Terminale S 1 F. Laroche Exponentielle exercices corrigés http://laroche.lycee.free.fr Terminale S Fonction exponentielle Exercices corrigés 1. 1. Fesic 1996, exercice 2 1 1. 2. Fesic 1996, exercice 3 1 1. 3. Fesic 1996, exercice 4 2 1. 4. Fesic 2000, exercice 6 3 1. 5. Fesic 2000, exercice 4 3 1. 6. Banque 2004 4 1. 7. Expo + aire, Amérique du Nord 2005 5 1. 8. Basique, N. Calédonie, nov 2004 7 1. 9. Basiques 8 1. 10. Une fonction 9 1. 11. Un exercice standard 11 1. 12. Une suite de fonctions 12 1. 13. ln et exp 15 1. 14. Recherche de fonction 16 1. 15. Etude de fonction hyperbolique 18 1. 16. Une intégrale peu engageante… 20 1. 17. Tangente hyperbolique 22 1. 18. Tangente hyperbolique et primitives 24 1. 19. Antilles 09/2008 7 points 27 1. 20. ROC+fonction intégrale, Am. du Nord 2007 29 1. 21. Equation différentielle, équation fonctionnelle et sinus hyperbolique, La Réunion, juin 2004 32 1. 22. Exp, équation, suite réc, Am. du Sud, juin 2004 33 1. 23. Exp et aire 35 1. 24. Caractéristique de Exp et tangentes 37 1. 1. Fesic 1996, exercice 2 Soit f la fonction définie sur * + ℝ par 3 () x e fx x = et C sa courbe représentative. a. f est une bijection de * + ℝ sur 3 ; 27 e +∞ . b. La droite ( ∆ ) d’équation 3 x = est axe de symétrie de la courbe C . c. C admet une unique tangente parallèle à l’axe ( ) Ox et elle est obtenue au point d’abscisse 3 x = . d. La tangente à C au point d’abscisse 1 a pour équation : 2 y ex e =− − . Correction a. Faux : La fonction f est dérivable sur * + ℝ et ( ) ( ) 4 3 x e x f x x − ′ = , or pour x ∈ [3, [ +∞ , '( ) 0 f x ≥ car 4 0 et 0 x e x > > et pour ] [ 0,3 x ∈ ( ) 0 f x ′ < . f n’est pas monotone sur * + ℝ et elle ne réalise donc pas une bijection. b. Faux : Si la droite ∆ d’équation 3 x = est axe de symétrie de la courbe C alors f doit être paire dans le repère ( ) ( ) ,, avec 3,0 Iij I . Posons 3 y Y x X = = + alors ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 X X e e Y f X f X X X + − + = = ≠ − = + − + . Donc f n’est pas paire dans le repère ( ) ; , I ij avec I(3, 0). c. Vrai : ( ) ( ) 4 3 0 x e x f x x − ′ = = pour x = 3 car 0 x e > donc C admet une unique tangente parallèle à l’axe ( ) Ox et elle est obtenue au point d’abscisse x = 3. d. Faux : La tangente à C au point d’abscisse 1 a pour équation : ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 3 y f x f ex e ′ = ⋅ − + =− + . 1. 2. Fesic 1996, exercice 3 Soit f la fonction définie sur ℝ par : 2 () 2 1 x e x fx x − = − + et C sa courbe représentative. a. lim () x fx →+∞ = +∞ .
38
Embed
exercices Exponentielle Corriges - Laroche.lycee.free.frlaroche.lycee.free.fr/.../exercices_exponentielle_corriges.pdf · Terminale S 2 F. Laroche Exponentielle exercices corrigés
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Dans la mesure où on compare f et g sur l’intersection de leur domaine de définition (ℝ *+), les deux fonctions ont le même signe.
D : FAUX
La fonction f ’ ne s’annule pas en 1, elle n’admet donc pas de minimum pour x = 1.
Remarque : f(1) = 0, la courbe coupe donc l’asymptote en 1, … mais aussi en –1.
1. 6. Banque 2004
Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( ); ,O i j
.
Soit f la fonction définie sur ℝ par : 21( ) 2,1 1,1 1,6
2x xf x e e x= − + + .
1. Faire apparaître sur l’écran de la calculatrice graphique la courbe représentative de cette fonction dans la fenêtre [−5 ; 4] x [−4 ; 4]. Reproduire l’allure de la courbe obtenue sur la copie.
