da �
árvore.
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Vamos chamar a distancia entre a arvores e l2 de x
10ytgx
2
xy
32
103
2
xy
xy
102 3x x
3 2(10 )x x
3 20x x 3 20x x
2 20x
202
x
10x m
A árvore mede 10m mais altura do aparelho utilizado para medir 1,5m10 1,5 11,5h m