EXERCICES SUR LES INTEGRALES GENERALISEES 1. Calculer les inégrales généralisées suivantes. a) ∞ 0 dx (1 + e x )(1 + e −x ) b) ∞ 0 e − √ x √ x dx c) 1 0 ln x dx d) ∞ 1 ln x x 2 dx e) 1 0 ln x (1 + x) 2 dx f ) ∞ 0 x n e −x dx (n ∈ N) g) ∞ 0 arctan x 1+ x 2 dx h) ∞ a dx x(x + r) (a> 0,r> 0) i) π/2 0 cos 2x √ sin 2x dx 2. Soit a> 1. Calculer ∞ a dx x 2 − 1 . 3. Montrer que les intégrales suivantes convergent. a) ∞ 0 1 √ x e − √ x 2 +x+1 dx , b) π/2 −π/2 ln(1+sin x) dx , c) ∞ 0 e −t 2 dt , d) ∞ 0 1 + sin t 1+ √ t 3 dt . 4. Déterminer pour quelles valeurs du couple (α, β) ∈ R 2 les intégrales suivantes sont conver- gentes. (On dessinera dans le plan l’ensemble des couples (α, β) pour lesquels il y a convergence). a) ∞ 0 dx x α (1 + x β ) , b) ∞ 0 ln(1 + x α ) x β dx , c) ∞ 0 (1 + t) α − t α t β dt . 5. Etudier pour quelles valeurs de n ∈ N l’intégrale I (n)= ∞ 1 ln x x n dx converge et calculer I (n) dans ce cas. 1
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EXERCICES SUR LES INTEGRALES GENERALISEESGerard.Eguether/LMI/ANALYSE1/...f) Posons In = Z∞ 0 xne−x dx. Puisque les fonctions intégrées sont positives, la fonction F n définie
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Transcript
EXERCICES SUR LES INTEGRALES
GENERALISEES
1. Calculer les inégrales généralisées suivantes.
a)
∞∫
0
dx
(1 + ex)(1 + e−x)b)
∞∫
0
e−√x
√x
dx c)
1∫
0
lnx dx
d)
∞∫
1
lnx
x2dx e)
1∫
0
lnx
(1 + x)2dx f)
∞∫
0
xne−x dx (n ∈ N)
g)
∞∫
0
arctan x
1 + x2dx h)
∞∫
a
dx
x(x+ r)(a > 0, r > 0) i)
π/2∫
0
cos 2x√sin 2x
dx
2. Soit a > 1. Calculer
∞∫
a
dx
x2 − 1.
3. Montrer que les intégrales suivantes convergent.
a)
∞∫
0
1√xe−
√x2+x+1 dx , b)
π/2∫
−π/2
ln(1+sinx) dx , c)
∞∫
0
e−t2 dt , d)
∞∫
0
1 + sin t
1 +√t3
dt .
4. Déterminer pour quelles valeurs du couple (α, β) ∈ R2 les intégrales suivantes sont conver-
gentes. (On dessinera dans le plan l’ensemble des couples (α, β) pour lesquels il y a convergence).
a)
∞∫
0
dx
xα(1 + xβ), b)
∞∫
0
ln(1 + xα)
xβdx , c)
∞∫
0
(1 + t)α − tα
tβdt .
5. Etudier pour quelles valeurs de n ∈ N l’intégrale
I(n) =
∞∫
1
lnx
xndx
converge et calculer I(n) dans ce cas.
1
6. Soit I(λ) =
∞∫
0
dx
(1 + x2)(1 + xλ). Montrer que I(λ) converge pour tout réel λ et calculer cette
intégrale en utilisant le changement de variable t = 1/x.
7. Soit I =
∞∫
0
e−t − e−2t
tdt.
a) Montrer que I est convergente.
b) Pour ε > 0, établir, en posant x = 2t, la relation
∞∫
ε
e−t − e−2t
tdt =
2ε∫
ε
e−t
tdt .
c) En déduire le calcul de I.
d) En déduire le calcul de
1∫
0
x− 1
lnxdx (Poser x = e−t).
8. Soit I =
π/2∫
0
ln sinx dx.
a) Montrer que I est convergente.
b) Montrer que I =
π/2∫
0
ln cos x dx.
c) Montrer que 2I =
π/2∫
0
lnsin 2x
2dx.
d) En déduire la valeur de I.
9. Soit I =
∞∫
0
dx
(1 + x2)√x.
a) Montrer que I est convergente.
b) Calculer J =
∞∫
0
dt
1 + t4.
c) En déduire I.
2
10. a) Etudier pour quelles valeurs de n ∈ N l’intégrale Jn =
∞∫
0
dx
(x3 + 1)nconverge.
b) Calculer J1.
c) Montrer que si n ≥ 2, on a
Jn+1 =3n − 1
3nJn ,
et en déduire Jn si n ≥ 1.
11. Montrer que l’intégrale
π/2∫
0
tanx dx diverge,
a) par un calcul de primitive ; b) par le critère de Riemann.
12. Montrer que les intégrales suivantes sont semi-convergentes.
a)
∞∫
π
cos x√x
dx b)
∞∫
−1
cos(x2) dx (poser u = x2) c)
∞∫
π
x2 sin(x4) dx d)
∞∫
π
ei√x
xdx .
13. Soit f une fonction de R dans R continue et périodique dont l’intégrale
∞∫
0
f(x) dx est conver-
gente. Montrer que f est la fonction nulle. (Raisonner par l’absurde : supposer que f(c) 6= 0 pourun certain réel c, et montrer que le critère de Cauchy est alors contredit).
14. Soit f une fonction uniformément continue de [ a, ∞ [ dans R, telle que l’intégrale
∞∫
a
f(x) dx
converge. Montrer que limx→∞
f(x) = 0 (montrer que sinon le critère de Cauchy serait contredit).
