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EX. VII – SÉRIES NUMÉRIQUES PSI* 21-22
EXERCICES : SÉRIES NUMÉRIQUES, AVEC CORRIGÉS
Séries à termes réels positifs (ex. 1 à 16)
Exercice 1: (★) - (★★)
Démontrer que chacune des séries∑
D= converge, et calculer leur somme :
1. D= = ln
(1 − 1
=2
)(= > 2)
2. D= = ln
(1 + 2
=(= + 3)
)(= > 1)
3. D= =1
=(= + 1)(= + 2) (= > 1)
4. D= =1
=(= + 1) . . . (= + ?) (=, ? > 1)
5. D= =
√= + 1 − 2
√= + 1
2=+1
6. D= = ln(cos
G
2=
), G ∈
[0 ; �
2
[7. D= =
12=
tan( G
2=
)), G ∈
[0 ; �2
[8. D= =
(−1)=3=
cos3(3=�)
9. D= =1
=3 + 8=2 + 17= + 10
10. D= =4=
=4 + 2=2 + 9
11. D= =4= − 3
=(=2 − 4) (= > 3)
12. D= =1
=2(= + 1)2 (= > 1)
13. D= =1
=∑:=1
:2(= > 1)
14. D= =2=3 − 3=2 + 1
(= + 3)!
15. D= =
⌊√= + 1
⌋−
⌊√=⌋
=(= > 1)
16. D= =G=
(1 − G=)(1 − G=+1) (G ≠ ±1, = > 1)
(considérer (1 − G)D= )
17. D= = 2 =/2 sin( =�
4
)G= (discuter selon G ∈ R)
� Solution:
1. Téléscopage : pour tout # > 2 :
#∑==2
D= =
#∑==2
ln
(=2 − 1
=2
)=
#∑==2
(ln(= − 1) + ln(= + 1) − 2 ln =
)
=
#∑==2
(ln(= − 1) − ln =
)+
#∑==2
(ln(= + 1) − ln =
)
= (ln 1 − ln#) + (ln(# + 1) − ln 2) = ln# + 1#
− ln 2
donc lim=→+∞
(#∑==2
D=
)= − ln 2 : la série converge et sa somme vaut − ln 2.
2. On écrit :
D= = ln
(=2 + 3= + 2=(= + 3)
)= ln
((= + 1)(= + 2)
=(= + 3)
)= (ln(= + 1) − ln =) − (ln(= + 3) − ln(= + 2))
ce qui permet de montrer, après télescopage, que la série converge et que sa somme vaut ln 3.
3. La décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle1
6 , calculer les sommes des séries ci-dessous (après avoir prouvé leur
convergence) :
a)+∞∑==0
1(2= + 1)2 b)
+∞∑==1
(−1)==2
.
� Solution:
Toutes les séries écrites ci-dessous convergent, cela justifie les calculs.
a)+∞∑==0
1
(2= + 1)2=
+∞∑==1
1
=2−
+∞∑==1
1
(2=)2=
+∞∑==1
1
=2− 1
4
+∞∑==1
1
=2=
(1 − 1
4
)�2
6=
�2
8.
b)+∞∑==1
(−1)==2
=
+∞∑==1
1
(2=)2−
+∞∑==0
1
(2= + 1)2=
14�2
6− �2
8= −�2
12.
Exercice 4: (★★)
Soit la suite de terme général : D= =√=2 + 1 −
√%(=) où % est un polynôme à coefficients réels.
A quelle condition sur % la série∑
D= converge-t-elle?
� Solution:
Déjà, si l’on veut lim=→+∞
D= = 0, il faut nécessairement que % soit de degré 2 et unitaire. Cela garantit aussi que la
suite est bien définie à partir d’un certain rang.Ensuite, on pose %(=) = =2 + 0= + 2 et on fait un développement limité. Réponse : %(=) = =2 + 1 et alors D= = 0 !
Exercice 5: (★)
Pour quelles valeurs de 0, 1 ∈ R la série de terme général√=+ 0
√= + 1+ 1
√= + 2 est-elle convergente?
Calculer alors sa somme.
� Solution:
On fait un développement limité :
D= =√= + 0
√=
(1 + 1
=
)1/2
+ 1√=
(1 + 2
=
)1/2
= (0 + 1 + 1)√= +
( 02+ 1
) 1√=+ O
(1
=3/2
).
Donc (86<0D= converge si et seulement si 0 + 1 + 1 =0
2+ 1 = 0 (détailler...) soit 0 = −2 et 1 = 1.
