exercícios de fração resolvidos

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS MATEMÁTICA 2º GRAU

Exercícios de Matemática 2º Grau

Exercícios: Matemática - Resolvidos

2

Assunto:

Exercícios Resolvidos de Matemática

EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA COMUNS EM CONCURSOS PÚBLICOS RESOLVIDOS E COMENTADOS


3


4

EXERCÍCIOS

1. Uma torneira enche um tanque em 3 horas e uma segunda torneira pode fazê-lo em 15 horas. Qual será o tempo necessário para encher 2/3 do reservatório se as duas torneiras forem ligadas simultaneamente? SOLUÇÃO

• Uma torneira leva três horas, 3

x representa a potência dela. Outra torneira leva 15 horas,

15

x representa a potência dela. Trabalho a realizar corresponde a

3

2

Cálculo; Potência 1 + Potência 2= trabalho realizado

3

x +

15

x=

3

2

• multiplique tudo pelo MMC que é 15;

(3

x +

15

x=

3

2)*15

5x + x= 10 6x=10 x=6

10 x=

3

5

• observe que o tempo é dado em hora, logo já sabemos que x representa o tempo, então

o tempo gasto será 3

5 de horas. Vamos descobrir o tempo em uma linguagem mais comum,

substituindo horas por minutos.

3

5 * 60 minutos =

3

300 minutos que é equivalente a 1 hora e 40 minutos.

======================================================================= 2. Recebi uma quantia e gastei 3/7 da mesma. Sabendo que me restam R$ 6000,00, qual foi a quantia que recebi? SOLUÇÃO Vamos representar a mesada por W. W= Mesada


5

• Ele gastou 7

3 da mesada, ou seja

7

3 de W, que representamos da seguinte maneira:

7

3W.

• 7

3W para W, faltam

7

4W, que é o resto.

• Sobraram 6000, logo, 7

4W= 6000

Cálculo:

7

4W= 6000 W=

4

6000 * 7 W= 1500 * 7 W= R$ 10.500,00

======================================================================= 3. Com 240 litros, preenchi 5/12 de um tanque. Quantos litros são necessários para encher o tanque? SOLUÇÃO Vamos representar a capacidade do tanque pela letra Y Y= capacidade

• Ele colocou 240 litros e ocupou 12

5 da capacidade do tanque, logo.

12

5Y= 240 Y=

5

12*240 Y= 48*12 Y= 576

• A capacidade do tanque é para 576 litros d’água. ======================================================================= 4. Três irmãos receberam uma herança. Ao mais velho coube 1/3 dessa herança. Ao mais jovem couberam ¾ do resto, ficando R$ 1200,00 para o terceiro irmão. Qual foi o valor da herança deixada? SOLUÇÃO Herança = X

Mais velho = 3

1X Mais jovem =

4

3do resto Resto = X -

3

1X


6

Outro Irmão = 1200 Cálculo:

X - 3

1X -

4

3( X -

3

1X) = 1200 Obs. Multiplique tudo pelo MMC, que é 12

(X - 3

1X -

4

3( X -

3

1X) = 1200)* 12 12X – 4X - 9( X -

3

1X)= 1200*12

8X – 9X + 3X = 1200*12 2X= 1200*12 X= 2

12*1200 X= 7200

• O valor total da Herança era R$ 7.200,00. ======================================================================= 5. Maria saiu de casa para fazer compras. Gastou 2/7 do que possuía no armazém e ¼ do que restou numa butique. Sabendo que Maria chegara em casa com R$ 3000,00, com que quantia Maria saiu de casa? SOLUÇÃO O dinheiro que ela saiu de casa é K Dinheiro = K

Supermercado = 7

2K Loja de Tecidos =

4

1 do resto Chegou em casa com R$

3000,00

Resto = K - 7

2K Loja de Tecidos =

4

1 (K -

7

2K)

Cálculo :

K - 7

2K -

4

1 (K -

7

2K)= 3000 Obs. Multiplique tudo pelo MMC, para facilitar.

(K - 7

2K -

4

1 (K -

7

2K)= 3000 )*28

28K – 8K – 7K + 2K = 28*3000 15K= 28*3000 K= 15

3000*28

K= 28 * 200 K= 5.600 • Ela saiu de casa com R$ 5.600,00. =======================================================================


7

6. Carpinteiro fez num primeiro dia de trabalho, 2/9 de uma cerca; no segundo dia fez 5/8 desta mesma cerca. Sabendo que no terceiro dia ele fez 220 centímetros e completou a obra, qual é o comprimento desta cerca? SOLUÇÃO Comprimento do muro = X

1º dia = 9

2X 2º dia =

8

5X 3º dia = 220 centímetros

Cálculo:

9

2X +

8

5X + 220= X 220= X -

8

5X -

9

2X Obs. Multiplique pelo MMC.