15. Soit f une fonction de classe C1 de R dans R telle que, quand x tend vers ±∞, on ait
f ′(x) = O
(
1
x2
)
.
a) Démontrer que les limites L et ℓ de f en +∞ et −∞ respectivement existent.
b) On suppose en outre que, pour tout x réel, on a
|f ′(x)| ≤ 1
x2 + 1.
Montrer que |L− ℓ| ≤ π.
3
16. Soit f une fonction décroissante de [ a, ∞ [ dans R+.
a) Montrer que si l’intégrale
∞∫
a
f(t) dt converge, alors limx→∞
xf(x) = 0.
(Remarquer que l’on a, si x ≥ a, l’inégalité : xf(2x) ≤2x∫
x
f(t) dt).
b) Montrer par un contre-exemple que la réciproque est fausse.
4
17. Construire une fonction f continue positive non bornée de [ 0, +∞ [ dans R telle que l’in-
tégrale
+∞∫
0
xf(x) dx soit convergente.
18. Déterminer la limite des suites (an) définies ci-dessous.
a) an =
∞∫
0
arctan(nx)
n(1 + x2)dx , b) an =
1∫
0
dx
1 + xn, c) an =
∞∫
1
dx
1 + xn, d) an =
∞∫
0
arctan(
n+1
n x)
1 + x2dx .
19. Soit a > 0. On définit sur [ a, +∞ [ les fonctions f et g par
f(x) =sinx√
x+
sin2 x
xet g(x) =
sinx√x
.
a) Montrer que f ∼ g au voisinage de +∞.
b) Etudier la nature des intégrales
∞∫
a
f(x) dx et
∞∫
a
g(x) dx.
20. Soit f définie sur R \ {−1} par
f(x) =x ln |x+ 1|x2 + 1
.
Montrer les propriétés suivantes.
a) La fonction f est intégrable au voisinage de −1.
b) Les intégrales
∞∫
0
f(x) dx et
0∫
−∞
f(x) dx sont divergentes.
c) La limite de l’intégrale
A∫
−A
f(x) dx, lorsque A tend vers +∞ existe et est finie. (Etudier la
convergence de l’intégrale
∞∫
0
|f(x) + f(−x)| dx).
5
Corrigé
1. a) On a1
(1 + ex)(1 + e−x)=
ex
(1 + ex)2.
Cette expression est de la forme u′/(1 + u)2 et admet comme primitive −1/(1 + u), donc
∞∫
0
dx
(1 + ex)(1 + e−x)=
[
− 1
1 + ex
]∞
0
=1
2− lim
x→∞
1
1 + ex=
1
2.
b) Une primitive de e−√x/√x est −2e−
√x, donc
∞∫
0
e−√x
√x
dx =[
− 2e−√x]∞
0= 2(lim
x→0e−
√x − lim
x→∞e−
√x) = 2 .
c) Une primitive de lnx est x lnx− x, donc
1∫
0
lnx dx =[
x lnx− x]1
0= −1− lim
x→0(x ln x− x) = −1 ,
car la limite de x lnx est nulle en 0.
d) En intégrant par parties
∫
lnx
x2dx = − lnx
x+
∫
dx
x2= − lnx
x− 1
x,
donc∞∫
1
lnx
x2dx =
[
− lnx
x− 1
x
]∞
1
= limx→∞
(
− lnx
x− 1
x
)
+ 1 = 1 .
e) En intégrant par parties
∫
lnx
(1 + x)2dx = − lnx
1 + x+
∫
dx
x(1 + x).
Mais en décomposant la fraction rationnelle
1
x(1 + x)=
1
x− 1
1 + x,
on obtient∫
lnx
(1 + x)2dx = − lnx
1 + x+ lnx− ln(1 + x) =
x lnx
1 + x− ln(1 + x) .
Alors
1∫
0
lnx
(1 + x)2dx =
[
x lnx
1 + x− ln(1 + x)
]1
0
= − ln 2− limx→0
(
x lnx
1 + x− ln(1 + x)
)
= − ln 2 .
6
f) Posons In =
∞∫
0
xne−x dx. Puisque les fonctions intégrées sont positives, la fonction Fn définie
par
Fn(α) =
α∫
0
xne−x dx ,
est croissante et possède une limite finie ou non à +∞.
En intégrant par parties, si n ≥ 1.
∫
xne−x dx = −xne−x +
∫
nxn−1e−x dx .
Maislim
x→+∞xne−x = 0 .
Il en résulte que
limα→∞
α∫
0
xne−x dx = n limα→∞
α∫
0
xn−1e−x dx ,
et doncIn = nIn−1 .
On a
I0 =
∞∫
0
e−x dx = 1 ,
donc l’intégrale In converge et
In = n(n− 1) · · · 1 · I0 = n! .
g) Comme arctan x a pour dérivée 1/(1 + x2), on a
∫
arctanx
1 + x2dx =
1
2(arctan x)2 ,
et∞∫
0
arctan x
1 + x2dx =
[
1
2(arctan x)2
]∞
0
= limx→∞
1
2(arctan x)2 =
π2
8.
h) La fraction rationnelle se décompose facilement, puisque
1
x(x+ r)=
1
r
(
1
x− 1
x+ r
)
,
et admet sur [ a, ∞ [ la primitive1
rln
x
x+ r, donc
∞∫
a
dr
x(x+ r)=
[
1
rln
x
x+ r
]∞
a
=1
r
(
lna+ r
a+ lim
x→∞ln
x
x+ r
)
=1
rln
a+ r
a.
7
i) Une primitive de cos 2x/√sin 2x est
√sin 2x, donc
π/2∫
0
cos 2x√sin 2x
dx =[√
sin 2x]π/2
0= lim
x→π/2
√sin 2x− lim
x→0
√sin 2x = 0 .
2. On décompose la fraction rationnelle
1
x2 − 1=
1
2
(
1
x− 1− 1
x+ 1
)
.