Alors : D= =
(√= −
√= + 1
)−
(√= + 1 −
√= + 2
)et par télescopage on trouve
#∑==0
D= = −1 +√# + 2 −
√# + 1 puis
+∞∑==0
D= = −1.
Exercice 6: (★★)
Soit 0 ∈ R∗ .a) Montrer que la série de terme général Arc tan(= + 0) − Arc tan= est convergente.
b) On pose ((0) =+∞∑:=0
(Arc tan(: + 0) − Arc tan :) . Trouver lim0→+∞
((0) .
� Solution:
a) Un développement limité rapide donne D= ∼ 0
=2(possible car 0 ≠ 0) d’où le résultat (pour le développement
)donc par comparaison de séries à termes réels positifs,
∑D=E= est absolument convergente
donc convergente.
b) (D= + E=)2 = D2= + 2D=E= + E2
= donc∑(D= + E=)2 est la somme de trois séries convergentes donc converge.
Soit # ∈ N . En considérant dans R#+1 muni de sa structure euclidienne canonique les vecteurs -# = (D0, . . . , D# )
et .# = (E0 , . . . , E# ) on a ‖-# + .# ‖ 6 ‖-# ‖ + ‖.# ‖ soit
√√√ #∑==0
(D= + E=)2 6
√√√ #∑==0
D2= +
√√√ #∑==0
E2= puis on passe
à la limite quand # → +∞ .
Exercice 13: (★★)
Soit∑
D= une série à termes réels positifs. On pose :
E= = ln(1 + D=) ; F= =1=
√D= ; G= =
D1 + D2 + . . . + D==
Étudier, en fonction de la convergence de la série∑
D= , celle des séries de terme général E= , F= , etG= (dans chacun des cas, on donnera soit un résultat complet, soit des exemples et contre-exemples s’iln’est pas complet).
� Solution:
On note déjà que toutes les séries considérées sont à termes strictement positifs, ce qui permet de justifier l’emploides théorèmes de comparaison.
1. – E= 6 D= donc si∑
D= converge, il en est de même de∑
E= .
– si∑
E= converge alors lim=→+∞
E= = 0 donc lim=→+∞
D= = 0 d’où D= ∼ E= et∑
D= converge.
Les deux séries sont donc de même nature.
2. – Supposons que∑
D= converge. Par l’inégalité célèbre 01 612(02 + 12) on obtient F= 6
12
(1
=2+ D=
). Les
séries∑ 1
=2 et∑
D= étant convergentes, on déduit par comparaison que la série∑
F= converge aussi.
– On ne peut rien dire en général lorsque∑
D= diverge : considérer par exemple les cas D= = 1 et D= =1=
convergente à termes positifs, on en déduit que la série∑
D=+1 − D= est absolument convergente doncconvergente.D’après un résultat bien connu, il s’ensuit que la suite D est convergente.
c) Le problème ici est que, si l’on a un équivalent de ln G= on ne peut pas en déduire directement un équivalentde G= . Il faut aller plus loin dans le calcul précédent : si l’on note la limite de la suite (D=) , on a, pour
tout = , D= − =
+∞∑:==
D: − D:+1 = −+∞∑:==
2−:−1 ln
(1 + 1
G:
)donc, la suite (G= ) étant croissante, on en tire
|D= − | 6 ln
(1 + 1
G=
) +∞∑:==
2−:−1=
12=
ln
(1 + 1
G=
).
Ainsi, puisque lim=→+∞
ln
(1 + 1
G=
)= 0, D= = + o(2−=) donc ln G= = 2= + o(1) puis G= = e2= eo(1) ∼ �2=
avec � = e .
2. a) La suite (D=) est évidemment décroissante. De plus, pour tout G ∈ [0 ; 1] , G − G2 = G(1 − G) ∈ [0 ; 1] donc parrécurrence, D= ∈ [0 ; 1] pour tout = .(D=) est donc une suite monotone bornée, elle converge. Sa limite ℓ vérifie alors ℓ = ℓ − ℓ2 donc ℓ = 0.
b) D2= = D= − D=+1 donc par télescopage
∑D2= converge.
c) ln
(D=+1D=
)= ln(D=+1) − ln(D=) donc
#∑==0
ln
(D=+1D=
)= ln(D#+1) − ln(D0) −→
=→+∞−∞ ; par conséquent, la série
de terme général ln
(D=+1D=
)diverge.