2. D’après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer :
a. Sur les variations de la fonction f ?
b. Sur le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0 ?
3. On se propose maintenant d’étudier la fonction f.
a. Résoudre dans ℝ l’inéquation e2x − 2,1ex + 1,1 > 0 (on pourra poser xe X= pour résoudre).
b. Etudier les variations de la fonction f.
c. Déduire de cette étude le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0.
4. On veut représenter, sur l’écran d’une calculatrice, la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [−0,05 ; 0,15], de façon à visualiser les résultats de la question 3.
Quelles valeurs extrêmes de l’ordonnée y peut-on choisir pour la fenêtre de la calculatrice ?
Correction
1.
2. a. f semble croissante.
b. L’équation f(x) = 0 semble avoir une seule solution en 0.
c. Préciser la valeur de ( )' 0f , puis établir le tableau de variations de f .
3. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’aire, exprimée en cm2, du domaine plan limité par la courbe C , la droite ∆ et les droites d’équations x = 1 et x = 3.
4. a. Déterminer le point A de C où la tangente à C est parallèle à ∆ .
b. Calculer la distance, exprimée en cm, du point A à la droite ∆ .
Correction
1. a. En +∞ , 1x − tend vers +∞ et 2 xe−− tend vers 2 car xe− tend vers 0 ; f a pour limite +∞ .
b. ( )( ) (2 2) ( 1) 2 2( 1) ( 1)( )x xf x x x e x x e− −− − = − − − − = − − : avec les croissances comparées, xe− emmène
tout le monde vers 0, la droite ∆ d’équation y = 2x −2 est bien asymptote à C .
c. Signe de ( ) (2 2) ( 1) xf x x x e−− − = − − : lorsque 1x ≤ c’est positif, donc C est au-dessus de ∆ ; lorsque 1x ≥ c’est négatif, donc C est en dessous de ∆ .
3. a. ( ) ( )'( ) ( 1)' 2 ( 1) 2 ' 2 ( 1) 2 2x x x x x xf x x e x e e x e e xe− − − − − −= − − + − − = − + − = − + d’où
1. '( ) 1xg x e= − est positive lorsque 0x ≥ ; (0) 1 0 1 0g = − − = : comme g est décroissante avant 0 et croissante après, g est toujours positive.
2. Comme ( ) 0g x ≥ , on a 1 0x xe x e x− ≥ ⇒ − > (ceci montre que f est définie sur ℝ ).
Partie B
1. a. 1 1
lim ( ) lim lim 0
1x xx x x
xf x
e x e
x
→+∞ →+∞ →+∞= = = =
+∞−−
; 1 1
lim ( ) lim lim 10 1
1x xx x x
xf x
e x e
x
→−∞ →−∞ →−∞= = = = −
−−−
.
b. On a une asymptote horizontale en −∞ : 1y = − et une autre en +∞ : 0y = .
2. a. 2 2 2
1( ) ( 1) (1 )'( )
( ) ( ) ( )
x x xx x
x x x
e x x e x ee x xe xf x
e x e x e x
− − − −− − += = =
− − −.
b. f’ est du signe de 1−x.
3. a. (0) '(0)( 0)y f f x y x− = − ⇔ = .
b. 2 ( )( 1)
( )xx
x x x x
xg xx e xx x xe xf x x x
e x e x e x e x
−− − −− +− = − = = =
− − − −.
Comme g est positive, ainsi que xe x− , ( )f x x− est du signe de −x, soit positif avant 0 (C est au-dessus de T), négatif après (C est en dessous de T).
4.
1. 9. Basiques
Exercice 1
Soient f et g les fonctions définies de ]0 ; +∞[ dans ℝ par :
Soit C la représentation graphique de la fonction g dans le repère orthonormal (O ; , )i j
, unité graphique 2 cm.
1. Calculer la dérivée g’ de g. Montrer que g’(x) est du signe de (1 – x2). En déduire les variations de g.
2. Montrer que :
a. lim ( )x
g x→−∞
= +∞ .
b. lim ( ) 0x
g x→+∞
= et préciser l'asymptote à C correspondante.
3. Tracer la courbe C dans le repère (O ; , )i j
. On placera en particulier les points de la courbe d'abscisses respectives –2 ; –1 ; 0 ; 1 et 3.