Pour x ≥ a > 1, cette fonction admet comme primitive1
2ln
x− 1
x+ 1Alors
∞∫
a
dx
x2 − 1=
[
1
2ln
x− 1
x+ 1
]∞
a
= limx→∞
1
2ln
x− 1
x+ 1− 1
2ln
a− 1
a+ 1=
1
2ln
a+ 1
a− 1.
3. a) Au voisinage de 0 on a1√xe−
√x2+x+1 ∼ e−1
√x,
donc l’intégrale
1∫
0
1√xe−
√x2−x+1 dx converge par comparaison à
1∫
0
dx
x1/2.
Lorsque x > 1,1√xe−
√x2+x+1 ≤ e−x ,
et l’intégrale
∞∫
1
1√xe−
√x2+x+1 dx converge par comparaison à
∞∫
1
e−xdx.
b) Cherchons un équivalent de ln(1+ sinx) dx au voisinage de −π/2. Posons u = x+ π/2. Alors
ln(1 + sinx) = ln(1− cos u) = ln
(
u2
2+ ◦(u2)
)
= 2 ln u
(
1 +ln(1/2 + ◦(1))
2 lnu
)
∼ 2 ln u .
Mais l’intégrale
1∫
0
lnu du converge (Voir ex 1c) et lnu est négative. Donc l’intégrale
π/2∫
−π/2
ln(1 + sinx) dx
converge.
c) On peut donner deux arguments montrant la convergence de l’intégrale.
(i) Lorsque t > 1, on a t2 > t, donc e−t2 < e−t, et l’intégrale
∞∫
e−t2dt converge par comparaison
à l’intégrale
∞∫
e−tdt.
8
(ii) Lorsque t tend vers l’infini, t2e−t2 admet 0 comme limite, donc est majoré par 1 sur
un intervalle [ a, ∞ [ . Alors e−t2 ≤ 1/t2, et l’intégrale
∞∫
e−t2dt converge par comparaison à
l’intégrale
∞∫
dt
t2.
d) On a, si t > 0,
0 ≤ 1 + sin t
1 +√t3
≤ 2
t3/2,
et l’intégrale
∞∫
1 + sin t
1 +√t3
dt converge par comparaison à l’intégrale
∞∫
dt
t3/2.
4. a) Cherchons un équivalent simple en 0 et en +∞ de la fonction f définie sur ] 0, ∞ [ par
f(x) =1
xα(1 + xβ).
Le résultat dépend du signe de β. On peut résumer ce que l’on obtient dans le tableau suivant :
condition de condition de∼ f(x) en 0 ∼ f(x) en ∞ convergence de convergence de
1∫
0
f(x) dx∞∫
1
f(x) dx
β > 01
xα1
xα+βα < 1 α+ β > 1
β = 01
2xα1
2xαα < 1 α > 1
β < 01
xα+β
1
xαα+ β < 1 α > 1
L’ensemble des couples (α, β) pour lesquels l’intégrale
∞∫
0
f(x) dx converge est le domaine du plan
limité par les droites d’équation α+ β = 1 et α = 1 (exclues). On ne peut jamais avoir β = 0.
9
✲
✻
α+β=1
α1
β
b) Même méthode. Les équivalents dépendent du signe de α cette fois.
Remarquons que si α > 0, alors xα tend vers 0 en 0 donc
ln(1 + xα) ∼ xα ,
et si α < 0, on peut écrire
ln(1 + xα) = ln(xα) + ln(1 + x−α)
= α lnx
(
1 +ln(1 + x−α)
α lnx
)
,
et doncln(1 + xα) ∼ α lnx .
On a des résultats inversés en +∞. On peut résumer ce que l’on obtient dans le tableau suivant :
condition de condition de∼ f(x) en 0 ∼ f(x) en ∞ convergence de convergence de
1∫
0
f(x) dx∞∫
1
f(x) dx
α > 01
xβ−ααln x
xββ − α < 1 β > 1
α = 0ln 2
xβln 2
xββ < 1 β > 1
α < 0 αlnx
xβ1
xβ−αβ < 1 β − α > 1
10
L’ensemble des couples (α, β) pour lesquels l’intégrale
∞∫
0
f(x) dx converge est le domaine du plan
limité par les droites d’équation β − α = 1 et β = 1 (exclues). On ne peut jamais avoir α = 0.
✲
✻
β− α
=1
α
1
β
c) Posons
f(t) =(1 + t)α − tα
tβ.
Si α = 0 la fonction f est nulle et l’intégrale converge.
Si α 6= 0 et si t tend vers l’infini, on écrit
(1 + t)α − tα = tα((
1 +1
t
)α
− 1
)
,
et en faisant un développement limité en 0 par rapport à 1/t, on obtient
(1 + t)α − tα = tα(
1 +α
t+ ◦
(
1
t
)
− 1
)
∼ αtα−1 ,
doncf(t) ∼ α
tβ−α+1,
et l’intégrale
∞∫
1
f(t) dt converge si et seulement si β − α > 0.
En 0, le résultat dépend du signe de α.
11
Si α < 0(1 + t)α − tα = −tα
(
1− t−α(1 + t)α)
∼ −tα ,
car 1− t−α(1 + t)α tend vers 1. On en déduit
f(t) ∼ − 1
tβ−α,
et l’intégrale
1∫
0
f(t) dt converge si et seulement si β − α < 1.
Si α > 0, la quantité (1 + t)α − tα tend vers 1 en 0, donc
f(t) ∼ 1
tβ,
et l’intégrale
1∫
0
f(t) dt converge si et seulement si β < 1.