On a ln
(D=+1D=
)= ln(1 − D=) donc puisque D= → 0, ln
(D=+1D=
)∼
=→+∞− D= .. Par comparaison de séries de
termes généraux de signes constants, les deux séries sont de même nature donc∑
D= diverge.
d) • – La propriété D= <1
= + 1est vraie pour = = 0.
– On « sait » que : ∀ G ∈ [0 ; 1] , 0 6 G(1 − G) 6 14
(sinon, faire une étude de fonction rapide...). Donc par
récurrence D= ∈[0 ;
14
]pour tout = > 1, et puisque la fonction G ↦→ G − G2 est strictement croissante
ce qui établit l’hérédité, et démontre l’inégalité demandée par récurrence sur = .
• (= + 1)D=+1 − =D= = D= − (= + 1)D2= > 0 d’après le résultat précédent, donc la suite (=D=) est croissante.
Toujours d’après le résultat précédent, elle est majorée par 1, donc elle converge vers un certain réel ℓ . Onremarque que ; > 0 puisque ℓ > =D= pour tout = (remarque utile pour la suite).
e) E= = ℓ − =D= −→=→+∞
0 ; puisque la suite (E=) converge, on a immédiatement que la série de terme général
E=+1 − E= converge !
f) On calcule : E=+1 − E= = −D= + (= + 1)D2= . Or puisque E= → 0 on a D= ∼
=→+∞ℓ
=(cela a un sens puisque ℓ > 0)
donc (= + 1)D2= ∼=→+∞
ℓ2
=. Si ℓ était différent de 1 on aurait alors E=+1 − E= ∼
=→+∞�
=où � = ℓ2 − ℓ ≠ 0, et la
série de terme général E=+1 − E= serait divergente, contradiction.
Ainsi ℓ = 1 donc D= ∼=→+∞
1=
.
Exercice 16: (★★)
1. Soit∑
D= une série à termes strictement positifs, convergente. On note : A= =
+∞∑?==+1
D? .
a) Montrer que la série de terme généralD=+1
A=est divergente (on pourra considérer la série de
terme général ln(A=) − ln(A=+1 ).
b) Montrer que, si ∈]0, 1[ , la série de terme généralD=+1
A =est convergente (on pourra comparer
à la série de terme général∫ A=
A=+1
dCC
).
c) Étudier de même la série de terme généralD=+1
A =lorsque > 1.
2. Soit∑
D= une série à termes strictement positifs, divergente. On note : B= ==∑
?=0D? .
a) Montrer que la série de terme généralD=B=
diverge (on pourra comparer à la série de terme
général ln(B=) − ln(B=−1 ).
b) Étudier, selon les valeurs de , la nature de la série de terme généralD=B =
.
� Solution:1.
2. a) Pour = > 1, ln B= − ln B=−1 = − ln
(B=−1B=
)= − ln
(B= − D=
B=
)= − ln
(1 − D=
B=
). On distingue alors deux cas :
– Si lim=→+∞
D=B=
= 0 alors − ln
(1 − D=
B=
)∼
=→+∞D=B=
doncD=B=
∼ ln B= − ln B=−1 . Or la série de terme général
ln B= − ln B=−1 diverge (car#∑==1
ln B= − ln B=−1 = ln B# − ln B0 → +∞ , puisque∑
D= est une série à termes
positifs divergente). Il en résulte que la série∑ D=
B=diverge.
– SiD=B=
ne tend pas vers zéro, la série∑ D=
B=diverge grossièrement !
b) – Si 6 0 :D=B =>
D=B 0
(puisque la suite (B=) est croissante), donc la série∑ D=
B =diverge d’après le théorème
de comparaison de séries à termes positifs.
– Si 0 < 6 1 : il existe un rang à partir duquel on aura B= > 1 et alors B = 6 B= doncD=B =>
Pour calculer la somme de la série, on va plutôt calculer, plus généralement, la somme de la série
+∞∑==0
(−1)=0= + 1
où 0 est un entier naturel non nul. Pour cela on suit exactement la même méthode que celle vue en cours pourla série harmonique alternée. On considère les sommes partielles ;
(= =
=∑:=0
(−1):0: + 1
et en remarquent que1
0: + 1=
∫ 1
0C0: dC on obtient, par linéarité de l’intégration :
(= =
∫ 1
0
=∑:=0
(−C0 ): dC =∫ 1
0
1 − (−C0 )=+1
1 + C0dC =
∫ 1
0
dC1 + C0
− A=
où A= =
∫ 1
0
(−C0)=+1
1 + C0dC . Puis la majoration
|A= | 6∫ 1
0
���� (−C0)=+1
1 + C0
���� dC =∫ 1
0
C0=+0
1 + C0dC 6
∫ 1
0C0=+0 dC =
10= + 0 + 1
montre que lim=→+∞
A= = 0 donc que lim=→+∞
(= =
∫ 1
0
dC1 + C0
.