4. a. Par une lecture graphique, indiquer, suivant les valeurs du nombre réel k, le nombre de solutions de l'équation g(x) = k.
b. Prouver rigoureusement que l'équation g(x) = 2 admet une solution α et une seule. Prouver que α appartient à l'intervalle [– 2 ; – 1].
c. Montrer que α vérifie la relation 21 2 .e
α
α = − −
Correction
2( ) ( 1) xg x x e−= + .
1. 2( ) 2( 1) ( 1) ( ) ( 1) (2 1) ( 1)(1 )x x x xg x x e x e x e x x x e− − − −′ = + + + − = + − − = + − .
2. a. 2 2lim ( ) lim limx X
x x xg x x e X e−
→−∞ →−∞ →+∞= = = +∞ .
b. 2 2lim ( ) lim lim 0x X
x x xg x x e X e−
→+∞ →+∞ →−∞= = = .
C a une asymptote horizontale en +∞.
4. a. Si k < 0, pas de solutions ; si k = 0, une seule solution : x = −1, si 0< k < 4/e, 3 solutions, si k = 4/e : deux solutions dont x = 1, enfin si k > 4/e, une seule solution.
b. Si x > −1, f(x) est toujours inférieur ou égal à 4/e (<2), donc f(x) = 2 n’a pas de solution sur [1 ; +∞[. Lorsque x < −1, f est continue monotone strictement croissante de ]−∞ ; −1[ vers ]0 ; +∞[. Comme 2 est dans cet intervalle, il existe une seule valeur de x pour laquelle f(x) = 2.
Claculons f(−2)=7,39 et f(−1)=0 ; comme 0 < 2 < 7,39 on a −2 < α < −1.
c. Nous savons que 2 2 1 2( ) 2 ( 1) 2 ( 1) 2
1 2
ef e e
e
αα α
α
αα α α
α
− + =
= ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + = −
; comme α < −1 on
choisit la racine négative, soit 21 2 .e
α
α = − −
1. 11. Un exercice standard
Soit kf la famille de fonctions définies sur [0, [+∞ par 2( ) xkf x kx e−= + où k est un réel strictement
positif quelconque et kg la famille de fonctions également définies sur [0, [+∞ par ( ) 2 xkg x kx e−= − .
On note Ck la courbe représentative de kf dans le repère orthonormal ( ); ,O i j
, unité graphique : 2 cm.
1. Sens de variation de kg
a. Calculer la dérivée kg′ de kg ; vérifier que ( )kg x′ est toujours strictement positif.
b. Calculer la limite de ( )kg x quand x tend vers +∞.
c. Déduire de ce qui précède l’existence et l'unicité d'un nombre réel 0kα > tel que ( ) 0k kg α = . Donner une valeur approchée à 10−1 près de 1α et de 2α .
d. Étudier le signe de ( )kg x sur [0, +∞[.
e. Montrer que ( ) ( )k kf x g x′ = ; en déduire le sens de variation de kf .
2. Comportement asymptotique de kf en +∞
a. Déterminer la limite de ( )kf x en +∞.
b. Déterminer le signe de 2( )kf x kx− et sa limite en +∞. Interpréter graphiquement ce résultat ; on note kP
la courbe d'équation 2y kx= .
3. Construction de kf .
a. Dresser le tableau de variation de kf . Préciser le signe de kf .
b. Préciser l’équation de la tangente T à Ck au point d’abscisse 0.
c. Prouver que ( ) ( 2)k k k kf kα α α= + .
d. On prend k = 1 : montrer que le point de coordonnées ( )1 1 1; ( )fα α appartient à une parabole 1Q dont
on donnera l’équation. Tracer dans le même repère T, 1P , 1Q et 1C .
Correction
2( ) xkf x kx e−= + , ( ) 2 x
kg x kx e−= − .
1. Sens de variation de kg
a. ( ) 2 xkg x k e−′ = + est toujours >0 puisque xe− l’est ainsi que 2k.
b. Comme xe− tend vers 0 en +∞ la fonction ( )kg x se comporte comme 2kx et tend donc vers +∞ .
c. On a 0(0) 0 1kg e−= − = − qui est négatif et lim ( )kx
g x→+∞
= +∞ qui est positif ; comme gk est continue,
monotone strictement croissante elle s’annule une seule fois. Calculons des valeurs approchées de 1α ,
On considère la fonction g définie sur [ [0 ; +∞ par ( ) ln(1 )g x x x= + − .