(220= X - 8

5X -

9

2X)* 72 220 *72= 72X – 45X – 16X 11X= 72 * 220

X= 11

220*72 X= 20 * 72 X= 1440

• O comprimento do muro é 1440 centímetroS ou 14,40 metros. ======================================================================= 7. Fui fazer compras com uma certa quantia de dinheiro. 1/8 desta quantia foi gasto com açougue, ¼ no armazém, a farmácia consumiu a metade do dinheiro e sobraram-me R$ 1000,00. Qual era a quantia inicial? SOLUÇÃO O dinheiro que ela levou = B

Açougue =8

1B Armazém =

4

1B Farmácia =

2

1B Sobrou =

1000

B - 8

1B -

4

1B -

2

1B= 1000 Obs. Multiplique pelo MMC.

(B - 8

1B -

4

1B -

2

1B= 1000)* 8 8B - B - 2B – 4B= 8000 B= 8000

• A quantia inicial era R$ 8.000,00 =======================================================================


8

8. Qual é o número de alunos de uma escola sabendo-se que os homens somam 600 alunos e as mulheres representam 2/3 de todos os alunos da escola? SOLUÇÃO

O total de alunos = Q Mulheres = 3

2Q Homens = 600

• Se as mulheres são 3

2Q, os homens só podem ser

3

1Q, pois, Q são todos os alunos e :

3

2Q +

3

1Q= Q

Homens = 600 3

1Q= Homens, substituindo teremos,

3

1Q= 600 1Q= 600*3 Q= 1800

• Na escola estudam 1800 alunos. ======================================================================= 9. Qual é o tempo gasto por duas torneiras trabalhando juntas para encher uma caixa d’água; sabendo que individualmente uma leva 5 horas e a outra 7 horas? SOLUÇÃO • Similar ao exercício 1.

1ª torneira leva 5 horas para encher sozinha o reservatório, logo a potência dela será 5

P. A

2ª torneira leva 7 horas para encher o mesmo reservatório sozinha, logo sua potência será

7

P. Devemos colocar as duas juntas para encher o reservatório todo, ou seja, 1 reservatório,

logo o trabalho a ser realizado é 1. Potência 1 + Potência 2= trabalho realizado

5

P+

7

P= 1 (

5

P+

7

P= 1 )*35 7P + 5P= 35 12P= 35 P=

12

35 horas

• Multiplicando por 60 para sabermos a quantidade de minutos:

P= 12

35 *60 P= 5*35 minutos P= 175 minutos P= 2 horas e 55 minutos

=======================================================================


9

10. Uma torneira enche um tanque em 4 horas e outra em 6 horas. As duas torneiras ligadas simultaneamente, encherão o tanque em quanto tempo? SOLUÇÃO Similar ao anterior, mesmo raciocínio;

4

1G +

6

1G= 1 (

4

1G +

6

1G= 1 )*12 3G + 2G= 12 5G= 12

G= 5

12 horas G=

5

12* 60 minutos G= 144 minutos

G= 2 horas e 24 minutos. ======================================================================= 11. Se uma torneira encher um reservatório em 2 horas e outra o esvaziar em 3 horas. Estando as duas simultaneamente abertas, qual será o tempo necessário para encher o reservatório? SOLUÇÃO

1ª torneira enche o tanque em duas horas, logo sua potência será 2

K.

2ª Torneira esvazia o tanque em 3 horas, logo sua potência será -3

K, observe que esta faz

justamente o contrário da primeira, ou seja, a primeira enche e ela esvazia, logo, ela é uma potência negativa. O trabalho a ser realizado é 1, pois precisamos encher 1 tanque. Cálculo . Potência 1 + Potência 2= trabalho realizado

2

K + (-

3

K)= 1

2

K -

3

K= 1 (

2

K -

3

K= 1)*6 3K - 2K= 6

K= 6 horas • O tempo necessário será de 6 horas. =======================================================================


10

12. Subtraindo-se 3/8 de um número, obtermos 60. Qual é o número? SOLUÇÃO O número é X

X - 8

3X= 60 (X -

8

3X= 60)*8 8X – 3X= 60*8 5X= 60*8

X= 5

8*60 X= 12*8 X= 96

• O número é 96 ======================================================================= 13. Comprei uma moto por R$ 6000,00, dando de entrada uma quantia equivalente a um número cuja soma entre ele e seus 5/6 é R$ 2.200,00. Se o restante for pago em prestações mensais de R$ 200,00, quanto tempo será necessário para quitar o resto da dívida? SOLUÇÃO Preço da moto = 6000 Na entrada tem uma charadinha simples. X= entrada

X + 6

5X= 2200 Obs. Multiplique tudo pelo MMC.

(X + 6

5X= 2200)* 6 6X + 5X= 2200*6 11X= 2200*6

X= 11

6*2200 X= 200*6 X= 1200

Agora que achamos o valor da entrada, podemos calcular o restante e dividir por 200 para ver em quantas parcelas vamos pagar. Restante = 6000- entrada Restante = 6000- X Restante = 6000 - 1200

Restante = 4800 Quantidade de Parcelas = 200

tanRe tes

Quantidade de parcelas = 200

4800 Quantidade de parcelas = 24

=======================================================================


11

14. Somando minha idade a ¾ da idade de gêmeo, obtermos 35 anos. Há quantos anos eu nasci? SOLUÇÃO • Se for meu irmão gêmeo, logo temos a mesma idade. Idade = K