Ainsi ;+∞∑==0
(−1)=0= + 1
=
∫ 1
0
dC1 + C0
donc+∞∑==0
D= =
∫ 1
0
dC
1 + C2−
∫ 1
0
dC
1 + C3.
Il est facile d’obtenir :∫ 1
0
dC
1 + C2=
[Arc tan C
]10 =
�
4; la seconde intégrale est un peu plus compliquée à calculer,
pour = > 3 donc par comparaison à la série harmonique, la série∑
5 (=) diverge.
La fonction 5 est décroissante pour G > e donc la suite((−1)= 5 (=)
)vérifie le CSSA pour = > 3 et la seconde
série converge donc.
b) Minorer 5 (=) par∫ =+1=
5 (C) dC et sommer, on trouve que F= 6 0 et donc |F= | 6 la différence de deux intégrales.En sommant, ça se télescope, la suite des sommes partielles de
∑ |F= | est donc majorée par une constante.
c) Cela vaut=∑
:=1
(−1): 5 (:) .
On écrit que=∑
:=1
F: = ! + o(1) , puis
=∑:=1
(−1): 5 (:) = 2=∑
:=1
5 (2:) −2=∑:=1
5 (:)
avec=∑
:=1
5 (:) ==∑
:=1
F: +12
ln2(=) = ! + ln2 =
2+ o(1),
ce qui permet, après calcul et en remarquant que
5 (2=) = ln 2 + ln =
2=,
de trouver que=∑
:=1
(−1): 5 (:) = � ln 2 − ln2 22
+ o(1).
∞∑==1
(−1)= ln =
== � ln 2 − ln2 2
2.
Exercice 20: Permutations de termes (★★)
On considère la série∑
E= déduite de la série harmonique alternée∑=>0
(−1)== + 1
en écrivant dans l’ordre
un terme positif, puis deux termes négatifs ; ainsi :
E0 = 1 , E1 =−12
, E2 =−14
, E3 =13, E4 =
−16
, E5 =−18
, E6 =15
etc...
Montrer que la série de terme général E= est convergente, et calculer sa somme.
Puis on utilise le développement asymptotique 1 + 12+ . . . + 1
== ln = + � + o(1) qui conduit à
=∑:=1
12: − 1
=
2=∑:=1
1:−
=∑:=1
12:
= ln(2=) + � + o(1) − 12(ln = + � + o(1))
et2=∑:=1
12:
=12(ln(2=) + � + o(1))
donc
+3=−1 =12
ln 2 + o(1)
Ainsi lim=→+∞
+3=−1 =12
ln 2 et puisque +3= = +3=−1 + 12= + 1
on a aussi lim=→+∞
+3= =12
ln 2 et de la même façon
lim=→+∞
+2=+1 =12
ln 2.
Il en résulte que la suite (+=)=∈N converge, c’est-à-dire que la série∑
E= converge, et elle a pour somme12
ln 2.
Morale de cet exercice : on peut modifier la somme d’une série si l’on change l’ordre de ses termes ! ! !
Exercice 21: (★★★)
Soit (0=) une suite réelle décroissante de limite nulle, et soit D= = (−1)=0= . La série de terme généralD= est alors convergente, et on peut poser :
*= =
=∑:=0
D: , * =
∞∑:=0
D: , '= = * −*=
a) Montrer que la série∑
D='= est convergente si et seulement si la série∑
D=−1'= l’est.
b) Montrer que la série∑
D=*= est convergente si et seulement si la série∑
02= l’est.
� Solution:
a) La suite ('=) est bornée car elle converge (vers 0). Notons ' = sup |'= | . On a alors
|D=−1'= | − |D='= | = |'= | (0=−1 − 0=)︸ ︷︷ ︸>0
6 '(0=−1 − 0= )
Or la série télescopique∑(0=−1 − 0= ) converge puisque la suite 0 converge, donc par comparaison de séries à
termes positifs, la série de terme général |D=−1'= | − |D='= | converge. Mais d’après les résultats du cours sur lesséries vérifiant le CSSA, on sait que '= est du signe de D=+1 donc D='= est négatif et D=−1'= est positif. Donc|D=−1'= | − |D='= | = D=−1'= + D='= . Comme cette série converge, les deux séries
∑D='= et
∑D=−1'= sont de
même nature.