On a donc le tableau suivant :
condition de condition de∼ f(t) en 0 ∼ f(t) en ∞ convergence de convergence de
1∫
0
f(t) dt∞∫
1
f(t) dt
α > 01
tβα
tβ−α+1β < 1 β − α > 0
α < 0 − 1
tβ−α
α
tβ−α+1β − α < 1 β − α > 0
Les couples (α, β) répondant à la question sont les points du domaine limité par les droitesd’équation β = 1, β = α et β = α+1 (bords exclus), auxquels on peut ajouter la droite d’équa-tion α = 0.
12
α
1
β
✲
✻
β− α
=1
β=α
5. L’intégrale I(n) est une intégrale de Bertrand
∞∫
1
dx
xn(lnx)−1qui converge si et seulement si
n ≥ 2. Pour la calculer dans ce cas, intégrons par parties
∫
lnx
xndx. On a
∫
lnx
xndx =
x−n+1
−n+ 1lnx−
∫
x−n+1
−n+ 1
1
xdx =
x−n+1
−n+ 1lnx− x−n+1
(n − 1)2,
et donc
I(n) =
[
x−n+1
−n+ 1lnx− x−n+1
(n− 1)2
]∞
1
=1
(n− 1)2.
6. Pour x > 0, posons
fλ(x) =1
(1 + x2)(1 + xλ).
On a
0 ≤ fλ(x) =1
1 + x2,
et puisque l’intégrale
∞∫
0
dx
1 + x2converge, il résulte du théorème de comparaison que
∞∫
0
dx
(1 + x2)(1 + xλ)
converge aussi.
13
En posant t = 1/x, on a x = 1/t donc dx = −dt/t2, et l’on obtient
I(λ) =
∞∫
0
tλ dt
(t2 + 1)(tλ + 1).
Alors, puisque toutes les intégrales convergent, on peut additionner les deux expressions de I(λ),et l’on trouve
2I(λ) =
∞∫
0
dt
(t2 + 1)(tλ + 1)+
∞∫
0
tλ dt
(t2 + 1)(tλ + 1)=
∞∫
0
dt
t2 + 1=[
arctan t]∞
0=
π
2.
7. En effectuant un développement limité en 0, on a
e−t − e−2t = 1− t− (1− 2t) + ◦(t) = t+ ◦(t) ,
donc
limt→0
e−t − e−2t
t= 1 ,
et la fonction se prolonge par continuité en 0. Il en résulte que l’intégrale
1∫
0
e−t − e−2t
tdt
converge.
Posons
I1 =
∞∫
1
e−t
tdt et I2 =
∞∫
1
e−2t
tdt .
Si t ≥ 1, on a
0 ≤ e−t
t≤ e−t et 0 ≤ e−2t
t≤ e−2t ,
et puisque les intégrales
∞∫
1
e−t dt et
∞∫
1
e−2t dt convergent, les intégrales I1 et I2 convergent éga-
lement, donc I1 − I2 converge.
b) Transformons
∞∫
ε
e−2t
tdt par le changement de variable x = 2t. On obtient
∞∫
ε
e−2t
tdt =
∞∫
2ε
e−x
xdx ,
d’où∞∫
ε
e−t
tdt−
∞∫
2ε
e−2t
tdt =
2ε∫
ε
e−t
tdt .
14
c) On cherche la limite lorsque ε tend vers 0 du membre de droite. En utilisant la premièreformule de la moyenne, il existe cε dans [ ε, 2ε ] tel que
2ε∫
ε
e−t
tdt = e−cε
2ε∫
ε
dt
t= e−cε ln 2 .
Comme cε tend vers zéro d’après le théorème d’encadrement, il en résulte que I = ln 2.
d) Le changement de variable x = e−t donne immédiatement
1∫
0
x− 1
lnxdx = I = ln 2 .
8. a) la fonction qui à x associe ln sinx est continue sur ] 0, π/2 ] . On a au voisinage de 0
ln sinx = ln(x+ ◦(x)) = lnx+ ln(1 + ◦(1)) ,
donc
ln sinx = lnx
(
1 +ln(1 + ◦(1))
lnx
)
.
Mais 1 +ln(1 + ◦(1))
lnxtend vers 1 lorsque x tend vers 0, et donc
ln sinx ∼ lnx .
L’intégrale
1∫
0
lnx dx converge (ex 1 c) et, puisque lnx est de signe constant au voisinage de 0,
l’intégrale I converge.
b) Puisque cos(π/2 − x) = sinx, le changement de variable t = π/2− x donne immédiatement
I =
π/2∫
0
ln cos t dt .
c) Alors, puisque
ln sinx+ ln cos x = ln(sin x cos x) = lnsin 2x
2,
on obtient
2I =
π/2∫
0
lnsin 2x
2dx .
d) Ceci peut s’écrire
2I =
π/2∫
0
ln sin 2x dx−π/2∫
0
ln 2 dx =
π/2∫
0
ln sin 2x dx− π ln 2
2.
15
Effectuons le changement de variable u = 2x dans l’intégrale du membre de droite. On trouve
π/2∫
0
ln sin 2x dx =1
2
π∫
0
ln sinu du .
Puisque sin(π − v) = sin v, le changement de variable v = π − u donne
π∫
π/2
ln sinu du =
π/2∫
0
ln sin v dv ,
donc
1
2
π∫
0
ln sinu du =
π/2∫
0
ln sinu du = I .
Finalement
2I = I − π ln 2
2,
et donc
I = −π ln 2
2.
9. a) Pour x > 0, posons
f(x) =1
(1 + x2)√x.
On a au voisinage de l’infini,
f(x) ∼ 1
x5/2,
et, puisque 5/2 > 1, l’intégrale
∞∫
1
f(x) dx converge. Au voisinage de 0, on a cette fois
f(x) ∼ 1
x1/2,
et, puisque 1/2 < 1, l’intégrale
1∫
0
f(x) dx converge également. L’intégrale I converge donc.
b) Pour décomposer la fraction en éléments simples on écrit tout d’abord
Mais comme la fonction est paire, on obtient, en changeant t en −t
1
t4 + 1=
−at+ b
t2 −√2 t+ 1
+−ct+ d
t2 +√2 t+ 1
,
16
et par unicité de la décomposition a = −c et b = d. Donc
1
t4 + 1=
at+ b
t2 +√2 t+ 1
+−at+ b
t2 −√2 t+ 1
.