K + 4

3K= 35 (K +

4

3K= 35)* 4 4K + 3K= 140 7K= 140

K= 7

140 K= 20

======================================================================= 15. A soma da idade do tio e do sobrinho é 52. Descubra a idade de cada um, sabendo que o sobrinho tem a idade correspondente a 1/3 da idade do tio? SOLUÇÃO

Idade do pai = W idade do filho = 3

1W (idade do pai)+(idade do filho)= 52 anos

W + 3

1W= 52 (W +

3

1W= 52)* 3 3W + W= 52*3

4W=52 * 3 W= 4

3*52 W= 13 * 3 W= 39

3

1W=

3

1*39

3

1W= 13

• A idade do pai é 39 anos e a idade do filho corresponde a 13 anos. ======================================================================= 16. Meu salário diminuído de 20%, corresponderá a R$ 720,00. Qual é o meu salário? SOLUÇÃO • Meu salário = X X – 20%X= 720 X= 100%X 100%X – 20%X=

720 • 80%X= 720


12

• Se eu retirar 20% de alguma coisa, é óbvio que o que sobrar será correspondente a 80% desta mesma coisa.

Cálculo. Regra de Três

100

80

%

= X

Valor

720 80X= 720 * 100 X=

80

100*720 X = 9* 100

X= 900 • Meu salário é R$ 900,00, mixaria não é? ======================================================================= 17. Gastei 1/3 do meu dinheiro para pagamento de dívidas atrasadas, do que restou, coloquei 2/3 na poupança e ainda fiquei com R$ 400,00. Qual era o valor correspondente a meu dinheiro? SOLUÇÃO Similar ao anterior.

• Salário = Z Aluguel = 3

1Z Poupança =

3

2(Z -

3

1Z ) Resto = 400

Cálculo

Aluguel + poupança + resto = salário 3

1Z+

3

2(Z -

3

1Z ) + 400= Z

3

1Z +

3

2Z -

9

2Z + 400= Z (

3

1Z +

3

2Z -

9

2Z + 400= Z)* 9

3Z + 6Z – 2Z + 9 * 400= 9Z 400*9 = 9Z – 3Z - 6Z + 2Z

2Z= 400 * 9 Z= 2

9*400

Z= 200 * 9 Z= 1800 • A resposta é R$ 1.800,00 =======================================================================


13

18. A soma da idade da idade do pai com a do filho é igual a 55 anos. Determine a idade de cada um sabendo que a idade do filho é 3/8 da idade do pai? SOLUÇÃO

• A soma da idade dos dois é 55 A de um corresponde a 8

3 da idade do outro

• A idade do mais velho é X Cálculo;

X + 8

3X= 55 (X +

8

3X= 55)* 8 8X + 3X= 55 * 8 11X= 55*8

X= 11

8*55 X= 5*8 X= 40

• O mais velho tem 40 anos e o mais novo tem 15 anos. ======================================================================= 19. José recebeu o pagamento de um acerto feito com a firma onde trabalha. Gastou o dinheiro da seguinte maneira: 1/3 pagou dívidas, ¼ comprou presentes para sua esposa e sobrou-lhe R$ 500,00. Qual era o valor do acerto? SOLUÇÃO • Similar aos anteriores, por isto vou fazer o cálculo • X= o que ele recebeu Sobra = 500 Cálculo.

X - XX4

1

3

1 − = 500 (X - XX4

1

3

1 − = 500)* 12 12X-4X-3X= 500*12

5X= 500*12 X= 5

12*500 X= 100*12 X= 1200

• A resposta é R$ 1.200,00. ======================================================================= 20. Maria percorreu numa primeira parte, um quinto da maratona, na segunda parte percorreu 2000 m e ainda ficaram faltando 2/3 da maratona a serem percorridos até o final da corrida. Quantos metros compreendia todo o percurso?


14

SOLUÇÃO

• X= comprimento da maratona 1ª parte = 5

1X 2ª parte =

3

2(X -

5

1X )

• Ficaram faltando = 2000 metros Cálculo;

X- 5

1X -

3

2(X -

5

1X )= 2000 (X-

5

1X -

3

2(X -

5

1X )= 2000 )* 15

(X - 5

1X -

3

2X + 2000

15

2 =X )* 15 15X - 3X -10X + 2X= 2000*15

4X= 2000*15 X= 4

15*2000 X= 500 * 15 X= 7.500

• A resposta é 7.500 metros; ======================================================================= 21. Dois datilógrafos estão trabalhando simultaneamente para cumprir uma determinada tarefa. Quanto tempo será necessário, se um deles sozinho a realizaria em 20 horas e o outro, trabalhando sozinho a realizaria em 12 horas? SOLUÇÃO Este é similar aos exercícios 1,9, 10, 11...

• Temos duas potências: 1º datilógrafo, potência 20

x; 2º datilógrafo, potência

12

x.