Rem : est-ce une erreur d’énoncé? Il aurait mieux valu, pour la suite, considérer les deux séries∑
D='= et∑
D=+1'= , pourlesquelles la démonstration est identique...
b) D='= = D=* −D=*= donc puisque la série∑
D=* converge, la série∑
D=*= converge si et seulement si∑
D='=
converge.
– Si∑
D='= converge on vient de voir qu’il en est de même de∑
D=+1'= donc de∑
D='=−1 et par suite la série
de terme général D=('=−1 − '= ) = D2= = 02
= converge.
– Si∑
02= converge, on sait, d’après les résultats du cours sur les séries vérifiant le CSSA, que |'= | 6 |D=+1 | = 0=+1
donc |D='=−1 | 6 02= et la série
∑D='=−1 est absolument convergente donc convergente donc aussi la série∑
∑(* − *=)G= convergent. Quel lienexiste-t-il entre leurs sommes respectives 5 (G) et !(G) ?En déduire : lim
G→1−5 (G) = * .
b) Soit∑
D= et∑
E= deux séries convergentes. Montrer que, si leur série produit converge, sa sommeest le produit des sommes de ces deux séries.
c) Exemple : Que vaut+∞∑==0
F= si F= est le terme de rang = de
(∑=>0
(−1)=2= + 1
)2
?
� Solution:
a) Puisque∑
D= converge, on a lim=→+∞
D= = 0 donc la suite (D=)=∈N est bornée : |D= | 6 " pour tout = . Donc,
pour tout G ∈ ]−1 ; 1[ |D=G= | 6 " |G |= , qui est le terme général d’une série géométrique convergente, donc lasérie
∑D=G
= est absolument convergente, donc convergente.Puisque lim
=→+∞* −*= = 0 le même raisonnement montre que la série
∑(* −*=)G= est elle aussi absolument
convergente.
Pour tout G ∈ ]−1 ; 1[ on a1
1 − G=
+∞∑==0
G= , cette série étant absolument convergente. Le produit de Cauchy
de cette série par la série∑=>0
D=G= est la série de terme général
=∑:=0
D:G:G=−: = *=G
= . D’après le cours sur le
produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes on aura donc
∀ G ∈ ]−1 ; 1[ ,+∞∑==0
*=G==
11 − G
+∞∑==0
D=G==
11 − G
5 (G)
et puisque+∞∑==0
*G= =*
1 − Gon aura :
∀ G ∈ ]−1 ; 1[ , !(G) =+∞∑==0
(* −*=)G= =* − 5 (G)
1 − G.
Pour démontrer que limG→1−
5 (G) = * , il suffit donc de montrer que limG→1−
(1 − G)!(G) = 0. On fait pour cela une
démonstration « à la Césaro ».Soit � > 0. Puisque lim
=→+∞'= = 0 il existe =0 tel que |'= | 6 � pour = > =0 . On a alors, pour 0 6 G < 1 :
|(1 − G)!(G)| = (1 − G)�����+∞∑==0
'=G=
����� 6 (1 − G)+∞∑==0
|'= | G= = (1 − G)(=0−1∑==0
|'= | G= ++∞∑===0
|'= | G=)
6 (1 − G)=0−1∑==0
|'= | G= + �(1 − G)+∞∑===0
G= 6 (1 − G)=0−1∑==0
|'= | G= + �(1 − G)+∞∑==0
G=
︸ ︷︷ ︸=1/(1−G)
6 (1 − G)=0−1∑==0
|'= | G= + �
Puisque =0 est fixé, le membre de droite tend vers � quand G → 1, donc sera inférieur à 2� pour G assez prochede 1, ce qui est exactement la définition de lim
G→1−(1 − G)!(G) = 0.
b) Soit∑
D= et∑
E= deux séries convergentes de sommes respectives * et + . On vient de voir que pour toutG ∈ ]−1 ; 1[ les séries
∑D=G
= et∑
E=G= sont absolument convergentes. Si l’on note 5 (G) et 6(G) leurs sommes, le
résultat du cours sur le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes donne 5 (G)6(G) =+∞∑==0
F=G=
où F= =
=∑:=0
D:E=−: . L’hypothèse de l’énoncé est que la série∑