1. Etudier le sens de variation de g.
2. En déduire que, pour tout réel a positif ou nul, ln(1 )a a+ ≤ .
Partie A : étude de f1
1. Calculer 1( )f x′ et en déduire le sens de variation de f1.
2. Montrer que, pour tout x de [ [0 ; +∞ , 1( ) ln 1x
xf x
e
= +
.
3. Dresser le tableau de variation de f1.
Partie B : étude et propriétés de fk
1. Calculer ( )kf x′ et en déduire le sens de variation de fk.
2. Montrer que, pour tout x de [ [0 ; +∞ , ( ) ln 1k x
xf x k
e
= +
. En déduire la limite de fk en +∞ .
3. a. Dresser le tableau de variation de fk.
b. Montrer que, pour tout réel x de [0, [+∞ , on a ( )k
kf x
e≤ .
4. Déterminer une équation de la tangente (Tk) au point d’abscisse 0 de Ck.
5. Soit p et m deux réels strictement positifs tels que p < m. Etudier la position relative de Cp et Cm.
6. Tracer les courbes C1 et C2 ainsi que leurs tangentes en 0.
Partie C : majoration d’une intégrale
Soit λ un réel strictement positif, on note ( )A λ l’aire, en unités d’aire, du domaine délimitée par l’axe des abscisses, la courbe Ck et les droites x = 0 et x λ= .
1. Sans calculer ( )A λ , montrer que 0
( ) xA k xe dxλ
λ −≤ ∫ .
2. Calculer, à l’aide d’une intégration par parties, l’intégrale 0
xxe dxλ
−∫ .
3. On admet que ( )A λ admet une limite en +∞ . Montrer que lim ( )A kλ
λ→∞
≤ . Interpréter graphiquement ce
résultat.
Correction
Etude préliminaire
1. ( ) ln(1 )g x x x= + − sur [0 ; [+∞ : 1 1 1
'( ) 1 01 1 1
x xg x
x x x
− − −= − = = <
+ + + donc g est décroissante.
2. Comme (0) ln1 0 0g = − = et que g est décroissante, on a ( ) 0g x ≤ , soit ln(1 )x x+ ≤ .
Partie A : étude de 1( ) ln( )xf x e x x= + −
1. 11 1 1
( ) 1x x x
x x x
e e e x xf x
e x e x e x
+ + − − −′ = − = =
+ + + ; le dénominateur est positif, le numérateur est positif lorsque
1x ≤ . Donc f est croissante sur [0 ; 1], décroissante sur [1 ; [+∞ .
2. Comme ln( )xx e= , on a 1( ) ln( ) ln ln ln 1x
x x
x x
e x xf x e x e
e e
+ = + − = = +
. Lorsque x tend vers +∞ x
x
e
tend vers 0 (croissances comparées) donc f1 tend vers ln1 = 0.
3. La limite de ( )I λ est assez évidente : e λλ − tend vers 0 lorsque λ tend vers +∞ , ( )I λ tend donc vers 1. Par conséquent comme ( ) ( )A kIλ λ≤ , on a à la limite ( )A kλ ≤ .
Sur la figure la courbe la plus basse correspond à k = 1, la plus haute à k = 10.
1. 13. ln et exp
D’après Paris, Bac C, 1974
Soit f la fonction numérique définie sur R par :
2( ) ln( 1)x xf x e e= − +
le symbole ln désignant le logarithme népérien.
1. Montrer que 2 1x xe e− + est strictement positif pour tout réel x. Étudier les variations de la fonction f.
Soit (C) la courbe représentative, dans un repère orthonormé, de la fonction f.
2. Préciser les limites de f en +∞ et −∞
3. Vérifier que 2( ) 2 ln(1 )x xf x x e e− −− = − + et montrer que f(x) − 2x tend vers une limite lorsque x tend vers +∞. En déduire l’asymptote correspondante de (C).
4. Construire la courbe (C) (on précisera la tangente au point de (C) d'ordonnée nulle).
5. Déterminer, en utilisant la courbe (C), le nombre de solutions réelles de l'équation d'inconnue x :
2 71
8x xe e− + =
a. par le calcul,
b. en utilisant la courbe (C).
Correction
1. 2 21 1x xe e X X− + = − + en posant xX e= . On a alors 3 0∆ = − < donc le trinômes est positif ainsi que 2 1x xe e− + .