En donnant à t la valeur 0, on obtient
b =1
2.
D’autre part, si l’on réduit au même dénominateur, le coefficient de t2 vaut −2a√2+2b. Comme
il est nul, on en déduit que
a =1
2√2.
On écrit alors
at+ b
t2 +√2 t+ 1
=1
4√2
(
2t+ 2√2
t2 +√2 t+ 1
)
=1
4√2
(
2t+√2
t2 +√2 t+ 1
)
+1
4
1
t2 +√2 t+ 1
,
et cette fonction admet comme primitive
1
4√2ln(t2 +
√2 t+ 1) +
√2
4arctan(
√2 t+ 1) .
(On rappelle qu’une primitive de1
at2 + bt+ coù ∆ = b2−4ac < 0 et a 6= 0 est
2√−∆
arctan2at+ b√
−∆).
On obtient de même pour la primitive de l’autre morceau
− 1
4√2ln(t2 −
√2 t+ 1)−
√2
4arctan(−
√2 t+ 1) .
Alors, une primitive de1
t4 + 1est,
1
4√2ln
t2 +√2 t+ 1
t2 −√2 t+ 1
+
√2
4(arctan(
√2 t+ 1) + arctan(
√2 t− 1) .
Cette fonction est nulle en 0 et admet comme limiteπ√2
4à +∞ donc
∞∫
0
dx
1 + t4=
π√2
4.
c) En effectuant le changement de variable t =√x dans I, on a dt =
dx
2√x
et l’on trouve
I = 2J =π√2
2.
10. a) On a, à l’infini,1
(x3 + 1)n∼ 1
x3n,
17
et l’intégrale
∞∫
0
dx
(x3 + 1)nconverge si et seulement si 3n > 1, soit n ≥ 1.
b) En utilisant la factorisation
x3 + 1 = (x+ 1)(x2 − x+ 1) ,
la fraction rationnelle1
x3 + 1se décompose sous la forme
1
x3 + 1=
1
(x+ 1)(x2 − x+ 1)=
a
x+ 1+
bx+ c
x2 − x+ 1.
On peut obtenir les coefficients de la manière suivante :
en multipliant par x+ 1 et en faisant tendre x vers −1, on obtient a = 1/3 ;
en remplaçant x par 0, on trouve 1 = a+ c d’où c = 1− a = 2/3 ;
en multipliant par x et en faisant tendre x vers +∞, on trouve 0 = a+ b, d’où b = −1/3.
Finalement1
x3 + 1=
1
3(x+ 1)+
1
3
−x+ 2
x2 − x+ 1,
ce qui s’écrit encore
1
x3 + 1=
1
3(x+ 1)− 1
6
2x− 1
x2 − x+ 1+
1
2
1
x2 − x+ 1,
Pour x ≥ 0, on obtient alors comme primitive,
∫
dx
x3 + 1=
1
3ln(x+1)−1
6ln(x2−x+1)+
1√3arctan
2x− 1√3
=1
3ln
x+ 1√x2 − x+ 1
+1√3arctan
2x− 1√3
.
Alors
∞∫
0
dx
x3 + 1=
[
1
3ln
x+ 1√x2 − x+ 1
+1√3arctan
2x− 1√3
]∞
0
= limx→∞
(
1
3ln
x+ 1√x2 − x+ 1
+1√3arctan
2x− 1√3
)
+1√3arctan
1√3.
Mais
lnx+ 1√
x2 − x+ 1= ln
1 +1
x√
1− 1
x+
1
x2
,
et cette expression a pour limite 0 à +∞. Par ailleurs arctan2x− 1√
3admet pour limite π/2 en
+∞, et
arctan1√3=
π
6,
18
d’où∞∫
0
dx
x3 + 1=
1√3
π
2+
1√3
π
6=
2π√3
9.
c) Si n ≥ 1, l’intégrale Jn est convergente, et on peut intégrer par parties. On trouve
Jn =
[
x
(x3 + 1)n
]∞
0
+
∞∫
0
3nx3
(x3 + 1)n+1dx =
∞∫
0
3nx3
(x3 + 1)n+1dx .
Mais∞∫
0
x3
(x3 + 1)n+1dx =
∞∫
0
x3 + 1
(x3 + 1)n+1dx−
∞∫
0
1
(x3 + 1)n+1dx = Jn − Jn+1 ,
doncJn = 3n(Jn − Jn+1) ,
d’où l’on déduit
Jn+1 =3n− 1
3nJn .
Alors
Jn =3n − 4
3n − 3
3n− 7
3n− 6· · · 2
3J1 =
3n− 4
3n− 3
3n− 7
3n− 6· · · 2
3
2π√3
9.
11. a) On écrit tan x =sinx
cos xet comme − sinx est la dérivée de cos x, on a immédiatement,
pour x ∈ [ 0, π/2 [∫
tanx dx = − ln cosx .
Mais lorsque x tend vers π/2, cos x tend vers 0, et − ln cos x vers +∞. L’intégrale
π/2∫
0
tanx dx
est donc divergente.
b) La fonction tangente possède une discontinuité en π/2. On se ramène en 0 en posant u = π/2− x.Alors
tan x = tan(π
2− u)
=1
tan u.
Mais au voisinage de 0, tanu ∼ u, donc
tanx ∼ 1
u.
Comme l’intégrale
α∫
0
du
udiverge, il en résulte que l’intégrale
π/2∫
0
tanx dx diverge également.
12. a) Première méthode. En intégrant par parties∫
cos x√x
dx =sinx√
x+
1
2
∫
sinx
x3/2dx .