• Trabalho = 1, pois, trata-se de uma 1 tarefa. Potência 1 + Potência 2= trabalho realizado

20

x +

12

x= 1 (

20

x +

12

x= 1)* 60 3x + 5x= 60 8x= 60

X=8

60 X=

2

15 Horas X=

2

15* 60 minutos

X= 15*30 X= 450 X= 7 horas e 30 minutos =======================================================================


15

22. Um fruticultor, para encher uma camioneta de melões, demora 45 minutos. Sua mulher, para vender todos os melões, estando a camioneta cheia, demora 60 minutos. Se os dois iniciarem as atividades juntos, em quanto tempo o veículo estará cheio? SOLUÇÃO Este exercício é similar ao anterior

• Fruticultor = 1X Mulher = -

4

3X

= - 3

4x (negativo devido ela está trabalhando em

sentido contrário ao de seu marido) • Trabalho = 1, pois, só se refere a encher uma camioneta. Potência 1 + Potência 2= trabalho realizado

X + (-3

4x)= 1 (X + (-

3

4x)= 1)*3 3x – 4x= 3 -x= 3 horas

Obs. Como não existe tempo negativo, então podemos dizer que a resposta será: x= 3 horas ======================================================================= 23. Uma torneira enche um tanque em 9 horas e outra em 12 horas. Essas duas funcionando juntas, mais uma terceira, o tanque ficará cheio em 4 horas. Quanto tempo a terceira torneira necessita para encher o mesmo tanque funcionando sozinha? SOLUÇÃO • Observe que neste exercício, não o tempo que estamos procurando e sim, uma das

potências, portanto, a variável K, deve representar este valor.

• 1ª potência = 9

1 2ª potência =

12

1 3ª potência =

K

1 Tempo = 4

horas

• Potência Total = tempo

Trabalho=

4

1

Potência 1 + Potência 2 + potência 3= potência total

9

1 +

12

1 +

K

1=

4

1 (

9

1 +

12

1 +

K

1=

4

1)* 36K 4K+3K+36=9K

36= 9K-4K-3K 2K=36 K= 2

36 K= 18


16

• Como os denominadores representam o tempo que cada torneira leva para fazer o trabalho sozinha, logo, o tempo gasto pela terceira torneira será 18 horas.

======================================================================= 24. João recebeu seu 13º salário e resolveu gastá-lo da maneira seguinte: metade guardou na caderneta de poupança; 3/5 do que sobrou, comprou presentes para a família e o restante, R$ 50,00, usou para a ceia de natal. Quanto ele recebeu de 13º salário? SOLUÇÃO Este exercício é similar ao exercício 17, portanto farei somente o cálculo. Salário =X

X - 50)2

1(

5

3

2

1 =−− XXX (X - 50)2

1(

5

3

2

1 =−− XXX )*10

10X – 5X – 6X + 3X= 500 2X= 500 X=2

500 X= 250

======================================================================= 25. Ivete usou 2/5 de seu salário em alimentação, 1/3 em aluguel e outras contas, gastando também R$ 200,00 com roupas. Quando percebeu, só tinha R$ 300,00, portanto, qual era o salário recebido por Ivete? SOLUÇÃO Este é similar ao 20. Salário = S

3002003

1

5

2 =−−− SSS ( 3002003

1

5

2 =−−− SSS )*15

15*)2003003

1

5

2( +=−− SSS 15*)500

3

1

5

2( =−− SSS

15*5005615 =−− SSS 500*154 =S S= 4

500*15

S= 125*15 S= 1875 =======================================================================


17

26. Numa corrida de 5000 m, sob um calor de 38 graus, um quarto dos competidores abandonou a prova nos primeiros 2000 m, e, em seguida, aos 3500 m, um sétimo dos competidores abandonaram também a prova. Sabendo que somente 17 competidores terminaram a prova, quantos competidores iniciaram a prova? SOLUÇÃO Similar ao anterior veja o cálculo. C= número de competidores que iniciaram a corrida

177

1

4

1 =−− CCC ( 177

1

4

1 =−− CCC )*28

28C-7C- 4C=17*28 17C=17*28

C=17

28*17 C=28

======================================================================= 27. Numa indústria o número de mulheres é igual a 3/5 do número de homens. Se fossem admitidas mais 20 mulheres, o número de mulheres seria igual a metade dos funcionários. Quantos homens e quantas mulheres trabalham na indústria? SOLUÇÃO

H= homens M= mulheres M= H5

3

• No problema fala que contratando mais 20 mulheres, o número de mulheres se equipara ao número de homens, logo: M+20=H

M+20=H Substituindo M= H5

3, termos

HH =+ 205

3 5*)20

5

3( HH =+ HH 51003 =+

HH 35100 −= H2100 = 2

100=H 50=H

• Agora que sabemos que a quantidade de homens é 50, fica fácil descobrir a quantidade de mulher.