2. En −∞ c’est facile car 2xe et xe tendent vers 0. On a donc f qui tend vers ln1=0.
En +∞ 2 1x xe e− + se comporte comme 2xe et tend donc vers +∞ .
3. 2
2 2 2 2 22
1( ) 2 ln( 1) ln( ) ln ln[( 1) ] ln(1 )
x xx x x x x x x x
x
e ef x x e e e e e e e e
e
− − − − +− = − + − = = − + = − +
.
Les termes 2xe− et xe− tendent vers 0 à l’infini, donc ( ) 2f x x− tend vers ln1=0. La droite 2y x= est donc asymptote de (C).
4. La tangente en 0 est ( )y x= . Figure à la fin.
5. L’équation 2 71
8x xe e− + = est équivalente à ( ) ln(7 / 8)f x = . Comme
3 71
4 8< < , on a
3 7ln ln 0
4 8< < , il y
a donc deux solutions.
Par le calcul on pose xX e= , ce qui donne l’équation 2 27 11 0 0
8 8X X X X− + − = ⇔ − + = ,
1 11
2 2∆ = − =
d’où les racines 1 11 1 1 1
ln2 22 2 2 2
X x
= + ⇒ = +
et 2 11 1 1 1
0 ln2 22 2 2 2
X x
= − > ⇒ = −
.
1. 14. Recherche de fonction
Sur la feuille ci-jointe, figurent la courbe représentative (C) dans le repère orthonormé ( ; , )O i j
d'une fonction f définie et dérivable sur ℝ ainsi que son asymptote (D) et sa tangente (T) au point d'abscisse O.
On sait que le point J(0 ; 1) est le centre de symétrie de la courbe (C), que l'asymptote (D) passe par les points K(–1 ; 0) et J et que la tangente (T) a pour équation y = (1 – e)x + 1.
1. Déterminer une équation de (D).
2. On suppose qu'il existe deux réels m et p et une fonction ϕ définie sur ℝ telle que, pour tout réel x,
b. Le point J est centre de symétrie de la courbe, on a donc la relation :
f(xJ + x) – yJ = yJ – f(xJ – x) , ou encore :
( ) ( )
2J J
J
f x x f x xy
+ + −=
En remplaçant par les coordonnées de J, on obtient :
f(0 + x) – 1 = 1 – f(0 – x)
ou encore f(x) + f(–x) = 2.
Ω
x0
xx
y0
f x x( + )0
f x -( )0 x
c. f(x) = x + 1 + ϕ (x), f(–x) = –x + 1 + ϕ (–x) donc f(x) + f(–x) = 2 + ϕ (x) + ϕ (–x).
Or, on sait que f(x) + f(–x) = 2, on en déduit que ϕ (x) + ϕ (–x) = 0, ou encore que ϕ (x) = – ϕ (–x), c'est-à-dire que la fonction ϕ est impaire.
d. f(x) + f(–x) = 2, donc, en dérivant chaque terme : f '(x) – f '(–x) = 0, soit f '(x) = f '(–x). Conclusion f ' est paire. Attention, la dérivée de f(–x) est – f '(–x) (dérivation des fonctions composées).
2. a. 2 2
( ) ( ) ( ) ( )x xx ax b e x ax b eϕ ϕ− −= + ⇒ − = − + ; comme ϕ est impaire, on a ax + b = –ax + b, soit b = 0.
b. 2 2 2 22( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )( 2 ) 1 (1 2 )x x x xf x x x x axe f x x ae ax x e a x eϕ ϕ− − − −′ ′= + + = + + ⇒ = + = + + − = + − .
c. Le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 0, soit J, est f '(0) = (1 – e) (équation de (T)).
On a donc l'égalité : '(0) 1 1f a e a e= + = − ⇒ = − .
d. Il reste à conclure : 2 2
( ) 1 1x xf x x axe x exe− −= + + = + − .
1. 15. Etude de fonction hyperbolique
Soit f l’application de ] [0 ; +∞ dans ℝ définie par 1 1
( ) 22 1
x
x
ef x x
e
+= +
−, et g l’application de ℝ dans ℝ
définie par 2( ) 2 5 2x xg x e e= − + .
Partie A
1. Montrer que, pour tout x de ] [0 ; +∞ , on a 1 1
( ) 22 1x
f x xe
= + +−
.
2. Montrer que pour tout x de ] [0 ; +∞ on a 1
( ) 22 1
x
x
ef x x
e= − +
−.