19
Or la fonction x 7→ sinx√x
admet une limite nulle en +∞, et
| sinx|x3/2
≤ 1
x3/2.
De plus l’intégrale
∫
sinx
x3/2dx converge absolument, donc converge. Il en résulte que l’intégrale
∫
cos x√x
dx converge.
Deuxième méthode. En appliquant directement le critère d’Abel. La fonction x 7→ 1/√x est
décroissante et tend vers 0 à l’infini, par ailleurs
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x′
∫
x
cos t dt
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= | sinx′ − sinx| ≤ 2 ,
donc l’intégrale converge.
Pour montrer qu’elle ne converge pas absolument, on peut utiliser l’inégalité
| cos x| ≥ cos2 x =1 + cos 2x
2.
Alorsx∫
π
| cos t|√t
dt ≥x∫
π
1 + cos 2t
2√t
dt =
x∫
π
1
2√tdt+
x∫
π
cos 2t
2√tdt . (1)
Maisx∫
π
1
2√tdt =
√x−
√π ,
et ceci tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞. Par contre, en posant u = 2t, on obtient
x∫
π
cos 2t
2√tdt =
1
2√2
2x∫
2π
cos u√u
du ,
et cette expression possède une limite finie lorsque x tend vers +∞, donc le membre de droitede l’inégalité (1) tend vers +∞ et il en résulte que celui de gauche a la même limite. Par suite,
l’intégrale
x∫
π
| cos t|√t
dt diverge.
b) Comme la fonction qui à x associe cos(x2) est continue sur [−1, ∞ [ , l’intégrale
∞∫
−1
cos(x2) dx
converge si et seulement si l’intégrale
∞∫
√π
cos(x2) dx converge, et de même l’intégrale
∞∫
−1
| cos(x2)| dx
20
converge si et seulement si l’intégrale
∞∫
√π
| cos(x2)| dx converge. En faisant le changement de va-
riable t = x2 on obtient,∞∫
√π
cos(x2) dx =
∞∫
π
cos t
2√tdt ,
et également∞∫
√π
| cos(x2)| dx =
∞∫
π
| cos t|2√t
dt .
Il résulte de a) que l’intégrale
∞∫
√π
cos(x2) dx est semi-convergente, et donc que l’intégrale
∞∫
−1
cos(x2) dx
est également semi-convergente.
c) On effectue le changement de variable u = x4. L’intégrale devient
∞∫
π
x2 sin(x4) dx =1
4
∞∫
π4
sinu
u1/4du .
La situation est identique à celle de l’exercice a). La fonction qui à t dans [π, ∞ [ associe 1/t1/4
est décroissante et tend vers 0 à l’infini. Par ailleurs∣
∣
∣
∣
∣
∣
x′
∫
x
sin t dt
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= | cos x− cos x′| ≤ 2 ,
donc la critère d’Abel permet de conclure que l’intégrale
∞∫
π
sinu
u1/4du converge.
Pour montrer qu’elle ne converge pas absolument, on peut utiliser l’inégalité
| sinu| ≥ sin2 u =1− cos 2u
2.
et conclure comme dans a).
d) On effectue le changement de variable t =√x. L’intégrale devient
∞∫
π
ei√x
xdx =
∞∫
√π
2eit
tdt .
On applique alors la même méthode que dans a) aux parties réelle et imaginaire
∞∫
√π
2 cos t
tdt et
∞∫
√π
2 sin t
tdt ,
21
ce qui montre que ces deux intégrales convergent, donc
∞∫
π
ei√x
xdx converge. Par contre, puisque
|ei√x| = 1, et que l’intégrale
∞∫
π
dx
xdiverge, l’intégrale proposée n’est pas absolument convergente.
13. Raisonnons par l’absurde. S’il existe un nombre réel c tel que f(c) ne soit pas nul, on peut,quitte à prendre la fonction −f , supposer que f(c) > 0. Comme f est continue en c, il existe unintervalle [α, β ] non réduit à un point, tel que f(x) > 0 sur [α, β ] . Soit alors m le minimumde f sur [α, β ] . Ce minimum est atteint en un point de cet intervalle et donc m > 0. Si lafonction f est T−périodique, on a, pour tout entier n positif,
∫ β+nT
α+nTf(x) dx =
∫ β
αf(x) dx ≥ m(β − α) > 0 .
Puisque l’intégrale
∞∫
0
f(x) dx converge, le critère de Cauchy s’applique et il existe A > 0 tel que
A < X < Y implique∣
∣
∣
∣
∣
∣
Y∫
X
f(x) dx
∣
∣
∣
∣
∣
∣
< m(β − α) .
Mais comme la suite (α + nT ) tend vers plus l’infini, il existe N tel que n ≥ N impliqueα+ nT ≥ X. Dans ce cas
∫ β+nT
α+nTf(x) dx =
∣
∣
∣
∣
∫ β+nT
α+nTf(x) dx
∣
∣
∣
∣
< m(β − α) .
On obtient bien une contradiction.
14. Raisonnons par l’absurde, et nions le fait que f tende vers 0 à l’infini. Il existe un nombreε > 0, tel que pour tout nombre A, il existe xA ≥ A tel que |f(xA)| ≥ ε.
En utilisant la continuité uniforme de f , il existe α > 0 tel que, l’inégalité |x− x′| ≤ α, implique
|f(x)− f(x′)| ≤ ε/2 .
En particulier, sixA ≤ t ≤ xA + α ,
on a|f(xA)− f(t)| ≤ ε
2,
et doncf(xA)−
ε
2≤ f(t) ≤ f(xA) +
ε
2.
Si f(xA) > 0, on a f(xA) ≥ ε et
f(t) ≥ ε− ε
2=
ε
2,
22
donc∣
∣
∣
∣
∣
∣
xA+α∫
xA
f(t) dt
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=
xA+α∫
xA
f(t) dt ≥ αε
2.