M= H5

3 M=

5

3*50 M= 3*10 M=30

50 homens e 30 mulheres. =======================================================================


18

28. Num terreno de 490m2, a área construída é de 2/7 da metade do terreno acrescida de 68m2. Quanto mede a área livre do terreno? SOLUÇÃO

• 490 m2 é a área total 72 é da metade da área 245 m2 é a metade da

área

• Área livre = 490 m2 – ( 72 *245 + 68 m2)

Área livre = 490 – ( 72 *245 +68) Área livre = 490 – 138

Área livre = 352 m2

======================================================================= 29. O triplo da quantia que Rui tem, menos R$ 100,00 é igual a R$ 500,00. Qual é a quantia que Rui possui? SOLUÇÃO Muito elementar • X= valor

5001003 =−X 1005003 +=X 6003 =X

3

600=X 200=X

O valor é R$ 200,00. ======================================================================= 30. Cristina e Karina possuem juntas R$ 280,00. Cristina têm R$ 60,00 a mais que Karina. Qual é a quantia que cada uma possui? SOLUÇÃO Cristina = C Karina = K

280=+ KC 60+= KC agora vamos substituir C por (K+60)


19

28060 =++ KK 602802 −=K 2202 =K

2

220=K 110=K

Karina = R$ 110,00 Cristina = Karina +60 Cristina = 110 + 60 Cristina = R$ 170,00 ======================================================================= 31. Uma TV e uma geladeira custam, juntas, R$ 1800,00. A geladeira custa R$ 400,00 a mais que a TV. Qual é o preço de cada objeto? SOLUÇÃO Objeto = X Objeto = K 800.1=+ KX 400+= KX

800.1400 =++ KK 400800.12 −=K 14002 =K 2

400.1=K

700=K 400700 +=X 1100=X • Um custa R$ 700,00 e o outro R$ 1100,00. ======================================================================= 32. Num torneio internacional, Luiz Fabiano e Ronaldo marcaram juntos 12 gols. Como Ronaldo marcou dois gols a mais que o companheiro Luiz Fabiano, quantos gols marcaram cada um? SOLUÇÃO

12=+ RL 2+= LR 122 =++ LL 102 =L 5=L 7=R

======================================================================= 33. Pedro tem um terreno de 540m2. Pedro realizou uma construção nesse terreno. Sabe-se que a área construída é de 2/9 da propriedade. Sabendo-se que 20% da área construída consumiu 38 sacos de cimento e que, o saco de cimento custa R$ 15,00. Quanto foi gasto com cimento na obra?


20

SOLUÇÃO

• Área do terreno = 540 m2 Área construída = 120540*9

2 = m2

• 20% da área construída consumiram 38 sacos de cimentos • Um saco de cimento = R$ 15,00 • 20% da área construída = 38*15= R$ 570,00

• 20% da área construída = 5

1 da área construída

• Área construída total = 5

1*5

• Custo total em cimentos = 15*38*5 • Custo total em cimentos = R$ 2850,00 ======================================================================= 34. A soma de dois números consecutivos é 41. Quais são estes números? SOLUÇÃO • Lembre-se: o sucessor de X e ( X + 1)

• 41)1( =++ XX 402 =X 2

40=X 20=X

• A+B=41 A=X B= X+1 A=20 • B= 21 ======================================================================= 35. A soma de dois números pares consecutivos, é equivalente a 86. Calcule estes dois números. SOLUÇÃO • Lembre-se: o sucessor X, qdo. ele é par; é (X+2) e, (X+2) também será par. A= X B= X+2 A+B=86 86)2( =++ XX 842 =X

2

84=X 42=X

A=42 B=44 =======================================================================


21

36. 51 bolinhas devem ser repartidas entre 3 crianças, de modo que, a segunda tenha 3 bolinhas a mais que a primeira e a terceira tenha o dobro de bolinhas da primeira. Quantas bolinhas devem ser entregues a cada criança? SOLUÇÃO • AS caixas são respectivamente A, B e C. • 3+= AB AC 2=

51=++ CBA 512)3( =+++ AAA 3512 −=++ AAA

484 =A 4

48=A 12=A

12=A 15=B 24=C ======================================================================= 37. Roberto, Cíntia e Raquel têm, juntos, 38 anos. Roberto tem o dobro da idade de Raquel e Cíntia tem 6 anos a mais que Raquel. Qual a idade de Raquel? SOLUÇÃO • 38=++ RAQUELCÍNTIAROBERTO RAQUELROBERTO 2=

• 6+= RAQUELCÍNTIA • 3862 =+++ RAQUELRAQUELRAQUEL 6384 −=RAQUEL

• 324 =RAQUEL 4

32=RAQUEL

• ANOSRAQUEL 8= ======================================================================= 38. Quantos anos têm Rogério, sabendo-se que o dobro da idade somado a sexta parte desta mesma idade, é igual a 26? SOLUÇÃO

• 266

12 =+ ROGÉRIOROGÉRIO 6*)26

6

12( =+ ROGÉRIOROGÉRIO

• 6*2612 =+ ROGÉRIOROGÉRIO 6*2613 =ROGÉRIO


22

• 13

6*26=ROGÉRIO 6*2=ROGÉRIO

• ANOSROGÉRIO 12= ======================================================================= 39. Subtraindo 18 do triplo de um número, obtém-se ¾ desse número. Descubra o número? SOLUÇÃO

• XX4

3183 =− 4*)

4

3183( XX =− XX 318*412 =−

• 4*18312 =− XX 4*189 =X 9

4*18=X

• 4*2=X 8=X ======================================================================= 40. A medida da altura de um retângulo é equivalente a 2/3 da medida da base. Determine as dimensões sabendo que o perímetro é 60 m. SOLUÇÃO • A figura acima é um retângulo;