3. Résoudre l’équation g(x) = 0 puis factoriser g(x).
Partie B : Etude de f
1. Calculer les limites de f en 0 et en +∞ .
2. a. Montrer que la droite (D) d’équation 1
22
y x= + est asymptote à la courbe (C) représentative de f.
b. Etudier la position de (C) par rapport à (D).
3. Montrer que la fonction dérivée de f est du signe de la fonction g de la partie A et dresser le tableau de variation de f.
4. Réprésenter (C) et ses asymptotes dans un repère orthonormal (unité graphique : 1 cm)
5. a. Etudier graphiquement suivant les valeurs du nombre réel m, l’intersection de (C) et de la droite (Dm) d’équation y = 2x + m.
b. Démontrer par le calcul ces résultats (on pourra utiliser le A.1.).
2. xx e֏ est définie et dérivable sur ℝ ; 1xx e +֏ est définie et dérivable sur ℝ et n’est jamais nulle.
Donc f est dérivable sur ℝ , et
( ) ( )( 1) .
'( ) 4 42 2
1 1
x x x x xe e e e ef x
x xe e
+ −= =
+ +
: f'(x) > 0 pour tout x réel, donc f
est strictement croissante sur ℝ .
Tableau de variations de f :
x −∞ +∞
f'(x) +
f(x) 4
0
3. xA = 0 et yA = f(0) = 2 : pour montrer que le point A est centre de symétrie de C, montrons que, pour tout x réel, * xA – x ∈Df et xA +x ∈ Df : vrai car Df = R
* f(xA –x) + f(xA +x) = 2yA
2( 1) ( 1)( ) ( ) 4 4 4 4 4
1 1 ( 1)( 1) 2
x xx x x xx x e ee e e ee ef x f x x x x x x xe e e e e e
4. f'(0) = 1 : l'équation de la tangente à C en A est donc : y – 2 = 1(x – 0) soit : y = x + 2.
B. Sa dérivée
1. f' est définie sur ℝ . De plus, on sait que pour tout x réel, f(−x) + f(x) = 4, soit en dérivant : '( ) '( ) 0 '( ) '( )f x f x f x f x− + = ⇒ − = : f' est une fonction paire.
2.
( )'( ) 4 4
2 2(1 )1
x xe ef x
xx ee
−= =
−++
donc lim '( ) 0f xx
=→+∞
; de plus, lim '( ) 0f xx
=→−∞
: C’ admet donc
une asymptote horizontale, d'équation y = 0, en +∞ et en −∞ .
3. ( ) ( )
( )
21 2 1 ( 1) 2
'''( ) 4 44 3( 1)1
x x x x x x x x xe e e e e e e e ef x
xx ee
+ − × + + − ×= =
++
, 2
''( ) 43( 1)
x xe ef x
xe
−=
+.
f''(x) est du signe de 2x xe e− : 2 20 2 0x x x xe e e e x x x− > ⇔ > ⇔ > ⇔ > .
Tableau de variations de f' :
x −∞ 0 +∞
f''(x) + 0 −
f'(x) 1
0 0
5. Il semble que C se trouve au-dessus de C’. Pour le montrer, étudions le signe de f(x) – f'(x) :
( ) ( ) ( )
2( 1)( ) '( ) 4 4 4 4
2 22( 1)1 1 1
x x xx x xe e ee e ef x f x
xx x xee e e
+ −− = − = =
++ + +
; f(x) – f'(x) > 0 donc C est au-
dessus de C’.
C. Une de ses primitives
1. a. f est dérivable sur ℝ , donc elle admet une infinité de primitives.
On désigne par C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal ( ; , )O i j
d’unité graphique 2 cm.
1. a. Déterminer la limite de f en −∞ .
b. Démontrer que la droite D1 d’équation y = x +2 est asymptote à la courbe C.
c. Étudier la position de C par rapport à D1.
2. a. On note f’ la fonction dérivée de f. Calculer ( )f x′ et montrer que, pour tout réel x, on a :
( )2
3'
3
x
x
ef x
e
−= +
.
b. Étudier les variations de f sur R et dresser le tableau de variations de la fonction f.
3. a. Que peut-on dire de la tangente D2 à la courbe C au point I d’abscisse ln3 ?
b. En utilisant les variations de la fonction f, étudier la position de la courbe C par rapport à D2.