Si f(xA) < 0, on a −f(xA) ≥ ε et
f(t) ≤ f(xA) +ε
2≤ ε
2− ε = −ε
2,
donc∣
∣
∣
∣
∣
∣
xA+α∫
xA
f(t) dt
∣
∣
∣
∣
∣
∣
= −xA+α∫
xA
f(t) dt ≥ αε
2.
Il existe donc un nombre β = αε/2 pour lequel, pour tout A, on a trouvé deux nombres xA etxA + α vérifiant les inégalités A ≤ xA ≤ xA + α et
∣
∣
∣
∣
∣
∣
xA+α∫
xA
f(t) dt
∣
∣
∣
∣
∣
∣
≥ β .
Cela signifie que la propriété de Cauchy n’est pas satisfaite, donc que l’intégrale
∞∫
0
f(t) dt di-
verge, d’où une contradiction.
15. a) La relationf ′(x) = O(1/x2)
signifie que la fonction x 7→ x2f ′(x) est bornée au voisinage de l’infini, c’est-à-dire qu’il existedeux nombres a > 0 et M > 0, tels que, si |x| ≥ a, on ait
x2|f ′(x)| ≤ M ,
c’est-à-dire
|f ′(x)| ≤ M
x2.
On remarque que l’intégrale
∞∫
1
dx
x2converge, et donc, de l’inégalité précédente, on déduit que
l’intégrale
∞∫
a
f ′(t) dt converge absolument donc converge. Mais
∞∫
a
f ′(x) dx = limX→∞
X∫
a
f ′(x) dx = f(X)− f(a) .
Il en résulte que la fonction f a une limite en +∞ qui vaut
∞∫
a
f ′(x) dx+ f(a).
23
La démonstration est analogue à −∞.
b) Si x et x′ sont deux réels quelconques tels que x < x′, on a encore
|f(x)− f(x′)| =
∣
∣
∣
∣
∣
∣
x′
∫
x
f ′(t)
∣
∣
∣
∣
∣
∣
dt ≤x′
∫
x
|f ′(t)| dt .
L’intégrale de droite se majore par
x′
∫
x
dt
1 + t2= arctan x′ − arctan x ,
et puisque la fonction arctangente est comprise entre −π/2 et +π/2, on a finalement
|f(x′)− f(x)| ≤ arctan x′ − arctan x ≤ π .
En faisant tendre x vers −∞ et x′ vers +∞, on obtient alors, par passage à la limite dans lesinégalités
|L− ℓ| ≤ π .
16. a) Comme f décroit, on peut minorer f(t) par f(2x), lorsque t appartient à l’intervalle[x, 2x ] . Alors
2x∫
x
f(t) dt ≥2x∫
x
f(2x) dt = xf(2x) .
Si x > a/2, on a donc,
0 ≤ xf(x) ≤ 2
x∫
x/2
f(t) dt .
Comme l’intégrale converge, il existe, d’après le critère de Cauchy, un nombre A, tel que lesinégalités A ≤ u ≤ v impliquent
∣
∣
∣
∣
∣
∣
v∫
u
f(t) dt
∣
∣
∣
∣
∣
∣
<ε
2.
Alors si x ≥ 2A, on a A ≤ x/2 ≤ x, et
0 ≤ xf(x) ≤ 2
x∫
x/2
f(t) dt < ε .
On en déduit que xf(x) tend vers 0 à l’infini.
b) La fonction f définie sur [ 2, ∞ [ par
f(x) =1
x lnx,
24
et telle que xf(x) tende vers 0 à l’infini. On vérifie facilement qu’elle est décroissante. Par contrel’intégrale de f diverge, puisque
x∫
2
dx
x lnx= ln lnx− ln ln 2
a pour limite +∞ quand x tend vers +∞.
17. Soit les suites (an)n≥1 et (bn)n≥1 définies par
an = n− 1
n22net bn = n+
1
n22n.
Remarquons tout d’abord que si n ≥ 1, on a
2
n2+
1
(n+ 1)2≤ 3 < 4 ≤ 2n+1 ,
d’où l’on déduit que1
n22n+
1
(n+ 1)22n+1< 1 ,
et enfin que
n+1
n22n< n+ 1− 1
(n+ 1)22n+1.
Alors les suites (an)n≥1 et (bn)n≥1 vérifient les inégalités
an < n < bn ≤ an+1 < n+ 1 < bn+1 .
Les deux suites sont croissantes et tendant vers +∞.
On peut définir une fonction g sur [ 0, ∞ [ continue et positive de la manière suivante :
pour tout entier n ≥ 1, on pose
g(n) = n2 , g(an) = g(bn) = 0 ,
et g est linéaire affine sur les intervalles [ an, n ] et [n, bn ] et est nulle partout ailleurs.
Voici par exemple le graphe de g sur [ 0, 5/2 ] .
25
✲
✻
1 2
1
4
On a alorsbn∫
0
g(x) dx =
n∑
k=1
bk∫
ak
g(x) dx .
Mais Ik =
bk∫
ak
g(x) dx est l’aire d’un triangle dont la hauteur vaut k2, et la base 2/(k22k). On a
donc Ik = 1/2k. Alorsbn∫
0
g(x) dx =
n∑
k=1
1
2k= 1− 1
2n.
(C’est la somme des termes d’une suite géométrique de raison 1/2).
La fonction g étant positive, et (bn) ayant pour limite +∞, on a alors
∞∫
0
g(x) dx = limn→∞
bn∫
0
g(x) dx = 1 .
Si l’on pose
f(x) =
{
= g(x)/x si x > 00 si x = 0
.
La fonction f est continue sur ] 0, ∞ [ comme quotient de deux fonctions continues. Par ailleursf est nulle sur [ 0, 1/2 ] , donc continue. Il en résulte que f est continue sur [ 0, ∞ [ . On a aussi
26
f(n) = n et f n’est pas bornée. Enfin l’intégrale
∞∫
0
xf(x) dx converge, puisque
∞∫
0
xf(x) dx =
∞∫
0
g(x) dx = 1 .