• Segundo dados do problema, BA3

2=

• O perímetro é a soma de todos o lados = BA 22 + • Perímetro = 60 m

• BA 22 + = 60 6023

2*2 =+ BB 3*)602

3

2*2( =+ BB

• 3*6064 =+ BB 18010 =B 10

180=B

• Base = 18 meros Altura = 12 metros =======================================================================

Lado A

Base B


23

41. Sabendo que o comprimento da base retângulo é equivalente ao triplo do comprimento da altura e que o perímetro é 80 metros. Qual é o valor correspondente a base e a altura deste retângulo? SOLUÇÃO • Similar ao anterior, então veja só o cálculo; • AB 3= B= base A= altura perímetro=80 perímetro

= AB 22 +

• AB 22 + =80 8023*2 =+ AA 808 =A 8

80=A

• 10=A 30=B ======================================================================= 42. As idades de dois irmãos são correspondentes a dois números pares consecutivos cuja soma resulta 38. Quais são as idades dos dois? SOLUÇÃO • Similar ao 35, então veja somente o cálculo; • XA = 2+= XB 38=+ BA 38)2( =++ XX

• 3822 =+X 2382 −=X 362 =X 2

36=X

• 18=X 18=A 20=B ======================================================================= 43. Determine dois números ímpares consecutivos sabendo que a soma deles corresponde a 44. SOLUÇÃO • Sempre que o problema falar em número pares ou ímpares consecutivos, você vai usa X

e ( X+2), caso sejam apenas números consecutivos, x e ( x+1). • XA = 2+= XB 44=+ BA 44)2( =++ XX

• 2442 −=X 2

42=X 21=X

• 21=A 23=B =======================================================================


24

44. A medida da base e da altura de retângulo são correspondente a dois números ímpares e consecutivos. Sabendo que o perímetro deste retângulo é 64 metros, determine a medida da base e da altura. SOLUÇÃO • Já fizemos um exercício envolvendo perímetro • Perímetro = 2A+2B=64 Somados da base com a altura = A+B=32 • A= X B= X+2

• 322 =++ XX 302 =X 2

30=X 30=X

• A= 15m B= 17m =======================================================================

45. A soma da idade do pai e do filho é 55 anos, e que a idade do filho corresponde a 8

3 da

idade do pai. Qual a idade de cada um? SOLUÇÃO • Este exercício já foi resolvido anteriormente;

• Pai =X filho = X8

3

• 558

3 =+ XX 8*)558

3( =+ XX 8*5538 =+ XX 8*5511 =X

• 11

8*55=X 8*5=X 40=X

• Pai = 40 anos Filho = X8

3 Filho = 40*

8

3 Filho = 15 anos

======================================================================= 46. A idade do filho é igual a quinta parte da idade de seu pai acrescida de 2. Qual a idade de cada um se a idade dos dois juntas somariam 50? SOLUÇÃO • Similar ao anterior

• Pai = X Filho = 25

1 +X 50=+ FilhoPai


25

• 5025

1 =++ XX ( 5025

1 =++ XX )* 5 250105 =++ XX

• 102506 −=X 2406 =X 6

240=X 40=X

• Pai = 40 anos Filho = 240*5

1 + Filho = 10 anos

======================================================================= 47. Um aluno perguntou ao professor de matemática qual era sua idade. O professor

respondeu:_ 5

2 de minha idade adicionado a 3 é igual à metade de minha idade. Qual era a

idade do professor? SOLUÇÃO • Similar ao 39.

• Idade = X XX2

13

5

2 =+ XX5

2

2

13 −=

• 10*)5

2

2

13( XX −= XX 4530 −= 30=X

• A idade do professor é 30 anos. ======================================================================= 48. Numa escola os alunos da 5ª série estão agrupados em turmas de 40 alunos, distribuídas em 2 andares com 3 turmas cada um. Quantos alunos da 5ª série existem nessa escola? SOLUÇÃO

• Este é uma simples multiplicação; • =alunosturmasandares ** quantidade de alunos da 5ª série

alunos24040*3*2 = =======================================================================


26

49. A família A, de 5 pessoas e a família B, de 4 pessoas, combinaram de passar as férias em uma casa de campo, com as despesas comum, distribuída conforme o número de pessoas de cada família. Terminadas as férias, verificou-se que a família A gastara R$ 842,40 e família B gastara R$ 934,20; razão pela qual tiveram que fazer uns ajustes nas contas. Que quantia a família A teve que dar à família B, já que as despesas eram comuns? SOLUÇÃO • Família A = 5 pessoas Família B = 4 pessoas Família A gastou R$ 842,40 • Família B gastou R$ 934,20 Gasto total = R$ 1776,60 • Lembre-se, as despesas são comuns, divididas conformes o número de integrantes de

cada família. O gasto total será dividido em 9 cotas iguais, sendo que 4 destas cotas serão pagas pela família B e as outras 5 cotas serão pagas pela família A.