4. a. Montrer que la tangente D3 à la courbe C au point d’abscisse 0 a pour équation 1
14
y x= + .
b. Étudier la position de la courbe C par rapport à la tangente D3 sur l’intervalle ] ]; ln 3−∞ . On pourra
utiliser la dérivée seconde de f notée ''f définie pour tout x de R par : ( )( )
( )3
12 3''
3
x x
x
e ef x
e
−=
+.
5. On admet que le point I est centre de symétrie de la courbe C. Tracer la courbe C, les tangentes D2, D3 et les asymptotes à la courbe C .On rappelle que l’unité graphique choisie est 2 cm.
6. a. Déterminer une primitive de la fonction g définie sur R par : ( )3
x
x
eg x
e=
+.
b. Soit λ un réel strictement négatif.
On note ( )A λ l’aire, en unités d’aire, du domaine limité par D1, C et les droites d’équations x λ= et
x = 0. Montrer que ( ) ( )4ln 4 4ln 3A eλλ = − + .
b. f’ est positive sur R, f est croissante. ( ) 1lim 2 4 lim 4
1 3 xx xf x
e−→+∞ →+∞= +∞ + − = +∞ − = +∞
+.
(Remarque : comme 4 4
lim lim 43 1 3
x
x xx x
e
e e−→+∞ →+∞= =
+ +, la droite 2 4 2y x x= + − = − est asymptote en +∞ .)
x −∞ +∞
( )f x′ +
( )f x
−∞
+∞
3. a. D2 : ( )2ln 3
ln 3
3' ln 3 0
3
ef
e
−= = +
donc tangente horizontale.
b. Comme f est croissante, C est en-dessous de D2 lorsque x < ln3 et au-dessus lorsque x > ln3.
4. a. ( )2 20
0
3 2 1' 0
4 43
ef
e
− − = = = + , ( ) 4
0 2 11 3
f = − =+
, ( ) ( ) ( ) 1' 0 0 0 1
4y f x f x= − + = + .
b. Posons ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 ' ' '' ''
4 4g x f x x g x f x g x f x
= − + ⇒ = − ⇒ =
.
Sur l’intervalle ] ]; ln 3−∞ , ( )( )
( )3
12 3''
3
x x
x
e ef x
e
−=
+ est < 0, de même que g’’. g’ est décroissante et vaut 0
lorsque x = 0 ; g’ est donc positive avant 0, négative après 0 ; g est croissante avant 0, décroissante après 0 ; comme g(0)=0, g est toujours négative donc C est en dessous de D3.
Montrer que pour tout x de [ [0 ; +∞ , ( ) 0g x ≥ .
b. En déduire que limx
x
e
x→+∞= +∞ .
2. On appelle f la fonction définie sur [ [0 ; +∞ par ( ) 214
x
f x xe−
= . On appelle C sa courbe représentative
dans un repère orthogonal ( ; , )O i j
. La courbe C est représentée ci-dessous.
a. Montrer que f est positive sur [ [0 ; +∞ .
b. Déterminer la limite de f en +∞ . En déduire une conséquence graphique pour C.
c. Etudier les variations de f puis dresser son tableau de variations sur [ [0 ; +∞ .
3. On considère la fonction F définie sur [ [0 ; +∞ par ( ) ( )0
x
F x f t dt= ∫ .
a. Montrer que F est une fonction croissante sur [ [0 ; +∞ .
b. Montrer que ( ) 2 212
x xx
F x e e− −
= − − .
c. Calculer la limite de F en +∞ et dresser le tableau de variations de F sur [ [0 ; +∞ .
d. Justifier l’existence d’un unique réel α tel que ( ) 0, 5F α = . A l’aide de la calculatrice, déterminer une
valeur approchée de α à 10−2 près par excès.
4. Soit n un entier naturel non nul. On note An l’aire en unités d’aire de la partie du plan située entre l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équations 0x = et x n= . Déterminer le plus petit entier naturel n tel que 0, 5nA ≥ .
Correction
1. On numérote les propriétés :
(1) la fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et est égale à sa fonction dérivée ;
1. Déterminer la limite de f en +∞ et interpréter graphiquement ce résultat.
2. a. Déterminer la limite de f en −∞ .
b. Démontrer que la droite (d) d’équation y = x + 2 est une asymptote pour Cf.
c. Étudier la position de Cf par rapport à (d).