18. a) Pour x ≥ 0 et n ≥ 1, posons
fn(x) =arctan(nx)
n(1 + x2).
Tout d’abord
0 ≤ fn(x) ≤π
2
1
1 + x2= g(x) .
Comme l’intégrale
∞∫
0
g(x) dx converge, il résulte du théorème de comparaison que toutes les
intégrales
∞∫
0
fn(x) dx convergent. Par ailleurs
0 ≤ fn(x) ≤π
2n,
et donc la suite (fn) converge uniformément, donc uniformément localement, vers la fonctionnulle. Alors le théorème de convergence dominée montre que la suite (an) converge vers
∞∫
0
0 dx = 0 .
b) Pour x ∈ [ 0, 1 ] et n ≥ 0, posons
fn(x) =1
1 + xn.
Tout d’abord0 ≤ fn(x) ≤ 1 = g(x) .
La fonction g et les fonctions fn sont Riemann-intégrables sur [ 0, 1 ] . Par ailleurs la suite fnconverge simplement sur [ 0, 1 [ vers la fonction f = 1. Sur [ 0, α ] , avec α ∈ ] 0, 1 [ , on a
|fn(x)− f(x)| = xn
1 + xn≤ αn ,
et il en résulte que la suite (fn) converge uniformément vers f sur [ 0, α ] . La suite (fn) convergedonc uniformément localement vers f sur [ 0, 1 [ . Alors le théorème de convergence dominéemontre que la suite (an) converge vers
1∫
0
1 dx = 1 .
27
c) Pour x ∈ ] 1, ∞ [ et n ≥ 0, posons
fn(x) =1
1 + xn.
Tout d’abord, si n ≥ 2,0 ≤ fn(x) ≤ f2(x) = g(x) .
Comme
∞∫
1
g(x) dx converge, il résulte du théorème de comparaison que toutes les intégrales
∞∫
0
fn(x) dx convergent si n ≥ 2. Par ailleurs la suite fn converge simplement sur [ 1, ∞ [ vers la
fonction f = 0. Sur [α, ∞ ] , avec α > 0, on a
0 ≤ fn(x) ≤1
1 + αn,
et il en résulte que la suite (fn) converge uniformément vers 0 sur [α, ∞ [ . La suite (fn) convergedonc uniformément localement vers f sur ] 1, ∞ [ . Alors le théorème de convergence dominéemontre que la suite (an) converge vers
1∫
0
0 dx = 0 .
d) Pour x ≥ 0 et n ≥ 1, posons
fn(x) =arctan n+1
n x
1 + x2.
Tout d’abord
0 ≤ fn(x) ≤π
2
1
1 + x2= g(x) .
Comme l’intégrale
∞∫
0
g(x) dx converge, il résulte du théorème de comparaison que toutes les
intégrales
∞∫
0
fn(x) dx convergent. Par ailleurs, fn tend simplement vers la fonction f qui à x
associearctan x
1 + x2. Soit x dans l’intervalle [ 0, α ] , où α > 0. On a
|fn(x)− f(x)| ≤∣
∣
∣
∣
arctan
(
1 +1
n
)
x− arctan x
∣
∣
∣
∣
.
En appliquant l’égalité des accroissements finis, il existe c dans [ 0, α ] tel que
∣
∣
∣
∣
arctan
(
1 +1
n
)
x− arctan x
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
(
1 +1
n
)
x− x
∣
∣
∣
∣
1
1 + c2=
x
n(1 + c2)≤ α
n,
28
et la suite (fn) converge uniformément sur [ 0, α ] donc uniformément localement sur [ 0, ∞ [ ,vers la fonction f . Alors le théorème de convergence dominée montre que la suite (an) convergevers
∞∫
0
arctan x
1 + x2dx =
[
1
2(arctan x)2
]∞
0
=π2
8.
19. a) On af(x) = g(x)(1 + g(x)) .
Comme g(x) tend vers 0 à l’infini (produit d’une fonction bornée, par une fonction tendant vers0), on en déduit que f ∼ g au voisinage de l’infini.
b) Comme dans l’exercice 12, l’intégrale
∞∫
a
g(x) dx est semi-convergente, alors que l’intégrale
∞∫
a
(f(x)− g(x)) dx n’est pas convergente. Il en résulte que
∞∫
a
f(x) dx n’est pas convergente.
20. a) On a, au voisinage de −1,
f(x) ∼ −1
2ln |x+ 1| ,
et puisque ln |u| admet comme primitive u ln |u| − u, on voit facilement que les intégrales
0∫
−1
ln |1 + x| dx et
−1∫
−2
ln |1 + x| dx ,
sont convergentes.
b) Au voisinage de l’infini, on a,
f(x) =ln |x|x
x
x2 + 1
1 +
ln
∣
∣
∣
∣
1 +1
x
∣
∣
∣
∣
ln |x|
∼ ln |x|x
,
et l’intégrale de ln |x|/x est divergente car la fonction a pour primitive (ln |x|)2/2. Les deux in-
tégrales
∞∫
0
f(x) dx et
0∫
−∞
f(x) dx sont donc divergentes.
c) On a
f(x) + f(−x) =x
x2 + 1ln
∣
∣
∣
∣
x+ 1
x− 1
∣
∣
∣
∣
=x
x2 + 1ln
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
1 +1
x
1− 1
x
∣
∣
∣
∣
∣
∣
∣
=x
x2 + 1
(
ln
∣
∣
∣
∣
1 +1
x
∣
∣
∣
∣
− ln
∣
∣
∣
∣
1− 1
x
∣
∣
∣
∣
)
.
29
Posons u = 1/x. En effectuant un développement limité au voisinage de 0 on obtient