• 9

cotfamíliaBFamíliaA

a+=

9

2,9344,842cot

+=a 9

6,1776cot =a

• 4,197cot =a • 6,197*5=FamíliaA 4,197*4=FamíliaB • 00,987$RFamíliaA= 40,790$RFamíliaB = • Observe que a Família A gastou bem menos do que teve que pagar, visto que as

despesas eram comuns; observe também, que a Família B, gastou bem mais que o que deveria pagar, este excesso, fora pago pela família A. Calculemos esta diferença:

• (Família A teve de pagar) – (Família A gastou) = (Gasto da Família B, pago pela Família A)

• excesso=− 40,84200,987 60,144=excesso • A Família A, pagou R$ 144,60 dos gastos feito pela família B. ======================================================================= 50. A quantidade de selos que tenho, mais a sua metade, mais a quinta parte, mais sua terça parte menos 200 somam um total de 410 selos. Quanto representa 30% de selos que possuo? SOLUÇÃO • Vários exercícios similares a este já foram solucionados, então veja somente o cálculo; • X= quantidade de selos

• 4102005

1

3

1

2

1 =−+++ XXXX

• 30*)6105

1

3

1

2

1( =+++ XXXX

• 30*6106101530 =+++ XXXX


27

• 300*6161 =X 61

300*61=X

• 300=X • A quantidade de selos do camarada é 300, mas ele está solicitando somente uma

informação referente à 30% destes selos;

• 9030*310

300*3300*

10

3300*

100

30300*%30Re ======sposta

======================================================================= 51. A idade do filho é igual a ¼ da idade do pai. Qual a idade do filho, sabendo que a soma das duas é 50? SOLUÇÃO • Já foram resolvidos vários exercícios similares a este, então veja o cálculo

• Pai = B Filho = B4

1 Pai + Filho = 50

• 504

1 =+ BB 504

5 =B

5

4*50=B

• 40=B Pai • = 40 anos Filho = 10 anos ======================================================================= 52. Pedro, funcionário de uma empresa, recebeu o salário do mês e o gastou da seguinte

maneira: 5

1 comprou roupas; 20% do que sobrou, comprou alimentação. Sobraram R$

160,00. Quanto Pedro gastou com alimentação? SOLUÇÃO

• )5

1(*%20lim SSentaçãoA −= )250*

5

1250(*%20lim −=entaçãoa

• )50250(*5

1lim −=entaçãoA 200*

5

1lim =entaçãoA

• 00,40$lim RentaçãoA = =======================================================================


28

53. Carlos recebeu o salário e o gastou da seguinte maneira: 40% do salário comprou

roupas; 5

2 comprou sapatos; metade do que sobrou comprou presentes para a namorada.

Sobraram R$ 50,00. Qual o salário de Carlos? SOLUÇÃO • Este é similar ao anterior, inclusive, mais fácil, pois, pede apenas o salário.

• Salário = X Roupas = 40% de X Sapatos = X5

2

5

2

100

40%40 == )

5

2*%40(Re XXXsto +−=

• 50)5

2

100

40(

2

1

5

2

100

40 =−−−−− XXXXXX

• 50)5

2

5

2(

2

1

5

2

5

2 =−−−−− XXXXXX

• 50)5

4(

2

1

5

2

5

2 =−−−− XXXXX

• 50)5

1(

2

1

5

4 =−− XXX 10*)5010

1

5

4( =−− XXX

• 500810 =−− XXX 500=X • O salário corresponde a R$ 500,00 ======================================================================= 54. Uma senhora comprou 10 dúzias de ovos e 3 galinhas por R$ 1.500,00 ( que diabo de galinha cara é esta). Quanto custou cada ovo e cada galinha sabendo que uma galinha custa o mesmo que 10 ovos? SOLUÇÃO • Para resolver este problema, temos de desenvolver um sistema de equações do primeiro

grau, onde uma das equações será referente ao preço e outra à igualdade entre ovos e galinhas.

• 15003120 =+ GALINHASOVOS OVOSGALINHA 101 = • 150010*3120 =+ OVOSOVOS 150030120 =+ OVOSOVOS

• 1500150 =OVOS 150

1500=OVOS 10=OVOS

• 10010*10 ==GALINHA =======================================================================


29

55. Um operário ganha R$ 120,00 por dia trabalhado e paga multa de R$ 50,00 por falta injustificada. Depois de 60 dias, este operário recebeu proventos na ordem de R$ 6.350,00. Quantos dias ele efetivamente trabalhou? SOLUÇÃO • Dia trabalhado =R$ 120,00 Falta não justificada = R$ 50,00 • T é dia trabalhado F é falta não justificada • Somando os dias trabalhados e as faltas, resultará em 60 dias, • O dinheiro que ele recebeu pelos dias trabalhados, é equivalente a 120T, onde T

representa o número de dias trabalhados; • O dinheiro pago pelas faltas não justificadas, é 50F, onde F representa o número de

faltas. • A quantidade que ele recebeu é equivalente ao dinheiro recebido pelos dias trabalhados,

subtraindo o valor pago palas faltas, • Observando as informações acima, procedamos ao cálculo; • 60=+ FT 635050120 =− FT • Somando as duas equações acima, teremos uma solução.