3. Pour tout entier naturel n, tel que n ≥ 2 , on note Dn l’ensemble des points M(x, y) du plan, dont les coordonnées vérifient : 2 ≤ x ≤ n et 2 ≤ y ≤ f(x) et on appelle An son aire, exprimée en unités d’aire.
a. Faire apparaître D5 sur la figure.
b. Démontrer que pour tout x , tel que x ≥ 2, on a : 78 1
x x
x
xxe xe
e
− −≤ ≤+
.
c. On pose 2
nx
nI xe dx−= ∫ . À l’aide d’une intégration par parties, calculer In en fonction de n.
d. Écrire un encadrement de An en fonction de In.
e. On admet que An a une limite lorsque n tend vers +∞ . Déterminer la limite de In lorsque n tend vers +∞ .
Que peut-on en déduire pour la limite de An lorsque n tend vers +∞ ? Donner une interprétation géométrique de ce dernier résultat.
+∞ d’où f tend vers 2. Asymptote horizontale 2y = .
2. a. En −∞ , xe tend vers 0, f tend vers −∞ .
b. ( ) ( )( )1
2 2 21 1 1
xx
x x x
x x ex xef x x x
e e e
− +− + = + − − = =
+ + + tend vers 0 lorsque x tend vers −∞ .
(d) est une asymptote pour Cf en −∞ .
c. Le signe de ( ) ( )21
x
x
xef x x
e− + =
+ est celui de x, donc lorsque x est positif, Cf est au dessus de (d),
lorsque x est négatif Cf est en dessous de (d).
3. a. C’est la zone comprise entre la courbe, les droites x = 2, x = 5 et y =2.
b. Comme 1x xe e+ > , on a 1 1
1 1x
x x x x
x xxe
e e e e
−< ⇔ < =+ +
; pour l’inégalité de gauche, dvisons par x :
( )7 1 7 7 7 7 1 11 1 1 ln 7 ln 7
8 8 8 8 8 8 71x x x x x x
xe e e e e e x x
e
− − − − −≤ ⇔ + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ ≤ ⇔ − ≤ − ⇔ ≥+
.
Or 2x ≥ , c’est donc vrai.
c. 2
2 22 2( 1) 3
n nn nx x x x x nnI xe dx xe e dx xe e n e e− − − − − − − = = − − − = − − = − + + ∫ ∫ .
d. On a [ ] 1 12 2 2 2 2
7 7( ) 2
8 8
n n n n nx x
n n n nx x
x xA f x dx dx xe dx dx xe dx I A I
e e
− −+ +
= − = ⇒ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤∫ ∫ ∫ ∫ ∫ .
e. Lorsque n tend vers +∞ , In tend vers 23e− (croissances comparées). Par conséquent la limite de nA est
comprise entre 273
8e− et 23e− . Ceci donne un encadrement de l’aire comprise entre Cf, x = 2 et y = 2.
1. 24. Caractéristique de Exp et tangentes
1. Dans un repère orthonormal ( ; , )O i j
d’unité 2 cm tracer la courbe représentative (C) de la fonction
exponentielle ( xx e֏ ) sur l’intervalle [ ]2 ; 2− .
2. Tracer sur la même figure les tangentes à (C) aux points d’abscisses 1 1x = − , 2 0x = et 3 1x = . Chacune de ces tangentes coupe l’axe horizontal en un point d’abscisse 1x′ , 2x′ , 3x′ .
Mesurer à la règle les trois distances i ix x′− , i = 1, 2, 3. Que constatez-vous ? (Les trois longueurs mesurées doivent apparaître clairement sur le graphique.)
3. Soit A un point de (C) d’abscisse a. Vérifiez que l’équation de la tangente (T) en A à (C) a pour équation
( )1a ay e x a e= + − . Justifiez alors que le résultat du 2. est bien une constante que l’on précisera par le
calcul.
4. On cherche désormais s’il y aurait d’autres courbes présentant cette propriété : soit une fonction f de courbe représentative (C), A un point de (C) d’abscisse a, (T) la tangente en A à (C) et a’ l’abscisse du point d’intersection entre (T) et (Ox) quand il existe. On note f’ la fonction dérivée de f.
a. Donner l’équation de la tangente (T).
b. Exprimer a’ en fonction de a, ( )f a et ( )'f a . En déduire 'a a− .
c. Soit k une constante réelle. Montrer que ( )( )