• 635050120

60

=−=+

FT

FT

, para somarmos este sistema com maior facilidade, vamos multiplicar

a primeira parcela por (50), isto não é necessário, só estou fazendo para facilitar o cálculo, podes somar da maneira em que o sistema está posto acima, mas o cálculo ficará bem mais complexo. Veja que ao multiplicar a primeira parcela por (50), a variável F, desaparecerá.

• 635050120

50*)60(

=−=+

FT

FT

635050120

30005050

=−=+

FT

FT

• 9350170

6350120

300050

==

=

T

T

T

9350170 =T 170

9350=T

• 55=T • Agora sabemos que ele trabalhou somente 55 dias, e faltou 5 dias. =======================================================================


30

56. Cláudia comprou 25 metros de cambraia e 12 metros de seda por R$ 4.800,00. Pergunta-se, quanto custou o metro de cada fazenda, já que o metro de cambraia custa R$ 30,00 menos que o metro de seda? SOLUÇÃO • Este exercício se resolve com sistemas de equações, igual aos 2 anteriores. • C = cambraia S = seda C = 25 metros S = 12 metros • Como esta mercadoria é vendida por metros, então procedamos; • C = S – 30 25C +12S= 4.800 substituindo, teremos; • 800.412)30(25 =+− SS 800.41275025 =+− SS

• 750480037 +=S 555037 =S

• 37

5550=S 150=S 120=C

• A seda custa R$ 150,00 o metro, e a cambraia custa R$ 120,00. ======================================================================= 57. Numa festa filantrópica, o convite para homens custava R$ 15,00 e para mulheres, R$ 10,00 ( a graça de uma festa são as mulheres, não tem nem lógica se os convites custassem o mesmo preço para homens e mulheres, as mulheres deveriam entrar de graça). Sabendo que o número de mulheres excede o número de homens em 5 e que o valor arrecadado com os convites corresponde a R$ 550,00. Quantas mulheres foram a festa? SOLUÇÃO

• 00,15$

00,10$

RHomens

RMulheres

==

5+= HomensMulheres 00,550$RoArrecadaçã =

• Sabemos que a arrecadação é a soma do dinheiro dos ingressos de homens e mulheres. • Vamos armar as relações demos: 550hom1510 =+ ensmulheres • 5hom =− ensMulheres

• 550155010

550hom15)5(hom10

=++

=++

HomnesHomens

ensens

50025

5055025

=−=

Homens

Homens

• 25

500=Homens 20=Homens

• Na festa havia 20 homens e 25 mulheres. =======================================================================


31

58. Numa granja ha 870 aves, entre galinhas e frangos. Cada galinha abatida vale R$ 3,00 e o frango abatido vale R$ 5,00. Considerando que o total apurado com o abate foi de R$ 3.150,00, quantos frangos foram abatidos? SOLUÇÃO

• 00,150.353

870

=+=+

frangosgalinhas

frangosgalinhas

00,5$

00,3$

Rfrangos

Rgalinhas

==

• 150.353

)3(*)870(

=+−=+

frangosgalinhas

frangosgalinhas

Multiplicando por (-3), facilita.

• 5402

150.353

261033

==+

−=−−

frangos

frangosgalinhas

frangosgalinhas

• 2

540

5402

=

=

frangos

frangos

270=frangos

======================================================================= 59. Num edifício ha apartamentos de 2 e 4 quartos para alugar. Ao todo são 58 apartamentos. O aluguel de um apartamento de 2 quartos custa R$ 400,00. Se todos os apartamentos fossem alugados, a receita seria de R$ 30.600,00. Acontece que somente apartamentos de 2 quartos foram alugados, resultando assim, num prejuízo de R$ 22.200,00. Pergunta-se quantos apartamentos não foram alugados e qual o valor do aluguel de cada um deles? SOLUÇÃO

• qY

qX

4

2

==

X representa os apartamentos de 2 quantos e Y os de 4 quartos

•

?

00,400$

58

==

=+

Y

RX

YX

prejuízoreceitaAlugueisX

Rejuízo

Rreceita

−==

=00,200.22$Pr

00,600.30$


32

• Todos os apartamento de 2 quartos foram alugados, o prejuízo corresponde ao aluguel dos apartamentos de 4 quartos. Basta-nos, descobrir agora quantos são os apartamentos de 2 quantos?

•

00,400$

00,400.8$

00,400.8$

R

RX

RAluguéisX

=

= 21=X

• osapartamentY 37= 37

22200=Y 00,600$RY =

======================================================================= 60. Num estacionamento há 76 veículos entre carros e motos. Sabendo que o total de rodas no estacionamento é de 212, pergunta-se, quantos carros e quantas motos há neste estacionamento? SOLUÇÃO

•

212

2

4

76

===

=+

rodas

rodasmotos

rodascarros

motoscarros

Vamos armar o sistema

21224

76

=+=+

motoscarros

motoscarros

Vamos multiplicar por (-2) para facilitar

• 21224

)2(*)76(

=+−=+

motoscarros

motoscarros

602

21224

15222

==+

−=−−

carros

motoscarros

motoscarros

•

2

60

302

=

=

carros

carros

46

30

==

motos

carros

=============================== F I M ==================================

exercícios de fração resolvidos

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